МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

НАЦІОНАЛЬНИЙ ТРАНСПОРТНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

ЗАСЯДЬКО Аліна Анатоліївна

УДК 681.518.2

МЕТОДИ РОЗВ’ЯЗАННЯ НЕКОРЕКТНИХ ЗАДАЧ

НА ОСНОВІ БАГАТОКРИТЕРІАЛЬНОЇ ОПТИМІЗАЦІЇ

І ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ ПЕРЕТВОРЕНЬ

ДЛЯ АВТОМАТИЗОВАНИХ СИСТЕМ УПРАВЛІННЯ

05.13.06 – Автоматизовані системи управління

і прогресивні інформаційні технології

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття вченого ступеня

доктора технічних наук

Київ – 2006

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Черкаському національному університеті

Міністерства освіти і науки України.

НАУКОВИЙ КОНСУЛЬТАНТ: доктор технічних наук, професор,

БАРАНОВ Володимир Леонідович,

Заслужений діяч науки і техніки України,

провідний науковий співробітник відділу гібридних

моделюючих і керуючих систем в енергетиці

Інституту проблем моделювання в енергетиці

ім.Г.Є.Пухова Національної академії наук України

ОФІЦІЙНІ ОПОНЕНТИ: – доктор технічних наук, професор,

БЄЛЯЄВСЬКИЙ Леонід Степанович,

Заслужений діяч науки і техніки України,

двічі Лауреат державної премії України

в галузі науки і техніки,

професор кафедри транспортного права,

системного аналізу та логістики

Національного транспортного університету

Міністерства освіти і науки України–

доктор технічних наук, професор,

СТАСЮК Олександр Іонович,

завідувач кафедрою інформаційних систем і технологій, проректор з наукової роботи

Київського університету економіки і технологій транспорту Міністерства транспорту і зв’язку України–

доктор технічних наук, професор,

ВОРОНІН Альберт Миколайович,

професор кафедри комп’ютерних інформаційних технологій Національного авіаційного університету

Міністерства освіти і науки України

ПРОВІДНА УСТАНОВА: науково-виробнича корпорація

“Київський інститут автоматики”

Міністерства промислової політики України

Захист відбудеться "27" жовтня 2006 р. о 12 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д26.059.01 Національного транспортного університету,

01010, м.Київ, вул. Суворова, 1, а.244-6.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Національного транспортного університету, м.Київ, вул. Кіквідзе, 42.

Автореферат розісланий “23” вересня 2006 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради

к.т.н., доцент Мельниченко О.І.

Актуальність теми. Науково-технічний прогрес в області керування транспортними процесами вимагає створення складних автоматизованих систем управління (АСУ). Незалежно від призначення АСУ і виду транспорту (авіаційного, автомобільного, залізничного, водного, морського) процес управління вміщує в собі наступні етапи: збір первинної інформації про стан об’єкта або процесу керування; обробка первинної інформації з метою підвищення її достовірності; прийняття рішення про керуючі дії на об’єкт або процес керування; реалізація прийнятого рішення шляхом дії на керований об’єкт або процес.

Ефективність АСУ безпосередньо залежить від завчасності і точності керуючих дій, які формуються на основі первинної інформації про стан об’єкта або процесу керування. В умовах невизначеності отримуваної інформації вплив достовірності первинної інформації про стан об’єкта або процес керування на ефективність АСУ істотно зростає. Тому першочерговою задачею для АСУ, які діють в умовах невизначеності первинної інформації, є розробка методів перетворення і відновлення інформації. Така задача розв’язується в сучасних АСУ в рамках їхнього інформаційного і математичного забезпечення.

Розв’язання задач пошуку шляхів підвищення ефективності АСУ стало можливим завдяки розвитку засобів обчислювальної техніки, інформаційних технологій, методів системного аналізу, зокрема математичного моделювання і теорії оптимізації. Вирішенню цих проблем присвячені роботи Глушкова В.М., Скуріхіна В.І., Пухова Г.Є., Павлова О.А., Васильєва В.В., Вороніна А.М., Левковця П.Р., Бєляєвського Л.С., Стасюка О.І., Баранова Г.Л., Баранова В.Л., Карандакова Г.В., Ігнатенка О.С., Тимченка А.А.

Підвищення ефективності використання транспортних ресурсів приводить до необхідності розглядати некоректні задачі контролю, оптимізації і прогнозування стану транспортних засобів в умовах невизначеності. З 60-тих років ХХ ст. і дотепер розроблений широкий спектр різних підходів до розв’язання некоректних задач. Основою для досліджень в даній області є праці наукової школи А.М. Тихонова, яка створила математичну теорію некоректно поставлених задач. Вона представлена методом регуляризації А.М. Тихонова, методом заміни М.М. Лаврентьєва, методом підбору і квазірозв’язку В.К. Іванова та іншими методами. Розроблені також методи ітеративної, статистичної, локальної, дискриптивної регуляризації, субоптимальної фільтрації, розв’язання на компакті та ін. Іноземні розробки представлені методами оптимальної фільтрації Калмана-Б’юсі і Вінера, методами керованої лінійної фільтрації (Бейкуса-Гільберта) та ін. Хоча ці методи є в принципі більш точними, але методи, запропоновані радянськими вченими (в першу чергу, метод регуляризації Тихонова) вимагають набагато менше додаткової інформації про розв’язок і тому знаходять більш широке застосування при розв’язанні некоректних задач.

