ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ
НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ
ІНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ
ЮРІЙ РАЇСА ФЕДОРІВНА
УДК 512.548
КЛАСИФІКАЦІЯ ФУНКЦІЙНИХ РІВНЯНЬ МАЛОЇ ДОВЖИНИ
НА КВАЗІГРУПОВИХ ОПЕРАЦІЯХ
01.01.06 – алгебра і теорія чисел
АВТОРЕФЕРАТ
дисертації на здобуття наукового ступеня
кандидата фізико-математичних наук
Київ - 2006
Дисертацією є рукопис.
Робота виконана у Вінницькому державному педагогічному університеті
імені Михайла Коцюбинського МОН України.
Науковий керівник: кандидат фізико-математичних наук, доцент
Сохацький Федір Миколайович,
Вінницький фінансово–економічний університет,
професор кафедри економічної кібернетики.
Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор
Воробйов Микола Тимофійович,
Вітебський державний університет імені П.М.Машерова, завідувач кафедри алгебри і методики викладання математики;
кандидат фізико-математичних наук,
Щербаков Віктор Олексійович,
Інститут математики і інформатики
АН Республіки Молдова,
старший науковий співробітник.
Провідна організація: Львівський національний університет імені
Івана Франка МОН України.
Захист відбудеться “_30_” __травня__ 2006 року о 15 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.206.01 Інституту математики НАН України за адресою: 01601, м. Київ-4, вул. Терещенківська, 3.
З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Інституту математики НАН України.
Автореферат розісланий “_26_” __квітня__ 2006 року.
Учений секретар
спеціалізованої вченої ради _______________ Романюк А.С.
ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ
Актуальність теми. Одним із підходів до вивчення квазігруп є функційний підхід, який покликаний вирішувати низку задач, серед яких:
1) встановлення термального зв’язку між класами алгебр, а саме, подання операцій із даного класу квазігруп у вигляді терма, тобто композиції операцій алгебр інших класів таких, як класи груп, комутативних груп, КЛМ тощо (теорема Брака –Тойоди, теорема про дистрибутивні квазігрупи В.Д.Белоусов. Основы теории квазигрупп и луп.– М.: Наука, 1967.– 222с., теорема про квадратичні квазігрупи W.A.Dudek. Quadratical quasigroups// Quasigroups and Related Systems.–1997.– №4.– P.9–13.); і навпаки, знаходження аксіоматик класів квазігруп, операції яких є композиціями операцій алгебр даного класу Белявская Г. Б. Алгоритмы решения некоторых задач теории квазигрупп. Вопросы теории квазигрупп и луп. Кишинёв, 1970.– с. 20–30., Сохацький Ф.М. Про ізотопи груп I// Український математичний журнал. - 1995.- №10.- C.1387–1398.;
2) описання основних алгебраїчних понять одного класу через відповідні поняття іншого класу алгебр, якщо між класами встановлений термальний зв’язок Щербаков В.А. О группах автоморфизмов и конгруэнциях квазигрупп// Диссертация на соискание учёной степени кандидата физ.-мат. наук– Кишинёв, 1991.– 89 с., Izbash V. Monoquasigroups isotopic to groups// Quasigroups and related systems.- 1996.-№3.- P.7–20.;
3) встановлення кількісних характеристик. Kirnasovsky O.U. Number Characteristics of the Linear Isotopes of the Small Order Non-cyclic Groups// Conference on Universal Algebra and Lattice Theory: Abstracts.– Szeged, July 15–19, 1996.– P.26., Щукин К.К. К строению тримедиальных квазигрупп// Исследования по общей алгебре, геометрии и их приложения.- Кишинёв: Штиинца.- 1988.- С.148 –153.
Основними класами квазігруп, які розглядаються, є многовиди, тобто класи квазігруп, що визначаються тотожностями. Ефективним методом аналізу тотожностей є розв’язання відповідного функційного рівняння, тобто рівняння, яке отримуємо з даної тотожності заміною кожної появи функційного символу функційною змінною відповідної арності (Врівноважені рівняння – В.Д.Білоусов; квадратичні – А.Крапєж, Ф.М.Сохацький).
В багатьох роботах не розрізняються поняття функційного рівняння і поняття загальної тотожності, проте відмінність між цими поняттями існує. А саме, в квазігруповій алгебрі (Q; f1,...,fk) має місце тотожність щ=х тоді і тільки тоді, коли вибірка (f1,..., fk) є розв’язком відповідного функційного рівняння, яке отримуємо з даної тотожності заміною символів операцій функційними змінними. Але це ж функційне рівняння може мати і інші розв’язки. Наприклад, тотожності
x?y/z=x\(y?z), (x/y)\z=x?(y/z)
є різними в класі квазігруп, проте кожна з них означає, що і четвірка (?;/;\;?), і четвірка (/;\;?;/) є розв’язком одного і того ж загального функційного рівняння асоціативності
F1(F2(x; y); z)=F3(x; F4(y; z)).
Отже, вивчення функційних рівнянь над квазігрупами можна розглядати як синтезоване вивчення множин тотожностей в квазігрупах.
В теорії функційних рівнянь на квазігрупах традиційно вивчались два питання:
1) знаходження методів розв’язку функційних рівнянь;
2) знаходження застосувань результатів розв’язування функційних рівнянь до аналізу тотожностей на квазігрупах.
Проте, знання методу розв’язування рівнянь не завжди забезпечує можливість та ефективність застосування отриманих результатів. Тому постає проблема системного вивчення функційних рівнянь на квазігрупах. Стан розвитку першої проблеми також досяг певного рівня, про що свідчить поява низки понять в теорії функційних рівнянь. Це такі, як: скоротність, коли функційне рівняння рівносильне системі функційних рівнянь; клас квадратичних рівнянь, клас врівноважених рівнянь, коли розглядаються функційні рівняння з мінімально можливою кількістю появ кожної предметної змінної тощо.
