НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ІНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

Бахтін Олександр Костянтинович

УДК 517.5

ЕКСТРЕМАЛЬНІ ЗАДАЧІ І КВАДРАТИЧНІ

ДИФЕРЕНЦІАЛИ В ГЕОМЕТРИЧНІЙ ТЕОРІЇ

ФУНКЦІЙ КОМПЛЕКСНОЇ ЗМІННОЇ

01.01.01 - математичний аналіз

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

доктора фізико-математичних наук

Київ - 2007

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Інституті математики НАН України.

Науковий консультант

доктор фізико-математичних наук, професор,

член-кореспондент НАН України

ТАМРАЗОВ Промарз Мелікович,

Інститут математики НАН України,

провідний науковий співробітник

відділу комплексного аналізу і теорії потенціалу.

Офіційні опоненти:

доктор фізико-математичних наук, професор

ГУТЛЯНСЬКИЙ Володимир Якович,

Інститут прикладної математики і механіки НАН України,

м. Донецьк, головний науковий співробітник відділу

рівнянь з частинними похідними;

доктор фізико-математичних наук, професор

ЗАБОЛОЦЬКИЙ Микола Васильович,

Львівський національний університет імені І. Франка,

м. Львів, завідувач кафедри математичного моделювання;

доктор фізико-математичних наук, професор

ПРОХОРОВ Дмитро Валентинович,

Саратовський державний університет імені М.Г. Чернишевського,

м. Саратов, Росія, завідувач кафедри математичного аналізу.

Провідна установа:

Харківський національний університет імені В.Н. Каразіна,

МОН України, м. Харків.

Захист відбудеться 24 квітня 2007 р. о 15 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради

Д 26.206.01 Інституту математики НАН України за адресою:

01601, м. Київ, вул. Терещенківська, 3.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Інституту математики НАН України.

Автореферат розісланий 22 березня 2007 р.

Учений секретар

спеціалізованої вченої ради РОМАНЮК А.С.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Дисертація присвячена розробці методів розв'язання нових екстремальних задач геометричної теорії функцій комплексної змінної.

Основна увага приділена подальшому розвитку двох добре відомих напрямків геометричної теорії функцій комплексної змінної. Перший напрямок пов'язаний з екстремальними задачами на класах неперетинних областей і бере свій початок у роботі М.А. Лаврентьєва, в якій вперше розглянута й розв'язана задача про максимум добутку конформних радіусів двох взаємно неперетинних однозв'язних областей. Ця задача викликала цілий потік результатів багатьох авторів, які узагальнювали та посилювали її в різних напрямках. Зауважимо, що переважна кількість задач про неперетинні області, що були розглянуті у 1930 - 60 рр. були задачами, яким відповідають квадратичні диференціали з фіксованими полюсами. В 1968 році П.М. Тамразов привернув увагу до екстремальних задач, полюси відповідних квадратичних диференціалів яких не фіксовані, а володіють певною "свободою". Такі задачі отримали назву екстремальних задач з вільними полюсами.

Перші задачі з вільними полюсами про неперетинні області були сформульовані і частково розв'язані Г.П. Бахтіною в 1974 - 1975 рр. Починаючи з 1978 р. В.Н. Дубінін розробив кілька нових потужних методів дослідження, які мають симетризаційну природу, і за їх допомогою розв'язав низку нових екстремальних задач про неперетинні області з вільними полюсами. Серед цих методів відмітимо метод кусково-поділяючого перетворення,

що відіграє важливу роль для нашої роботи. Вивченню нових екстремальних задач про неперетинні області з вільними полюсами присвячено другий, третій та четвертий розділи дисертації.

Інший напрямок пов'язаний з проблемою коефіцієнтів однолистих функцій. Її важливою складовою була проблема Л. Бібербаха (1916) про справедливість точної оцінки , n?2, на класі S функцій f(z), голоморфних та однолистих в одиничному крузі комплексної площини C і нормованих умовою . В 1984 р. Л. де Бранж отримав результат, із якого, зокрема, випливає розв'язок проблеми Бібербаха.

В роботах А. Шеффера і Д. Спенсера та К.І. Бабенко з проблеми коефіцієнтів досліджено властивості однолистих функцій класу S, які задовольняють системам функціонально-диференціальних рівнянь спеціального типу. Аналогічні питання розглядаються в п'ятому розділі дисертації.

Відмітимо, що фундаментальні результати, які відносяться до вказаних вище напрямків геометричної теорії функцій комплексної змінної, отримані в роботах П. Кебе, Л. Бібербаха, Т. Гронуолла, М. Шиффера, М.А. Лаврентьєва, Г. Пойя, Г. Сегьо, Г. Грьотша, О. Тейхмюллера, Л. Альфорса, Г.М. Голузіна, К. Левнера, П.П. Куфарева, М.В. Келдиша, А. Шеффера та Д. Спенсера, М. Шиффера та Д. Спенсера, Дж.А. Дженкінса, Н.А. Лебедєва, В.К. Хеймана, І.М. Міліна, П.М. Тамразова, К. Померенке, З. Нехарі, Ю.Є. Аленіцина, І.Є. Базілевича, І.А. Александрова, І.П. Мітюка, К. Фітцджеральда, П. Дюрена, М. Шиффера та П. Дюрена, Е. Бомбьєрі, А. Бернстайна, К.І. Бабенко, В.Я. Гутлянського, С.Л. Крушкаля, В.Г. Шеретова, Г.В. Кузьміної, В.М. Дубініна, Д.В. Прохорова, А.Ю. Солиніна, Є.Г. Ємельянова, А.Ю. Васильєва та багатьох інших авторів.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертація виконана в Інституті математики НАН України в рамках наукових тем "Дослідження з комплексного аналізу, теорії потенціалу, диференціальних та топологічних властивостей відображень і множин" (номер держреєстрації 0101U000700), "Варіаційні та комплексно-аналітичні методи при моделюванні і дослідженні нелінійної динаміки сильно неоднорідних процесів гідро- та біомеханіки" (номер держреєстрації 0102U000917) і "Дослідження еволюційних та стохастичних процесів в математичних моделях природознавства" (номер держреєстрації 0105U000435).

