Київський національний університет

iменi Тараса Шевченка

ВОЛЧКОВ Сергій Олександрович

УДК 517.929.4:519.21

ДОСЛІДЖЕННЯ СТІЙКОСТІ ТА СПОСТЕРЕЖЕНОСТІ НЕЧІТКИХ ДИСКРЕТНИХ СИСТЕМ

01.05.04 – системний аналіз i теорія оптимальних рішень

А В Т О Р Е Ф Е Р А Т

дисеpтацiї на здобуття наукового ступеня

кандидата фiзико-математичних наук

Київ – 2006

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Київському національному університеті iменi Тараса Шевченка на кафедрі системного аналізу та теорії прийняття рішень.

Науковий керівник: кандидат фізико-математичних наук, доцент

Івохін Євген Вікторович,

доцент кафедри системного аналізу та теорії прийняття рішень Київського національного університету імені Тараса Шевченка.

Офiцiйнi опоненти:

доктор фізико-математичних наук, професор

Валєєв Кім Галямович,

завідувач кафедри вищої математики Київського національного економічного університету,

доктор фізико-математичних наук, професор

Бєлов Юрій Анатолійович,

завідувач кафедри теоретичної кібернетики Київського національного університету імені Тараса Шевченка.

Провідна установа:

Ужгородський національний університет, математичний факультет, кафедра системного аналізу і теорії оптимізації.

Захист відбудеться “16” лютого 2006 року о 15.30 год. на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.001.35 при Київському національному університеті імені Тараса Шевченка, за адресою: 03127, Київ, проспект академіка Глушкова, 2, корпус 6, факультет кібернетики, ауд. 40 ( е-mail: ).

З дисертацією можна ознайомитись у Науковій бiблiотецi Київського національного університету імені Тараса Шевченка за адресою: 01033, Київ, вул. Володимирська, 58.

Автореферат розісланий "12" січня 2006 року.

Вчений секретар

Спецiалiзованої вченої ради Д 26.001.35 |

Зінько П.М.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Математичне моделювання різних фізичних явищ містить два принципові етапи, які приводять до необхідності врахування складності та невизначеності систем. Перший з них об’єктивно обумовлений невідомою точною поведінкою процесів, що моделюються. Це, в свою чергу, веде до неможливості сформулювати точний вигляд моделі фізичного процесу та до некоректності використання обраних моделей на практиці, що пояснюється наявністю в них багатьох невизначеностей. Другий етап, пов‘язаний з проблемою адекватності математичного моделювання реальних систем, полягає в суб‘єктивній неспроможності оцінювати події процесів абсолютно точно. Неясність, нечіткість поведінки системи, відсутність достатньої інформації для моделювання процесів не дозволяють коректно описувати моделі в рамках традиційних підходів, що враховують невизначеність. Останнім часом для вирішення цих проблем досить широко використовується теорія нечітких множин.

Існує багато підходів до побудови та математичної обґрунтованості загальної теорії нечітких множин. В більшості наукових досліджень застосовується традиційне визначення поняття “нечіткої множини”, в якому використовується узагальнене поняття належності, яке ввів Заде Л.А.. Треба відмітити, що аксіоматика цієї теорії досить повно вивчена в роботах Лакшмікантама В. та Пушкова С.Т., а область застосування нечітких множин постійно розширюється завдяки залученню основних принципів теорії до аналізу економічних, екологічних, соціальних, політичних та інших систем.

Для динамічних систем, які по своїй природі є достатньо складними і погано визначеними, логічно використовувати нечітких підхід, при якому неточність задання параметрів моделі описується в термінах теорії нечітких множин.

Використання теорії нечітких множин, яка є логічним доповненням теорії ймовірності та теорії прийняття рішень, дозволяє вирішувати складні недостатньо формалізовані задачі на основі нових конструктивних підходів. Серед досліджень вчених, що працюють в цьому напрямку, варто зазначити роботи Наконечного О.Г., Бєлова Ю.А., Донченка В.С., Мартинюка А.А., Червака Ю.Ю., а також роботи Алтунина А.Е., Вострова Н.Н, Кучина Б.Л., Борщевича В.И., Ботнаря В.И., Ягера Р.Р. .

