ДОНЕЦЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

Абідо Ала Іддін Адам Сулейман

УДК 539.3

Гармонічні коливання багатозв’язних

циліндричних тіл при змішаних

граничних умовах на їх

плоских гранях

01.02.04 – механіка деформівного твердого тіла

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Донецьк – 2007

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана у Сумському державному університеті, Міністерство освіти і науки України

Науковий керівник – доктор фізико-математичних наук, професор,

Фильштинський Леонід Аншелович,

Сумський державний університет

завідувач кафедри прикладної математики і механіки

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук,

ст. науковий співробітник

Хома Іван Юрійович,

Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка

НАН України (м. Київ),

провідний науковий співробітник відділу

реології

кандидат фізико-математичних наук, доцент

Алтухов Євген Вікторович,

Донецький національний університет,

доцент кафедри теорії пружності

та обчислювальної математики

Захист відбудеться “ 27 ” грудня 2007 р. о 1430 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради К .051.05 при Донецькому національному університеті за адресою: 83055, м. Донецьк, вул. Університетська, 24, головний корпус, математичний факультет, ауд. 603.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Донецького національного університету (83055, м. Донецьк, вул. Університетська, 24).

Відгук на автореферат просимо надсилати за адресою: 83055, м. Донецьк, вул. Університетська, 24, Донецький національний університет, вченому секретарю спеціалізованої ради К 11.051.05.

Автореферат розісланий “ 23” листопада 2007 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради

кандидат фізико-математичних наук, доцент Ю.В. Мисовський

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. У багатьох конструкціях сучасного машинобудування, будівництві застосовують елементи у вигляді скінченних циліндричних тіл або масивних плит, які з конструктивних чи технологічних міркувань можуть бути ослаблені отворами. Під дією зовнішніх збуджувальних сил ці елементи можуть здійснювати гармонічні коливання, що призводять до виникнення у них високих концентрацій напружень, а для скінченних тіл – також і резонансних явищ. Усе це потрібно враховувати під час проектування відповідних конструкцій. Відтак виникає необхідність у розробленні ефективних методів визначення концентрації динамічних напружень у товстих плитах з отворами та у скінченних циліндричних тілах, розв’язання на основі цих методів задач інженерної практики. Вирішенню деяких проблем у цій галузі і присвячена дана дисертаційна робота.

Метою дисертації є розроблення методики дослідження коливань товстих пластин і циліндричних тіл при гармонічних та імпульсних збудженнях, вивчення впливу геометричних характеристик пластин із порожнинами та скінченного циліндричного тіла, значення коефіцієнта Пуассона їх матеріалів та частоти збудження на концентрацію у них напружень, а для скінченних циліндрів і на резонансні явища; виявлення закономірностей якісних та кількісних характеристик хвильових полів. Для досягнення мети необхідно було:

- розробити методику розв’язання тривимірних змішаних граничних задач теорії пружності коливань товстих пластин із порожнинами та скінченних циліндричних тіл, яка включає побудову Ф-розв’язків, зведення вихідних граничних задач до систем сингулярних інтегральних рівнянь, а потім і до розв’язання систем алгебраїчних рівнянь;

- застосовуючи зазначену методику, одержати розв’язки конкретних задач з їх алгоритмізацією та числовою реалізацією на ЕОМ;

- проводити числові дослідження для виявлення нових механічних закономірностей зміни напружено-деформівного стану товстих пластин з порожнинами та скінченних циліндрів залежно від їх геометричних характеристик, пружних властивостей матеріалів та частоти збудження.

Об’єктом дослідження є концентрація напруження, що виникає у товстих пластинах з порожнинами та скінченних циліндричних тілах, а у скінченних циліндрах – і резонансні явища залежно від геометричних характеристик тіл, пружних властивостей їх матеріалів та частоти збудження.

