ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ
МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ УКРАЇНИ
ДНІПРОПЕТРОВСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ УНІВЕРСИТЕТ
Керекеша Петро Володимирович
УДК 539.3
КОМБІНОВАНИЙ МЕТОД ПЕРЕТВОРЕННЯ ФУР’Є
І СПРЯЖЕННЯ АНАЛІТИЧНИХ ФУНКЦІЙ
У ЗАДАЧАХ ТЕОРІЇ ПРУЖНОСТІ
01.02.04 – механіка деформівного твердого тіла
АВТОРЕФЕРАТ
дисертації на здобуття наукового ступеня
доктора фізико-математичних наук
Дніпропетровськ – 1999
Дисертацією є рукопис.
Робота виконана на кафедрах вищої математики та методів математичної фізики інституту математики, економіки і механіки (ІМЕМ) Одеського держав-ного університету ім. І.І. Мечникова Міністерства освіти України.
Науковий консультант – доктор фізико-математичних наук, професор
ПОПОВ Геннадій Якович,
Одеський державний університет ім. І.І. Мечникова,
завідувач кафедри методів математичної фізики.
Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор ПРОЦЕНКО Володимир Сидорович,
Харківський державний аерокосмічний університет ім. М.Є. Жуковського,
професор кафедри вищої математики;
доктор фізико-математичних наук, професор ГАЛАНОВ Борис Олександрович,
Київський інститут залізничного транспорту,
професор кафедри вищої математики;
доктор фізико-математичних наук, професор
СМИРНОВ Сергій Олександрович,
Дніпропетровській державний університет,
декан фінансово-кредитного факультету,
завідувач кафедри комп’ютерної обробки
фінансово-економічної інформації
Провідна установа – Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України, Львів
Захист відбудеться "15"жовтня 1999 р. о 15:00 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 08.051.10 при Дніпропетровському державному університеті за адресою: 320625, м. Дніпропетровськ, пров. Науковий, 13, корп 3, ауд. 57.
З дисертацією можна ознайомитись у науковій бібліотеці Дніпропетровського державного університету.
Автореферат розісланий "8"вересня 1999 р.
Вчений секретар
спеціалізованої вченої ради Дзюба А.П.
ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ
У літакобудуванні, ракетобудуванні, кораблебудуванні і взагалі, при створенні будь-якої конструкції конструктори вирішують ту саму проблему: конструкція повинна бути легкою і міцною. Для вирішення цієї проблеми конструктори використовують неоднорідність структури створюваної конструкції. При цьому неоднорідність структури розуміється як у композитності матеріалів, так і в різних умовах зовнішнього навантаження на контурі конструкції. При розрахунку конструкцій застосовуються математичні моделі. У математичній моделі композитності матеріалу відповідає многозв'язність області або многошаровість, а різним зовнішнім впливам на контурі матеріалу відповідають граничні умови мішаного характеру. У результаті виникають математичні труднощі. Подолання їх пов'язане або з модифікацією старих або зі створенням нових математичних методів. Можливий також третій варіант, коли для подолання певних математичних труднощів пропонується комбінований метод. Ефективність розв’язування комбінованим методом, як правило, більш висока, оскільки комбінований метод містить переваги синтезованих методів. Одним із таких методів є комбінований метод інтегрального перетворення і факторизації, що містить у собі конструктивну міць апарату перетворення Фур'є і стрункість теорії функцій комплексного змінного. Цим методом, починаючи з 60-х років двадцятого століття і до теперішнього часу, були розв’язані і розв’язуються складні задачі теорії пружності. Істотний внесок у розвиток комбінованого методу інтегрального перетворення Фур'є і факторизації внесли: В.М. Александров, І.Г. Альперін, Ю.О. Антіпов, В.А. Бабешко, В.К. Востров, А.Є. Дихнов, А.В. Керопян, Л.А. Кіпніс, Б.Й. Коган, М.Г. Моісеєв, Б.М. Нуллер, Г.Я. Попов, В.І. Травуш, А.О. Храпков, Ю.Й. Черський та ін.
Актуальність. Комбінованим методом інтегрального перетворення Фур'є і факторизації розв'язано багато проблем теорії пружності, але залишилися і не розв'язані. Для розв'язання їх у дисертації пропонується комбінований метод інтегрального перетворення Фур'є і спряження аналітичних функцій. Він є більш загальним у порівнянні з комбінованим методом інтегрального перетворення Фур'є і факторизації, тому що дозволяє охопити більш широке коло мішаних задач теорії пружності, які розв'язуються за допомогою інтегрального перетворення Фур'є.
Термін "спряження" був уведений М.І. Мусхелішвілі. Метод розв'язування крайових задач за допомогою спряження аналітичних функцій називається методом спряження. При цьому спряження здійснюється лінійним способом і через межу області.
У дисертації термін “спряження” і самий метод розуміється більш широко. Під спряженням аналітичних функцій ми будемо розуміти і такі задачі лінійного спряження, у яких: по-перше, спряження аналітичних функцій здійснюється через межу області, але у вільний член лінійного спряження входить невідома ціла функція; по-друге, спряження аналітичних функцій здійснюється так само через межу області, але вільний член лінійного спряження містить функціонал, заданий на просторі розв'язків; по-третє, спряження аналітичних функцій здійснюється на межі області і через значення шуканої аналітичної функції на контурі, що цілком лежить в області (задача Карлемана); по-четверте, спряження аналітичних функцій здійснюється на межі області й у саме спряження входить диференціальний оператор (диференціальна задача Карлемана).