Якісне дослідження динаміки процесів, що описуються системами рівнянь різних типів, відображено в роботах багатьох авторів. Серед них добре відомі роботи Валєєва К.Г., Гаращенко Ф.Г., Хусаїнова Д.Я., Бойчука О.А. та інших.

Разом із тим, при роботі з нечіткими множинами потрібно відмитити ряд проблем:

відсутність стандартних методів побудови нечітких множин; неможливість проведення аналізу традиційними математичними методами; відсутність визначення всіх математичних операцій над нечіткими елементами; неможливість конструктивної побудови і оцінки функції належності для формування нечіткої множини.

Актуальність і недослідженість нечітких динамічних систем визначили вибір теми, мети і задач дисертаційної роботи, а також її теоретичну і методичну основу.

Мета і задачі дослідження. Метою роботи є дослідження динаміки нечітких систем за допомогою нечітких множин з нечіткою початковою інформацією, результати якого можуть бути використані для розв’язання багатьох математичних задач динаміки та прийняття рішення.

Об’єкт і предмет дослідження. Об’єктом дослідження даної роботи є нечіткі різницеві моделі динамічних систем. Предмет дослідження – процедури та алгоритми формалізації моделей нечітких різницевих динамічних систем; розв‘язання задач аналізу якісної поведінки розв’язків нечітких різницевих систем.

Методи дослідження. Теоретичною основою досліджень за темою дисертаційної роботи стали праці провідних вітчизняних та зарубіжних вчених в області теорії нечітких множин, теорії прийняття рішень та дослідження динамічних систем.

Наукова новизна. У дисертаційній роботі вперше побудована теоретична база для розв’язку задач моделювання динаміки та якісного дослідження нечітких дискретних різницевих систем.

Для нечіткої дискретної різницевої системи, що застосовується для опису динаміки ситуацій прийняття рішень, на основі експертної інформації запропоновано підходи для формалізації правил зміни станів системи у вигляді двох схем, які використовують методи експертного опитування та теорії прийняття рішень. Запропонована методика використана для опису динаміки переходів нечіткої різницевої системи із одного стану в інший.

Формалізована і розв’язана задача уточнення моделей динаміки нечітких дискретних різницевих систем. Запропонована адаптована процедура обчислення узгодженості оцінки результатів групового опитування експертів.

Досліджено стійкоподібні властивості розв’язків нечіткої різницевої системи для випадків, коли система має і не має регулярної траєкторії. Сформульовані і доведені твердження для стійкості (асимптотичної стійкості) за Ляпуновим розв’язків нечіткої різницевої системи. Запропоновано процедуру побудови функції Ляпунова для нечіткої дискретної різницевої системи спеціального вигляду.

Сформульована і досліджена задача спостереження в нечіткій невизначеній системі. Розглянуто об’єкт спостереження, динаміка якого описується невизначеною нечіткою різницевою системою. Отримано твердження про властивості рішення задачі спостереження.

Практичне значення одержаних результатів полягає у створенні теоретичного апарату та алгоритмічних засобів для формалізації і дослідження динаміки нечітких різницевих систем. Отримані результати можуть бути застосовані для дослідження динамічних систем з невизначеностями.

Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертаційна робота виконана на кафедрі системного аналізу та теорії прийняття рішень факультету кібернетики Київського національного університету імені Тараса Шевченка і є частиною досліджень наукової держбюджетної теми №01БФ015-01 “Розвиток теорії і програмного забезпечення стохастичних та алгебраїчних систем із застосуванням в економіці, соціології, техніці та освіті” (номер держреєстрації – №0101U002173).

Особистий внесок здобувача. Дисертаційна робота є самостійною закінченою науковою працею. Всі результати дослідження отримані автором особисто або за особистою участю автора. У працях та доповідях, що написані в співавторстві, автору належать формулювання способів формалізації процесів динаміки в нечітких дискретних різницевих системах; розробка методу уточнення моделей з урахуванням оцінки узгодженості думок експертів; доведення результатів якісного аналізу розв’язків нечітких різницевих систем; адаптація методики дослідження задачі спостереження в нечітких системах для невизначених нечітких систем; практичне застосування результатів дослідження для аналізу процесів плазми в приелектродному шарі та для управління робочою множиною процесів в Windows-середовищах.