Предметом дослідження є розроблення ефективних аналітичних методик визначення напруженого стану товстих пластин з порожнинами та скінченних циліндричних тіл, резонансних явищ у скінченних циліндрах залежно від їх геометричних параметрів, пружних властивостей матеріалів і частоти збудження.

Методи дослідження. Для досягнення сформульованої мети на основі методу Ф-розв’язків розвинена нова методика, яка дозволяє зводити крайові задачі для багатозв’язного шару зі змішаними граничними умовами на плоских гранях до систем одновимірних сингулярних інтегральних рівнянь. Для знаходження компонентів матриці Ф-розв’язків виконується інтегрування у просторі узагальнених функцій. Будуються інтегральні зображення переміщень, крайові задачі гармонічних коливань тіла зводяться до систем інтегральних рівнянь, а останні – до систем лінійних алгебраїчних рівнянь.

Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Проведені у дисертаційній роботі дослідження пов’язані з фінансованими Міністерством освіти та науки України фундаментальними науково-дослідницькими роботами „Побудова теорії, методів математичного моделювання та числового аналізу процесів деформування твердих тіл у спряжених фізичних полях” (№ держреєстрації 0100U003223, 2000 – 2002 рр.) і „Тривимірні граничні задачі електромагнітопружності та споріднені до них проблеми математичної фізики” (№ держреєстрації 0103U000767, 2003 – 2005 рр.). Частина результатів дисертаційної роботи була використана у звітах із зазначених НДР.

Наукова новизна здобутих результатів полягає в наступному:–

розроблення методики розв’язання тривимірних змішаних граничних задач теорії пружності коливань товстих пластин з порожнинами та скінченних циліндричних тіл, яка включає побудову Ф-розв’язків, виведення інтегральних зображень розв’язків крайових задач, зведення граничних задач до систем сингулярних інтегральних рівнянь;–

розроблення за допомогою методу механічних квадратур числового підходу зведення розв’язувальних систем інтегральних рівнянь до систем лінійних алгебраїчних рівнянь;–

побудова за зазначеною методикою розв’язків конкретних задач із їх алгоритмізацією та числовою реалізацією на ЕОМ;–

проведення числових досліджень з метою виявлення нових механічних закономірностей зміни динамічного напружено-деформівного стану товстих пластин з порожнинами та скінченних циліндрів залежно від їх геометричних характеристик, пружних властивостей матеріалів та частоти збудження.

Достовірність отриманих результатів і висновків роботи забезпечується коректністю постановки задач та використанням точних математичних методів їх розв’язання; співставленням отриманих результатів для частинних задач з відомими у літературі, що отримані іншими авторами, збігом на практиці числових результатів розв’язку однієї частинної задачі за запропонованою методикою та методом рядів.

Практичне значення отриманих результатів полягає у можливості використання розробленої методики та програмних засобів її числової реалізації при розрахунках, пов’язаних із проектуванням робочих параметрів елементів конструкцій у вигляді товстих пластин з отворами та циліндричних тіл, що експлуатуються в умовах виникнення у них високих концентрацій напружень і резонансних явищ.

Апробація результатів роботи. Основні положення дисертаційної роботи були викладені та обговорені на наукових конференціях та семінарах, а саме на ІІ Міжнародній конференції „Актуальні проблеми механіки деформівного твердого тіла” (Донецьк, 2003 р); ІІІ Загальноросійській конференції з теорії пружності за міжнародною участю (м. Азов, 2003 р).

У повному обсязі робота доповідалася на спільному науковому семінарі кафедр теорії пружності та обчислювальної математики, прикладної механіки та комп’ютерних технологій Донецького національного університету (м. Донецьк, 2006 р, 2007 р), на науковому семінарі кафедри прикладної математики і механіки Сумського державного університету (м. Суми 2007 р).

Публікації та особистий внесок здобувача. Основні наукові результати дисертації опубліковані у 5 наукових роботах [1, 2, 3, 4, 5], 4 з яких у наукових журналах визнаних ВАКом України фаховими виданнями [1, 2, 3, 5].

