Міністерство освіти і науки України

Львівський національний університет імені Івана Франка

Загороднюк Андрій Васильович

УДК 517.98

ПРОСТОРИ ТА АЛГЕБРИ ПОЛІНОМІАЛЬНИХ І АНАЛІТИЧНИХ ВІДОБРАЖЕНЬ НА НЕСКІНЧЕННОВИМІРНИХ БАНАХОВИХ ПРОСТОРАХ

01.01.01 --- математичний аналіз

АВТОРЕФЕРАТ

Дисертація на здобуття наукового ступеня доктора

фізико-математичних наук

Львів - 2006

Дисертацією є рукопис

Робота виконана у відділі функціонального аналізу Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача Національної академії наук України.

Науковий консультант:

доктор фізико-математичних наук, професор Лопушанський Олег Васильович, завідувач відділу функціонального аналізу Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України

Офіційні опоненти:

член-кореспондент Національної академії наук Білорусі, доктор фізико-математичних наук, професор, Радино Яків Валентинович, завідувач кафедри функціонального аналізу Білоруського державного університету

доктор фізико-математичних наук, професор Маслюченко Володимир Кирилович, завідувач кафедри математичного аналізу Чернівецького національного університету імені Юрія Федьковича

доктор фізико-математичних наук, професор Сторож Олег Георгійович, професор кафедри математичного і функціонального аналізу Львівського національного університету імені Івана Франка

Провідна установа: Інститут математики НАН України (м. Київ)

Захист відбудеться ``26'' квітня 2007 р. о 15 год. на засідання вченої ради Д. 35.051.18 у Львівському національному університеті імені Івана Франка за адресою: 79000, м. Львів, вул. Університетська, 1, ауд. 377.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Львівського національного університету імені Івана Франка (м. Львів, вул. Драгоманова, 5).

Автореферат розіслано 23 березня 2007 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради Тарасюк С.І.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Теорія аналітичних відображень на банахових просторах сформувалась як окремий напрямок нелінійного функціонального аналізу на початку 60-их років XX-го століття. Проте вивчення поліноміальних та аналітичних відображень від нескінченної кількості змінних почалось ще у роботах М. Фреше, В. Вольтерра, Р. Гато, Р.С. Мартіна, М. Цорна, C. Мазура, В. Орліча, С. Банаха та інших. Підсумок результатів цього періоду зроблений у додатку до відомої монографії Е. Хілле і Р.С. Філіпса, написаному в співпраці з М. Цорном. З цього часу дослідження, пов'язані із нескінченновимірною голоморфністю, почали проводитись у багатьох напрямках, збагачуючи різні галузі функціонального аналізу новими методами та ідеями.

Аналітичні функції на нескінченновимірних банахових просторах є безпосереднім аналогом аналітичних функцій багатьох комплексних змінних. Проте властивості аналітичних функцій пов'язані з геометричними властивостями відповідних банахових просторів (див. монографії С. Дініна, Х. Мухіки та M. Ерве). Це дає змогу використовувати результати теорії аналітичних відображень при дослідженні геометрії банахових просторів та відкриває шляхи для вивчення просторів поліномів і аналітичних функцій та топологічних тензорних добутків банахових просторів (Х. Хараміло, Р. Гонзало, М. Акоста, М. Ліндструм, А. Дефант, К. Флорет, Р. Раян). З іншого боку, аналітичні відображення є узагальненням лінійних операторів. Тому природним є питання про те, чи виконуються для поліноміальних і аналітичних відображень аналоги добре відомих теорем лінійної теорії, таких як еквівалентність неперервності і обмеженості, теорема про замкнений графік та обернене відображення, теорема Гана-Банаха та ін. Ці питання досліджувались Р. Ароном, П. Бернером, К. Бойдом, Т. Гамеліном, М. Маестре, П. Галіндо, Д. Гарсія А. Давіє та іншими.

Третім важливим напрямком в теорії аналітичних відображень на банахових просторах є дослідження алгебр аналітичних функцій на підмножинах банахового простору, зокрема рівномірних алгебр. Оскільки кожна рівномірна алгебра є підалгеброю алгебри неперервних функцій на множині максимальних ідеалів, то визначальними в цих дослідженнях є проблема опису множини максимальних ідеалів, опису аналітичних структур (структур аналітичного многовиду) на цій множині, проблема корони (питання про щільність області визначення в множині максимальних ідеалів), ідеали скінченної корозмірності, диференціювання. Дослідження у цьому напрямку були започатковані в роботах Р. Арона, Б. Коула, Т. Корна та Т. Гамеліна [CG], [CCG], [ACG], [ACG2]. Далі ця тема набула розвитку в подальших працях Р. Арона, Т. Гамеліна, Х. Мухіки, П. Галіндо, М. Маестре (див.напр. [AGGM]). При цьому повний опис множини максимальних ідеалів алгебр і отримано лише для дуже вузького класу просторів.

У статті А.С. Неміровского і С.М. Семьонова [NS] було започатковано дослідження симетричних поліномів (відносно групи підстановок базисних елементів) на просторах . У [GGJ] вивчались алгебри симетричних аналітичних функцій на просторах із симетричним базисом. Дослідження просторів поліномів з іншими властивостями симетрії проводились у роботах Р. Гонзало і П. Гаєка.

