Київський національний університет імені Тараса Шевченка

Бублик Сергій Борисович

УДК 517.977

Моделювання та оптимізація

лінійних дискретних систем керування з крайовими умовами

01.05.02 – математичне моделювання та обчислювальні методи

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Київ – 2007

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана на кафедрі моделювання складних систем факультету кібернетики Київського національного університету імені Тараса Шевченка

Науковий керівник: доктор фізико-математичних наук, професор

Кириченко Микола Федорович,

Інститут кібернетики імені В.М. Глушкова НАН України, провідний науковий співробітник відділу інтелектуальних систем керування динамічними системами.

Офіційні опоненти:

доктор фізико-математичних наук, професор

Грищенко Олександр Юхимович,

Київський національний університет імені Тараса Шевченка, факультет кібернетики, професор кафедри обчислювальної математики;

кандидат технічних наук, доцент

Жиров Олександр Леонідович,

Національний технічний університет України “КПІ”, факультет менеджменту та маркетингу, доцент кафедри математичного моделювання економічних систем.

Провідна установа:

Інститут космічних досліджень НАН України та НКА України, відділ системного аналізу та керування, м. Київ.

Захист відбудеться “  ” березня 2007 р. о 1400 на засіданні спеціалізованої вченої ради Д .001.35 Київського національного університету імені Тараса Шевченка за адресою:

03680, Київ, пр. Академіка Глушкова 2, корп.6, ф-т кібернетики, ауд. 40.

З дисертацією можна ознайомитися у Науковій бібліотеці Київського національного університету імені Тараса Шевченка за адресою:

01033, Київ, вул. Володимирська, 58.

Автореферат розісланий “26” лютого 2007 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради Д 26.001.35 П.М.Зінько

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Протягом останніх двох століть для найрізноманітніших галузей знань із використанням загальних законів природознавства та фундаментальних досліджень для конкретних наук отримано значну кількість математичних моделей, які описують явища в природі та різних суспільних процесах. У математичному плані – це інтегрально-диференціальні, диференціально-функціональні, дискретно-імпульсні системи, як лінійні так і нелінійні. Лінійні моделі досліджені значно більше. Сучасні задачі математичного дослідження лінійних систем досить часто інтерпретуються як задачі спостереження та керування, ідентифікації і побудови адаптивних регуляторів, створення асоціативної пам’яті і навчання нейрокомп’ютерів, розпізнавання образів та рекурсивного регресійного прогнозу процесів і мають актуальне значення в практичному використанні. Це обумовлює вдосконалення математичного апарату, що використовується для розв’язування таких задач, врахування їх значних розмірностей, теоретичного обґрунтування існування, єдиності та ефективності обраного алгоритму побудови розв’язку.

Протягом останніх десятиліть нові наукові досягнення при дослідженні дискретних динамічних моделей та статичних лінійних моделей пов’язані з розвитком теорії псевдообернених та проекційних операторів. Основні результати цієї теорії опубліковані в роботах Е. Мура, Р.Пенроуза, Т. Гревіля. Теоретичні дослідження псевдообернених матриць, методи їх обчислення, побудова псевдорозв'язків та їх різноманітні застосування висвітлені в роботах А. Алберта, А. Бен-Ізраіля, Т. Гревіля, Ф.Р. Гантмахера.

Нові результати, які відносяться до проблеми побудови псевдообернених матриць при збуренні елементів або зміни самої їх структури, оптимального синтезу структур лінійних систем, отримані М.Ф. Кириченком.

Майже півстоліття математики ефективно використовують чисельні методи для того, щоб компенсувати недостатність математичних знань для одержання аналітичних розв'язків багатьох складних і необхідних для практики задач. У той же час при застосуванні обчислювальних засобів часто стикаються з досить непростою проблемою відповідності неперервної моделі дискретному реальному явищу. В значній мірі це стосується і стану справ з класичною крайовою задачею для системи лінійних звичайних диференціальних рівнянь. Згадана класична крайова задача наближено розв'язується багатьма чисельними методами з застосуванням алгоритмів, які в тому чи іншому варіанті використовують дискретизацію аргументу, тобто будується послідовність систем лінійних алгебраїчних рекурентних співвідношень. Поряд з цими міркуваннями слід мати на увазі існування актуальних задач аналізу систем керування, спостереження та прогнозування, а також надзвичайно широкого переліку інших прикладних задач техніки, економіки, де використовуються дискретні математичні моделі з умовами (обмеженнями) в кінцевих та проміжних точках інтервалу зміни дискретного аргументу.

