Автореферат
НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ
ІНСТИТУТ ПРИКЛАДНИХ ПРОБЛЕМ МЕХАНІКИ І МАТЕМАТИКИ
ім. Я. С. ПІДСТРИГАЧА
БУТРАК Іванна Орестівна
УДК 539.3
ВЗАЄМОДІЯ ПРОСТОРОВИХ ТРІЩИН
З НИЗЬКОЧАСТОТНИМИ ПРУЖНИМИ ХВИЛЯМИ
У ДЕФОРМІВНИХ ТІЛАХ
01.02.04 – механіка деформівного твердого тіла
Автореферат
дисертації на здобуття наукового ступеня
кандидата фізико - математичних наук
Львів – 2007
Дисертацією є рукопис
Робота виконана в Інституті прикладних проблем механіки і математики ім. Я. С. Підстригача НАН України
Науковий керівник: доктор фізико-математичних наук,
старший науковий співробітник
Михаськів Віктор Володимирович,
Інститут прикладних проблем механіки і математики
ім. Я. С. Підстригача НАН України,
провідний науковий співробітник.
Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, доцент
вайсфельд Наталія Данилівна,
Одеський національний університет ім. І.І. Мечнікова,
професор кафедри методів математичної фізики;
доктор фізико-математичних наук, професор
НИКОЛИШИН Мирон Михайлович,
Інститут прикладних проблем механіки і математики,
ім. Я. С. Підстригача НАН України,
завідувач відділу механіки деформівного твердого тіла.
Захист відбудеться “ 10 вересня 2007 р. о 15 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д .195.01 в Інституті прикладних проблем механіки і математики ім. Я. С. Підстригача НАН України за адресою: вул. Наукова 3-б, м. Львів, 79060.
З дисертацією можна ознайомитися у науковій бібліотеці Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я. С. Підстригача НАН України (вул. Науко-
ва б, м. Львів, 79060).
Автореферат розіслано “ 3 серпня 2007 р.
Вчений секретар спеціалізованої вченої ради,
доктор фізико-математичних наук О. В. Максимук
Загальна характеристика роботи
Актуальність теми. Висунуті в сучасній енергетиці, машинобудуванні, авіа-цій-ній тех-ніці, будівництві та інших галузях вимоги комплексної оцінки працездатності еле-ментів конструкцій передбачають обов’язкове врахування динамічного харак-те-ру їх навантажен-ня як експлуатаційної норми. Спричинені такими навантаженнями інер-ційні ефекти викли-ка-ють високу, відмінну від квазістатичної, концентрацію на-пру-жень поблизу присутніх у ма-теріалі тріщин, визначення якої є пріоритетним зав-дан-ням механіки руйнування. У цьо-му зв'язку повнота досліджень та їх адек-ват-ність реальним ситуаціям досягається вве-ден-ням в аналіз тріщин складної топології.
Особливе значення посідає вивчення хвильової картини у дальній від дефекту зо-ні. Не-об-хідність постановок відповідних дифракційних задач взаємодії пружних хвиль з прос-то-ро-ви-ми тріщинами зумовлена подальшим використанням отриманих ре-зультатів для ко-рект-ного формулювання та розв’я-зан-ня обернених задач ді-аг-нос-ту-вання не лише наявнос-ті дефектів, але й їх роз-ташування, форми та розмірів. З цієї точ-ки зору розв’язки дина-міч-них задач теорії тріщин є актуальними для де-фек-тос-ко-пії засобами неруйнівного контро-лю, сейсмо-ло-гії, механіки гірських порід.
Більшість отриманих у літературі результатів, що враховують динаміку зовніш-ніх впли-вів, стосуються відклику двовимірних тіл з кри-волінійними тріщинами. Роз-гляд три-ви-мірних тіл обмежений встановленням динамічної поведінки лише плос-ких дефектів. Склад-ність задач теорії пружності для тіл з просторовими тріщинами по-лягає у не-мож-ли-вос-ті їх розділення на симетричну та антисиметричну, а отже не-за-лежного дослід-жен-ня в околі дефекту деформацій розтягу, поздовжнього та по-пе-реч-ного зсувів. Метод гра-нич-них інтегральних рівнянь (ГІР) якнайкраще при-сто-со-ва-ний до розв’я-зу-вання такого кла-су задач внаслідок за-галь-нос-ті щодо розмірності за-дач, характеру дина-мічних про-цесів та геометрії тріщин.
Дисертація присвячена розв’язанню наукового завдання – розвинення методу ГІР для до-слід-жен-ня динамічного напружено-деформованого ста-ну безмежних пружних тіл з тріщи-на-ми склад-ної просторової форми від дії низькочастотного гармонічного на-ван-таження на поверхні тріщин чи дифракції на де-фек-тах низькочастотних гар-монічних хвиль.
Зв’язок з науковими програмами, планами, темами. Наукові результати, що міс-тять-ся у дисертаційній роботі, виконувались автором у відповідності з інди-відуальним пла-ном підготовки аспіранта, у рамках державних бюджетних науково-дослідних тем ІППММ ім. Я.С. Підстригача НАН України “Дослідження дифракції пружних хвиль та концентрації на-пружень на тріщинах та тонких включеннях у тривимірних однорідних та кусково-одно-рід-них тілах на основі гранично-інтег-раль-ного формулювання відповідних задач механіки” (2002-2005 рр., № держреєстрації 0102U000450) та "Дослідження методом інтегральних рів-нянь статичного і дина-міч-ного напруженого стану композитних структур з тріщинами та контактними неод-норідностями" (2006-2009 рр., № держреєстрації 0106U000449), теми за Цільо-вою програмою НАН України “Розробка аналітико-числових методів дослідження неоднорідностей структури пружних тіл на основі вивчення їх взаємодії з акус-тич-ними по-ля-ми” (2005-2006 рр., № держреєстрації 0105U000232), науково-технічного інноваційного про-ек-ту НАН України "Прогнозування нафтогазоносності гірських порід за комплексом їх гео-фізичних параметрів" (2005 р., № держреєстрації 0105U006544), Міжнародного проекту за програмою INTAS "Мікромеханіка по-шкод-жених композитів під динамічним наванта-женням" (2006-2009 рр., INTAS Ref. 05-1000008-7979) та гранту науково-дослідних ро-біт молодих учених НАН України ”Дослідження напружено-деформованого стану тіл з внут-рішніми і поверх-не-вими дефектами, зумовленого статичними навантаженнями та хви-льо-вими поля-ми” (2005-2006 рр., № держреєстрації 0105U005587).