Розглянуті вище спряження аналітичних функцій пов'язані з конкретними проблемами, що виникають при розв'язуванні нових мішаних задач теорії пружності. Запропонований метод вирішує зазначені проблеми, це метод конструктивний, що дозволяє зазначити алгоритми точних або наближених розв'язків задач теорії пружності з відповідною оцінкою похибки.
Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Робота з зазначеної тематики проводилась в інституті математики, економіки і механіки Одеського державного університету в рамках планових держбюджетних тем науково-дослідних робіт, а також за темою 1.153 ДК України з питань науки і технологій.
Мета і задачі дослідження. Основною метою дисертаційної роботи є розширення кола задач теорії пружності, які розв'язуються методом інтегрального перетворення Фур'є. Для досягнення зазначеної мети удосконалюються старі і створюються нові математичні методи з ілюстрацією на розв'язуванні нових конкретних задач теорії пружності. При цьому, розв'язки задач теорії пружності повинні бути конструктивними, тобто з вказівкою алгоритму побудови точного або наближеного розв'язку з відповідною оцінкою похибки.
У зв'язку з цим виникли такі напрямки і проблеми:
1. Дослідження математичних моделей (як нових, так і старих) задач теорії пружності в строго визначених класах, аж до класу узагальнених функцій.
2. Розробка точних методів або наближених методів (із відповідною оцінкою похибки) розв'язування математичних моделей задач теорії пружності.
3. Дослідження задач теорії пружності для луночних областей, що зводяться до задач спряження, які розуміються в більш широкому змісті.
4. Дослідження, в рамках моделі Пожалостіна, задач кручення стрижнів довільного перерізу із частковим підкріпленням.
5. Дослідження задач кручення стрижнів симетричного профілю довільного перерізу з підкріпленням у рамках моделі Пожалостіна.
6. Дослідження контактних задач теорії пружності для композитних середовищ.
7. Дослідження задач теорії пружності для многозв'язних областей.
Наукова новизна отриманих результатів. Відзначимо ступінь новизни отриманих результатів, як у математичних методах, так і в їхньому застосуванні до розв'язування конкретних задач теорії пружності.
1. Уперше точно розв'язано задачу кручення стрижня напівкруглого перерізу з частковим підкріпленням по дузі.
2.Отримано точний розв'язок основної задачі теорії пружності для симетричної лунки при загальних зовнішніх навантаженнях. Метод побудови розв’язку є більш ефективним у порівнянні з відомим. Ефективність методу полягає по-перше, в значному зменшенні алгоритмічних операцій для побудови розв'язку; по-друге, на відміну від відомого розв'язку, компоненти тензора напружень виражаються через функції, які характеризують зовнішні навантаження.
3. Уперше отримано аналітичний наближений розв'язок задачі кручення стрижня луночного профілю з частковим підкріпленням по одній із межових координатних ліній.
4. Уперше отримано аналітичний наближений розв'язок мішаної задачі про згин тонкої пружної плити у формі лунки з частково обпертим краєм.
5. Для одержання результатів 1-4 вперше проведено дослідження з питань існування, єдиності, нормальної розв'язності, побудови наближеного розв'язку, асимптотичної поведінки розв'язку задачі Карлемана ( далі ЗК) для симетричної смуги з паралельним зсувом на дійсну вісь, для вивчення її в класі узагальнених функцій і пошуків випадків точного розв'язання ЗК.
6. Уперше точно розв'язано іншим методом (див. вище 1) задачу кручення стрижня напівкруглого перерізу з частковим підкріпленням по дузі.
7. Створено ефективний аналітичний метод наближеного розв'язування задачі кручення стрижня довільного перерізу з частковим підкріпленням у рамках моделі Пожалостіна.
8. Створено ефективний аналітичний метод наближеного розв'язування задачі кручення стрижня довільного симетричного профілю з підкріпленням у рамках моделі Пожалостіна.
9. Для отримання результатів 6-8 вперше досліджено диференціальну (у спряження входить диференціальний оператор) задачу Карлемана (далі ДЗК) для смуги і розроблено метод розв'язування мішаних гармонічних задач для однозв'язних областей із граничними умовами 3-го роду.
10. Отримано вперше точний і наближений розв'язок (із відповідною оцінкою похибки) власне мішаної задачі про згин тонкої пружної плити у формі сегмента.
11. Уперше сформульовано і розв'язано точно і наближено (із відповідною оцінкою похибки) контактну задачу про напресування на нескінченний вал пружної оболонки з кусково-сталими механічними і геометричними характеристиками і більш глибоко досліджено контактну задачу про напресування півнескінченної оболонки на циліндр.
12. Для дослідження задач кручення з підкріпленням і без підкріплення вперше отримано інтегральне зображення аналітичної функції в кільці. Завдяки одержаному інтегральному зображенню запропоновано, більш простим способом у порівнянні з відомими, розрахункові формули для обчислення дотичних напруг і жорсткості при крученні порожнистих стрижнів.
13. Вперше точно розв'язано задачу термопружності для клину, на гранях якого відбувається конвективний теплообмін.
14. Для одержання результату 13 вперше отримано точний розв'язок 3-ої гармонічної задачі для клину.
15. Запропоновано аналітичний ефективний метод побудови точного розв'язку контактної задачі про втискування штампу на тонке трансверсально-ізотропне покриття, зчеплене з пружною півплощиною.
Достовірність отриманих результатів забезпечується використанням коректних положень механіки деформівного твердого тіла, строгими математичними перетвореннями й апробованими методами теорії функцій комплексного змінного; збігом чисельних результатів, отриманих при розв'язанні крайових задач теорії пружності різними способами; збігом отриманих результатів із відомими в граничній формі.