Відомі також операційні методи розв’язання інтегральних рівнянь, які дозволяють шляхом переходу з області оригіналів в область зображень перетворити інтегральні рівняння в алгебраїчні. Наприклад, широке застосування отримали інтегральні перетворення Лапласа і Фур’є. Проте інтегральні перетворення Лапласа використовуються в основному для лінійних рівнянь, що обмежує область їх застосування, а використання перетворень Фур’є у випадку нелінійних рівнянь ускладнено. Серед таких методів відомий операційний метод диференціальних перетворень, основи якого були розроблені в роботах академіка Г.Є. Пухова. Метод основних диференціальних перетворень дозволяє розв’язати задачу в області з відсутнім неперервним аргументом і звести складну задачу до більш простої задачі, яку можна достатньо легко розв’язати чисельними методами. Проте вказаний метод має недоліки, притаманні всім методам, які використовують ряд Тейлора, а саме: обмеженням неперервного інтервалу, в якому розглядається задача, радіусом збіжності ряду Тейлора, а також необхідністю забезпечення потрібної точності зменшенням інтервалу або більшою кількістю дискрет, які не можуть бути достовірно отримані з моделі внаслідок наявності завад і збурень, діючих на об’єкт. Тому актуальною є розробка моделей і методів оптимізації об’єктів і процесів на основі більш точних перетворень їх моделей. В якості таких перетворень пропонується використовувати зміщені диференціальні перетворення, запропоновані Г.Є. Пуховим. Зміщені перетворення дозволяють побудувати більш точні моделі оптимізації динамічних об’єктів і процесів і реалізувати їх моделювання в реальному і прискореному часі.

Для дослідження поведінки складних фізичних об’єктів або процесів застосовується системний підхід, який характеризується розглядом множини властивостей і взаємозв’язків, притаманних об’єкту або процесу. При цьому досліджувані властивості часто суперечать одна одній, проте ні одною з них не можна знехтувати, оскільки тільки в своїй сукупності вони дають повне уявлення про даний об’єкт. Для некоректних задач такими суперечливими властивостями або частинними критеріями якості в багатокритеріальній постановці задачі можуть бути стійкість і точність отримуваного розв’язку.

Подальший розвиток АСУ вимагає нових теоретичних положень. Тому відсутність ефективних методів, теоретичних положень і математичного забезпечення, що дозволяють розв’язувати некоректні задачі відновлення інформації та оптимізації параметрів об’єктів АСУ в умовах невизначеності у значній мірі стримує впровадження сучасних високоефективних АСУ. Окрім того, забезпечення рівня безпеки руху високошвидкісних транспортних засобів (ВТЗ) досягається за рахунок знаходження оптимальних параметрів та характеристик, а також створення спеціального математичного й алгоритмічного забезпечення системи відновлення інформації в умовах невизначеності. У зв’язку з цим актуального значення набуває створення науково обґрунтованих методів розв’язання некоректних задач для підвищення достовірності та якості інформації для АСУ в умовах невизначеності.

Мета і задачі дослідження. Метою роботи є розробка методів розв’язання некоректних задач відновлення інформації на основі багатокритеріальної оптимізації та диференціальних перетворень для інформаційного та математичного забезпечення АСУ.

Для досягнення поставленої мети в дисертації були визначені наступні задачі:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

Таким чином, об’єктом дослідження є математичне та інформаційне забезпечення АСУ в умовах невизначеності. Предмет дослідження – методи розв’язання некоректних задач.

Методи дослідження. Для розв’язання поставлених задач використовувалися методи математичного моделювання в АСУ, математичні моделі процесів відновлення інформації в АСУ, методи розв’язання задач оптимального планування в умовах невизначеності, багатокритеріальна оптимізація, диференціальні перетворення, системоаналогове моделювання.

Достовірність основних наукових результатів, висновків і рекомендацій підтверджувалася чисельними дослідженнями і моделюванням на ЕОМ; регуляризацією некоректних задач; збігом результатів чисельних експериментів з відомими експериментальними даними інших досліджень, прийнятною узгодженістю результатів роботи з експериментальними даними.

Наукова новизна отриманих результатів полягає в наступному:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами.

Здобувач приймав участь у науково-дослідних роботах, а саме: НДР “Розвиток теорії моделювання складних динамічних систем і розробка методів моніторингу, оптимізації і прогнозування стану об’єктів і процесів енергетики” шифр МУЛЬТІЛІНК за номером державної реєстрації 0105V003064 (постанова президії НАН України, бюро відділення фізико-технічних проблем енергетики від 19.04.05, § 42), НДР "Розробка теорії моделювання і методів побудови системоаналогових обчислювальних структур для розв’язання нелінійних багатокритеріальних задач математичного програмування" шифр СИСТЕМОГРАФ за номером державної реєстрації № 0199U000489 (постанова президії НАН України, бюро відділення фізико-технічних проблем енергетики від 11.03.1999, § 3), які виконувались Відділом гібридних моделюючих і керуючих систем в енергетиці Інституту проблем моделювання в енергетиці НАН України ім. Г.Є.Пухова.