Мета і завдання дослідження. Об'єктами дослідження є функціонали, задані або на класах однолистих функцій, або на класах відкритих множин розширеної комплексної площини.

Предметом дослідження є знаходження максимумів вказаних функціоналів та опис відповідних екстремальних конфігурацій.

Метою дослідження є розробка нових методів розв'язання екстремальних задач геометричної теорії функцій комплексної змінної, розв'язування нових класів екстремальних задач, посилення та узагальнення відомих результатів.

Для досягнення мети використано методи поділяючого перетворення, варіаційний метод, метод квадратичних диференціалів, метод симетризації, методи теорії потенціалу.

Наукова новизна одержаних результатів. Всі результати, які виносяться на захист, є новими.

1. В дисертації введено деякі нові поняття, за допомогою яких вдалось сформулювати і повністю розв'язати цілий клас нових достатньо загальних екстремальних задач. Необхідно відмітити, що вимоги до геометрії розташування вільних полюсів істотно послаблені у порівнянні із раніше відомими результатами.

2. Цікаво, що навіть наслідки отриманих в дисертації загальних теорем є істотним узагальненням та посиленням раніше відомих в цьому напрямку результатів.

3. Розроблено метод "керуючих" функціоналів, що дало можливість розв'язати низку нових достатньо загальних екстремальних задач. Цей метод базується на більш глибокому вивченні природи коефіцієнтів методу поділяючого перетворення.

4. Введено нові класи відкритих множин, що задовольняють певні умови ненакладання. Для класів таких множин за допомогою методу "керуючих" функціоналів отримано результати, які істотно узагальнюють раніше відомі результати.

Практичне значення одержаних результатів. 1. Результати розділу 5 були включені в монографію "Univalent functions" американського математика P.L. Duren в 1983 р.

2. На основі узагальнення цих результатів P.L. Duren в 1983 р. сформулював гіпотезу № 6.87 в збірнику відкритих проблем K.F. Barth, D.A. Brannan and W.K. Hayman "Research problems in complex analysis", відому нині як гіпотеза Дюрена. По теперішній день ця проблема відкрита.

3. Дисертація носить теоретичний характер. Отримані результати можуть знайти застосування в геометричній теорії функцій комплексної змінної і в голоморфній динаміці.

Особистий внесок здобувача. Всі результати, які виносяться на захист, отримано здобувачем самостійно.

Апробація результатів дисертації. Результати дисертації доповідались на: Міжнародній конференції, присвяченій сторіччю від дня народження академіка М.А. Лаврентьєва (Київ, 2000); Українському математичному Конгресі (Київ, 2001); Міжнародній конференції з комплексного аналізу та теорії потенціалу (Київ, 2001); Міжнародній конференції із сучасних проблем теорії функцій та її застосувань (Саратов, Росія, 2002, 2004); Міжнародній конференції з диференціальних рівнянь і динамічних систем (Суздаль, Росія, 2002, 2004, 2006); Міжнародній школі "Потенціальні течії й комплексний аналіз" (Київ, 2002); Міжнародній конференції з геометричної теорії функцій (Галле, Німеччина, 2002); Міжнародній конференції з геометричного аналізу та його застосувань (Волгоград, Росія, 2004); Міжнародній конференції з комплексного аналізу та його застосувань, присвяченої пам'яті професора І.П. Мітюка (Краснодар, Росія, 2005); Міжнародній конференції з течій із вільною границею та суміжним питанням аналізу (Київ, 2005); Міжнародній конференції з теорії функцій комплексної змінної, присвяченої 100-річчю Г.М. Голузіна (Петрозаводськ, Росія, 2006).

Крім того, результати дисертації були предметом доповідей на київському міському семінарі з теорії функцій (керівники - академік НАН України М.П. Корнійчук і член-кор. НАН України О.І. Степанець, 1997), на семінарі з комплексного аналізу Математичного інституту РАН ім. В.А. Стєклова (керівники - академік РАН А.О. Гончар, член-кор. РАН Є.М. Чирка, 2004); в Інституті математики НАН України на семінарах відділу комплексного аналізу та теорії потенціалу (керівники - член-кор. НАН України П.М. Тамразов, Ю.Б. Зелінський, 1987 - 2006), на семінарі з нелінійного аналізу (керівник - академік НАН України І.В. Скрипник, 2005), на семінарі відділу звичайних диференціальних рівнянь і теорії нелінійних коливань (керівник - академік НАН України А.М. Самойленко, 2005, 2006), на семінарі відділу теорії функцій (керівник - член-кор. НАН України О.І. Степанець, 2006).