Знаючи результати розв’язків одного функційного рівняння, можна легко виписати множину розв’язків іншого функційного рівняння, яке отримується з даного перейменуванням предметних або функційних змінних чи заміною функційних змінних їх парастрофами з відповідною перестановкою підслів.
Якщо одне функційне рівняння можна отримати з іншого за скінченну кількість зазначених кроків, то такі функційні рівняння Ф.М.Сохацьким Сохацький Ф.М. Про класифікацію функційних рівнянь на квазігрупах// Український математичний журнал. – 2004.– Т.56, №4.– C.1259-1266. названі парастрофно рівносильними і розроблено підхід до вивчення функційних рівнянь на квазігрупах за допомогою класифікації з точністю до парастрофної рівносильності.
Основна мета дисертації – вивчення класифікації функційних рівнянь на квазігрупах з точністю до парастрофної рівносильності.
Розв’язання даної задачі дозволить звузити коло функційних рівнянь, які слід досліджувати, і, відповідно, тотожностей.
Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дослідження функційних рівнянь над квазігруповими операціями є частинами наукових планів Вінницького державного педагогічного університету ім. М.Коцюбинського та державних наукових тем, які виконувались у цьому університеті під науковим керівництвом Ф.М.Сохацького:
· № 44/2 “Дослідження багатомісних функцій та відповідних алгебр” (1997-1999 роки);
· № 95 “Дослідження багатомісних функцій та відношень алгебраїчними методами” (2000 - 2001 роки).
Мета і завдання дослідження. Метою дослідження є вивчення функційних рівнянь над квазігруповими операціями за допомогою їх класифікації з точністю до парастрофної рівносильності.
В даній роботі пропонується подальша розробка системного вивчення функційних рівнянь на квазігрупових операціях довільної множини, а саме:
1) вивчити властивості відношення парастрофної рівносильності над функційними рівняннями;
2) знайти інваріанти парастрофної рівносильності;
3) дати повну класифікацію квадратичних функційних рівнянь над квазігруповими операціями, які залежать від малої кількості предметних змінних:
· встановити кількість класів еквівалентності,
· виділити по одному рівнянню з кожного класу еквівалентності,
· знайти множину всіх розв’язків кожного з цих рівнянь;
4) з’ясувати, які з функційних рівнянь мають властивість ізотопності групі;
5) розглянути інші питання, які виникнуть в процесі дослідження.
Наукова новизна одержаних результатів. Всі результати цієї дисертації є новими. Відмітимо деякі основні результати, одержані автором дисертації.
1) Знайдено інваріанти парастрофної рівносильності, серед яких
· властивість “мати односторонній нейтральний елемент”,
· характеристика нейтральності рівняння,
· характеристика групової ізотропності,
· множини предметних змінних парастрофно самодостатніх наборів підслів не змінюються при парастрофних перетвореннях (крім перейменування предметних змінних),
· тип функційного рівняння,
· кількість парастрофно самодостатніх підмножин предметних змінних функційного рівняння.
2) Дано повну класифікацію квадратичних функційних рівнянь від n (n=2, 3, 4) предметних змінних з точністю до парастрофної рівносильності:
· виділено представники кожного із класів парастрофної рівносильності;
· знайдено множини розв’язків рівнянь від n (n=2, 3, 4) предметних змінних;
· встановлено існування двох класів при n=2, чотирьох класів при n=3 і 17 класів при n=4 (узагальнено результати Ф.М.Сохацького).
3) Доведено, що кожне загальне квадратичне функційне рівняння від чотирьох предметних змінних, яке не є парастрофно скоротним, парастрофно рівносильне точно одному із п’яти функційних рівнянь: медіальності, псевдомедіальності,
F1(F2(x; y); F3(z; u))=F4(F5(F6(x; y); z); u);
F1(F2(F3(x; y); z); z)=F4(F5(F6(x; y); u); u);
F1(F2(x; y); F3(z; u))=F4(F5(x; y); F6(z; u))
(узагальнено результати Ф.М.Сохацького).
4) Доведено, що кожне квадратичне парастрофно нескоротне функційне рівняння від п’яти предметних змінних парастрофно рівносильне принаймні одному із чотирьох функційних рівнянь
F1(F2(F3(x; y); F4(z; t)); u)=F5(F6(F7(x; z); u); F8(y; t)), (1)
F1(F2(F3(x; y); F4(z; t)); u)=F5(F6(F7(x; u); z); F8(y; t)), (2)
F1(F2(F3(x; y); F4(z; t)); u)=F5(F6(F7(x; z); t); F8(y; u)), (3)
F1(F2(F3(x; y); F4(z; t)); u)=F5(F6(F7(x; z); F8(y; u)); t). (4)
5) Встановлено, що кожне з рівнянь (1), (2) є парастрофно нерівносильним ні рівнянню (3), ні рівнянню (4).
6) Доведено існування функційних рівнянь, які не є квадратичними, але серед компонентів розв’язку обов’язково мають ізотопи груп. (Узагальнено результати: для врівноважених тотожностей – А.Крапєжа Krapeћ A. On solving a system of balanced functional equations on quasigroups III// Publications de l'institut mathematique.– Nouvelle serie.– 1979.– T.26 (40).– P.145–156. і В.Д.Білоусова Белоусов В.Д. Квазигруппы с вполне сократимыми уравновешенными тождествами// Исследования по теории бинарных и n-арных квазигрупп.- Кишинёв: Штиинца, 1985.– С.11–25.; для квадратичних рівнянь – А.Крапєжа і М.Тейлора Krapeћ A., Taylor M.A. Gemini functional equations on quasigroups // Publ. Math.– Debrecen.- 1995.- Vol. 47, №. 3–4.-
P. 281–292. );
Практичне значення одержаних результатів. Результати дисертації носять теоретичний характер і можуть бути застосованими в алгебрі та в інших галузях науки, причому не лише алгебри. А саме, в алгебрі при вивченні тотожностей в теорії квазігруп; в топології при вивченні тотожностей в топологічних квазігрупах і лупах; в дискретній математиці та багатозначній логіці при вивченні розкладів багатомісних функцій за допомогою суперпозицій тощо.