Отримані результати були також впроваджені в Центральному НДІ навігації і управління при виконанні НДКР "Розробка засобів картографування врожайності" (Технічне забезпечення системи точного землеробства), шифр "Міус", за номером державної реєстрації 0103U003962 в рамках „Програми виробництва технологічних комплексів, машин і обладнання для агропромислового комплексу на 1998-2005 роки”, схваленою постановою Кабінету Міністрів України № 403 від 30.03.1998 р.

Перевірка розроблених методів проводилася по експериментальним даним, отриманим в держбюджетній НДР "Комплексні дослідження створення перспективного вагонного парку для перевезень міжнародними транспортними коридорами" за номером державної реєстрації № 0199U000332, шифр 7-99Б, яка проводилась в Київському університеті економіки і технологій транспорту Міністерства транспорту і зв’язку України.

Практичне значення отриманих результатів. На основі результатів дисертаційної роботи було отримано:

1.

2.

3.

4.

Практичні результати є прямим доказом значимості результатів, які є вкладом в науку.

Результати дисертаційної роботи також включені в навчальні курси: "Математичне і програмне забезпечення обчислювальних систем АСУ", що читаються на кафедрі "Комп’ютеризовані системи" Житомирського військового інституту радіоелектроніки; “Комп’ютерні інформаційно-керуючі системи на залізничному транспорті”, “Пристрої інформаційно-управляючих систем залізничного транспорту” Київського інституту економіки і технологій транспорту; “Цифрова обробка сигналів”, “Ідентифікація та моделювання об’єктів автоматизації”, “Основи проектування систем автоматизації” Черкаського національного університету; “Основи електроніки та зв’язку”, “Пожежна та виробнича автоматика” Черкаського інституту пожежної безпеки ім. Героїв Чорнобиля.

Результати дисертаційної роботи підтверджені актами впровадження: в розробках ЦНДІ навігації і управління, Інституту проблем матеріалознавства ім. Францевича НАН України, при розробці перспективного плану наукової роботи на період 2006-2011 р. другої служби в/ч А50515, Житомирському інституті радіоелектроніки ім. С.П. Корольова, Київському університеті економіки і технологій транспорту, Черкаському інституті пожежної безпеки ім. Героїв Чорнобиля, Черкаському національному університеті ім. Богдана Хмельницького.

Апробація результатів дисертації. Основні результати роботи доповідалися й обговорювалися на 18 міжнародних і регіональних конференціях, у тому числі: І Міжнародній науковій конференції "Раціональне використання природних ресурсів. Проблеми екології, енергозбереження, економіки, освіти та інформації в умовах ринкових відносин" (Черкаси, 2001), ІV Міській міжвузівській науково-практичній конференції викладачів, студентів і молодих учених (Житомир, 2001), V Міжнародній науково-практичній конференції "Сучасні технології в аерокосмічному комплексі" (Житомир, 2001), XІІІ Військово-науковій конференції ЖВІРЕ (Житомир, 2002), ІV Міжнародній науково-технічній конференції "АВІА-2002" (Київ, 2002), 41-му міжнародному семінарі по моделюванню й оптимізації композитів "Прогнозування в матеріалознавстві" (Одеса, 2002), Міжнародній науково-технічній конференції "Інформаційно-комп’ютерні технології 2002" (Житомир, 2002), ІІІ Всеукраїнській конференції молодих науковців "Інформаційні технології в науці і техніці" (Черкаси, 2002), ІV Міжнародній науково-практичній конференції "Людина і космос" (Дніпропетровськ, 2002), V Міжнародній науково-технічній конференції "АВІА-2003" (Київ, 2003), V Всеукраїнській науково-практичній конференції „Комп’ютерне моделювання та інформаційні технології в науці, економіці та освіті” (Черкаси, 2003),VІ Міжнародній науково-технічній конференції "АВІА-2004" (Київ, 2004), XIV науково-технічній конференції „Наукові проблеми розробки, модернізації та застосування інформаційних систем космічного і наземного базування” (Житомир, 2004), наукових семінарах Інституту проблем моделювання в енергетиці НАН України (2001-2005), Всеукраїнській науково-методичній конференції „Сучасні проблеми математичного моделювання, прогнозування та оптимізації” (Київ-Кам’янець-Подільський, 2004), VI Всеукраїнській науково-практичній конференції „Комп’ютерне моделювання та інформаційні технології в науці, економіці та освіті” (Кривий Ріг, 2005), ІІІ науково-практичній конференції „Проблеми і перспективи розвитку транспортних систем: техніка, технологія, економіка і управління (Київ, 2005), 62-й науковій конференції професорсько-викладацького складу, аспірантів, студентів та структурних підрозділів Національного транспортного університету (Київ, 2006).

Публікації. Основні результати дисертації викладені в 27 основних і 13 додаткових роботах. В публікаціях, написаних у співавторстві, автору належать: [19] – розроблені математичні моделі для розв’язання задачі відновлення сигналів; [20] – автором розроблена системоаналогова модель процесу відновлення; [21] – виконане моделювання процесу відновлення сигналів зміщеними диференціальними перетвореннями; [22] – автором розроблений багатокритеріальний метод розв’язання вироджених систем лінійних алгебраїчних рівнянь; [23] – розроблена багатокритеріальна модель задачі відновлення; [24] – розроблена математична модель задачі відновлення для лазерного мас-спектрального аналізу; [25] – автором проведене чисельне дослідження стійкості методу власних функцій; [26] – досліджена стійкість методу багатокритеріальної оптимізації до похибок у моделі; [27] – здобувачем побудована багатокритеріальна модель уточнення теплофізичних характеристик матеріалів.

