ДЕРЖАВНИЙ КОМІТЕТ УКРАЇНИ З ПИТАНЬ ТЕХНІЧНОГО РЕГУЛЮВАННЯ ТА СПОЖИВЧОЇ ПОЛІТИКИ
НАЦІОНАЛЬНИЙ НАУКОВИЙ ЦЕНТР “ІНСТИТУТ МЕТРОЛОГІЇ”

Захаров Ігор Петрович

УДК 006.91:53.088

РОЗВИТОК ТЕОРІЇ ТА МЕТОДІВ ОЦІНЮВАННЯ ТОЧНОСТІ РЕЗУЛЬТАТІВ ВИМІРЮВАНЬ З УРАХУВАННЯМ КОНЦЕПЦІЇ НЕВИЗНАЧЕНОСТІ

Спеціальність 05.11.15 – метрологія та метрологічне забезпечення

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

доктора технічних наук

Харків – 2006

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Харківському національному університеті радіоелектроніки Міністерства освіти і науки України

Науковий консультант: доктор технічних наук, професор

Руженцев Ігор Вікторович, Харківський національний університет

радіоелектроніки, завідувач кафедри

“Метрологія та вимірювальна техніка”

Офіційні опоненти: доктор технічних наук, професор

Клейман Олександр Самуїлович,

Національний науковий центр

“Інститут метрології” Держспоживстандарту України, начальник лабораторії

доктор технічних наук, професор

Володарський Євген Тимофійович,

Національний технічний університет

України “Київський політехнічний інститут”, професор кафедри автоматизації

експериментальних досліджень

доктор технічних наук, професор

Щербак Леонід Миколайович,

Національний авіаційний університет,

професор кафедри інформаційно -

вимірювальних систем

Провідна установа: Державне підприємство “Науково-дослідний інститут метрології вимірювальних і управляючих систем (ДП НДІ “Система”) Держспоживстандарту України м. Львів.

Захист дисертації відбудеться „ 27 ” квітня 2006 р. о 14 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д64.827.01 при Національному науковому центрі “Інститут метрології” за адресою: 61002, Харків, вул. Мироносицька, 42.

З дисертацією можна ознайомиться у бібліотеці Національного наукового центру “Інститут метрології”

Автореферат розісланий „ 27” березня 2006 р.

Учений секретар

спеціалізованої вченої ради,

к.т.н., доцент І.Ф. Дем’янков

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Підвищення точності вимірювань є однією з найважливіших проблем сучасної метрології. Один із шляхів рішення цієї проблеми – удосконалення методів обробки і оцінювання точності результатів вимірювань. Науковою основою оцінювання точності результатів вимірювань є теорії (концепції) похибок і невизначеності, що мають один математичний апарат – теорію імовірності і математичної статистики, але дещо відрізняються як термінологією, так і підходами до рішення окремих статистичних задач.

Найбільший внесок у розвиток класичного підходу (КП) внесли росій-ські та українські вчені (за алфавітом): Є.Т. Володарський, Є.Ф. Долинський, М.А. Земельман, О.С. Клейман, Ж.Ф. Кудряшова, В.А. Кузнє-цов, М.Ф. Маліков, П.В. Новицький, П.П. Орнатський, В.І. Проненко, С.Г. Рабінович, В.Я. Розенберг, Л.З. Румшиський, Ю.М. Туз, В.М. Чинков, Л.М. Щербак та ін., за-вдяки плодотворній діяльності яких були розроблені наукові основи оцінювання похибок і впроваджені у практику нормативно-технічні документи, багато з яких викорис-товуються у вітчизняній метрологічній практиці дотепер.

Курс України на європейську і міжнародну інтеграцію обумовлює перехід до єдиних стандартів в галузі планування, проведення вимірювань й обробки їх результатів. Ці стандарти є інструментом взаємного визнання результатів вимірювань і гармонізації міждержавних взаємин у виробничих та невиробничих сферах. Прийняття Україною міждержавного документа РМГ 43-2001, введення в дію ДСТУ ISO/IEC 17025 – 2001, а також підписання Угоди про взаємне визнання національних еталонів одиниць і свідоцтв калібрувань і вимірювань, які видаються національними метрологічними інститутами (MRA), поклало початок законодавчому використанню підходу невизначеності (ПН) в Україні.

Одними з перших відобразили у своїх працях (1981-1997) основи концеп-ції ПН (у хронологічному порядку) В.І. Проненко, М.А. Земельман, Л.К. Ісаєв, Л. Лейфер, Ю.В. Тарбєєв, В.А. Слаєв, А.Г. Чуновкіна. Пізніше (2000-2002) з'явилися публіка-ції в українських виданнях О.М. Величко, О.І. Колбасіна, О.В. Проко-пова, Б.Ф. Маркова, В.Д. Циделко, Н.А. Яремчук, В.М. Новікова, В.Д. Кукуша, В.П. Чалого. Аналогічні публікації з'явилися в цей же час у країнах ближнього зарубіжжя (Н.Єфремова – Бєларусь; Т. Барашкова, Р. Лаанеотс – Естонія; Х. Радев, В. Богев – Болгарія; Т. Скубис - Польща).

При вирішуванні задач міжнародної єдності вимірювань одним з центральних моментів є підвищення достовірно-сті одержуваних оцінок точності, під якою треба розуміти міру довіри до шуканої оцінки, яка виражається через її відхилення від прийнятого опорного значення. Незважаючи на велику кількість праць, присвячених дослідженням оцінок точності результатів вимірювань, їх достовірність при використанні стандартизованих методик в кілька разів перевищує допустиму, що дорівнює 5-10 %. Це обумовлено як вибором у якості оцінки результату вимірю-вань з багаторазовими спостереженнями середнього арифметичного, не завжди адекватного закону розподілу результатів спостережень, так і спро-щеннями при знаходженні довірчих інтервалів статистичних і нестатистич-них оцінок точності результату вимірювання, які найчастіше не враховують законів розподілу аргументів (вхідних величин) рівняння вимірювання (модельного рівняння), співвідношення між їхніми характеристиками розсіювання, наявності кореляції, степені нелінійності рівняння вимірювання, тощо. Такий стан не може вважатися задовільним, особливо коли отримані оцінки застосовуються для характеристики точності проміж-них результатів, які використовуються у ланцюзі передачі розміру одиниць.