Апробація результатів дисертації. Результати, які викладені в дисертації, доповідались на: конференції молодих вчених НТУ “Київського політехнічного інституту” (Київ, червень 2002), Міжнародній конференції “Шості Боголюбовські читання” (Чернівці, серпень 2003), Міжнародній конференції “Dynamic System Modeling and Stability Investigation” (Київ, травень 2003), Міжнародній конференції “VII Крымская Международная математическая школа: Метод функций Ляпунова и его приложения” (Алушта, вересень 2004), II-міжнародній школі-семінарі Теорії прийняття рішень (Ужгород, вересень 2004), Міжнародній науково-практичній конференції, присвяченій 170-річчю КНУ імені Тараса Шевченка та 60-річчю Інституту міжнародних відносин “Моделювання міжнародних відносин” (Київ, 2004), науковому семінарі кафедри системного аналізу та теорії прийняття рішень (наук. кер. професор Наконечний О.Г.) та науковому семінарі моделювання нетрадиційних динамічних систем (наук. кер. професор Хусаїнов Д.Я.) факультету кібернетики Київського національного університету імені Тараса Шевченка.

Публікації. За темою дисертації опубліковано 8 наукових праць. З них – 3 статті в наукових фахових виданнях затверджені ВАК України, 5 – у матеріалах міжнародних наукових конференцій.

Обсяг і структура дисертації. Дисертаційна робота складається з вступу, чотирьох розділів, висновку та списку використаних джерел. Основний текст викладений на 100 сторінках і містить 17 рисунків. Список використаних джерел складається з 89 найменувань.

СНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі до роботи обґрунтовано актуальність теми дисертації, наведено стислий огляд наукових результатів у відповідній галузі, сформульовано мету та задачі дослідження, його наукову новизну.

Перший розділ дисертаційної роботи присвячений огляду літератури, зв’язаної з нечіткими множинами і нечіткими динамічними системами. У розділі коротко розглянуто наукові результати, отримані дослідниками в даному напрямку, а саме: аксіоматика нечітких множин, основні поняття і визначення, використання нечітких множин, невизначені нечіткі множини, взаємне представлення нечітких та невизначених нечітких множин, нечіткі динамічні системи. Треба відмітити, що новим напрямком в області узагальнення нечіткості є поняття невизначених нечітких множин, основною ідеєю побудови яких є ієрархічне представлення нечіткості (неточності, невизначеності).

Наведемо основні поняття. Нехай – скінченновимірний нормований простір над полем дійсних чисел.

Визначення 1. Нечіткою множиною універсальної множини, називається сукупність пар, де – відображення множини в одиничний відрізок [0,1], яке називається функцією належності нечіткої множини .

Визначення 2. Нечітким відображенням з в довільний скінченновимірний простір називається нечітка множина в з функцією належності:

.

Визначення 3. Невизначеною нечіткою множиною в будемо називати множину, в якій для кожного значення функції визначає рівень достовірності того, що величина задає ступінь включення до нечіткої множини .

У другому розділі дисертаційної роботи розглянуто моделі, властивості розв’язків та неперервність розв’язків нечітких систем. Для опису функціонування процесів та явищ нечітких динамічних систем можуть бути використані нечіткі неперервні, нечіткі різницеві або нечіткі матричні диференціальні рівняння. Використання диференціального аналога при роботі з нечіткими множинами, в загальному випадку, має більш теоретичний характер. Тому зосереджено увагу на досліджені нечітких різницевих моделей з неперервними та дискретними універсальними множинами .

Нехай множина, де – деяке наперед задане додатне число, що визначає дискретні моменти часу. Позначимо через послідовність моментів часу з , впорядкованих за зростанням.

Розглядається наступна нечітка різницева система:

, (1)

де – компактна множина початкових станів, – сукупність усіх нечітких множин, – нечіткі множини в можливих станів системи в моменти часу, що визначають розв’язки системи, – деякі нечіткі відображення з в , що визначають переходи системи,. В загальному випадку, операція “” означає максимальну композицію і для (1) має вигляд . Зокрема, операція композиції “” може бути визначена конкретними алгоритмами в залежності від властивостей системи (1).

Визначення 4. Траєкторією системи (1) назвемо послідовність, для елементів якої справедливі співвідношення:

. (2)

Варто помітити, що будь-який розв’язок системи (1) складається із множини траєкторій.