Перелічені публікації із достатньою повнотою відбивають наукові та практичні результати дисертаційної роботи. З праць, що їх опубліковано у співавторстві, у дисертації використано тільки ті результати, які отримані здобувачем самостійно.

Структура та обсяг роботи. Дисертація складається зі вступу, чотирьох розділів, загальних висновків, списку використаної літератури з 348 найменувань, 3 додатків на 30 сторінках, 53 рисунків і 9 таблиць – всього 325 сторінок. Основний текст дисертації складається з 261 сторінки.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі показана актуальність напрямку досліджень, відбито зв’язок дисертаційної роботи з науковими програмами, планами, темами, сформульовано мету і задачі досліджень, наведені основні положення, які виносяться на захист і практичну цінність роботи, наведено відомості про апробацію результатів і їхнє впровадження.

В першому розділі наведений аналіз сучасного стану методів розв’язання некоректних задач відновлення інформації і оптимізації, представлена постановка і аналіз задач дослідження, до яких належать задачі відновлення інформації в АСУ, а саме: задача редукції до ідеального приладу, цифрова обробка сигналів датчиків в одновимірному випадку, знаходження сили тертя кочення для колісного транспорту.

Математично під оберненою задачею розуміємо задачу, яка має на увазі знаходження функції y(s) по функції f(x), яка випливає з експерименту або спостережень, з рівняння вигляду

f(x)= A[x, y(s)], (1)

де А є деякий оператор, який встановлює причинно-наслідковий зв’язок між y(s) і f(x).

Зазвичай (1) має вигляд операторного рівняння

f=Ay. (2)

В більшості випадків обернена задача (2) може бути інтерпретована інтегральним рівнянням Фредгольма 1-го роду (ІРФ), яке описує певну модель процесу, що досліджується:

, (3)
де К(x, s) - ядро (неперервне, що квадратично сумується по змінним x, s) і вільний член f(x) – задані; функція y(s) має бути відновленою.

В багатьох прикладних задачах система лінійних алгебраїчних рівнянь (СЛАР) (2), як правило, задана наближено. В цьому випадку необхідно знайти наближений розв’язок y СЛАР (2) по заданим апроксимаціям

Ay=f, А=А+А, f=f+f . (4)

В даному випадку в (1),(2), (4) А є (NM)–матриця з дійсними елементами aij, 1<i<N, 1<j< M, y – шуканий M–вектор, f – заданий N–вектор правої частини, що являє собою суму корисного сигналу і похибки f. Окрім того, в апроксимації (2) наближено заданою є також матриця системи – задана не (NM)–матриця A, а (NM)–матриця A, яка складається з матриці A і похибки (завади) A; елементи A і А позначаються відповідно через і aij.

При розв’язанні некоректних СЛАР (4) загальна кількість методів досить значна і визначається багатьма сотнями. Але при розв’язанні даного типу задач можна використовувати ідею мінімізації різних (узгоджених) квадратичних функціоналів, що задають відношення переваги, причому по одному з них здійснюється мінімізація.

В цьому розділі наголошується, що найбільш важливою групою методів для розв’язання некоректних СЛАР є варіаційні методи, в яких використовуються поняття псевдорозв’язку (що мінімізує нев’язку) і нормального розв’язку (що мінімізує норму розв’язку).

Тут також наводяться відомі методи розв’язання некоректних задач, зокрема задачі відновлення, некоректних задач нелінійного програмування (ЗНП), а також некоректних рівнянь. Зроблено висновок, що в методі Вінера і методі власних функцій має місце компроміс між стійкістю і точністю розв’язку. Такого роду компроміс є в методі регуляризації Тихонова, але він у ньому не є оптимальним, проте є можливість знайти цей компроміс за допомогою багатокритеріальної оптимізації.

У другому розділі некоректні задачі відновлення інформації й оптимального планування в умовах невизначеності розв’язуються на основі багатокритеріальної оптимізації. Тут використовується поняття частинних критеріїв у змісті критеріїв якості, що притаманні для багатокритеріальної оптимізації, щоб визначити умови для одержуваного розв’язку задачі відновлення.

Якість розв’язання інтегрального рівняння (3) оцінимо сукупністю частинних критеріїв

Ij=Фj[x, a, b, c, d, y], (5)

де j = 1, 2, 3, ... , r; функції Фj мають неперервні частинні похідні по y. Частинні критерії (5) є компонентами r-мірного векторного критерію I=(I1, I2, …,Ir).

Нехай векторний критерій обмежений допустимою областю I(I). Кожен компонент векторного критерію І описується виразом (5), який визначений на розв’язках yY рівняння (3). Багатокритеріальна задача розв’язання інтегрального рівняння (3) полягає у визначенні екстремумів {y*(s)}, y*Y, I*(I), котрі при заданих умовах, які визначаються мірою апріорної інформації про розв’язок y(s), оптимізують векторний критерій I.