Особистий внесок здобувача. Всі результати належать дисертантці. Проте, в допоміжних результатах дисертації використано ідеї та розроблений Ф.Сохацьким понятійний апарат для дослідження, з яким автор цієї дисертації основні з цих ідей попередньо опублікувала в тезах наукових конференцій.
Апробація результатів дисертації. Результати досліджень, включених до цієї дисертації, висвітлено на III міжнародній алгебраїчній конференції в Україні (Суми, 2001), на IV міжнародній алгебраїчній конференції в Україні (Львів, 2003), на V міжнародній алгебраїчній конференції в Україні (Одеса, 2005), на II математичній конференції республіки Молдова (Кишинів, 2004), на звітних наукових конференціях Вінницького державного педагогічного університету 1999 - 2002 років, на декількох алгебраїчних семінарах з алгебри і дискретної математики при Вінницькому державному педагогічному університеті імені Михайла Коцюбинського, на алгебраїчних семінарах з алгебри і математичної логіки при Інституті математики та інформатики АН Молдови у Кишиневі, на семінарі відділу алгебри Інституту математики НАН України у Києві.
Публікації. Результати цих досліджень опубліковано в 4 статтях та 4 тезах.
Структура та обсяг дисертації. Дисертаційну роботу викладено на 133 сторінках. Вона містить вступ, 3 розділи, висновки та список з 94 джерел, обсяг якого становить 10 сторінок.
ОСНОВНИЙ ЗМІСТ
У вступі обґрунтовано актуальність дисертаційного дослідження, визначено мету, об’єкти дослідження, охарактеризовано основні результати дисертації.
У першому розділі зроблено огляд літератури, виділено напрямки дослідження, наведено означення основних понять та подано допоміжні результати.
Операція g називається квазігруповою, якщо кожне з рівнянь
g(x; a)=b, g(a; y)=b (5)
має єдиний розв’язок для всіх a, b із множини Q. Очевидно, що з кожною квазігруповою операцією g на множині Q визначені операції лівого gl та правого gr ділення, які співставляють кожній парі (a; b) розв’язок першого та другого рівняння із (5) відповідно. Операції g, gl, gr, g*, gl*, gr*, де g*(x; y):=g(y; x), є всіма парастрофами gу операції g, які визначаються співвідношенням
gу (xу1; xу2)=xу3 - g(x1; x2)=x3.
Вивчення функційних рівнянь і тотожностей є досить близькими: вибірка квазігрупових операцій задовольняє тотожність тоді і тільки тоді, коли ця вибірка є розв’язком відповідного функційного рівняння, яке отримуємо з даної тотожності заміною символів операцій функційними змінними. Тому вивчення функційних рівнянь над квазігрупами можна розглядати як синтезоване вивчення сукупностей тотожностей в квазігрупах. Тривалий час функційні рівняння в алгебрі розглядалися не як загальна теорія, а вивчались розв’язки кожного окремо взятого функційного рівняння, яке поставало з тих чи інших досліджень.
В.Д.Білоусов був першим, хто розпочав дослідження функційних рівнянь над квазігрупами. В 1958 році він анонсував результат, який пізніше став відомий як “теорема про чотири квазігрупи”. Повне його доведення опубліковано двома роками пізніше в статті Я.Ацеля, В.Д.Білоусова і М.Хоссу. Можна сказати, що перші ознаки зародження функційних рівнянь як теорії було в статтях, в яких розглядалось не одне окремо взяте рівняння, а цілі класи функційних рівнянь, які пов’язані між собою певною ознакою. Однією з перших праць цього напрямку була праця А.Сада (1959), який виділив клас врівноважених функційних рівнянь і заявив про розв’язання довільного врівноваженого функційного рівняння на квазігрупах.
В.Д.Білоусов показав, що результат А.Сада правильний лише для рівнянь, названих ним рівняннями першого роду, в яких порядок розташування предметних змінних в лівій і правій частині рівняння однаковий.
Наступним класом функційних рівнянь, які системно досліджуються, став клас квадратичних функційних рівнянь, які в 1981 році А.Крапєж визначив як рівняння, що мають точно дві появи кожної предметної змінної.
С.Крстіч в 1985 році в своїй дисертації дав красивий загальний метод розв’язування квадратичних рівнянь за допомогою теорії графів, і застосував цей метод до доведення того факту, що довільний многовид квазігруп, який визначений лише квадратичними рівняннями і замкнений відносно ізотопії, є або многовидом квазігруп, або многовидом ізотопів булевих (абелевих, всіх) груп. С.Крстіч дав також необхідні і достатні умови для квадратичних тотожностей, щоб відповідне рівняння мало властивість ізотопності групі.
В праці А.Крапєжа і М.Тейлора розширено ідею цілком скоротності для квадратичних рівнянь, і такі рівняння названо близнюковими (джеміні). Отже, близнюкове рівняння є рівнянням Білоусова, якщо воно врівноважене. Це дозволило описати рівняння, які мають властивість ізотопності групі. А саме, рівняння має властивість ізотопності групі тоді і тільки тоді, коли воно не є близнюковим.
В.Д.Білоусов Белоусов В.Д. Парастрофно ортогональные квазигруппы/ Кишинев., 1983.-- 64 c. (Препр./ АН МССР. Ин-т математики)., а потім Я.Дуплак вивчали загальні тотожності певного виду з точністю до парастрофної рівносильності. Використовуючи цей підхід, в 1983 році В.Д.Білоусов дав повну класифікацію тотожностей малої довжини на примітивній квазігрупах. В 2000 році Я.Дуплак удосконалив цей результат.