Невідповідність вимог реальних практичних задач метрологічного забезпе-чення з рівнем вирішення ряду теоретичних питань висуває проблему розвитку теоретичних і прикладних основ оцінювання характеристик похибки та невизначеності результа-тів вимірювань, що відповідає потребам усіх індустріальних країн і є економічно важливою та актуальною для України. Ця проблема є нагальною і вимагає свого рішення як для випробувальних і калібрувальних лабораторій України, які акредитуються за ДСТУ ISO/IEC 17025 при проведенні міжлабораторних випробувань, так і для територіальних і національних метрологічних центрів, що мають первинні та вихідні еталони, які беруть участь у регіональних і міжнародних ключових звіреннях.

Зв'язок з науковими програмами, планами, темами. Дисертація є резуль-татом виконання тематики кафедри метрології та вимірювальної тех-ніки Харківського національного університету радіоелектроніки зі ство-рення процедур планування, проведення та обробки вимірювального експериме-нту.

Основні результати дисертаційної роботи були використані при виконанні держбюджетних робіт „Розробка інформаційно-вимірювального компле-ксу для електромагнітного моніторингу навколишнього середовища” (номер де-ржреєстрації 0101U005127), „Розробка енергоефективних і екологічних технологій та технічних засобів використання електромагнітної енергії в промис-ловому і агропромисловому комплексі” (номер держреєстрації 0101U005128), затверджених листом Міністерства освіти і науки Укра-їни №15/20-148 від 08.02.2001; “Синтез структури гравіметричного компле-ксу і розробка завадостійких алгоритмів вимірювань прискорення сили ваги” (номер держреєстрації 0104U03381), у яких дисертант виконував обов'я-зки наукового керівника розділу; „Розробка методів і засобів підвищення ефективності використання електромагнітної енергії в промисло-вому та агрокомплексі”, затвердженої наказом Міністерства освіти і науки України №633 від 05.11.2002, а також науково-дослідної роботи №05-05 з ДП Харківстандартметрологія “Розробка методичного документа “Ре-комендації щодо оцінювання невизначеності під час виконання метрологіч-них робіт””, у яких дисертант виконував обов'язки наукового керів-ника.

Мета і задачі дослідження. Мета – підвищення достовірності оцінок характеристик похибок та невизначеності резуль-татів вимірювань на основі урахування законів розподілу та кореляції даних.

Для досягнення цієї мети в роботі вирішуються такі задачі:

- наукове обґрунтування та аналіз статистичних моделей характерис-тик роз-сіювання оцінок результатів вимірювань при обробці даних з обмеже-ним обсягом і довільними законами розподілу з урахуванням кореля-ції, що спостері-гається між ними;

- обґрунтування достовірних нестатистичних оцінок похибки (невизначеності) вимірювань на основі синтезу імовірнісних моделей невиключених систематичних похибок з урахуванням законів розподілу і логічної кореляції між ними;

- розвиток науково-технічних основ отримання достовірних оцінок довір-чих інтервалів похибки (розширеної невизначеності) основних різнови-дів вимірювань для корельованих та некорельованих вхідних величин їх модельних рівнянь;

- розвиток теоретичних і практичних основ достовірного оціню-вання похибок та невизначеності базових метрологічних операцій.

Об'єктом дослідження в дисертаційній роботі є процес оцінювання точності результатів вимірювань при довільних законах розподілу вхідних величин в умовах наявності кореляційних зв'язків між ними.

Предметом дослідження є методи оцінювання характеристик похибки та невизначеності результатів основ-них різновидів вимірювань.

Методи дослідження. В основу роботи покладені аналітичні методи дослі-джень, що ґрунтуються на основах теорії ймовірності і математичної статис-тики, теорії вимірювання, методі максимальної правдоподібності, нейманівсь-кому і байєсівському підходах до оцінювання точності вимірю-вання; методи імітаційного моделювання, дисперсійного і кореляційного ана-лізу.

Наукова новизна отриманих результатів:

- вперше одержано модель багатомірної функції довільних розподілень статистичних оцінок точності, яка дозволила отримати достовірні інтервальні статистичні оцінки похибки (невизначе-ності) результатів вимірювань;

- вперше синтезовано імовірнісну модель сумісних анормальних законів розподілу, на основі якої створено науковий підхід щодо визначення нестатистичних оцінок невизначеності результатів вимірювань з корельова-ними вхідними величинами;

- розвинуто теорію трансформації законів розподілу при нелінійному перетво-ренні, на основі якої проведено аналіз границь використання критерію застосування закону поширення невизначеності при нелінійній модельній функції для анормальних законів розподілу вхідних величин;

- вперше одержано моделі законів розподілу суми статистичних та нестатистичних оцінок точності і на їх основі розроблено процедуру оціню-вання розширеної невизначеності для основних різновидів вимірювань;

- удосконалено метод ексцесів для аналітич-ного представлення розширеної невизначеності корельованих даних;

- розвинуто методи оцінювання невизначеності ви-мірювань, викладені в міжнародних документах; удосконалено оцінки розшире-ної невизначеності при виконанні метрологічних операцій.

Практичне значення отриманих результатів.