Визначення 5. Траєкторію системи (1) будемо називати регулярною, якщо для її елементів справедлива умова:

. (3)

Визначення 6. Оператори є неперервними на розв’язках системи (1), якщо невеликій зміні значення функції належності нечіткої множини відповідають невеликі зміни значень функцій належності нечітких множин.

Лема 1. Нечітка різницева система (1) за умов неперервності операторів завжди має розв’язок, який, взагалі кажучи, може бути неєдиним для заданих початкових даних .

Нечітка різницева система (1) за певних умов описує динаміку ситуацій прийняття рішень і може бути переписана у вигляді моделі динаміки змін функцій належності:

, (4)

де – оператори, що визначають зміну значень функцій належності – вектор-функції належності нечітких множин в моменти часу відповідно. Запропонована модель (4) є допустима за умови визначення правил побудови та дії операторів.

Для забезпечення функціональності системи в якості операторів моделі (4) розглянуто однорідні оператори з квадратними матрицями

, (5)

Для нечіткої різницевої системи вигляду

, (6)

де є неперервним на Х, апріорі невідомим оператором, який визначає нечіткість переходів в різницевій системі, сформульовані і доведені твердження неперервності розв’язків.

Твердження 1. Припустимо, що для

, (7)

де – неперервна додатня функція в області визначення і є неспадною за для кожного . Нехай – максимальний розв’язок скалярного дискретного рівняння:

. (8)

Тоді для кожного маємо

, (9)

Визначено, що для системи (4) неперервність розв’язків дискретних систем визначається відповідними властивостями функції належності , що, в свою чергу, гарантується неперервністю операторів.

В третьому розділі дисертаційної роботи формалізовані динамічні моделі нечітких різницевих систем, розглянуто задачу уточнення моделей нечітких різницевих систем, одержані умови стійкості розв’язків нечітких різницевих систем та отримано розв’язок задачі спостереження в невизначених нечітких різницевих системах.

Для нечіткої різницевої системи (4), що застосовується для опису динаміки ситуацій прийняття рішень, запропоновано підходи для формалізації дій операторів, у вигляді двох алгоритмів, що базуються на методах експертного опитування та теорії прийняття рішень.

Алгоритм 1. Нехай на –тому кроці, проведено дослідів (експериментів), в рамках яких визначалися співвідношення станів нечіткої системи (4), наприклад, методом парних порівнянь. Припущено, що для кожного зі станів, отримано показники, які інтерпретуються таким чином:–

задає кількість експериментів, які визначають, що система залишається у стані ;–

задає кількість дослідів (голосів), що віддають перевагу стану перед станом .

В результаті такої обробки даних отримано матрицю.

Використовуючи дії над нечіткими множинами, визначено:–

операцію додавання двох нечітких елементів і з у вигляді:

, (10)–

операцію множення елемента на ціле число:

. (11)

З використанням наведених операцій (10) та (11) з нечіткими елементами для матриць заданої структури, дискретна система (5) набуває вигляду

. (12)

Динаміка системи (12) дає змогу обчислювати зміни значень функції належності елементів , нечітких множин. В запропонованій моделі, значення функції належності кожного елемента залежить від значень функції належності інших елементів, а розрахунок значень співпадає з звичайною схемою множення матриці на вектор з урахуванням введених в (10), (11) операцій з нечіткими елементами.

Розглянуті операції з нечіткими елементами дозволяють моделювати динаміку системи (4), але вони не дають можливості оцінювати вплив співвідношення результатів дослідів (експериментів) на розвиток процесу.

Для врахування даних опитування в системі (5) і формування відповідних елементів матриць , використовується метод максимізуючої множини, схема якого на кожному кроці матиме наступний вигляд.

Алгоритм 2. Нехай на –тому кроці, , для заданих станів системи проведено голосування (опитування) експертів, за яким визначалась можливість переходу системи із стану, у стан. Кількість голосів, що визначають таку можливість, позначено через. В результаті отримані матриці моделі (5).

Правила змін нечітких станів системи (4) визначаються за умови наявності інформації про вигляд матриць. Стан системи (як вже було сказано вище) описується нечіткою множиною,. Використано дані про стан об’єкту і сформульовано нечіткі множини наступного вигляду

,. (13)

Визначення 7. Максимізуючою множиною для множини називається нечітка множина, ступінь належності до якої кожного елемента відображає, в деякому розумінні, близькість до .

