КИЇВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

ІМЕНІ ТАРАСА ШЕВЧЕНКА

ВЕЛИЧКО ВЛАДИСЛАВ ЄВГЕНОВИЧ

УДК 512.53

КВАЗІІДЕАЛИ НАПІВГРУП

01.01.06 - алгебра та теорія чисел

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Київ - 2006

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Слов'янському державному педагогічному

університеті, Міністерство освіти та науки України.

Науковий керівник:

доктор фізико-математичних наук, професор

Усенко Віталій Михайлович

Офіційні опоненти:

доктор фізико-математичних наук,

професор Сущанський Віталій Іванович,

професор Інституту математики

Сілезького технічного університету

кандидат фізико-математичних наук,

Безущак Оксана Омелянівна,

доцент кафедри алгебри та математичної

логіки Київського національного університету

імені Тараса Шевченка

Провідна установа:

Львівський національний університет імені

Івана Франка, кафедра алгебри і логіки,

Міністерсво освіти і науки України, м.Львів.

Захист відбудеться "" 2006 р. о 14 годині на

засіданні спеціалізованої вченої ради

Д26.001.18 при Київському національному

університеті імені Тараса Шевченка за адресою:

03127, м.Київ, проспект академіка Глушкова, 2,

корпус 7, механіко-математичний факультет.

З дисертацією можна ознайомитися в Науковій

бібліотеці імені М.Максимовича Київського

національного університету імені Тараса

Шевченка (м.Київ, вул. Володимирська, 58)

Автореферат розіслано "19" 10 2006 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради В.В. Плахотник

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Вивчення напівгруп з визначеними на них стабільними частковими порядками є одним з провідних напрямків сучасної теорії напівгруп. Наявність у напівгрупах канонічних квазівпорядкувань, якими є відношення подільності, і які є однобічно стабільними, природно веде до постановки задач про описання квазівпорядкованих напівгруп. У свою чергу відношення подільності є локалізаціями відношень квазівпорядкувань однобічних головних ідеалів напівгруп. Дослідження частково впорядкованих множин однобічних ідеалів, визначаючи змістовну область досліджень, зі свого боку привело до введення поняття квазіідеалу, яке було запропоноване в 1956 році ШтейнфельдомO. Steinfeld. ber die Quasiideale von Halfgruppen // Publ. Math. Debrecen.- 1956.- N. 4.- pp.262-275.. Частково впорядковані множини квазіідеалів з одного боку визначаються частково впорядкованими множинами однобічних ідеалів, а з другого в деяких питаннях відіграють більш значну роль, ніж ідеали та однобічні ідеали. Так, наприклад, відсутність ідеалів не є достатньою умовою для того, щоб напівгрупа була групою. У той же час напівгрупа є групою тоді й лише тоді, коли вона не має власних квазіідеалів. Оскільки кожен квазіідеал є перетином деякого лівого і деякого правого ідеалів, то виникає можливість вивчення систем однобічних ідеалів, систем квазіідеалів та квазівпорядкувань напівгруп у спільному контексті з метою взаємної характеризації одних об'єктів у термінах інших. Відповідна проблематика визначається відомими працями ТамуриT. Tamura. Quasi-orders, generalized archimedeaness and semilattice decompositions // Math. Nachr. 68, 1975.-pp.201-220. T. Tamura. Semilattice congruences viewed from quasi-orders // Proc. Am. Math. Soc., 41, 1973.-pp.75-79. про квазіпорядки, роботами СайтоT. Saito. Ordered regular proper semigroups // J. of Algebra, v.8, 1968.-pp.450-477., ХіонаЯ. Хион. Упорядоченные полугруппы // Изв. Акад. Наук СССР, серия. матем. Т.21, 1955.- с.209-222., ПутчаM.Putcha. Positive quasi-orders on semigroups // Duke Math. J., 40, 1973.- pp.857-869. M.Putcha. Bruhat-Chevalley order in reductive monoids // J. Alg. Comb., 20, N. 1, 2004.-pp.33-53. , ЧріслокаJ.L. Chrislok. On medial semigroup // J. of Algebra, v.12, 1969.-pp.1-9. про впорядковані напівгрупи, Богдановича, ЧірічаM.Ciric, S.Bogdanovich. The lattice of positive quasi-orders on a semigroup // Israel J. of Math., v.98, 1997.- pp.157-166. та інших авторів про визначуваність структурних властивостей напівгруп системами часткових упорядкувань та квазівпорядкувань. Застосування квазіідеалів та їх зв'язки з квазівпорядкуваннями вивчались в роботах ПастійнаF. Pastijn. Regular locally testable semigroups as semigroups of quasi-ideals // Acta Math. Sci. Hugaricae, v. 36, 1980.-pp.161-166., КолібіаровоїB. Kolibiarova. ber partiell kommutative periodische Halbgruppen // Mat.-Fyz. Cas. Slovensk. Akad. Vied 9, 1959.-pp.160-170..