Метою роботи є дослідження методом ГІР низько-час-тотних пружних полів та дина-міч-ної концентрації напружень у триви-мір-них тілах з трі-щи-нами, розта-шо-ва-ними вздовж по-логої поверхні Ляпунова. Через розв’язок конкретних за-дач для різних способів на-ван-таження та геометричних параметрів тріщин проведення ана-лізу ефектів розсіяння та випро-мі-нювання дефектами пружних хвиль у ближню (на час-тот-них залежностях коефіцієнтів ін-тенсивності напружень (КІН)) та дальню (на частотних за-леж-ностях амплітуд пе-ре-мі-щень) зони.
Досягнення поставленої мети передбачає розв’язання таких актуальних наукових завдань:
· отримання розривних розв’язків тривимірних задач про усталені коливання у без-меж-но-му пружному тілі з тріщиною вздовж довільної поверхні Ляпунова та виведення ГІР ти-пу потенціалу Гельмгольца у частотній області відносно функ-цій розкриття дефекту;
· розв’язання ГІР методом малого параметра для випадку пологого дефекту у низь-ко-час-тотному хвильовому полі;
· визначення концентрації напружень в околі сфероїдальної тріщини та тріщини по ци-ліндричній поверхні, викликаної циклічним навантаженням поверхонь де-фек-ту або диф-ракцією на ньому поздовжньої плоскої гармонічної хвилі;
· побудови апроксимаційних інтегральних зображень компонент напружено-деформо-ва-но-го стану тіла з просторовою тріщиною у дальній зоні;
· дослідження характеристик віддаленого хвильового поля внаслідок дифракції на сфе-роїдальній тріщині різнонаправлених низькочастотних пружних хвиль.
Об’єктом досліджень є динамічний напружено-деформований стан тривимірних без-меж-них пружних тіл з тріщинами, розташованими вздовж довільних поверхонь Ляпунова як в околі дефектів, так і в дальній зоні від гармонічних за часом зовнішніх навантажень та дифракції зовнішніх хвиль.
Предметом досліджень є гранично-інтегральні формулювання тривимірних задач тео-рії тріщин у частотній області з доведенням розв’язків до числа асимптотичним методом та ефекти впливу викривлення дефекту на динамічні коефіцієнти інтенсивності напружень в його околі та параметри хвильового поля у віддаленій зоні.
Методика досліджень полягає у зведенні тривимірних задач теорії пружності для тіл з трі-щинами у частотній області до систем гіперсингулярних ГІР типу потенціалу Гельм-голь-ца з подаль-шим їх розв’язуван-ням аналітичним методом малого параметра за припу-щен-ня пологості дефектів і малості хвильових чисел.
Наукова новизна результатів досліджень полягає в:
· узагальненні методу ГІР на тривимірні динамічні задачі теорії пружності для без-меж-ного тіла з тріщиною, розташованою вздовж довільної розімк-нутої поверхні Ляпунова;
· розробці підходу до аналітичного обернення ГІР з просторовою областю ви-зна-чення та гіперсингулярним ядром типу потенціалу Гельмгольца, що ба-зу-ється на розвиненні розв’язків за частотним і геометричним па-ра-метрами;
· отриманні асимптотичних розподілів компонент розсіяного поля у дальній зо-ні внас-лі-док дифракції гармонічних хвиль на просторовій тріщині;
· виявленні нових кількісних та якісних закономірностей почастотної пове-дін-ки дина-міч-них КІН змішаних мод в околі сфероїдальної тріщини та тріщи-ни по циліндрич-ній поверхні для різних способів зовнішнього наван-та-ження;
· дослідженні параметрів хвильової картини у дальній зоні, викликаної ви-промі-ню-ван-ням чи розсіянням пружних хвиль сфероїдальною тріщиною.
Вірогідність отриманих наукових результатів забезпечується коректною по-ста-нов-кою задач; строгістю застосованих математичних методів та фізичною інтерпре-тацією роз-в’яз-ків; переходом динамічних розв’язків до статичних при зануленні хвильового чис-ла; уз-годженістю та збігом часткових розв’язків, отри-ма-них у дисертаційній роботі, з відомими у літературі резуль-та-тами, знайденими ін-ши-ми методами.
Теоретичне та практичне значення результатів роботи. Отримані результати щодо ди-намічних КІН мають застосування у динамічній механіці руйнування під час визначення міцності тіл з тріщинами, що перебувають під дією змінних у часі навантажень, при вста-нов-ленні із залученням відповідних критеріїв умов руйну-ван-ня деформівних твердих тіл. У ди-сертаційній роботі метод ГІР використано також для вивчення дальнього пружного хви-льового поля на основі залежностей між його амп-літудно-частотними характеристиками та граничними функціями розкриття де-фек-ту довільної форми. Отримані залеж-нос-ті дають можливість вста-нов-лен-ня коре-ляції між характеристиками дифрагованих хвиль і геометричними пара-мет-рами трі-щин та використання цих зв’яз-ків для діагностики пошкоджень у тілах.
Публікації та особистий внесок здобувача. Результати дисертаційної роботи опуб-лі-ковані у 10 працях [1-10], з них 6 статей [1-6] у рецензованих наукових журналах із Пере-лі-ку фахових видань ВАК України для здо-буття наукового ступеня кандидата фізико-мате-ма-тичних наук, серед яких 4 [2, 4-6] перекладені англійською мо-вою та вийшли у світ у ви-дав-ництвах Springer та Kluwer.
Результати роботи отримані дисертантом самостійно. Робота [3] опублікована без спів-ав-торів. Визначення напрямку досліджень, постановка за-дач, ідеї відносно вибору методик роз-в’язування належать науковому керівнику д. ф.-м. н. В.В. Ми-хась-ківу. У спільних з М.Д. Грилицьким робо-тах [1, 6] внесок співавтора стосується ана-лі-зу часткових постановок задач у ви-пад-ку плоских тріщин. У спільних з О.В. Мі-щен-ком тезах [8] конференції співавтор причетний до математичного опису розподілу переміщень у падаючій хвилі до її взаємодії з де-фек-том. Ав-тору дисер-тації на-ле-жить: побудова інтегральних зобра-жень розв’язків три-ви-мір-них за-дач про усталені коли-ван-ня у безмежному пружному ті-лі з про-сторовою тріщиною [1, 2]; ви-ведення системи двовимірних ГІР відносно стриб-ків пе-ре-мі-щень проти-лежних по-вер-хонь тріщини в процесі її на-ван-таження гар-мо-ніч-ними зусиллями [2, 7]; отримання асимп-то-тичних співвід-ношень для визначення КІН ме-тодом ма-ло-го пара-метра [2, 5]; ви-ве-ден-ня фор-мул для ефек-тив-но-го розрахунку переміщень, на-пру-жень та по-пе-реч-них пе-ре-рі-зів роз-сіян-ня дифрагованих хвиль у дальній зоні че-рез функції дина-міч-но-го роз-крит-тя трі-щи-ни [3, 6]; аналіз аналітичних та числових результатів [2, 4-10].
