НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ІНСТИТУТ МЕХАНІКИ ІМЕНІ С.П. ТИМОШЕНКА

Анкянець Олена Казимирівна

УДК 539.3

Вплив способу приєднання дискретних ребер на коливання підкріплених кругових циліндричних оболонок

01.02.04 – механіка деформівного твердого тіла

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата технічних наук

Київ – 2007

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Інституті механіки

ім. С.П. Тимошенка НАН України

Науковий керівник

доктор технічних наук, професор

Луговий Петро Захарович,

Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України,

завідувач відділу будівельної механіки тонкостінних конструкцій.

Офіційні опоненти:

член-кореспондент НАНУ, доктор технічних наук, професор

Чернишенко Іван Семенович,

Інститут механіки ім. С. П. Тимошенка НАН України,

головний науковий співробітник відділу динаміки та стійкості суцільних середовищ;

кандидат технічних наук, доцент

Худолій Сергій Миколайович,

Національний транспортний університет

Міністерства освіти і науки України, кафедра вищої математики.

Захист відбудеться “ 25 ” вересня  2007 р. о  00 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.166.01 в Інституті механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України за адресою: 03057, м. Київ, вул. Нестерова, 3.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Інституту механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України за адресою: 03057, м. Київ, вул. Нестерова, 3.

Автореферат розісланий “ 23 ”  серпня   2007 р.

Учений секретар

спеціалізованої вченої ради Д .166.01

доктор фізико-математичних наук О.П. Жук

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність тими. Як відомо, існує два принципово різних способи врахування підкріплюючих елементів. Перший з них заснований на зведенні ребристої оболонки, що розглядається, до конструктивно-ортотропної моделі шляхом заміни дійсної підкріпленої оболонки гладкою оболонкою зі зведеними характеристиками жорсткості. Такий підхід використовували W.Flugge, А.С.Вольмір, Я.М.Григоренко, В.В.Кабанов, С.Н.Кан, Л.І.Маневіч та інші автори. Інший спосіб дозволяє враховувати дискретне розміщення ребер. Його основні положення закладені в роботах В.З.Власова, А.И.Лур'є, С.П.Тимошенка. Надалі задачу про власні й вимушені коливання оболонок з урахуванням дискретного розміщення ребер, при їх жорсткому з'єднанні з обшивкою, розглядали І.Я.Аміро, В.О.Заруцький, С.Ю.Фіалко, Ю.В.Скосаренко, Н.Я.Прокопенко, В.Н.Ревуцький, В.Й.Мацнер, І.Ю.Подільчук Л.В.Самарін, В.Г.Піскунов, K.Forsberg. В цих роботах не враховувалась дискретність жорсткого з’єднання ребер з обшивкою.

Визначенню характеристик вільних коливань циліндричної панелі з поздовжнім або поперечним набором ребер, прикріплених до обшивки за допомогою клейового шару, присвячені роботи Л.М.Дмитрієвої, Ю.П.Жигалко, І.С.Малютіна, А.А.Багдасар’яна. Дослідження напружено-деформованого стану пластин, з'єднаних дискретними зв'язками (наприклад заклепкове з'єднання) з ребрами жорсткості проведене в роботах І.Ф.Образцова, Л.С.Рибакова, В.П.Павленка, В.В.Барановського.

Розрахунку ребристих оболонок за допомогою методу скінченних різниць присвячені роботи П.З.Лугового, Ф.М.Мейша, А.Я.Григоренка, Є.С.Дехтярюка, Г.Д.Гавриленка, О.А.Трубіциної. А за допомогою методу скінченних елементів – А.С.Сахарова, З.Й.Бурмана, В.Г. Савченка.

У зв'язку з викладеним представляється актуальною розробка методики розрахунку підкріплених оболонок, що дозволяє враховувати жорстке прикріплення в дискретних точках (точкове зварювання), або податливе суцільне з'єднання (за допомогою клею), а також варіювати жорсткість і дискретність з'єднання ребер з обшивкою. Методика ґрунтується на методі скінченних елементів, що дозволяє вирішувати широкий спектр задач щодо геометрії оболонки, граничних умов, набору й розташування ребер, наявності отворів і вирізів, не накладаючи апріорних обмежень на власні форми коливань.

Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертаційна робота відповідає основним напрямкам наукових досліджень відділу будівельної механіки тонкостінних конструкцій Інституту механіки ім. С.П.Тимошенка НАН України. Отримані результати увійшли до звітів бюджетної науково-дослідної теми № ДР 0101U002861 “Побудова ефективних підходів до розрахунку полів напружень і динамічних характеристик оболонкових елементів конструкцій з неоднорідних композитних матеріалів”, шифр 1.3.1.337.

Метою роботи є дослідження впливу умов з'єднання ребер з обшивкою (жорстке суцільне, жорстке в дискретних точках, податливе суцільне) на власні частоти і форми коливань підкріплених оболонок.

Для досягнення зазначеної мети було необхідно:

§ одержати розв'язувальні співвідношення методу скінченних елементів для плоского чотирикутного скінченного елемента (СЕ) оболонкового типу і скінченного елемента зв'язку (ЕЗ), що дозволяють моделювати підкріплену оболонку із жорстким, податливим або дискретним з'єднанням ребер з обшивкою.

§ включити розроблені типи скінченних елементів у бібліотеку існуючого програмного комплексу, що дозволяє проводити розрахунки на власні коливання скінченно-елементних моделей високої розмірності.

