МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

КИЇВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

БУДІВНИЦТВА І АРХІТЕКТУРИ

ЧЕРНИШОВА Еліна Олександрівна

УДК 514.18

ВИКОРИСТАННЯ ФУНКЦІЙ КОМПЛЕКСНОГО ЗМІННОГО ДЛЯ ПОБУДОВИ ПОВЕРХОНЬ ТЕХНІЧНИХ ФОРМ

Спеціальність 05.01.01 –

Прикладна геометрія, інженерна графіка

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата технічних наук

КИЇВ-2007

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Національному аграрному університеті Кабінету міністрів України.

Науковий керівник: – доктор технічних наук, професор Пилипака Сергій Федорович,
завідувач кафедри нарисної геометрії, комп’ютерної графіки та дизайну Національного аграрного університету України (м. Київ);

Офіційні опоненти: – доктор технічних наук, професор Скідан Іван Андрійович,
завідувач кафедри нарисної геометрії та інженерної графіки Донецького національного технічного університету (м. Донецьк); –

кандидат технічних наук, доцент Гнітецька Тетяна Віталіївна,
доцент кафедри нарисної геометрії, інженерної та комп’ютерної графіки Національного технічного університету України „КПІ” (м. Київ);

Провідна установа: Таврійська державна агротехнічна академія Міністерства аграрної політики України, кафедра прикладної математики і обчислювальної техніки (м. Мелітополь).

Захист відбудеться 17.05.2007 р. о 13_ годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.056.06 у Київському національному університеті будівництва і архітектури за адресою:

03680, м. Київ, Повітрофлотський просп., 31, ауд. 466.

З дисертацією можна ознайомитися в бібліотеці Київського національного університету будівництва і архітектури за адресою:

03680, м. Київ, Повітрофлотський просп., 31, КНУБА.

Автореферат розісланий 15.04.2007 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради В.О. Плоский

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Сучасний розвиток науки, техніки, технології з одного боку, та програмно-технічного забезпечення комп’ютерних технологій з іншого вносить все більші зміни в розвиток побудови кривих та поверхонь. Це, в свою чергу, вимагає використання нових методів при конструюванні геометричних елементів. Одним із шляхів розвитку геометричних побудов у просторі та на площині є застосування теоретичного апарату функцій комплексного змінного.

При використанні функцій комплексного змінного часто доводиться виконувати складні перетворення та спрощення частин функції. Такі дії в більшості випадків займали досить багато часу. Розвиток сучасних технологій та систем комп’ютерної математики значно полегшує процес перетворення і дозволяє по-новому підійти до використання функцій комплексного змінного.

Одним із способів такого використання є побудова на площині кривих за допомогою конформних відображень, що реалізуються функціями комплексного змінного. Оскільки в літературі розглядаються лише загальні властивості конформних перетворень, виникла необхідність дослідити конформне перетворення довільних кривих.

Досить часто при розв’язанні теоретичних та практичних задач розв’язок, до складу якого входить уявна одиниця, відкидається. А це в свою чергу може призвести до втрати частини розв’язку.

Мінімальні поверхні широко розповсюджені в природі як найбільш економні поверхні: вони мають найменшу площу між замикаючим їх контуром, напруження у всіх напрямках поверхні однакове. Ці властивості мінімальних поверхонь визначають їх переваги в проектуванні та будівництві. В роботах Агальцева А.В., Курека Г.К. побудова мінімальних поверхонь відбувається шляхом конструювання дискретного каркасу цих поверхонь. В зв’язку з новими можливостями, які з’явилися завдяки розвитку комп’ютерних технологій, постала задача побудови суцільних мінімальних поверхонь та їх неперервного згинання за допомогою використання елементів теорії функцій комплексного змінного.

Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертаційна робота виконувалась у Національному аграрному університеті у відповідності з планом наукових досліджень кафедри нарисної геометрії, комп’ютерної графіки та дизайну “Конструювання поверхонь технічних форм та їх автоматизоване проектування” у відповідності з галузевими НДР.

Мета і задачі дослідження. Метою досліджень є розробка методів та способів геометричного моделювання кривих та поверхонь на основі наукових положень теорії і застосувань функцій комплексного змінного.