Інший погляд на зв'язки квазівпорядкувань та порядків зі структурними властивостями напівгруп виник у зв'язку з характеризацією однобічних ідеалів симетричних напівгруп перетворень, запропонованою УсенкомУсенко В.М. Епiфiльтри та однобiчнi iдеали напiвгруп перетворень // Вiсник Київ. Ун-ту. Сер. фiз-мат. наук.-1993.-№ 1.-с.60-64. . У цьому описанні однобічні ідеали симетричних напівгруп характеризуються за допомогою ідеалів та фільтрів, визначених на решітці підмножин основної множини та решітці відношень еквівалентності на ній.

Зв'язки, що виникають між квазіпорядками з одного боку та структурними властивостями напівгруп з іншого, і визначають основні задачі, дослідженню яких присвячено дану дисертаційну роботу. Такими задачами є опис квазіідеалів у різних класах напівгруп, характеризація їх взаємозв'язків з частково впорядкованими множинами однобічних ідеалів та понять однобічних ідеалів, ідеалів та квазіідеалів у термінах систем стабільних порядків, які визначаються на напівгрупах.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Робота виконувалась за програмами НДР "Комплекси алгебраїчних та топологічних систем" (номер державної реєстрації 0203U000460), "Синтетичні методи класифікації математичних структур" (номер державної реєстрації 0000101U0027), що здійснювались у Луганському філіалі Інституту прикладної математики і механіки НАН України та в Слов'янському державному педагогічному університеті.

Основні методи досліджень. У роботі використано методи теорії напівгруп та теорії частково впорядкованих множин, зокрема, решіток.

Мета і завдання дослідження. Охарактеризувати нижню напіврешітку квазіідеалів або головних квазіідеалів класичних напівгруп перетворень, , над довільними (скінченними) множинами . Дослідити властивості природного зображення нижньої напіврешітки квазіідеалів довільних напівгруп у частково впорядкованих множинах -класів напівгруп.

Описати будову правих і лівих головних ідеалів та квазіідеалів напівгрупи ендоморфізмів вільної групи.

Основні результати дисертації. У дисертаційній роботі отримано такі нові результати:

* описано нижню напіврешітку квазіідеалів напівгрупи перетворень над довільною множиною у термінах частково впорядкованих множин майжефільтрів та комайжефільтрів над;

* охарактеризовано нижні напіврешітки головних ідеалів напівгрупи частково визначених перетворень та інверсної симетричної напівгрупи над довільною множиною ;

* доведено теорему про ізоморфізм нижніх напіврешіток квазіідеалів напівгруп та -класів цієї напівгрупи;

* охарактеризовано ліві, праві, головні ідеали та квазіідеали напівгрупи ендоморфізмів вільної групи та решітку її лівих ідеалів в термінах решітки спадкових множин підгруп вільної групи.

Наукова новизна та практичне значення. Усі результати роботи є новими. Результати роботи мають теоретичне значення як такі, що є внеском у подальший розвиток структурної теорії напівгруп. Вони можуть бути використані при вивченні будови різних класів напівгруп.

Тема дисертаційної роботи пов'язана з науковими дослідженнями, що здійснюються в Луганському національному педагогічному університеті, Донецькому національному університеті, Слов'янському державному педагогічному університеті, Інституті прикладної математики та механіки НАН України, Харківському національному університеті.