§ обґрунтувати достовірність одержуваних результатів.

§ розробити інтерфейс для автоматизованої підготовки вхідних даних для підкріплених циліндричних оболонок.

§ виконати дослідження впливу на власні частоти й форми коливань підкріпленої оболонки кількості дискретних і податливості суцільних з’єднувальних елементів при різних граничних умовах і різних характеристиках ребер (жорсткість, регулярність розташування й т.д.).

Об'єктом дослідження є вплив характеру підкріплення ребрами жорсткості циліндричних оболонок.

Предметом дослідження є власні частоти й форми коливань підкріплених циліндричних оболонок.

Методи дослідження: методи теорії пружних оболонок тонких і середньої товщини, метод скінченних елементів; метод штрафних функцій; блочний метод Ланцоша зі зсувами для розв’язання алгебраїчної узагальненої часткової проблеми на власні значення; блочний багатофронтальний метод факторизації розріджених матриць для розкладання матриць; метод Гауса для чисельного інтегрування.

Наукова новизна:

§ Проведено аналіз впливу жорсткості суцільного податливого з'єднання ребер з оболонкою на форми власних коливань циліндричної оболонки, підкріпленої поздовжніми, поперечними або перехресними ребрами.

§ Проведено аналіз впливу кількості дискретних жорстких з'єднань між ребром і оболонкою на форми власних коливань циліндричної оболонки, підкріпленої поздовжніми, поперечними або перехресними ребрами.

§ Проведено аналіз впливу отвору на форми власних коливань циліндричної оболонки підкріпленої перехресною системою ребер.

§ Отримано нові форми коливань для оболонки з регулярним та нерегулярним розташуванням кільцевих ребер.

§ Реалізовано плоский чотирьохвузловий чотирикутний скінченний елемент із шістьма ступенями свободи у вузлі, що узагальнює стан згину пластин середньої товщини (теорія Міндліна-Рейснера) і плоский напружений стан з урахуванням кута повороту відносно нормалі до серединної поверхні СЕ.

§ Реалізовано СЕ зв'язку, побудований за методом штрафних функцій, що дозволяє враховувати податливість з'єднання ребер з обшивкою по шести ступеням свободи.

Достовірність результатів наведених у дисертаційній роботі забезпечується: використанням коректної постановки задач теорії оболонок і строгих математичних викладень, використанням обґрунтованих математичних методів при рішенні задачі, і підтверджується відповідністю результатів фізичним передумовам, дослідженням збіжності при виборі СЕ сітки для кожної задачі, близьким збігом результатів з результатами, отриманими з використанням відомих програмних комплексів, погодженістю отриманих результатів з теоретичними й експериментальними даними для часткових задач, наведених у роботах інших авторів.

Практичне значення отриманих результатів. Результати проведеного дослідження є цінними для техніки, оскільки вони дозволяють визначати характеристики власних коливань оболонок, підкріплених ребрами жорсткості з урахуванням податливості й дискретності з'єднання ребер з обшивкою оболонки. Отримані за допомогою запропонованої методики дані можуть бути використані в інженерних розрахунках конструкцій, що працюють в умовах динамічних навантажень.

Особистий внесок здобувача: Одержання розв'язувальних співвідношень теорії оболонок, дискретизованих за методом скінченних елементів. Розробка програмного коду для плоского СЕ оболонкового типу й для СЕ зв'язку. Розробка інтерфейсу, що дозволяє створювати СЕ модель оболонки, гладкої або підкріпленої поздовжніми, поперечними або перехресними ребрами, що має отвори, вирізи, при різних граничних умовах, при різних способах з'єднання ребер з обшивкою (жорстке суцільне, жорстке в дискретних точках, податливе суцільне з'єднання). Перевірка достовірності чисельних результатів. Проведення чисельних експериментів. Аналіз результатів і формулювання висновків.

Апробація результатів дисертації. Основні положення дисертаційної роботи доповідалися й обговорювалися на таких міжнародних конференціях:

- XXXII Summer School - Conference “Advanced Problems in Mechanics”, APM-2004, June 24 - July 1, 2004, St. Petersburg (Repino), Russia.

- 16th international conference “Computer Methods in Mechanics”, CMM-2005, June 21-24, 2005, Czestochowa, Poland.

- XXI Міжнародна конференція “Математичне моделювання в механіці суцільних середовищ. Методи граничних і скінченних елементів”, BEM-FEM-2005, 4-7 жовтня, 2005, Санкт-Петербург, Росія.

- 8th Conference “Shell Structures: Theory and Application”, SSTA-2005, 12-14 october 2005, Jurata, Poland.

- Восьма Кримська Міжнародна Математична школа “Метод функцій Ляпунова і його використання”, МФЛ-2006, 10-17 вересня 2006, Крим, Алушта, Україна.

Публікації. За результатами дисертаційної роботи опубліковано 9 наукових праць[1-9], з них чотири наукових статті [1,3-5] у виданнях за фахом, затверджених ВАК України та п'ять тез конференцій [2, 6-9].