Для досягнення поставленої мети необхідно розв’язати такі задачі:

- виконати огляд існуючих методів побудови кривих та поверхонь;

- розробити метод перетворення плоских та просторових ізотермічних сіток;

- розробити метод побудови профілів Жуковського та дослідити форму отриманого профілю в залежності від виду відображуваної кривої та розміщення точки її дотику до базового кола відображення;

- розробити метод побудови ізотропних просторових кривих за заданими горизонтальними проекціями;

- розширити методи формоутворення мінімальних поверхонь за заданою геодезичною лінією;

- впровадити результати виконаних досліджень у практику для побудови поверхонь технічних форм.

Об’єктом дослідження є криві, плоскі та просторові ортогональні сітки, мінімальні поверхні.

Предметом дослідження є способи конструювання вказаних геометричних об’єктів шляхом застосування елементів функцій комплексного змінного.

Методи дослідження. Поставлені у роботі задачі розв’язувались на основі методів аналітичної та диференціальної геометрії, комп’ютерної графіки у середовищі математичних процесорів Марle, MATLAB та Mathematica, теорії функції комплексного змінного, теорії кривих та поверхонь.

Теоретичною базою даних досліджень були наступні роботи:

- в галузі моделювання кривих ліній і поверхонь: Без’є П., Балюби І.Г., Ваніна В.В., Дорошенка Ю.О., Іванова Г.С., Куценка Л.М., Ковальова С.М., Михайленка В.Є., Несвідоміна В.М., Обухової В.С., Підгорного О.Л., Пилипаки С.Ф., Скидана І.А. та ін.;

- із класичної теорії функцій комплексного змінного та її застосування: Жуковського М.Є., Лаврентєва М.А., Фукса Б.А., Чаплигіна С.О., Шабата Б.В., Яглома І.М., Гумена М.С., Мартина Є.В. та ін.

- в галузі геометричного моделювання та комп’ютерної графіки: Бадаєва Ю.І., Котова І.І., Найдиша В.М., Найдиша А.В., Павлова А.В., Сазонова К.О. та ін.

Наукова новизна одержаних результатів полягає в наступному:

- створено метод побудови кривих, віднесених до ортогональних та ізометричних сіток на основі конформних перетворень за допомогою функцій комплексного змінного і розроблено відповідну програму побудови цих кривих;

- набув подальшого розвитку метод отримання кривих за допомогою функції Жуковського шляхом перетворення кола, еліпса, равлика Паскаля;

- знайдено дійсні результати перетину геометричних елементів (дійсних та уявних) на площині та в просторі;

- набув подальшого розвитку метод конструювання мінімальних поверхонь на основі ізотропних кривих, дійсна частина яких переходить на мінімальну поверхню, та кривих, заданих натуральним рівнянням;

- розроблено метод конформного відображення кривих, заданих в ізотермічних координатах, з однієї ізотермічної сітки на іншу;

- запропоновано метод побудови різних ізотермічних сіток на мінімальних поверхнях, що проходять через одну задану плоску криву;

- розроблено метод конформного перетворення кривої, що лежить на мінімальній поверхні, при неперервному згинанні цієї поверхні.

Обґрунтованість і достовірність результатів. Всі наукові положення представлені у аналітичному вигляді. Їх достовірність забезпечується перевіркою значень коефіцієнтів І та ІІ квадратичної форм і візуалізацією засобами комп’ютерної графіки аналітичних моделей.

Практичне значення одержаних результатів полягає в розробці алгоритмів та програм конформного перетворення кривих на плоских та просторових ізотермічних сітках, побудови приєднаних мінімальних поверхонь в просторі з наперед заданою геодезичною кривою для однієї з них.

Впровадження результатів роботи здійснено в навчальний процес Ніжинського агротехнічного інституту Національного аграрного університету. Методику моделювання поверхонь технічних форм за допомогою функцій комплексного змінного передано для впровадження до ННЦ “Інститут механізації та електрифікації сільського господарства”.

Особистий внесок здобувача в співавторських публікаціях полягає у розробці наступних питань:

– здійснено конформне перетворення прямолінійних ортогональних сіток в криволінійні ортогональні сітки за допомогою функцій комплексного змінного;

– здійснено конформне відображення геометричних елементів, віднесених до ізотермічних координат, з однієї плоскої сітки на іншу;

– здійснено побудову приєднаних мінімальних поверхонь на основі формул Шварца;

– запропоновано спосіб побудови мінімальних поверхонь, геодезична крива яких задана натуральним рівнянням;

– запропоновано спосіб утворення ізотропних кривих, здійснено побудову на їх основі приєднаних мінімальних поверхонь.