Теоретична і практична цінність. Теоретична цінність результатів полягає в розробці нових і удосконаленні старих математичних методів, призначених для конструктивного розв'язання мішаних задач теорії пружності. Практична цінність результатів полягає в одержанні аналітичних виразів і розрахункових формул, що дозволяють із невеликою витратою часу доводити розв'язання розглянутих конкретних задач теорії пружності до числа.
Апробація роботи. Основні результати досліджень доповідались і обговорювались на: III Республіканському симпозіумі по диференціальним і інтегральним рівнянням, присвяченому 125-літтю з дня народження О.М. Ляпунова (Одеса, 1982 р.); Республіканській науковій конференції "Диференціальні й інтегральні рівняння і їх застосування" (Одеса, 1987 р.); IV Всесоюзному симпозіумі "Методи дискретних особливостей у задачах математичної фізики" (Харьків, 1989 р.); ІУ Всесоюзній конференції "Мішані задачі механіки деформівного тіла" (Одеса, 1989 р.); V Всесоюзному симпозіумі "Методи дискретних особливостей у задачах математичної фізики" (Одеса, 1991 р.); Республіканській науково-методичній конференції, присвяченій 200-літтю з дня народження М.І. Лобачевського (Одеса, 1992 р.); Міжнародній науковій конференції, присвяченій 100-літтю з дня народження М.Г. Чеботарьова (Казань, 1994 р.); ІУ Міжнародній конференції з механіки неоднорідних структур (Тернопіль, 1995 р.); Міжнародній конференції "Крайові задачі, спеціальні функції і дробове числення", присвяченій 90-літтю з дня народження Ф.Д. Гахова (Мінськ, 1996 р.); V Міжнародній конференції ім. академіка М. Кравчука (Київ, 1996 р.); VII Міжнародному симпозіумі "Методи дискретних особливостей у задачах математичної фізики" (Феодосія, 1997 р.).
У повному обсязі дисертаційна робота доповідалася на наукових семінарах: кафедри методів математичної фізики Одеського держуніверситету під керівництвом доктора фізико-математичних наук Попова Г.Я.; Інституту прикладних проблем математики і механіки імені Я.С. Підстригача НАН України під керівництвом члена-кореспондента НАН України, доктора фізико-математичних наук Кіта Г.С.; кафедри теоретичної і прикладної механіки Київського держуніверситету, під керівництвом члена-кореспондента НАН України, доктора фізико-математичних наук Улітко А.Ф; Дніпропетровського держуніверситету під керівництвом академіка НАН України, доктора фізико-математичних наук Моссаковського В. І.
Публікації й особистий внесок здобувача. Основні результати дисертації опубліковані в 25 наукових працях, у тому числі: у навчальному посібнику [20], в 17-ти статтях у наукових журналах [1-8, 11-19], у двох статтях у збірниках [9-10], у трьох депонованих працях [21-23] і двох тезах [24-25] конференцій.
Основні результати дисертації одержані здобувачем самостійно. Роботи [1-10, 19, 21-22, 24-25] опубліковані без співавторів.
Відзначимо особистий внесок автора в спільних роботах [11-18, 20, 23]. У роботі [11] здобувачу належить інтегральне зображення аналітичної функції в симетричній смузі і зведення ЗК для смуги до сингулярного інтегрального рівняння на відрізку з ядром Коші і ядром з точковою особливістю.
У статтях [12-13] дисертанту належать:
1) постановка задач теорії пружності і теплопровідності, що зводяться до ЗК для симетричної смуги з паралельним зсувом на дійсну вісь;
2) метод зведення ЗК для симетричної смуги з паралельним зсувом на дійсну вісь до повного сингулярного інтегрального рівняння на відрізку;
3) доведення нормальної розв'язності в окремому випадку.
У роботі [15] здобувачем отримано інтегральне зображення аналітичної функції в кільці. Слід зазначити, що в роботі здобувача [24] вперше отримано інтегральне зображення аналітичної періодичної функції в смузі. Цей результат послужив основою для одержання інтегрального зображення аналітичної функції в кільці.
У роботі [16] здобувачем поставлено задачу і зазначений спосіб її розв'язання. Інші способи розв'язання й узагальнення належать співавторам.
У статті [17] дисертанту належить постановка і метод розв'язування ЗК для двох пар функцій у випадку нульового індексу, а також її практичне застосування.
У навчальному посібнику [20] здобувачем написано параграфи 1, 6 і п.п. 4.1-4.3, 5.1.
У дисертацію включено тільки особисто одержані автором результати, які опубліковані в спільних роботах [11-13, 15-17, 20].
У роботі [14] здобувачу належить, в рамках моделі Пожалостіна, метод розв'язування задачі кручення стрижня з частковим підкріпленням.
У статті [18] здобувачу належить постановка задачі і метод її розв'язування, а також дослідження поведінки згинаючого моменту в кутових точках.
У роботі [23] здобувачу належить метод розв'язування розглянутої задачі, який у поліпшеному варіанті включений у дисертацію.
Структура й обсяг дисертації. Дисертація складається зі вступу, п'ятьох розділів, висновків і списку використаних джерел (183 найменувань на 17 сторінках). Загальний обсяг роботи складає 314 сторінок. Вона містить 44 рисунки і 9 таблиць на 15 сторінках.
Зміст роботи
У вступі обгрунтовується актуальність дисертаційного дослідження, формулюється мета роботи, аргументується її новизна, теоретичне та практичне значення.
Перший розділ присвячено оглядові праць за темою роботи, визначається її місце у вирішенні проблем, які виникають при розв'язуванні мішаних задач теорії пружності. Для їх вирішення необхідно було користуватися математичними методами. Для зручності сприймання і викладання результатів роботи вони майже повністю розміщені у другому розділі.