Проте вперше понятійний апарат для функційних рівнянь розробив Ф.М.Сохацький і відмітив залежність між множинами розв’язків функційних рівнянь, в яких функційні змінні одного функційного рівняння є парастрофами іншого і запропонував розглядати функційні рівняння з точністю до парастрофної рівносильності. Ф.М.Сохацьким встановлено, що кожне парастрофно нескоротне загальне квадратичне рівняння від трьох предметних змінних парастрофно рівносильне функційному рівнянню загальної асоціативності, а від чотирьох предметних змінних парастрофно рівносильне або загальному функційному рівнянню медіальності або загальному функційному рівнянню псевдомедіальності.
У другому розділі дисертації розвиваються ідеї Ф.М.Сохацького, зокрема знайдено ряд інваріантів парастрофної рівносильності (твердження 2.1.1, наслідок 2.1.3, твердження 2.1.4, лема 2.1.5, теорема 2.1.6 та наслідок 2.1.8); дано повну класифікацію рівнянь, які мають дві і три предметні змінні (теореми 2.2.2 та 2.2.4). Доведено, що кожне загальне квадратичне парастрофно скоротне рівняння від чотирьох предметних змінних, яке не має самодостатніх підслів, є парастрофно рівносильним точно одному із трьох наведених рівнянь (теорема 2.3.5). Встановлено, що рівняння від чотирьох предметних змінних, яке має принаймні одне самодостатнє підслово, парастрофно рівносильне точно одному із 12 функційних рівнянь (теорема 2.4.3). Отже, цим самим завершено класифікацію всіх загальних квадратичних рівнянь від n (n=2, 3, 4) предметних змінних з точністю до парастрофної рівносильності. Зокрема встановлено, що існує два класи при n=2 (теорема 2.2.2), чотири класи при n=3 (теорема 2.2.4) і 17 класів при n=4 (наслідок 2.4.6).
Крім того, встановлено, що кожне парастрофно нескоротне квадратичне функційне рівняння від п’яти предметних змінних парастрофно рівносильне принаймні одному із чотирьох наведених функційних рівнянь (теорема 2.6.1). Подано множини розв’язків кожного із цих чотирьох функційних рівнянь (теореми 2.7.1 – 2.7.4) і доведено існування не менше двох класів парастрофної рівносильності, які представлені рівняннями (2.56) або (2.57) та рівняннями (2.58) або (2.59) (теорема 2.7.5). Парастрофна нерівносильність пар рівнянь (2.56); (2.57) та (2.58); (2.59) не встановлена.
Нехай X:={x0, x1, x2…} є множиною предметних змінних, тобто змінних, які набувають значень в довільно вибраній фіксованій множині Q; F:={F0, F1, F2,...} є множиною бінарних функційних змінних, які набувають значень в множині бінарних квазігрупових операцій множини Q.
Слово над алфавітами F та X визначається таким індуктивним означенням:
1) кожну предметну змінну називатимемо словом;
2) якщо щ1 та щ2 слова і Fi F, то Fi(щ1, щ2 ) є словом;
3) інших слів немає.
Нехай щ, х – довільні слова. Під функційним рівнянням ми розумітимемо рівність двох слів щ=х разом з кванторами загальності по кожній предметній змінній. Функційне рівняння називають: загальним, якщо воно є рівністю двох безповторних слів, які мають однакові предметні змінні; врівноваженим, якщо кожна предметна змінна має точно по одній появі в лівій і правій частинах рівняння; квадратичним, якщо кожна предметна змінна має в рівнянні точно дві появи; скоротним, якщо воно має самодостатню послідовність підслів; парастрофно скоротним, якщо воно парастрофно рівносильне деякому скоротному рівнянню.
Два функційних рівняння назвемо парастрофно рівносильними, якщо одне можна отримати з іншого за скінченну кількість застосувань таких парастрофних перетворень:
1) перейменування предметних або функційних змінних;
2) перетворення за комутуванням: заміна підслова виду щ*х словом х?щ;
3) перетворення за зовнішнім діленням: перехід від рівності виду щ1*щ2=х1?х2 до однієї з рівностей
щ1\( х1?х2)= щ2 або (х1?х2)/ щ2= щ1,
де /, \ є відповідно лівим та правим діленням операції (*);
4) перетворення за внутрішнім (правим) діленням через змінну x: заміна підслова x*щ на x і одночасно заміна всіх інших появ змінної x словом x\щ, якщо x не має появи в слові щ.
Операція f називається уніпотентною для деякого a, якщо f(x; x)=a для всіх значень змінної x. При цьому елемент a називається елементом уніпотентності операції f. Запис a:=un f означає, що операція f є уніпотентною і елемент уніпотентності дорівнює a.
Лівим, правим і середнім нейтральними елементами операції f називатимемо елемент e, для якого виконується відповідна тотожність: f(e; x)=x, f(x; e)=x, f(x; x)=e.
Отже, поняття середнього нейтрального елемента та елемента уніпотентності співпадають.
Твердження 2.1.1. Властивість “мати односторонній нейтральний елемент” є інваріантною при парастрофії.
Лема 2.1.2. Якщо загальні функційні рівняння A і B від n предметних та m функційних змінних є парастрофно рівносильними, то на довільній множині Q для довільного розв’язку (f1; ...; fm) рівняння A існує послідовність (у1; ...; уm) перестановок множини {1,2,3} та перестановка ф множини {1,..., m} такі, що вибірка (f; ...; f) є розв’язком рівняння B.