Нехай задана множина можливих розв’язків Y, яка складається з векторів n-мірного евклідового простору. Якість розв’язку оцінюється по сукупності суперечливих частинних критеріїв, які утворюють r-мірний вектор . Вектор I(y) визначається на множині Y, належить класу F допустимих векторів ефективності і обмежений допустимою областю: I. Необхідно визначити такий розв’язок y*Y, що при заданих умовах і обмеженнях оптимізує розв’язок у(s) рівняння (3). У некоректних задачах найбільш розповсюджений випадок, що всі частинні критерії Ik(y) вимагають мінімізації і що вони усі невід’ємні й обмежені:

. (6)

У залежності від наявності і виду апріорної інформації підходи до розв’язання багатокритеріальних задач можуть бути різними. Часто обмежуються знаходженням будь-якого вектора розв’язку y*, що забезпечує тільки виконання умови (6) по обмеженнях:

, (7)

де – розв’язок належить двом областям: області компромісів (області Парето) Yk і області згоди YC. При такому способі знаходження оптимального розв’язку він часто виявляється грубим. Тому у якості скалярного критерію для некоректних задач пропонується використовувати скалярну згортку частинних критеріїв за нелінійною схемою компромісів, введену А.М.Вороніним. Багатокритеріальна задача (3)-(6) зводиться до розв’язання однієї задачі оптимізації виразу

, (8)

при умовах (6). Якщо необхідно ввести пріоритет одних критеріїв над іншими і мати різну чутливість до варіації параметрів задачі, то замість одиниці в чисельнику виразу (8) вводять вагові коефіцієнти бj, на які накладаються обмеження .

Далі наведена постановка задачі відновлення інформації з використанням різних схем оптимізації. Систематизовані необхідні умови існування шуканого розв’язку з врахуванням припустимих обмежень на кожну умову, для того, щоб перейти до постановки задачі розв’язання ІРФ з використанням різних схем оптимізації:

? нев’язка або псевдорозв’язок отриманого розв’язку повинна бути мінімальною;

? нормальний розв’язок по Тихонову повинний бути мінімальним;

? є додаткові відомості про невідомий розв’язок, наприклад, відомо, що він повинний бути невід’ємним або симетричним.

Сформовані частинні критерії (5), з яких по окремості складається оптимізаційна задача. При розв’язанні задачі багатокритеріальної оптимізації сукупність цих частинних критеріїв утворить векторний критерій І.

1. Перший критерій I1 відповідає за сумарну нев’язку одержуваного розв’язку:

. (9)

На критерій I1 накладаються обмеження:

0 I1 I1m = n10-2l , або 0 I1 I1m = , (10)

де n – кількість рівнянь, l – довжина розрядної сітки початкових даних. При реалізації необхідно враховувати, що вказана в (10) величина I1m мінімальна, і необхідно для підвищення чисельної стійкості збільшувати це значення, виходячи з особливостей задачі.

2. Другий критерій – критерій по чисельній стійкості, що гарантується нормальним розв’язком по Тихонову, тобто мінімізує норму розв’язку:

. (11)

Нормальний розв’язок введений А.М.Тихоновим як умова вибору з множини розв’язків некоректної задачі.

Обмеження на критерій I2 вибираються з міркувань про фізичні властивості об’єкта моделювання. Вони накладаються на допустиму область розв’язків:

0I2I2m=R = , (12)

де I2m = R – радіус сфери, у якій знаходиться розв’язок. За умовою експерименту відома довжина розв’язку вимірюваного сигналу, тому довжина шуканого сигналу повинна бути не меншою довжини розв’язку вимірюваного сигналу:

I2m, (13)

де f – права частина рівняння (3). Можливо ще обмеження зверху для цього критерію, однак апріорі невідоме його значення.

До перших двох критеріїв можна додавати інші. Наприклад, третій критерій вибирається з умови симетричності розв’язку (якщо відновлюється симетричний щодо свого піка сигнал):

, 0I3I3m . (14)

На основі введених критеріїв постановка задачі нелінійного програмування або однокритеріальної оптимізації для розв’язання задачі відновлення сигналів, вираженою (3) буде виглядати в такий спосіб:

1. Задача знаходження мінімальної сумарної нев’язки для розв’язку: критерій, що мінімізується – (9), обмеження – (12), (14).

2. Задача знаходження нормального розв’язку по Тихонову: критерій, що мінімізується – (11), обмеження – (10), (14).

3. Задача знаходження симетричного розв’язку: критерій, що мінімізується – (14), обмеження – (10), (12).

Отже, використовувалися однокритеріальна оптимізація і метод Тихонова (МТ) при розв’язанні некоректної задачі відновлення сигналів і досліджувалися властивості: чутливість розв’язку до знаходження параметру регуляризації, стійкість до похибок вимірювання сигналу (похибки правої частини СЛАР або ІР), збіжність обчислювального процесу на всьому діапазоні існування параметру регуляризації. Теоретичні і чисельні дослідження показали подібність однокритеріальної оптимізації і МТ по цим властивостям при похибках правої частини СЛАР або ІР. Принципова відмінність МТ і однокритеріальної оптимізації полягає в знаходженні параметру регуляризації. Завдяки чутливості МТ до параметру регуляризації існує декілька методів його знаходження, наприклад, метод нев’язок, який не завжди забезпечує прийнятний результат.