У перших трьох підрозділах другого розділу в основному наводяться відомі результати, пов'язані з інтегральним перетворенням Фур'є в класі основних і узагальнених функцій, із розв'язанням задачі Рімана (далі ЗР) для півплошини і ЗК для смуги. У наступних підрозділах викладаються нові результати. У підрозділі 2.4 розглядається ЗК вигляду
А(х)Ф(х + і) + В(х)Ф(х - і) + С(х)Ф(х) = С(х), х R, (2.1)
де невідома функція Ф(x) аналітично продовжена в смугу , а А(х), В(х),
С(х) і G(х) задані функції.
Слід зазначити, що при розв'язуванні важливих задач теорії пружності [14, 16] виникає проблема дослідження ЗК (2.1), яку будемо називати симетричною ЗК для смуги з паралельним зсувом на дійсну вісь.
У роботах Ю.Й. Черського ЗК (2.1) при умові, що розв’язано в квадратурах. Теоретичні результати Ю.Й Черського були зразу ж помічені. В роботах Г.Я. Попова, Л.Я. Тихоненка, Р.Д. Банцурі і Б.М. Нуллера наводяться точні розв’язки раніше “недоступних“ задач теорії пружності. У загальному випадку поки не існує побудови точного розв'язку рівняння (2.1). У зв'язку з цим, п. 2.4.2 присвячений питанням існування, єдиності, нормальної розв’язності, асимптотичної поведінки розв'язку, побудови наближеного розв'язку з відповідною оцінкою похибки, вивчення рівняння в класах узагальнених функцій, а також пошукам окремих випадків точного розв'язку ЗК.
.У підрозділі 2.5 досліджується перша ДЗК для смуги, постановка котрої така [9]: потрібно знайти аналітичну у смузі функцію a(z) за граничною умовою
. (2.2)
Тут - неперервна функція на всій дійсній осі, - задана функція. Завдяки інтегральному зображенню, отриманому в п. 2.4.1 задача (2.2) спочатку зводиться до сингулярного інтегро-диференціального рівняння (СІДР)
, (2.3)
де шукана функція, а g(x) і b(x) - відомі.
Потім рівняння (2.3) послідовно зводиться до (СІДР) на відрізку
(2.4)
( – шукана функція, і відомі )
і до нескінченної лінійної алгебраїчної системи виду
. (2.5)
Систему (2.5) досліджено на регулярність.
У підрозділі 2.6 досліджується друга ДЗК для смуги з указівкою конструктивного методу її розв'язування.
Постановка задачі полягає у наступному: треба знайти аналітичну в смузі функцію a(z) за граничною умовою
. (2.6)
Тут - неперервна функція на всій дійсній осі; - задана функція, яка належить просторові L2 (R).
Як і перша ДЗК, друга ДЗК зводиться до лінійної нескінченної алгебраїчної системи рівнянь
. (2.7)
Систему (2.7) досліджено також на регулярність.
Крім вказаного наближеного методу розв'язування СІДР, у дисертації реалізується схема побудови наближеного розв’язку СІДР, яка заснована на методі Бубнова-Гальоркіна. При цьому, за допомогою результатів Габдулхаєва Б.Г. встановлюється оцінка швидкості збіжності наближеного розв'язку до точного.
У підрозділі 2.7 викладається метод розв'язування двох мішаних гармонічних задач для смуги з граничними умовами 3-го роду, які містять змінні коефіцієнти. Метод розв'язування зазначених гармонічних задач базується на зведенні їх до відповідних ДЗК. Встановлено теореми існування й єдиності розглянутих задач.
Підрозділ 2.8 присвячений точному розв'язанню третьої гармонічної задачі для клину. Третя крайова гармонічна задача спочатку зводиться до матричної ЗК для смуги, а потім до двох роздільних ЗК для смуги. Останні ЗК розв'язуються точно.
У підрозділі 2.9 доводиться теорема про інтегральне зображення аналітичної функції в кільці . Крім цього, виводяться формули для граничних значень аналітичної функції на межі кільця, завдяки яким розв'язуються задачі про відновлювання аналітичної функції за завданням її дійсної або уявної частини.
У підрозділі 2.10 отримано точний розв'язок ЗК для двох пар функцій у кільці [17].
Розділ 3 присвячений задачам кручення стрижнів із частковим і повним підкріпленням.
У підрозділі 3.1 розглянуто задачу про кручення частково підкріплених стрижнів для перерізів, що допускають конформне відображення на смугу. Постановка задачі [5] полягає в тому, що під впливом моментів М, прикладених до торців, скручується циліндричний стрижень із поперечним перерізом у вигляді однозв'язної області D, обмеженої кривою Г = Г1 Г2 (1,2 – гладкі криві; ГіГ2 = {z1,z2 }). При цьому передбачається, що стрижень уздовж утворюючої Г1 циліндричної поверхні покритий тонким посилюючим шаром товщини (рис. 3.1). Потрібно визначити дотичні напруження і жорсткість стрижня, який скручується.
Рис. 3.1
З математичної точки зору, в рамках моделі Пожалостіна, задача полягає в розв'язанні рівняння Пуассона в області D
v =-2G1 (3.1.)
з граничними умовами
, . (3.2)
Тут v(x,y) – функція кручення; n – зовнішня нормаль; G0 і G1 модулі зсуву покриття й основного матеріалу; , – товщина покриття.
Для ілюстрації запропонованого методу розв'язування задачі про кручення стрижнів із частковим підкріпленням розглянуто конкретну область поперечного перерізу – лунку (рис. 3.2), де крива 1 у біполярних координатах являє собою координатну лінію =1, а крива 2 координатну лінію =0.