Апробація результатів дисертації. Результати, отримані в дисертації, доповідалися на:

* II міжнародній алгебраїчній конференції в Україні (Вінниця, 1999),

* III Міжнародній алгебраїчній конференції в Україні (Суми, 2001),

* Всеукраїнській конференції "Алгебраїчні методи дискретної математики" (Луганськ, 2002),

* V міжнародній алгебраїчній конференції в Україні (Одеса, 2005),

* алгебраїчних семінарах Київського національного університету імені Тараса Шевченка (2001, 2005, 2006) та Луганського національного педагогічного університету ім.Тараса Шевченка (2001-2005 рр.).

Особистий внесок здобувача. Усі результати дисертації одержані автором особисто.

Публікації. Основні результати дисертації опубліковано в 8 роботах автора, з яких 3 є статтями у фахових періодичних виданнях, затверджених переліком ВАК України, та 5 є тезами доповідей на наукових конференціях.

Структура і об'єм роботи. Дисертаційна робота складається із вступу, трьох розділів, висновків та бібліографії, що містить 45 найменувань. Повний обсяг роботи складає 112 сторінок із них бібліографія займає 4 сторінки.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі дисертаційної роботи обґрунтовано актуальність теми, описано мету і завдання дослідження, сформульовано основні результати роботи, охарактеризовано наукове та практичне значення і основний зміст роботи.

У першому розділі роботи визначаються основні поняття, наводяться необхідні мотивування і формулюються основні результати, що використовуються в подальшому.

А саме, в першому параграфі зроблено огляд конструкції частково впорядкованих множин, ординальних ідеалів та ординальних фільтрів. Розглянуто відображення між частково впорядкованими множинами та їх види. Наведено умови лінійного порядку та квазіпорядку. У другому параграфі розглянуто фактор--множини напівгрупи за відомими відношеннями ГрінаGreen J.A. On the structure of semigroups // Ann. of Math 54(1951).- pp.163-172., які природним чином упорядковуються, --- каркаси напівгруп. Розглянуто особливості відношень Гріна на різних класах напівгруп. У третьому параграфі наведено вступні відомості про квазіідеали.

Означення 3.1. Непорожня підмножина напівгрупи називається квазіідеалом в , якщо має місце співвідношення

У по--елементній формі це означає, що довільний добуток, , , який можна записати у вигляді, , , належить до . Аналогічно, до належить також довільний добуток , , , який може бути представлений у вигляді, ,.

Наведені твердження про квазіідеали надають можливість отримати загальне уявлення про будову квазіідеалів та їх зв'язки з іншими конструкціями. Клас квазіідеалів у напівгрупі є досить багатим. Зокрема

1) Кожен лівий ідеал напівгрупи є її квазіідеалом.

2) Кожен правий ідеал напівгрупи є її квазіідеалом.

3) Кожен двосторонній ідеал напівгрупи є її квазіідеалом.

Разом з тим він є ширшим, ніж об'єднання класів 1) і 2) --- напівгрупи можуть мати квазіідеали, що не є ідеалами.

З іншого боку, квазіідеали тісно пов'язані з лівими та правими ідеалами, оскільки перетин правого і лівого ідеалів у довільній напівгрупі є квазіідеалом в , причому кожен квазіідеал в може бути поданий у вигляді такого перетину.

Крім того, квазіідеали напівгрупи утворюють повну нижню напіврешітку за перетином згідно з наступним відомим твердженнямSteinfeld O. Quasi-ideals in rings and semigroups.-Budapest: Akadmiai Kiado, 1978..

Твердження 3.3 Непорожній перетин довільної кількості квазіідеалів напівгрупи є квазіідеалом в .

Наведені в третьому параграфі приклади, ілюструють відмінності між ідеалами та квазіідеалами.

У четвертому параграфі охарактеризовано основні (так звані класичні) напівгрупи перетворень на зліченній множині. Наведено приклади систем твірних у цих напівгрупах, охарактеризовано односторонні ідеали симетричної напівгрупи всіх скрізь визначених перетворень даної множини за допомогою понять розбиття за певною еквівалентністю та образу перетворенняКлиффорд Г., Престон А. Алгебраическая теория полугрупп. Т. 1,2.- М.: Мир.- 1972.. В термінах антиланцюгів наведено схему побудови лівих та правих ідеалів симетричної напівгрупи.