Основні результати роботи отримані автором самостійно. У роботах [1, 2, 3, 4, 5] співавтору Л.А. Фильштинському належить участь у постановці задач, виборі методу дослідження та обговоренні отриманих результатів. У роботі [3] співавтору М.Х. Нємєшеву належить виведення матриці Ф-розв’язків для шару в умовах ковзного закріплення його торців при кососиметричному навантаженні, у роботі [4] співавтору Ю.В. Сіренку належить числова реалізація розробленого теоретичного алгоритму.

Особисто А. Абідо належать наступні наукові результати, що входять до дисертаційної роботи та публікацій:–

розроблення методики розв’язання тривимірних змішаних граничних задач теорії пружності коливань товстих пластин з порожнинами та скінченних циліндричних тіл, яка включає побудову Ф-розв’язків, виведення інтегральних зображень розв’язання крайових задач, зведення граничних задач до систем сингулярних інтегральних рівнянь;–

розробка за допомогою методу механічних квадратур числового підходу зведення розв’язувальних систем інтегральних рівнянь до систем лінійних алгебраїчних рівнянь;–

отримання за допомогою зазначеної методики розв’язування конкретних задач з їх алгоритмізацією та числовою реалізацією на ЕОМ;–

проведення числових досліджень з метою виявлення нових механічних закономірностей зміни динамічного напружено-деформівного стану товстих плит з порожнинами і скінченних циліндрів в залежності від їх геометричних характеристик, пружних властивостей матеріалів та частоти збудження.

Структура роботи. Дисертаційна робота складається з вступу, чотирьох розділів, висновків, списку використаної літератури, який складається з 264 джерел, та додатку з рисунками. Загальний обсяг дисертації становить 183 сторінки, з яких 24 сторінки займає список літератури, 45 сторінок – додаток.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обґрунтована актуальність теми, сформульовані мета роботи та основні наукові результати, які винесені на захист, вказано зв’язок роботи з науковими програмами, планами; охарактеризовані наукова новизна, практичне значення отриманих результатів та особистий вклад автора у спільні роботи.

У першому розділі наведено огляд літератури з теми дисертаційної роботи та споріднених тем, описано етапи розробки та розвитку методів розв’язання тривимірних задач теорії пружності та їх застосування до розв’язання різноманітних частинних задач. Проаналізовано 264 роботи вітчизняних та закордонних авторів. Відмічена провідна роль у розробленні методів розв’язання тривимірних задач робіт М.М.Бородачова, І.Н.Векуа, І.І.Воровича, Е.І.Григолюка, Я.М.Гри-горенка, В.Т.Гринченка, О.М.Гузя, Б.Я.Кантора, Г.С.Кіта, О.С.Космодамі-анського, В.Д.Купрадзе, Л.С.Лейбензона, А.І.Лурьє, Ю.М.Подільчука, В.К .Прокопова, К.В.Соляник-Красси, В.І.Сторожева, О.О.Стрельнікової, Л.А.Фильштинського, І.Ю.Хоми, А.Ф.Улитка, Ю.А. Устинова, Н.О.Шульги, В.А.Шалдирвана, О.К.Аксентяна, Є.В.Алтухова, Ю.Д. Ковальова, В.М.Ложкіна, О.С.Малкиної, Ю.В.Мисовського, П.А.Шиффа, А.С.Эрингена та багатьох інших.

У другому розділі побудовані матриці Ф-розв’язків для шару при змішаних граничних умовах типу суставного опирання на його основах.

Виходячи з гармонічних коливань та однорідності задачі, польові величини подані у вигляді гармонічних функцій, і для їх амплітуд знайдені загальні вирази. Так, для симетричної задачі подібні розв’язки для амплітуд переміщень отримуємо у вигляді

,

,

, (1)

де и – метагармонічні функції, що задовольняють рівнянню Гельмгольца, – перше хвильове число.