Апробація результатів дисертації. Основні результати досліджень, викладені в ди-сер-таційній ро-боті, доповідалися й обговорювалися на Міжнародній конференції “Ак-ту-аль-ні проблеми ме-ханіки суцільного сере-довища” (Донецьк, 2002), Міжна-род-ній науко-во-тех-нічній конфе-ренції “Проблеми математич-ного мо-де-лювання сучас-них технологій” (Хмель-ниць-кий, 2002), VI Міжнародній науковій конференції Ма-те-ма-тичні проблеми ме-ха-ніки не-од-норід-них структур (Львів, 2003), конференції мо-лодих вчених з сучасних проб-лем механіки і ма-тематики імені академіка Я.С. Підст-ригача (Львів, 2004), VI Між-на-род-ній науковій шко-лі-семінарі “Им-пульс-ные процессы в меха-ни-ке сплошных сред” (Ми-ко-лаїв, 2005).
У повному обсязі дисертаційна робота доповідалась та обго-во-рю-валась на нау-ковому се-мінарі відділу математичних методів механіки руйнування та контактних явищ Інституту при-кладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України, кваліфі-ка-цій-ному семінарі “Механіка деформівного твердого тіла” цього ж інституту під керів-ницт-вом чл.-кор. НАН України, д. ф.-м. н. Г.С. Кіта, науковому семінарі кафедри методів мате-ма-тичної фізики Одеського національного університету ім. І.І. Мечнікова під керівництвом д. ф.-м. н., професора Г.Я. Попова, науковому семінарі кафедри механіки Львівського на-ціо-нального уні-вер-ситету ім. Івана Франка під керівництвом д. ф.-м. н., професора Г.Т. Су-ли-ма.
Структура та обсяг дисертації. Дисертаційна робота скла-да-ється зі вступу, п’яти роз-ділів, які містять 25 рисунків, висновків та списку використаних джерел із 254 наймену-вань. Обсяг основного тексту дисертації становить 109 сторінок. Повний обсяг роботи – 133 сторінки, з яких 2 сторінки займають рисунки.
Основний зміст роботи
У вступі обґрунтовано актуальність наукової проблеми, розкрито її суть і стан, сфор-му-льовано мету дисертаційного дослідження, аргументовано її новизну, наукове та прак-тич-не значення, наведено дані про апробацію отриманих результатів і публікації, які ві-доб-ра-жають основний зміст роботи, визначено особистий внесок дисертанта у публікаціях.
Перший розділ відведено оглядові літератури з вибраного напрямку дослід-жень. По-ка-за-но місце дисертації серед відомих результатів у даній нау-ковій тематиці.
Проблеми статичного деформування пружних тіл з тріщинами складної геометрії у дво-вимірній та тривимірній постановках задач висвітлені у роботах В.М. Александрова, О.Є. Андрейківа, С.А. Калоєрова, Г.С. Кіта, Р.М. Кушніра, В.В. Ло-боди, М.А. Мартиненка, В.І. Мос-саковського, Н.Н. Мусхелішвілі, М.М. Ни-ко-ли-ши-на, В.А. Осадчука, В.В. Пана-сю-ка, В.З. Партона, Ю.М. Подільчука, Г.Я. По-по-ва, М.П. Саврука, О.О. Стрельнікової, Г.Т. Су-лима, А.Ф. Улітка, М.В. Хая, Г.П. Че-репанова, M.P., S.N., J.-minguez, M.K., A.S., G.C., I.N., V.-muzs та інших вчених.
Динамічні, зокрема усталені процеси у деформівних ті-лах, у порівнянні зі ста-тич-ними, до-сліджені значно менше, що пояснюється специфі-кою входження часової змінної чи час-тот-ного параметра у ключові рівняння. Вивченню за-ко-но-мірностей поширен-ня хвиль різ-ної фізичної природи у не-од-норідних тілах присвячені праці В.А. Ба-бешка, Я.Й. Бу-ра-ка, О.Р. Гачкевича, Є.В. Глушкова, Н.В. Глушкової, Н.С. Го-ро-децької, В.Т. Грінченка, О.М. Гу-зя, В.Ф. Ємця, О.С. Кос-мо-даміанського, В.Д. Ку-бен-ка, Я.І. Кун-ця, В.Г. Мазья, В.В. Ме-лешка, З.Т. Назарчука, О.П. Під-дубняка, Я.С. Підст-ри-гача, В.Г. Попова, В.Б. По-ру-чі-кова, І.Т. Селезова, В.І. Сто-рожева, В.Ф. Че-куріна, Є.Г. Яню-ті-на, J.D.S.K.ta, E.A. та інших. Значна частина публікацій у цьому напрямку сто-су-єть-ся за-дач дифракції хвиль на по-верх-нях, порожнинах та включеннях канонічної і не-ка-но-ніч-ної фор-ми з ак-цен-том на ана-ліз хвильової картини в околі перешкоди чи у дальній Фраун-го-фе-ро-вій зоні роз-сіян-ня хвиль.
До важливого класу належать дослідження поведінки у хвильовому полі дефектів типу трі-щин як кон-цент-раторів динамічних напружень. Розв’язки прямих задач дифракції хвиль на тріщинах також є ба-зою для коректного формулювання обернених постановок стосовно ді-аг-ностування трі-щин. Да-ні аспекти взаємодії хвиль з плоскими тріщинами у без-межному ізот-ропному тілі дос-тат-ньо повно викладені у роботах М.М. Бородачова, Р.В. Гольд-штей-на, О.М. Гузя, В.В. Зозулі, Г.С. Кіта, В.В. Михаськіва, В.З. Партона, Л.І. Слєпяна, М.В. Хая, Е.Л. Шендерова, Є.І. Шифріна, M.H. Aliabadi, D. Gross, D.P. Rooke, Ch. Zhang з уза-гальненням на випадки сферичних і конічних тріщин поздовжнього зсуву, а також кри-во-лінійних тунельних дефектів у роботах Н.Д. Вайсфельд, Г.Я. Попова, Л.А. Фільш-тинсь-ко-го та їх учнів.
Однак, питання тривимірної взаємодії просторово розташованих тріщин з полем пруж-них хвиль та динамічного прояву змішаного деформування в околі дефекту за-ли-ши-лись по-за увагою дослідників.
У другому розділі здійснено гранично-інтегральне формулювання динамічних за-дач про вплив просторової тріщини на напружено-дефор-мо-ва-ний стан безмежного пруж-но-го тіла під час розпов-сю-джен-ня у ньому гармонічних хвиль, запропоновано ме-тод мало-го параметра для ана-лі-тич-но-го розв’язання ГІР типу потенціалу Гельмгольца з гі-пер-син-гу-ляр-ним ядром у випадку низь-ко-частотних хвильових про-цесів та пологих трі-щин, приведе-но формули для ви-зна-чен-ня динамічних КІН трьох мод в околі просторового де-фек-ту через роз-в’язки рівнянь.