Апробація результатів дисертації. Результати дисертаційних досліджень доповідались: на міжнародній науково-практичній конференції „Сучасні проблеми геометричного моделювання” у м. Дніпропетровськ (2006 р.), на третій кримській науково-практичної конференції “Геометричне та комп’ютерне моделювання: енергозбереження, екологія, дизайн” (2006) та на наукових семінарах кафедри нарисної геометрії, інженерної та комп’ютерної графіки Національного аграрного університету (2004 – 2006 р.р.).

Публікації. Результати досліджень висвітлено у 6 наукових працях, з них 5 опубліковані у фахових виданнях, затверджених ВАК України, 4 праці опубліковані у співавторстві, решта – одноосібно.

Структура дисертації. Дисертація складається із вступу, чотирьох розділів, висновків, списку використаних джерел із 113 найменувань та трьох додатків. Робота містить 161 сторінку машинописного тексту, 54 рисунка.

ЗМІСТ РОБОТИ

Вступ містить загальну характеристику роботи. В ньому обґрунтовано актуальність теми, сформульовано мету та задачі досліджень, показано наукову новизну та практичне значення результатів дисертації.

У першому розділі наведено огляд літературних джерел за обраною темою, розглянуто основні поняття теорії функцій комплексного змінного та принципи зображення комплексних чисел на площині. Функції комплексного змінного знаходять застосування у таких дисциплінах, як гідродинаміка, механіка, теорія коливань, теорія пружності, електротехніка, радіотехніка, авіабудування тощо.

Конформні відображення тісно пов’язані з функцією комплексного змінного, оскільки задавши аналітичну та неперервну функцію комплексного змінного, можна задати конформне відображення. Метод конформного відображення має застосування в різних областях фізики для розв’язання практичних задач теорії пружності, фільтрації, теорій електростатичного, магнітного та теплових полів тощо. Важливою властивістю конформних перетворень при відображенні є постійність кутів між кривими.

Конформне відображення, яке реалізується за допомогою функції комплексної змінної, використовував в своїх дослідженнях Жуковський М.Є. для побудови профілів крила та лопаті гвинта літака. Він розглядав конформне відображення кола, що дотикається до базового кола відображення у точці, розміщеній на дійсній осі.

Функцію комплексного змінного використовують при побудові мінімальних поверхонь – тобто поверхонь, середня кривина Н яких дорівнює нулю в усіх їх точках. Мінімальні поверхні мають найменшу площу серед усіх поверхонь, що проходять через заданий контур. У цих поверхонь напруження на всіх напрямках однакове, їх форма забезпечує рівномірний розподіл зусиль на будь-якій частині поверхні і залежить лише від форми заданої кривої, через яку поверхня проходить. Ці властивості мінімальних поверхонь визначають їх переваги в проектуванні і будівництві. Вони лежать в основі вантових, тентових конструкцій, висячих систем, оболонок покриттів.

В першому розділі наведено формули мінімальних поверхонь Шварца та Вейєрштрасса, які є відправними для досліджень щодо мінімальних поверхонь, проведених у даній роботі.

Другий розділ присвячено використанню функцій комплексного змінного для побудови геометричних елементів на площині.

Сітки, одержані при конформних перетвореннях функціями комплексного змінного, є ізотермічними. Це означає, що коефіцієнти І квадратичної форми E=G, а самі прямокутні елементи сітки є нескінченно малими квадратами. Наприклад, при конформному перетворенні прямолінійної сітки (рис. , а) функцією отримаємо полярну ізотермічну сітку (рис. , б), при перетворенні функцією одержимо параболічну ізотермічну сітку (рис. , в), а при перетворенні функцією одержимо еліптичну ізотермічну сітку (рис. , г).

Такі ізотермічні сітки дозволяють здійснити конформне перетворення кривих з однієї сітки на іншу. У розділі досліджено, які рівняння будуть мати криві, отримані внаслідок конформного відображення функціями комплексного змінного кривих, заданих різними способами на комплексній площині Z.