Теорія дискретних процесів та їх оптимізація набула розвитку завдяки працям Р. Беллмана, Р. Калмана, М.М. Красовського, В.Г. Болтянського, Б.Т. Поляка, В.М. Кунцевича, М.М. Личака, М.Ф. Кириченка та інших вчених. Основні результати представлені в наукових виданнях А.І. Пропоя, А.А. Красовського, Б.М. Бублика, М.Ф. Кириченка та інших.

Вагомі наукові результати з керування динамічними процесами з використанням псевдообернених матриць, структурно параметричної оптимізації та мінімаксних операцій опубліковані в роботах М.Ф. Кириченка, Ф.Г. Гаращенка, О.Г. Наконечного. Питання математичного моделювання прямих та обернених задач динаміки систем із розподіленими параметрами засобами псевдообернення були розглянуті в монографії В.В. Скопецького, В.А. Стояна, Ю.Г. Кривоноса.

У працях А.М. Самойленка, М.О. Перестюка, В.М. Лаптинського, І.І. Ронто, О.А. Бойчука та інших вчених досліджені питання теорії диференціальних рівнянь з крайовими умовами та додатковими фазовими обмеженнями.

Однак важливі класи задач при аналізі дискретних керованих процесів, в яких досліджуються проблеми існування, єдиності та побудови розв'язку крайової задачі та пов'язані з ними питання побудови алгоритмів їх розв'язання, залишаються відкритими. Дана робота присвячена вивченню питань існування, єдиності, побудови повної множини розв'язків лінійних дискретних систем керування з крайовими умовами та фазовими обмеженнями, а також задачі синтезу таких систем із заданими властивостями.

Використання аналітичних критеріїв існування та єдиності розв'язків, самих розв'язків у формульному вигляді дозволяє моделювати системи з врахуванням невизначеності, неоднозначності параметрів моделі при розв'язуванні задач з різних предметних галузей, зокрема задач механіки, економіки. Тому тема дисертації є актуальною як з математичної, так і з прикладної точок зору.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертація виконана у відповідності до плану наукових досліджень кафедри моделювання складних систем факультету кібернетики Київського національного університету імені Тараса Шевченка в межах науково-дослідної теми ТЗ НДР №01БФ015-05 „Розробка структурованих математичних та програмних технологій для моделювання, аналізу, оцінки та оптимізації складних систем” (номер держ. реєстрації 0101U000968), наукових грантів №97508 „Розвиток конструктивної теорії моделювання та оптимального керування складних систем з неповними даними” та №97544 „Розробка проблемно-орієнтованих математичних і програмних засобів моделювання, аналізу та синтезу керованих фізико-математичних систем” Міністерства науки та технологій України з фундаментальних та прикладних досліджень.

Мета і задачі дослідження. Метою роботи є розробка критеріїв існування та єдиності розв’язків лінійних дискретних систем керування з крайовими умовами та фазовими обмеженнями, побудова повної множини розв'язків задач керування лінійними дискретними системами з крайовими умовами та фазовими обмеженнями, а також оптимальний синтез структур таких систем.

Поставлена мета зумовлює розв’язання таких основних задач: * 

побудувати повну множину розв'язків (псевдорозв'язків) дискретних лінійних систем керування з крайовими умовами;* 

сформулювати та довести теореми про необхідні і достатні умови існування та єдиності розв'язків лінійних дискретних систем керування з крайовими умовами та фазовими обмеженнями; * 

побудувати повну множину розв'язків (псевдорозв'язків) задачі керування лінійними системами з крайовими умовами;* 

розробити алгоритми оптимізації синтезу структури розподілу керувань в одновимірних крайових задачах.

Об'єктом дослідження є системи лінійних дискретних рівнянь з крайовими умовами та фазовими обмеженнями.

Предметом дослідження є необхідні і достатні умови існування та єдиності розв'язків лінійних дискретних систем керування з крайовими умовами та фазовими обмеженнями, повні множини розв'язків (псевдорозв'язків) задачі керування лінійними системами з крайовими умовами, алгоритми оптимізації синтезу структури розподілу керувань в одновимірних крайових задачах.

