ІНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

ТАРГОНСЬКИЙ Андрій Леонідович

УДК 517.54

ЕКСТРЕМАЛЬНІ ЗАДАЧІ

ТЕОРІЇ ОДНОЛИСТИХ ФУНКЦІЙ

01.01.01 – математичний аналіз

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Київ 2006

Дисертацією є рукопис

Робота виконана в Інституті математики НАН України.

Науковий керівник кандидат фізико-математичних наук,

старший науковий співробітник

БАХТІН Олександр Костянтинович,

Інститут математики НАН України, старший

науковий співробітник відділу комплексного

аналізу та теорії потенціалу.

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор

РЯЗАНОВ Володимир Ілліч,

Інститут прикладної математики і механіки

НАН України, м. Донецьк,

завідувач відділом теорії функцій;

кандидат фізико-математичних наук,

старший науковий співробітник

НАЗАРЕНКО Микола Олексійович,

Київський національний університет імені

Тараса Шевченка, доцент кафедри

математичного аналізу.

Провідна установа Львівський національний університет імені

Івана Франка МОН України.

Захист відбудеться “ 16 “ травня 2006 р. о 15 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д.26.206.01 Інституту математики НАН України за адресою: 01601, м. Київ 4, вул. Терещенківська, 3.

З дисертацією можна ознайомитися у бібліотеці Інституту математики НАН України.

Автореферат розісланий “ 11 “ квітня 2006 р.

Учений секретар

спеціалізованої вченої ради Романюк А. С.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Дисертація присвячена класичному напряму геометричної теорії функцій комплексної змінної – екстремальним задачам про області, які попарно не перетинаються.

Початок розвитку цієї тематики пов’язують з роботою М.О. Лаврентьєва 1934 року. Він знайшов максимум і визначив розміщення екстремальних областей для функціоналу, що складається з добутку внутрішніх радіусів двох однозв’язних областей, які не перетинаються відносно фіксованих точок комплексної площини. В 1947 році Г.М. Голузін розв'язав аналогічну задачу для трьох фіксованих точок комплексної площини. Після цього ця тематика почала стрімко розвиватися. В зв'язку з цим можна пригадати роботи П.П. Куфарева, А.Е. Фалеса, Н.І. Колбіной, Ю.Є. Аленіцина, Дж. Дженкінса, З. Нехарі, І.А. Александрова, В.Я. Гутлянського та інших. В цей час Н.А. Лєбєдєв узагальнює метод площ та отримує за його допомогою багато нових результатів.

В останні 25 років в цій області геометричної теорії функцій намітився серйозний прорив. Тут можна згадати результати В.М. Дубиніна, Г.В. Кузьміної, І.П. Митюка, С.І. Федорова, Є.Г. Ємельянова, О.К. Бахтіна, Л.В. Ковалева та інших.

У роботах В.М. Дубиніна в 1978 році був розроблений новий метод дослідження, а саме, метод кусочно-поділяючого перетворення. За допомогою цього методу В.М. Дубинін почав розв'язувати екстремальні задачі для довільної кількості багатозв'язних областей, які попарно не перетинаються. Слід зауважити, що останнім часом результати В.М. Дубиніна знайшли своє застосування у голоморфній динаміці.

В цій роботі розглянуто нові екстремальні задачі, як за своєю постановкою, так і за методами дослідження.

Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Напрям дослідження представленої дисертаційної роботи узгоджено з науковими програмами, планами і темами Інституту математики НАН України, зокрема з темою дослідження № 0102И000917.

Мета і завдання дослідження. Метою роботи є розв’язування екстремальних задач на знаходження максимуму функціоналів, які залежать від внутрішніх радіусів областей відносно точок комплексної площини, що задовольняють певні геометричні умови. Об'єктами дослідження є системи областей в розширеній комплексній площині, які попарно не перетинаються, в кожній з яких виділена деяка точка (полюс функції Гріна за допомогою якої визначено внутрішній радіус області). Предметом дослідження є знаходження максимумів функціоналів, які мають вигляд добутків додатних степенів внутрішніх радіусів областей відносно виділених точок (полюсів), які утворюють відповідну систему, а також характеристика екстремальних конфігурацій для цих функціоналів. Основними методами дослідження є: методи класичного аналізу, методи теорії квадратичних диференціалів, методи теорії потенціалу, варіаційні та симетризаційні методи геометричної теорії функцій комплексної змінної.