На основі однорідних побудовані Ф-розв’язки задачі. Припускається, що уздовж відрізка по товщинній координаті розподілені зусилля інтенсивністю . Зусилля та переміщення подаються рядами Фурь’є

, ,

, , (2)

на цій підставі у крайовій задачі виключають товщинну координату і для визначення коефіцієнтів Фур’є амплітуд переміщень знаходять зліченну множину рівнянь, після інтегрувань яких у просторі узагальнених функцій для амплітуд переміщень одержують матрицю Ф-розв’язків з елементами вигляду

(3)

де – комбінація функцій Ганкеля 1-го роду.

Аналогічні результати в роботі отримано і для кососиметричної задачі.

Одержані Ф-розв’язки дають можливість визначати асимптотику хвильових полів як у близькому полі (в околі зосередженого збудження), так і в далекому полі (при ). З аналізу отриманих співвідношень бачимо, що для коефіцієнтів Фур’є амплітуд переміщень і напружень має місце зліченна сукупність точок ковзання, що відповідають значенням , .

У третьому розділі на основі отриманих у другому розділі Ф-розв’язків задачі гармонічних коливань шару розв’язані симетричні крайові задачі коливань шару з порожнинами та скінченного циліндра. Припускають, що на боковій поверхні задана гармонічна збуджувальна сила. З огляду на Ф-розв’язки задачі про коливання шару записують інтегральні зображення переміщень. Так, для симетричної задачі переміщення подають у вигляді

(4)

а з граничних умов на поверхнях для кожного значення . отримують систему трьох сингулярних рівнянь, що мають вигляд

(5)

де – невідомі густини у вузлах колокацій , – інтегральні ядра, що залежать від Ф-розв’язків задачі, – величини, що залежать від зовнішньої сили.

Для шару з однією порожниною та скінченного циліндра наведені результати числових досліджень зміни амплітудно –частотних характеристик біля поверхні тіла. Розрахунки подані для випадків, коли контуром поперечного перерізу були коло при , , ; еліпс , та квадрат із заокругленими кутами . У всіх розрахунках брали для кола , для еліпса , , для квадрата , . Вважали, що збудження шару здійснюється діючим на боковій поверхні нормальним тиском, розподіленим уздовж товщинної координати за параболічним законом. Для випадку плоскої деформації брали умову, що діє сталий нормальний тиск . Компоненти напруження на поверхні тіла розраховували за формулами ==, ==, де , . Результати розрахунків значень амплітудно – частотних характеристик и біля поверхні порожнини й циліндра в роботі наведені на рисунках. Тут подані лише деякі з них.

На рис.  – зображені графіки зміни амплітудно-частотної характеристики в точці залежно від відносного хвильового числа відповідно для шару з порожниною кругового, еліптичного і квадратного поперечного перерізів у випадку плоскої деформації, а на рис.  – графіки розподілу по контуру квадратного отвору. При цьому для еліпса . Суцільні лінії графіків відповідають значенню коефіцієнта Пуассона , пунктирні – значенню . На рис. кружальцями наведені також значення, що були отримані при розв’язанні задачі методом рядів.

На рис. , 6, 7 для випадку =2 зображені графіки зміни залежно від відносного хвильового числа відповідно для шару з порожниною кругового, еліптичного і квадратного поперечного перерізів у випадку дії на поверхні порожнини тиску, розподіленого уздовж товщинної координати за параболічним законом. На рис. зображені графіки зміни для випадку шару з круговою порожниною при =4. Як і раніше, суцільні лінії графіків відповідають значенню коефіцієнта Пуассона , пунктирні – значенню .