Структура та об’єм роботи. Дисертація складається з вступу, 3 розділів, загальних висновків, списку літературних джерел. Загальний обсяг дисертації складає 125 сторінок. Робота містить 125 сторінок основного тексту, 54 рисунків, 38 таблиць. Список використаних літературних джерел складається з 126 найменувань.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі подано загальну характеристику дисертаційної роботи: обґрунтовано актуальність теми, сформульовано мету та задачі досліджень, відзначено новизну отриманих у дисертаційній роботі результатів, їх теоретичне й практичне значення, також наведено відомості про апробацію роботи і публікації автора, що відображають основну сутність виконаних у дисертації досліджень, наведено огляд робіт, присвячених проблемі коливань підкріплених оболонок і висвітлено основні результати з цих питань.

Перший розділ присвячено викладенню теоретичних основ, закладених у розроблену методику. Наведено основні рівняння, що описують власні коливання підкріпленої оболонки. Наведено співвідношення, на основі яких проведено скінченно-елементну дискретизацію складного напруженого стану (плоский скінченний елемент оболонкового типу) і моделювання з'єднання ребер жорсткості з обшивкою (скінченний елемент зв'язку). Описано алгоритм накладення податливих суцільних, або жорстких дискретних зв'язків між вузлами СЕ моделей ребер і оболонки. Подано опис програмного комплексу FEM, у середовищі якого здобувачем реалізовані зазначені вище типи СЕ.

Постановка задачі. Ребриста оболонка представляється як система, що складається з, власне, оболонки й підкріплюючих її ребер. Оболонка й ребра з'єднані між собою за допомогою проміжного шару. Розглядається два види можливих проміжних шарів: суцільний податливий і дискретний жорсткий. У випадку з'єднання ребер з обшивкою за допомогою суцільного податливого шару оболонка й ребро з'єднуються в кожній точці лінії їхнього з'єднання, але умова рівності прогинів і кутів закручування ребер відповідним деформаціям оболонки не виконується через податливість з’єднувального шару. У випадку з'єднання ребер з обшивкою за допомогою дискретного жорсткого шару оболонка й ребро з'єднуються лише в окремих точках лінії їхнього з'єднання, забезпечуючи в цих точках рівність прогинів і кутів закручування ребер відповідним деформаціям оболонки. Підкріплюючі оболонку ребра розглядаються як пластини тонкі або середньої товщини. Власне оболонка вважається тонкою, або середньої товщини, постійної по довжині оболонки. Як і для ребер для неї застосовуються співвідношення теорії згину Міндліна-Рейснера, що враховує поперечні зсуви. Матеріали оболонки, ребер жорсткості й з’єднувального шару вважаються пружними. Їхня поведінка при деформуванні описується законом Гука для ізотропного однорідного тіла. Розглядаються малі коливання.

Теоретичною основою багатьох досліджень коливань дискретних систем виступають рівняння Лагранжа в узагальнених координатах:

З них можуть бути отримані рівняння вільних коливань

,

розв’язання яких зводиться до узагальненої алгебраїчної проблеми власних значень:

Задача розв’язується методом скінченних елементів. Для моделювання оболонки й ребер жорсткості використовується плоский чотирикутний чьотирьохвузловий СЕ з шістьма ступенями свободи у вузлі, отриманий шляхом накладення СЕ напруженого стану згину DKMQ DKMQ – discrete Kirhgoff-Mindlin quadrilateral., і СЕ плоского напруженого стану з урахуванням ступеня свободи повороту навколо нормалі до серединної поверхні оболонки. Таким чином, у МСЕ моделі обшивка й ребра складаються з набору чотирикутних пластин, вершини яких лежать на поверхні ребра (площина пластини збігається із площиною ребра) або обшивки (вершини СЕ лежать на поверхні оболонки, таким чином чим менше крок СЕ сітки, тим більше поверхня, що складається із плоских СЕ, наближена до циліндричної).

Для моделювання з'єднання ребер з обшивкою (суцільного податливого, або дискретного жорсткого) використовуються двохвузлові скінченні елементи зв'язку, побудовані за методом штрафних функцій.

Використання МСЕ дозволяє розглянути довільні граничні умови, що задають у переміщеннях, або напругах через зовнішні зусилля, врахувати регулярне, або нерегулярне розміщення ребер жорсткості, наявність отворів.

1.1 Напружений стан згину. В роботі використовуються співвідношення напружено-деформованого стану згину запропоновані І.Катілі які ґрунтуються на рівняннях теорії згину тонких пластин і пластин середньої товщини Міндліна-Рейснера. Враховується три ступені свободи в кожному вузлі СЕ (Рис. 1): w - поперечне переміщення в напрямку осі z, та вx і вy – малі повороти нормалі в площинах x-z і y-z відповідно.

Переміщення передбачаються незалежними:

Деформації поперечного зсуву мають вигляд:

Для поперечного переміщення w використовується апроксимація:

Для кутів повороту нормалей використовується лінійна в напрямку осі s і квадратична в напрямку осі n апроксимація:

Тут - кути повороту нормалі у вершинах СЕ, - збільшення кутів повороту нормалі на серединах сторін СЕ. Переміщення, пов'язані з вузлами на серединах сторін будуть виключені при використанні змішаного варіаційного принципу Ху-Вашицу. Сk, Sk – направляючі косинуси; Ni, Pk – функції форми першого й другого порядку.

З кінематичних співвідношень випливає залежність:

, де

Db – жорсткість при згині, Ds – жорсткість при зсуві, k = 5/6, lk – довжина k-тої сторони СЕ, h – товщина пластини. Для деформацій поперечного зсуву використовується інтерполяція MITC4:

де деформації зсуву у вузлах, на серединах сторін СЕ.