Наукова новизна одержаних результатів. Всі основні результати дисертації є новими. З них виділимо наступні:

1. Розв’язано екстремальну задачу для областей, які попарно не перетинаються з вільними полюсами на так званих “рівномірно променевих системах точок” (теорема 2.1).

2. Для “рівномірно променевих систем точок” розв’язано екстремальну задачу так званого “мішаного типу”, тобто таку, що в ній деякі полюси є вільними, а інші – фіксовані (теореми 2.2 – 2.4).

3. Розв’язано екстремальну задачу для областей, які попарно не перетинаються з вільними полюсами, що рухаються по “рівномірно променевих системах точок” у кільці (теорема 3.1).

4. Розв’язано досить загальну аналогічну задачу для добутку внутрішніх радіусів областей, що належать одиничному кругу (теореми 3.2, 3.3).

5. Повністю розв’язано екстремальні задачі з вільними полюсами на одиничному колі у випадку трьох та чотирьох областей, які попарно не перетинаються (теореми 3.4 – 3.6).

6. Розв’язано екстремальну задачу для областей, які попарно не перетинаються з вільними полюсами на так званих “довільних променевих системах точок” (теореми 4.1, 4.2).

Практичне значення одержаних результатів. Результати роботи мають теоретичний характер. Одержані результати можуть бути використані для подальшого розвитку геометричної теорії функцій комплексної змінної. Вони можуть знайти своє застосування в голоморфній динаміці.

Особистий внесок здобувача. Визначення напряму дослідження, постановка основних задач належать науковому керівнику – кандидату фізико-математичних наук О.К. Бахтіну. Результати робіт [1, 2, 4 – 7, 9], за виключенням результатів, в яких конкретно вказаний їх автор, отримані дисертантом спільно з О.К. Бахтіним, причому внесок обох співавторів однаковий (ці результати наведено в розділі 2, підрозділи 2.2 та 2.3; розділі 3, підрозділи 3.5 та 3.6; розділі 4, підрозділ 4.3). Всі інші результати роботи належать дисертанту.

Апробація результатів дисертації. Основні результати дисертації доповідалися на:

1. Багатьох засіданнях семінару відділу комплексного аналізу та теорії потенціалу Інституту математики НАН України (керівники семінару – доктор фізико-математичних наук, професор П.М. Тамразов, доктор фізико-математичних наук Ю.Б. Зелінський);

2. Семінарі відділу теорії функцій Інституту математики НАН України (керівник семінару – член-кореспондент НАН України О.І. Степанець);

3. Львівському міжвузівському семінарі з теорії аналітичних функцій (Львівський національний університет, керівник семінару – доктор фізико-математичних наук, професор А.А. Кондратюк);

4. Міжнародній конференції “Комплексний аналіз та теорія потенціалу” (7 – 12 серпня 2001 р., м. Київ);

5. Українському математичному конгресі-2001 (секція № 4, Комплексний аналіз та теорія потенціалу, 21 – 23 серпня 2001р., м. Київ);

6. Міжнародній школі “Потенціальні течії та комплексний аналіз” (23 – 29 вересня 2002 р., м. Київ);

7. Другій міжнародній конференції “Математичний аналіз та економіка” (1 – 4 квітня 2003 р., м. Суми);

8. Міжнародній школі “Теорія потенціалу та течії з вільною межею” (19 – 27 серпня 2003 р., м. Київ);

9. Міжнародній школі “Течії з вільною межею та суміжні питання аналізу” (25 – 30 вересня 2005 р., м. Київ).

Публікації. Основні результати дисертації опубліковано в фахових виданнях [1 – 3], у Збірнику наукових праць Інституту математики НАН України [4], у збірнику наукових праць міжнародного конгресу [7], препринтах Інституту математики НАН України [5, 6] та в тезах міжнародних конференцій [8 – 11].