Аналогічно до скінченновимірного випадку, з алгебрами аналітичних функцій пов'язані простори Харді, які будуються за допомогою зображуючої міри деякого характера з носієм на множині точок піка. У [CG], [NO] розглянуто аналог просторів Харді на нескінченновимірному диску.

Слід відзначити, що вказані напрямки розвиваються у постійній взаємодії. Так проблема опису максимальних ідеалів алгебр аналітичних функцій тісно пов'язана з питанням про продовження аналітичної функції з замкненого підпростору на ширший простір і з питанням опису другого спряженого до симетричного проективного тензорного степеня банахового простору. Це, в свою чергу, має відношення до питання про рефлексивність просторів однорідних поліномів та про щільність підпросторів поліномів, які досягають своєї норми на одиничній кулі. Крім того, множина максимальних ідеалів з фіксованою аналітичною структурою є прикладом аналітичного многовиду, а множини нулів аналітичних функцій визначають ідеали у відповідних алгебрах.

У дисертаційній роботі знайшли відображення всі згадані вище аспекти теорії аналітичних функцій на банахових просторах. Основним завданням дисертації є дослідження алгебр аналітичних функцій та поліномів від змінної з банахового простору, зокрема якнайповніший опис множини максимальних ідеалів таких алгебр, дослідження аналітичних структур на цій множині, вивчення відповідних просторів Харді та інших просторів аналітичних функцій і поліномів, які природно з'являються у цьому зв'язку. Разом з тим, розвинені в дисертації методи дають можливість дослідити поліноміальні відображення на комутативних групах, які були введені у роботах Ван-дер-Лійна, та більш загальні відображення на повних метричних просторах.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Ця робота є складовою частиною досліджень проведених за держбюджетними темами відділу функціонального аналізу Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України ``Розробка спектральної теорії ненормованих операторних алгебр та її застосування до дослідження еволюційних рівнянь та мероморфних відображень'', номер державної реєстрації 0198U002533 та ``Розробка спектральної теорії полілінійних і лінійних операторів та операторних алгебр над банаховими просторами і застосування до задач статистичної механіки і майже комплексного аналізу'', номер державної реєстрації 0103U000129. Також дослідження, які увійшли в цю роботу, підтримані грантом Державного фонду фундаментальних досліджень 01.07/00172 за 2001 рік, грантом Національної наукової фундації США, NSF P-1-2089 за 1998 рік та NSERC грантом (Канада) в 2004-2005 роках.

За роботу ``Аналітичні відображення на банахових просторах'', яка виконувалась за матеріалами дисертації, автор був нагороджений премією НАН України для молодих учених за 2002 рік.

Мета і задачі дослідження.

Мета досліджень даної роботи:

Описати спектр (множину максимальних ідеалів) різних алгебр аналітичних функцій на банаховому просторі; описати аналітичні структури на спектрах розглянутих алгебр; описати максимальні ідеали алгебри рівномірно неперервних симетричних аналітичних функцій на одиничній кулі ; дослідити зображуючі міри з носієм на множинах точок піка для характерів алгебри аналітичних рівномірно неперервних функцій на одиничній кулі банахового простору, та алгебри слабко рівномірно неперервних аналітичних функцій на одиничній кулі; побудувати і дослідити простори Харді, які відповідають вказаним зображуючим мірам; дослідити гільбертові простори (типу Харді) аналітичних функцій на відкритій множині гільбертового простору, використовуючи конструкцію фоківських просторів; дослідити слабко поліноміальну топологію на банаховому просторі; встановити умови неперервності (теорема про борелівський графік та берівське відображення) для поліноміальних відображень на повних метричних абелевих групах та -аналітичних відображень на банахових просторах; дослідити мультиплікативні поліноміальні відображення на топологічних алгебрах.

Об'єктом дослідження є простори та алгебри аналітичних функцій на банахових просторах, мультиплікативні функціонали (характери) на алгебрах аналітичних функцій, відповідні зображуючі міри і простори Харді, симетричні тензорні добутки банахових просторів, наділені різними крос-нормами, поліноміальні відображення на повних метричних групах, мультиплікативні поліноміальні відображення на топологічних алгебрах, симетричні поліноми та аналітичні функції на просторах із симетричним базисом, нулі поліноміальних функціоналів, алгебраїчні множини в банахових просторах.

Предметом дослідження є аналітичні структури на спектрах алгебр аналітичних функцій на банахових просторах, властивості множини максимальних ідеалів для конкретних алгебр, властивості зображуючих мір та відповідних просторів Харді, дія групи ізометрій на цих просторах, властивості топології Гельфанда та слабко поліноміальної топології на банаховому просторі, властивості множини нулів поліномів на банахових просторах, умови неперервності поліноміальних і -аналітичних відображень на групах, геометричні властивості просторів однорідних поліномів та тензорних добутків банахових просторів.

Методи досліджень. Для розв'язування задач, сформульованих вище, використовується метод глобальної лінеаризації поліноміальних і аналітичних відображень за допомогою топологічних тензорних добутків, методи теорії банахових алгебр та абстрактних просторів Харді, методи теорії лінійних операторів, методи теорії груп та топології метричних просторів. Зокрема використовуються ідеї, та методи, які розроблені у працях Р. Арона, П. Бернера, Т. Гамеліна, А. Давіє, Б. Коула, Х. Мухіки у поєднанні з технікою тензорних добутків.

Наукова новизна одержаних результатів.

