Міністерство освіти і науки України

Львівський національний університет імені Івана Франка

ЗДОМСЬКИЙ Любомир Сергійович

УДК 512.5+515.1

ЛОКАЛЬНІ ТА КОМБІНАТОРНІ ВЛАСТИВОСТІ

ТОПОЛОГІЧНИХ ГРУП

01.01.06 – алгебра і теорія чисел

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Львів 2006

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана на кафедрі геометрії і топології Львівського національного університету імені Івана Франка, міністерство освіти і науки України.

Науковий керівник -- доктор фізико-математичних наук, професор

Банах Тарас Онуфрійович,

кафедра геометрії і топології

Львівського національного університету імені Івана Франка

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор

Протасов Ігор Володимирович,

провідний науковий співробітник кафедри дослідження операцій

Київського національного університету імені Тараса Шевченка;

кандидат фізико-математичних наук

Равський Олександр Віталійович,

молодший науковий співробітник відділу функціонального аналізу

Інституту прикладних проблем механіки і математики

імені Я.С. Підстригача НАН України.

Провідна установа -- Інститут математики НАН України.

Захист відбудеться “26” жовтня 2006 р. о 15.30 год. на засіданні спеціалізованої вченої ради К 35.051.07 у Львівському національному університеті імені Івана Франка за адресою: 79000, м. Львів, вул. Університетська, 1, ауд. 377.

З дисертацією можна ознайомитись у Науковій бібліотеці Львівського національного університету імені Івана Франка за адресою: м. Львів, вул. Драгоманова 5.

Автореферат розісланий “20” вересня 2006 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради Остудін Б.А.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальнiсть теми. Проблема дослiдження впливу алгебраїчної структури, узгодженої з топологiєю, на локальнi властивостi топологiчного простору бере свої витоки ще у працях класикiв топологiчної алгебри. Так, зокрема, в середині 30-х рокiв Г. Бiрхоф i Ш. Какутанi довели, що кожна топологiчна група з першою аксiомою злiченностi є метризовною, що далеко не так у загальному випадку топологiчних просторiв. Це зумовило подальшi дослiдження зв'язку між локальною будовою топологiчних груп та їх властивостями типу метризовності.

Одним з найважливiших узагальнень метризовності є субметризовність, тобто наявність неперервної метрики на даному топологічному просторі. Згідно з класичним результатом Ф. Гаусдорфа про можливість продовження метрики з замкненого підпростору метричного простору на весь простір, клас субметризовних просторів включає в себе злiченнi iндуктивнi границi метричних просторів, тобто -простори. Як показано Т.О. Банахом Т.О. Banakh. On topological groups containing a Frechet-Urysohn fan // Mat. Stud. -- 1998. -- Vol.9, N2. -- P.149 -- 154., кожна -група містить відкриту субметризовну -підгрупу, тобто субметризовну підгрупу, топологічний простір якої є індуктивною границею компактів. Розвиваючи гіпотезу І.В. Протасова про те, що для довільної зліченної групи і нетривіальної -послідовності на простір гомеоморфний -добуткові збіжних послідовностей, Є.Г. Зеленюк Е.Г. Зеленюк. Топологии на группах, определяемые компактами // Математичні Студії. -- 1995. -- Вип.5. -- С.5 -- 16. встановив топологiчну класифiкацiю злiченних -топологiчних груп. Пiзнiше вона була узагальнена Т. Банахом на клас нульвимірних субметризовних -груп. З огляду на цi результати природньо виникла задача знаходження локальних властивостей топологiчних груп, якi б характеризували -групи. Однiєю з таких властивостей в класi секвенцiальних топологiчних груп є злiченнiсть -характера, кардинального iнварiанта введеного у спiльнiй роботi [1] автора i його наукового керiвника Т.О Банаха.

-Характер є локальним аналогом поняття -сiткової ваги топологiчного простору введеного З.М. Гао, яке стало предметом детального розгляду в роботах Й. Нагати, К. Морiти, С. Лiна, Й. Танаки та багатьох iнших. У свою чергу -сiтки є природнiм секвенцiальним узагальненням -сiток введених Е. Майклом з метою характеризацiї образiв метричних сепарабельних просторiв при компактно-накриваючих вiдображеннях. Топологiчнi групи з

точково-злiченною -сiткою дослiджувалися А. Шiбаковом, який довiв метризовнiсть таких груп за умови злiченностi секвенцiального порядку.

Iншим напрямком топологiчної алгебри, де природньо виникли (субметризовні) -групи є теорiя вiльних топологiчних груп. Розв'язуючи проблему iснування гаусдорфової топологiчної групи, яка б мiстила замкнену копiю тихонiвського простору , А.А. Марков у 40-х роках минулого столiття ввiв поняття вiльної (абелевої) топологiчної групи над тихонiвським простором . Невдовзi М.I. Граєв показав, що вiльна група над компактом є -простором. Таким чином постали питання про вiдповiднiсть мiж властивостями тихонiвського топологiчного простору i його вiльної (абелевої) групи.