Структура і загальний обсяг дисертації. Дисертація складається із вступу, чотирьох розділів, висновків та списку використаних джерел (83 найменування). Загальний обсяг дисертації – 143 сторінки.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

Перший розділ дисертації присвячений огляду літератури за темою роботи.

У підрозділі 1.1 дається історичний огляд напряму дослідження та сформульовано піонерські теореми М.О. Лаврентьєва та Г.М. Голузіна, з яких більше ніж 70 років тому почався його розвиток.

Підрозділ 1.2 знайомить читачів з основами теорії квадратичних диференціалів, а саме: з поняттями квадратичного диференціалу, траєкторії, ортогональної траєкторії та кругової області квадратичного диференціалу. В цьому підрозділі розглянута також локальна структура траєкторій квадратичного диференціалу поблизу нуля та полюсів першого та другого порядків.

В підрозділі 1.3 розглянуто основні використовувані в роботі класичні результати по цій тематиці.

В підрозділі 1.4 вводиться в розгляд основний метод роботи – метод кусочно-поділяючого перетворення, розробленого В.М. Дубиніним у 1978 році. Докладно розглядаються частинні випадки цього методу, необхідні в роботі.

Другий розділ дисертації присвячено розв’язанню екстремальних задач на так званих рівномірно променевих системах точок.

Сформулюємо основні означення, які розміщені в підрозділі 2.1.

Нехай відповідно, множини натуральних, дійсних та комплексних чисел. В розширеній комплексній площині розглянемо довільну область . Функцію Гріна (взагалі кажучи узагальнену) для області з полюсом в точці позначимо через . Тоді для довільної скінченної точки справедлива асимптотична формула

де – стала Робена області . Якщо ж то справедлива формула

Наслідуючи В. К. Хеймана та В. М. Дубиніна величину будемо називати внутрішнім радіусом області відносно точки та позначати .

Означення 2.2. Пару будемо називати відміченою областю .

Будемо вважати, що тоді і тільки тоді, коли та

Означення 2.3. Внутрішнім радіусом відміченої області назвемо внутрішній радіус області відносно точки .

Нехай надалі . Розглянемо упорядкований набір відмічених областей . Кожному набору співставимо наступні упорядковані набори . Систему , назвемо системою полюсів а набір – системою областей для набору

Для довільних поняття рівності визначимо наступним співвідношенням: , .

Означення 2.4. Системою неперетинних областей або коротко с. н. о. будемо називати скінченний набір довільних (взагалі кажучи багатозв'язних) областей таких, що ш, , .

Означення 2.5. Множину всіх наборів точок таких, що , позначимо . Такі системи точок будемо називати рівномірно променевими системами точок.

На наборі точок визначимо функціонал |

(1)

де

При фіксованому розглянемо множину всіх наборів , які задовольняють умови:

Позначимо через множину всіх упорядкованих наборів відмічених областей які задовольняють умови: є с. н. о. та .

Також, позначимо через підмножину множини , взяту із всіх наборів що задовольняють умови: 1). 2).

Нехай позначає множину всіх упорядкованих наборів таких, що є с. н. о. та .

В дисертаційній роботі використовується поняття операції заповнення несуттєвих граничних компонент, яка була введена у розгляд в роботах О.К. Бахтіна. Результат виконання операції заповнення несуттєвих граничних компонент будем позначати .

У підрозділі 2.2 доведено основний результат, а також його наслідки, для рівномірно променевих систем точок. Сформулюємо його.

Теорема 2.1. Для довільних , , та всіх наборів із системою полюсів такою, що , справедлива нерівність

, | (2)

де , , , а , – система кругових областей квадратичного диференціалу

.

Знак рівності в (2) досягається тоді і тільки тоді, коли і логарифмічна ємність множини всіх несуттєвих граничних компонент дорівнює нулеві.