Методи дослідження. В даній роботі використано методи лінійної алгебри, теорії псевдообернених та проекційних матриць, оптимізації функцій.

Наукова новизна одержаних результатів полягає в тому, що в дисертаційній роботі вперше: * 

сформульовано та доведено теореми про необхідні і достатні умови існування та єдиності розв'язків лінійних дискретних систем керування з крайовими умовами та фазовими обмеженнями; * 

отримано повні множини аналітичних розв'язків (псевдорозв'язків) задачі керування лінійними системами з крайовими умовами та фазовими обмеженнями;* 

розроблено алгоритми оптимізації синтезу структури розподілу керувань в одновимірних крайових задачах згідно критеріїв оптимальності нев’язки розв’язку, кількості векторів керувань та норми головного розв’язку.

Практичне значення одержаних результатів. Результати дисертаційної роботи можуть бути використані для розв’язування задач техніки, економіки, систем керування, спостереження та прогнозування, для процесів, математична модель яких є дискретною моделлю з умовами (обмеженнями) в кінцевих та проміжних точках інтервалу зміни дискретного аргументу, задач оптимізації критеріїв якості на розв’язках дискретних динамічних систем, при дослідженні задач структурної оптимізації систем керування.

Достовірність і обґрунтованість отриманих у дисертаційній роботі теоретичних результатів і формулювань забезпечується коректним використанням сучасних засобів і методів у дослідженнях, коректністю постановок розглянутих задач, строгістю математичних викладок, доведенням теорем, математичним обґрунтуванням застосованих методів, порівнянням з вже відомими результатами.

Особистий внесок здобувача. Всі наукові результати дисертаційної роботи отримані автором особисто. В публікаціях [1, 4, 5, 6], що виконані зі співавторами, автор довів всі основні теореми, виконав необхідні розрахунки та сформулював висновки. В тезах виступів на конференціях [7–10] автор сформулював основні результати по темі виступів. Співавторам належать постановки задач та рекомендації щодо методів їх розв’язування.

Апробація результатів дисертації. Матеріали дисертаційної роботи доповідалися на наукових семінарах кафедри моделювання складних систем факультету кібернетики Київського національного університету імені Тараса Шевченка, а також на: * 

Міжнародній конференції „Dynamical systems modeling and stability investigation” (23–25 травня 2005 р., Київ); * 

Міжнародній науковій конференції „Питання оптимізації обчислень”

(ПОО-ХХ11), (13–15 вересня 2005 р., Кацевелі, Крим); * 

Міжнародній науковій конференції „Штучний інтелект”,

(20–25 вересня 2004 р., Кацевелі, Крим);* 

ій міжнародній конференції по автоматичному управлінню „Автоматика-2004” (27-30 вересня 2004 р., Київ).

Публікації. Основні положення дисертації висвітлено у 10 наукових працях, з яких 1 колективна монографія, 5 надруковано у наукових фахових виданнях, які затверджені ВАК України, 4 – у матеріалах українських та міжнародних наукових конференцій.

Структура та обсяг дисертації. Дисертаційна робота складається з вступу, трьох розділів, висновку та списку використаних джерел. Повний обсяг дисертаційної роботи складає 135 сторінок машинописного тексту. Основний текст викладений на 120 сторінках машинописного тексту. Перелік використаних джерел складається з 124 найменувань.

ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обґрунтовується актуальність обраної теми, визначається наукова новизна отриманих результатів та висвітлюється їх теоретична та практична цінність.

В розділі 1 дисертаційної роботи проведено огляд наукових результатів по застосуванню теорії псевдообернених операторів в задачах аналізу систем лінійних алгебраїчних рівнянь (підрозділ 1.1), описані алгоритми обчислення псевдообернених матриць (підрозділ 1.2), наведено загальний розв'язок задачі термінального керування для лінійних систем та деякі постановки задач синтезу системи по оптимізації її керованості (підрозділ .3). Проаналізовані розв'язки крайових задач для лінійних систем звичайних диференціальних рівнянь (підрозділ .4).

В розділі 2 розглядається задача керування лінійною дискретною системою з крайовими умовами. Зокрема, в підрозділі 2.1 сформульовано постановки задач аналізу множини розв'язків дискретних лінійних систем керування з крайовими умовами.