Одною з таких властивостей топологiчних груп є (сильна) -обмеженiсть, введена О.Г. Окунєвим з метою характеризацiї пiдгруп лiндельофових груп. У 2000-му роцi М.Г. Ткаченко, К. Хернандес i Д. Робi C. Hernandes, D. Robbie, M. Tkachenko. Some properties of -bounded and strictly -bounded topological groups // Applied General Topology. -- 2000. -- Vol.1, N1. -- P.29 -- 43. довели, що вiльна група над одноточковою лiндельофiкацiєю довiльного дискретного простору є сильно -обмеженою, i поставили питання про характеризацiю топологiчних просторiв, вiльна (абелева) група над якими є (сильно) -обмеженою. Властивостям (сильної) -обмеженостi топологiчних груп присвячено ряд недавнiх робiт Т.О. Банаха, П. Нiколаса, М. Санчiса, M.Г. Ткаченка, Л. Бабiнкостової, Л. Косiнача, М. Скiперза, Б. Цабана, M. Махури, А. Кравчика, М. Мiхалєвського та багатьох iнших. Тут варто вiдзначити, що вiдповiдна характеризацiя -обмеженостi отримана I.Й. Гураном у його дисертацiї на початку 80-х.

(Сильна) -обмеженiсть топологiчних груп визначається у термiнах комбiнаторних властивостей рiвномiрних покриттiв по вiдношенню до її лiвої рiвномiрностi. Такi комбінаторні властивості різного типу покриттів топологічних просторів відомі в теоретико-множинній топологiї під назвою селекцiйнi принципи. Iсторично перші селекційні принципи були введені на початку попереднього столiття у роботах К. Менгера i В. Гуревича. Їхній розгляд отримав новий поштовх в роботах О.В. Архангельського, М. Скіперза, Т. Банаха та багатьох iнших.

М.I. Граєв для доведенні існування вільної топологічної групи використав метод продовження псевдометрик з тихонівского простору на вільну групу над ним. Подібні міркування дозволяють продовжити топологiю з абелевої групи на її подiльну оболонку зі збереженням ваги та індексу обмеженості. Це дає позитивну відповідь на відповідне питання поставлене Т.О. Банахом на Львiвському топологiчному семiнарi, яке природньо виникло при розв'язуваннi ним спiльно з А. Загороднюком i А.M. Плiчком проблеми про автоматичну неперервнiсть полiномiальних операторiв мiж абелевими топологiчними групами.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Тематика дисертацiї пов'язана з науково-дослiдними роботами ``Асимптотичні властивості голоморфних функцій, алгебро-топологічні структури та їх застосування'' (номер державної реєстрації МГ-79Б), ``Тополого-алгебраїчні структури та їх застосування'' (номер державної реєстрації МТ-224Ф).

Мета i завдання долiдження. Метою дисертаційної праці є: локальна характеризацiя топологiчних груп, якi є iндуктивними границями метричних (компактних) пiдпросторiв; опис тихонiвських просторiв, вiльна (абелева) топологiчна група над якими є [сильно] o-обмеженою; доведення l-iнварiантностi властивостей Гуревича, Скiперза та Менгера; продовження топологiї абелевої топологiчної групи на її подiльну оболонку зi збереженням деяких кардинальних iнварiантiв.

Об'єктом дослiдження є топологiчнi групи зi злiченним cs-характером; вiльнi (абелевi) топологiчнi групи; подiльнi топологiчнi групи.

Предметом дослiдження є структура топологiчних груп зi злiченним cs-характером; комбiнаторнi властивостi вiдкритих покриттiв топологiчних просторiв, вiльнi групи над якими є (сильно) o-обмеженими; топологiзацiї подiльних оболонок абелевих топологiчних груп.

Методи дослiдження. У першому роздiлi розвинуто i використано при характеризацiї топологiчних груп зi злiченним cs-характером метод секвенцiальних дерев. Нарiжним каменем другого роздiлу є метод мультипокритих просторiв, за допомогою якого доведено характеризацiю топологiчних просторiв, вiльнi групи над якими є (сильно) o-обмеженими. Доведення основного результату третього роздiлу базується на методi продовження псевдонорм з пiдгрупи на групу розвинутому М.I. Граєвим М.И. Граев. Свободные топологические группы // Изв. АН СССР Сер. матем.- 1948.--Т.12.--С.279--323. при побудовi вiльних топологiчних груп.

Наукова новизна одержаних результатiв. У дисертацiї отримано такi новi результати:

* Кожна секвенцiальна топологiчна група G зi злiченним cs-характером є субметризовною. Бiльш точно, або G метризовна, або мiстить вiдкриту субметризовну -пiдгрупу H.

* Вiльна абелева група над лiндельофовим простором X є o-обмеженою тодi i лише тодi коли X має властивiсть Скiперза (тобто властивість M. Scheepers. Combinatorics of open covers I: Ramsey Theory // Topology Appl.. -- 1996. -- Vol.69. -- P.31 -- 62.) Вiльна (абелева) група над лiндельофовим простором X є сильно o-обмеженою тодi i лише тодi, коли другий гравець має виграшну стратегiю у грi Менгера на просторi X.

* Довiльну гаусдорфову групову топологiю на абелевiй топологiчнiй групi продовжено на її подiльну оболонку зi збереженням ваги, характеру та iндексу обмеженостi.