В підрозділі 2.3 розв’язана так звана “комбінована” задача для рівномірно променевих систем точок, тобто розглядається випадок, коли полюсів вільно рухаються по рівномірній променевій системі та ще полюси є фіксованими, а саме: , В цьому випадку справедлива теорема.

Теорема 2.2. Нехай , . Тоді для всіх наборів таких, що

,

де справедлива нерівність

де а – система кругових областей квадратичного диференціалу

а – корінь рівняння

У підрозділах 2.4 та 2.5 розв’язано екстремальні задачі, аналогічні попередній. Зокрема, в підрозділі 2.4 розв’язано дві екстремальні задачі з вільними полюсами на рівномірно променевій системі та фіксованими полюсами, а саме: перша задача – з , друга задача – з , , в підрозділі 2.5 розв’язано екстремальну задачу з вільними полюсами на рівномірно променевій системі та фіксованими полюсами, а саме: ,

Третій розділ дисертації присвячено розв’язуванню екстремальних задач, які так чи інакше пов’язані з одиничним колом або кільцем.

У підрозділі 3.1 додатково вводяться класи відмічених областей, які не розглядалися нами у підрозділі 2.1, але необхідні для цього розділу. Наведемо означення цих класів.

Позначимо через одиничне коло -площини.

Для кожного , , множину всіх наборів точок таких, що позначимо .

Тепер введемо клас , який є підкласом класу , введеного нами у підрозділі 2.1.

Для довільних , множину всіх наборів точок таких, що , , будемо позначати . Такі системи точок будемо називати рівномірно променевими системами точок з вільними полюсами в кільці.

На класі також будемо розглядати функціонал , введеного нами у підрозділі 2.1 формулою (1).

Позначимо множину всіх упорядкованих наборів відмічених областей таких, що є с. н. о. та .

Розглянемо тепер клас , введений нами у підрозділі 2.1.

Позначимо множину всіх упорядкованих наборів відмічених областей , які задовольняють умову .

У підрозділі 3.2 розв’язано екстремальну задачу з вільними полюсами, що належать деякому кільцю . Сформулюємо цей результат.

Теорема 3.1. Для довільних чисел та для довільних упорядкованих наборів відмічених областей справедлива нерівність

,

де та – відповідно, кругові області та полюси квадратичного диференціалу

У підрозділі 3.3 доведено дві теореми, щодо вільних полюсів, для яких області належать одиничному кругу. Спочатку, для довільного фіксованого числа , , на класі відмічених областей , запишемо таку сукупність умов: |

(3)

де функція визначена формулою (1). Сформулюємо основний результат цього підрозділу.

Теорема 3.2. Нехай , . Тоді для довільних впорядкованих наборів відмічених областей компоненти яких задовольняють умови (3) справедлива нерівність

де та , відповідно, кругові області та полюси квадратичного диференціалу

У підрозділі 3.4 розв’язана екстремальна задача про чотири вільні полюси на одиничному колі. Сформулюємо відповідну теорему.

Теорема 3.4. Для довільного числа і довільного упорядкованого набору відмічених областей такого, що

,

справедлива нерівність

,

де області , є круговими областями квадратичного диференціалу

а

У підрозділі 3.5 розглянута екстремальна задача про три вільні полюси на одиничному колі. Розв’язок цієї задачі дає така теорема.

Теорема 3.5. Нехай довільне число . Тоді для довільного впорядкованого набору відмічених областей , компонента якого задовольняє умову:

,

справедлива нерівність

де області та точки є, відповідно, круговими областями та полюсами квадратичного диференціалу

а

У підрозділі 3.6 доводиться теорема, яка є розв’язком екстремальної задачі про чотири вільні полюси на одиничному колі для функціоналу, який залежить не тільки від внутрішніх радіусів областей відносно точок, а й від відстаней між цими точками. Сформулюємо цю теорему.