Розглядається динамічна система керування з дискретним аргументом, яка описується рівнянням

(1)

де – вектор фазового стану системи керування, , – відомі матриці, – невідомий вектор керування.

Фазовий стан системи керування (1) має обмеження на кінцях інтервалу зміни аргументу, а саме

(2)

(3)

тут – відомі матриці та вектори.

Задача полягає в знаходженні всієї множини розв'язків (псевдорозв'зків) задачі керування (1) – (3), згідно з постановкою якої потрібно знайти вектори керування , та вектори фазового стану системи керування , такі, щоб виконувались умови (2), (3) на кінцях інтервалу зміни аргументу. Поставлена задача, в силу специфіки системи рівнянь (1), не може бути розв'язаною без знання вектора початкового фазового стану системи . Крім цього, розв'язок може бути принципово різним. Тому розглядаються такі дві задачі.

Задача ( Задача аналітичного представлення керування в лінійних системах з крайовими умовами). Знайти в явному вигляді керування для лінійної дискретної системи з крайовими умовами, а саме знайти систему векторів та вектор початкового стану так, щоб після підстановки їх в співвідношення (1) одержати вектор кінцевого стану , який би забезпечив виконання умов (2), (3) на кінцях інтервалу зміни аргументу.

Задача (Задача параметричного представлення керування в лінійних системах з крайовими умовами). Знайти вектор початкового стану , як функцію системи векторів і визначити всю множину векторів , які задовольняють (1) – (3).

Для поставлених математичних проблем повинні бути визначені умови існування та єдиності розв'язків сформульованих задач. Природно, що при існуванні та неєдиності розв'язків доцільно визначити розмірність простору розв'язків і тим самим зумовити коректність додаткової оптимізаційної задачі.

В пункті 2.1.1 вихідна задача керування (1) – (3) зводиться до розв'язання системи лінійних алгебраїчних рівнянь

(4)

де ,

,

,

,

символ означає приєднання стовпців наступної матриці до стовпців попередньої матриці.

Невідомими є вектор початкового стану та () векторів керування для задачі I або тільки вектор початкового стану для задачі II.

Система лінійних неоднорідних алгебраїчних рівнянь (4) надалі досліджується не тільки при виконанні умов існування розв'язку, а й за умов його відсутності. Тобто досліджуються псевдорозв'язки системи (4).

В підрозділі 2.2 для лінійних систем з крайовими умовами доведено необхідні і достатні умови існування та єдиності керування (пункт 2.2.1), а також необхідні і достатні умови існування та єдиності розв'язку задачі з параметричним керуванням (пункт 2.2.2).

Теорема 2.1. Для існування керування ( задача I ) лінійною системою (1) з крайовими умовами (2), (3) необхідно і достатньо, щоб

де ,–

матриця псевдообернена до матриці .

Теорема 2.2. Для того, щоб керування лінійною системою (1) з крайовими умовами (2), (3) було єдиним, необхідно і достатньо, щоб

. (6)

Теорема 2.3. Для існування розв'язку задачі параметричного керування ( задача II ) лінійною системою (1) з крайовими умовами (2), (3) необхідно і достатньо, щоб виконувалась умова

, (7)

де

(8)

а також рівність

(9)

хоча б для одного з векторів

Теорема 2.4. Для існування єдиного розв'язку (псевдорозв'язку) задачі параметричного керування лінійною системою (1) з крайовими умовами (2), (3) необхідно і достатньо, щоб

, (10)

а також

(11)

де

, визначаються згідно формул (5), (8).

В підрозділі 2.3 для лінійної системи з крайовими умовами побудовано в аналітичному вигляді керування ( пункт 2.3.1 ), а також розв'язок задачі з параметричним керуванням ( пункт 2.3.2 ).

Теорема 2.5. Якщо для задачі I керування лінійною системою (1) з крайовими умовами (2), (3) виконується співвідношення

, (12)

де матриця визначається формулами (5), то розв'язок (псевдорозв’язок) вихідної задачі (1) – (3) можна представити у вигляді

(13)

де

– базис ортогонального доповнення до простору власних векторів матриці .