Було розроб-лено та впроваджено в промисловість: загальна методика оцінювання невизна-ченості вимірювань у процесі виконання метрологіч-них робіт: ДП „Харків-стандартметрологія” (Хар-ків), ДП „Укрметтестстандарт” (Київ), ДП „Кримстандартметрологія” (Сімферополь), НПП Хартрон-Сігма (Харків), ВАТ „АТ НДІРВ” (Харків), філії метрологічного центру НАК „Нафтогаз України” (Боярка, Київської обл.) та методика оцінювання невизначено-сті в аналітичних вимірюваннях: Український науково-дослідний інститут олії та жирів (Харків), інститут екогігієни і токсикології ім. Л.І. Медведя, (Київ). Ос-новні результати роботи були використані при розробці методичного документа ПМ ХА 33.14052005 “Ре-комендації щодо оцінювання невизна-ченості під час виконання метрологічних ро-біт”, розробці методич-ного документа МP 001/03-0-06 з оцінюванню заявленої невизначеності етало-нів при їх підготовці до міжнародних і регіональних ключових звірень та з перерахування характеристик невизначе-ності в характеристики похи-бки при передачі розміру одиниці від еталона НМІ робочим еталонам відпові-дно до існуючих повірочних схем. Методика оцінювання невизначеності вимірювань була використана при проведенні семінарів-тренінгів для працівників регіональних центрів стандарти-зації, метрології та сертифікації Київської, Житомирської, Одесь-кої областей та Кримської АР за темою „Впровадження міжнародних та європей-ських стандартів з оцінки відповідності та невизначеності в метрологі-чну практику”; в Харківській філії УкрНДНЦ при проведенні кур-сів підвищення кваліфікації метрологів; в Університеті економіки та права „Крок” при проведенні лекційних та практичних занять з курсу „Метрологі-чне забезпечення виробництва” для магістрантів спеціальності „Якість, стандартизація, сертифікація”. Результати дисертаційної роботи були використані також в навчальному процесі за напрямком 0913 “Метроло-гія і вимірювальна техніка”, зокрема в курсах “Основи метрології та вимірюваль-ної техніки” і “Основи теорії похибок”, що викладаються в Харків-ському національному університеті радіоелектроніки.

Особистий внесок здобувача. Основні теоретичні дослідження вико-нані автором самостійно. У роботах у співавторстві здобувачеві належить участь у розробці нових наукових ідей та проведенні теоретичних досліджень; в постано-вці задач та обґрунтуванні методик їх розв’язування; розробленні моделей; узагальненню окремих положень як методів оцінювання невизначеності резуль-татів вимірювань. Серед публікацій із співавто-рами здобувачеві належить: [1] формули для моментів пере-хідних характерис-тик та постійних часу вимірювальних перетворювачів, що мо-делю-ються ланками аперіодичного типу, включаючи ланки чистого запізню-вання; [2] – графічний та аналітичний методи вирішення задачі транс-форму-вання закону розподілення похибки при нелінійному перетворенні, пока-зано, що запропоновані методи можна застосовувати для генерації випадко-вих чисел за довільним законом; [3] – чисельний метод, який дозво-ляє розши-рити застосування відомих критеріїв виявлення грубих похибок і про-махів на довільні закони розподілу; [4] залежність довірчого коефіціє-нту композиції законів розподілу арксинуса від співвідношення їх серед-ніх квадратичних відхилень; [5] методика оцінювання випад-кової похибки визна-чення постійних часу аперіодичних вимірювальних перетво-рювачів; [6] чисельний метод, який дозволяє оцінювати дові-рчі границі випадкової похибки при статистичній обробці результатів спостере-жень, що розподілені за довільним законом, для різних оцінок результатів вимірю-вань та оцінок їх розсіювання; [7] – методика аналізу похибок вимі-рювання коефіцієнта несинусоїдальності на-пруги електричної мережі на основі методу Монте-Карло; [8] – застосо-вано метод Монте-Карло для синтезу достовірних оцінок і критеріїв, які викорис-товуються на всіх етапах статистичної обробки результатів вимірю-вань; [9] – аналітичний вираз для коефіцієнта, який забезпечує найбільш ефективну оцінку результату прямого вимірювання з багато-кратними спостере-женнями, загальна методика застосування методу Монте-Карло для реалізації алгоритмів статистичної обробки результатів вимірювань; [17] – сформульовані основні задачі ідентифікації динамічних характеристик засо-бів вимірювальної техніки; [19] – методика дослідження методом Монте-Ка-рло можливості застосування критерію допустимості лінеаризації неліній-них функцій для подальшої метрологічної обробки результатів вимірювань з ура-хуванням закону розподілення аргументів при непрямих вимірюваннях; [25] – процедура оцінювання невизначеності при ідентифікації динамічних характеристик засобів вимірювальної техніки з урахуванням кореляції між оцінками сталих часу.

Апробація результатів дисертації відбувалася на: Всесоюзному сим-позіумі “Проблемы радиоизмери-тельной техники”, 1989 (Горький); Всесоюзній науково-технічній конференції “Метрологиче-ское обеспече-ние и стандартизация”, 1990 (Москва); Республіканській нау-ково-технічній конференції “Теория и практика измере-ний параметров электро-магнитных колебаний и ли-ний передачи”, 1991 (Харків); Всесоюзній нау-ково-технічній конференції “Радиоизмерения – 91”, 1991 (Севастополь); Х Всеакадемічній (міжнародній) школі з проблем метрологічного забезпе-чення та стандартизації “Метрологическое обеспече-ние и стандартиза-ция”, 1992 (Мінськ); 2-й Крим-ський конференції “СВЧ техника и спутнико-вый прием”, 1992 (Севастополь); 1-4 Міжнародних науково-техніч-них конференціях “Метрология и измеритель-ная техника”, 1999-2004 рр. (Харків); 2, 5, 7-10 Міжнародних конференціях “Теория и техника пере-дачи, при-ема и обработки инфор-мации”, 1995, 1999, 2001-2004 рр. (Ха-рків-Туапсе); 6 и 7 Міжнародних конференціях УАДО “Образование и виртуаль-ность”, 2002, 2003 рр. (Хар-ків Ялта); 4-th International Confer-ence on Measurement “Measurement-2003”, (Smolenice, Slovak Republic); Мі-жнародному науково-техні-чному семінарі “Математические методы при обеспечении качества и взаим-ного признания результатов из-мерения”, 2004 (Санкт-Пе-тербург, Росія); 10-th IMEKO TC7 International Symposium “Advances of Measurement Sci-ence”, 2004 (Санкт-Пе-тербург, Росія); 2-му Науково-техні-чному семінарі “Неоп-ределенность измерения: нормативные, научные, методические и произ-водственные аспекты”, 2005 (Харків); 15-th Scientific sym-posium with international partici-pation “Metrology and assurance 2005”, (Sozopol, Bulgaria); 2-му Міжнародному радіоелектронному форумі “Прикладна радіоелектроніка. Стан і перспективи розвитку”, 2005 (Харків).