Будемо говорити, що i-та компонента розв’язків функційного рівняння A має властивість лівої (правої, середньої) нейтральності, якщо i-та компонента кожного розв’язку рівняння A має лівий (відповідно, правий і середній) нейтральний елемент. Кількість компонент розв’язку рівняння A, які мають властивість деякої нейтральності, назвемо характеристикою нейтральності рівняння A. З твердження 2.1.1 випливає наслідок.
Наслідок 2.1.3. Характеристика нейтральності рівняння інваріантна при парастрофній рівносильності.
Будемо говорити, що i-та компонента функційного рівняння щ=х має властивість групової ізотопності, якщо кожна i-та компонента кожного розв’язку цього рівняння ізотопна деякій групі.
Характеристикою групової ізотопності назвемо кількість компонент, які мають властивість групової ізотопності.
Твердження 2.1.4. Характеристика групової ізотопності інваріантна при парастрофній еквівалентності.
Два рівняння назвемо парастрофно подібними, якщо одне з іншого можна отримати за скінченну кількість кроків, кожен з яких є парастрофним перетворенням, крім перейменування предметних змінних.
Послідовність підслів рівняння називається самодостатньою, якщо всі появи в рівнянні предметних змінних даної послідовності містяться принаймні в одному із підслів цієї послідовності. Парастрофно самодостатньою послідовністю підслів функційного рівняння назвемо послідовність слів х1,..., хk, що є самодостатньою послідовністю підслів одного з рівнянь, яке парастрофно подібне даному. При k=1 слово х1 назвемо парастрофно самодостатнім. Мінімальним (парастрофно) самодостатнім підсловом функційного рівняння назвемо підслово, яке є (парастрофно) самодостатнім і не має (парастрофно) самодостатніх підслів. Парастрофно самодостатньою підмножиною множини предметних змінних рівняння назвемо множину предметних змінних деякої парастрофно самодостатньої послідовності підслів.
Лема 2.1.5. Множини предметних змінних парастрофно самодостатніх наборів підслів не змінюються при парастрофних перетвореннях.
Послідовність (n1, n2,..., np) натуральних чисел назвемо типом функційного рівняння, якщо ns дорівнює кількості мінімальних парастрофно самодостатніх підслів від s предметних змінних для всіх s=1, 2,..., p.
Теорема 2.1.6. Парастрофно рівносильні функційні рівняння мають однакові типи.
Дві впорядковані включенням сукупності (А; ) і (В; ) підмножин множин A і B відповідно назвемо сильно ізоморфними, якщо між множинами A і B існує взаємно однозначна відповідність ц така, що визначена рівністю відповідність ц'(x):={ц(x)| x єX} є ізоморфізмом між впорядкованими сукупностями (А; ) і (В; ).
Теорема 2.1.7. Якщо два функційні рівняння є парастрофно рівносильними, то їх сукупності парастрофно самодостатніх підмножин предметних змінних є сильно ізоморфними.
Наслідок 2.1.8. Кількість парастрофно самодостатніх підмножин предметних змінних функційного рівняння інваріантна при парастрофній рівносильності.
Теорема 2.2.2. Кожне загальне квадратичне функційне рівняння від двох предметних змінних парастрофно рівносильне точно одному із рівнянь
F1(x; x)=F2(y; y), F1(x; y)=F2(x; y).
Теорема 2.2.4. Кожне загальне квадратичне функційне рівняння від трьох предметних змінних парастрофно рівносильне точно одному із рівнянь: асоціативності,
F1(F2(x; x); F3(y; y))=F4(z; z), (2.3)
F1(F2(x; y); F3(x; y))=F4(z; z), (2.4)
F1(F2(x; y); z)=F3(F4(x; y); z). (2.5)
Теорема 2.3.5. Кожне загальне квадратичне парастрофно скоротне функційне рівняння від чотирьох предметних змінних, яке не має самодостатніх підслів, парастрофно рівносильне точно одному із функційних рівнянь
F1(F2(x; y); F3(z; u))=F4(F5(F6(x; y); z); u),
F1(F2(F3(x; y); z); z)=F4(F5(F6(x; y); u); u),
F1(F2(x; y); F3(z; u))=F4(F5(x; y); F6(z; u)).
Теорема 2.4.3. Кожне загальне квадратичне функційне рівняння від чотирьох предметних змінних, яке має самодостатні підслова, є парастрофно рівносильним точно одному із функційних рівнянь:
F1(F2(x; x); F3(y; y))=F4(F5(z; z); F6(u; u)),
F1(F2(x; x); F3(y; y))= F4(F5(F6(z; z); u); u),
F1(F2(x; x); F3(y; y))= F4(F5 (z; u); F6(z; u)),
F1(F2(F3(x; x); y); y)= F4(F5(z; u); F6(z; u)),
F1(F2(F3(x; x); y); y)= F4(F5(F6(z; z); u); u),
F1(F2(x; y); F3(x; y))= F4(F5(z; u); F6(z; u)),
F1(F2(F3(x; x); y); F4(y; F5(z; z)))=F6(u; u),
F1(F2(F3(x; x); y); z)= F4(F5(y; z); F6(u; u)),
F1(F2(x; x); F3(y; z))= F4(F5 (y; z); F6(u; u)),
F1(F2(F3(x; y); z); F4(F5 (x; y); z))=F6(u; u),
F1(F2(x; y); z)=F3(F4(x; F5(y; z)); F6(u; u)),
F1(F2(F3(x; y); F4(u; u)); z)=F5(F6(x; y); z).
Підраховано, що існує не менше, ніж 4 млн. загальних функційних рівнянь від чотирьох предметних змінних, проте з точністю до парастрофної рівносильності їх є всього 17.
Наслідок 2.4.6. Існує 17 загальних квадратичних парастрофно нерівносильних функційних рівнянь, з яких: 2 є нескоротними, 3 є парастрофно скоротними, але не мають самодостатніх підслів і 12 функційних рівнянь, які мають самодостатні підслова.