Практичне значення одержаних результатiв. Дисертацiя має теоретичний характер. Отримані результати можуть бути використанi в топологiчнiй алгебрi, функцiональному аналiзi, а також в загальній топології.

Особистий внесок здобувача. Викладені в дисертації результати отримано автором самостійно. В опублікованих спільно з Т.О. Банахом статтях співавтору належать постановка задач та обговорення результатів.

Апробацiя результатiв дисертацiї. Результати дисертацiї доповiдались на конференцiї молодих вчених механiко-математичного факультету Московсько державного унiверситету (Москва 2002р.); мiжнароднiй конференцiї з функцiонального аналiзу i його застосувань присвяченiй 110-й рiчницi з дня народження Стефана Банаха (Львiв 2002р.); мiжнароднiй конференцiї ``Геометрична топологiя: нескiнченновимiрна топологiя, абсолютнi екстензори'' (Львiв 2004р.), теоретико-множинному семiнарi центру логiчних дослiджень iменi Курта Гьоделя (Вiдень 2005р.); конференцiї ``Покриття, селекцiї, та iгри в топологiї'' (Iталiя, м. Лечче 2005р.), один раз на львівському алгебраїчному семінарі, та кiлька разiв на львiвському топологiчному семiнарi протягом 1999-2005 років.

Публiкацiї. Результати дисертацiї опублiкованi у 4 статтях (2 без співавторів), з них 3 (2 без співавторів) в журналах iз перелiку, затвердженого ВАК України.

Cтруктура і об'єм дисертації. Дисертація складається зі вступу, трьох розділів, розбитих на підрозділи, висновків, списку використаних джерел, який займає 8 сторінок і включає 95 найменувань. Загальний обсяг праці 111 сторінок.

ОСНОВНИЙ ЗМIСТ РОБОТИ

У вступі обгрунтовується актуальність теми, зроблено короткий огляд результатів по темі дисертації, сформульовано основні результати роботи.

Перший розділ ``Топологiчна структура (топологiчно однорiдних) просторiв i груп зi злiченним -характером'' складається з семи підрозділів. У першому з них зроблено огляд літератури та результатів розділу і введено термінологію та позначення, що використовуються в розділі. Тут сформульовано найважливіші результати розділу в дещо слабшій формі.

Нагадаємо, що сіткою в точцi топологiчного простору називається така сiм'я пiдмножин, що для довiльного околу точки iснує елемент з властивiстю. Пiдмножина топологiчного простору називається секвенціальним бар'єром в точцi, якщо для довiльної послiдовностi збiжної до iснує таке, що для всiх. Пiд -сiткою в точцi топологiчного простору ми розумiємо сiтку в точцi, елементи якої є секвенцiальними бар'єрами в точцi. Сiм'я пiдмножин топологiчного простору називається -сiткою (вiдп. сiткою) в точцi, якщо для довiльного околу точки i довiльної послiдовностi збiжної до iснує такий елемент, що i мiстить майже всi (вiдп. нескiнченну кількість) елементів послiдовностi. Ці поняття є локальними варіантами відповідних глобальних понять, яким присвячена відома оглядова стаття Й. Нагати J. Nagata. Generalized Metric Spaces, I // Topics in General Topology (eds. K.Morita, J.Nagata). -- Elsevier Science Publishers B.V., 1989. -- P.315 -- 366.. Найменшу потужнiсть сiтки (вiдп. сiтки, сiтки) в точцi називатимемо характером (вiдп. характером, характером) простору в точцi, i позначатимемо (вiдп.).

У підрозділі 1.2 досліджуються загальні властивості вище введених характерів. Прикладами, що розрізняють характер, характер та характер є відомі простори Аренса i вiяло Фреше-Урисона. У твердженні 1.2 вказано ряд умов, при яких. Серед них відзначимо узагальнену континуум гіпотезу. В твердженні 1.3 встановлено поведінку цих характерів по відношенню до стандартних топологічних операцій: (ящикового) добутку, взяття індуктивної границі по відношенню до покриття, образу при (секвенціально) неперервному відображенні, тощо.

По аналогії до властивостей, , введених Архангельським A. В. Архангельский. Спектр частот топологического пространства и операция произведения // Тр. Моск. матем. об-ва. -- 1979. -- Т.40. -- С.171 -- 206., ми вводимо властивість наступним чином: топологічний простір задовольняє цю властивість, якщо для довільних послідовностей, , збiжних до деякої точки, iснує така збiжна до деякої точки послiдовнiсть, що для безмежної множини індексів. Справедливим є наступне твердження (еквiвалентнiсть умов (1),(2), (5) отримані Ш. Ліном S. Lin. A note on Arens space and sequential fan // Topology Appl. -- 1997. -- Vol.81. -- P.185 -- 196. в інших термінах).

Твердження 1.6. Для гаусдорфового простору зi злiченним характером наступнi умови еквiвалентнi:

X задовiльняє першу аксiому злiченностi;

X має властивiсть Фреше-Урисона i злiченний -характер;

X є a-простором з властивiстю Фреше-Урисона;

X i W має злiченну тiсноту.

Крiм того, якщо кожна точка простору X є регулярною G, тодi умови є еквiвалентними до:

X є секвенцiальним, і не мiстить замкнених копiй S2 абоS;

X є секвенцiальним простором з характером <d.