Так, якщо крива задається у явній формі , отримаємо рівняння конформно перетвореної кривої у вигляді:

u=Re{f(x+i•y(x))}; v= Im{f(x+i•y(x))},

де Rez – дійсна частина комплексної функції, Imz – уявна частина комплексної функції.

Рівняння кривої, заданої параметричними рівняннями x=x(t); y=y(t) та конформно перетвореної функцією f(w) запишуться в параметричному вигляді :

u=Re{f(x(t)+i•y(t))}; v= Im{f(x(t)+i•y(t))},

Рівняння кривої, заданої в полярних координатах та конформно перетвореної функцією f(z), мають вигляд:

Рис. 1. Конформне перетворення прямолінійної сітки функціями
комплексного змінного.

Рівняння кривої, заданої натуральним рівнянням k=k(s) та конформно перетвореної функцією f(w), запишуться:

Для автоматизації процесу побудови відповідних кривих розроблені програми, написані для системи комп’ютерної математики Maple.

На рис. показано конформне відображення функцією f(w)=w2 кола радіусом ,5 одиниці з центром у початку координат параболічної ізотермічної системи (рис. , а), зміщеним по осі Ох на 1,5 одиниці (рис. 2, б) та зміщеним по осі Оу на 1,5 одиниці (рис. 2, в).

Рис. 2. Конформне відображення кола функцією f(w)=w2 на

параболічну ізотермічну систему

Розв’язуючи рівняння або системи рівнянь для знаходження точок перетину певних геометричних елементів, як правило, відкидають розв’язки, що містять комплексні числа як такі, що є уявними, які неможливо уявити чи зобразити на площині, в просторі. Тим самим відкидаються важливі елементи як дійсних, так і уявних геометричних елементів нестача яких веде до неповного розв’язку поставленої задачі.

В розділі розглядається побудова дотичних до параболи та кола в точках їх перетину з прямими у випадках, коли координати цих точок є як дійсними, так і комплексними числами.

На рис. 3 відображено геометричне місце точок, що є точками перетину дотичних, проведених до кола (x-a)2+(y-b)2=R2 в точках його перетину з довільною прямою y=k(x-c)+d (де – тангенс кута нахилу прямої до осі Ох), яка проходить через довільну точку площини P (c, d).

При зміні кута нахилу від 0 до пряма, що проходить через задану точку Р, буде перетинати коло в дійсних або уявних точках. Таким чином дотичні, проведені в цих точках, також будуть дійсними або уявними. Але в будь-якому випадку точки перетину дотичних мають дійсні координати:

…;…

Ділянка прямої, показана на рис. штрих-пунктирною лінією, отримана як результат перетину уявних дотичних.

При ігноруванні уявних дотичних розв’язок буде неповним, оскільки буде відсутня ділянка прямої всередині кола.

У розділі 3, аналогічно випадку на площині, розглянуто побудову дотичних площин до параболоїда обертання, що проходять через дійсні та уявні точки заданого параболоїду.

Записано модифіковані формули Шварца побудови приєднаних мінімальних поверхонь для випадку, коли плоска геодезична крива задається натуральним рівнянням k=k(s):

;

,

де s=u+i•v, .

На рис. 4 побудовані приєднані мінімальні поверхні, для яких вихідна крива – ланцюгова лінія – була задана параметричним рівнянням у функції довжини дуги.

Рис. 4. Приєднані мінімальні поверхні, що відповідають ланцюговій лінії,
заданій натуральним рівнянням

Слід зауважити, що перехід від довільного до натурального параметра кривої, тобто віднесення однієї і тієї ж поверхні до різних сімей координатних ліній, змінює сітку координатних ліній мінімальних поверхонь.

Далі в розділі пропонується спосіб побудови ізотропних кривих і отриманих з них приєднаних мінімальних поверхонь, який полягає в наступному:

За вихідну умову розглядається плоска крива, задана параметричними рівняннями: . Оскільки довжина дуги ізотропної лінії дорівнює нулю, тобто виконується умова: , це дає змогу знайти рівняння координати z шуканої ізотропної кривої:

...

Для знаходження рівнянь приєднаних мінімальних поверхонь вводиться заміна
t=u+i•v. Відокремлення окремо дійсної та уявної частини з утворених виразів дають шукані рівняння:

При цьому задана плоска крива x=x(t); y=y(t) буде знаходитися на мінімальній поверхні та представлятиме собою геодезичну лінію поверхні.