Як випливає з описаних та інших результатів, що були отримані в роботі, концентрація напружень між піковими значеннями частоти значно залежить від форми поверхні порожнини. Так, для шару з порожниною еліптичного поперечного перерізу значення величини приблизно вдвічі перевищує це значення для шару з порожниною кругового поперечного перерізу. Зі зростанням товщини плити (відношення ) значення та збільшуються. Так, при збільшенні майже удвічі, майже так само збільшуються значення цих величин. У випадку плоскої деформації графік має один пік і потім монотонно спадає. Урахування тривимірного коливального процесу призводить до появи піків на графіку і суттєво ускладнює характер цієї кривої. У випадку навантаження, яке розподілене по параболічному закону вздовж товщинної координати, найбільша концентрація напружень в середині шару. Зі зростанням коефіцієнту Пуассона амплітудно-частотна характеристика згладжується. При невеликих частотах збурень, тобто поблизу статичних значень частоти збурення, концентрація напружень, як правило, вища для великих значень , ніж для невеликих значень . Для деяких значень високих частот, навпаки, концентрація напружень при невеликих значеннях вища за концентрацію при великих його значеннях. З рис. також випливає практичний збіг результатів, які було отримано методом Ф-функцій і рядів, що свідчить про високу точність методу Ф-функцій.

Аналогічні результати і висновки в дисертації наведені для скінченного циліндра. Проте у випадку циліндра вплив коефіцієнта Пуассона на спектр частот значно більший, ніж для шару з порожниною.

У четвертому розділі на базі Ф-розв‘язків задачі про гармонічні коливання шару розв‘язані кососиметричні крайові задачі про коливання шару з отворами та скінченного циліндра. Як і у третьому розділі, задачі зведені до систем однови-мірних сингулярних інтегральних рівнянь типу Фредгольма, а потім і до систем лінійних алгебраїчних рівнянь.

Як і у випадку симетричної задачі, для шару з порожниною і для скінченного циліндра були проведені числові дослідження характеру амплітудно-частотних характеристик и поблизу поверхні. Розрахунки були проведені для випадків, коли контуром поперечного перетину були коло, еліпс або квадрат із закругленим кутами. Зазначалось, що , тіло виготовлено зі сталі, для якої коефіцієнт Пуассона , швидкість поширення хвилі  м/с, частота зовнішніх коливань . Результати розрахунків значень амплітудно-частотної характеристики представлені на рисунках. Тут наведені лише деякі з результатів.

На рис. – 11 зображені графіки зміни від відносного хвильового числа для шару з порожниною кругового, еліптичного і квадратного поперечного перерізів.

Із цих рисунків випливає, що. як і для симетричної задачі, у випадку кососиметричного навантаження тіла значний вплив на значення має форма отвору. Для кососиметричного навантаження криві зміни більш гладкі, ніж для симетричного навантаження. Для порожнини кругового поперечного перерізу в діапазоні відносних хвильових чисел на цій кривій спостерігаються два піка, після чого крива згладжується і змінюється більш монотонно, в діапазоні хвильових чисел значення наближається до статичного значення. Для еліпса вигляд суттєво не змінюється, піки зміщуються трохи праворуч порівняно з круговою порожниною і при величина змінюється в межах . Аналогічна ситуація має місце і у випадку порожнини квадратного поперечного перерізу. Тут у діапазоні величина коливається у межах і більше ніж удвічі менша свого статичного значення.

На рис. , 13 зображені графіки розподілу поблизу поверхні порожнини еліптичного і квадратного поперченого перерізу у випадку дії на поверхні порожнини тиску, розподіленого вздовж товщинної координати за лінійним законом (для кругового поперечного перерізу графік не наведений, для цього випадку значення стале і ). Таким чином, для порожнини кругового поперечного перерізу, величина стала і дорівнює . Для еліптичного поперечного перерізу змінюється в межах , причому максимальні значення мають місце при і , а мінімальні – при . Найбільша концентрація напружень має місце в кутових точках квадрата для порожнини квадратного поперечного перерізу. Величина тут змінюється в межах . В усіх випадках величина змінюється кососиметрично щодо серединного шару, вона буде максимальною при .

Аналогічні результати в дисертації наведені для скінченного циліндра кругового, еліптичного і квадратного поперечних перерізів.