У дисертації вперше отримано такі результати

* описано спектр (множину максимальних ідеалів) алгебри цілих функцій обмеженого типу на банаховому просторі у вигляді прямої суми послідовності банахових просторів, поповненій у топології Гельфанда, де кожен із просторів, який входить в цю суму, є спряженим простором до фактор-простору однорідних поліномів по деякому замкненому підпростору. Отримані результати і методи застосовано до алгебри аналітичних рівномірно неперервних функцій на одиничній кулі банахового простору та інших алгебр аналітичних функцій, зокрема алгебри типу Вінера;

* описано нові аналітичні структури на спектрах розглянутих алгебр, порівняно їх з відомими результатами в цьому напрямку;

* описано нові диференціювання в алгебрах цілих функцій обмеженого типу на банахових просторах;

* описано максимальні ідеали алгебри рівномірно неперервних симетричних аналітичних функцій на одиничній кулі як поліноміально опуклу оболонку деякої підмножини в одиничній кулі простору

* досліджено зображуючі міри з носієм на множинах точок піка для характерів алгебри аналітичних рівномірно неперервних функцій на одиничній кулі банахового простору, та алгебри слабко рівномірно неперервних аналітичних функцій на одиничній кулі;

* побудовано і досліджено простори Харді, які відповідають вказаним зображуючим мірам;

* досліджено гільбертові простори (типу Харді) аналітичних функцій на відкритій множині гільбертового простору, описано зв'язок із симетричними просторами Фока, знайдено абстрактні варіанти ядра Коші і Пуасона;

* досліджено слабко поліноміальну топологію на банаховому просторі, зокрема, встановлено, що операція суми в банаховому просторі є неперервною тоді і тільки тоді, коли всі симетричні тензорні степені простору є симетрично регулярними просторами;

* встановлено аналог геометричної версії теореми Гана-Банаха та показано, що якщо графік поліноміального відображення між банаховими просторами є замкненою множиною в слабко поліноміальній топології, то таке відображення є неперервним;

* встановлено аналог теореми про борелівський графік та берівське відображення для поліноміальних відображень на сепарабельних повних метричних абелевих групах та G-аналітичних відображень на сепарабельних банахових просторах, узагальнено ці результати для широкого класу відображень між повними метричними просторами;

* доведено теореми про автоматичну неперервність мультиплікативних поліноміальних відображень між топологічними алгебрами, які є новими, також, для (лінійних) гомоморфізмів.

Особистий внесок здобувача.

Всі основні результати, що викладені у дисертації, отримані самостійно. У спільних роботах з науковим консультантом, співавтору належить постановка задачі та обговорення отриманих результатів. Також у [] О.В. Лопушанському належить теорема 1. У статті [20] А.М. Плічкові належать теорема 2, наслідок 5, наслідок 6, наслідок 11. У статті [21] А.М. Плічкові належать теорема 3, наслідок 5, наслідок 6, наслідок 7 наслідок 8. У статті [14] Р. Арону належить лема 1, та ідея доведення теореми 1, Р. Гонзало належить доведення теореми 1. У статті [13] Р. Арону належить постановка задачі, обговорення та остаточне оформлення результатів, П. Галіндо і Р. Аленкару належать теорема 1.3, ідея прикладу 3.1, твердження 3.3. У статті [15] співавторам належать твердження 3, лема 1, лема 2, лема 3, твердження 6.

Апробація результатів дисертації. Результати дисертаційної роботи доповідались на Третій міжнародній конференції з функціонального аналізу в Едвардсвілі, Іллінойс, США, (19-23 травня 1998); міжнародній конференції: 28-ма Зимова школа з абстрактного аналізу, Крістановичі, Чехія (січень 2000); міжнародній конференції з функціонального аналізу в Валенсії, Іспанія (3-7 липня 2000); міжнародній конференції ``Сучасні проблеми механіки й математики'', Львів (25-28 травня 1998); міжнародній конференції ``Нелінійні диференціальні рівняння в частинних похідних'', Львів (23-29 серпня 1999); міжнародній конференції ``Цілі і мероморфні функції'', Львів, (23-25 травня 2000); міжнародній конференції з функціонального аналізу в Києві, яка проходила в рамках Українського математичного конгресу (21-27 серпня 2001); міжнародній конференції ``Функціональні методи в теорії апроксимації, теорії операторів, стохастичному аналізі і статистиці'', Київ (19-22 жовтня 2001); міжнародній конференції ``Функціональний аналіз і його застосування'', Львів (28-31 травня 2002) року; конференціях ІППММ НАН України ``Підстригачівські читання''(2001, 2002, 2004 роки); конференції НТШ (березень 2003); науково-практичній конференції в Інституті математики НАН України, Київ (2-4 грудня 2003 року); міжнародній конференції з нескінченновимірного аналізу присвяченій 60-річчю Річарда Арона і Шона Дініна (запрошена доповідь) 9 -- 13 грудня, 2005 р., Кент, США; П'ятій міжнародній конференції з функціонального аналізу в Едвардсвілі, Іллінойс, США, (16-20 травня 2006); наукових семінарах з функціонального аналізу в Варшаві (керівник А. Пелчинський), Інститут математики (1997), в Кентському університеті (керівник П. Енфло), Кент, США (1998), університеті Гранади, Іспанія (2000), університеті Комплютенсе, Мадрид, Іспанія (2000), на семінарі з функціонального аналізу під керівництвом Ж. Годефруа, університет Париж-VI, Франція (2000), в Інституті математики НАН України (керівники семінару Ю.М. Березанський і М.Л. Горбачук) (2003), в Харківському національному університеті (2003), на семінарах відділу математики Саскачеванського університету, Саскатун, Канада (2004), на семінарах і конференції відділу математики Університету Ніпсінг, Норд Бей, Канада (2005, 2006), на семінарі з функціонального аналізу Інституту Фіелда (керівник Дж. Еліот), Торонто (2006), на міжвузівських семінарах з функціонального аналізу Львівського національного університету (керівники В.Е. Лянце і О.Г. Сторож), на Львівському міжвузівському семінарі з теорії аналітичних функцій (керівники А.А. Кондратюк, О.Б. Скасків), семінарі математичної секції ІППММ НАН України, семінарах відділу.