На рис. 5 наведено приєднані мінімальні поверхні, для яких за вихідну плоску криву взято логарифмічну спіраль: (або …).

Рис. 5. Приєднані мінімальні поверхні, для яких геодезичною лінією є логарифмічна спіраль

Рівняння приєднаних мінімальних поверхонь, що відповідають логарифмічній спіралі мають вигляд:

… (1)

… (2)

Коефіцієнти першої квадратичної форми для обох поверхонь мають вигляд:

Коефіцієнти другої квадратичної форми поверхні (1) запишуться:

…

Коефіцієнти другої квадратичної форми поверхні (2) мають вигляд:

Отже середня кривина для обох поверхонь H=0, тобто поверхні (1) та (2) – мінімальні поверхні.

Окремо розглянуто випадок, коли в рівняння плоскої кривої x=x(t); y=y(t) замість змінної t підставляється функція від цієї змінної f(t). Тоді рівняння ізотропної кривої мають вигляд:

x=x(f(t)); y=y(f(t)), .

В цьому випадку рівняння мінімальної поверхні запишуться:

X=Re{x(f(u+i•v))};

Y=Re{y(f(u+i•v))};

(3)

Рівняння приєднаної мінімальної поверхні мають вигляд:

X=Im{x(f(u+i•v))};

Y=Im{y(f(u+i•v))};

(4)

Як приклад розглянуто побудову приєднаних мінімальних поверхонь на основі кола x=a cos(t); y=a sin(t). Приєднаними мінімальними поверхнями для цієї кривої будуть катеноїд та гвинтовий коноїд.

До рівнянь кола замість змінної t підставляється довільна функція, наприклад,
f(t)=sin(t). Тоді рівняння утвореної ізотропної кривої має вигляд:

x=a cos(sin(t)); y=a sin(sin(t)); z=i a sin(t).

За формулами (3) отримуються рівняння відповідної мінімальної поверхні:

…

Рівняння приєднаної мінімальної поверхні, утворені за формулами (4), запишуться:

…

Утворені приєднані мінімальні поверхні побудовані на рис. 6.

Коефіцієнти першої квадратичної форми, а також середня кривина утворених приєднаних мінімальних поверхонь мають значення:

; F=0; H=0.

Рис. 6. Приєднані мінімальні поверхні (відсіки катеноїда і гвинтового коноїда), побудовані на основі кола x=a cos(sin(t)); y=a sin(sin(t))

Таким чином, підставляючи до рівнянь проекції ізотропної кривої замість змінної t функцію від цієї змінної f(t), отримуються мінімальні поверхні, що представляють собою відсіки приєднаних мінімальних поверхонь, утворених без введення такої заміни. Введення такої заміни дозволяє задати інші ізотропні сітки на приєднаних мінімальних поверхнях.

В розділі 3 розглядається побудова різних ізотермічних сіток на заданій мінімальній поверхні.

Нехай мінімальна поверхня задана параметричними рівняннями: X=X(u,v); Y=Y(u,v); Z=Z(u,v). З параметрів u та v цієї поверхні утворюється комплексне змінне: z=u+i•v. Далі задається функція від утвореного комплексного змінного f(z) та вводиться заміна в рівняння поверхні таким чином: u=Re{f(z)}; v= Im{f(z)}, тобто замість параметрів u та v підставляються дійсна та уявна частини утвореної функції. Таким чином, рівняння утвореної мінімальної поверхні мають вигляд:

X=X(Re{f(z)}, Im{f(z)});

Y=Y(Re{f(z)}, Im{f(z)});

Z=Z(Re{f(z)}, Im{f(z)}).

Твердження. Всяку мінімальну поверхню, віднесену до ізотермічної системи координатних ліній, можна перезадати в іншій ізотермічній системі. Це досягається введенням нової аналітичної функції комплексного змінного, складеного з комплексної комбінації параметрів заданої мінімальної поверхні, або ж введенням цієї ж функції дійсної змінної в параметричних рівняннях геодезичної лінії поверхні, яка конструюється.

Приклад. За геодезичну лінію мінімальної поверхні візьмемо коло:

… (5)

З умови знаходження просторової ізотропної кривої одержимо: z=Rit.