Публікації. Основні результати дисертації опубліковано у статтях [1] - [24] в фахових наукових виданнях. Частково вони також висвітлені в роботах [25] - [28].

Структура та об'єм дисертації. Дисертація складається із вступу, п'яти розділів, загальних висновків і списку використаної літератури. Загальний об'єм дисертації - 294 сторінок машинописного тексту, об'єм основної частини - 267 сторінок машинописного тексту.

Подяки. Висловлюю щиру подяку моєму учителю і науковому консультанту члену-кореспонденту НАН України, професору П.М. Тамразову за увагу до роботи, корисні поради і зауваження.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обґрунтовано актуальність теми дисертації, сформульовано мету дослідження, коротко викладено зміст основної частини роботи та показано наукову новизну одержаних результатів.

В першому розділі дається огляд наукових праць, проблематика яких тісно пов'язана із дослідженнями, які містяться в дисертаційній роботі. Обґрунтовано напрямки досліджень і показано місце результатів автора серед результатів попередників.

Другий розділ дисертації присвячено розв'язанню екстремальних задач для (n,m)-променевих систем точок.

Нехай N, R - множини натуральних (цілих додатних) і дійсних чисел, відповідно, - одноточкова компактифікація комплексної площини C, , , cap E позначає логарифмічну ємність множини E, . Якщо B - довільна область в , для якої існує (узагальнена) функція Гріна (, ), - скінченна точка області B, то справедлива асимптотична формула , . Величину називають внутрішнім радіусом області B відносно точки і позначають . Для областей гіперболічного типу внутрішній радіус співпадає з конформним. У випадку нескінченно віддаленої точки виконується співвідношення , , де г - стала Робена області B. В нашій роботі будемо дотримуватись означення внутрішнього радіусу області в нескінченно віддаленій точці, запропонованого В.М. Дубініним: . Це означення відрізняється від раніше відомого, але, на нашу думку, є більш зручним для використання.

Нагадаємо тепер означення квадратичного диференціалу - одного із основних в даній роботі. Нехай Ш - орієнтовна ріманова поверхня (відкрита або замкнена). Будемо говорити, що на Ш заданий квадратичний диференціал, якщо кожному локальному параметру z поверхні Ш співставлена функція Q(z), мероморфна у відповідному околі, і така, що задовольняє таку умову: якщо - другий локальний параметр для Ш і - така ж функція для , причому околи, які відповідають параметрам z і , перетинаються, то в загальних точках цих околів має місце рівність . Квадратичні диференціали будемо позначати символом . Область називається круговою областю квадратичного диференціалу , якщо а) будь-яка траєкторія диференціалу , що перетинається з областю G, повністю належить G; б) G містить єдиний подвійний полюс a диференціалу ; в) область G\{a} заповнена траєкторіями диференціалу , кожна з яких є жордановою кривою, яка відокремлює точку a від границі області G; г) при певному виборі чисто уявної сталої c функція , доозначена рівністю w(a)=0, конформно відображає область G на круг |w|<r; д) G - максимальна (по включенню) область, що задовольняє умови а) - г). Вперше квадратичні диференціали з'явилися при вивченні екстремальних задач в роботах М.А. Лаврентьєва, Г. Грьотша, М. Шиффера. Фундаментальна роль квадратичних диференціалів як універсального засобу для розв'язання екстремальних задач геометричної теорії функцій була вперше відмічена О. Тейхмюллером, який сформулював в 1939 р. принцип, за яким розв'язок кожної такої задачі пов'язаний з деяким квадратичним диференціалом. Цей принцип знайшов своє обґрунтування у вигляді так званої "загальної теореми про коефіцієнти", сформульованої і доведеної пізніше Дж. Дженкінсом. В роботах П.М. Тамразова метод квадратичних диференціалів і його застосування отримали значний розвиток. Зокрема, ним отримано істотні доповнення до вищевказаної теореми Дж. Дженкінса.

Нехай . Систему точок , назвемо (n,m)-променевою, якщо при всіх і виконуються співвідношення: ; ; . (n,1)-Променеву систему точок будемо називати n-променевою і позначимо , , . Для (n,m)-променевої системи точок розглянемо величини , , , , які будемо називати кутовими параметрами системи . Якщо , , то таку систему точок будемо називати рівнопроменевою. Для будь-якої (n,m)-променевої системи точок визначимо області

і розглянемо наступний "керуючий" функціонал

.