Теорема 2.6. Якщо виконується необхідна і достатня умова (рівність (9)) існування розв'язку системи лінійних алгебраїчних рівнянь

(14)

відносно невідомого вектора , а також виконується необхідна і достатня умова існування розв'язку системи лінійних алгебраїчних рівнянь

(15)

відносно невідомого вектора , то для вектор–компонент цього вектора має місце формула

(16)

Відповідно, для представлення вектора – розв'язку задачі параметричного керування лінійними дискретними системами з крайовими умовами має місце формула

(17)

В підрозділі 2.4 розглянута задача керування лінійними дискретними системами з крайовими умовами при фазових обмеженнях у вигляді рівностей (багатоточкова задача). Суттєвою умовою при побудові алгоритму розв'язання задачі є виконання крайових умов, а тому для подальших математичних викладок базовою буде множина розв'язків задачі з параметричним керуванням, тобто керування лінійними дискретними системами з крайовими умовами в припущенні, що всі необхідні і достатні умови існування та неєдиності її розв'язку виконуються.

Розглядається задача знаходження всієї множини розв'язків задачі керування (1) – (3). Іншими словами, потрібно знайти всю множину векторів початкового стану системи (1) та відповідну кожному з них множину векторів керування , , які забезпечують виконання крайових умов (2), (3), а також виконання додаткових фазових обмежень

(18)

де – відомі вектори, .

В пункті 2.4.1 подаються необхідні і достатні умови існування та єдиності розв'язку задачі керування лінійною дискретною системою з крайовими умовами при фазових обмеженнях.

Теорема 2.7. Для існування розв'язку задачі термінального керування лінійною системою з дискретним аргументом при фазових обмеженнях (1) – (3), (18) необхідно і достатньо, щоб при виконанні умов (8), (9) та невиконанні умов (10), (11) мала місце рівність

(19)

де

, (20)

матричні блоки та вектор явно виражаються через параметри вихідної моделі задачі.

Теорема 2.8. Для того, щоб задача термінального керування для лінійних систем з дискретним аргументом при фазових обмеженнях (1) – (3), (18) мала єдиний розв'язок (псевдорозв'язок) необхідно і достатньо, щоб при виконанні умови (9) та невиконанні умови (10) мала місце нерівність

. (21)

В пункті 2.4.2 наведені розв'язки (псевдорозв'язки) задачі термінального керування для лінійних систем з дискретним аргументом при фазових обмеженнях. Вихідна задача (1) – (3) термінального керування для лінійних систем з дискретним аргументом при фазових обмеженнях (18) зводиться до розв'язування системи лінійних алгебраїчних рівнянь

(22)

в якій визначенню підлягає невідомий вектор

(23)

а матриці і компоненти вектора визначаються відповідними виразами з теореми 2.4.1.

Теорема 2.9. Якщо виконується умова (9), при цьому не виконується умова (10) існування та неєдиності розв'язку задачі II керування системою (1) – (3), виконуються необхідні і достатні умови існування та неєдиності розв'язку системи лінійних алгебраїчних рівнянь (15) відносно невідомого вектора , а також виконуються необхідні і достатні умови існування розв'язків системи лінійних алгебраїчних рівнянь (22), то для розв'язків вихідної задачі (1) – (3), (18) справедливе представлення

(24)

, (25)

де – складові довільного вектора .

В розділі 3 розглянуті задачі оптимального синтезу матриць у лінійних алгебраїчних системах при деяких критеріях якості з метою наступного використання для формулювання й дослідження задач оптимального розподілу керуючих впливів у лінійних системах з дискретним аргументом і крайовими умовами. Обрані критерії оптимізації залежать як безпосередньо від матриць, так і від псевдообернених до них. Тому при формулюванні умов оптимального синтезу структури прикладання керування використовуються результати із теорії збурення псевдообернених та проекційних матриць.

На підставі результатів другого розділу та досліджень з теорії збурення псевдообернених і проекційних матриць розглядаються задачі про найкращий розподіл керуючих впливів та мінімальну їх кількість при заданих крайових умовах.

Досліджені задачі синтезу матриць для систем лінійних алгебраїчних рівнянь, сформульовані необхідні умови оптимальності нев'язки розв'язку задачі керування для лінійних дискретних систем з крайовими умовами, норми головного розв'язку, кількості керуючих впливів як для системи лінійних алгебраїчних рівнянь, так і для крайових задач, які базуються на використанні загального розв'язку систем лінійних алгебраїчних рівнянь, загального розв'язку задачі керування для лінійних дискретних систем з крайовими умовами.