Публікації. Основні результати, які містяться в дисертації опубліковано в 27-ми журнальних статтях, з них 24 у фахових виданнях з переліку ВАК України та провідних закордонних журналах.

Структура та об'єм роботи.

Дисертація складається з вступу, п'яти розділів, розбитих на підрозділи, висновку, двох додатків і списку літератури, який містить 178 найменувань. Повний об'єм роботи --- 269 сторінок

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

Основна частина дисертації складається з п'яти розділів. У першому розділі ми даємо огляд літератури за темою дисертації, наводимо попередні відомості з теорії аналітичних відображень на банахових просторах та основні результати дисертації.

У підрозділі 2.1 досліджуються ідеали в алгебрі неперервних поліномів на банаховому просторі, які породжуються скінченним числом елементів. Зокрема показано, що якщо деяка підалгебра в алгебрі неперервних поліномів яка містить простір поліномів скінченного типу деякий радикальний скінченнопороджений ідеал то вона визначається множиною своїх нулів.

Скажемо, що підалгебра має властивість якщо з того, що і --- розклад на однорідні поліноми випливає, що всі

Теорема 2.2 Нехай --- факторіальна підалгебра в яка містить всі поліноми скінченого типу і має властивість Якщо --- деякий неперервний в –топології поліном, то він належить цій алгебрі.

Топологія, про яку йдеться у цій теоремі, є найслабшою топологією, в якій неперервні всі поліноми Таким чином, теорема 2.2 встановлює зв'язок між алгебраїчними властивостями полінома (належність до певної алгебри) і топологічними (неперервність полінома у топології).

У [ACG], показано, що слабко поліноміальна топологія, в загальному випадку, не лінійна. Тобто операція суми не є неперервною в слабко поліноміальній топології за сукупністю змінних. Виникає питання: коли, все-таки, слабко поліноміальна топологія є лінійною? Відповідь на це запитання в термінах симетричної регулярності просторів дає теорема 2.3.

Теорема 2.3 Наступні умови еквівалентні:

* Простір є симетрично регулярний для кожного n.

* Операція згортки є комутативною на.

* Операція згортки елементів з є комутативною.

* --- топологічний векторний простір.

У теоремі позначає простір Х з поліноміально слабкою топологією.

У підрозділі 2.2 отримані результати застосовуються для встановлення нелінійних аналогів теореми Гана-Банаха і теореми про замкнений графік.

Скажемо, що множина є алгебраїчною множиною, якщо збігається з ядром деякого поліноміального неперервного відображення степеня. Позначимо множину всіх -алгебраїчних множин і множину всіх алгебраїчних множин.

Геометрична версія класичної теореми Гана-Банаха стверджує, що для будь-якої опуклої замкненої множини і точки поза нею існує лінійний функціонал, який їх розділяє. Наступні результати підрозділу 2.2 є, до певної міри, аналогами цієї теореми. При цьому роль лінійних підпросторів відіграють алгебраїчні множини.

Теорема 2.5 Наступні твердження є еквівалентними:

* Якщо то

* Кожен поліном може бути продовжений до полінома

* Для кожного n існує ізоморфізм простору на замкнений підпростір в такий, що

Крім того, якщо --- ізометрія для кожного то для довільного існує продовження на таке, що

В цій теоремі пряма сума проективних симетричних тензорних степеней простору від нульового до n-того, а --- природне вкладення. Під P-топологією простору ми розуміємо найслабшу топологію, в якій всі поліноми з неперервними.

Добре відомо, що лінійний функціонал із замкненим ядром є неперервним. Для поліноміальних функціоналів аналогічний результат доведено Дружковським (1984 рік).

Теорема 2.6 Якщо графік поліноміального відображення степеня з банахового простору в банахів простір є замкненою множиною в P-топології простору то цей поліном є неперервним.

Наслідок з цієї теореми узагальнює теорему Банаха про обернений оператор.

У підрозділі 2.3 досліджуються симетричні поліноми на просторах з симетричним базисом.

Далі в дисертації розглядаються питання: Чи кожен поліном із симетричним ядром на комплексному банаховому просторі із симетричним базисом є симетричним? Це питання пов'язано з питанням про те, чи дільники симетричного полінома є симетричними поліномами. Відповідь на обидва ці питання є позитивною, якщо розмірність простору достатньо велика.

Наслідок 2.6 Якщо то кожен поліном із симетричним ядром на є симетричним і алгебра всіх симетричних поліномів є факторіальною.

У підрозділі 2.4 основним об'єктом досліджень є поліноміальна ортогональність, введена в дисертації, та лінійні підпростори в ядрах поліномів.