Визначено множину , що містить всі значення елементів заданої матриці

. (14)

Позначено. Визначено максимізуючі множини для кожного :

. (15)

На основі перетину нечітких множин та визначено нечіткі

. (16)

для яких .

Таким чином, нечітка множина, де, задає наступне значення нечіткого стану системи (4).

Запропонована методика використана для розрахунку переходів нечіткої різницевої системи з одного стану в інший. Проаналізовані умови застосування двох із запропонованих алгоритмів.

Формалізована задача уточнення моделей нечітких дискретних різницевих систем, використовуючи процедури обчислення узгодженості результатів групового опитування експертів і вважаючи, що стани системи з часом не змінюються. В даному випадку моделювання процесу зміни функції належності нечітких множин розглянута за допомогою співвідношення:

, (17)

де – вектори показників достовірності того факту, що належить з мірою належності, – квадратні матриці розмірності , , – вектор розмірності.

В результаті застосування методики оцінювання групового опитування експертів отримані показники достовірності оцінок експертів, які використані в якості керуючих впливів, що дозволяє уточнити вигляд нечіткої дискретної різницевої моделі (17).

Для отримання більш загального і повного уявлення про стійкоподібні властивості нечітких систем розглянута нечітка різницева модель (1). Дослідженні різні випадки нечітких станів.

Випадок 1. Модель (1) має регулярну траєкторію, тобто існує траєкторія, , яка є регулярною траєкторією моделі (1).

Визначення 8. Регулярна траєкторія системи (1) називається стійкою за Ляпуновим, якщо такі, що для будь-якої траєкторії системи (1), початкові значення якої задовольняють нерівностям:

(18)

, (19)

для справедливі нерівності:

, (20)

,. (21)

Під в нерівностях (18), (20) розуміється евклідова норма простору .

Визначення 9. Регулярна траєкторія системи (1) називається асимптотично стійкою, якщо вона є стійкою і для будь-якої траєкторії тієї ж системи справедливі співвідношення:

(22)

(23)

Визначення 10. Регулярна траєкторія системи (1) називається стійкою (асимптотично стійкою) за степенем належності, якщо таке, що для будь-якої траєкторії системи (1), початкові значення якої задовольняють нерівності:

, (24)

для справедливі нерівності:

(25)

. (26)

Твердження 2. Якщо система (1) має регулярну траєкторію та існують функції та такі, що для будь-якої траєкторії системи (1) виконуються наступні співвідношення:

, (27)

то регулярна траєкторія системи є стійкою за Ляпуновим.

Сукупність функцій будемо називати функціями Ляпунова для нечіткої різницевої системи (1).

Твердження 3. Якщо система (1) має регулярну траєкторію та існують функції та такі, що для будь-якої траєкторії системи (1) виконуються наступні співвідношення:

, (28)

то регулярна траєкторія системи є асимптотично стійкою за Ляпуновим.

Твердження 4. Якщо система (1) має регулярну траєкторію та існує функція така, що для будь-якої траєкторії системи (1) виконуються наступні співвідношення:

, (29)

то регулярна траєкторія системи є стійкою (асимптотично стійкою) за степенем належності.

Випадок 2. Система (1) не має регулярної траєкторії. Це означає, що для будь-якої траєкторії системи (1) існує момент часу , що виконується нерівність. За таких умов розглянуто два випадки.

Випадок 2.1. Нехай множина містить множину початкових станів усіх траєкторій, для яких існує такий момент часу, що.

Визначення 11. Нечітка множина називається стійкою за Ляпуновим, якщо для будь-якої траєкторії, системи (1), початкові значення якої задовольняють нерівностям:

(30)

, (31)

для справедливі нерівності:

, (32)

де – відстань від точки до множини .

Вважаємо, що множина є компактною і позначимо через множину граничних точок множини .

Твердження 5. Якщо система (1) не має регулярної траєкторії, і для нечіткої множини початкових станів траєкторій існують функції та такі, що для будь-якої траєкторії системи (1), виконуються наступні співвідношення:

, (33)

то нечітка множина є стійкою за Ляпуновим.

Аналогічно до випадку дослідження стійкості за умов наявності регулярної траєкторії сформульовані додаткові визначення і твердження для асимптотичної стійкості та стійкості (асимптотичної стійкості) за степенем належності для нечіткої множини.