Теорема 3.6. Для будь-яких невід’ємних чисел і довільного впорядкованого набору відмічених областей , для компоненти якого виконується умова:

,

справедлива нерівність

|

(4)

де області та точки , є, відповідно, круговими областями та полюсами квадратичного диференціалу

Знак рівності в (4), з точністю до повороту комплексної площини навколо початку координат, досягається тоді, коли cap, – замкнута множина у відносній топології в

Четвертий розділ дисертації присвячений розв’язуванню екстремальних задач на довільних променевих системах точок. Також, у цьому розділі наводяться точні числові оцінки деяких функціоналів, які розглядаються у роботі.

У підрозділі 4.1 додатково вводяться деякі поняття, необхідні для цього розділу, які не розглядалися у підрозділах 2.1 та 3.1. Наведемо їх.

Означення 4.1. Для кожного множину всіх наборів точок таких, що позначимо . В подальшому набори точок будемо називати променевими системами точок.

Для кожної променевої системи точок розглянемо множину числових параметрів, які геометрично характеризують дану систему. Нехай , Очевидно, що

Для променевої системи означимо функціонал:

де Легко бачити, що функціонал є узагальненням функціоналу який введений нами в підрозділі 2.1, на випадок довільної променевої системи точок

Нехай позначає множину всіх упорядкованих наборів відмічених областей таких, що є с. н. о. та .

У підрозділі 4.2 доводяться два допоміжних результати, необхідних для подальшої роботи, один з яких можна отримати з робіт інших авторів. Але в цих роботах доведення дуже коротке, тому для повноти і логічності викладення матеріалу дисертації наведено повне доведення даного результату, яке було отримано нами незалежно і іншим методом.

Підрозділ 4.3 безпосередньо присвячений розв’язуванню екстремальних задач на довільних променевих системах точок. Сформулюємо основний результат цього розділу.

Теорема 4.1. Нехай , та . Тоді для всіх впорядкованих наборів відмічених областей з променевою системою такою, що

справедлива нерівність

, | (5)

де , а області , є круговими областями квадратичного диференціалу

В теоремі 4.1 накладено обмеження на степінь . Виникає питання, чи можна при певних умовах зменшити це обмеження на степінь. Відповідь на це питання дає така теорема.

Теорема 4.2. Для довільних чисел , та , і всіх упорядкованих наборів відмічених областей з променевою системою , для якої виконуються умови:

справедлива нерівність (5).

Наведемо тепер результат, який є точною числовою оцінкою зверху функціоналу для теореми 4.1.

Наслідок 4.1. Для будь-яких чисел та , для всіх наборів відмічених областей з променевою системою такою, що

справедлива нерівність

У підрозділі 4.4 наводяться деякі точні оцінки розглянутих у роботі функціоналів. Тут ми наведемо тільки оцінки зверху функціоналів для теореми 2.1.

Наслідок 4.17. З умов теореми 2.1 випливає така оцінка:

. | (6)

Причому знак рівності в нерівності (6) має місце для тих і тільки тих відмічених областей , для яких він досягається і в нерівності (2).

Слід відмітити, що до кожного результату роботи можна отримати як його простий наслідок новий результат на класі однолистих функцій. Деякі з таких наслідків отримано безпосередньо у дисертаційній роботі.

ВИСНОВКИ

Отже, у даній дисертаційній роботі отримано такі результати.

1. Розв’язано екстремальну задачу для областей, які попарно не перетинаються з вільними полюсами на рівномірно променевих системах точок (теорема 2.1).

2. Для рівномірно променевих систем точок розв’язано екстремальну задачу так званого “мішаного типу”, тобто для неї деякі полюси є вільними, а інші – фіксовані (теореми 2.2 – 2.4).

3. Розв’язано екстремальну задачу для областей, які попарно не перетинаються з вільними полюсами, що рухаються по рівномірно променевих системах точок у кільці (теорема 3.1).

4. Розв’язано досить загальну аналогічну задачу для добутку внутрішніх радіусів областей, що належать одиничному кругу (теореми 3.2, 3.3).

5. Повністю розв’язано екстремальні задачі з вільними полюсами на одиничному колі у випадку трьох та чотирьох областей, які попарно не перетинаються (теореми 3.4 – 3.6).