З огляду на вираз (9) для СЕ DKMQ одержуємо:

Компоненти вектора виключаються на рівні СЕ згідно модифікованого змішаного варіаційного принципу Ху-Вашицу:

Розв’язок варіаційної задачі (12) з урахуванням виразів (4)-(11) призводить до системи лінійних алгебраїчних рівнянь:

1.2 Плоский напружений стан. Використовуються співвідношення для плоского чотирикутного чотирьохвузлового СЕ з трьома ступенями свободи у вузлі: двома лінійними переміщеннями u1, u2, й кутом повороту відносно нормалі до площини СЕ u3?ш, запропонований А. Ібрагімбеговіцем, Р.Л. Тейлором та Е.Л. Вилсоном. Кут повороту ш визначається відповідно до умови:

яка зв'язує дотичні напруження з переміщеннями. Використовуючи змішане варіаційне формулювання Рейснера з поправкою Хьюджеса й Брезі, вираз для повної потенційної енергії системи запишемо:

тут є простором малих переміщень, і напруг. Поле кутів повороту інтерполюється як:

де, шi – вузлові значення кутів повороту. Ni – функції форми першого порядку. Для апроксимації лінійних переміщень використовується інтерполяція типу Олмена :

шi - значення кутів повороту нормалі у вузлах; ui – вузлові переміщення; ljk – довжина сторони СЕ; njk – вектор зовнішньої нормалі до сторони СЕ; NSi -функції форми другого порядку. NB9 – ієрархічна інтерполяція, що вводиться у вираз (17), щоб відобразити властивості 9-вузлового СЕ Лагранжа на 8-вузловий серендиповий СЕ. Компоненти матриці жорсткості, що виникають внаслідок використання такої інтерполяції, виключаються на рівні СЕ шляхом статичної конденсації. Поле кососиметричних напруг обрано постійним у межах всього елемента:

Розв’язання варіаційної задачі (15), з урахуванням виразів (14) -(18) дає:

Матриця жорсткості для складного напруженого стану формується шляхом накладення матриці жорсткості плоского напруженого стану й матриці жорсткості напруженого стану згину.

1.3 З'єднання ребер і оболонки за допомогою проміжного шару. У роботі розглядається два види з'єднання ребер жорсткості з обшивкою оболонки: суцільне податливе й дискретне жорстке. Термін “суцільне з'єднання” означає, що ребра з'єднані з обшивкою у кожній точці з’єднувальної лінії. Термін “дискретне з'єднання” означає, що ребра й обшивка з'єднані тільки в окремих точках з’єднувальної лінії. Для моделювання з'єднання ребер з обшивкою вводяться спеціальні (сумісні) вузли. Сумісні вузли - це пара вузлів A (обшивки) і B (ребер), з однаковими координатами. Сумісні вузли розташовуються на лінії з'єднання ребра й оболонки. Для забезпечення спільної роботи обшивки й ребер у сумісних вузлах накладаються спеціальні СЕ - елементи зв'язку (рис. 3). У випадку суцільного податливого з'єднання елементи зв'язку накладаються в кожній парі сумісних вузлів, а у випадку дискретного жорсткого з'єднання жорсткі зв'язки накладаються тільки в заданих вузлах (рис. 4).

Елемент зв'язку - це двовузловий скінченний елемент нульової довжини із шістьма ступенями свободи у вузлі. Для побудови матриці жорсткості такого СЕ використовується метод штрафних функцій. Елементи зв'язку можуть розглядатися як додаткові зв'язки заданої жорсткості, накладені на вихідну розрахункову модель. Енергія деформації елементів зв'язку додається до енергії вихідної системи:

де: E – енергія всієї системи, E1 – енергія системи (що включає оболонку й ребра жорсткості) без елементів зв'язку, N – кількість ступенів свободи елементів зв'язку, що з'єднують ребра з обшивкою, uAi, uBi – переміщення в деформованому стані сумісних вузлів, у яких накладено i-тий елемент зв'язку, гi – параметр штрафу, що відповідає жорсткості i-того накладеного зв'язку.

Застосувавши умову стаціонарності до функціонала E:

де d – кількість ступенів свободи системи, одержимо:

,

[K] – матриця жорсткості всієї системи, [K1] – матриця жорсткості оболонки й ребер без елементів зв'язку, [KЕЗ] – матриця жорсткості елементів зв'язку.

Матриця жорсткості елемента зв'язку розмірністю 12Ч12 випливає із виразів (20) - (21) і має вигляд:

KЕЗ ii = KЕЗ i+6, i+6 = гi, KЕЗ i, i+6 = KЕЗ i+6, i = -гi, i = 1,2...6

інші елементи нульові.

Тут г1, г2, … г6 - жорсткості елемента зв'язку в напрямку кожної із шести ступенів свободи.

У даній роботі для суцільного податливого з'єднання жорсткість елементів зв'язку задається параметром л = Kк/Kр, де Kк – жорсткість суцільного з’єднувального шару, Kр – жорсткість ребра. Для дискретного жорсткого з'єднання жорсткість елементів зв'язку визначається шляхом домноження найбільшого діагонального елемента матриці жорсткості на коефіцієнт г. Чисельні експерименти показали, що при г = 104 ч 106 елемент зв'язку поводиться як жорсткий зв'язок.