В підрозділі 3.1 наведені постановки задач оптимального синтезу матриць в лінійних системах алгебраїчних рівнянь, а також сформульовані і доведені необхідні умови оптимальності розв'язків поставлених задач.

Для системи алгебраїчних рівнянь

(26)

де припускається, що вектор–стовпці матриці належать деяким множинам, тобто

(27)

Задача сумісності. При довільному виборі значень вектор–стовпців матриці система (26) може бути несумісною, тобто для неї може мати місце співвідношення

(28)

Задача оптимального синтезу полягає у визначенні матриці відповідно до умови оптимальності

. (29)

Теорема .1. Якщо матриця має вектор–стовпці і є оптимальною для системи алгебраїчних рівнянь (26) відповідно до критерію (29), то виконуються необхідні умови:

для при яких

(30)

(31)

(32)

для при яких

(33)

(34)

Тут введено позначення для вектор – рядків матриці

. (35)

Задача мінімізації норми головного розв'язку. Оптимальний синтез матриці в системі (1) розглядається в розумінні мінімізації квадрату норми головного розв'язку

(36)

системи (26) за умови, що вона є сумісною.

Отже, постановка задачі формулюється так: визначити значення матриці відповідно до умови оптимальності

, (37)

де

(38)

Необхідні умови оптимальності в розумінні мінімізації квадрату норми головного розв'язку доведено в теоремі 3.2.

Задача визначення оптимальної кількості керуючих впливів. Задача оптимального синтезу матриці в системі (26) розглядається в розумінні оптимальної кількості керуючих впливів в матриці системи (26), тобто матриця

(39)

має властивість

(40)

при мінімальному значенні

Теорема 3.3. Якщо матриця

(41)

(42)

має властивість

(43)

при мінімальному значенні , то має місце співвідношення

(44)

де – - й вектор–рядок матриці

(45)

В підрозділі 3.2 доведено необхідні умови оптимального синтезу системи керування допустимими змінами її структури з використанням критеріїв, описаних у підроділі 3.1. Постановка задачі оптимального синтезу розглядається в рамках задачі I, яка досліджується в розділі 2. Тобто, треба знайти в явному вигляді вектор початкового стану та систему векторів таких, щоб після підстановки їх в співвідношення (1) одержати вектор кінцевого стану , який забезпечив би виконання крайових умов (2), (3).

Для можливого синтезу системи керування з метою поліпшення деяких критеріїв оптимальності, необхідно виділити ті елементи структури системи, які можна змінювати з метою синтезу. Вважається, що такими елементами досліджуваної структури системи керування є матриці розподілу керування в рівняннях (1).

В підрозділі 3.3 для задач керування лінійними дискретними системами з крайовими умовами побудовані ефективні алгоритми знаходження оптимальної структури розподілу керувань (з мінімізацією нев'язки розв'язку (пункт .3.3та норми головного розв'язку (пункт 3.3.4)).

Мінімізація норми головного розв'язку розглядуваної задачі керування реалізується за умови, що невизначені вектори розподілу структури керування можна вибирати з допустимої множини векторів, не порушуючи умови існування розв'язку вихідної задачі керування лінійною дискретною системою з крайовими умовами.

Вектори розподілу функції керування в структурі обраної моделі при скалярному керуванні вибираються з заданих дискретних множин. Пропонуються два підходи. В першому – це означає, що невизначені вектори розподілу функції керування , вибираються з множини

(46)

де – кількість елементів множини .

В другому – з однопараметричної множини

, (47)
–

параметри, які визначаються в процесі оптимізації.

Зазначені підходи до розв'язання задач мінімізації нев'язки розв'язку та норми головного розв'язку в задачах керування лінійними дискретними системами з крайовими умовами забезпечують конструктивність розв'язків поставлених задач, а у випадку другого підходу і можливість аналітичного аналізу розв'язку за умов вибору параметрів моделі задачі.

У висновках сформульовано основні результати дисертації.

ВИСНОВКИ

В дисертації отримані нові наукові результати та запропоновані нові підходи по обґрунтуванню існування, єдиності та побудови аналітичних розв'язків лінійних дискретних систем керування з крайовими умовами та фазовими обмеженнями, а також задачі синтезу таких систем з заданими властивостями.