Використовуючи результат, доведений у кандидатській дисертації автора про те, що у ядрі кожного однорідного полінома на нескінченновимірному комплексному банаховому просторі міститься нескінченновимірний лінійний підпростір, отримано наступне твердження.

Твердження 2.5 Для кожного скінченновимірного підпростору комплексного банахового простору нескінченної розмірності і полінома існує нескінченновимірний підпростір.

Наступна теорема є узагальненням результату про лінійні підпростори в ядрі комплексних поліномів.

Теорема 2.10 Нехай --- комплексний нескінченновимірний лінійний простір. Тоді для кожного полінома існує нескінченновимірний підпростір такий, що звуження на є добутком поліномів першого степеня.

З цієї теореми, зокрема випливає, що кожен поліном на комплексному нескінченновимірному банаховому просторі є слабко неперервним на деякому нескінченновимірному підпросторі.

Легко бачити, що на дійсному банаховому просторі існують однорідні поліноми парного степеня, ядро яких складається лише з нуля. Проте, для поліномів непарного степеня вдається отримати деякі результати, подібні до комплексного випадку. У твердженні показано, що ядро однорідного симетричного полінома непарного степеня на нескінченновимірному банаховому просторі містить нескінченновимірний лінійний підпростір.

У підрозділі 2.5 розглядаються норми на симетричних тензорних добутках банахових просторів з базисом для яких виконуються властивості, аналогічні наступній властивості проективної, ін'єктивної і гільбертової норми.

* Нехай проективна тензорна норма. Тоді ізометричний до простору і згідно з відомою теоремою Гротендіка,

* У випадку коли --- ін'єктивна тензорна норма ми маємо, що є ізометричний простору інтегральних -лінійних форм на просторі

* Якщо маємо гільбертів простір і --- гільбертову тензорну норму то є ізометричний до гільбертового простору n-лінійних форм

Якщо дано банахів простір з безумовним базисом, то ми можемо розглядати його, як простір послідовностей. Далі розглянуто простори які є природнім аналогом просторів послідовностей від індексів. Норма на -тому тензорному степені простору введена таким чином, що його поповнення по цій нормі є ізометрично ізоморфним простору Очевидним чином вводиться симетричний тензорний добуток і відповідний простір поліномів

Теорема 2.13 Припустимо, що підпростір має рівномірно за Фреше диференційовну норму і містить всі поліноми скінченного типу. Тоді не є щільною множиною.

Наслідок 2.12 Рівномірна норма на просторі всіх однорідних неперервних поліномів не є рівномірно диференційовною за Фреше.

Ідеї цього підрозділу поширюються і на простори аналітичних функцій.

У підрозділі 2.6 розглядаються детальніше поліноми з простору які називаються поліномами Гільберта-Шмідта. Зокрема показано, що простір поліномів Гільберта-Шмідта є факторіальною алгеброю і щільним підпростором в просторі всіх слабко неперервних поліномів. З іншого боку, простір інтегральних поліномів є щільно вкладений в простір поліномів Гільберта-Шмідта. Крім того, для поліномів з цього простору можна сказати більше, ніж в загальному випадку про лінійні підпростори в множині нулів.

Третій розділ дисертації присвячено дослідженню питань автоматичної неперервності поліноміальних і G-аналітичних відображень на банахових просторах, топологічних алгебрах і метричних групах. При цьому основні результати підрозділу 3.1 і 3.2 поширюються на широкий клас відображень між польськими просторами.

Дослідження, проведені у підрозділах 3.1, 3.2 розпочались з розв'язування проблеми 56, поставленої Мазуром і Орлічем в ``Шотландській книзі''. У цій проблемі питається чи для кожного розривного полінома на банаховому просторі існує збіжна до нуля послідовність така, що необмежена послідовність для довільного. Позитивна відповідь була отримана в кандидатській дисертації автора для широкого класу так званих ізотропних відображень на повних метричних групах. Для цього класу було доведено аналоги теорем про берівське відображення та борелівський графік.

У даній дисертаційній роботі отримано суттєве просування в цьому напрямку і доведено теореми про берівське відображення та борелівський графік для ширшого класу відображень на ширшому класі просторів. Крім того, показано, що цей клас містить поліноми на комутативних повних метричних групах. Щоб уникнути багатьох означень і пояснень, наведемо тут тільки ті результати з підрозділів 3.1 і 3.2, які стосуються поліноміальних і G-аналітичних відображень

Наслідок 3.7 Берівське поліноміальне відображення з повної метричної групи в комутативну метричну рівномірно дисипативну групу без елементів скінченного порядку є неперервним.

Наслідок 3.9 Поліноміальний оператор з повної метричної групи в польську рівномірно дисипативну групу без елементів скінченного порядку, що має борелівський графік, є неперервним.

Наслідок 3.10 Берівське G-аналітичне відображення з відкритої множини банахового простору в банахів простір є неперервним.

Теорема 3.5 Довільне G-аналітичне відображення з відкритої підмножини банахового простору в сепарабельний банахів простір, яке має борелівський графік, є неперервним.

У підрозділі 3.3 досліджуються мультиплікативні поліноми на топологічних алгебрах. Добре відомо, яку важливу роль в теорії топологічних алгебр відіграють лінійні мультиплікативні функціонали. Це було мотивацією того, щоб розглянути мультиплікативні відображення більш загальної природи.

Твердження 3.4 Нехай ціла функція. Якщо мультиплікативне відображення, то однорідний поліном.