ОСНОВНІ РЕЗУЛЬТАТИ І ВИСНОВКИ

У результаті проведених у роботі досліджень набув подальшого розвитку метод Ф-функцій і його застосування до розв’язування тривимірних задач теорії пружності про гармонічні коливання товстих пластин з отворами. Основні наукові результати і висновки, що отримані в роботі, такі:

1. У явному вигляді побудовані матриці Ф-розв’язків задачі про гармонічні коливання шару у випадку змішаних граничних умов на його основах при симетричному або кососиметричному деформуванні. Ці розв'язки дають уявлення про хвилевідні властивості шару, дозволяють визначити асимптотику хвильових полів як поблизу прикладення дії (в ближньому полі), так і далеко від неї (в дальньому). Вивчені властивості рядів Фур’є, що використовуються. Встановлено, що для коефіцієнтів Фур’є амплітуд переміщень і напружень є зліченна сукупність точок ковзання, що ряди для всіх польових величин та їх похідних збігаються абсолютно і рівномірно.

2. Із використанням Ф-розв'язків задачі про гармонічні коливання шару розв'язані симетричні крайові задачі про коливання шару з отворами і кінцевого циліндра. Задачі зведені до систем одновимірних сингулярних інтегральних рівнянь типу Фредгольма. Методом механічних квадратур ці системи зведені до систем лінійних алгебраїчних рівнянь.

3. Із використанням Ф-розв'язків задачі про гармонічні коливання шару розглянуті кососиметричні крайові задачі про коливання шару з отворами і скінченного циліндра. Як і симетричні задачі, кососиметричні задачі зведені до систем одномірних сингулярних інтегральних рівнянь, а потім і до систем лінійних алгебраїчних рівнянь.

4. Подані розв'язки ряду нових задач для шару з порожниною і скінченного циліндра з поперечними перерізами у формі кола, еліпса і квадрата при симетричному і кососиметричному їх навантаженні.

5. Для поданих задач наведені числові дослідження концентрації динамічних напружень поблизу поверхні порожнини в шарі або поверхні циліндра з метою визначення впливу на концентрацію напружень форми отвору, товщини шару та довжини циліндра, коефіцієнта Пуассона матеріалу тіла та частоти його збудження.

6. Встановлено, що концентрація напружень значно залежить від форми поверхні порожнини і циліндра, коефіцієнта Пуассона та частоти коливань. Для порожнини з еліптичним і квадратним поперечним перерізом значення амплітудно частотних характеристик в точках контурів з найбільшою кривизною значно більше ніж для порожнини з круговим отвором. У випадку скінченного циліндра форма його поверхні суттєво впливає і на спектр резонансних частот. Перші резонансні частоти для циліндрів кругового і квадратного поперечних перерізів майже однакові. При малих частотах збудження, тобто поблизу статичних значень, концентрація напружень, як правило, більша для великих значень ніж для малих. Для деяких значень високих частот, навпаки, концентрація напружень більша для малих значень ніж для великих. Для циліндра вплив коефіцієнта Пуассона значно більший ніж для шару з порожниною. Із збільшенням товщини шару амплітудно-частотні характеристики зростають. У випадку навантаження, що діє за параболічним законом вздовж товщинної координати, найбільша концентрація напружень виникає в середині шару. Для кососиметричного навантаження тіла графіки зміни амплітудно-частотних характеристик більш гладкі ніж для симетричного навантаження.

Результати досліджень, що подані в дисертаційній роботі мають як теоретичне так і практичне значення. Запропоновані підходи до розв'язання крайових задач і методи їх числової реалізації можуть бути використані для розв'язання різноманітних інженерних задач.

Основний зміст дисертаційної роботи відображено у публікаціях:

1. Фильштинский Л.А., Абидо А. О структуре однородных и фундаментальных решений для упругого слоя // Вісн. Донец. ун-ту. Сер. А: Природничі науки. – 2006. – Вип. . – С.59-63.

2. Фильштинский Л.А., Ибеда А. Стационарный волновой процесс в упругом слое с полостью // Вісн. Донец. ун-ту. Сер. А: Природничі науки. – 2003. – Вип. 1. – С.72-79.