Рис. 1.
Розглянемо безмежне пружне ізотропне тіло з до-віль-но роз-ташованою по по-верх-ні Ля-пунова тріщиною S з гладким кон-туром L за гармонічного за часом t зов-ніш-ньо-го збу-рен-ня, що задається набігаючою із нескін-чен-нос-ті хвилею пере-мі-щень з компонентами (x, t) = = ( j = ) чи напружень (x, t) = = ( i,j = ) (рис. 1), де (x), (x) – амп-літуди пе-реміщень і на-пру-жень, x(x1, x2, x3) – радіус-век-тор точки тіла в сис-темі коор-ди-нат Ox1x2x3, i = – уявна оди-ниця, w – зада-на кругова час-тота коливань. Специфіка задач про усталені коли-ван-ня по-лягає у мож-ли-вості їх зведення до аналізу лише амп-лі-туд-них зна-чень шля-хом ви-лу-чення з розгляду спільного екс-по-нен-ці-аль-ного часового множника у всіх па-ра-метрах на-пру-жено-деформованого стану.
Дифракційне походження хвильової картини у ди-на-міч-но збуреному тілі з трі-щи-ною за-без-печується поданням пе-реміщень та напружень у виг-ляді:
, , i,j = . (1)
Тут позначення “total” відпо-ві-да-ють загальному полю хвиль, “in” – полю па-даю-чих хвиль від заданих дина-міч-них навантажень тіла (величини з цим позна-чен-ням вва-жаються ві-до-ми-ми як розв’язки задач без урахуван-ня присут-ності в ті-лі дефекту), ujx), sijx) – не-ві-до-мі ком-поненти переміщень і напружень у розсіяних де-фек-том хви-лях.
Ключовим для визначення вектора переміщень u(u1, u2, u3) є рівняння Ляме для устале-них коливань, яке за відсутності масових сил має вигляд
, (2)
де – тривимірний набла-вектор, j = /cj ( j = 1, 2) – хвильові чис-ла, c1 і c2 – швидкості поширення у тілі поздовж-ніх і поперечних хвиль, c2/ c1 , – коефіцієнт Пуассона.
Умови вільності поверхонь тріщини від наван-та-жень з ура-хуванням суперпози-цій-них подань (1) будуть
, , i = , (3)
де njx – j-ва компонента одиничної нормалі nx до поверхні S в точці x, праві час-тини мають вигляд
, , i = . (4)
Таким чином, задача дифракції гармонічних хвиль на тріщині у безмежному тілі зво-дить-ся до розв’язання рівняння Ляме (2) з граничними умовами на напруження (3). Абст-ра-гування від зв’язку (4) дозволяє описати також граничними умова-ми (3) задачі ви-про-мі-ню-вання хвиль просторовою тріщиною за дії на її по-верх-ні гармонічних з ком-по-нен-та-ми Nj (x) ( j = ) самозрівноважених зу-силь (рис. 1). У цьому ви-падку де-фект виступає джерелом хви-льо-во-го процесу. Для забезпечення коректності за-да-ч ви-ма-га-ється також виконання умов випро-міню-ван-ня на безмежності.
Відзначимо, що умови (3), (4) допус-кають мож-ливість входження повер-хонь тріщини од-на за одну. Позбутися від’ємного розкриття тріщини можна певним по-пе-ред-нім роз-хи-лом де-фекту додатковими, зокрема статичними, навантаженнями.
Гранично-інтегральне формулювання задачі досягається у два етапи. На пер-шо-му реа-лі-зу-ється завдання інтегральних зображень розв’язків рівнянь (2) зі стрибком переміщень по плоскій області S. Для цього використано наступне подання вектора переміщень у фор-мі Папко-ви-ча-Нейбера (досі для побудови інтегральних подань залучали або формулу Со-міліано з громіздкими обчисленнями оператора напружень від фундаментального роз-в’яз-ку задачі, або подання Стокса, де необхідне вста-нов-лен-ня додаткової умови одно-знач-нос-ті):
, j = , (5)
де G – модуль зсуву, Wj – функції, які є розв’язками рівняння Гельмгольца ( j = ), Ф – функція, пов’язана з залежністю = = . Для виконання умов розриву компонент пере-мі-щень в області S та ви-про-мі-ню-вання на безмежності хвильові функції вибрано у вигляді комбінацій по-тен-ціа-лів Гельм-гольца з гус-тинами ( j = ), а саме
, j = ,
, , j = , k = ,2, (6)
де Cj ( j = ) – довільні сталі, – відстань між актуальною точкою та точкою ін-тег-рування .
Константи Cj ( j = ) вибираються таким чином, щоб надати густинам потенціа-лів зміст стрибків переміщень на поверхні S, тобто = ( j = ), , – граничні значення переміщень при підході до S зі сто-рони нормалі та з про-ти-леж-ної сторони відповідно.
Шляхом підстановки подань (6) у співвідношення (5) отримано інтегральні зображення розривних розв’язків у виг-ляді
, j = . (7)
Відзначимо, що із співвідношень (7) безпосередньо випливають інтегральні по-дан-ня роз-в’язків задач теорії гармонічних коливань для тіла з плоскою тріщиною, як-що область ін-тегрування у потенціалах прирівняти до області тріщини S.