6. Розв’язано екстремальну задачу для областей, які попарно не перетинаються, з вільними полюсами на довільних променевих системах точок (теореми 4.1, 4.2).

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

Основні результати дисертації опубліковано в таких роботах:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

Таргонський А.Л. Екстремальні задачі теорії однолистих функцій. – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01. 01. 01 – математичний аналіз. – Інститут математики НАН України, Київ, 2006.

Робота присвячена проблемі розв’язування екстремальних задач на системах областей, які попарно не перетинаються, в розширеній комплексній площині.

Досліджується проблема максимізації за даними додатними степенями внутрішніх радіусів областей, які попарно не перетинаються, відносно деякої системи точок всередині їх. Деякі точки є фіксовані, а інші (їх називають “вільними полюсами”) – не фіксовані. Зокрема, системи точок з рівномірно розподіленими аргументами “вільних полюсів” є також цікавими. В термінах квадратичних диференціалів ми дали повний опис екстремальних конфігурацій в розглянутих проблемах. Також розв’язано деякі інші задачі на системах областей, які попарно не перетинаються

Ключові слова: внутрішній радіус області, квадратичний диференціал, кусочно-поділяюче перетворення, функція Гріна, променева система точок, логарифмічна ємність, варіаційна формула.

Таргонский А. Л. Экстремальные задачи теории однолистных функций. – Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01. 01. 01 – математический анализ. – Институт математики НАН Украины, Киев, 2006.

Работа посвящена проблеме решения экстремальных задач со “свободными” полюсами на системах попарно непересекающихся областей.

Пусть – множества натуральных, действительных и комплексных чисел соответственно. В работе решена следующая задача для равномерно лучевой системы точек, найдено максимум функционала , где , – внутренний радиус области относительно точки , точки , и области , удовлетворяют условиям: , ш, ш Также рассмотрено ряд следствий этого результата.

Получена точная оценка сверху в случае “комбинированной” задачи (ряд полюсов фиксированно, а ряд – нет) для равномерно лучевых систем точек, функционала, где области и точки удовлетворяют условиям, описанным выше и, кроме этого, , – фиксированное положительное число. Также рассмотрены аналогичные “комбинированные” задачи, в которых отсутствует либо один из радиусов , либо оба.

Найдены максимумы, для равномерно лучевых систем точек, функционала , при условиях описанных в первой задаче и при дополнительном условии: , где – фиксированные положительные числа, причем , а также, функционала , аналогично, при условиях, описанных в первой задаче и при дополнительном условии: . Рассмотрено следствие при

Для функционалов, подобных вышеуказанным, на классе взаимно непересекающихся областей, найдены максимумы, а также указаны экстремальные конфигурации в случаях трех и четырех “свободных” полюсов, принадлежащих единичной окружности.

Получены оценки сверху для произвольной лучевой системы точек функционала , при условиях, описанных в первой задаче для ; а также, при дополнительных ограничениях на саму лучевую систему точек, для . Также, рассмотрено ряд важных следствий из этих результатов.

Ключевые слова: внутренний радиус области, квадратичный дифференциал, кусочно-разделяющее преобразование, функция Грина, лучевая система точек, логарифмическая емкость, вариационная формула.

Targonskii A. L. Extremal problems of the univalent theory functions. – Manuscript.

The thesis for obtaining the Candidate of Physical and Mathematical Sciences degree on the speciality 01. 01. 01 – Mathematical Analysis. – Institute of Mathematics, National Academy of Sciences of Ukraine, Kiev, 2006.

The thesis is devoted to solving new extremal problems on disjoint domains in the extended complex plane.

We study the maximization problem for given positive powers of the inner radii of disjoint domains with respect to some systems of points inside them. Some of these points are constant and other ones (called “free poles”) are not fixed. Systems of points with uniformly distributed arguments of “free poles” are of particular interest. In terms of quadratic differentials, we give complete description of extremal configurations in the problems under consideration. Some other problems on disjoint domains are also investigated.

Key words: inner radius of domain, quadratic differential, piecewise-separating transformation, the Green function, radial systems of points, logarithmic capacity, variational formula.