Якщо - довільний набір із n різних точок одиничного кола U, то складається із об'єднання n дуг, які не перетинаються, з довжинами , , відповідно, (), тоді . При позначимо через ту вітку багатозначної аналітичної функції , яка однолисто і конформно відображає області на півплощину Re z>0. Тоді функція однолисто і конформно відображає область на одиничний круг. Позначимо , (, ). Нехай при всіх

Нехай - довільна відкрита множина і . Тоді D(a) - зв'язна компонента D, яка містить a. Для довільної (n,m)-променевої системи позначимо через зв'язну компоненту множини , що містить точку (, , ). Далі, (відповідно ) - зв'язна компонента множини (відповідно ), яка містить точку w=0 (відповідно w=?). На множині пар цілочисельних індексів (k,p) означимо рівність таким чином: (k,p)=(q,s) - k=q i p=s. Будемо говорити, що відкрита множина (, ) задовольняє першу (відповідно другу, третю) умову ненакладання відносно заданої (n,m)-променевої системи точок, якщо при кожному фіксованому і для всіх різних і , які належать , виконується (і, крім того, відповідно ,

Будемо вважати, що r(D,a):=r(D(a),a),

Нехай - система взаємно неперетинних областей. При кожному лише скінченна кількість компонент зв'язності множини можуть містити в собі яку-небудь із областей , , ; такі компоненти ми називаємо істотними. Область, отриману виключенням із всіх суттєвих компонент зв'язності множини , будемо позначати . Очевидно, що при всіх , і - система скінченнозв'язних взаємно неперетинних областей без ізольованих граничних точок. Перехід від системи областей до системи областей називається операцією заповнення неістотних граничних компонент.

В позначеннях, що прийнято, сформулюємо основні результати другого розділу дисертації.

Теорема 2.1.1. Нехай фіксовані , і n ? 3. Тоді, для будь-якої (n,m)-променевої системи точок і для довільної системи взаємно неперетинних областей , (, ), справедлива нерівність

Знак рівності в ній досягається тоді і тільки тоді, коли точки і області є, відповідно, полюсами і круговими областями квадратичного диференціала

(1)

і (, ).

В п. 2.1.4 отримано узагальнення теореми 2.1.1 на випадок деяких класів відкритих множин.

Теорема 2.1.3. Нехай , , n ? 2. Тоді для будь-якої (n,m)-променевої системи точок , , , і для довільної відкритої множини D, , яка задовольняє першу умову ненакладання відносно системи , справедлива нерівність

Знак рівності тут досягається, коли точки і множина D є, відповідно, полюсами і об'єднанням всіх кругових областей квадратичного диференціалу (1).

Теорема 2.2.1. Нехай , , n ? 2. Тоді для будь-якої (n,m)-рівнопроменевої системи точок і для довільного набору взаємно неперетинних областей , , , (, ) справедлива нерівність

Знак рівності в ній досягається тоді і лише тоді, коли 0, і , , є, відповідно, полюсами і круговими областями квадратичного диференціалу

Теорема 2.3.1. Нехай , , n ? 2. Тоді для будь-якої (n,m)-рівнопроменевої системи точок і для довільного набору взаємно неперетинних областей , , , , , (, ), справедлива нерівність

Знак рівності в ній досягається тоді і лише тоді, коли точки 0, , ? і , , , є, відповідно, полюсами і круговими областями квадратичного диференціалу

В п.п. 2.2.2 і 2.3.2 отримано теореми 2.2.2 і 2.3.2, які є узагальненням відповідно теорем 2.2.1 і 2.3.1 на випадок областей, які, взагалі кажучи, не утворюють систему неперетинних областей. Ці теореми сформульовано в термінах відкритої множини D, що задовольняє відповідно другу та третю умову ненакладання відносно (n,m)-променевої системи точок .

Для доведення вказаних вище теорем розроблено метод "керуючих" функціоналів, за допомогою якого отримано необхідні нерівності. Обчислення "керуючих" функціоналів проводиться на базі методу кусково-поділяючого перетворення з урахуванням більш глибокого вивчення його коефіцієнтів.

З теорем 2.1.1 - 2.3.2 випливає велика кількість наслідків, які узагальнюють та посилюють низку раніше відомих результатів. Зокрема, у порівнянні з попередніми результатами вдалося істотно послабити вимогу до геометрії взаємного розташування вільних полюсів. Наведемо деякі наслідки з теорем 2.1.1 - 2.3.2.

Наслідок 2.1.5. Нехай фіксовані , і n ? 3. Тоді для будь-якої (n,m)-променевої системи точок і для довільної системи взаємно неперетинних областей , (, ) справедлива нерівність

Знак рівності тут досягається тоді і лише тоді, коли точки і області є, відповідно, полюсами та круговими областями квадратичного диференціалу (1) і (, ).

Наслідок 2.1.17. Нехай , n ? 3. Тоді для будь-якої n-променевої системи точок такої, що , і для довільної відкритої множини D, , що задовольняє першу умову ненакладання відносно системи , виконується нерівність

знак рівності в ній досягається тоді, коли і D є, відповідно, полюсами та об'єднанням кругових областей квадратичного диференціалу

Якщо , , , - система неперетинних областей, то , і, враховуючи нерівність Коші, з наслідку 2.1.17 отримаємо нерівність В.М. Дубініна . Ця нерівність випливає також з наслідку 2.1.5.

Наслідок 2.1.19. Нехай , n ? 3, . Тоді для будь-якої (n,m)-променевої системи точок , (, ), і для довільної системи попарно неперетинних областей , справедлива нерівність

Знак рівності в ній досягається тоді і лише тоді, коли точки і області (, ) належать і є, відповідно, полюсами і круговими областями квадратичного диференціалу

і (, ).

Основні результати третього розділу присвячено екстремальним задачам з вільними полюсами на колі і сформульовані в теоремах 3.1.1 і 3.2.2.