Публікації. З теми дисертації опубліковано понад 70 робіт, з яких 27 відповідають вимогам ВАК для захисту дисертації (26 статей у фахових журналах та збірниках України, 1 стаття в журналі “Вимірювальна техніка” (Російська Федерація), причому, 15 з них без співавторів.

Структура та обсяг дисертації. Дисертаційна робота складається зі вступу, шістьох розділів, висновків, списку використаних джерел та 6 додатків. Повний обсяг дисертації складає 351 сторінок друкованого тексту, містить 53 рисунка, 151 таблицю. Список використаних літературних джерел містить 176 найменувань.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обґрунтовано актуальність проблеми дослідження, показано зв'язок роботи з науковими проблемами, планами, темами, наведено відомості про наукову новизну та практичне значення отриманих результатів і їх впровадження.

Перший розділ роботи присвячено аналізу проблеми, вибору та обґрунтуванню напрямку наукових досліджень.

Відмічено, що точність результатів вимірювань визначає вірогідність прийнятих рішень, рівень матеріальних витрат у виробничій та невиробничій сферах, єдність вимірювань, надійність оцінок їх результатів. Найбільш очевидним шляхом підвищення точності результатів вимірювань є вдосконалення методів і засобів вимірювальної техніки (ЗВТ). Однак цей шлях пов’язаний з істотними матеріальними витратами на розробку еталонної бази та модернізацію парку робочих ЗВТ. Інший варіант рішення цієї проблеми полягає в удосконаленні методів обробки результатів вимірювань і підвищенні достовірності оцінювання їх точності. Цей шлях є однією з ознак єдності вимірювань “похибки вимірювань мають бути відомими та з заданою ймовірністю не виходити за встановлені границі”. Проте тільки існуюче правило округлення при вираженні похибки вимірювань, яке обумовлює достовірність оцінювання похибок до 17 %, призводить до розбігу довірчої ймовірності 0,91...0,98 (при номінальному значенні 0,95), що знижує надійність одержуваного результату. Так, виконання цього правила може привести до значних матеріальних втрат при передачі великих партій продукції (особливо, коли мова йде про торгівлю електроенергією та енергоносіями). Аналіз класів точності ЗВТ показує, що відносна різниця між ними становить від 17 до 40 відсотків, тому підвищення точності оцінювання похибки ЗВТ у межах похибки округлення при проведенні державних випробувань або метрологічної атестації дозволяє в ряді випадків підвищити клас точності ЗВТ без додаткових витрат на їх модернізацію. Достовірність оцінювання точності важлива й тому, що похибки (невизначеності) результатів вимірювань у ряді випадків є вхідними даними при аналізі похибок інших вимірювань і, трансформуючись рівнянням вимірювання, впливають на похибку (невизначеність) їх результату.

В дисертації проведено порівняння двох основних підходів до оцінювання точності вимірювань: КП і ПН. Аналізуються закордонні та вітчизняні нормативні документи з оцінювання невизначеності вимірювань. Констатується, що паралельний розвиток двох підходів до оцінювання точності вимірювань, який спостерігається протягом останньої чверті століття, завершується переходом від концепції похибок до концепції невизначеності при вирішенні питання міжнародної стандартизації оцінювання точності вимірювань. Аналіз двох концепцій показує їх відмінності (крім термінологічних) в основних постулатах вимірювання, переліку характеристик точності, способах підсумовування їх складових та одержання інтервальних оцінок точності результату вимірювань. Це призводить до кількісних розходжень при оцінюванні точності вимірювань, які варто оцінити. Крім того, на етапі переходу від КП до ПН доцільно одержати та використовувати в метрологічній практиці формули й коефіцієнти взаємного перерахування характеристик невизначеності та похибки вимірювань.

Проведено огляд сучасного стану достовірності оцінювання точності результатів вимірювань. Аналізується достовірність статистичних оцінок похибки й невизначеності. Показано, що вони базуються на припущенні нормального закону розподілу результатів багаторазових спостережень. Це припущення обумовлює прийняття середнього арифметичного як достовірної оцінки результату таких вимірювань та виразу Бесселя в якості оцінки середнього квадратичного відхилення (СКВ) (стандартної невизначеності типу А). В якості довірчого коефіцієнту приймається коефіцієнт із розподілу Стьюдента. Показано, що у випадку відхилення реального закону розподілу від нормального застосування цих виразів є некоректним і призводить до збільшення похибки оцінок точності в чотири рази вже при двадцяти спостереженнях та необмеженому зростанню похибки з ростом кількості спостережень. Аналізується діапазон застосування інших оцінок результатів (медіана, центр розмаху) і точності вимірювання (середнє абсолютне відхилення, розмах), у тому числі й комбінованих (зважених). При знаходженні інтервальних оцінок суми декількох складових випадкової похибки застосовуються наближені вирази, які засновані на дослідженнях Велча і Сатерсвейта. Вони були отримані в 30-х 40-х роках минулого століття, коли їх коректність неможливо було перевірити шляхом постановки чисельного експерименту, тому їх достовірність має бути встановлена із застосуванням комп'ютерного моделювання з використанням сучасних інформаційних технологій.