У підрозділі 3.3 показано, що аналогічно до лінійних, мультиплікативні поліноміальні функціонали на банахових алгебрах ( і у більш загальних випадках) є неперервними.

У підрозділі 3.3 побудовано приклад некомутативної поліноміально напівпростої алгебри. Тому, наступний результат є новим навіть для лінійних мультиплікативних відображень (гомоморфізмів) і є частковим розв'язком проблеми 2.11 з [].

Теорема 3.8 Нехай алгебри Фреше такі, що містить відкритий окіл одиниці і поліноміально напівпроста. Тоді кожне мультиплікативне поліноміальне відображення таке, що образ є щільним в є неперервним.

Четвертий розділ присвячений вивченню алгебр різних аналітичних функцій на відкритих множинах в банахових просторах. Точніше, основним завданням цього розділу є опис множин максимальних ідеалів таких алгебр та встановлення аналітичної структури на цих множинах. При цьому важливе місце займає алгебра цілих аналітичних функцій обмеженого типу. У підрозділі 4.1 описано множину максимальних ідеалів алгебри та аналітичні структури на цій множині. Зокрема, наступні результати є основними у цьому підрозділі.

Теорема 4.2 Існують послідовності спряжених просторів і відображень такі, що довільний комплексний гомоморфізм має зображення для деякої послідовності.

Нехай простір є прямою сумою просторів з топологією локально опуклої прямої суми.

Теорема 4.3 Відображення є неперервним вкладенням із щільним образом.

У підрозділі 4.2 ми продовжуємо вивчати множину. Зокрема, ми розглядаємо аналітичні структури на цій множині.

Теорема 4.5 Нехай - деяка послідовність елементів. Функціонал належить тобто, тоді і тільки тоді, коли В цьому випадку.

В [AGGM] доведено, що якщо симетрично регулярний банахів простір, то множини вигляду породжують гаусдорфову топологію, яка задає аналітичну структуру.

Теорема 4.8 Припустимо, що є симетрично регулярним і операція згортки є аналітичним відображенням. Тоді, сім'я множин є базисом околів для гаусдорфової топології яка збігається.

У підрозділі 4.3 вивчаються множини максимальних ідеалів алгебр аналітичних функцій на одиничній кулі банахового простору. При цьому знаходять використання результати попереднього підрозділу, оскільки, згідно з [ACG].

Крім того, існує природна проекція що є звуженням функціоналів, яка є бієкцією на множині.

Історично питання про щільність множини, на якій задана функціональна алгебра, в множині максимальних ідеалів тієї алгебри дістало назву ``проблема корони''. У підрозділі 4.4 досліджується проблема корони для алгебр аналітичних функцій на одиничній кулі банахового простору.

Теорема 4.11 Якщо то одинична куля не є щільною.

Наслідок 4.5 Якщо відповідь на проблему корони є негативною для алгебр. При цьому існує комплексний гомоморфізм такий, що довільна напрямленість є необмеженою.

У підрозділі 4.5 будуються нові диференціювання, зокрема визначено оператор диференціювання асоційований з елементами.

Теорема 4.12 Нехай Тоді оператор є неперервним диференціюванням для кожного полінома і для кожної функції.

У підрозділі 4.6 досліджуються гомоморфізми.

Теорема 4.13 Кожен поліном є апроксимаційним тоді і тільки тоді, коли кожен гомоморфізм є композицією.

У підрозділі 4.7 вивчаються алгебри аналітичних функцій на одиничній кулі банахового простору з абсолютно збіжним рядом Тейлора. При цьому, окремо розглядається випадок, коли простір поліномів такої алгебри ізометричний. Також розглядається алгебра що є сумою просторів.

Теорема 4.15 Множина збігається як топологічний простір із замкненою одиничною кулею другого спряженого простору, а топологія Гельфанда збігається з слабкою топологією простору.

Як наслідок отримуємо нескінченновимірний варіант відомої теореми Вінера.

У підрозділі 4.8 досліджуються максимальні ідеали алгебр симетричних аналітичних функцій на просторах . При цьому достатньо розглядати простори для цілих p. Основним об'єктом цього підрозділу є алгебра симетричних аналітичних функцій, рівномірно неперервних на відкритій одиничній кулі Також вивчається алгебра симетричних аналітичних функцій обмеженого типу на

Теорема 4.18

Оператор композиції визначений формулою є топологічним ізоморфізмом.

У дисертації наведено приклад характера алгебри який не породжується значенням в жодній точці простору.

Теорема 4.19 Множина є гомеоморфною до спектра алгебри.

Тобто алгебра є підалгеброю неперервних функцій. Наступна теорема дає конкретний вигляд цієї алгебри.

Теорема 4.20 Існує алгебраїчний і топологічний ізоморфізм між і рівномірною алгеброю на породженою неперервними координатними функціоналами.

Також, у дисертації описані вкладення диск-алгебри та показано, що при будь-якому множина є власною підмножиною одиничної кулі.

Метою п'ятого розділу є побудова та дослідження аналогів класів Харді на одиничній кулі банахового простору. Для цього використовується два підходи. Перший підхід грунтується на існуванні зображуючої міри для довільного характера тої чи іншої рівномірної банахової алгебри аналітичних функцій на одиничній кулі банахового простору. Ця міра існує, зокрема, на множині точок піка множини максимальних ідеалів даної алгебри. Тому ми можемо поповнити нашу алгебру у просторі і отримати абстрактний простір Харді. Звичайно, що вигляд цього простору залежить від вибору алгебри аналітичних функцій. У дисертаційній роботі розглянуто простори Харді для випадку алгебри (замикання поліномів скінченного типу у рівномірній топології на) та алгебри.