Теорема 3.1.1. Які б не були точки , , , і попарно неперетинні области , , , такі, що і , , має місце нерівність

де точки і області є, відповідно, полюсами і круговими областями квадратичного диференціалу

Знак рівності тут досягається в тому і лише в тому випадку, коли та існує таке дробово-лінійне відображення S, що є автоморфізмом одиничного кругу U, що і .

Теорема 3.2.2. Нехай , n ? 3, . Для довільної 2n-променевої системи точок , що розташована на колі, і для будь-якої системи попарно неперетинних областей , (), справедлива нерівність

де є об'єднанням всіх кругових областей квадратичного диференціалу

Знак рівності в ній досягається тоді і лише тоді, коли і є, відповідно, полюсами і круговими областями квадратичного диференціалу

і , .

Теорема 3.2.2 містить в собі нерівність

яка була встановлена Г.В. Кузьміною у випадку однозв'язності областей , .

В доведенні теореми 3.2.2 використовується теорема 3.2.1, яку, в свою чергу, вдалося довести завдяки оригінальному прийому Л.В. Ковальова.

Четвертий розділ присвячено вивченню екстремальних задач для (n,m)-променевих систем точок при m=1, 2. В цьому випадку виявилось, що метод "керуючих" функціоналів дає можливість отримати більш загальні результати. В цьому розділі при m=1 розглядаються "керуючі" функціонали вигляду

а при m=2 -

У наступній теоремі встановлено більш загальний результат у порівнянні із наслідком 2.1.17.

Теорема 4.1.1. Нехай , n ? 3. Тоді, для будь-якої n-променевої системи точок і для довільної системи взаємно неперетинних областей , , справедлива нерівність

знак рівності тут реалізується тоді і лише тоді, коли і є, відповідно, полюсами і круговими областями квадратичного диференціалу

з , і .

В теоремі 4.1.2 отримано узагальнення теореми 4.1.1 на випадок областей, які, взагалі кажучи, не утворюють систему неперетинних областей. Цю теорему сформульовано в термінах відкритої множини D, що задовільняє першу умову ненакладання відносно n-променевої системи точок .

В п. 4.1.4 вивчаються екстремальні задачі для (n,2)-променевих систем точок. Тут отримано посилення й узагальнення відомого результата Є.Г. Ємельянова. Основним результатом п. 4.1.4 є наступна теорема.

Теорема 4.1.4. Нехай , n ? 3. Тоді, для будь-якої (n,2)-променевої системи точок такої, що , і для довільної системи попарно неперетинних областей , , справедлива нерівність

Знак рівності тут досягається тоді і лише тоді, коли і є, відповідно, полюсами і круговими областями квадратичного диференціалу

і (, ).

Система чисел однозначно визначається заданою системою точок , , наступним чином: при кожному існує єдиний конформний автоморфізм комплексної площини w=T(z) такий, що , , , , , де функції і величини () наведено вище. Таким чином, в теоремі 4.1.4 система точок підпорядкована двом "керуючим" функціоналам і .

Щоб сформулювати наслідки цієї теореми для n-променевої системи точок і позначимо .

Аналогічно для довільної (n,2)-променевої системи точок такої, що , , , позначимо , де (, ) і , (, ).

Наслідок 4.1.17. Нехай n ? 3, , , л<R. Тоді, для будь-якої (n,2)-променевої системи точок такої, що , , , і для довільної системи попарно неперетинних областей , , має місце нерівність

знак рівності в ній досягається тоді і лише тоді, коли і є, відповідно, полюсами і круговыми областями квадратичного диференціалу

(2)

і (, ).

Наслідок 4.1.18. Нехай n ? 3, , , л<R. Тоді, для будь-якої n-променевої системи точок і для довільної системи попарно неперетинних областей таких, що , і , справедлива нерівність

знак рівності в ній досягається тоді і лише тоді, коли і є належними до , відповідно, полюсами і круговими областями квадратичного диференціалу (2) і ().

Наслідки 4.1.17 і 4.1.18 узагальнюють відомі результати Є.Г. Ємельянова і В.М. Дубініна, які розглядали випадок променевих систем, розташованих, відповідно, на двох і на одному колі.

В другому підрозділі четвертого розділу розглядаються рівнопроменеві системи точок.

Теорема 4.2.1. Нехай , n ? 3, , . Тоді, для будь-якої n-рівнопроменевої системи точок і для довільної системи взаємно неперетинних областей , (), , справедлива нерівність

де і - полюси і відповідні їм кругові області квадратичного диференціалу

Знак рівності тут досягається тоді і лише тоді, коли , , і ().

В теоремі 4.2.2 отримано узагальнення теореми 4.2.1 на випадок відкритої множини , що задовільняє другу умову ненакладання відносно -рівнопроменевої системи точок .

З теореми 4.2.2 випливає наступне твердження.

Наслідок 4.2.3. Нехай n ? 2, . Тоді, для будь-якої n-рівнопроменевої системи точок і для довільної відкритої множини B, , яка задовольняє другій умові ненакладання, виконується нерівність

Знак рівності досягається для і , які вказані в теоремі 4.2.1.

В п. 4.2.3 розглядаються задачі другого типу для довільних -променевих систем точок.