Здійснюється оцінка достовірності нестатистичних оцінок точності. До їх числа відносяться довірчі границі та СКВ невиключених систематичних похибок (НСП) і стандартна невизначеність типу В. Показано, що для рівня довіри 0,95 як при оцінюванні похибки, так і при оцінюванні невизначеності нехтують законом розподілу складових, що призводить до похибок оцінювання сумарної НСП від 20 до 40 %. Розгляд питання про знаходження нестатистичних оцінок точності за наявності логічної кореляції між складовими найчастіше обмежується випадком, коли коефіцієнт кореляції дорівнює ±1(строга кореляція). Все перелічене ставить задачу розробки методології достовірного оцінювання нестатистичних оцінок точності з урахуванням законів розподілу вхідних величин та довільної логічної кореляції між ними.

При підсумовуванні статистичних і нестатистичних оцінок виникає пи-тання про вибір довірчого коефіцієнта (коефіцієнта покриття). Значення цього коефіцієнта буде залежати не тільки від законів розподілу складо-вих похибки результату вимірювання, але й виду модельного рівняння. Аналі-зуються формули, що застосовуються в КП і ПН для цих випадків. Показано, що їх застосування дає похибку оцінювання інтервальних показни-ків точності в десятки відсотків. Ставиться задача створення теорії одержання достовірних оцінок довірчих інтервалів похибки й розширеної невизначеності основних різновидів вимірювань для корельованих і не коре-льованих даних.

Розглянуто методи підвищення достовірності статистичних і нестатисти-чних оцінок точності результатів вимірювань. Аналіз аналітич-них і чисельних методів показує універсальність і більш високу точність останніх. Порівняння різних варіантів чисельних методів (дискретного рів-няння згортки, методу Монте-Карло і методу часткових приростів) пока-зує перевагу методу Монте-Карло як у сенсі досяжної точності, так й у сенсі можливості роботи з корельованими вхідними величинами. Прикладом ефективного використання чисельних методів є розробка робо-чою групою 1 об'єднаного комітету з настанов у метрології (JCGM) Додатку 1 до GUM, що містить чисельні методи трансформування розподі-лів. На жаль, запропонований в ньому метод Монте-Карло не зав-жди може бути рекомендований для використання в практичній метроло-гії при безпосередньому оцінюванні результатів вимірювань і відповідних характеристик точності. Причинами цього є істотна трудомісткість чисель-них методів, що вимагають до того ж наявності комп'ютерної тех-ніки й відповідної кваліфікації персоналу; власна невизначеність чисель-них методів, пов'язана із стохастичністю природи обчислень та випадкові-стю реалізації вибірки; ускладнення при моделюванні корельованих негаусо-вих вхідних величин; необхіднисть сертифікованих програм.

Тому на основі досліджень за допомогою методу Монте-Карло варто роз-робити систему рекомендацій і критеріїв для розв’язання задач оцінювання точно-сті основних різновидів вимірювань. Для побудови залежності одержу-ваних характеристик від виду закону розподілу (з метою створення ме-тодів достовірної та ефективної статистичної обробки результатів вимірю-вального експерименту) останній доцільно характеризувати число-вим параметром. Розглядаються різні варіанти рішення цієї задачі: застосу-вання “універсального” параметрично керованого закону розпо-ділу (функція Йордану, закон ГАНКА, узагальнений нормальний закон, тощо); синтез набору законів розподілу відомої форми, що визнаються значен-ням характерного параметра (ексцесу, коефіцієнта ексцесу, контрекс-цесу, показника форми і т.п.).

Аналізуються основні метрологічні операції, стан питання оціню-вання точності їх реалізації. Так, наприклад, при знаходженні ефективної оцінки опорного значення ключових звірень (KCRV) виникають усклад-нення, коли функції щільності розподілу ймовірності вимірюваних вели-чин не є гаусовими і модель для KCRV не є лінійною. Ставиться задача вдос-коналення теоретичних і практичних основ достовірного оцінювання похибки та невизначеності метрологічних операцій.

Відзначається, що для впровадження КН у вітчизняну метрологічну прак-тику необхідно здійснити розробку національних нормативно-методич-них документів, які б регламентували загальні питання оціню-вання невизначеності при виконанні випробувань і калібрувань, методику оцінювання заявлених невизначеностей національних еталонів України й процедуру оцінювання та вирази невизначеності при виконанні метрологіч-них робіт для конкретних видів вимірювань.

Другий розділ присвячено синтезу та аналізу достовірних статистич-них оцінок точності результатів вимірювань.

Статистична обробка вимірювань з багаторазовими спостереженнями до-зволяє істотно зменшити випадкову складову похибки їх результату. При знаходженні інтервальних оцінок результату цих вимірювань (довір-чого інтервалу, розширеної невизначеності) при обмеженій кількості спосте-режень використається tрозподіл, який для нормального закону результатів спостережень відомий як закон розподілу Стьюдента. Для довільних законів розподілу результатів спостережень проведено нау-кове обґрунтування побудови статистичних моделей tрозподілів, на основі аналізу яких для рівня довіри 0,95 запропоновано вираз для довірчого коефіцієнта як залежність від ексцесу розподілу E та числа степенів свободи н у вигляді

, (1)

де ; .

Аналіз статистичних моделей різних оцінок резуль-тату прямих вимірю-вань і характеристик його розсіювання дозволив визна-чити комбіновану (з середнього арифметичного та медіани чи центра розмаху) оцінку результату багаторазових вимірювань та її стандартного від-хилення, що забезпечують мінімальні значення довірчих границь випадко-вої похибки (розширеної невизначеності) для довільних законів розподілу результатів спостережень (рис.1).