У підрозділі 1.3 досліджується характер деяких компактних просторів. Показано, що для компактiв з властивiстю Фреше-Урисона (вiдп. дiадичних компактiв) злiченнiсть характеру є еквiвалентною до злiченностi характеру (вiдп. до метризовностi). Проте рівність не є вірною для всіх компактних простів з властивiстю Фреше-Урисона: з тверджень 1.8 та 1.9 випливає, що при континуум гіпотезі для одноточкової компатифiкацiї дискретного простору потужностi.

Головним iнструментом в подальших доведеннях є поняття секвенцiального дерева введене в підрозділі 1.5. Через надалi позначатимемо максимальнi елементи дерева.

Означення 1.10. Секвенцiальним деревом в топологiчному просторi X називається дерево з наступними властивостями:

(1)T X; (2) T не має нескiнченних гiлок;

(3) для довiльного множина наступникiв елемента t є злiченною i збiгається до t.

Наступна лема, яка доводиться використанням секвенціальних дерев, є ключовою в доведеннi Теореми 1.16, що є головним результатом розділу.

Лема 1.13. Секвенцiальний пiдпростiр F топологiчної групи G має злiченний sb-характер за умови, що пiдпростiр має злiченний cs-характер в нейтральному елементi e групи G.

Підрозділ 1.5 присвячений структурі топологiчних груп зi злiченним характером. Зрозуміло, що кожен простiр є секвенцiальним i має злiченний характер. В нашому основному результатi стверджується, що для топологiчних груп обернене твердження теж вiрне.

Теорема 1.16. Кожна секвенцiальна топологiчна група G зі злiченним cs-характером є M-групою. А саме, або G є метризовною, або ж G мiстить вiдкриту субметризовну k-пiдгрупу H, i таким чином є гомеоморфною до добутку HxD для деякого дискретного простору D.

Для M-груп друга частина цiє теореми доведена Т.О. Банахом. Для топологiчної групи визначимо ib(G), iндекс обмеженостi групи G, як такий найменший кардинал, що для дoвiльної непорожньої вiдкритої пiдмножини iснує потужностi з властивiстю. Cправедлива наступна теорема. (Тут через позначено секвенціальний порядок топологічного простору. Решта позначення такі ж, як в класичній книзі Енгелькінга Р. Энгелькинг. Общая топология. М.: ``Мир'', 1986.--751 ст..)

Теорема 1.17. Кожна секвенцiальна топологiчна група G зi злiченним cs-характером має наступнi властивостi: зліченний псевдохарактер, , ib(G)=c(G)=d(G)=l(G)=e(G)=nw(G)=knw(G), i .

Наступну метризацiйну теорему можна легко отримати з Теорем 1.16, 1.17, i елементарних властивостей субметризовних k-груп.

Теорема 1.18. Секвенцiальна топологiчна група зi злiченним характером є метризовною при виконаннi однiє з наступних умов: (1) so(G)<w; (2) sb(G)<d; (3) Gмає властивiсть Фреше-Урисона; (4) G є -простором; (5) Пне мiстить замкнених копiй S чи S2; (6) G не є повною за Вейлем; (7) G є берiвською; (8)ib(G)<|G|.

В підрозділі 1.6 встановлено, що наведені вище результати є специфічними для топологічних груп, і часто не можуть бути перенесеними на топологiчно однорiднi простори. Як бачимо з Теореми 1.17, кожна секвенцiальна топологiчна група зi злiченним характером має злiченний псевдохарактер. Доведення цього твердження грунтується на фактi, що компактнi пiдмножини секвенцiально топологiчно групи зi злiченним характером задовiльняють першу аксiому злiченностi. Це породжує припущення, що компактний простiр з злiченним характером задовiльняє першу аксiому злiченностi. Проте це припущення хибне: Н.Н Яковлєв побудував при CH розрiджений секвенцiальний компакт зi злiченним характером без першо аксiоми злiченностi. Пізніше П. Нiкош P.J. Nyikos. Classes of compact sequential spaces // Set Theory and its Applications (eds. J. Steprans, S. Watson).--Lect. Notes in Math.--Vol.1401.--Springer-Verlag, Berlin etc., 1989.--P.135--159. зауважив, що конструкцiя Яковлєва прaцює при рiвностi b=c. Бiльш детально, ми маємо наступне

Твердження 1.21. При b=c iснує регулярний локально компактний локально злiченний простiр Y, одноточкова компактифiкацiя aY якого є секвенцiальною i задовiльняє спiввiдношення .

Отже Теорема 1.17 є специфiчною для топологiчних груп i не допускає узагальнення до топологiчно однорiдних просторiв. В доведенні наступної теореми використано відому конструкцію Архангельського-Франклiна A.V. Arkhangelski, S.P. Franklin. Ordinal invariants for topological spaces // Michigan Math. J.--1968.--Vol.15.--P.313--320..

Теорема 1.23.

* Iснує топологiчно однорiдний злiченний регулярний k-простiр X такий, що so(X)=w;

* При b=c iснує секвенцiальний топологiчно однорiдний цiлком незв'зний простiр X з властивiстю урисона.