1.4. Програмне забезпечення. Для реалізації поставленої задачі використовується програмний комплекс “FEM”, розроблений д.т.н., проф. С.Ю.Фіалко, орієнтований на розв’язання задач статики й динаміки для систем з великою кількістю лінійних алгебраїчних рівнянь.

Участь автора в розробці програмного забезпечення:

§ Розробка алгоритмів формування матриці жорсткості чотирикутного плоского СЕ згину пластин, по теорії Міндліна-Рейснера.

§ Розробка програмного коду для формування матриці жорсткості чотирикутного СЕ плоского напруженого стану з урахуванням жорсткості повороту відносно нормалі до площини СЕ.

§ Розробка програмного коду для генерування матриці жорсткості СЕ зв'язку.

§ Розробка генератора нерегулярної скінченноелементної сітки для циліндричної оболонки, підкріпленої поздовжніми й/або поперечними ребрами жорсткості, які виступають концентраторами напружень.

§ Розробка генератора елементів зв'язку.

§ Розробка програмного коду для генерування матриці мас.

Другий розділ присвячено викладенню результатів дослідження впливу ряду факторів (податливості суцільного з’єднувального шару, дискретності жорсткого з'єднання, регулярності розташування ребер, граничних умов) на власні частоти й власні форми коливань тонкої циліндричної оболонки, підкріпленої кільцевими ребрами. Для всіх задач, якщо це не обговорено окремо, прийнято: радіус оболонки r = 1м, довжина l = 1м, товщина th = 0.01м; висота й товщина ребра hр = 0.2м, thр = 0.1м. Для матеріалу ребра й оболонки прийняті модуль пружності Е = 2·1011 Н/м2, густина с = 7600 кг/м3, коэфіцієнт Пуасона н = 0.3. Обидва краї оболонки жорстко защемлені. m – кількість хвиль в окружному напрямку. В розглянутих задачах визначались перші десять власних пар, розмірність СЕ сітки вказана в межах однієї панелі. Дискретне жорстке, або суцільне податливе з’єднання означає з’єднання за допомогою відповідного проміжного шару. Жорстке з’єднання означає з’єднання без проміжного шару.

2.1. Для дослідження впливу жорсткості суцільного податливого з'єднання на власні частоти й форми коливань підкріпленої циліндричної оболонки, розглянуто оболонку із жорсткістю клейового шару:

л = Kк/Kр = 10-4, 10-2, 10-1,1.

Із графіка рис. 5 видно, що зі збільшенням жорсткості клейового шару значення власної частоти збільшується й наближається до значення власної частоти, отриманого при жорсткому з'єднанні ребер з обшивкою. На рис. 6.а й 6.б наведена форма коливань з двома хвилями в окружному напрямку для значень параметра жорсткості л = 10-4, л = 10-2. При використанні з’єднувального шару з відносно малою жорсткістю л = 10-4 переважають коливання ребра, оболонка практично не деформується. При використанні досить жорсткого з’єднувального

шару л = 10-2 оболонка й ребро деформуються сумісно.

2.2. Для дослідження впливу кількості дискретних жорстких з’єднувальних елементів на власні частоти й форми коливань підкріпленої циліндричної оболонки розглянуто оболонку, з'єднану з ребрами жорсткості за допомогою 10, 15, 25, 50, 75, 100, 200 з’єднувальних елементів (з.е.) при кількості розбиттів СЕ сітки в окружному напрямку 200. Із графіка рис. 7 видно, що зі збільшенням N - кількості дискретних жорстких з’єднувальних елементів - значення власної частоти збільшується й наближається до значення власної частоти, отриманої при жорсткому з'єднанні ребер з обшивкою.

На рис. 8.а й 8.б наведена форма коливань з двома хвилями в окружному напрямку. При малій кількості з’єднувальних елементів на обшивці утворюється хвилястість (оболонка прагне коливатись окремо від ребра й примикає до нього тільки в точках розташування з’єднувальних елементів), що поступово зникає при збільшенні кількості з.е.

2.3. Для дослідження впливу регулярності розташування ребер жорсткості на характеристики власних коливань оболонок порівнюються власні частоти й форми коливань тонкої циліндричної оболонки довжиною l = 2.5м, підкріпленої трьома поперечними ребрами жорсткості розташованими на відстані lр1 = 0.625м, lр2 = 1.25м, lр3 = 1.875м (регулярне) і lр1 = 0.5м, lр2 = 1м, lр3 = 2м (нерегулярне розташування) від нижнього краю оболонки. Розглянуто жорстке дискретне з'єднання в 25-ти вузлах, суцільне податливе при л = 0.05 і суцільне жорстке з'єднання ребер з обшивкою. Потрібно відзначити, що із зменшенням жорсткості з'єднання ребер з обшивкою, частота коливань падає. На рис. 9 показана восьма форма коливань оболонки з нерегулярним розташуванням ребер, приєднаних до оболонки 25-ма дискретними жорсткими з.е. Коливається один відсік обшивки. Такі форми коливань не були раніше виявлені при використанні аналітичних методів. Рис. 10.а, 10.б демонструють коливання при яких

оболонка практично не деформується, а ребра осесиметрично вигинаються із своєї площини. Показано десяту власну форму коливань оболонки, з нерегулярним (рис. 10.а) і регулярним (рис. 10.б) розташуванням ребер, прикріплених до оболонки 25-ма жорсткими з.е. Порівнюючи рис. 10.а й рис. 10.б потрібно відзначити, що при регулярному розташуванні ребер, ребро, розташоване посередині довжини оболонки

практично не коливається, тоді, як крайні ребра вигинаються із своєї площини. Необхідно звернути увагу на видний на рис. 10.а місцевий краєвий ефект, що виникає в зоні з'єднання ребер з обшивкою внаслідок дискретного розміщення ребер.