Найбільш важливими науковими результатами, отриманими в дисертаційній роботі, є такі: * 

доведено теореми про існування та єдиність розв'язків лінійних дискретних систем керування з крайовими умовами; * 

побудовано загальні розв'язки лінійних дискретних систем керування з крайовими умовами;* 

доведено теореми про існування та єдиність розв’язку для лінійних дискретних систем керування з крайовими умовами та фазовими обмеженнями, побудовані загальні розв’язки; * 

сформульовано необхідні умови оптимальності синтезу структури розподілу керувань лінійними дискретними системи з крайовими умовами для функціоналів якості вигляду:

а) мінімуму нев'язки розв'язку,

б) мінімуму норми головного розв'язку,

в) мінімуму кількості керуючих впливів;*  

розроблено алгоритми знаходження оптимальної структури лінійних дискретних систем керування з крайовими умовами згідно критеріїв мінімуму нев'язки розв'язку та мінімуму норми головного розв'язку.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

Бублик С.Б., Кудін Г.І. та інші. Задачі керування лінійними системами з дискретним аргументом і крайовими умовами // Колективна монографія „Сучасні методи та інформаційні технології математичного моделювання, аналізу і оптимізації складних систем”. – 2006. – Київ: Видавничо-поліграфічний центр „Київський університет”. – С. 73–92.

Бублик С.Б. Общее решение задачи управления для линейной системы дифференциальных уравнений с краевыми условиями // Проблемы управления и информатики. – 2003. – №4. – С. –29.

Бублик С.Б. Общее решение задачи управления для линейной системы с дискретным аргументом и краевыми условиями // Кибернетика и вычислительная техника. – 1999. – Выпуск 125. – С. –82.

Бублик С.Б., Кириченко Н.Ф. Оптимальные возмущения псевдообратных и проекционных матриц в задачах синтеза линейных систем // Проблемы управления и информатики. – 2002. – №3. – С. 19–28.

Бублик С.Б., Кудін Г.І. Системний аналіз задачі керування лінійною системою з дискретним аргументом і крайовими умовами // Вісник Київського університету. – Серія: фізико-математичні науки. – 2004. 
– № . – С. 157–164.

Бублик С.Б., Кудін Г.І. Керування лінійними дискретними системами з крайовими умовами при фазових обмеженнях // Вісник Київського університету. – Серія: фізико-математичні науки. – 2005. – № 3.
– С. 200–207.

Бублик С.Б., Кудін Г.І. Ортогоналізація системи вектор–рядків матриці до базису простору // Штучний інтелект. Матеріали Міжн. науково- техн. конф. 20-25 вересня 2004. – 2004. – Д: ДИИИ. – С. 190–192.

Бублик С.Б., Кудін Г.І. Системний аналіз задачі керування лінійною дискретною системою з крайовими умовами // Праці міжнародної конференції „Питання оптимізації обчислень”(ПОО-ХХ11). – 2005. – К.: ІК НАНУ. –Т.1. – С. 47–48.

Бублик С.Б., Кудін Г.І. Оптимізація синтезу структури розподілу керувань в одномірних крайових задачах // Праці міжнар. конф. „Dynamical systems modeling and stability investigation” (May 23–25, 2005). – К.: КНУ, 2005. – С. 72.

Бублик С.Б., Кудін Г.І. Задача керування лінійною дискретною системою з крайовими умовами при фазових обмеженнях // Матеріали 11-ої міжнародної конференції по автоматичному управлінню „Автоматика-2004” (27–30 вересня 2004 р.) – Т.1. – К.: НУХТ, 2004. – С. 11.

АНОТАЦІЯ

Бублик С.Б. Моделювання та оптимізація лінійних дискретних систем керування з крайовими умовами. – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.05.02 – математичне моделювання та обчислювальні методи. – Київський національний університет імені Тараса Шевченка, Київ, 2006.