У випадку непрямих вимірювань з багаторазовими спостереженнями необхідно здійснювати композицію декількох законів розподілів Стьюдента з різним числом степенів свободи н та різним відношенням середніх квадратичних відхилень (СКВ). Тому актуальною задачею є оцінка числа степенів свободи такої композиції. На основі спільної функції розподілу отримані композиції законів розподілу Стьюдента для корельованих і некорельованих результатів спостережень для нормальних і анормальних законів розподілу. Аналізуються наближені вирази для ефективного числа степенів свободи нeff композиції законів розподілу Стьюдента, які даються в роботах Велча та Саттерсвейта.

а) б)

Рис.1. Залежності від числа спостережень та ексцесу розподілу E та числа спостережень n (а) коефіцієнту q комбінованої оцінки результату вимірювання; б) відношення довірчих границь середнього арифметичного та комбінованої оцінки Uc

Оцінка степеня наближення при використанні цих виразів і знаходження виразу, що забезпечує найкраще наближення, здійснювалося за допомогою рішення наступних задач: чисельне моделювання композиції двох законів розподілу Стьюдента з різним числом степенів свободи н1 та н2 і відношенням СКВ S2/S1; оцінювання числа степенів свободи отриманої композиції; знаходження достовірних оцінок довірчих коефіцієнтів і числа степенів свободи для композиції законів розподілу Стьюдента.

Моделювання композиції законів розподілу Стьюдента здійснювалося методом Монте-Карло. Для його реалізації здійснювалась генерація двох вибірок випадкових величин об'ємом 3105 кожна, що підкоряються розподілу Стьюдента, із заданим числом степенів свободи та заданим відношенням СКВ S2/S1. Підсумовування цих вибірок дає вибірку випадкової величини, закон розподілу якої відповідає шуканій композиції. Особливість розподілів Стьюдента полягає в тому, що при н?2 дисперсійна оцінка ширини розкиду перестає існувати. Оцінка ексцесу, через яку можна оцінити число степенів свободи, перестає існувати вже при н=4. Через це параметри отриманої композиції можуть бути оцінені лише з використанням довірчих або ентропійних оцінок. Тому для заданої довірчої імовірності (р=0,95) здійснювалося оцінювання довірчого коефіцієнта k отриманої композиції. Для підвищення точності знаходження цієї оцінки й визначення ступеня її розсіювання чисельний експеримент проводився 100 разів з наступним усередненням. При цьому власна невизначеність отриманої оцінки довірчого коефіцієнта склала не більше 0,0005. Залежність довірчого коефіцієнта композиції від параметрів н1 та н2 для різних співвідношень S2/S1 наведена на рис. 2-а.

а) б)

Рис. 2. Залежності k(н1, н2) (а) та числа степенів свободи (б) композиції законів розподілу Стьюдента, одержані методом Монте-Карло

На рисунках табл. 1 показані апроксимуючі залежності, отримані як коефіцієнти Стьюдента із числом степенів свободи, обумовлених виразами Велча-Саттерсвейта, наведеними в МІ 2083-90 й GUM. Відносні похибки апроксимації дані в другому стовпці цієї таблиці, з якої видна істотна відмінність цих залежностей при малих значеннях н1 та н2, особливо при наближенні S2/S1 до одиниці.

Для оцінювання числа степенів свободи отриманої композиції необхідно здійснити зворотне перетворення коефіцієнтів Стьюдента t0,95(н) в число степенів свободи н. Апроксимацію цієї залежності було знайдено на основі виразу (1) для рівня довіри 0,95 у вигляді:

н={1,96/[t0,95(н)-1,96]+0,87}/0,822, (2)

Похибка апроксимації (2) для н=2 становить 4 %, для не більше ±0,22 %.

Залежність числа степенів свободи н композиції законів розподілу Стьюдента від н1 та н2 для різних співвідношень S2/S1 знайдена за запропонованою методикою, показана на рис. 2-б. На рисунках третього стовпця табл. 1 наведені аналогічні залежності, отримані за формулами, наведеними у МІ 2083-90 й GUM. Аналіз таблиці показує, що число степенів свободи композиції, отримане по формулах МІ 2083-90 й GUM відрізняється від числа степенів свободи, отриманого методом Монте-Карло майже в 2 рази. Ця відмінність і призводить до неправильної оцінки довірчого коефіцієнта для композиції законів розподілу Стьюдента. Достовірну оцінку довірчого коефіцієнта для композиції законів розподілу Стьюдента шукали на основі виразу, що застосовується в ГОСТ 8.207-76

k=[ t0,95(н1)+ t0,95(н2) S2/S1]/(1+ S2/S1) (3)

Таблиця 1

Ілюстрації щодо дослідження композиції законів розподілу Студента

і запропонованої формули:

. (4)

Залежності довірчого коефіцієнта k, розрахованого за формулами (3) і (4), від параметрів н1 та н2 для різних співвідношень S2/S1 наведені на рисунках у першому стовпці табл. 1.

Знайдено оцінки числа степенів свободи цієї композиції та коефіцієнта покриття при знаходженні розширеної невизначеності статистичної оцінки. На основі аналізу сумісного закону розподілу Стьюдента за допомогою отриманої емпіричної формули (4) для різних законів розподілу результатів спостережень синтезовано вирази для достовірного коефіцієнта покриття композиції законів розподілу некорельованих вхідних величин, що здійснює його апроксимацію з похибкою не більше ±8 %. Показано, що використання для цієї мети виразів, рекомендованих у нормативних документах, призводить до похибок у десятки-сотні відсотків навіть для нормального закону розподілу генеральної сукупності.