Рис. 3.2.
У цьому випадку розв’язок рівняння (2.4) шукається у вигляді
. (3.3)
Завдяки результатам підрозділів 2.5-2.6 задача зводиться до нескінченної лінійної алгебраїчної системи, що розв’язується методом редукції з відповідним обгрунтуванням. Через наближений розв'язок системи отримано наближені розрахункові формули для обчислення максимальних за модулем приведених дотичних напруг і жорсткості.
, (3.4)
(3.5)
.
У формулах (3.4)-(3.5) коефіцієнти Сn є розв’язки системи (2.5) при непарних натуральних k і n, а Т (х), U (x) – поліноми Чебишова 1-го та 2-го роду.
Розглянуто випадок точного розв'язання задачі про кручення стрижня з поперечним перерізом у формі півкруга. Наводяться формули значень приведених дотичних напружень у характерних точках О(0;0) М(0;):
, (3.6)
, (3.7)
де – відома послідовність.
На основі одержаних розрахункових формул складено таблиці і графіки, які відображають залежність приведених дотичних напружень від геометричних та механічних величин стрижня луночного профілю, який скручується.
Тут наводяться тільки епюри приведених дотичних напружень півкруглого перерізу.
Рис.3.3-3.4. Епюри приведених дотичних напружень на межових координатних лініях =0 і =/2 при різних у випадку кручення стрижня луночного профілю, частково підкріпленого по дузі
Далі знову розглянуто задачу кручення частково підкріпленого стрижня у формі лунки. Для порівняння, що є дуже корисним як із теоретичної, так і з практичної точок зору, згадану задачу розв'язано іншим методом. Запропонований метод засновано на теорії ЗК для смуги з аналітичним зсувом на дійсну вісь. Для порівняння запишемо формули значень приведених дотичних напружень у характерних точках О(0;0) М(0;/2):
, (3.8)
. (3.9)
Формули (3.6), (3.8) показують, що значення приведених дотичних напружень в точці 0(0;0), які одержані двома способами, повністю збігаються.
У наступних пунктах цього підрозділу: отримано наближений розв'язок ЗК (2.1) з обмеженням і обчислено механічні величини щодо цього випадку; розглянуто задачу кручення частково підкріпленого стрижня напівкруглого перерізу в точній постановці (без гіпотези Пожалостіна); порівнюються запропоновані методи розв'язування задачі про кручення підкріплених стрижнів із поперечним перерізом у вигляді сегментної лунки; розглянуто задачу кручення частково підкріпленого по хорді стрижня з поперечним перерізом у вигляді
сегментної лунки.
Підрозділ 3.2 присвячений дослідженню задач кручення підкріплених стрижнів симетричного профілю. В ньому розглянуто задачу про кручення циліндричного стрижня з поперечним перерізом у вигляді однозв'язної області D, обмеженої гладкою кривою Г. Розімкнутий контур Г0 розбиває область на дві області: D = D1D2. Межи областей, які залишилися, позначимо відповідно через Г1 і Г2, причому Г1Г2={z1,z2}. Припускається також, що області D1 та D2 симетричні відносно контуру Г0 і область D2 за допомогою функції z=z(w) конформно відображається на смугу -<<, 0<<1; z(-)=z1, z()=z2. Згідно з принципом симетрії область D2 відображається на смуту -<<, -1<<0, а контур Г0 на дійсну вісь. Стрижень уздовж твірної Г циліндричної поверхні покритий тонким підсилювальним покриттям товщини (рис. 3.5). Треба визначити дотичні напруження і жорсткість розглянутого стрижня під дією моментів М, прикладених до торців. Цю задачу вперше сформульовано в роботі [6].
Рис. 3.5
Математична постановка сформульованої задачі з урахуванням симетрії областей D1,2 полягає в розшуку розв'язку рівняння Пуассона
v=–2G1, (v=, (3.10)
який задовольняє граничні умови:
; . (3.11)
Як ілюстрація запропонованого методу в п. 3.2.2 розглядається задача про кручення симетричних стрижнів луночного профілю. Щодо розглянутого випадку, приведені дотичні напруження на межовій координатній лінії =1 визначаються за формулою
. (3.12)
Розрахункову формулу для обчислення жорсткості одержано також.
На рис. 3.6 проілюстровано залежності від приведених дотичних напружень на межових координатних лініях для симетричної лунки.
Рис.3.6. Епюри приведених дотичних напружень на межових координатних лініях =3 при різних , у випадку кручення стрижня луночного профілю
Наведені в п.п. 3.1- 3.2 розрахункові формули, таблиці і графіки для задач кручення стрижнів луночного профілю із частковим підкріпленням за однією із межових координатних ліній і за повним підкріпленням (для симетричної лунки) дозволяють проаналізувати поведінку дотичних напружень в околі кутових точок і виявити ефекти дії підкріплення. Відзначимо основні з них:
1) максимуми модулів дотичних напружень для стрижнів з частковим підкріпленням досягаються в точках межових координатних ліній, які зсуваються до кутових точок. Як відомо, максимуми модулів дотичних напруг без підкріплення досягаються на перетинанні координатних ліній =0 і =1 із координатною лінією =0;
2) для стрижнів з частковим підкріпленням у кутових точках, при 0<1 дотичні напруги скінченні, а при – необмежені. Як відомо, для стрижнів без підкріплення при всіх (0;] дотичні напруження скінченні;
3) з частковим підкріпленням жорсткість стрижня збільшується;
4) максимуми модулів дотичних напружень для симетричних стрижнів з повним підкріпленням досягаються в точках межових координатних ліній, і вони теж зсуваються до кутових точок;
5) поведінка дотичних напружень на межових координатних лініях =1 з повним підкріпленням і без підкріплення однакова, а саме: при 0<1 дотичні напруження в кутових точках скінченні, а при – необмежені;
6) з повним підкріпленням по межі симетричної лунки жорсткість значно збільшується.