Далі наведений метод відновлення сигналів за допомогою багатокритеріальної оптимізації. На основі інтегральної суми частинних критеріїв утворюється скалярний критерій І, який необхідно мінімізувати на основі моделі інтегральної оптимальності:

(15)

при обмеженнях (10), (12), (14), .

Однак для некоректних задач мінімізація нев’язки конфліктує з мінімізацією норми розв’язку (або чисельною стійкістю). Модель інтегральної оптимальності (15) ефективна при неконфліктних критеріях, при конфліктуючих критеріях рекомендується використовувати нелінійну схему компромісів. Тому задачу знаходження мінімуму критеріїв I1, I2, I3 розв’язуємо як багатокритеріальну задачу за нелінійною схемою компромісу Вороніна, що реалізує множину Парето (множина Р) на основі моделі (8):

(16)

при обмеженнях (10), (12), (14).

Крім того, розглядається цілий клас інших оптимізаційних задач на основі (15) і (16), наприклад, у скалярний критерій вводити не всі частинні критерії якості, а починаючи з одного (тоді отримуємо розглянуту вище задачу нелінійного програмування).

Розглянемо вид некоректності, коли розв’язок чутливий до похибок правої частини рівняння (1) або (3). Нехай рівняння Ay=f замінене рівнянням Ay=f так, що нев’язка f(f, f). Наближений розв’язок шукається в класі Q елементів yF, для яких f (Ay, f). Для добору із широкої множини Q можливих розв’язків А.М. Тихонов увів стабілізуючий функціонал [y], визначений на підмножині F1,=F1Q. При використанні такого варіаційного методу знаходження регуляризованого наближеного розв’язку рівняння Ay=f задача знаходження наближеного розв’язку y полягає у заходженні елемента y, мінімізуючого функціонал [y] для

F1, = Q F1 = {y, yF1, f (Ay, f)}, (17)

де Q = {y, f (Ay, f)}.

Для некоректних задач роль стабілізуючого функціоналу [y] відіграє нормальний розв’язок (11). Отже, критерій I2(y)=[y] необхідно оптимізувати: . Інший критерій відповідає за мінімізацію нев’язки отриманого розв’язку (9): I1(y)=|f|>0 або

I1= (Ay, f). Тоді задача нелінійного програмування (ЗНП) знаходження розв’язку в (17) по А.М. Тихонову

при |f|. (18)

Розв’язати ЗНП вигляду (18) у ряді випадків (наприклад, при великій розмірності) важко. Тому А.М. Тихонов замінює (18) варіаційною задачею з обмеженнями у виді рівностей

f(Ay, f)= і застосовує метод невизначених множників Лагранжа, коли (18) записується як

min M[y, f]=f2(Ay, f) +Т[y], (19)

де Т визначається за умовою f(Ay, f)=. Тобто необхідно вирішити параметричну задачу оптимізації, що пов’язано зі значними труднощами. Крім того, ставиться під сумнів знаходження оптимального параметру регуляризації, оскільки, по визначенню, у загальному випадку його потрібно шукати з нескінченною точністю на проміжку 0Т1.

Представимо задачу мінімізації функціоналу M в (19) як задачу багатокритеріальної оптимізації векторного критерію I(y) , який складається з r частинних критеріїв Ij(y) так, що

З моделі (15) можна отримати модель, яка реалізує метод Тихонова. З врахуванням уведених критеріїв згладжуючий функціонал буде мати вигляд:

0Т 1. (20)

Модель (15) отримана із ЗНП (18) методом Лагранжа, коли умова (10) переводиться з нерівності в рівність. Метод Лагранжа використаний для спрощення реалізації ЗНП (18), обчислювальна складність якої росте експоненціально із зростанням розмірності задачі. Таким чином, розв’язок (17) буде отриманий при I1m= n10-2l, тому що буде лежати на обмеженні по нев’язці, а не усередині нього.

Модель (20) є лінійною згорткою або моделлю інтегральної оптимальності, що реалізує метод Тихонова. Тут невідомий параметр регуляризації по Тихонову Т, і задача є параметричною. Це значить, що необхідно багаторазово розв’язувати задачу нелінійного програмування (18) для різних Т, і вибрати те, при якому досягається.

Однак мінімізація критерію по нев’язці I1 конфліктує з мінімізацією критерію по нормі розв’язку I2 (або чисельною стійкістю). Тому задачу знаходження мінімуму критеріїв I1, I2 розв’язуємо як двохкритеріальну задачу за нелінійною схемою компромісів Вороніна або методом багатокритеріальної оптимізації (МБО):

, (21)

при обмеженнях 0I1I1m; 0I2I2m.

Запишемо необхідну умову існування екстремуму для МТ (20) і МБО (21):

, 0Т1; (22)

,. (23)

Після перетворень отримаємо:

, або , (24)

де V[I2m, I1m()] = – можна розглядати як параметр регуляризації, оскільки формули (22) і (24) ідентичні.