2.4. Для дослідження впливу граничних умов на власні частоти й форми коливань оболонки розглянуто тонку циліндричну оболонку, підкріплену посередині своєї довжини кільцевим ребром при різному числі дискретних з’єднувальних елементів між ребром і оболонкою, і з різними умовами закріплення на краях: ж – жорстке, ш – шарнірне, в – вільний край.

Як видно із графіків рис. 11, побудованих для візуально подібних форм коливань для двох видів граничних умов (аналогічні графіки отримані і для інших з розглянутих комбінацій граничних умов: ж-в, ш-в, ш-ш), при збільшенні кількості з’єднувальних елементів значення частоти власних коливань збільшується й наближається до значення частоти власних коливань

при жорсткому з'єднанні ребер з обшивкою. Отримані при різних умовах закріплення країв власні форми коливань можна розділити на 5 основних груп (рис.12): 1 - коливається тільки шпангоут, 2 - коливається тільки оболонка, 3 - шпангоут і оболонка коливаються сумісно, 4 - при коливаннях між шпангоутом і оболонкою утворюються зазори й 5 – стержнева форма коливань оболонки. При шарнірному опиранні обох країв оболонки, що

дозволяє їх поздовжнє переміщення, отримані власні форми, при яких оболонка переміщується в поздовжньому напрямку. На рис. 13 наведені форми з 0, 1 і 2 поздовжніми хвилями. Складність розв’язання викликана тим, що матриця жорсткості для такої задачі є особливою внаслідок миттєвої змінюваності системи. Для розв’язання цієї задачі застосовується техніка зсувів. При коливаннях по таких формах в оболонці виникають тільки деформації поздовжнього зсуву.

Третій розділ присвячено викладенню результатів дослідження впливу дискретності жорсткого з'єднання, висоти ребер і наявності отворів в обшивці на власні частоти й власні форми коливань тонкої циліндричної

оболонки, підкріпленої перехресною системою ребер. Для всіх задач, якщо це не обговорено окремо, прийнято ті ж геометричні і фізичні параметри, що і в другому розділі.

3.1. Вивчалися власні коливання тонкої циліндричної оболонки при різних геометричних параметрах стрингерів і різному числі дискретних жорстких з’єднувальних елементів. Прийняті такі геометричні характеристики ребра: висота hр= 0.1, 0.3, 0.5м, товщина thр = 0.1м. Розглянуто дві основні задачі: 1) оболонка підкріплена 8 стрингерами. Її верхній і нижній краї жорстко защемлені, посередині висоти оболонки розташований шпангоут, жорстко з'єднаний з обшивкою оболонки; 2) оболонка підкріплена 8 стрингерами. Нижній край оболонки жорстко защемлений, переміщення верхнього - обмежені шпангоутом, жорстко з'єднаним з обшивкою.

Із графіків рис. 14 видно, що при збільшенні висоти поздовжніх ребер і кількості з.е. частота власних коливань збільшується.

На рис. 15 показано вплив збільшення кількості з’єднувальних елементів на другу власну форму коливань оболонки, у якої висота стрингерів hp = 0.3м. Зі збільшенням кількості з’єднувальних елементів ребра, які розташовані на 135є і 315є (у піках окружних хвиль) деформуються все менше й на рис 15.в видно, що ці стрингери залишаються практично недеформованими. На рис. 16, простежується наступна закономір-ність: поздовжні ребра, розташовані в вершинах окружної хвилі, залишаються недеформованими. При віддаленні ребра від вершини власної форми, стрингери деформуються все більше й у її вузлах їх поперечна деформація досягає максимальних значень.

На рис 16.а й 16.б наведені перша й шоста форми власних коливань оболонки. Обидві вони мають однакову кількість хвиль в окружному напрямку - чотири хвилі - але при коливаннях за першою формою стрингери виявляються розташованими у вузлах окружної хвилі власної форми

коливань, а при коливаннях за шостою формою - у її піках, не даючи тут оболонці вільно деформуватися. Цей ефект схожий на ефект, описаний раніше для шпангоутної оболонки, який спостерігається коли кількість з’єднувальних елементів кратна кількості напівхвиль коливань. У цьому випадку також можна зробити висновок, що й для перехресної системи ребер, коли кількість поздовжніх ребер є кратною кількості хвиль власної форми коливань в окружному напрямку, відбувається розщеплення власних пар.

На рис 16.в наведена сьома власна форма коливань оболонки з п'ятьма хвилями в окружному напрямку. Тут добре видно, що ребра, які розташовані у вузлах власних форм деформуються, а ребра, які розташовані поблизу вершин власних форм, залишаються практично недеформованими. Слід зазначити, що зміна висоти стрингерів і кількості з’єднувальних елементів для даної задачі впливає на першу власну частоту й не впливає на першу власну форму коливань оболонки (для всіх комбінацій граничних умов вона буде такою ж, як на рис 16.а).