Точні розв'язки задач кручення стрижня півкруглого перерізу з частковим підкріпленням по дузі, які в рамках моделі Пожалостіна одержані двома методами, порівнювалися один з одним і, крім цього, вони порівнювалися з точним розв'язком цієї ж задачі, але без гіпотези Пожалостіна.
У підрозділі 3.3 на основі результатів підрозділу 2.9 отримано новим способом розв'язок задачі про кручення порожнистих стрижнів із поперечним перерізом у вигляді двозв'язної області. Наводяться конкретні приклади.
У 4-му розділі розглянуто контактні задачі теорії пружності для вала і для півплощини.
У підрозділі 4.1 розглянуто контактну задачу про напресування на пружний вал тонкої пружної оболонки з кусково-сталими механічними і геометричними характеристиками з урахуванням мікроструктури поверхні вала.
Постановка задачі [2] полягає в тому, що на нескінченний вал - радіусу R напресовано з натягом r0 нескінченну оболонку - із кусочно-сталими механічними і геометричними характеристиками (точка поділу ). На оболонку діє радіальне навантаження g0(. Потрібно знайти прогини оболонки w(, згинаючий момент M0( і контактне напруження p0
Якщо позначити радіальні зсуви поверхневих точок вала через u0, то ці зсуви можна визначити за формулами:
, (4.1)
. (4.2)
Тут – коефіцієнт Штаєрмана, що характеризує мікроструктуру поверхневих точок вала; 0 коефіцієнт Пуассона для вала; E0 – модуль пружності для вала; I0(t), I1(t) – функції Бесселя уявного аргументу нульового і першого порядків.
Прогини оболонки повинні задовольняти рівняння
, (4.3)
,
,
де – циліндрична жорсткість оболонки, – товщина оболонки і – модуль пружності її, – відповідно коефіцієнт Пуассона зліва і справа від серединної площини напресованої оболонки.
Крім того, оскільки має місце напресовка з натягом r0, то повинне виконуватися співвідношення
u0w0=r0, - , (4.4)
де r0 – стала.
Нарешті, повинні виконуватися умови спряження:
w0(j)(+0)=w0(j)(-0)=cj, j=0,1 , (4.5)
D1w0(j)(+0)=D2w0(j)(-0)=cj, j=2,3 .
Умови (4.5) означають неперервність прогину оболонки, кутів повороту, згинаючого моменту і поперечних сил у точці .
Якщо ввести в системі (4.1)-(4.5) позначення
f(x)=Rp0(x), q(x)=Rg0(x),
u(x)=u0(x), w(x)=w0(x), ,
і застосувати інтегральне перетворення Фур’є, то вона зведеться до ЗР вигляду
, (4.6)
, (4.7)
G1(x)=R3 Q(x)(D1x4 + D11+x)-1, Q(x)=(Vq)(x), (4.8)
, R3 (V0(0))-1 . (4.9)
Тут x – узагальнена функція Дірака.
У рівності (4.6) константи с0 і с1 є шукані. Для їх визначення необхідно спочатку розв’язати ЗР (4.6), а потім знайти їх через її розв’язок. ЗР (4.6) називають “навантаженою”, тому що вільний член її містить сталі, які залежать від розв’язку самої задачі.
У підрозділі 4.2 для ілюстрації запропонованого методу розглянуто контактну задачу про напресування на пружний вал тонкої пружної оболонки з кусково-сталими механічними і геометричними характеристиками за умови, що циліндрична жорсткість по всій лінії контакту однакова. У цьому випадку циліндрична жорсткість оболонки D зв'язана співвідношенням
D=12-1E1t13 (1--1=12-1E2t23 (1-2-1. (4.10)
Умова (4.10) використовується в теорії опору матеріалів. Суть цієї умови полягає в тому, що, змінюючи механічні характеристики Е і при переході через точку =0, необхідно відповідним чином варіювати геометричну характеристику t.
З урахуванням умови (4.10) ЗР (4.6) виглядає так:
, (4.11)
де
, (4.12)
(D1=D2=D). (4.13)
Тут x – узагальнена функція Дірака, а функція G2(x) визначається за формулами (4.8), (4.12) і G2=G1(K(x))-1.
Розв’язок ЗР (4.11) розшукувався у класі узагальнених функцій. Для коректного розв’язування ЗР (4.11) у класі узагальнених функцій достатньо, щоб функція К(х) була двічі неперервно диференційованою. Таку властивість вона має .Крім цього
.
Тоді, відповідно до п. 2.2.2, ЗР (4.11) розв'язна і має єдиний розв’язок:
, (4.14)
де
, (4.15)
, G(G2( (X- , (4.16)
а константа 2 обчислюється за формулою (4.9), (4.13). Узагальнені функції визначаються рівностями
,
де інтеграл розуміється як головне значення.