З iншого боку, як показано Е. Зеленюком, кожен топологiчно однорiдний злiченний регулярний простiр (зокрема, X) є гомеоморфним до квазiтопологiчно групи, тобто топологiчного простору надiленого нарiзно неперервною груповою операцiєю з неперервною iнверсiєю. Звiдси випливає, що Теорема 1.18 не може бути узагальненою до квазiтопологiчних груп.

Другий розділ ``o-Обмеженiсть вiльних об'єктiв над тихонiвським простором'' починається оглядом лiтератури і основних результатів розділу (підрозділ 1.1). Мотивацiєю для дослiджень, проведених в цьому розділі є проблема Хернандеса, Робі та Ткаченка про характеризацiю тихонiвських просторiв X, вiльна (абелева) топологiчна група F(X) (A(X)) над якими є [сильно] o-обмеженою. Власне кажучи, ця проблема складається з чотирьох пiдпроблем. Три з них (за винятком характеризацi o-обмеженостi вільної групи F(X) ) розв'язанi в цьому роздiлi.

Таким чином, основними об'єктами, що розглядаються в цьому роздiлi, є вiльна (абелева) топологiчна група над топологiчним простором X, тобто (абелева) топологiчна група G, яка мiстить X як множину генераторiв i задовiльняє наступну умову: кожна неперервна функцiя з X в довiльну (абелеву) топологiчну групу H допускає єдине продовження до неперервного гомоморфiзму. Як звично, через C(X) ми позначаємо топологiчний простiр неперервних дiйснозначних функцiй визначених на, наділений топологiєю успадкованою з тихонiвського добутку. Надалi через позначимо лiнiйну оболонку в з топологiєю пiдпростору, де ототожнюється з для всіх.

Нагадаємо, що топологічні простори X та Y є

* M- (відп. A-)еквiвалентними, якщо топологiчнi групи F(X) i F(Y) (відп. A(X) i A(Y)) топологiчно iзоморфнi;

* t- (відп. l -)еквiвалентними, якщо C(X) i C(Y) гомеоморфні (відп. iзоморфні як лiнiйнi топологiчнi простори).

Властивість є інваріантною, якщо вона зберігається відношенням M-еквівалентності. По аналогії з нваріантністю вводяться поняття A-, l-, та t-інваріантності.

В цьому роздiлi ми доводимо l-iнварiантнiсть властивості Скіперза, а також властивості Менгера при деяких додаткових припущеннях. Це випливає з того, що властивість Скіперза простору X характеризує o-обмеженість групи A(X) в класі ліндельофових просторів, і є еквівалентною до властивості Менгера в деяких моделях ZFC.

Нагадаємо, що топологiчна група G є o-обмеженою, якщо для кожної послiдовностi непорожнiх вiдкритих пiдмножин G iснує послiдовнiсть скiнченних пiдмножин G, для яко. Зрозумiло, що кожна компактна група є o-обмеженою, і кожна o-обмежена топологічна група є w-обмеженою, тобто її можна покрити зліченним числом лівих (еквівалентно правих) зсувів довільної відкритої підмножини. Щоб означити властивості Менгера і Скіперза, нагадаємо, що сiм'я пiдмножин X називається w-покриттям множини X, якщо для кожної скiнченної пiдмножини iснує з властивістю. Топологiчний простiр має властивiсть Менгера (відп. Скiперза), якщо для довiльно послiдовностi вiдкритих покриттiв простору iснує (w-)покриття простору X, де кожне v є скінченною підмножиною u. Властивостi Менгера i Скiперза вiдрiзняються при CH i спiвпадають, як доведено в дисертації, при умовi (u<g). (Означення, а також спiввiдношення мiж малими кардиналами можна знайти в оглядовій статті Д. Воена J. Vaughan. Small uncountable cardinals and topology // Open problems in topology (eds. J. van Mill, G.M. Reed), Elsevier Sci. Publ., 1990.--P.197--216..)

Дуальнiсть мiж властивостями топологiчного простору X i F(X), A(X), i C(X) представлена багатьма результатами A.В. Архангельский. Топологические пространства функций.-- М.: Изд. МГУ, 1989.--222 с. M. Tkachenko. Topological groups for topologists: part II // Bol. Soc. Mat. Mexicana..--2000. Vol.3, N6.--P.1--41. . Зокрема, Архангельським доведено, що властивість Менгера всіх скінченних степенів простору X еквівалентна до зліченності віяльної тісноти C(X). Як наслідок, властивість Менгера всіх скінченних степенів топологічного простору є t-інваріантною. Але питання О.В. Архангельського про t-iнварiантнiсть властивостi Менгера досi нерозв'язане. Тому l-інваріантність властивості Менгера при додатковому теоретико-множинному припущенні, що є одним з основних результатів цього розділу, можна вважати певним просуванням у напрямку розв'язання цього питання Архангельського.

o-Обмеженiсть, як i властивiсть Менгера, мають природнi iгровi аналоги. Нагадаємо означення гри OF. Ця гра грається двома гравцями, скажiмо I i II. Гравець I вибирає вiдкриту пiдмножину U групи G, а гравець II вiдповiдає вибором скiнченно пiдмножини F групи G. За другим ходом, гравець I вибирає вiдкриту пiдмножину, i II знову вiдповiдає вибором скiнченно пiдмножини F групи G, i так далi. В кiнцi дано гри ми отримуємо послiдовностi U I F. Гравець II виграє, якщо. Інакше виграє гравець I. Група G називається сильно o-обмеженою, якщо другий гравець (=гравець II) має виграшну стратегiю у грi OF наG. Якщо жоден з гравцiв не має виграшно стратегi, тодi G називається OF-недетермiнованою. Легко бачити, що кожна компактна група є сильно обмеженою i, як наслiдок, обмеженою.