У підрозділі 5.1 отримано наступні результати.

Твердження 5.1 Нехай сепарабельний банахів простір. Тоді існує нормуюча міра визначена на межі Шоке яка є зображуючою.

Наступні результати підрозділу 5.1 характеризують простір.

Твердження 5.3 Гільбертів простір збігається з замкненою лінійною оболонкою векторів .

Теорема 5.2 Множина поліномів є ортогональним базисом тоді і тільки тоді, коли є циркулярною.

Теорема 5.3 Нехай комплексний банахів простір із сепарабельним спряженим і нормуюча зображуюча міра така, що поліноми утворюють ортогональний базис для деякого ортонормованого базису. Тоді наступні твердження є еквівалентними.

* Існує відкрита підмножина така, що ряд () збігається

* є простором з відтворюючим ядром, яке має вигляд і визначено на множині для деякої відкритої підмножини

* Для кожного вектора з деякої відкритої підмножини лінійний функціонал неперервний на і кожен елемент є аналітичною функцією.

Теорема 5.4 Множина точок піка алгебри лежить в множині де --- радіус-функція функціонала.

Твердження 5.4 Припустимо, що такий банахів простір, що послідовність нетривіальних просторів має n>1 ненульових членів. Якщо існує такий, що характер продовжується до неперервного функціонала, то існує функція ортогональна до поповнення алгебри.

У підрозділі 5.2 детальніше розглядаються простори аналітичних функцій, породжені лінійними функціоналами на сумі гільбертових симетричних тензорних добутків гільбертового простору.

Теорема 5.6 Припустимо, що існує константа і послідовність додатних чисел така, що для кожного. Тоді існує відкрита підмножина така, що

* Ряд () збігається для кожного і є аналітичним відображенням

* Для кожного відображення є аналітичною функцією на

* Функція є -однорідним поліномом Гільберта-Шмідта.

У дисертації простори для яких виконуються умови теореми називаються просторами типу Харді.

У підрозділі 5.3 розглянуто приклади просторів Харді і просторів типу Харді. Зокрема показано, що конструкції, розвинені у підрозділах 5.1 і 5.2 узгоджуються з класичними просторами Хардію. Також, показано, що існують простори типу Харді, які не є просторами Харді.

У підрозділі 5.4 досліджується дія групи унітарних перетворень на деякому просторі типу Харді.

Нехай деяка однопараметрична унітарна група лінійних операторів. Розглянемо однопараметричну групу. Ця група діє лінійно на гільбертів тензорний степінь простору і при збігається з одиничним оператором.

Теорема 5.12 Група є унітарною і має наступний спектральний розклад

де міра на має вигляд

і визначена на спектрі оператора.

Теорема 5.13 (a) Група операторів на яка визначена рівністю є унітарною.

(b) Генератор групи має вигляд де оператор є спряженим відносно двоїстості до діагонального матричного оператора який визначений на підпросторі скінченних сум базисних векторів.

ВИСНОВКИ

Дисертаційна робота присвячена подальшому розвитку теорії аналітичних функцій і поліноміальних відображень на комплексних банахових просторах. При цьому основна увага приділяється дослідженню алгебр аналітичних функцій в областях банахового простору та функційним просторам, пов'язаним з цими алгебрами.

Враховуючи, що кожна рівномірна банахова алгебра є підалгеброю алгебри неперервних функцій на множині максимальних ідеалів, важливо мати опис множини максимальних ідеалів конкретних алгебр аналітичних функцій на банахових просторах, та опис самих алгебр, як підалгебр неперервних функцій на цій множині. Ця задача розв'язується у четвертому розділі дисертації для алгебри цілих функцій обмеженого типу на банаховому просторі, для алгебри симетричних аналітичних функцій на одиничній кулі рівномірно неперервних на замиканні, для деяких алгебр типу Вінера. Також отримано результати в цьому напрямку для алгебри рівномірно неперервних аналітичних функцій в одиничній кулі банахового простору та алгебри обмежених аналітичних функцій в одиничній кулі банахового простору.

Теореми, доведені у підрозділах 4.1, 4.2, 4.3, 4.4, узагальнюють відомі результати та дають відповіді на запитання, які містяться в статтях Р. Арона, Т. Гамеліна, Б. Коула, Х. Мухіки та ін.

В теорії комутативних топологічних алгебр важливою проблемою є проблема опису всіх ідеалів (гомоморфізмів) даної алгебри. У підрозділі 4.6 побудовано гомоморфізми алгебри в себе, які не є операторами композиції на вихідному просторі .

З гомоморфізмами топологічних алгебр тісно пов'язані оператори диференціювання. У підрозділі 4.5 описано нові диференціювання на алгебрі які асоційовані з деякими спеціальними характерами цієї алгебри.

Для дослідження максимальних ідеалів алгебри симетричних аналітичних функцій на просторах розвинено і застосовано зовсім інші методи, ніж у попередніх випадках. Робота [13], результати якої увйшли у розділ 4.8, є першим дослідженням максимальних ідеалів алгебр симетричних аналітичних функцій і спирається на результати теорії симетричних поліномів на банахових просторах, отримані Х. Харамілло, М. Гонзалезом, Р. Гонзало [GGJ], які, в свою чергу, розвивають ідеї А.С. Німеровского і С.М. Семьонова [NS].