Через функцію
, (4.17)
де функції W(x) будуються за формулами (4.14)-(4.16), знаходяться приведений згинаючий момент і приведене контактне напруження
, (4.18)
. (4.19)
Поряд із ЗР.11.) розглядалася наближена:
. (4.20)
Тут і оптимальні наближення функцій K(x) і G+(x). Через позначено наближений розв’язок ЗР (4.11), тобто розв’язок ЗР.20). При побудові наближеного розв’язку ЗР(4.20) використовувалась основна ідея: функція обиралась такою, щоб її факторизація виконувалася елементарно і щоб похибка при цьому була мінімальною. Точний і наближений розв’язок розшукувався в просторі функцій , аналітичних відповідно у верхній та нижній півплощинах і таких, що
, . (4.21)
Завдяки класам (4.21) і конкретному виборові функціонала Т:
показано, що, якщо функції і задовольняють умови
а) ;
б) - двічі неперервно диференційована на всій зімкнутій осі OX;
в) ;
г) ;
;
д) ;
е) ,
то.
Таким чином, різниця між точним і наближеним розв’язком задачі Рімана належить більш вузькому класу, причому середня квадратична похибка буде тим меншою, чим меншою будуть величини
.
Відзначимо, що для виконання умов в) та г) необхідно покласти
. (4.22)
Наближені значення згинаючих моментів знаходяться за формулами
, (4.23)
а наближені приведені контактні напруження за формулами
. (4.24)
Враховуючи умову (4.22), апроксимація функції K(x), яка визначена за формулою (4.12), здійснювалася в першому та другому наближенні:
; (4.25)
.
Відповідні розв'язки (контактне напруження і згинаючий момент) названі розв'язками в першому та другому наближенні. Вказані наближення будуються такими, що на нескінченності вони збігаються із точними значеннями.
Проведено чисельний експеримент. Покладено E0=2.1105 H/MM2, , , E2=kE1, t2=10-1R, , , r0=10-3R, R=102MM, q0(x)=0, =0.
Тоді відповідно до (4.25 ) будемо мати
,
.
Таким чином, наближені розв’язки будуть залежати від величин E1 або E2 та k. Для різноманітних сполучень вони будуть різними.
Завдяки формулам (4.23)-(4.24) і очевидним співвідношенням
легко побудувати епюри наближеного згинаючого моменту M0() та наближеного контактного напруження .
Для ілюстрації зображено (рис. 4.2-4.3) та (рис. 4.4-4.5) у випадку трьох сполучень оболонки (сталь-алюміній: E2=2.1105 H/MM2, k=3; мідь-алюміній: E2=1.1105 H/MM2, ; латунь-алюміній E2=0.75 H/MM2, ). На рисунках 4.2-4.3 криві 1-3 характеризують наближені значення згинаючих моментів . При E1=0.7105 H/MM2 крива 1 відповідає k=3; крива 2 відповідає ; крива 3 відповідає .
Рис. 4.2-4.3.Епюри згинаючих моментів відповідно в першому і другому наближеннях при різних значеннях k=E2/E1
Рис. 4.4-4.5. Епюри контактних напружень відповідно в першому і другому наближеннях при різних значеннях k=E2/E1
На рисунках 4.4-4.5 криві 1-3 характеризують наближене контактне напруження при E1=0.7105 H/MM2. Крива 1 відповідає k=3; крива 2 відповідає ; крива 3 відповідає .
З рисунків 4.2-4.5 видно, що при картина напруженого стану вала й оболонки практично збігається з випадком однорідної оболонки.
Розглядається також випадок вінклерівської основи, тобто випадок, коли поверхневі переміщення точок вала пов'язані співвідношенням
. (4.26)
У такій постановці контактна задача розв’язується порівняно просто. Вона зводиться до розв'язування двох звичайних диференціальних рівнянь четвертого порядку з використанням умов (4.5). Проте виявилося, що ефективніше (див.[20] ) вказана задача розв’язується шляхом зведення її до ЗР
, (4.27)
.
Тут позначення ті ж самі, що були введені раніше.
Константа з урахуванням (4.26) має вигляд
.
Розв'язання ЗР (4.27) будується легко. Функції w(x) знаходяться за формулами (4.14)-(4.17). Точні значення згинаючого моменту визначаються з рівності
. (4.28)
При цьому варто звернути увагу на те, що структури функцій, які визначаються за формулами (4.28) збігаються зі структурами функцій , визначених формулами (4.23).
Що ж до приведеного контактного напруження, то воно обчислюється за формулою
. (4.29)
Аналіз формул (4.23)-(4.24), (4.28)-(4.29) показав, що розв'язок задачі з вінклерівською основою цілком збігається з першим наближенням розв'язку вихідної задачі за умови, що .
Таким чином, у першому наближенні поставлену задачу можна розв’язувати як задачу з вінклерівською основою, але при відповідному виборі коефіцієнту Вінклера. Проте, треба відзначити, що абсолютна похибка (див. рис. 4.2-4.5) незначна для r0=10-3R. Якщо ж r0 збільшувати, то абсолютна похибка збільшується. Природно, що в цих випадках треба користуватися більш точним – другим наближенням.
У підрозділі 4.3 розглянуто контактну задачу теорії пружності для нескін-ченного циліндра, затиснутого в півнескінченну оболонку з урахуванням мікроструктури поверхневих точок циліндра. При розв'язуванні цієї задачі відразу виникає питання, чи можна одержати її розв'язок шляхом граничного переходу (t20) з розв'язку задачі п. 4.2.
Дослідження показало, що формальний граничний перехід неможливий. Таким чином цю задачу треба розв'язувати окремо. При цьому відзначимо, що специфіка розглянутої задачі полягає в тому, що у всякому випадку вона зводиться до "навантаженої” ЗР. Незважаючи на додаткові труднощі, контактну задачу розв'язано. При цому отримано точні граничні значення контактного напруження в нескінченно віддаленій точці. Проведено також чисельний експеримент, завдяки якому наведено епюри (рис.4.1-4.2) наближених значень моментів та напружень у першому і другому наближенні при різних ( – коефіцієнт Штаєрмана, R – радіус циліндра, E0 – модуль пружності, 0 – коефіцієнт Пуассона циліндра.