Теорема 4.2.3. Для довільного існує таке , що при кожному n?n0(г), виконується нерівність

(3)

для будь-якої системи точок , , , , і для довільної системи попарно неперетинних областей , , (). Знак рівності тут досягається тоді і лише тоді, коли , , , де і є, відповідно, полюсами і круговими областями квадратичного диференціалу

(4)

і .

Теорема 4.2.3 є просуванням у розв'язку відомої задачі В.М. Дубініна. Запропонований метод дослідження дає можливість отримати більш загальний результат.

Теорема 4.2.4. Для довільних існує номер такий, що при кожному n?n(г,в), , справедлива нерівність (3), де - будь-яка n-променева система точок така, що , і , - довільна система попарно неперетинних областей, , , , а , () - відповідно кругові області і полюси квадратичного диференціалу (4).

В підрозділі 4.3 встановлено наступний результат.

Теорема 4.3.1. Нехай , . Тоді для будь-якої n-рівнопроменевої системи точок такої, що , і для довільної відкритої множини D, , яка задовольняє третю умову ненакладання, справедлива нерівність

Рівність тут досягається для і , де - кругові області, а - полюси квадратичного диференціалу

і , , .

П'ятий розділ присвячено вивченню властивостей коефіцієнтів однолистих функцій. Зокрема, вивчаються властивості коефіцієнтів голоморфних функцій, які задовольняють систему двох функціонально-диференціальних рівнянь.

На множині всіх функцій w=f(z), регулярних в точці z=0. По аналогії з роботами А. Шеффера і Д. Спенсера, -рівнянням, що асоційоване з функцією , , називається рівняння вигляду

в якому , , , , , n?3, . Одним із основних результатів розділу є наступна теорема.

Теорема 5.1.1 Нехай , 3?n<m, і функція регулярна в , причому , , . Тоді, якщо w=f(z) одночасно задовольняє D_n- і D_m-рівняння, асоційованими з f(z), то виконуються співвідношення: а) ; б) для кожного

при с=1

В роботах [2] - [4] було отримано результат, який є наслідком теореми 5.1.1. Цей результат в 1983 році був опублікований в монографії американського математика P.L."Univalent functions". В другому підрозділі п'ятого розділу для частинного випадку скінченних лінійних функціоналів доведена відома гіпотеза Дюрена. Далі, для коефіцієнтів функцій класу Гельфера отримано аналогічні результати. В четвертому підрозділі п'ятого розділу розглядаються інші екстремальні задачі, які пов'язані з конформно-метричними властивостями багатозв'язних областей. Наведемо результат, що дає розв'язок узагальненої задачі Фекете.

Теорема 5.4.2. Нехай - рівнопроменева система точок, . Тоді для кожного компакту , , такого, що кожна його зв'язна компонента, яка містить точку , перетинається із границею області , , справедлива нерівність

Знак рівності в ній досягається для континуума, що складається із n рівних між собою прямолінійних відрізків, які з'єднують початок координат з точками , .

ВИСНОВКИ

Дисертаційна робота присвячена розробці нових методів дослідження екстремальних задач геометричної теорії функцій комплексної змінної.

На основі поділяючого перетворення побудовано метод розв'язання екстремальних задач - метод "керуючих" функціоналів. За його допомогою розв'язано нові достатньо загальні екстремальні задачі. Цей метод відіграє важливу роль в другому і четвертому розділах.

Введено поняття (n,m)-променевих систем точок, кутових параметрів та коефіцієнтів зміщення цих систем, що дало змогу розширити класи екстремальних задач, для яких отримано повний розв'язок.

В третьому розділі запропоновано метод розв'язання екстремальних задач з вільними полюсами, який засновано на комбінованому застосуванні варіаційного методу, методу квадратичних диференціалів, методу симетризації та теорії потенціалу. За допомогою цього методу доведено, наприклад, теорему 3.1.1. Розроблено новий метод розв'язання екстремальних задач, який створено на основі леми 2.1.2 і теореми 4.1.1. Саме завдяки цьому методу вдалося довести теореми 4.2.3 і 4.2.4, що є прикладом використання результатів дисертації в геометричній теорії функцій комплексної змінної.

За допомогою запропонованих методів отримано результати, які певним чином враховують відхилення неекстремальної системи від екстремальної.

У порівнянні з відомими результатами В.М. Дубініна, Г.В.Кузьміної, Є.Г. Ємельянова істотно послаблені вимоги до геометрії розташування вільних полюсів квадратичних диференціалів, асоційованих з екстремальними задачами, які вивчаються.

Досліджено властивості голоморфних функцій, які задовольняють систему двох функціонально-диференціальних D_n- і D_m – рівнянь. Дано розв'язок відомої гіпотези Дюрена в частинному випадку скінеченних лінійних функціоналів. Один із результатів автора у цьому напрямку було опубліковано в монографії американського математика P.L.'a "Univalent functions". В 1984 році P.L. Duren запропонував гіпотезу (гіпотеза Дюрена), яка безпосередньо узагальнює цей результат. В загальному випадку ця гіпотеза залишається відкритою.

Отримано узагальнення відомої задачі Фекете про континуум найменшої ємності, який містить в собі задану рівнопроменеву систему точок.

Список опублікованих праць за темою дисертації

[1] Бахтин А.К. О некоторых свойствах коэффициентов однолистных функций //Теория функций и ее приложения: Сб. науч. трудов. - Киев: Наук. Думка, 1979. - С. 3 - 8.