Введенням комплексної змінної за формулами (3) знаходимо рівняння мінімальної поверхні (катеноїда):

.

Введемо нову аналітичну функцію ez, де z=u+i•v. Оскільки , , то після підстановки нових змінних рівняння катеноїда приймає новий вигляд :

(6)

Аналогічний результат можна одержати введенням функції et, де t – дійсна змінна у параметричних рівняннях кола – геодезичної лінії. Цю функцію приймаємо за нову змінну t. Рівняння ізотропної кривої запишуться:

Перші два рівняння теж є рівняннями кола, однак при рівномірній зміні параметра t точки на колі будуть розташовані нерівномірно.

Ввівши комплексну змінну, тобто повторивши те, що було зроблено по відношенню до рівнянь кола (5), одержимо рівняння (6). На рис. 7 зображено фронтальну, профільну проекції та аксонометрію утвореної поверхні.

Пропонується спосіб введення формул згинання двох приєднаних мінімальних поверхонь одна на одну. Для цього розглядається комплексна комбінація радіус-векторів мінімальної поверхні та приєднаної до неї мінімальної поверхні :

.

Рис. 7. Приєднані мінімальні поверхні, побудовані на основі ізотропної кривої

Вектор множиться на число , де – довільний кут та відокремлюються дійсна та уявна частини утвореного виразу, кожна з яких визначають рівняння згинання мінімальної поверхні на приєднану та навпаки :

;

.

Сім’ю поверхонь, отриманих при значеннях кута , називають асоційованими мінімальними поверхнями.

На рис. 8 наведено приклад згинання мінімальної поверхні, плоскою геодезичною кривою для якої є циклоїда.

Оскільки координатні сітки на утворених мінімальних поверхнях є ізотермічними, це дозволяє конформно відображати плоску криву на мінімальну поверхню. Конформне перетворення кола на мінімальній поверхні при її неперервному згинанні показано на рис. . Геодезична лінія, на основі якої побудовано мінімальну поверхню, має наступні параметричні рівняння у функціях довжини дуги:

.

Рис. 8. Згинання мінімальної поверхні із геодезичною кривою –
циклоїдою на приєднану до неї

Розділ 4 присвячено побудові кривих, утворених шляхом конформного перетворення кола, еліпсу, равлика Паскаля за допомогою функції Жуковського.

Рис. 9. Конформне перетворення кола на мінімальній поверхні при її згинанні

В своїх дослідженнях по побудові профілів крил та лопатей гвинта літака Жуковський М.Є. використовував функцію комплексного змінного для конформного перетворення кола, де z, w – комплексні числа, a>0 – дійсне число, радіус базового кола відображення. При цьому точка дотику базового кола відображення до кола, що відображається, розміщувалася на дійсній осі Ох. З метою розширення запропонованого Жуковським методу побудови профілів проведено дослідження щодо форми, яку будуть мати профілі при конформному відображенні інших плоских кривих з точками дотику до базового кола відображення, що знаходяться як на дійсній осі, так і в довільному місці комплексної площини. Було розглянуто конформне відображення кола, еліпсу, равлика Паскаля. З’ясовано, що при збільшенні кута – між напрямком осі Ох та відрізком, що з’єднує початок координат із точкою дотику заданої кривої та базового кола відображення, від 0 до гострий кінець профілю все більш заокруглюється і, в решті решт, профіль стає симетричним відносно осі Оу. На рис. 10 відображено вихідні умови (рис. 10, а) та зміну форми профілю, отриманого при конформному відображенні кола, при значеннях кута рівних (рис. 10, б), (рис. 10, в), (рис. 9, г), (рис. 10, д), (рис. 10, е).

Рис. 10. Профілі, утворені при конформному перетворенні кола при зміні кута .

Розглянуто побудову поверхонь, утворених шляхом обертання фрагментів профілів Жуковського навколо осі Oz.

На рис. 11 побудовано поверхні, утворені шляхом обертання симетричного профілю Жуковського, при різних значеннях сталих коефіцієнтів a та d за рівняннями:

… (7)

Рис. 11. Поверхні обертання, утворені за рівняннями (7) при різних значеннях сталих коефіцієнтів: а) a=1, d=1; б) a=3, d=1, в) a=1, d=2.

Знайдено формулу обчислення довжини тіла обертання (7):

,

а також формулу для обчислення найбільшого діаметру цієї поверхні:

, (8)

де .