Випадок 2.2. Неможливо виділити множину початкових станів усіх траєкторій, для яких існує такий момент часу, що. В цьому випадку потрібно говорити про стійкість заданої нечіткої множини.

Позначено розв’язок системи (1) з початковими значеннями через, де.

Визначення 12. Нечітка множина називається стійкою (асимптотично стійкою) за степенем належності, якщо для довільного розв’язку системи (1), початкове значення якого задовольняє умові:

, (34)

для справедливе:

, (35)

. (36)

Твердження 6. Якщо для нечіткої множини початкових станів нечіткої дискретної системи (1) існує функція така, що для будь-якого розв’язку системи (1), виконуються наступні нерівності:

, (37)

то нечітка множина – стійка (асимптотично стійка) за степенем належності.

Розглянуто питання про побудову функції в різних випадках функціонування нечіткої різницевої системи.

В кінці розділу сформульовано і досліджено задачу спостереження в нечіткій невизначеній системі. Розглянуто об’єкт спостереження, динаміка якого описується невизначеною нечіткою різницевою системою:

, (38)

де – невизначена нечітка множина початкових станів; – невизначені нечіткі множини можливих станів системи в моменти часу, – деякі невизначені нечіткі відображення з в , що визначають переходи системи.

Твердження 7. Для довільного виходу, з рівнем достовірності, для якого справедливо, , де – нечіткі відображення, існує відповідного рівня достовірності траєкторія системи (6) з нормовано регулярним початковим станом, яка сумісна з заданим виходом.

Твердження 8. Справедливе співвідношення:

, (39)

де – регулярна невизначена нечітка множина початкових станів, сумісних з заданим виходом

. (40)

В четвертому розділі дисертаційної роботи розглянуто прикладні математичні моделі динаміки нечітких систем. Проведено дослідження процесів плазми в приелектродному шарі та змодельована робота менеджера віртуальної пам’яті під керуванням ОС Windows. Вибрані моделі вдало демонструють застосування запропонованих в роботі підходів для моделювання і дослідження нечітких динамічних різницевих систем.

Приелектродна плазма складається з частинок, рівень концентрацій яких зручно розглядати за допомогою функцій належності. Це дає змогу оцінювати поведінку плазми за часом лише за рахунок експертного оцінювання умов і параметрів фізичних процесів. Такий підхід звільняє від необхідності розгляду складної системи фізичних рівнянь, розв’язок якої можна отримати лише за рахунок наближених розрахункових методів з використанням ресурсоємкого комп'ютерного моделювання.

Модель менеджера віртуальної пам’яті під керуванням ОС Windows побудована для управління робочими множинами процесів, які складаються з сторінок оперативної пам’яті і поведінку яких можна аналізувати за допомогою динамічних різницевих систем з спеціальними функціями належності.

ВИСНОВКИ

У дисертації розглянуто задачі дослідження динаміки та якісного аналізу нечітких різницевих систем. Побудована теоретична база для розв’язування задач такого типу. Наведено прикладні математичні моделі динаміки нечітких систем, для розв’язання яких використовувались запропоновані методи і алгоритми.

Одержані наступні основні теоретичні і практичні результати.

Визначено поняття розв’язку та сформульовані властивості розв’язків для нечітких дискретних систем.

Сформульовано і доведено теореми про неперервність розв’язків нечітких різницевих систем. Визначено, що за умов, коли нечітка система описує динаміку ситуацій прийняття рішень, неперервність розв’язків визначається відповідними властивостями функції належності, що, в свою чергу, гарантується неперервністю операторів, які задають динаміку системи.

Запропоновано підходи для побудови нечітких операторів, що визначають динаміку нечітких різницевих систем на основі методів експертного опитування та теорії прийняття рішень.

Формалізовано задачу уточнення моделей нечітких дискретних систем, використовуючи процедури обчислення узгодженості результатів групового опитування експертів і вважаючи, що стани системи з часом не змінюються.

Досліджено стійкоподібні властивості нечітких різницевих систем. Сформульовані і доведені твердження про стійкість (асимптотичну стійкість) розв’язків за Ляпуновим нечітких різницевих систем для різних випадків поведінки системи.

Розв’язана задача спостереження в невизначених нечітких дискретних різницевих системах.