У другому розділі досліджуються напіврешітки квазіідеалів напівгруп перетворень. Здійснюється це в термінах напіврешіток, пов'язаних з майжефільтрами та комайжефільтрами частково впорядкованих множин. Зокрема, в п'ятому параграфі наводиться визначення -майжефільтру та -комайжефільтру над заданою частково впорядкованою множиною.

Означення 5.1 Непорожню підмножину частково впорядкованої множини назвемо -майжефільтром цієї множини (або, коротше, майжефільтром, якщо із контексту ясно про яке відношення йде мова), якщо виконуються такі дві умови:

де -- множина мінімальних елементів із .

Прямим -добутком частково впорядкованих множин та називається частково впорядкована множина, де, а порядок на ній визначено умовою

Описано конструкцію майжефільтра на прямому -добутку частково впорядкованих множин, наведено приклади побудови майжефільтрів. Також введена до розгляду дуальна конструкція --- так звані комайжефільтри, яка визначається наступним чином.

Означення 5.2 Підмножину частково впорядкованої множини назвемо -комайжефільтром (або дуальним майжефільтром), якщо вона задовольняє двом таким вимогам:

де --- множина максимальних елементів із .

Так як перетин двох майжефільтрів або комайжефільтрів може бути непорожній, то має місце наступне твердження.

Твердження 5.1 Кожна з множин усіх майжефільтрів та усіх комайжефільрів частково впорядкованої множини утворює нижню напіврешітку відносно теоретико--множинної операції перетину.

У шостому параграфі дано характеризацію нижньої напіврешітки квазіідеалів симетричних напівгруп у термінах ординальних ідеалів спеціальної впорядкованої множини. А саме, нехай --- непорожня множина, що складається принаймні з двох елементів. Розглянемо частково впорядковану множину

яка є прямим добутком повної решітки всіх еквівалентностей на множині , впорядкованих за включенням, та повної решітки всіх підмножин множини за включенням, і впорядкована відношенням

Зрозуміло, що відношення є відношенням часткового порядку, а множина відносно так введеного порядку є нижньою напіврешіткою. Далі, символом позначимо підмножину із , яка складається з тих пар, для яких потужність фактор-множини дорівнює потужності :

Ця множина, доповнена найменшим елементом, відносно порядку утворює решітку.

На напівгрупі поряд з відношеннями Гріна вводиться також відношення еквівалентності , яке визначається для довільних елементів умовою

де --- головні квазіідеали, що породжені елементами та .

Відображення визначене рівністю

є сюр'єктивним. Воно має такі властивості.

1) Нехай -- довільні перетворення. Має місце рівносильність

2) Для довільних перетворень і заданого рівністю відображення має місце рівносильність

3) Повний прообраз ідеалу з частково впорядкованої множини є квазіідеалом напівгрупи.

4) Образ ідеалу при відображенні є ординальним ідеалом частково впорядкованої множини.

Через позначимо частково впорядковану множину квазіідеалів симетричної напівгрупи, а через --- частково впорядковану множину ординальних ідеалів множини.

Основним результатом цього параграфу є твердження, яке характеризує напіврешітку головних квазіідеалів у напівгрупі.

Теорема 6.1 Для довільної множини , , нижні напіврешітки і є ізоморфними.

У сьомому параграфі розглянута характеризація нижньої напіврешітки квазіідеалів симетричних напівгруп у термінах -майжефільтрів. Для цього вводиться до розгляду частково впорядкована множина

що є прямим -добутом частково впорядкованих множин та. Згідно з визначенням

причому порядок на задається рівністю (6.1).

Нехай --- частково впорядкована за включенням множина всіх майжефільтрів множини,. Покладемо

де --- розбиття рівнозначності множини , визначене перетворенням , тобто

Безпосередньо перевіряється, що множина або порожня, або є квазіідеалом напівгрупи

Відображення , обернене до , визначається природним чином, а саме, нехай для довільного квазіідеала напівгрупи покладемо

де , як і вище, --- розбиття рівнозначності, що визначене перетворенням .