В підрозділі 2.2 вводиться ключове поняття розділу: мультипокритий простір. Під мультипокритим простором ми розумiємо пару, що складається з множини X та мультипокриття h множини X, тобто сiм'ї покриттiв X. Iснує багато природнiх прикладiв мультипокритих просторiв, серед яких ми використовуватимемо наступні: на кожному топологiчному (відп. рівномірному) просторі можна розглядати мультипокриття O, що складається зі всіх вiдкритих (відп. рівномірних) покриттiв простору X. Зокрема, кожна топологiчна група G має чотири природнiх мультипокриття, що вiдповiдають до лiвої, правої, двосторонньої рiвномiрностей, а також рiвномiрностi Рoльке. У випадку абелевої топологiчно групи всi цi чотири рiвномiрностi спiвпадають, i ми позначатимемо їх через U(G). Як наслiдок, спiвпадають i вiдповiднi мультипокриття, i ми позначатимемо х через h(G).

Властивостi Менгера і Скiперза можна також природньо ввести для мультипокритих просторiв очевидним чином. Також по аналогi до гри OF на топологiчнiй групi G можна ввести гру CB (скорочено вiд Cover-Bounded) на мультипокритому просторi (X,h) наступним чином: два гравцi, I i II, крок за кроком вибирають покриття u i скінченну підмножину v вiдповiдно. Гравець II виграє, якщо. В протилежному випадку виграє гравець I. Мультипокритий простiр (X,h) називається виграшним, якщо другий гравець має виграшну стратегiю в грi CB на (X,h).

Таким чином, гра на топологiчнiй групi є еквiвалентною до гри на мультипокритому просторi. Також зауважимо, що гра на мультипокритому просторi є нiчим iншим, як грою Менгера, введеною Р. Тельгарським R. Telgarsky. On games of Topse // Math. Scand..--1984.--Vol.54.--P.170--176. під назвою. Результати цього підрозділу мають технічний характер і суттєво використовуються в доведеннях подальших підрозділів.

Основним результатом підрозділу 2.3 є наступна

Теорема 2.22. При u<g кожний менгерів топологічний простір має властивість Скіперза.

Суттєвим моментом її доведення є те, що властивість Менгера зберігається компактнозначними напівнеперервними зверху відображеннями.

У підрозділі 2.4 доведено наступні теореми, що є основними результатами розділу. Позначимо через U(X) унiверсальну рівномірність на просторі X, тобто максимальну серед рівномірностей, що породжують топологiю простору X.

Теорема 2.23. Для топологiчного простору X наступнi умови еквiвалентнi: (1) A(X) є o-обмеженою; (2) A(X)^n є o-обмеженою для всiх n; (3) L_p(X) є o-обмеженим; (4) кожний неперервний метризовний образ простору X має властивiсть Скiперза; (5) мультипокритий простiр (X, h_U(X)) має властивiсть Скiперза.

Теорема 2.24. Для топологічного простору X наступнi умови еквiвалентнi: (1) (X,h) є виграшним; (2) F(X) є сильно -обмеженою; (3) є виграшним для всiх n; (4) A(X) є сильно o-обмеженою; (5) L_p(X) є сильно o-обмеженим; (6) (X,h) є виграшним.

З попередніх теорем ми отримуємо наступний

Наслідок 2.27. Властивостi Скiперза та C-подiбностi є l-iнварiантними (а отже A- i M-iнварiантними). Як наслiдок, властивiсть Менгера є l-iнварiантною при (u<g), будучи еквiвалентною до властивостi Скiперза.

C-подібність є (на нашу думку) найбільш відомою умовою, яка еквівалентна до виграшності мультипокритого простору (X,O(X)), див. вищезгадану статтю Р. Тельгарського.

Теорема 2.23 дозволяє будувати приклади OF-недетермiнованих груп.

Наслідок 2.30. Нехай X є не компактним метризовним простором, усi степенi якого мають властивiсть Менгера. Тодi всi степенi топологiчних груп F(X), A(X) та є OF-недетермiнованими, будучи не сильно -обмеженими групами, всi степенi яких мають властивiсть Менгера як топологiчнi простори.

В третьому розділі ``Продовження топології з абелевої топологічної групи на її подільну оболонку'' встановлено можливість такого продовження зі збереженням певних властивостей. Починається розділ оглядом лiтератури (підрозділ 3.1).

Данi дослiдження беруть свiй початок у функцiональному аналiзi, де Т.О. Банахом, А. Плічком і А. Загороднюком розв'язок однієї проблеми про автоматичну неперервність поліноміальних операторів був зведений до наступного питання: Чи правда, що кожна метризовна сепарабельна абелева топологiчна група без кручення є пiдгрупою метризовної сепарабельної подiльної абелевої топологiчної групи без кручення?