3.2. Розглянуто власні коливання тонкої циліндричної оболонки з отвором в обшивці, підкріпленої перехресною системою ребер. Ребра приєднані до обшивки жорстко, без допоміжних з’єднувальних елементів. Характериcтики обшивки: довжина l = 2.5м; характеристики ребер однакові для стрингерів і для шпангоутів: висота ребра hp = 0.1м, товщина ребра hp = 0.05м, ребра розташовані на рівних відстанях одне від іншого.

Геометрична неоднорідність задачі, обумовлена наявністю отвору й великої кількості окружних і поздовжніх ребер, вимагає нанесення густої СЕ сітки для одержання розв’язку із заданою точністю. Це призведе до високої розмірності розв'язуючої СЛАР, розв’язання якої зажадає великих обчислювальних і часових ресурсів. Для зменшення кількості рівнянь і зажадає великих обчислювальних і часових ресурсів. Для зменшення кількості рівнянь і скорочення обчислювальних витрат при розв’язанні таких задач у даній методиці розроблена нерегулярна СЕ сітка, густа поблизу ребер і розріджена в середині панелі.

Вплив наявності отвору в обшивці позначається у відсутності парних серед, принаймні, перших десяти власних частот. Рис. 17 - 19 дозволяють простежити, як наявність отвору в обшивці оболонки впливає на власні форми коливань системи, порушуючи їхню симетрію й парність.

Наведений приклад демонструє можливості методики, представленої в даній дисертаційній роботі, яка дозволяє моделювати тонкі оболонки, або оболонки середньої товщини з будь-яким набором поздовжніх і/або поперечних ребер і з отворами довільної форми, при довільних граничних умовах, що важко реалізується за допомогою аналітичних методів.

ОСНОВНІ РЕЗУЛЬТАТИ Й ВИСНОВКИ

На основі розробленої методики розв’язано актуальну науково-технічну задачу про власні коливання підкріплених замкнених циліндричних оболонок. У результаті проведених у дисертаційній роботі досліджень отримані нові дані про вплив елементів, що з'єднують ребра жорсткості з обшивкою оболонки, на власні форми й власні частоти коливань циліндричних оболонок.

Основні наукові й практичні результати полягають у наступному:

1. Розроблено методику дослідження власних коливань підкріпленої оболонки з урахуванням суцільного податливого або дискретного жорсткого з’єднувального шару між ребрами й обшивкою.

2. Побудовано систему розв’язувальних рівнянь для плоского чотирьох-вузлового скінченного елемента з шістьма ступенями свободи.

3. Використання розвитку підходу MITC одночасно із введенням додаткових інтерполяційних функцій забезпечує високу стійкість СЕ до зсувного запирання, поліпшує обумовленість глобальної матриці жорсткості в порівнянні з процедурою введення фіктивних жорсткостей, прискорює збіжність. Такий СЕ має низьку чутливість до викривлення скінченно-елементної сітки (віддалення від форми квадрата, витягування сторін, наявності гострого кута), що дозволяє одержувати достовірні результати при істотно нерегулярних сітках.

4. Впроваджено специфічний скінченний елемент - елемент зв'язку, що дозволяє моделювати нежорстке (із заданим коефіцієнтом податливості ) або жорстке, суцільне або дискретне з'єднання ребер з обшивкою оболонки.

5. Розроблено частину препроцесорного розділу програмного забезпечення, призначену для розрахунку оболонок підкріплених кільцевими, поздовжніми або перехресною системою ребер для випадку з'єднання ребер з обшивкою оболонки жорстко або за допомогою проміжного шару.

6. Виявлено форми коливань, які не описані в літературі, присвяченій методам розрахунку оболонок, але спостерігалися раніше експериментально. Виявлено ефекти, обумовлені використанням уточненої моделі ребер. Отримано результати, які показують, що спосіб з'єднання ребер з обшивкою впливає на форми й частоти власних коливань оболонки.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Фиалко С.Ю., Анкянец Е.К. Современные вычислительные технологии в применении к задачам собственных колебаний оболочек. Теоретичні основи будівництва, 12, Т.2, Днепропетровск-Варшава, 2004, С.835-842.

2. Fialko S.Yu., Ankyanec E.K. Vibrations of thin stiffened cylindrical shell. XXXII Summer School – Conference “APM”., 2004, Book of abstracts., P.44.

3. Заруцкий В.А., Анкянец Е.К. Собственные колебания цилиндрических оболочек, усиленных кольцевыми ребрами, соединенными с ней упругими связями. Теоретичні основи будівництва, 13, Днепропетровск-Варшава, 2005, С.131-138.

4. Анкянец Е.К. Собственные колебания цилиндрической оболочки с двухслойными кольцевыми ребрами. // Прикл. Мех., 41, №8, 2005 г., С. 105 – 110.

5. Анкянец Е.К. Собственные колебания цилиндрической оболочки с кольцевыми ребрами, присоединенными к ней с помощью дискретных упругих связей. // Прикл. Мех., 41, №10, 2005 г., С. 108 – 113.

6. Fialko S.Yu., Ankyanec E.K. Vibrations of the thin cylindrical shell, reinforced by ribs attached to panelling in discrete points subject to flexibility of the joint of rib and panelling. Computer Methods in Mechanics, Book of short papers of the 16th CMM International Conference, Czestochowa, Poland ,21-24 June 2005.