При проведенні непрямих багаторазових вимірювань можна зустрітися з попарною кореляцією вхідних величин. У цьому випадку МІ 2083-90 рекомендує при обробці застосовувати метод приведення, а GUM ураховує кореляцію у вигляді додаткового члена при підсумовуванні дисперсій відповідно до закону поширення невизначеності. Однак метод приведення можна здійснити тільки в тому випадку, коли кількість спостережень для всіх вхідних величин однакова, а при знаходженні розширеної невизначеності відповідно до GUM формула Велча-Саттерсвейта не працює. Аналіз результатів статистичного моделювання композиції законів розподілу характеристик розсіювання результатів вимірювань двох корельованих вхідних величин з однаковою кількістю спостережень n (рис. 3) дозволив установити, що коефіцієнт покриття такої композиції визначається як коефіцієнт із розподілу Стьюдента із числом степенів свободи, рівним n -1.

Рис.3. Залежність коефіцієнта покриття композиції законів розподілу

Стьюдента корельованих вхідних величин від коефіцієнта

кореляції с та числа степенів свободи н

У третьому розділі проведено моделювання достовірних нестатистичних оцінок точності результатів вимірювань. При цьому необхідно враховувати наявність логічної кореляції, обумовленої використанням при визначенні вхідних величин одного вимірювального приладу, еталона одиниць вимірювання або одних довідкових даних, що мають значну невизначеність. Автором запропоновано принципи моделювання спільних довільних законів розподілу вхідних величин з урахуванням кореляції між ними, що включають наступні операції.

1. Генерування двох послідовностей нормально розподілених некорельованих випадкових чисел о1 і о2 з нульовим математичним очікуванням та одиничним СКВ.

2. Формування із цих послідовностей третьої послідовності , корельованої з о1 із коефіцієнтом кореляції с. Їх спільна функція розподілу g(о1, о3) для різних коефіцієнтів кореляції представлена на рис. 4а.

Рис.4. Спільні функції розподілу для нормальних (а),

рівномірних (б) та арксинусних (в) корельованих величин

3. Здійснення перетворення від о1 і о3 у вигляді інтегральної функції нормованого нормального розподілу х=Gн(о) з одержанням послідовностей рівномірно розподілених у діапазоні від 0 до 1 корельованих випадкових чисел з1 і з2 з коефіцієнтом кореляції с1,2, близьким за значенням до вихідного коефіцієнта с (рис. 4б).

4. Одержання нормованих рівномірно розподілених випадкових чисел і з нульовим математичним очікуванням та одиничним СКВ.

5. Реалізація методу зворотних функцій для одержання двох послідовностей корельованих випадкових чисел і із заданими законами розподілу , де - інтегральна функція заданого закону розподілу. На рис. 4в показані двомірні функції із законом розподілу арксинуса для різних значень коефіцієнтів кореляції.

Запропонований алгоритм дозволяє здійснювати генерацію попарно корельованих випадкових чисел із заданими коефіцієнтами кореляції й будь-якими, навіть не однаковими, законами розподілу.

Дослідження показали, що методична систематична складова похибки відтворення коефіцієнта кореляції, що обумовлена нелінійністю перетворення вихідних законів розподілу, не перевищує при одержанні рівномірних законів розподілу 0,018 у діапазоні і досягає максимуму в точках . Здійснення методу зворотних функцій для одержання корельованих вхідних величин, розподілених за законом арксинуса, збільшує максимальне значення додаткової систематичної похибки відтворення коефіцієнта кореляції до 0,043. Випадкова складова реалізації моделювання визначалася за 50 вибірками об'ємом 106 значень, і її стандартне відхилення не перевищило 0,00015.

На основі синтезованої моделі отримано закони розподілу суми двох корельованих величин, розподілених рівномірно та за законом арксинуса, з різним співвідношенням СКВ S2/S1 , для яких оцінено значення коефіцієнтів покриття. Найбільш характерні гістограми цих композицій наведені на рис. 5. За отриманими композиціями оцінено значення коефіцієнтів покриття для рівня довіри 0,95 (рис. 6) і ексцесів розподілу, що характеризують їх форму.

Рис. 5. Композиції корельованих вхідних величин, розподілених

рівномірно (а-е) і за законом арксинуса (ж-м)

На основі моделювання методом Монте-Карло отримано композиції декількох рівномірних, нормальних законів розподілу та законів арксинуса. Їх аналіз дозволив розробити рекомендації з оцінювання коефіцієнтів покриття нестатистичних оцінок точності результатів вимірювань при відсутності логічної кореляції. Були проведені обчислення коефіцієнта покриття композиції некорельованих рівномірно та нормально розподілених складових невизначеності із стандартними відхиленнями , з блоком корельованих рівномірно розподілених складових із стандартним відхиленням (рис. 6).

При реалізації методу Монте-Карло випадкова складова його реалізації визначалася по 50 вибіркам об'ємом 106 значень, і її стандартне відхилення не перевищило 0,00015.

На рис. 7-а зображені залежності коефіцієнта покриття від коефіцієнта кореляції блоку для різних відношень стандартних відхилень корельованих величин у1/у2 для відношення стандартних відхилень нормально (рівномірно) розподілених внесків і корельованого блоку ун/уУ й ур/уУ відповідно.

Рис. 6. Залежність коефіцієнта покриття розподілу композиції

а) рівномірних законів і б) законів розподілу арксинуса

Рис. 7. Залежності коефіцієнта покриття від ексцесу розподілу а)двох корельованих рівномірно розподілених складових невизначеності б) композиції корельованих та некорельованих величин

Обґрунтовується можливість одержання коефіцієнтів покриття композиції корельованих і некорельованих рівномірно та нормально розподілених складових невизначеності за допомогою методу ексцесів підсумовування складових невизначеності. Суть методу полягає в обчисленні ексцесу E сумарної функції розподілу через значення ексцесів окремих законів розподілу та їх стандартне відхилення. Після визначення сумарного ексцесу необхідно одержати значення коефіцієнта покриття для композиції. Це можна зробити, скориставшись емпіричним виразом k=f(E), отриманим за експериментальною залежністю (рис. 7-б).