З аналізу виразу для V видно, що похибка розв’язку відіграє вирішальну роль на V. Чим точніший потрібен розв’язок, тим менше потрібно вибирати V, що лінійно залежить від нев’язки. Стосовно розв’язку методом Тихонова розв’язок методом багатокритеріальної оптимізації оптимальний по Парето і не потребує визначення параметра регуляризації.

Метод Тихонова дає нев’язку на границі допуску, але метод багатокритеріальної оптимізації отримує меншу нев’язку, ніж метод Тихонова за рахунок невеликої поступки по нормі, тобто по стійкості.

У другому розділі також порівнюються регуляризуючі властивості і збіжність МТ і МБО при чисельному експерименті. Тут розглянутий модельний приклад і результати його розв’язку при різних похибках правої частини (рис. 1).

Розглянутий модельний приклад рівняння (3), яким можна описати типову задачу відновлення сигналів:

;;

, s=x[-1;1]. (25)

Досліджений вплив параметрів регуляризації для МТ і МБО приf=0 (рис.1). Особливість МБО полягає в тому, що з його допомогою не можна одержати абсолютно точний розв’язок. Для f=I1m0 (I1m0, оскільки знаходиться в знаменнику формули (21)), одержуємо точку на множині розв’язків y(s): I1=0,56210-6; I2=2,486; I2m[2,52; ) і відповідно, єдиний розв’язок yV(s). Тобто чисельний розв’язок єдиний і не залежить від зміни I2m.

При внесенні похибки f у праву частину рівняння (3) у нев’язки I1() з’являється глобальний мінімум, по якому визначається розв’язок прикладу. Зі збільшенням похибки необхідно збільшувати точність знаходження параметру регуляризації для того, щоб не "проскочити" все вужчу ділянку, в якій значення I1() – мінімальне, тобто чутливість розв’язку до параметру регуляризації підвищується. Результати розв’язку МТ при ; 0Т1 показані на рис.2,а: процес розбіжний, з’являються помилкові максимуми і заходи у від’ємну область.

а) б)

Рис. 1. Похибки y при розв’язанні модельного прикладу

для МТ при 0Т1 (а) і для МБО при I2m [2,52; ) (б).

Розглядаючи формулу нелінійної схеми компромісів, що реалізує МБО, можна бачити, що роль параметрів регуляризації в V виконують граничні значення на критерії по нормі і нев’язці I2m і I1m. Однак I1m вибирається виходячи з заданих похибок вимірювання сигналу f. Значення обмеження по нормі I2m варто вибрати на границі зриву стійкості розв’язку, при якому I2=min, тобто коли I2m наближається до норми точного розв’язку або своєї нижньої границі. Опорне значення I2m можна визначити як суму квадратів максимальних обмежень фізичних змінних (за технічним завданням). Це число потрібно зменшувати до зриву стійкості, виконуючи кілька ітерацій. Для цього можна використовувати метод половинного розподілу. Якщо незначний виграш у точності не важливий, то досить узяти велике число, щоб одержати стійкий розв’язок. Доведено, що МБО грубий до завдання I2m (границю I2m можна змінювати в кілька разів і грубо оцінювати), що є параметром регуляризації за аналогією з Т в МТ, у той час, як МТ – чутливий до завдання Т (рис. 2).

Для заданого рівня похибки для МБО процес збіжний при I2m [2,52; ) у той час, як для МТ при 0Т1 – розбіжний.

В роботі досліджувалися наступні властивості МБО і МТ при розв’язанні некоректної задачі відновлення: чутливість розв’язку до знаходження параметру регуляризації, стійкість до похибок вимірювання сигналу (похибки правої частини СЛАР або ІР), збіжність обчислювального процесу на всьому діапазоні існування параметру регуляризації. Теоретичні і чисельні дослідження показали переваги МБО перед МТ по цим властивостям.

а) б)

Рис. 2. Вигляд відновленого сигналу y(s) при f =0,11

для МТ при 0Т1 (а) і для МБО при I2m [2,52; ) (б) (I1m=0,01).

В другому розділі також удосконалено метод розв’язання вироджених СЛАР на основі скалярної згортки частинних критеріїв за допомогою нелінійної схеми компромісів із введенням у неї частинних критеріїв на нормальний розв’язок і на нев’язку. Оптимізація отриманого скалярного критерію зводить задачу розв’язання виродженої або погано обумовленої СЛАР до стійкої задачі розв’язання системи кінцевих рівнянь. Даний метод забезпечує мінімальний сумарний рівень по нев’язці СЛАР і отримує єдиний розв’язок при заданих обмеженнях на опуклі частинні критерії.

Розв’язана некоректна задача оптимального планування в умовах невизначеності. Більшість задач оптимального планування у формі задач математичного програмування (лінійного і нелінійного) є нестійкими або некоректними. Для таких задач малим змінам початкових даних можуть відповідати великі (у тому числі і як завгодно великі) зміни розв’язку. Існуючі методи розв’язання таких задач використовують поняття параметру регуляризації, знаходження якого, у свою чергу, пов’язано зі значними труднощами обчислювального характеру. Тому був розроблений метод, стійкий до малих змін початкових даних і до зміни параметру регуляризації для розв’язання задачі квадратичного програмування (ЗКП) за допомогою багатокритеріальної оптимізації на основі скалярної згортки (8). Задачі квадратичного програмування є частинним випадком задачі нелінійного програмування (ЗНП).