[2] Бахтин А.К. О коэффициентах однолистных функций //Вопросы теории аппроксимации функций: Сб. науч. трудов. - Киев: Наук. Думка, 1980. - С. 3 - 14.

[3] Бахтин А.К. О коэффициентах функций класса S //Докл. АН СССР, серия мат. - 1980. - 254, № 5. - С. 1033 - 1035.

[4] Бахтин А.К. Некоторые свойства функций класса S //Укр. мат. журн. - 1981. - 33, № 2. - С. 154 - 159.

[5] Бахтин А.К. Функции класса Гельфера и их коэффициенты //Геометрическая теория функций и топология: Сб. науч. трудов. - Киев: Наук. Думка, 1981. - С. 3 - 8.

[6] Бахтин А.К. О коэффициентах однолистных функций класса Гельфера //Укр. мат. журн. - 1985. - 37, № 6. - С. 683 - 689.

[7] Бахтин А.К. Некоторые экстремальные задачи для многосвязных областей //Вопросы анализа и приближения: Сб. науч. трудов. - Киев: Наук. Думка, 1989. - С. 19 - 23.

[8] Бахтин А.К. Экстремальные задачи конформного отображения многосвязных областей //Современные вопросы теории приближения и комплексного анализа: Сб. науч. трудов. - Киев: Наук. Думка, 1990. - С. 12 - 17.

[9] Бахтин А.К. Об одной экстремальной задаче //Комплексный анализ и теория потенциала: Сб. науч. трудов. - Киев: Наук. Думка, 1992. - С. 12 - 18.

[10] Бахтин А.К. Об n-ых диаметрах континуумов //Укр. мат. журн. - 1994. - 46, № 11. - С. 1561 - 1563.

[11] Бахтин А.К. О произведении внутренних радиусов симметричных неналегающих областей //Укр. мат. журн. - 1997. - 49, № 11. - С. 1454 - 1464.

[12] Бахтин А.К. Некоторые задачи в теории неналегающих областей //Укр. мат. журн. - 1999. - 51, № 6. - С. 723 - 731.

[13] Бахтин А.К. Экстремальные задачи о неналегающих областях со свободными полюсами на окружности //Доп. НАН України. - 2004. - № 8. - С. 7 - 15.

[14] Бахтин А.К. Кусочно-разделяющее преобразование и экстремальные задачи со свободными полюсами на лучах //Доп. НАН України. - 2004. - № 12. - С. 7 - 13.

[15] Бахтин А.К. Экстремальные задачи о неналегающих областях со свободными полюсами на лучевых системах //Комплексний аналіз і течії з вільними границями: Зб. праць Ін-ту мат. НАН України. - 2004. - 1, № 3. - С. 235 - 243.

[16] Бахтин А.К. Экстремальные задачи со свободными полюсами на окружности //Доп. НАН України. - 2005. - № 5. - С. 7 - 10.

[17] Бахтин А.К. Оценки функционалов для открытых множеств // Нелінійні коливання. - 2005. - 8, № 2. - С. 147 - 153.

[18] Бахтин А.К. Экстремальные задачи о неналегающих областях со свободными полюсами на двух окружностях //Доп. НАН України. - 2005. - № 7. - С. 12 - 16.

[19] Бахтин А.К. Кусочно-разделяющее преобразование и экстремальные задачи со свободными полюсами //Доклады РАН. - 2005. - 405, № 2. - С. 151 - 153.

[20] Бахтин А.К. Разделяющее преобразование и неравенства в задачах о неналегающих областях //Проблеми аналізу і алгебри: Зб. праць Ін-ту мат. НАН України. - 2005. - 2, № 3. - С. 9 - 17.

[21] Бахтин А.К. Приведенные модули открытых множеств и экстремальные задачи со свободными полюсами //Доп. НАН України. - 2006. - № 5. - С. 7 - 13.

[22] Бахтин А.К. Экстремальные задачи о неналегающих областях со свободными полюсами на окружности //Укр. мат. журн. - 2006. - 58, № 7. - С. 867 - 886.

[23] Бахтин А.К. О некоторых экстремальных задачах геометрической теории функций комплексного переменного //Доп. НАН України. - 2006. - № 9. - С. 7 - 11.

[24] Бахтин А.К. Неравенства для внутренних радиусов неналегающих областей и открытых множеств //Доп. НАН України. - 2006. - № 10. - С. 7 - 13.

[25] Бахтин А.К. Экстремумы линейных функционалов. - Киев, 1986. - 8 с. - (Препр./ НАН Украины. Ин-т математики; 86.25).

[26] Бахтин А.К. О некоторых задачах в теории неналегающих областей //Int. Conf. Complex Analysis and Potential Theory: Abstrs. - Kiev: Inst. Math. NAS Ukraine. - 2001. - P. 64.

[27] Бахтин А.К., Бахтина Г.П. Об экстремальных задачах для симметричных неналегающих областей //Укр. мат. журн. - 1997. - 49, № 2. - С. 179 - 185.

[28] Бахтин А.К., Бахтина Г.П. Экстремальные задачи о неналегающих областях и квадратичные дифференциалы //Доп. НАН України. - 2005. - № 8. - С. 13 - 15.