Теорема 2.6.1. Кожне квадратичне парастрофно нескоротне функційне рівняння від п’яти предметних змінних парастрофно рівносильне принаймні одному із чотирьох функційних рівнянь
F1(F2(F3(x; y); F4(z; t)); u)=F5(F6(F7(x; z); u); F8(y; t)), (2.56)
F1(F2(F3(x; y); F4(z; t)); u)=F5(F6(F7(x; u); z); F8(y; t)), (2.57)
F1(F2(F3(x; y); F4(z; t)); u)=F5(F6(F7(x; z); t); F8(y; u)), (2.58)
F1(F2(F3(x; y); F4(z; t)); u)=F5(F6(F7(x; z); F8(y; u)); t). (2.59)
Теорема 2.7.1. Вісімка (f1,…, f8) квазігрупових операцій множини Q задовольняє функційне рівняння (2.56) тоді і тільки тоді, коли існує група (Q; *) та підстановки бi, вi, i=1,..., 6 множини Q такі, що виконуються співвідношення
f1(x; u)=б5uв6x, f2(x1; x2)=в6-1(б1x1в1x2),
f3(x; y)=б1-1(в2yб2x), f4(z; t)= в1-1 (б3z в3t),
f5(x1; t)= б4x1в3t, f6(x2; x3)= б4-1(в5x3 в4x2),
f7(x; z)=в4-1(б2xб3z), f8(y; u)= в5-1(б5u в2y).
Теорема 2.7.2. Вісімка (f1,…, f8) квазігрупових операцій множини Q задовольняє функційне рівняння (2.57) тоді і тільки тоді, коли існує група (Q; *) та підстановки бi, вi, i=1,..., 6 множини Q такі, що виконуються співвідношення
f1(t; v)=б4tв3v, f2(t; z)= б4-1(б5zв4t),
f3(x; y)=в4-1(б2xб3y), f4(z; t)= б5-1(в5tв2z),
f5(z; t)= б1zв1t, f6(x; t)= б1-1(в5t*б6x),
f7(x; z)=б6-1(в2zб2x), f8(y; u)= в1-1(б3yв3 u).
Теорема 2.7.3. Вісімка (f1,…, f8) квазігрупових операцій множини Q задовольняє функційне рівняння (2.58) тоді і тільки тоді, коли існує комутативна група (Q;+) та підстановки бi, вi, i=1,..., 6 множини Q такі, що виконуються співвідношення
f1(y; u)=б6y+в5u, f2(x; y)= б6-1(б1x+в1y),
f3(x; y)= б1-1(б2x+в2y), f4(z; t)= в1-1(б3z+в3t),
f5(x; y)= б4x+в4y, f6(x; u)=б4-1(б5x+в5u),
f7(x; z)= б5-1(б2x+б3z), f8(y; t)= в4-1(в2y+ в3t).
Теорема 2.7.4. Вісімка (f1,…, f8) квазігрупових операцій множини Q задовольняє функційне рівняння (2.59) тоді і тільки тоді, коли існує комутативна група (Q; +) та підстановки бi, вi,
i=1,..., 6 множини Q такі, що виконуються співвідношення
f1(y; u)=б6y+в5u, f2(x; y)= б6-1(б1x+в1y),
f3(x; y)= б1-1(б2x+в2y), f4(z; t)= в1-1(б3z+в3t),
f5(x; y)= б4x+в4y, f6(x; z)=б4-1(б5x+ б3z),
f7(x; u)= б5-1(б2x+ в5u), f8(y; t)= в4-1(в2y+ в3t).
Теорема 2.7.5. Кожне з рівнянь (2.56), (2.57) є парастрофно нерівносильним ні рівнянню (2.58), ні рівнянню (2.59).
За результатами другого розділу автором опубліковано праці [1], [2], [3], [5], [6], [7].
У третьому розділі розглядається клас функційних рівнянь, які не є квадратичними, але серед компонентів розв’язку обов’язково мають ізотопи груп. Кажуть, що рівняння має властивість групової ізотопності, якщо деяка компонента кожного його розв’язку ізотопна до деякої групи.
Ізотопія групи вивчалась багатьма вченими. Проте завжди розглядалися тотожності та функційні рівняння квадратичні, або такі, які мають три предметні змінні, кожна з яких двічі входить.
Функційні рівняння, які не є врівноваженими і квадратичними, але мають властивість групової ізотопності, раніше не вивчалися.
Було поставлено питання: а чи існують такі рівняння взагалі? Ця проблема розв'язана. А саме, В.Д.Білоусов, В.Воленец, М.Осборн та інші вивчали тотожність
xyx=zxyz,
яка була опублікована в праці В.Дудека. Якщо замінити в цій тотожності кожне входження операції (*) різними функційними змінними, отримаємо рівняння, яке не є квадратичним і врівноваженим, але серед компонент розв'язку обов'язково має ізотопи груп. Множину всіх розв'язків такого рівняння знайдено в теоремі 3.1.2 і показано, що одна з компонент кожного розв'язку ізотопна деякій групі. Цим самим встановлено, що клас функційних рівнянь, які гарантують ізотопність групі ширший, ніж клас тих рівнянь, які до цих пір вивчалися.
Ці результати узагальнюють результати А.Крапєжа і В.Д.Білоусова для врівноважених тотожностей та А.Крапєжа і М.Тейлора для квадратичних рівнянь.
Теорема 3.1.2. П’ятірка (f1,..., f5) квазігрупових операцій, що визначені на довільній фіксованій множині Q, є розв’язком рівняння
F1(F2(z; x); F3(y; z))=F4(F5(x; y); x)
тоді і тільки тоді, коли існує групова операція (+) та підстановки б, в, г, д, м множини Q такі, що
f1(x; y)=бx+гy,
f2(x; y)=б-1(мy-вx),
f3(x; y)= г-1(вy+дx),
f5(x; y)=f4l(мx+дy; y)
для квазігрупової операції f4 ортогональної до групового ізотопу (?), де x?y:= мx+дy.