Тоді множина є майжефільтром частково впорядкованої множини.

Твердження 7.1 Відображення і бієктивні та взаємнообернені.

Характеризація напіврешітки квазіідеалів симетричної напівгрупи виглядає наступним чином: через будемо позначати нижню напіврешітку із зовнішньо приєднаним до неї нулем, а через -- нижню напіврешітку квазіідеалів напівгрупи із зовнішньо приєднаним нулем. Будемо вважати, що,. Напіврешітку назвемо поповненою напіврешіткою квазіідеалів, а напіврешітку --- канонічною напіврешіткою -майжефільтрів.

Теорема 7.2 Для довільної множини , , поповнена нижня напіврешітка квазіідеалів симетричної напівгрупи ізоморфна канонічній напіврешітці -майжефільтрів.

Крім цього, ненульові елементи напіврешітки можна охарактеризувати за допомогою певної природної умови. А саме, введемо на класі множин бінарне відношення , поклавши для довільних множин:

Іншими словами, це означає, що тоді й лише тоді, коли існує ін'єкція множини в множину .

Твердження 7.3 Пара () тоді і лише тоді міститься в напіврешітці, коли має місце включення.

У восьмому параграфі описано головні квазіідеали в симетричній напівгрупі часткових перетворень та інверсній симетричній напівгрупі. Довільне перетворення, , можна записати у вигляді

де, --- ніде не визначене перетворення множини , --- обмеження перетворення на множину . Розклад (8.1) назвемо канонічним розкладом перетворення , --- його основою, а --- нульовою частиною. Якщо перетворення є скрізь визначеним, то, а нульова частина в (8.1) --- відсутня. Головні ліві та праві ідеали напівгрупи часткових перетворень відомим чином характеризуються в термінах областей визначення, областей значення та відношень рівнозначності.

А саме, головний лівий ідеал напівгрупи, який породжується перетворенням , має вигляд

Таким чином, ліві головні ідеали напівгрупи характеризуються парами підмножин множини . Якщо, --- така пара, то існує єдиний лівий ідеал, який нею визначається:

Аналогічно, головний правий ідеал напівгрупи, який породжується перетворенням , має вигляд

Таким чином, головні праві ідеали напівгрупи характеризуються парами виду, де --- деяка підмножина множини , а --- певне відношення еквівалентності на . Якщо --- така пара, то існує єдиний правий головний ідеал, який нею визначається:

Головний правий ідеал буде міститися в головному правому ідеалі тоді й лише тоді, коли справедливі включення

Введемо на множині найможливіших пар вигляду, --- деяке розбиття множини , відношення часткового порядку за співвідношеннями (8.9). Дістанемо частково впорядковану множину, яка буде решіткою.

Виходячи з такого опису лівих та правих ідеалів напівгрупи, її решітки лівих та правих ідеалів можуть бути охарактеризовані наступним чином.

1) Частково впорядкована за включенням множина лівих головних ідеалів напівгрупи ізоморфна решітці.

2) Частково впорядкована за включенням множина правих ідеалів напівгрупи ізоморфна решітці.

Розглянемо тепер будову головних квазіідеалів напівгрупи.

Лема 8.8 Головний квазіідеал напівгрупи, який породжується перетворенням, має вигляд

Характеризацію нижньої напіврешітки головних квазіідеалів здійснено наступним чином: з леми 8.8 випливає, що кожен головний квазіідеал напівгрупи визначається три компонентним набором, де --- деякі підмножини множини, --- відношення еквівалентності на підмножині . Символом позначимо множину всіх таких наборів над множиною . Зазначимо, що компоненти набору можуть бути порожніми множинами чи відношеннями. На множині вводиться частковий порядок , якщо для довільних двох наборів, покладемо

Теорема 8.1 Нижня напіврешітка головних квазіідеалів напівгрупи ізоморфна нижній напіврешітці.