Рис. 4.6-4.7.Епюри контактних напружень і згинаючих моментів відповідно в першому і другому наближенні при = 10-2 (0= 10-8)
Рис. 4.3-4.4 . Епюри контактних напружень і згинаючих моментів відповідно в першому та другому наближенні при = 1 (0= 10-6)
Як видно із рисунків, при = 1 перше і друге наближення для контактних напружень практично збігається, а при = 10-2 є розходження.
Аналіз результатів п .4.3 показав, що введення коефіцієнту, який характеризує мікроструктуру поверхні циліндра, доцільно як з математичної, так і з механічної точок зору. З математичної точки зору отримуються "гладкі" розв'язки, а з точки зору механіки визначаються контактні напруження і згинаючі моменти, які можна варіювати в відповідності з конкретною ситуацією. Наприклад, якщо при проведенні експерименту виявляється, що в околі торцевого перерізу контактні напруження набагато менші границі текучості (справедливі закони лінійної теорії пружності), то врахування мікроструктури необхідне. Більше того, можна із даного експерименту наближено визначити коефіцієнт Штаєрмана.
Додаткові дослідження цієї контактної задачі показали, що при напресу-ванні оболонки з порівняно невеликим натягом можна реалізувати спрощену механічну і, відповідно, математичну модель, яка пов'язана з вінклерівською залежністю. При цьому переміщення точок вала дорівнює сумі складових штаєрманського і вінклерівського переміщень.
У підрозділі 4.3 досліджується класична задача Галіна. Мета вивчення цієї задачі перебувала не в побудові наближеного розв'язання та визначенні асимптотичної поведінки компонентів тензора напружень і вектора переміщень в околі точок зміни граничних умов (у цьому сенсі вона досить досліджена), а у вивченні питання про існування розв'язку задачі Галіна.
У підрозділі 4.4 пропонується новий спосіб розв'язання контактної задачі про вдавлювання штампа на тонке трасверсально-ізотропне покриття, яке зчеплене з пружною півплощиною Пелех Б.Л., Максимук А.В., Коровайчук И.М. Контактные задачи для слоистых элементов конструкций и тел с покрытиями. – Киев: Наук. думка, 1988. - 280 с.. На наш погляд, він більш ефективний у порівнянні з відомим, тому що: по-перше, розв'язок будується без додаткової умови , по-друге, розв'язок записується більш компактно, по-третє, помічено, що в довільному випадку умова не здійснюється.
П'ятий розділ присвячений фундаментально важливому підрозділу теорії пружності – бігармонічним проблемам.
У підрозділі 5.1 розглядається основна задача теорії пружності для симетричної лунки, коли на її межі задані симетрично розподілене нормальне навантаження і відсутні дотичні напруження. Задача розв'язується точно. При цьому компоненти тензора напружень визначаються через розв'язок наступної ЗК для смуги з паралельним зсувом на дійсну вісь
. (5.1)
У п. 2.4.3.1 наводиться розв'язок її. Він виглядає так
.
Тут q()-задана функція, що характеризує розподілене навантаження.
Більш докладно розглянуто окремі випадки.
1) Випадок зосередженої сили (q()=p()).
Показано, що компоненти тензора напружень мають властивості:
.
Якщо ж /2 < , то вони при необмежено зростають.
2)Випадок розподіленого навантаження .
У цьому випадку розв'язок функціонального рівняння має вигляд
.
Це дозволяє одержати точний розв'язок поставленої проблеми.
Зокрема показано, що функція прогину визначається за формулою, яка цілком збігається з формулою, отриманою Я.С. Уфляндом при дослідженні цього окремого випадку.
Точно так само, як і у випадку зосередженої сили можна показати, що компоненти тензора напружень при ± прямують до нуля, якщо 0 < /2 і до нескінченності, якщо /2 < .
У підрозділі 5.2 розглядається власне мішана задача [3] про згин тонкої пружної плити у формі сегментної лунки, завантаженої рівномірно. За допомогою інтегрального перетворення Фур'є вона зводиться до ЗР. При цьому отримано точний і наближений розв'язок її. Останній будується за допомогою методу наближеної факторизації з урахуванням геометричних форм лунки. Аналіз отриманих розв'язків дозволив одержати точні і наближені розрахункові формули для обчислення згинаючих моментів на затисненій межі, а також поведінку згинаючих моментів у кутових точках і точках поділу граничних умов. Встановлено, що на межовій координатній лінії =0, в точці розділу граничних умов (=0) при всіх параметрах, наближений згинаючий момент () має кореневу особливість(()=,); при - він прямує до нескінченності або до скінченної границі, в залежності від значень параметрів, які характеризують даний наближений розв'язок. На межовій координатній лінії = наближений згинаючий момент прямує при 0<< до скінченної границі. Величини та M(±), при різних (0;), обчислюються точно і збігаються.
У підрозділі 5.3 розглянуто задачу про прогин пружної тонкої плити, постановка якої полягає в наступному: потрібно знайти прогини і згинаючі моменти точок пружної плити у формі сегменту (рис. 5.3), яка згинається поперечним навантаженням інтенсивності на одиницю площі за умовою, що прямолійну частину межі защемлено, а залишена є обпертою.
Рис. 5.3
Метод, описаний у монографії Я.С. Уфлянда, не вирішує поставлену проблему. Запропонований метод дозволяє звести розглянуту задачу до ЗК для смуги з трьома зсувами в область наступного вигляду:
+
+, (5.2)
де Ф(x) –