Розглянуто використання отриманих математичних моделей для опису динаміки нечітких систем. Досліджено моделі процесів плазми в приелектродному шарі і моделі роботи менеджера віртуальної пам’яті під керуванням ОС Windows.

ПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ РОБІТ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

Вадньов Д.О., Волчков С.О., Івохін Є.В. Про деякі задачі спостереження в динаміці дискретних невизначених нечітких систем // Вісник КНУ.– сер. фіз.–мат. науки.– вип. 3.– 2001.– С. 196-200.

Волчков С.О., Івохін Є.В. Про одну задачу дослідження стійкості нечітких динамічних систем // Вісник КНУ.– сер. фіз.–мат. науки.– вип. 4.– 2001.– С. 196-199.

Волчков С.О., Івохін Є.В. Дослідження однієї задачі динаміки нечітких дискретних систем // Вісник КНУ.– сер. фіз.-мат. науки.– вип. 3.– 2002.– С. 179-182.

Аджубей Л.Т., Волчков С.О., Івохін Є.В. Про одну задачу управління в нечітких дискретних системах прийняття рішень // Міжнародна науково-практична конференці, присвячена 170-річчю КНУ ім. Т.Г. Шевченка та 60-річчю Інституту міжнародних відносин “Моделювання міжнародних відносин”: Тез. допов.: К.: IMB. 2004 – С. 256.

Волчков С.О., Івохін Є.В. Окремі питання управління в нечітких дискретних системах // VII Крымская Международная математическая школа “Метод функций Ляпунова и его приложения”: Тез. докл.: Алушта, 11-18 сентября 2004г. / Таврический национальный ун.-т.– Симферополь, 2004.– С. 179.

Волчков С.О., Івохін Є.В. Дослідження стійкості нечітких лінійних систем // Міжнародна наукова конференція “Шості Боголюбовські читання”: Тез. докл.: Київ, 2003р. / Інститут математики НАН України, 2003.– С. 310.

Волчков С.О., Івохін Є.В. Дослідження стійкості нечітких динамічних систем // International Conference “Dynamic system modeling and stability investigation”: Thesis Reports: May 27-30. – Kyiv, 2003.– С. 55.

Волчков С.О., Івохін Є.В. Формалізація матричних операцій в нечітких дискретних системах // International Conference “Dynamic system modeling and stability investigation”: Thesis Reports: May 27-30.– Kyiv, 2003.– С. 56.

АНОТАЦІЯ

Волчков С.О. Дослідження стійкості та спостереженості нечітких дискретних систем. – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук із спеціальності 01.05.04 – системний аналiз i теорiя оптимальних рішень. – Київський національний університет iменi Тараса Шевченка, Київ 2006.

Дисертаційна робота присвячена дослідженню стійкості та спостереженості нечітких різницевих систем за допомогою теорії нечітких множин.

В дисертаційній роботі зосереджено увагу на дослідженні нечітких різницевих моделей з неперервними та дискретними універсальними множинами. Сформульовано умови, за яких нечітка система завжди має розв’язок, який, взагалі кажучи, може бути і неєдиним. Нечітка різницева система за певних умов описує динаміку ситуацій прийняття рішень і може бути визначена у вигляді моделі динаміки змін функцій належності. Для даної системи запропоновано підходи для формалізації дій операторів у вигляді двох алгоритмів, які використовують методи експертного опитування та теорії прийняття рішень.

Досліджено стійкоподібні властивості розв’язків нечіткої різницевої системи для випадків, коли система має і не має регулярної траєкторії. Сформульовані і доведені твердження про стійкість (асимптотичну стійкість) за Ляпуновим розв’язків нечіткої різницевої системи. Запропоновано процедуру побудови функції Ляпунова для нечіткої дискретної різницевої системи спеціального вигляду. Розв’язана задача спостереженості для невизначених нечітких різницевих динамічних систем.

Ключові слова: дискретна система, різницева система, стійкість, спостереженість, нечітка множина.

ННОТАЦИЯ

Волчков С.О. Исследование устойчивости и наблюдаемости нечетких дискретных систем. – Рукопись.

Диссертация на соискание научной степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.05.04 – системный анализ и теория оптимальных решений. – Киевский национальный университет имени Тараса Шевченко, Киев 2006.