Для симетричної інверсної напівгрупи кожен головний лівий чи правий ідеал визначається деяким ідемпотентом напівгрупи, що однозначно задається певною підмножиною. Ліві та праві головні ідеали, породжені таким ідемпотентом , мають вигляд

де --- множина частково визначених ін'єкцій з в.

Наступне твердження дає опис головних квазіідеалів симетричної інверсної напівгрупи.

Теорема 8.2 Кожен головний квазіідеал напівгрупи, породжений ідемпотентом, , , має вигляд

Наслідок 8.1 1) Всі головні квазіідеали напівгрупи відносно включення утворюють решітку, яка ізоморфна решітці підмножин множини .

2) Кожен ненульовий квазіідеал інверсної симетричної напівгрупи є інверсною піднапівгрупою в, яка ізоморфна інверсній симетричній напівгрупі над деякою підмножиною множини .

3) Головні квазіідеали і ізоморфні як інверсні напівгрупи в тому і лише тому разі, коли.

У третьому розділі побудовано природне зображення напіврешітки квазіідеалів та описано головні квазіідеали в напівгрупах ендоморфізмів вільних груп. У першому параграфі за квазіпорядками

які визначаються на довільній напівгрупі , наведено опис нижніх напіврешіток лівих та правих ідеалів довільної напівгрупи за допомогою ординальних ідеалів квазіпорядків (9.1)

Лема 9.3 Для довільної напівгрупи маємо:

1) Нижня напіврешітка усіх ординальних ідеалів квазівпорядкованої множини збігається з нижньою нпіврешіткою, тобто

2) Нижня напіврешітка усіх ординальних ідеалів квазівпорядкованої множини збігається з нижньою напіврешіткою, тобто

Наступне твердження дає можливість описати напіврешітку квазіідеалів довільної напівгрупи.

Теорема 9.1 Для довільної напівгрупи нижня напіврешітка всіх квазіідеалів , яка розглядається разом з порожньою множиною, ізоморфна нижній напіврешітці всіх ординальних ідеалів частково впорядкованої множини -класів цієї напівгрупи:

У десятому параграфі подаються допоміжні відомості про ендоморфізми вільної групи. Нехай --- вільна група зі зліченною множиною твірних . Кожен ендоморфізм цієї групи однозначно визначається образами твірних. Позначимо образ твірної при ендоморфізмі символом , де --- деякий елемент вільної групи (нескоротне групове слово над алфавітом ). Тоді ендоморфізму відповідає (скінченна чи нескінченна) послідовність слів

яка однозначно визначає ендоморфізм . Якщо, крім того, ендоморфізму відповідає послідовність

то добуток цих ендоморфізмів визначається послідовністю, -й член якої є суперпозицією

-го члена послідовності та перших членів послідовності.

В одинадцятому параграфі охарактеризовано ліві та праві ідеали напівгрупи ендоморфізмів вільної групи в термінах узгоджених підпрямих добутків вербальних підгруп та решітки усіх спадкових множин.

Теорема 11.1 Довільний головний лівий ідеал напівгрупи ендоморфізмів вільної групи зліченого або скінченного рангу ізоморфний як напівгрупа деякому узгодженому підпрямому добутку вербальних підгруп цієї групи.

Нехай --- решітка всіх підгруп вільної групи. Підмножину назвемо спадковою, якщо для всіх із випливає, що. Родину всіх спадкових множин з позначимо символом. Безпосередньо перевіряється, що є решіткою відносно теоретико--множинних операцій об'єднання та перетину.

Теорема 11.2 Решітка лівих ідеалів напівгрупи ендоморфізмів вільної групи зліченого рангу ізоморфна решітці усіх спадкових множин підгруп групи.

Для напівгрупи ендоморфізмів вільної групи скінченного рангу справедливе наступне твердження.

Теорема 11.3 Решітка лівих ідеалів напівгрупи ендоморфізмів вільної групи рангу ізоморфна решітці усіх спадкових множин підгруп з.

Для головних квазіідеалів напівгрупи отримано таке описання.

Теорема 11.5 Головний квазіідеал напівгрупи ендоморфізмів вільної групи рангу , який породжений ендоморфізмом, складається з усіх узгоджених кортежів виду

кожна компонента яких міститься в підгрупі, що породжена елементами.