Другий етап базується на розбитті довільної неплоскої поверхні тріщини S (рис. 1) на уяв-ні елементарні під-об-лас-ті S, , які завдяки їх малості вважаються плоскими. То-ді на основі принципу суперпозиції, під-су-мо-вую-чи ви-ра-зи (7) по всій множині еле-мен-тар-них підобластей S, що “покривають” трі-щину S, от-римано ін-тегральні зображення ком-по-нент пере-мі-щень у тілі з тріщиною, роз-міщеною по до-віль-ній поверхні Ляпунова через функ-ції динамічного розкриття дефекту Дu(u1, u2, u3):
, (8)
де – квадратна матриця розміру 33, елементи якої у диференціальній формі ви-зна-ча-ють-ся спів-від-ношеннями (ij – символ Кронекера):
, i,j = . (9)
Підстановкою розв’язку задачі у вигляді (8) у закон Гука знайдено ін-тегральні зоб-ра-жен-ня компонент напружень у тілі з тріщиною через стрибки пе-реміщень проти-леж-них по-вер-хонь тріщини. З подальшого за-до-волення граничних умов (4) задання зусиль Nj ( j ) на поверхнях дефекту ви-ве-де-но сис-тему трьох ГІР від-носно функцій ( j ) динамічного розкриття про-сто-рової трі-щини у вигляді
, j , . (10)
Тут – ядра типу потенціалу Гельмгольца, що мають особ-ли-вість порядку і за-да-ють-ся фор-мулами
. (11)
Побудова оберненого оператора рівнянь (10) наштовхується на значні труднощі через про-сто-ро-ве за-дан-ня області інтегрування та складну по-координатну залеж-ність і високу сту-пінь син-гулярності у ядрах (11). Однак у випадку низькочастотних про-цесів взаємодії хвиль з по-ло-гими тріщи-нами з явним заданням поверхні x3 = F ( x1, x2), (), де S0 – проекція області S на коор-динатну пло-щи-ну x1Ox2, для роз-в’я-зання рів-нянь можна ефективно застосувати метод малого па-ра-мет-ра. За цим методом розв’язки ГІР бу-дуються у вигляді по-двій-них збіжних степеневих рядів за ма-лим хви-льовим (iw2) та гео-мет-ричним e па-ра-мет-ра-ми
, . (12)
Для відшукання коефіцієнтів розкладів функцій розкриття тріщини ( j ) шляхом прирівнювання у ГІР (10) членів біля однакових сте-пенів ма-лих параметрів отримується рекурентна система двовимірних інтегральних рівнянь
, , , . (13)
Тут ядра є відомими поліноміальними функціями змінних x1, x2, 1, 2. Рівняння (13) ма-ють особ-ливість нью-то-нівського потенціалу та плоску область визначення . Відзначимо, що ліва частина цих рівнянь така ж, як і в інтегральних рівняннях задачі про статичне навантаження безмежного тіла з плос-кою трі-щиною, що займає область . Ме-тодика аналітичного розв'язання таких рівнянь описана у монографії Г.С. Кіта та М.В. Хая.
Таким чином, задача низькочастотних ко-ли-вань у тілі з по-ло-гою тріщиною S зводиться до поетапного (шляхом нарощування індексів k, q) роз-в’яз-ування інтегральних рівнянь (13). Процес про-дов-жу-єть-ся до зна-ход-жен-ня такої кількості членів ряду (12), що забезпечує не-об-хідну точ-ність розв’язку задачі.
Для аналітичного обернення інтегральних рівнянь залучається теорема про полі-но-мі-аль-ну консер-ва-тивність їх розв’язків, на основі якої струк-ту-ра роз-в’яз-ків ви-зна-чається до-бутком ко-реневої та поліно-мі-альних функцій ( j , ). Зокрема, якщо S0 є кру-гом з радіусом a, матимемо
, , , . (14)
Виділення кореневого множника із функцій динамічного розкриття тріщини дозволяє для конкретних конфігурацій дефекту отримувати КІН відриву K1, поперечного K2 та поз-довж-нього K3 зсувів в його околі через функції ( j , ).
Рис. 2.
Третій розділ відведено дослідженню запропонованим підходом концентрації на-пру-жень у тілі зі сфероїдальною тріщиною під дією гармонічного низько-час-тот-но-го тиску на її по-верхні та за падіння на неї поздовжніх плоских гармонічних хвиль, що по-ши-рюються під до-вільним кутом до тріщини.
Розглянемо безмежне пружне тіло з тріщиною вздовж по-верхні сфероїда (еліп-соїда обер-тання) виду , де b, c (b c) – пів-осі сфероїда. Де-кар-тову систему координат Ox1x2x3 вве-де-но та-ким чином, щоб її центр знаходився у вер-ши-ні дефекту. Кон-тур трі-щини ут-ворюється лінією пере-ти-ну сфероїда з пло-щиною, пара-лель-ною до коор-динатної пло-щи-ни x1Ox2, і є колом з ра-діу-сом a (рис. 2). Ве-ли-чину a ви-би-рає-мо так, щоб задо-воль-нити умову пологості дефек-ту (кут між нормаллю до поверхні дефекту на її кон-турі та віс-сю Ox3 не по-винен перевищувати /4).
У випадку, коли поверхні тріщини на-вантажені гармо-ніч-ним за часом тиском з постій-ною амплітудою P0, ком-по-ненти зусиль будуть ( j ).
Аналітичний розв’язок задачі випромінювання хвиль отримано з використанням ви-кла-де-ного у попередньому розділі методу розв’язування гіперсингулярних ГІР (10). Малим гео-метричним параметром вибрано величину .
Результатом обернення ГІР за допомогою аналітичного обчислення гіпер-син-гу-ляр-них ін-тег-ралів через пониження порядку їх сингулярності інтегруванням за частинами от-ри-ма-но фор-мули для розрахунку КІН в околі тріщини. Без урахування членів порядку 4, 4 ( 2a – нормалізоване хвильове чис-ло) для КІН відриву та 3, 4 для КІН поперечного зсу-ву вони мають форму
,
Рис. 3. Рис. 4.
, , (15)
де – статичний КІН відриву для плоскої кругової тріщини радіуса a в полі нор-мальних зусиль , , , gj ( j ), hj ( j) – відомі по-стій-ні, які виражаються через відно-шен-ня швидкостей поширення по-пе-речних і поз-довжніх хвиль.
Інерційні ефекти проана-лізо-ва-но для сфе-роїдальної трі-щини з ра-діу-сом кру-го-во-го кон-ту-ру a ,5c. Кое-фі-цієнт Пуа-с-со-на прий-мався рів-ним . На рис. 3, 4 на-ве-де-но залеж-нос-ті віднос-них амп-лі-туд ди-на-міч-них КІН ( j , ) від нор-ма-лі-зо-ва-ного хви-льо-во-го чис-ла . Кри--ві 1-3 від-по-ві-да-ють різній випук-лос-ті трі-щи-ни: 1– (плос-ка трі-щина); 2– ; 3– (сфе-рич-на трі-щи-на). Мар-ко-ва-на за-пов-не-ни-ми кру-жеч-ка-ми кри-ва на рис. 3 опи-сує поведінку КІН у випадку плос-кої трі-щини, вста-нов-ле-ну чис-ло-вим ме-то-дом граничних еле-мен-тів у пра-ці Г.С. Кіта, М.В. Хая та В.В. Ми-хаськіва.
Через асимптотичні наближення (15) у ди-сертації визна-че-но також фазові зсу-ви КІН від-риву та попе-реч-ного зсуву за фор-мулами:
, j = 1, 2.
Рис. 5.