3. Фильштинский Л.А., Немешев М.Х., Абидо А. Гармонические колебания слоя с полостью при кососимметрическом нагружении // Вісн. Донец. ун-ту. Сер. А: Природничі науки. – 2006. – Вип. 2. – С.381-385.

4. Фильштинский Л.А., Сиренко Ю.В., Ибеда А. Гармонические волновые поля в слое при сосредоточенных воздействиях // Сб. тр. III Всерос. конф. по теории упругости с междунар. участием. – Ростов-на-Дону "Новая книга", 2004. – С.437-439.

5. Фильштинський Л.А., Абидо А. Гармонічні коливання шару, збудженого зосередженими джерелами // Физико-химическая механика материалов. – 2006. – Т. 42. – №5. – С.75-80.

АНОТАЦІЇ

Абідо Ала Іддін. Гармонічні коливання багатозв’язних циліндричних тіл при змішаних граничних умовах на їх плоских гранях.– Рукопис.

Дисертація на здобуття вченого ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.02.04 – механіка деформівного твердого тіла, Донецький національний університет, Донецьк, 2007.

У роботі отримав подальший розвиток метод Ф-функцій та його застосування до розв‘язання тривимірних задач теорії пружності про гармонічні коливання товстих пластин з отворами та скінченних циліндричних тіл. Побудовані матриці Ф-розв‘язків для шару при змішаних граничних умовах на його основах при симетричному чи кососиметричному деформуванні, за допомогою яких представлені розв‘язки симетричних та кососиметричних задач про коливання товстої плити з отворами та скінченного циліндра. Задачі зведені до систем одновимірних сингулярних інтегральних рівнянь типу Фредгольма, а останні до систем лінійних алгебраїчних рівнянь.

Подано розв’язок ряду нових практично важливих задач для товстої пластини з порожниною та скінченного циліндра з поперечним перерізом у формі круга, еліпса та квадрата. Проведені числові дослідження концентрації напружень, за допомогою яких виявлені нові закономірності впливу форм поверхонь порожнин товстих пластин та скінченних циліндрів, товщини пластин (довжини циліндрів), коефіцієнта Пуассона їх матеріалів і частоти збудження. Зокрема з отриманих результатів випливає, що для порожнини з еліптичним перерізом концентрація напружень поблизу кінців більшої півосі значно вище ніж для порожнини з круговим поперечним перерізом, біля кутової точки порожнини з квадратним поперечним перерізом вона ще вища; у випадку скінченного циліндра форма його поверхні суттєво впливає і на спектр резонансних частот. На малих частотах збудження концентрація напружень, як правило, вища для більших значень ніж для малих. Для деяких значень високих частот, навпаки, концентрація напружень вища при малих значеннях , ніж при великих. Для циліндра вплив коефіцієнта Пуассона значно більший, ніж для шару з порожниною. Зі збільшенням товщини шару

Результати досліджень наведені в дисертаційній роботі мають як теоретичний так і практичний інтерес. Запропоновані методики можуть бути використані для розв’язування різноманітних інженерних задач.

Ключові слова: амплітудно-частотна характеристика, гармонічні коливання, інтегральні рівняння, скінченний циліндр, концентрація напружень, однорідні розв’язки, ряди Фур’є, товста пластинка.

Абидо Ала Иддин. Гармонические колебания многосвязных цилиндрических тел при смешаных граничных условиях на их плоских гранях.– Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математичес-ких наук по специальности 01.02.04 – механика деформируемого твердого тела, Донецкий национальный университет, Донецк, 2007.

В работе получил дальнейшее развитие метод Ф-функций и его приложение к решению трехмерных задач теории упругости о гармонических колебаниях толстых пластин с отверстиями и конечных цилиндрических тел. Построены матрицы Ф-решений для слоя при смешанных граничных условиях на его основаниях при симметричном или кососимметричном деформировании, с помощью которых даны решения симметричных и кососимметричных задач о колебаниях толстой плиты с полостями и конечного цилиндра. Задачи сведены к системам одномерных сингулярных интегральных уравнений фредгольмового типа, а последние к системам линейных алгебраических уравнений.