Для отримання результатів четвертого, а також, п'ятого розділів необхідно було дослідити алгебри і простори поліномів на банахових просторах. Ці дослідження проведено у другому розділі дисертації. Таким чином, з одного боку, другий розділ відіграє допоміжну роль. Проте, з іншого боку, розвинені у цьому розділі методи дозволили довести теореми для просторів і алгебр поліномів, які мають самостійне значення. Це стосується опису скінченнопороджених ідеалів в термінах множини нулів та слабко поліноміальної топології, встановлення необхідних і достатніх умов лінійності слабко поліноміальної топології (узагальнення результатів П. Біструма, Х. Харамілло, М. Ліндструма), дослідження множини нулів поліномів, вивчення геометричних властивостей просторів однорідних поліномів із спеціальними властивостями.

Третій розділ продовжує другий за характером розглянутих задач, з використанням цілком інших методів. У підрозділах 3.1 і 3.2 використовуються методи теорії повних сепарабельних просторів, що дало можливість довести основні результати цих підрозділів (теорему про борелівський графік та теорему про берівське відображення) для широких класів відображень на повних метричних просторах і групах. У підрозділі 3.3 досліджено мультиплікативні поліноміальні відображення на топологічних алгебрах і отримано нову умову неперервності (алгебраїчного) гомоморфізму банахових алгебр.

Результати четвертого розділу використовуються у п'ятому розділі для побудови і дослідження аналогів класичних об'єктів теорії функцій багатьох змінних --- просторів Харді. При цьому використовується теорія абстрактних просторів Харді, розвинена у роботі Е. Бішопа і К. Де Лю [BdL]. У дисертації зосереджено увагу на просторах оскільки гільбертова природа цих просторів сприяє їх дослідженню. Встановлено зв'язок побудованих гільбертових просторів аналітичних функцій з симетричним простором Фока, що приводить до нових реалізацій простору Фока і може бути цікавим для застосування у математичній фізиці. Зауважимо, що аналоги просторів Харді на одиничній кулі довільних банахових просторів не розглядались в літературі і результати, отримані в цьому напрямку, є цілком новими. З іншого боку, запропонований підхід дозволяє узагальнити роботи [CG] та [NO] в яких розглядаються простори Харді на нескінченновимірному полідиску.

Результати дисертації можуть бути використані у нелінійному функціональному аналізі, зокрема, в теорії аналітичних функцій на банахових просторах, геометрії банахових просторів, теорії топологічних алгебр, теорії операторів.

СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ

[ACG] R.M. Aron, B.J. Cole, and T.W. Gamelin, Spectra of algebras of analytic functions on a Banach space, J. Reine Angew. Math. 415 (1991), 51-93.

[ACG2] R.M. Aron, B.J. Cole, and T.W. Gamelin, Weak-star continuous analytic funtions, Can. J. Math. 47 (1995), 673-683.

[AGGM] R.M. Aron, P. Galindo, D. Garcia, and M. Maestre, Regularity and algebras of analytic functions in infinite dimensions, Trans. Amer. Math. Soc. 348 (1996), 543-559.

[BdL] E. Bishop, K. De Leeuw, The representations of linear functionals by measures on sets of extreme points, Ann. Inst. Fourier 9 (1959), 305-331.

[CCG] T.K. Carne, B. Cole, and T.W. Gamelin, A uniform algebra of analytic functions on a Banach space, Trans. Amer. Math. Soc. 314 (1989), 639-659.

[CG] B. Cole and T.W. Gamelin, Representing measures and Hardy spaces for the infinite polydisk algebra, Proc. London Math. Soc. 53 (1986), 112-142.

[Da] H.G. Dales, Questions on automatic continuity, Banach algebras '97, Proceedings of the 13th International Conference on Banach algebras held in Blaubeuren, July 20-August 3, 1997 (ed. E. Albrecht and M. Mathieu), Walter de Gruyter, Berlin, 1998.

[D1] S. Dineen, Complex Analysis in Locally Convex Spaces, Mathematics Studies, vol. 57, North-Holland, Amsterdam, New York, Oxford, 1981.

[D2] S. Dineen, Complex Analysis on Infinite Dimensional Spaces, Monographs in Mathematics, Springer, New York, 1999.

[DG] V. Dimant and R. Gonzalo, Block diagonal polynomials, Trans. Amer. Math. Soc. 353 (2000), 733-747.

[GGJ] M. Gonzalez, R. Gonzalo, and J. Jaramillo, Symmetric polynomials on rearrangement invariant function spaces, Jour. London Math. Soc. 59 (1999), 681- 697.

[NO] K.- H. Neeb, B. rsted, Hardy Spaces in an Infinite Dimensional Setting, Proceedings of II international workshop ''Lie thery and its application in physics``, Clausthal, Germany (ed. H.-D. Doebrer, V.K. Dobrev and J. Hilgert), 1998, 3-27.

[NS] A.S. Nemirovskii. and S.M. Semenov, On polynomial approximation of functions on Hilbert space, Mat. USSR Sbornik 21 (1973), 255-277.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ РОБІТ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

[1] А. В. Загороднюк, О. В. Лопушанський. Групи ізометрії просторів типу Харді аналітичних функцій на