Наступний приклад стосується вза-ємо-дії сфе-ро-ї-дальної тріщини з низь-ко-час-тотною плос-кою поз-довж-ньою хвилею з ортом p( p1, p2, p3) напрямку її поши-рен-ня (рис. 5). По-верх-ні трі-щи-ни вільні від зусиль. З ме-тою порівняння впливу на де-фект напрямку падіння хви-лі з постійною амплітудою P0 роз-глянуто два спо-со-би на-бі-ган-ня хвилі на де-фект: зі сто-ро-ни його опук-лос-ті, коли p = p(0,0,-1), та з проти-леж-но-го боку, ко-ли p =(0,0,1). Збуд-жу-вальна хвиля опи-су-єть-ся на-ступ-ни-ми компонен-та-ми пе-ре-мі-щень та напружень
,
, (16)
i, j = .
Така дифракційна задача за схемою, описаною у друго-му розділі, зводиться до розв’я-зан-ня системи трьох ГІР (10), де права частина рівнянь відповідає внутрішнім зу-сил-лям від на-пружень на місці розта-шуван-ня тріщини у формі (4). З них ви-пли-вають асимптотичні фор-мули для КІН відри-ву K1 та по-перечного зсуву K2, які не змі-ню-ються для даної диф-рак-ційної задачі вздовж кон-туру тріщини:
,
, . (17)
Тут індекс I відповідає першому способові набігання хвилі на де-фект, II – другому, ( j = ), ( j = ) – відомі по-стій-ні.
Графіки на рис. 6 показують відмінності між двома розгля-ну-ти-ми способами диф-рак-ції хвиль на сферої-даль-ній тріщи-ні з ра-діу-сом кругового контуру a = 0,5c для КІН відриву, тоді як гра-фі-ки для КІН поперечного зсу-ву однакові для вибраної точ-нос-ті роз-в’язку задачі. Су-цільні кри-ві ілюструють зміну нор-мо-ваних амп-літуд дина-мічних КІН від-риву від нормалі-зо-ва-но-го хвильового чис-ла для першого способу набігання хвилі на де-фект. Марковані кру-жеч-ками криві по-ка-зу-ють цю ж залеж-ність, от-риману з роз-в’яз-ку за-дачі за падіння хви-лі на дефект зі сто-рони йо-го ввігнутості. Криві 1-3 від-пові-дають різним екс-цент-риси-те-там по-верхні де-фек-ту:
1– ; 2– ; 3– .
Рис. 6.
У четвертому розділі запропонований підхід поширено на трі-щину, яка розташована по циліндричній поверхні. Загальність задачі забезпечується ви-ник-ненням в околі дефекту всіх трьох типів деформування, а також залежністю КІН від ку-то-вої координати точки контуру тріщини.
Нехай просторова тріщина S роз-ташована по цилінд-рич-ній по-верхні (d – ра-ді-ус по-перечного пе-ре-різу ци-лінд-ра). Вважаємо, що про-ек-цією контуру об-лас-ті S де-фек-ту на площину x1Ox2 є круг S0 радіуса a (рис. 7). До поверхонь дефекту при-кла-де-ні проти-леж-но спря-мовані гар-монічні низькочастотні на-ван-тажен-ня ( j = , гармонічний тиск).
Рис. 7
За малий геомет-рич-ний параметр ви-брано ве-ли-чину a/d < 1. Розв’язавши ана-літично рекурентні ін-тег-ральні рівнян-ня (13) по плоскій об-лас-ті S0, мати-ме-мо набли-жен-ня стрибків пере-мі-щень на тріщині по ци-ліндричній поверхні в напрямках коор-ди-нат-них осей. За ними визна-че-но на-пру-ження відриву , поздовжнього та поперечного зсу-вів в околі кон-ту-ру де-фек-ту з точністю, аналогічною як і для сфероїдальної трі-щи-ни. Тоді асимп-то-тич-ні на-ближення для динамічних КІН будуть
,
(18)
,
,
де Bj, Gj ( j = ), Fj ( j = ) – відомі сталі, які записуються у вигляді відношень полі-но-мів величини .
Рис. 8-10 ілюструють розподіл відносних амплітуд динамічних КІН ( j = ) вздовж контуру тріщини по ци-ліндричній поверхні у тілі з кое-фіцієнтом Пу-ас-со-на ,3 для різних значень геометричного параметра та нор-ма-лізованого хвильового чис-ла. Кри-ві 1-3 відповідають значенням: 1 – c 0 (ста-тич-не навантаження); 2– c 0,5; 3 – c 0,8. Марковані заповненими кружеч-ками кри-ві відпо-ві-да-ють зна-ченню e = (плоска трі-щи-на), марковані порожніми кру-жеч-ка-ми криві – значенню e ,25 та суцільні криві – зна-чен-ню e ,5.
Рис. 8. Рис. 9. Рис. 10.
У п’ятому розділі аналіз перенесено на дальні хвильові поля від динамічного роз-крит-тя просторової тріщини. Побу-довано апрок-си-ма-цій-ні інтегральні зобра-жен-ня ком-понент пе-реміщень та напружень у дальній зоні внас-лі-док випро-мі-ню-вання та роз-сіян-ня гар-мо-ніч-них хвиль про-сторовою тріщиною. Наведено аналітичні вирази для по-пе-речних перерізів роз-сіяння хвиль різних мод, які є актуаль-ни-ми з точки зору діагностики де-фектів.
Використання співвідношень (8) для аналітичних розра-хун-ків дальнього поля уск-лад-не-не присутністю в них інтегралів типу згортки за трьома координатами та силь-но ос-ци-люю-чих функцій. Тому при вико-рис-та-но на-бли-ження:
, , . (19)
Складовими переміщень та напружень після застосування наближень (19) є плоскі гар-мо-ніч-ні хви-лі. Для відокремлення змінних у їхніх поданнях здійснено перехід до сфе-рич-ної системи координат (R, j, y): x1=R sin jcos y, x2=R sin j y, x3=R cos j.
Тоді радіальні і тангенціальні , компоненти переміщень в дальній від трі-щи-ни зоні приймуть вигляд
, (20)
, ,
де , , – амплітуди розсіяння плоских поздовжньої, по-перечної верти-каль-но поляризованої та горизонтально поляризованої хвиль відповідно в даль-ній зоні, які ви-значаються через функції розкриття тріщини у вигляді
,
,
. (21)
Тут =(sinjcosy, sinjsiny, cosj), =(cosjcosy, cosjsiny,-sinj), =(-siny, cosy,0) – оди-нич-ні вектори. По-дальші дослідження динамічних переміщень у дальній зоні поля-гають у підстановці функ-цій розкриття тріщини (розв’язків ГІР (10)) у
подання (21).
На основі оптичної теореми для пружних коливань введено поперечні перерізи роз-сі-ян-ня хвиль, які характеризують міру втрати пруж-ної енергії падаючої хвилі внаслідок її взає-мо-дії з дефектом, за формулами
, , , (22)
де (A ,,) – амплітуди розсіяння хвиль (21) відповідної моди в на-прямку (in, in) по-ши-рення збуджувального сигналу.