Наведемо постановку некоректної задачі оптимального планування (нелінійного програмування) в умовах невизначеності.

Нехай Rn– n-мірний простір векторів y=(y1, y2,…,yn),

g(y) і (y) – задані вектор-функції, які визначені на Rn:

g(y)=A1y-u1=0 – m-умов-рівностей; (y)=A2y-u20, p-умов-нерівностей (p<m), (26)

де Ai – матриця, ui – вектор. Визначимо через G множину векторів у просторі Rn, для яких g(y)=0 і (y)0, тобто G{y; g(y)=0; (y)0}. Нехай f(y) – задана скалярна функція. ЗНП полягає в знаходженні вектора на Rn, мінімізуючого функцію f(y) на множині G, тобто такого, що

(27)

На практиці функції f(y), g(y) і (y) задані наближено. Наприклад, ці функції відомі з похибкою, і, тому, замість f(y), g(y) і (y) можна узяти функції f(y), g(y) і (y), для яких ||f(y)-

-f(y)||, ||g(y)-g(y)|| і ||(y)-(y)||. При цьому вибір функцій f(y), g(y) і (y) з множини Q (f, g, ) {(f, g, ); ||f(y)-f(y)||, ||g(y)-g(y)||, ||(y)-(y)||} має, як правило, випадковий характер.

Отже, розв’язком початкової задачі (27) можна прийняти розв’язок наближеної задачі:

, (28)

де Q {y; g(y)=0, (y)0} – випадково обрані з класу наближених задач, обумовлених Q.

Очевидно, що точні розв’язки некоректної ЗНП із наближеними вихідними значеннями не несуть у собі достатньої інформації про розв’язки вихідної задачі. У ЗНП із наближеними початковими даними, що наближаються до точних, мінімальні значення цільової функції також можуть відрізняться як завгодно сильно.

У багатокритеріальну модель входять частинні критерії для ЗКП. Перший критерій є цільовою функцією з формули (28):

; 0I1I1m. (29)

Другий критерій є нев’язкою, утвореною з обмежень-рівностей з (26)

I2(y)=||g(y)||2>0; 0I2I2m=. (30)

Третій критерій є нев’язкою, утвореною з обмежень-нерівностей з (26)

I3(y)=||(y)-v||2>0; 0I3I3m=, (31)

де v – вектор перетворення обмежень нерівностей у рівності.

Оскільки для некоректних задач критерій по нев’язці конфліктує з критерієм по цільовій функції, то задачу знаходження мінімуму критеріїв I1, I2, I3 розв’язуємо як трьохкритеріальну задачу за нелінійною схемою компромісу Вороніна:

. (32)

Розмірність задачі знижується на m+p обмежень, які згорнуті у другий і третій критерії. В отриманій ЗНП виключена некоректність, тому її можна розв’язувати будь-якими методами: методом Лагранжа, Куна-Такера, градієнтними методами й ін. Багатокритеріальна модель (32) забезпечує вибір точки розв’язку на множині розв’язків, оптимальних по Парето, з урахуванням заданих обмежень (29)-(31) на допустиму область зміни векторного критерію, якщо множина Р належить цій області. Запропонований метод розв’язання ЗКП використовує скалярну згортку частинних критеріїв за допомогою нелінійної схеми компромісів із введенням у неї частинних критеріїв якості по цільовій функції і умовам-обмеженням. Оптимізація отриманого скалярного критерію зводить задачу розв’язання некоректної ЗКП до стійкої задачі розв’язання системи скінчених рівнянь. Даний метод забезпечує єдиний розв’язок при заданих обмеженнях на опуклі частинні критерії якості.

Розв’язана задача зниження обчислювальної складності задач оптимального планування за допомогою багатокритеріальної оптимізації. Відомо, що, на відміну від інших скалярних критеріїв, нелінійна схема компромісів дозволяє знайти розв’язок, який належить множині Р, а у випадку опуклих частинних критеріїв якості – єдиний розв’язок. Тому для зменшення обчислювальної складності при розв’язанні ЗНП великої розмірності пропонується використовувати МБО. Цільова функція, яка задається у вигляді нелінійної схеми компромісів, дозволяє класифікувати обмеження задачі по ступеню конфліктності. Це дозволяє додатково спростити задачу, в подальшому не враховуючи неконфліктні критерії.

У третьому розділі представлені аналітичні методи відновлення інформації на основі диференціальних перетворень.

Обчислювальні алгоритми, засновані на диференціальних тейлорівських перетвореннях (ДТ-перетворення), успішно застосовуються для розв’язання багатьох прикладних задач, що описуються диференціальними рівняннями: наприклад, для задачі знаходження оптимальних процесів управління. За допомогою ДТ-перетворень диференціальні рівняння зводяться до систем кінцевих рівнянь. Тому цей підхід використаний для розв’язання ІРФ першого роду, яким описується ряд некоректних задач, однією з яких є задача відновлення сигналів.

Диференціальними тейлорівськими перетвореннями називаються функціональні перетворення вигляду

(33)

де х(t) — оригінал, що являє собою неперервну й обмежену разом із усіма своїми похідними функцію аргументу t, що нескінченне число