РОБОТИ АВТОРА ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Величко В.Е. Квазиидеалы симметрических полугрупп // Міжнародна алгебраїчна конференція, присвячена пам'яті професора Л.М.Глускина. Слов'янськ, 25-29 серпня 1997 р.- с.4.

2. Величко В.Е., Усенко В.М. Левые идеалы полугруппы эндоморфизмов свободной группы // Вопросы алгебры, Вып.12.- Гомель: Изд-во Гомельского ун-та.- 1998.- с.9-12.

3. Величко В.Е. Почтифильтры и квазиидеалы полугрупп // Вопросы алгебры, Вып.13.- Гомель: Изд-во Гомельского ун-та.- 1998.- с.130-137.

4. Величко В.Е. Квазиидеалы полугрупп // Друга міжнародна алгебраїчна конференція, присвячена пам'яті професора Л.А.Калужніна. Київ-Вінниця, 9-19 травня 1999 р.- с.61-62.

5. Величко В.Е. Об ординальных идеалах Грина // Третя міжнародна алгебраїчна конференція. Суми, 2-8 липня 2001 р.- с.140.

6. Величко В.Е. Реляционные нормализаторы в полугруппах // Всеукраїнська конференція "Алгебраїчні методи дискретної математики (теорія та методологія)" в Луганському державному педагогічному університет імені Тараса Шевченка. Луганськ, 23-27 вересня 2002р.- с.17-18.

7. Величко В.Є. Ординальні ідеали та структурні властивості напівгруп // Вісник Київського університету. Серія: фізико-математичні науки. Випуск №2.- 2002.- с.14-16.

8. V.M.Usenko, V.E.Velychko. Quasidual semigroup // 5th International Algebraic Conference in Ukraine. Odessa, 2005.- pp.216-217.

АНОТАЦІЇ

Величко В.Є. Квазіідеали напівгруп.-- Рукопис. Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико--математичних наук за спеціальністю 01.01.06 --- алгебра і теорія чисел.--Київський національний університет імені Тараса Шевченка, Київ, 2006.

У роботі отримано ординальні аналоги відомих результатів про будову так званих каркасів напівгруп. Описано за допомогою відповідності між однобічними ідеалами напівгруп перетворень і ординальними фільтрами та ідеалами квазіідеали симетричних напівгруп скрізь визначених перетворень, симетричних напівгруп частково визначених перетворень та симетричній інверсній напівгрупі, напівгруп ендоморфізмів вільних груп, тощо.

Ключові слова: напівгрупа, квазіідеал, ординальний ідеал, ординальний фільтр, каркас.

Величко В.Е. Квазиидеалы полугрупп.-- Рукопись. Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико--математических наук по специальности 01.01.06 --- алгебра і теория чисел.--Киевский национальный университет имени Тараса Шевченка, Киев, 2006.

В работе получены ординальные аналоги известных результатов о строении так называемых остовов полугрупп. Выявлены связи между парами квазипорядков на множестве и бинарными операциями на множестве всех его подмножеств. Описаны с использованием соответствия между односторонними идеалами полугрупп преобразований и ординальными фильтрами и идеалами квазиидеалы симметрических полугрупп везде определенных преобразований, симметрических полугрупп частичных преобразований, симметрических инверсных полугрупп, полугрупп эндоморфизмов свободных групп и т.д.

Ключевые слова: полугруппа, квазиидеал, ординальный идеал, ординальный фильтр, остов.

Velychko V.E. Quasiideal of semigroups.-- The Manuscript. The thesis for scientific degree of candidate in physics and mathematics by the speciality 01.01.06 --- algebra and number theory. Kiev national Taras Shevchenko university, Kyiv, 2006.

The dissertation is received ordinal analogues of known results about a structure of so-called skeletons semigroups. It is studied communications between pairs quasi orders on set and binary operations on set of its all subsets. It is described with use of conformity between unilateral ideals semigroups transformations and ordinal filters and ideals quasiideals symmetric semigroups, symmetric semigroups partial transformations, inverse symmetric semigroups.

Key words: semigroup, quasiideal, ordinal ideal, ordinal filter, skeleton.