Класичним результатом теорi абелевих груп є факт, що кожна абелева група (без кручення) є пiдгрупою подiльно групи (без кручення). Цей результат дозволяє нам звести вищенаведене питання до наступного: Чи можна довiльну сепарабельну групову топологiю на пiдгрупi H даної групи G продовжити до сепарабельної групової топологiї на групi G?

Iнший класичний результат в теорi топологiчних груп стверджує, що кожна групова топологiя породжена сiм'єю неперервних псевдонорм. Це зауваження дозволяє звести проблему продовження групових топологiй до проблеми продовження псевдонорм.

У підрозділі 3.2 формулюються основні результати третього розділу. Серед них наступна теорема, що дає позитивну відповідь на поставлене вище запитання.

Теорема 3.1. Кожну псевдонорму, визначену на пiдгрупi H абелево групи G, можна продовжити до псевдонорми на G з властивiстю

Метод Граєва продовження псевдонорм, застосований в доведенні попередньої теореми, працює і в більш загальних ситуаціях.

Теорема 3.2. Довiльну гаусдорфову групову топологiю визначену на пiдгрупi абелевої групи Gможна продовжити до гаусдорфової групової топологiї на групi G, для якої .

З Теореми 3.2 безпосередньо випливає наступний наслідок, де через c позначено потужнiсть континууму.

Наслідок 3.3. Довiльну сепарабельну метризовну топологiю на пiдгрупi H абелевої групи G потужностi |G|<c можна продовжити до сепарабельної метризовної топoлогiї на G.

Наслідок 3.4. Кожна гаусдорфова абелева топологiчна група H (без кручення) є пiдгрупою гаусдорфово абелево подiльно топологiчно групи G (без кручення) з властивостями w(G)=w(H) та ib(G)=ib(H).

Зауважимо, що якщо не вимагати сепарабельності вiд топологiї на G в першому з цих наслідків, то відповідне доведення є тривiальним: досить розглянути топологiю на G, в якiй H є вiдкритою пiдгрупою H. Проте якщо фактор-група G/H є незлiченною, таке продовження приводить до несепарабельної топологiї на G.

Підрозділ 3.3 носить технічний характер. В ньому доведені деякі допоміжні леми. Суттєвим моментом в їхньому доведенні є структура подвійно-стохастичних матриць. В підрозділі 3.4 наведено доведення основних результатів розділу.

Дослідження проведені в підрозділі 3.5 стосуються дескриптивної структури групи з продовженою топологією. Власне кажучи, побудова такої подiльної групи, як в Наслідку 3.4, суттєво використовує аксіому вибору. Як наслiдок, група G має невизначену дескриптивну структуру. Це яскраво ілюструється наступним прикладом.

Приклад 3.10. Існує польська група H без кручення, для якої вiдображення є розривним. Ця група H не може бути пiдгрупою подiльно аналiтичної групи без кручення.

ВИСНОВКИ

У першому розділі введено три нових локальних кардинальних iнварiанти топологiчних просторiв, а саме sb-характер, cs-характер i -характер, і досліджено їхні базові властивості. Для секвенціальних топологічних груп зліченність cs-характеру характеризує -групи, що дає узагальнення результату М.М. Чобана і С.Й. Нєдева. У цій характеризації суттєвою є наявність деякої групової структури пов'язаної з топологією. Зокрема вона невірна для топологiчно однорідних просторів.

В другому роздiлi охарактеризовано рiзноманiтнi властивостi типу обмеженостi вiльної (абелевої) топологiчної групи F(X) (A(X)) в термiнах властивостей тихонiвського простору X. Цi властивостi є близькими до так званих селекцiйних принципiв, що дозволяє довести, що (iснують моделi ZFC в яких) властивостi Скіперза (Менгера) є l-iнварiантними. Це дає метод побудови OF-недетермiновних топологiчних груп.

В третьому розділі показано, що кожну псевдонорму , визначену на пiдгрупi H абелевої групи G, можна продовжити до псевдонорми на G, для яко щiльностi псевдометричних топологiчних груп i збігаються. Як наслідок, кожна сепарабельна метризовна абелева група H є пiдгрупою сепарабельно метризовної подільної абелевої групи G.

Результати дисертації мають теоретичний характер і можуть бути використані в топологічній алгебрі та теоретико-множинній топології.

Основні результати першого та другого розділів мають форму критеріїв. В їх доведенні застосовано методи сучасної топологічної алгебри та теорії множин.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. | T. Banakh, L. Zdomskyy. The topological structure of (homogeneous) spaces and groups with countable cs*-character // Applied General Topology.--2004.--Vol.5, N1.--P.25--48.

2. | L. Zdomskyy. A semifilter approach to selection principles // Comment. Math. Univ. Carolin..--2005.--Vol.46.--P.525--539.

3. | L. Zdomskyy. o-Boundedness of free objects over a Tychonoff space // Matematychni Studii.--2006.--Vol.25, N1.--P.10--28.

4. | T. Banakh, L. Zdomskyy. Each second countable abelian group is a subgroup of a second countable divisible group // Алгебраїчні структури та їх засосування: Праці Українського математичного конгресу--2001. - Київ, Iнститут математики НАН України (2002), с.132--140.