Координати центра мас тіла, обмеженого поверхнею (8), визначаться із виразу:

.

Розроблено методику моделювання коренеплодів моркви та буряка за заданими довжиною та максимальним діаметром плоду.

ВИСНОВКИ

Дисертаційну роботу присвячено перспективному напрямку геометричного моделювання кривих та поверхонь на основі наукових положень теорії і застосувань функцій комплексного змінного.

Значення для науки полягає в подальшому удосконаленню та розвитку методів та способів моделювання кривих та мінімальних поверхонь завдяки використанню функцій комплексного змінного.

Значення для практики полягає в розробці методики моделювання коренеплодів моркви та буряка за заданими довжиною та максимальним діаметром плоду, визначено координати центра мас утвореного тіла для описання взаємодії коренеплоду із робочими органами ґрунтообробних машин і машин для збирання коренебульбоплодів.

При вирішенні поставлених задач отримані наступні теоретичні і практичні результати.

1. Показана можливість отримання різних систем криволінійних координат у площині (полярної, параболічної, еліптичної) шляхом конформного перетворення прямолінійних ортогональних сіток за допомогою функцій комплексного змінного.

2. Запропоновано метод конформного відображення кривих, заданих різними видами рівнянь: у явній формі, параметричними рівняннями, рівняннями в полярних координатах та натуральним рівнянням.

3. В роботі показано на прикладі побудови геометричного місця точок перетину дотичних до кола, що при ігноруванні уявних елементів, отриманих в процесі розв’язання задач, може бути порушена цілісність розв’язку.

4. Розширено метод побудови приєднаних мінімальних поверхонь за формулами Шварца для випадку, коли геодезична крива задається натуральним рівнянням.

5. Розроблено метод отримання ізотропних кривих за заданою плоскою кривою – їх горизонтальною проекцією. На основі рівнянь ізотропних кривих побудовано мінімальну та приєднану поверхні, при чому геодезичною лінією мінімальної поверхні є задана плоска крива.

6. Сформульовано твердження, згідно якого всяку мінімальну поверхню, віднесену до ізотермічної системи координатних ліній, можна віднести до іншої ізотермічної системи.

7. Знайдено аналітичні формули уявних мінімальних поверхонь, приєднаних до мінімальних поверхонь, заданих формулами Монжа.

8. В роботі здійснено неперервне згинання мінімальних поверхонь на приєднані до них. Показано неперервне згинання мінімальної поверхні із заданою на ній кривою.

9. Дістали подальшого розвитку способи побудови профілів Жуковського та досліджено форму отриманих профілів в залежності від виду відображуваної кривої та розміщення точки її дотику до базового кола відображення.

10. Результати роботи впроваджено в ННЦ „Інститут механізації та електрифікації сільського господарства” та в навчальний процес Ніжинського агротехнічного інституту Національного аграрного університету.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ

1. Пилипака С.Ф., Дзюба В.В., Чернишова Е.О. Конструювання ортогональних сіток на основі перетворень функції комплексної змінноїАгротехнічний науково-методичний збірник. Збірник наукових праць Ніжинського агротехнічного інституту. – Ніжин: НАТІ, 2005. – С. 69-72.

2. Пилипака С.Ф., Дзюба В.В., Чернишова Е.О. Конформне відображення геометричних елементів поверхні, віднесеної до ізометричних координатНауковий вісник НАУ. – К.: 2006. – Вип. 101. – С. 194 - 199.

3. Пилипака С.Ф., Чернишова Е.О. Мінімальні поверхні, отримані з ізотропних кривихЗбірник наукових праць КНУДТ (спецвипуск): Доповіді третьої кримської науково-практичної конференції “Геометричне та комп’ютерне моделювання: енергозбереження, екологія, дизайн”. – К.: ДОП КНУТД, 2006. – С. 40 – 45.

4. Пилипака С.Ф., Чернишова Е.О. Побудова приєднаних мінімальних поверхонь на основі використання формул ШварцаПрикладна геометрія та інженерна графіка. – К.: КНУБА, 2006. – Вип. 76.– С. 49 – 55.

5. Чернишова Е.О. Знаходження в площині дійсних результатів перетину уявних геометричних елементівСистемні технології. Регіональний міжвузівський збірник наукових праць. – Дніпропетровськ: 2006. – Вип. 3 – С. 179 – 185.