7. Заруцкий В.А., Анкянец Е.К. Колебания тонкой цилиндрической оболочки, подкрепленной ребрами с учетом податливости соединения ребер с обшивкой. Тезисы XXI Международной конференции Матеметическое моделирование в механике сплошных сред. Методы граничных и конечных элементов, 4-7 октября, 2005 Санкт-Петербург, Россия.

8. Fialko S.Yu., Ankyanec E.K. Vibrations of thin cylindrical shells with non-stiff connection between ribs and panelling. Shell structures: Theory and Applications, Proceedings of the 8th SSTA Conference, Jurata, Poland, 12-14 October 2005. P. 315-317.

9. Анкянец Е.К. Колебания Тонкой ребристой цилиндрической оболочки при различных способах крепления ребер – 8-я Крымская Международная Математическая школа МФЛ-2006, Алушта, 10-17 сентября 2006г., с.14.

АНОТАЦІЯ

Анкянець О.К. Вплив способу приєднання дискретних ребер на коливання підкріплених кругових циліндричних оболонок.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата технічних наук за фахом 01.02.04 - механіка деформівного твердого тіла. - Інститут механіки ім. С.П.Тимошенка НАН України, Київ, 2007.

У дисертаційній роботі розв’язано задачу про власні коливання циліндричної оболонки, підкріпленої дискретно розташованими ребрами жорсткості з урахуванням способу з'єднання ребер з обшивкою: суцільне жорстке, суцільне податливе, або дискретне жорстке з'єднання. Розглядаються малі коливання. Матеріал оболонки й ребер підпорядковується закону Гука. Задача розв’язується методом скінченних елементів. Для обшивки й ребер жорсткості побудований плоский скінченний елемент з шістьма ступенями свободи у вузлі, якому притаманні висока стійкість до зсувного запирання, покращена збіжність й низька чутливість до викривлення скінченно-елементної сітки. Таким чином, у скінченноелементному поданні оболонка складається з набору пластинок. Ребра розглядаються як пластини. Для забезпечення умов жорсткого з'єднання ребер і обшивки в дискретних точках, або їх суцільного податливого з'єднання, реалізовано скінченний елемент зв'язку, побудований на основі методу штрафних функцій. Показано, що спосіб з'єднання ребер з обшивкою значно впливає на форми власних коливань оболонки, а розроблена методика дозволила виявити форми коливань, які не вдавалося виявити раніше аналітично.

Ключові слова: циліндрична оболонка, ребриста оболонка, власні коливання, метод скінченних елементів, сполучний шар.

АННОТАЦИЯ

Анкянец Е.К. Влияние способа прикрепления дискретных ребер на колебания подкрепленных круговых цилиндрических оболочек.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук по специальности 01.02.04 – механика деформированного твердого тела – Институт механики им. С.П.Тимошенко НАН Украины, Киев, 2007.

В диссертационной работе решена задача о собственных колебаниях цилиндрической оболочки, подкрепленной дискретно расположенными ребрами жесткости с учетом способа соединения ребер с обшивкой: сплошное жесткое, сплошное податливое, или дискретное жесткое соединение. Рассматриваются малые колебания. Материал оболочки и ребер подчиняется закону Гука. Задача решается методом конечных элементов. Для обшивки и ребер жесткости построен плоский конечный элемент с шестью степенями свободы в узле, обладающий высокой устойчивостью к сдвиговому запиранию, улучшенной сходимостью и низкой чувствительностью к искажению конечно-элементной сетки. В конечноэлементном представлении оболочка составлена из набора пластинок. Ребра рассматриваются как пластины. Для обеспечения условий жесткого соединения ребер и обшивки в дискретных точках, или их сплошного податливого соединения, реализован конечный элемент связи, построенный на основе метода штрафных функций. Показано, что способ соединения ребер с обшивкой значительно влияет на формы собственных колебаний оболочки, а разработанная методика позволила выявить формы колебаний, которые не удавалось обнаружить ранее аналитически.

Ключевые слова: цилиндрическая оболочка, ребристая оболочка, собственные колебания, метод конечных элементов, соединительный слой.

ABSTRACT

Ankyanec E.K. Influence of the discrete ribs attachment method on the vibrations of the reinforced circular cylindrical shells.

Thesis for a Candidate’s Degree in Technical sciences on speciality

01.02.04 – mechanic of deformable solids. – S.P.Timoshenko Institute of Mechanics of National Academy of Sciences of Ukraine, Kiev, 2007.

The Thesis is devoted to solution of the problem of vibration of cylindrical shell, reinforced by discretely located ribs considering method of connection between ribs and panelling: continuous rigid, continuous compliant, or discrete rigid connection. Small vibrations are examined. Material of shell and ribs obeys the Guk’s law. The finite element method is applied to solve the problem. Panelling and ribs are modeled by the flat quadrilateral finite element with six degrees of freedom in a node. This finite element provides the shear lock stability, improved convergence and low sensibility for distortion of finite element mesh. In the finite element treatment the shell is a surface built up by the small flat elements. The ribs are treated as a plates. To assure the rigid connection of the rib and the paneling in discrete points or their compliant continuous connection the link finite element is embodied based on the penalty parameters method. It is shown that the method of connection between ribs and panelling considerably influences on the shell eigenmodes. The technique which is developed allowed to obtain the eigenmodes which were not found out before analytically.

Keywords: cylindrical shell, reinforced shell, eigenvibrations, finite element method, connecting layer.