В дисертаційній роботі доведено теореми про існування та єдиність розв'язків лінійних дискретних систем керування з крайовими умовами та фазовими обмеженнями. Побудовані повні множини аналітичних розв'язків лінійних дискретних систем керування з крайовими умовами та фазовими обмеженнями. Доведено необхідні умови оптимальності синтезу лінійних дискретних систем керування з крайовими умовами для функціоналів якості: а) функції мінімуму нев'язки розв'язку; б) функції мінімуму норми головного розв'язку; в) мінімуму кількості керуючих впливів. Розроблені алгоритми знаходження оптимальної структури лінійних дискретних систем керування з крайовими умовами згідно критеріїв мінімуму нев'язки розв'язку та мінімуму норми головного розв'язку.

Ключові слова: лінійні дискретні системи, крайові умови, існування та єдиність розв'язків, керування, оптимальний синтез.

АННОТАЦИЯ

Бублик С.Б. Моделирование и оптимизация линейных дискретных систем управления с краевыми условиями. – Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.05.02 – математическое моделирование и вычислительные методы. – Киевский национальный университет имени Тараса Шевченко, Киев, 2006.

Диссертационная работа посвящена разработке критериев существования и единственности решений линейных дискретных систем управления с краевыми условиями и фазовыми ограничениями, построению полного множества решений задач управления линейными дискретными системами с краевыми условиями и фазовыми ограничениями, а также оптимальному синтезу структур рассматриваемых систем.

Во введении обуславливается актуальность выбранной темы, определяется научная новизна полученных результатов.

В первом разделе проведен анализ научных результатов по применению теории псевдообратных операторов в задачах анализа систем линейных алгебраических уравнений, описаны алгоритмы вычисления псевдообратных матриц, приведены общие решения задачи терминального управления линейными системами. Сформулированы постановки задач синтеза системы по оптимизации ее управляемости. Проанализированы решения краевых задач для линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений.

Во втором разделе сформулированы постановки задач анализа множества решений линейных дискретных систем управления с краевыми условиями: задача аналитического представления управления в линейных системах с краевыми условиями и задача параметрического управления.

Приводится методика сведения задачи управления линейными системами с краевыми условиями к решению специальных систем линейных алгебраических уравнений. Доказаны необходимые и достаточные условия существования и единственности решения, а также необходимые и достаточные условия существования и единственности решения задачи с параметрическим управлением.

Получены аналитические решения (псевдорешения) задачи терминального управления линейными системами с дискретным аргументом при фазовых ограничениях.

В третьем разделе рассмотрены задачи оптимального синтеза матриц в линейных алгебраических системах при некоторых критериях качества. Сформулирована и исследована задача оптимального распределения управляющих воздействий в линейных системах с дискретным аргументом и краевыми условиями. Рассмотренные критерии зависят как непосредственно от матриц, так и от псевдообратных к ним. Поэтому при формулировке условий оптимального синтеза структуры распределения управления, используются результаты из теории возмущения псевдообратных и проекционных матриц.

Рассматрены задачи о наилучшем распределении управляющих воздействий и минимальном их количестве при заданных краевых условиях.

Исследованы задачи синтеза матриц систем линейных алгебраических уравнений, сформулированы необходимые условия оптимальности невязки решения задачи управления для линейных дискретных систем с краевыми условиями, нормы главного решения, количества управляющих воздействий как для систем линейных алгебраических уравнений, так и для краевых задач.

Ключевые слова: линейные дискретные системы, краевые условия, существование и единственность решений, управление, оптимальный синтез.

ANNOTATION

Bublyk S.B. Modeling and optimisation of the linear discrete control systems with regional terms and limitations. – Manuscript.

The thesis for obtaining the Candidate of Physical and Mathematical sciences degree on a speciality 01.05.02 — mathematic modeling and calculus methods.
– Kyiv Taras Shevchenko National University, Kyiv, 2006

In dissertation work theorems about existence and uniqueness of decisions of the linear discrete control systems with regional terms and limitations of phases are proved. The analytical upshots of the linear discrete control systems with regional terms and limitations of phases are built. The necessary terms of optimum of linear discrete control systems with regional terms for functional of quality in a kind are proved. These are: a) functions of a minimum of residual of decision; b) functions of a minimum of norm of main decision; c) to a minimum of amount of the controlling influences. The algorithms of finding of optimum structure of linear discrete control with the regional terms of a minimum of residual of decision and a minimum of norm of main decision system are developed.

Keywords: linear discrete systems, regional terms, existence and uniqueness of decisions, control, optimum synthesis.