З урахуванням виразів (21) та (22) отримано співвідношення для по-пе-речних пе-ре-різів , , роз-сіян-ня поздовжніх, поперечних вертикально та гори-зон-таль-но поляри-зо-ва-них хвиль у вигляді (, , – одиничні вектори при j = , y = ):
,
, (23)
.
Для демонстрації розподілів амплітуд розсіяння використано результати щодо ви-зна-чен-ня функцій розкриття Duj ( j = ) сфероїдальної тріщини, отримані у роз-ді-лі 3. Спер-шу розглянуто випадок дії на по-верхні пологої сфе-рої-дальної тріщини низь-ко-частотних зу-силь з постійною амплітудою P0, що моделюють гармонічний тиск.
На графіках наведено діаграми направленості випроміненого поля плоскою тріщиною, ко-ли = є (рис. 11), і викривленою сфероїдальною тріщиною, коли = є (рис. 12). Розрахунок відносних амплітуд (A ,, ) як функ-цій кутової координати в мери-діо-нальній площині проводився для трі-щини з ра-діу-сом контуру a = 0,5c при n = 0,3. Криві 1-4 відпо-ві-да-ють на-ступ-ним зна-ченням нормалізованого хвильового числа: 1 – ,2; 2 – ,5; 3 – ,9; 4 – ,1. Внаслідок си-метрії задачі на кожній із діаг-рам зображено харак-те-ристики як поз-довжніх (права півку-ля), так і попе-реч-них верти-каль-но поляри-зованих (ліва півкуля) роз-сіяних хвиль. Рис. 13 ілюст-рує залежності тих самих амп-літуд роз-сіян-ня хвиль у ви-пад-ку ,1 для різних екс-цент-риситетів поверхні дефекту: 1– є; 2 є; 3– є.
Рис. 11. Рис. 12. Рис. 13.
Також у п’ятому розділі описано хвильове поле у дальній зоні під час дифракції поз-довж-ньої плоскої гармонічної хвилі на сфероїдальній тріщині зі сторони опуклості її по-верх-ні та з про-тилежної. Відповідні функції розкриття тріщини підставлено у вирази (21) та отримано амп-літуди розсіяння хвиль різних мод.
Рис. 14.
Показані на рис. 14 діаграми демонструють поведінку від-нос-них амп-літуд (A роз-сія-них хвиль викривленою сфе-рої-даль-ною тріщиною ( є) з ра-діу-сом контуру a ,5c як функ-цій ку-то-вої координати ц. Кри-ві 1-4 побу-до-ва-но для різ-них значень : 0,2; 0,5; 0,9; 1,1. Су-ціль-ні лінії відповідають по-ширенню генеруючих хвиль зі сто-рони опук-лос-ті тріщи-ни, пунк-тирні лінії – з протилежної.
Встановлено також, що в розглянутих випадках набі-ган-ня хвиль на дефект поперечні пе-рерізи розсіяння од-накові і не за-ле-жать від викривлення тріщини, що уз-годжується з загаль-ни-ми положеннями теорії дифракції хвиль на пе-реш-кодах.
У висновках коротко наведено основні підсумки роботи та сформульовано отримані результати.
Основні результати ТА висновки
У дисертаційній роботі вирішено наукове завдання – розвинуто метод ГІР для дослід-жен-ня динамічного напружено-деформованого ста-ну безмежних пружних тіл з тріщинами склад-ної просторової форми, зумовленого дією низькочастотного гармонічного на-ван-та-жен-ня на поверхні тріщини чи дифракцією на де-фек-ті низькочастотних гар-монічних хвиль. Ува-га приділяється не лише ви-зна-ченню динамічної кон-центрації напружень в околі трі-щи-ни, але й вив-ченню хвильового по-ля у даль-ній від дефекту зоні. Основні результати, от-римані в даній роботі, такі:
1. За допомогою співвідношення Папковича-Нейбера побудовано в інтег-раль-ній фор-мі розв’язок тривимірних задач теорії пружності у частотній області з розривом пере-мі-щень на плоскій площадці.
2. Інтегральні подання переміщень та напружень узагальнено на випадок наявності у гар-монічно збуреному тілі тріщини, роз-ташованої вздовж до-вільної поверхні Ляпунова. Від-повідні задачі зведено до гіперсингулярних ГІР типу по-тен-ціалу Гельмгольца відносно функ-цій динамічного розкриття дефекту.
3. Розроблено метод малого параметра для відшукання розв’язку системи ГІР у низь-ко-частот-ному діапазоні коливань зовнішніх навантажень чи пружних хвиль та для поло-гої трі-щини.
4. Отримано формули для ефективного розрахунку динамічних КІН в околі сфе-рої-даль-ної тріщини та тріщини по циліндричній поверхні, а також переміщень, напружень та по-перечних пе-рерізів розсіяння хвиль у віддаленій від дефекту зоні.
На основі розв’язання ГІР та аналізу амплітудно-частотних ха-ракте-ристик коливного про-цесу у тривимірному безмежному пружному тілі з про-сто-ровою тріщиною виявлено но-ві якісні та кількісні закономірності.
· Під час дії нормальних гармонічних зусиль з постійною амплітудою на поверхні по-логої сфероїдальної трі-щини спостерігається почастотне зростання амплітуд КІН від ста-тичних значень. При збільшенні ексцентриситету поверхні дефекту за фіксованої часто-ти коли-вань та радіуса його контуру КІН відриву зменшуються, а попе-реч-ного зсуву збіль-шу-ються. Зростання хвильового числа призводить до розходження зна-чень КІН попе-реч-ного зсу-ву, що відповідають тріщинам з різною ви-пуклістю. Протилежна тен-ден-ція спосте-рі-га-єть-ся для КІН відриву.
· На прикладі КІН відриву встановлено відмінності між дифракцією плоских гар-мо-ніч-них поздовжніх хвиль на-пружень на пологій сфероїдальній трі-щині зі сторони її опук-лос-ті та з про-ти-лежного боку. Значення їхніх амп-літуд більші у першому випадку набігання хвиль на дефект. Цей контраст вираз-ніший в області вищих хвильових чисел та для більш ви-крив-ле-них тріщин.
· В околі тріщини, розташованої вздовж циліндричної поверхні, під низь-ко-час-тот-ним нор-мальним навантаженням постійної амплі-туди реалізується де-фор-му-ван-ня трьох типів, динамічні КІН залежать від кутової координати точки контуру тріщини. У верхніх точках контуру амп-літуди КІН відриву макси-мальні, поперечного і поз-довж-ньо-го зсуву до-рів-нюють нулю; у нижніх точ-ках амплітуди КІН відриву міні-маль-ні, по-пе-реч-но-го зсуву максимальні, поздовжнього зсуву дорівнюють нулю. Мак-си-му-ми амплітуд КІН поз-довж-нього зсуву досягаються у проміжних точках кон-туру тріщини. Зі збіль-шен-ням хви-льового числа і опуклості де-фек-ту по-си-лю-єть-ся розходження між максимальними та мі-ні-маль-ними зна-чен-нями амплі-туд КІН. З рос-том хви-льо-вого числа амплітуди динамічних КІН всіх трьох мод зростають.