З цієї теореми, як наслідок, отримуємо результат В.Дудека.
Наслідок 3.1.3. Групоїд (Q;*) задовольняє тотожності xy*x=zx*yz тоді і тільки тоді, коли x*y=цx+(е-ц)y для деякого автоморфізму комутативної групи (Q; +) такого, що е-ц є підстановкою і виконується умова 2ц2-2ц+е=0.
Функційне рівняння назвемо тривіальним на множині квазігрупових операцій, якщо існування розв’язку на множині квазігрупових операцій, що визначені на множині Q, спричинює одноелементність множини Q. Числа k, p, n, де k, n – кількість появ функційних та предметних змінних, p – кількість різних предметних змінних, назвемо параметрами рівняння.
Теорема 3.2.2. На множині квазігрупових операцій існує нетривіальне рівняння з параметрами k, p, n тоді і тільки тоді, коли має місце умова n?2p.
Теорема 3.2.2. Кожне загальне функційне рівняння, в запис якого входить дві різних предметних і три функційних змінних, парастрофно рівносильне точно одному з рівнянь:
F1(F2(x; y), y)=F3(x; y), (3.17)
F1(F2(y; y), x)=F3(x; y), (3.18)
F1(F2(y; y), y)=F3(x; x). (3.19)
Цим самим узагальнено результат В.Д.Білоусова, який розглядав лише одне рівняння (3.17).
За результатами третього розділу автором опубліковано праці [4], [8].
ВИСНОВКИ
Отже, в даній дисертації: знайдено ряд інваріантів парастрофної рівносильності; дано повну класифікацію квадратичних функційних рівнянь від n (n=2, 3, 4) предметних змінних з точністю до парастрофної рівносильності; виділено представники кожного із класів парастрофної еквівалентності; знайдено множини розв’язків рівнянь від n (n=2, 3, 4) предметних змінних; встановлено існування двох класів при n=2, чотирьох класів при n=3 і 17 класів при n=4; доведено, що кожне загальне квадратичне функційне рівняння від чотирьох предметних змінних, яке не має самодостатніх підслів, парастрофно рівносильне точно одному із п’яти функційних рівнянь; встановлено, що кожне квадратичне парастрофно нескоротне функційне рівняння від п’яти предметних змінних парастрофно рівносильне принаймні одному із чотирьох наведених функційних рівнянь, які не попадають в один клас за парастрофною рівносильністю; доведено існування функційних рівнянь, які не є квадратичними, але серед компонентів розв’язку обов’язково мають ізотопи груп.
Основними результатами дисертації є:
- завершення класифікації загальних квадратичних функційних рівнянь малої довжини з точністю до парастрофної рівносильності на квазігрупах. Встановлено, що існує 17 загальних квадратичних рівнянь від чотирьох предметних змінних;
- знаходження серії інваріантів парастрофної рівносильності;
- доведення факту, що нескоротних квадратичних функційних рівнянь від п’яти предметних змінних є не більше 4-х з точністю до парастрофної рівносильності;
- доведення існування неквадратичних функційних рівнянь від трьох предметних змінних, які мають властивість ізотопності групі.
Здобуті в дисертації результати можна застосувати до подальшого вивчення в алгебрі при вивченні тотожностей в теорії квазігруп; в топології при вивченні тотожностей в топологічних квазігрупах і лупах; в дискретній математиці та багатозначній логіці при вивченні розкладів багатомісних функцій за допомогою суперпозицій тощо.
Всі результати дисертації є строго логічно обґрунтованими та якісно відрізняються від одержаних попередниками.
Автор висловлює щиру подяку своєму науковому керівникові доценту Сохацькому Федору Миколайовичу за постійну увагу та допомогу під час написання роботи.
СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ
[1] Коваль Р.Ф. Класифікація квадратичних функційних рівнянь малої довжини на квазігрупах // Науковий часопис НПУ ім. М.П.Драгоманова. Фізико-математичні науки. - 2004. – № 5.- С.111-127.
[2] Коваль Р.Ф. Класифікація квадратичних парастрофно нескоротних функційних рівнянь від п’яти предметних змінних на квазігрупах // Український математичний журнал. - 2005. - Т. 57, № 8. - С.1058 - 1068.
[3] Коваль Р.Ф. Розв’язання квадратичних функційних рівнянь від п’яти предметних змінних на квазігрупових операціях. // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. – 2005. Вып. 11.– С. 15-22.
[4] Koval’ R.F. On a Functional Equation with a Group Isotopy Property// Bulentinul Academiei de Єtiinte a Republicii Moldova.– 2005.– N2.–P.65–71.
[5] Сохацький Ф.М., Коваль Р.Ф. Класифікація функційних рівнянь від чотирьох змінних // Третя міжнародна алгебраїчна конференція в Україні (2–8 липня 2001 р.).– Суми: Сумський державний педагогічний університет ім. А.С.Макаренка, 2001.– С.254 –255.
[6] Sokhatsky F.N., Koval’ R.F. A classification of general four variable quadratic parastrophically uncancellable functional equations on quasigroups// Forth International algebraic conference in Ukraine (August 4-9, 2003).– Lviv, 2003.– P.209–210.
[7] Sokhatsky F.N., Koval’ R.F. About a classification of quadratic parastrophically uncancellable functional equations on quasigroups// Second Conference of the Mathematical Society of the Republic of Moldova (August 17-19, 2004).- ChiЄinau: Institute of Mathematics and Computer Science, 2004.– P.300–301.