Апроксимація цієї залежності досягається поліноміальним виразом

k=0.0576E3 0,0597E2 + 0,1824 E + 2,0479.

Похибка визначення коефіцієнта покриття методом ексцесів не перевищує 4 %.

У четвертому розділі розглянуто достовірні інтервальні оцінки точності прямих однократних вимірювань та однієї і декількох груп багаторазових рівноточних і нерівноточних вимірювань. Наведено приклади складання бюджету невизначеності з оцінюванням розширеної невизначеності аналітично та методом Монте-Карло.

При оцінюванні невизначеності прямих одноразових вимірювань варто мати на увазі, що в якості вхідних величин в їх модельне рівняння, крім величини, що вимірюється безпосередньо, входять поправки до результату вимірювання на відомі систематичні ефекти, а також основні та додаткові абсолютні похибки ЗВТ. Всі невизначеності оцінюються за типом В. Їх закон розподілу обирається на основі апріорної інформації. Всі коефіцієнти чутливості дорівнюють одиниці, тому всі внески невизначеності дорівнюють стандартним невизначеностям вхідних величин. Розширена невизначеність визначається відповідно до рекомендацій, наведених в третьому розділі. При відсутності кореляції отримано залежність коефіцієнту покриття від співвідношення невизначеності нормально та рівномірно розподілених вкладів невизначеності наведено на рис. 8.

Рис. 8. Залежність коефіцієнта покриття від співвідношення

невизначеностей нормально та рівномірно розподілених вкладів

При одержанні розширеної невизначеності результатів прямих вимірювань з багаторазовими спостереженнями необхідно використовувати композицію закону розподілу Стьюдента з набором корельованих або некорельованих законів розподілу (рівномірних, нормальних, законів арксинуса). Для визначення достовірних значень довірчого коефіцієнта (коефіцієнта покриття), що виходить у цьому випадку, використовувався метод Монте-Карло. Для цього генерувалася вибірка випадкових чисел (об'ємом 3105), що має закон розподілу Стьюдента із числом степенів свободи від 2 до 30 і стандартним відхиленням SS, і вибірки, розподіленої по одному з перелічених законів. Сума членів цих вибірок являє собою вибірку значень стандартного відхилення результату вимірювань, за якою визначалися довірчий інтервал (розширена невизначеність) і довірчий коефіцієнт (коефіцієнт покриття) для довірчої ймовірності (рівня довіри) 0,95 (рис. 9).

Для підвищення точності й можливості оцінювання власної невизначеності одержаних результатів цей чисельний експеримент повторювався 100 разів з подальшим усередненням. Невизначеність чисельного методу в цьому випадку була менш 0,0005.

Проведено порівняння апроксимації отриманого значення коефіцієнта покриття з коефіцієнтом Стьюдента із числом ефективних степенів свободи відповідно до методики GUM, а також виразами (3) і (4). Аналіз отриманих результатів (табл. 2) показує, що найбільш достовірним апроксимуючим виразом для коефіцієнта покриття є запропонований вираз (4). Похибка апроксимації при його застосуванні не перевищує 4,5 %.

Рис.9. Залежність коефіцієнта покриття від кількості спостережень та

відношення стандартних відхилень, одержана методом Монте-Карло

Таблиця 2

Ілюстрації щодо дослідження композиції закону розподілу

Стьюдента з набором некорельованих законів розподілу

Досліджується підвищення достовірності оцінювання невизначеності декількох груп прямих вимірювань. В метрології ця модель вимірювань використовується при проведенні міжлабораторних випробувань. В GUM задача обробки декількох груп спостережень (згрупованих послідовностей) розглядається на прикладі застосування методів дисперсійного аналізу ANOVA до найпростішого випадку врівноваженої одноетапної згрупованої структури без урахування в результатах спостережень невизначеностей типу В. При цьому за найкращу оцінку приймають середнє арифметичне всіх отриманих результатів спостережень. Однак така оцінка є ефективною тільки для випадку рівноточних вимірювань. Аналізуються методи оцінювання невизначеності декількох груп прямих вимірювань, що базуються на законах поширення невизначеності та розподілів результатів спостережень у групах за наявності невизначеностей обох типів. У настанові з оцінювання результатів ключових звірень для підвищення ефективності обробки нерівноточних груп прямих вимірювань застосовується середньозважена оцінка (методика А), у якій враховується тільки невизначеність типу А в групах. Знаходиться оцінка невизначеності середньозваженої оцінки вимірюваної величини з урахуванням невизначеності типу А и В для кожної групи спостережень.

У цьому випадку коефіцієнт покриття k можна визначати як коефіцієнт Стьюдента з ефективним числом степенів свободи, розрахованим за отриманою формулою

.

Коли результати вимірювання у групах рівноточні, число степенів свободи буде дорівнювати

,

або, для рівних nj ,

тобто у m раз більше, ніж для кожної групи прямих вимірювань.

При цьому отримані середньозважені значення розглядаються як однорідні. Для перевірки їх однорідності пропонується застосовувати критерій Граббса. Він розрахований на нормальний закон розподілу середніх арифметичних груп спостережень. Методом Монте-Карло отримані критичні значення параметру в для законів, відмінних від нормального (рис. 10). Невизначеності отриманих значень не перевищують 0,0005.

Для відшукання розширеної невизначеності можна використати процедуру Монте-Карло, що також може бути застосовна при відмінності законів розподілів результатів спостережень лабораторій від нормального.

Застосування процедури Монте-Карло полягає в наступному.

1. Генерується m вибірок з великою кількістю M