· Вивчено особливості випроміненого поля сфероїдальною тріщиною під низько-час-тот-ним гармонічним тиском у дальній від дефекту зоні. Зі зростанням хвильового числа амп-літуди роз-сіяння поздовжніх і по-пе-речних вертикально поляризованих хвиль збіль-шу-ють-ся. Мінімальні значення амплітуд розсіяння спостерігаються в еква-то-ріальній стосовно вер-шини дефекту площині, а для поперечних хвиль також на осі симетрії тріщини. Мак-си-маль-ні зна-чення амплітуд розсіяння для поздовжніх хвиль знаходяться на осі си-метрії трі-щи-ни, а для поперечних хвиль – на осях, які утворюють з віссю симетрії кут близький до 45є. Величина цього кута залежить від хвильового чис-ла. Збільшення екс-цент-риситету по-верх-ні тріщини призводить до зростання максимумів амплітуд розсіяння поздовжніх хвиль та спадання максимумів амплітуд розсіяння поперечних вертикально поляризованих хвиль.
· Досліджено тривимірне хвильове поле, зумовлене дифракцією низько-частот-них плос-ких поздовжніх хвиль постійної амплітуди на сфероїдальній тріщині в без-межному пруж-ному тілі на ве-ли-кій відстані від дефекту. Як наслідок нормального па-діння таких хвиль на тріщину зі сторони її опуклості та з протилежної, ге-не-ру-ються відбиті хвилі двох мод: поздовжня та поперечна вертикально поляризована. Абсолютні максимуми амплітуд роз-сіяння цих хвиль досягаються у випадку диф-рак-ції зовнішньої хви-лі зі сторони опук-лос-ті дефекту. За однакових амплітуд па-да-ючої хвилі у задачі дифракції та тиску діючого на-ван-та-жен-ня в описаній у по-пе-ред-ньо-му пункті задачі випромінювання спостерігається якіс-но схо-жий кутовий роз-по-діл амплітуд роз-сіяння поздовжніх і поперечних хвиль.
результати дисертаційної роботи відображено у публікаціях:
1. Михаськив В.В., Грилицкий Н.Д., Бутрак И.О. Использование решения в форме Пап-ко-вича-Нойбера в трехмерных задачах об установившихся колебаниях уп-ру-го-го тела с тре-щиной // Теор. и прикл. механика. – 2002. – Вып. . – С. .
2. Михаськів В.В., Бутрак І.О. Тривимірні динамічні задачі для пружного тіла з по-ло-гою трі-щиною // Фіз.-хім. механіка матеріалів. – 2003. – Т. , № . – С. .
Translated as: Mykhas’kivButrakThree-dimensional dynamic problems for an elas-tic body containing a shallow crack // Materials Science. – 2003. – Vol. 39, № . – P. .
3. Бутрак І.О. Асимптотика дальнього поля переміщень та напружень від ди-на-міч-но-го роз-криття просторової тріщини // Мат. методи та фіз.-мех. поля. – 2005. – Т. , № . – С. .
4. Михаськив В.В., Бутрак И.О. Концентрация напряжений в окрестности сфе-ро-ид-ной тре-щины при произвольном направлении падения на нее гармонической волны // Прикл. механика. – 2006. – Т. , № . – С. .
Translated as: Mykhas’kivButrakStress concentration around a spheroidal crack caused by a harmonic wave incident at an arbitrary angle // Int. Appl. Mech. – 2006. – Vol. , № . – P. – 61-66.
5. Михаськів В.В., Бутрак І.О. Динамічні напруження в околі тріщини по цилінд-рич-ній по-верхні // Фіз.-хім. механіка матеріалів. – 2006. – Т. , № 4. – С. .
Translated as: Mykhas’kivButrakDynamic stresses in the vicinity of a crack along the cylindrical surface // Materials Science. – 2006. – Vol. 42, № 4. – P. .
6. Михаськив В.В., Грилицкий Н.Д., Бутрак И.О. Эффекты рассеяния упругих гармони-чес-ких волн в дальнюю зону пространственной трещиной // Прикл. механика и техн. физика. – 2006. – Т. , № . – С. .
Translated as: Mykhas’kivGrilitskiiButrakEffect of scattering of elastic harwaves in the far zone by a spatial crack // J. Appl. Mechanics and Technical Phy– 2006. – Vol. , № . – P. 56-563.
7. Михаськів В.В., Бутрак І.О. Вплив кривини поверхні просторової тріщини на ди-на-міч-ну концентрацію напружень в її околі // Матеріали конф. Проблеми мате-ма-тич-ного моделювання сучасних технологій. – Хмельницький. – 2002. – С. .
8. Михаськів В.В., Міщенко В.О., Бутрак І.О. Тривимірна задача дифракції плоскої гар-мо-ніч-ної хвилі на просторовій тріщині // Матеріали VI Міжнар. наук. конф. Ма-тематичні проблеми механіки неоднорідних структур. – Львів. – 2003. – С. .
9. Бутрак І.О. Аналіз тривимірного дальнього хвильового поля під час дифракції гар-мо-нічної хвилі на тріщині нормального відриву // Матеріали конф. молодих вчених з сучасних проблем механіки і математики імені академіка Я.С. Підстригача. – Львів. – 2004. – С. .
10. Михаськів В.В., Бутрак І.О. Випромінювання пружних хвиль сфероїдною трі-щи-ною під пуль-суючим тиском // Матеріали VI Міжнар. наук. школи-семінару “Им-пульс-ные про-цес-сы в механике сплошных сред”. – Миколаїв. – 2005. – С. .
Анотація
Бутрак І.О. Взаємодія просторових тріщин з низькочастотними пружними хвилями у деформівних тілах. – Рукопис.
Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спе-ціальністю 01.02.04 – механіка деформівного твердого тіла. – Інститут прикладних проб-лем механіки і математики ім. Я. С. Підстригача НАН України. Львів, 2007.
Робота присвячена розв'язанню тривимірних задач про гармонічні коливання у безмеж-но-му пружному тілі з просторовою тріщиною від заданих на поверхнях дефекту наван-та-жень чи падаючих пружних хвиль. Задачі зведено до граничних інтегральних рівнянь (ГІР) відносно функцій динамічного розкриття дефекту. Розроблено аналітичний метод малого параметра для розв'язання ГІР