5. | L. Zdomskyy. The Menger property: the estimate of additivity // Міжнародна конференція “Нескінченновимірна топологія: абсолютні екстензори, застосування”, Львів, 2004, тези доповідей, с. 83-84.

6. | Л.С. Здомский. Каждая неметризуемая секвенциальная -група является -пространсвом // Конференция молодых ученых МГУ, Москва, 2002, тезисы сообщений, с. 71-72

АНОТАЦІЯ

Здомський Л.С. Локальні та комбінаторні властивості топологічних груп. Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.06--алгебра і теорія чисел. Львівський національний університет імені Івана Франка, Львів, 2006.

У першому розділі введено три нових локальних кардинальних iнварiантитопологiчних просторiв, а саме sb-характер, cs-характер i cs*-характер, і досліджено їхні базові властивості. Показано, що зліченність cs-характеру секвенціальної групи є еквівалентною до того, що топологічний простір групи є -простором. У цій характеризації -груп суттєвою є наявність деякої групової структури, пов'язаної з топологією. Зокрема вона хибна для топологiчно однорідних просторів.

В другому роздiлi охарактеризовано рiзноманiтнi властивостi типу обмеженостi вiльної (абелевої) топологiчної групи F(X) (A(X)). Це дозволяє довести, що (iснують моделi ZFC в яких) властивостi Скіперза (Менгера) є l-iнварiантними.

В третьому розділі показано, що кожна сепарабельна метризовна абелева група H є пiдгрупою сепарабельної метризовної подільної абелевої групи G. У доведеннi цього результату суттєво використовується аксiома вибору, і як наслідок дескриптивна структура топології на подільній групі невизначена.

Ключові слова: (вільна) топологічна група, секвенціальний простір, локальний кардинальний інваріант, малий кардинал, селекційний принцип, напівфільтр, подільна група, псевдонорма.

АННОТАЦИЯ

Здомский Л.С. Локальные и комбинаторные свойства топологических групп. Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.06--алгебра и теория чисел. Львовский национальний университет имени Ивана Франкo, Львoв, 2006.

В первом розделе введенны три новых локальных кардинальных инварианта топологических пространств, а именно sb-характер, cs-характер и cs*-характер, и исследованно их простейшие свойства. Показано, что счётность cs-характера секвенциальной группи еквивалентна до того, что топологическое пространство группы является -пространством. В этой характеризации -групп важно наличие некоторой групповой структуры, связанной с топологией. В частности, она не правильна для топологически однородних пространств.

Во втором разделе охарактеризировано различные свойства типа ограниченности свободной (абелевой) топологической группы F(X) (A(X)). Это позволяет доказать, что (существуют модели ZFC в которых) свойства Скиперза (Менгера) l-инвариантны.

В третьем розделе показано, что каждая сепарабельная метризуемая абелева группа H является подгруппой сепарабельной метризуемой делимой абелевой группи G. В доказательстве этого результата существенно используеться аксиома вибора, и поэтому дискриптивная структура топологии на делимой группе неопределена.

Ключевые слова: (свободная) топологическая группа, секвенциальное пространство, локальный кардинальный инвариант, малый кардинал, селекционный принцып, полуфильтр, делимая группа, псевдонорма.

ABSTRACT

Zdomskyy L.S. Local and combinatorial properties of topological groups. Manuscript.

The thesis for obtaining the Candidate of Physical and Mathematial Sciences degreeon the speciality 01.01.06--algebra and number theory. Ivan Franko Lviv National University, Lviv 2006.

The thesis consists of introduction, three chapters and conclusive remarks.

In the first chapter we introduce three new local cardinal invariants of topological spaces, namely sb-character, cs-character and cs*-character, and investigate their basic properties. The main result of this chapter is the characterization of -groups as sequential groups with countable cs*-character. This generalizes some earlier results of М.М. Choban and S. Nedev.

The presence of an algebraic structure is essential in the above characterization: it is not true for all homogeneous spaces. In combination with some other known properties of -groups this gives a metrization theorem for sequential groups with countable cs*-character.

The second chapter is devoted to characterizations of various sorts of boundedness of the free (abelian) topological group F(X) (A(X)) as well as the linear hull of X in in terms of properties of a Tychonoff space X. These properies appear to be close to so-called selection principles, which permits us to show that (it is consistent with ZFC that) the property of Hurewicz (Menger) is l-invariant. This gives a method of construction of OF-undetermined topological groups with strong combinatorial properties.

In the third chapter we show that each pseudonorm defined on a subgroup H of an abelian group G can be extended to a pseudonorm on G such that the densities of the pseudometrizable topological groups (H, ) and (G, ) coincide. We derive from this that any Hausdorff -bounded group topology on H can be extended to a Hausdorff -bounded group topology on G. In its turn this result implies that each separable metrizable abelian group H is a subgroup of a separable metrizable divisible group G. The proofs essentially rely on the Axiom of Choice, because the above results are not true under the Axiom of Determinacy (which contradicts the Axiom of Choice but implies the Countable Axiom of Choice).

Key words: (free) topological group, sequential space, local cardinal invariant, small cardinal, selection principles, semifilter, divisible group, pseudonorm.