Дано решение ряда новых практически важных задач для толстой пластинки с полостью и конечного цилиндра с поперечными сечениями в форме круга, эллипса и квадрата. Проведены численные исследования концентрации напряжений, с помощью которых установлены новые закономерности влияния форм поверхностей полостей в толстых пластинах и конечных цилиндров, толщины пластин (длины цилиндров), коэффициента Пуассона их материалов и частоты возбуждений. В частности, из полученных результатов следует, что для полости с эллиптическим сечением концентрация напряжений вблизи концов большой полуоси значительно выше, чем для полости с круговым поперечным сечением, около угловой точки полости с квадратным поперечным сечением она еще выше; в случае конечного цилиндра форма его поверхности существенно влияет и на спектр резонансных частот. На малых частотах возбуждения концентрация напряжений, как правило, выше для больших значений , чем для малых. Для некоторых значений высоких частот, наоборот, концентрация напряжений выше при малых значениях , чем при больших значениях. Для цилиндра влияние коэффициента Пуассона значительно больше, чем для слоя с полостью. С увеличением толщины слоя амплитудно-частотные характеристики возрастают.

Результаты исследований, представленные в диссертационной работе имеют как теоретический, так и практический интерес. Предложенные методики могут быть использованы для решения разнообразных инженерных задач.

Ключевые слова: амплитудно-частотная характеристика, гармонические колебания, интегральные уравнения, конечный цилиндр, концентрация напряжений, однородные решения, ряды Фурье, толстая пластинка.

SUMMARY

Abido Ala Iddin. Multilinked Cylindrical Solids Harmonic Oscillations under the Mixed Boundary Conditions on its Flat Edges. – Manuscript

Thesis for the Candidate’s Degree in physics and Mathematics by speciality: 01.02.04 – Mechanics of Solids. – Donetsk National University, Donetsk, 2007

F-Function method has been developed in this work. Also its application to three-dimensional elastic problems about harmonic oscillations of the thick plates with holes and finite cylindrical bodies is investigated. F-solution matrixes have been built for a layer under the mixed boundary conditions on its faces in the case of symmetric and skew-symmetric deformation. Symmetric and skew-symmetric problems about thick plate and finite cylinder oscillations are obtained with the help of these matrixes. Mentioned problems have been reduced to one-dimensional systems of Fredholm type singular integral equations, and then to a systems of linear algebraic equations.

Several new problems of a great practical interest for a thick plate with a hole and finite cylinder have been solved in the case of the penny-shape cross-section, elliptical and quadrate cross-sections of the hole or cylinder. Numerical investigations of stress concentration have been made, new patterns were explored such as influence of a hole cross-section in the thick plate and finite cylinder, plate thickness (cylinder length), Poisson coefficient and forcing frequency on the stress concentration in solids. In particular, from the numerical results one can conclude, that stress concentration nearby the big axis extremities of an elliptic-shape hole is much higher, than for a penny-shape hole; although it is even greater nearby the corner point of the quadrate-shape hole; in the case of finite cylinder the form of its surface influence greatly on the resonance frequencies spectrum. At small loading frequencies, stress concentration, as a rule, is higher for bigger values of than for smaller values. On the contrary, for some values of high frequencies, stress concentration is higher for a small values of , than for a high values. Poisson coefficient influence is much higher for cylinder, than for a layer with a hole. Amplitude-frequency characteristics grow with the increasing of the layer thickness.

Investigation results of the dissertation work have both theoretical and practical interest. Suggested principles can be used for various engineering problems solving.

Key words: amplitude-frequency characteristic, harmonic oscillations, integral equations, finite cylinder, stress concentration, homogeneous solutions, Fourier series, thick plate.