[8] Koval’ R.F. On Group Isotopy Property Functional Equation// Fifth International Algebraic Conference in Ukraine (July 20-27, 2005).– Odessa: I.I.Mechnikov National University, 2005.– Р.107.
АНОТАЦІЇ
Юрнй Р.Ф. Класифікація функційних рівнянь малої довжини на квазігрупових операціях.Ї Рукопис.
Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.06 –алгебра і теорія чисел. Інститут математики НАН України, Київ, 2006.
В дисертації вивчено властивості парастрофної рівносильності: знайдено ряд інваріантів; дано повну класифікації квадратичних функційних рівнянь від n (n=2, 3, 4) предметних змінних; виділено представники кожного із класів, знайдено множини розв’язків кожного з цих рівнянь. Звідси випливає існування двох класів при n=2; чотирьох класів при n=3 і 17 класів при n=4. Доведено, що кожне квадратичне парастрофно нескоротне функційне рівняння від п’яти предметних змінних парастрофно рівносильне принаймні одному із чотирьох наведених функційних рівнянь, які не попадають в один клас за парастрофною рівносильністю.
Показано існування функційних рівнянь, які не є квадратичними, але серед компонентів розв’язку обов’язково мають ізотопи груп, знайдено всі розв’язки вказаного рівняння.
Встановлено критерій існування нетривіальних квазігрупових рівнянь на множині квазігрупових операцій. Крім того, знайдено повну класифікацію загальних не обов’язково квадратичних функційних рівнянь малої довжини на квазігрупових операціях.
Ключові слова: функційне рівняння, квадратичне функційне рівняння, парастрофна рівносильність, парастрофна скоротність, властивість групової ізотопності, самодостатня послідовність, характеристика нейтральності.
Юрий Р.Ф. Классификация функциональных уравнений малой длины на квазигрупповых операциях.Ї Рукопись.
Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.06 – алгебра и теория чисел. Институт математики НАН Украины, Киев, 2006.
В диссертации найдено ряд инвариантов парастрофной равносильности; дана полная классификация квадратических функциональных уравнений от n (n=2, 3, 4) предметных переменных с точностью до парастрофной равносильности: выделено представителя каждого из классов парастрофной эквивалентности; найдены множества решений уравнений от n (n=2, 3, 4) предметных переменных; установлено, что существует два класса при n=2, четыре класса при n=3 и 17 классов при n=4.
Доказано, что каждое общее квадратичное функциональное уравнение от четырех предметных переменных, которое не имеет самодостаточных подслов, парастрофно равносильно точно одному из пяти функциональных уравнений. Установлено, что уравнение от четырех предметных переменных, которое имеет хотя бы одно самодостаточное подслово, парастрофно равносильное точно одному из 12 приведенных функциональных уравнений.
Анализируя решения функциональных уравнений от четырех предметных переменных, можно сделать такие выводы:
1) все компоненты любого решения функционального уравнения, которое парастрофно равносильное общему уравнению медиальности, изотопные одной и той же коммутативной группе;
2) все компоненты любого решения функционального уравнения, которое парастрофно равносильное общему уравнению псевдомедиальности, изотопные одной и той же группе, которая не обязательно коммутативная;
3) четыре из шести компонент произвольного решения функционального уравнения, которое парастрофно равносильно функциональному уравнению (2.32), изотопные одной и той же группе;
4) все остальные квадратичные функциональные уравнения от четырех предметных переменных не имеют свойства изотопности группе.
Этим самым завершена классификация всех общих квадратичных функциональных уравнений от n (n=2, 3, 4) предметных переменных с точностью до парастрофной равносильности
Кроме того, установлено, что каждое парастрофно несократимое квадратичное функциональное уравнение от пяти предметных переменных парастрофно равносильно хотя бы одному из четырех приведенных функциональных уравнений. Приведены решения каждого из этих четырех функциональных уравнений и доказано существование не менее двух классов парастрофной равносильности.
Доказано существование функциональных уравнений, которые не являются квадратичными, но среди компонент решений обязательно имеют изотопы групп. Этим установлено, что класс функциональных уравнений, которые гарантируют изотопность группе намного шире, чем класс тех уравнений, которые ранее изучались.
Установлен критерий существования нетривиальных квазигрупповых уравнений на множестве квазигрупповых операций.
Дана полная классификация общих неквадратичных функциональных уравнений малой длины на множестве квазигрупповых операций.
Доказано, что от двух предметных и двух функциональных переменных есть два класса парастрофной неравносильности, от двух предметных и трех функциональных переменных есть три класса парастрофной неравносильности, от двух предметных и четырех функциональных переменных – не более 13 классов парастрофной неравносильности.
Ключевые слова: функциональное уравнение, квадратичное функциональное уравнение, парастрофная равносильность, парастрофная сократимость, свойство изотопности группе, самодостаточная последовательность, характеристика нейтральности.
Yuriy R.F. Classification of small length functional equations on quasigroup operations.Ї Manuscript.
Thesis for Candidates degree in speciality 01.01.06 – algebra and theory of numbers. Institute of mathematics of NAS of Ukraine, Kyiv, 2006.
In the thesis: a number of parastrophic equivalence invariants are founded; the full classification of quadratic functional equations containing n individual variables (n=2, 3, 4) up to parastrophic equivalence are given; it is stated that there exist two classes when n=2, four classes when n=3 and 17 classes when n=4. It is proved that every general quadratic functional equation having four individual variables, which has no self-contained subterm, is parastrophic equivalent to exactly one of the five given equations; every quadratic parastrophic irreducible functional equation having five individual variables is parastrophic equivalent to at least one given functional equations. It is stated that there exist at least two classes up to parastrophic equivalence.
The existence of nonquadratic functional equations, every solution of which has a group isotope, has proved.
Key words: functional equation, quadratic functional equation, parastrophic equivalence, parastrophic reducible, group isotopy property, self-contained sequence, neutral characteristic.