Диссертационная работа посвящена решению задачи динамики и качественного исследования нечетких дискретных систем в виде теоретических разработок. Приведены прикладные математические модели динамики нечетких систем, для решения которых, использовались предложенные методы и алгоритмы.

В первом разделе диссертационной работы проведен обзор литературы, связанной с нечеткими множествами и нечеткими динамическими системами.

Во втором разделе рассмотрены модели, свойства решений и непрерывность решений нечетких систем. Для описания функционирования процессов и явлений нечетких динамических систем могут быть использованы нечеткие непрерывные, нечеткие разностные или нечеткие матричные дифференциальные уравнения. Использование дифференциального аналога при работе с нечеткими множествами, в общем случае, носит более теоретический характер. Поэтому внимание акцентируется на исследовании нечетких разностных моделей с непрерывными и дискретными универсальными множествами.

Для выбранной нечеткой разностной системы вводиться понятие траектории системы и регулярной траектории системы. Определено, что любое решение системы состоит из множества траекторий. Сформулированы условия, при которых нечеткая система всегда имеет решение, которое может быть и неединственным. Нечеткая разностная система при определенных условиях описывает динамику ситуаций принятия решений и может быть записана в виде модели динамики изменения функций принадлежности. Для данной системы определен вид и набор свойств линейности операторов, которые определяют динамику изменения функции принадлежности.

В третьем разделе рассмотрены формализация динамики ситуаций принятия решений в виде динамических моделей нечетких разностных систем, процедура уточнения моделей нечетких разностных систем, устойчивость решений нечетких разностных систем и наблюдаемость неопределенных нечетких разностных систем.

Для нечеткой дискретной разностной системы, которая применяется для описания динамики ситуаций принятия решений, предложены подходы для формализации арифметических действий с нечеткими дискретными множествами в виде двух алгоритмов, которые используют методы экспертного опроса и теории принятия решений.

Формализирована задача уточнения моделей нечетких дискретных разностных систем на основе процедуры вычисления оценки согласованности результатов группового опроса экспертов.

Исследованы устойчивоподобные свойства нечеткой разностной системы для случаев, когда система имеет и не имеет регулярной траектории. Сформулированы и доказаны теоремы для устойчивости (асимптотической устойчивости) по Ляпунову решений нечеткой разностной системы. Предложена процедура построения функции Ляпунова для нечеткой дискретной разностной системы специального вида.

Сформулирована и исследована задача наблюдения в нечеткой неопределенной системе. Рассмотрен объект наблюдения, динамика которого описывается разностной неопределенной нечеткой системой. Получены теоремы о свойствах решения задачи наблюдения.

В четвертом разделе диссертационной работы рассмотрены прикладные математические модели динамики нечетких систем, описывающих процессы плазмы в приэлектродном слое и работу менеджера виртуальной памяти под управлением ОС Windows.

Ключевые слова: дискретная система, разностная система, устойчивость, наблюдаемость, нечеткое множество.

SUMMARY

Volchkov S.О. Researching of stability and observation fuzzy discrete systems. – Manuscript.

The dissertation on gaining the candidate degree of physico-mathematical science in speciality 01.05.04 – system analysis and optimal decision theory – Taras Shevchenko National university of Kyiv, Kyiv 2006.

Current dissertation work is devoted to decision the problem of dynamic and qualitative research fuzzy discrete systems in the view of theoretical work. The methods and algorithms are proposed for resolving the applied mathematical models of dynamic fuzzy systems.

For the fuzzy discrete difference system some approaches are proposed for formalization arithmatical operations with fuzzy discrete sets in the view of two algorithms. These algorithms are used for the description the situation of decision making.

The task of more accurate definition models of fuzzy discrete difference systems are formalized in the view of procedure, which calculates the consistency estimation of results of grouping expert poll.

For the fuzzy difference system, stablesimialar properties are researched in the cases, when system has and does not have the regular trajectory.

For the fuzzy difference system, theorems for stability (asymptotical stability) of solutions by Lyapunov are formulated and proved. For the fuzzy discrete difference system of special view, the procedure of building the function of Lyapunov is proposed.

For the fuzzy uncertaing system the task of observation is formulated. The object of observation is considered, which is described by the difference fuzzy uncertaing system. For the observation task theorems about solution’s properties are found.

Key words: discrete system, differenсе system, stability, observability, fuzzy set.