АНОТАЦІЇ

Бахтін О.К. Екстремальні задачі і квадратичні диференціали в геометричній теорії функцій комплексної змінної. - Рукопис. - Дисертація на здобуття наукового ступеня доктора фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.01 - математичний аналіз. Інститут математики НАН України, Київ, 2007.

Дисертаційна робота присвячена розробці нових методів дослідження екстремальних задач геометричної теорії функцій комплексної змінної. Для дослідження екстремальних задач, пов'язаних з отриманням точних оцінок зверху функціоналів на класах неперетинних областей або відкритих множин, розроблено метод "керуючих" функціоналів. Введено поняття променевих систем точок, що дає змогу розширити класи екстремальних задач, для яких отримано повний розв'язок. Важливим досягненням роботи є істотне послаблення вимог щодо геометрії взаємного розташування вільних полюсів квадратичних диференціалів, які відповідають задачам, що вивчаються. Значно узагальнені та посилені класичні результати В.М. Дубініна, Г.В. Кузьміної, Є.Г. Ємельянова. Досліджено властивості голоморфних функцій, які задовольняють систему двох функціонально-диференціальних рівнянь. Отримано розв'язок відомої гіпотези Дюрена для частинного випадку скінченних лінійних функціоналів. Отримано розв'язок узагальненої задачі Фекете.

Ключові слова: однолисті функції, квадратичні диференціали, внутрішній радіус області, функція Гріна, логарифмічна ємність, екстремальні задачі на класах голоморфних функцій, променеві системи точок, варiацiйнi методи.

Бахтин А.К. Экстремальные задачи и квадратичные дифференциалы в геометрической теории функций комплексного переменного. - Рукопись. - Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук по специальности 01.01.01 - математический анализ. Институт математики НАН Украины, Киев, 2007.

Диссертационная работа посвящена разработке новых методов решения экстремальных задач геометрической теории функций комплексного переменного. Основным объектом исследования являются экстремальные задачи со свободными полюсами, то есть задачи о неналегающих областях, которым соответствуют квадратичные дифференциалы, полюсы которых не фиксированы. Первые экстремальные задачи о неналегающих областях со свободными полюсами были сформулированы и частично решены в работах Г.П. Бахтиной в 1974 - 75 гг. В дальнейшем, интерес к задачам о неналегающих областях со свободными полюсами значительно возрос, так как В.Н. Дубинину удалось решить некоторые классы подобных задач с помощью разработанного им метода кусочно-разделяющего преобразования. Заметим, что один из результатов В.Н. Дубинина нашел интересное применение в голоморфной динамике. На основе метода кусочно-разделяющего преобразования разработан метод "управляющих" функционалов - это новый метод исследования экстремальных задач геометрической теории функций комплексной переменной, связанных с получением точных оценок сверху некоторых функционалов, заданных на классах неналегающих областей или открытых множеств. В данной работе введено понятие (n,m)-лучевых систем точек на плоскости комплексных чисел, где n, m - натуральные числа, характеризующие данные системы точек, позволившее существенно расширить классы экстремальных задач, для которых получено полное решение. Для (n,m)-лучевых систем точек рассмотрены три типа задач о получении точных оценок сверху вышеуказанных функционалов. Эти три типа задач обобщают задачи со свободными полюсами, которые наиболее часто встречающихся в работах других авторов. Важным достижением работы является существенное ослабление требований к геометрии взаимного расположения свободных полюсов квадратичных дифференциалов, соответствующих изучаемым задачам. А именно, допустимые системы свободных полюсов должны образовывать лучевые системы точек, для которых соответствующий "управляющий" функционал принимает заданное значение. Такие допустимые системы, вообще говоря, не расположены на концентрических окружностях, в то время, как все лучевые системы точек, расположенные на концентрических окружностях, являются, вообще говоря, допустимыми. Этим достигается значительное обобщение ранее известных результатов. В работе введены классы открытых множеств, на которые удалось обобщить соответствующие результаты, полученные для неналегающих областей. Причем и в этом случае важную роль играют лучевые системы точек и "управляющие" функционалы. Кроме того, предложенный метод исследования позволяет получать оценки вышеуказаных функционалов, определенным образом учитывающие отклонение произвольной системы неналегающих областей от экстремальной системы. Такие улучшенные оценки удается получить, в частности, благодаря введенным в работе угловым параметрам и коэффициентам смещения лучевых систем. Кроме того, в случае (n,m)-лучевых систем точек при m=1, 2 удается значительно улучшить результаты, вытекающие из общих теорем 2.1.1 и 2.1.3. Развитие этого подхода при m=1 позволяет получить существенное продвижение в решении одной известной задачи В.Н. Дубинина. Для экстремальных задач со свободными полюсами на окружности в третьей главе диссертации предложен новый метод исследования, основанный на комбинации вариационного метода, а также методов симметризации, квадратичных дифференциалов и теории потенциала. На этом пути также удалось значительно обобщить и усилить известные результаты Г.В. Кузьминой, В.Н. Дубинина, Е.Г. Емельянова. Исследованы свойства голоморфных функций, удовлетворяющих системе двух функционально-дифференциальных уравнений. Получено решение известной гипотезы Дюрена для частного случая конечных линейных функционалов. Получено решение обобщенной задачи Фекете про континуум наименьшей