6. Чернишова Е.О. Побудова профілів лопатей вітродвигунів на основі перетворень функції ЖуковськогоПрикладна геометрія та інженерна графіка. – К.: КНУБА, 2005. – Вип. 75.– С. 207 – 209.

АНОТАЦІЇ

Чернишова Е.О. Використання функцій комплексного змінного для побудови поверхонь технічних форм. – Рукопис

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата технічних наук за спеціальністю 05.01.01 – прикладна геометрія, інженерна графіка. – Київський національний університет будівництва і архітектури, Київ, Україна, 2006.

Дисертацію присвячено розробці методів та способів геометричного моделювання кривих та поверхонь на основі наукових положень теорії функцій комплексного змінного. Конформні відображення можна задати шляхом задання функції комплексного змінного. В роботі розглядаються конформні відображення кривих, заданих різними способами на комплексній площині Z, з однієї ізотропної сітки на іншу. Окремо розглядається конформне відображення кола, еліпсу, равлика Паскаля з точками дотику до базового кола відображення, що знаходяться як на дійсній осі, так і в довільному місці комплексної площини функціями Жуковського та отримані на їх основі поверхні обертання. Запропоновано спосіб утворення ізотропних кривих. Велика увага приділена використанню функцій комплексного змінного для побудови приєднаних мінімальних поверхонь шляхом розширення вже відомих способів їх побудови та на основі ізотропних кривих. Розглядається неперервне згинання мінімальних поверхонь на приєднані до них.

Ключові слова – функція комплексного змінного, конформне відображення, мінімальна поверхня, ізотропна крива, сім’я асоційованих поверхонь, згинання поверхонь.

Чернышова Э.А. Использование функций комплексной переменной для построения поверхностей технических форм. Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук по специальности 05.01.01 – прикладная геометрия, инженерная графика. – Киевский национальный университет строительства и архитектуры, Киев, Украина, 2007.

Конформные отображения тесно повязаны с функцией комплексного переменного, поскольку задав аналитическую и непрерывную функцию комплексного переменного, можно задать конформное отображение. Важным свойством конформных преобразований при отображении является постоянство углов между кривыми.

Сетки, полученные при конформных отображениях функциями комплексного переменного, являются изотермическими. Такие сетки позволяют осуществить конформное отображение кривых из одной сетки на другую. В работе исследовано, какие уравнения будут иметь кривые, полученные в результате конформного отображения функциями комплексного переменного кривых, заданных разными способами на комплексной плоскости: в явной форме, параметрическими уравнениями, в полярных координатах, натуральным уравнением.

С целью расширения предложенного Жуковским метода построения профилей проведено исследование, относительно формы, которую будут иметь профили при конформном отображении окружности, эллипса, улитки Паскаля с точками касания к базовой окружности отображения, которые находятся как на действительной оси, так и в произвольном месте комплексной плоскости, с помощью функции Жуковского. Разработана методика построения сельскохозяйственных материалов (корнеплодов моркови и свеклы) за заданными длиной и максимальной шириной на основе поверхностей, образованных путем вращения профилей вокруг оси.

Решая уравнение или системы уравнений для нахождения точек пересечения определенных геометрических элементов, как правило, отбрасывают решения, содержащие комплексные числа как такие, что являются мнимыми и которые невозможно представить или изобразить на плоскости, в пространстве. Тем самым отбрасываются важные элементы как действительных, так и мнимых геометрических элементов, нехватка которых ведет к неполному решению поставленной задачи.

В работе рассматриваются построения касательных к параболе и окружности в точках их пересечения с прямыми в случаях, когда координаты этих точек являются как действительными, так и комплексными числами, а также касательных плоскостей к параболоиду вращения, которые проходят через действительные и мнимые точки заданного параболоида.

Функцию комплексного переменного используют при построении минимальных поверхностей – то есть поверхностей, средняя кривизна которых равняется нулю во всех их точках. Минимальные поверхности имеют наименьшую площадь среди всех поверхностей, которые проходят через заданный контур.

Записаны формулы Шварца построения присоединенных минимальных поверхностей для случая, когда плоская геодезическая кривая задается натуральным уравнением, при этом переход от произвольного к натуральному параметру кривой, то есть отнесение одной и той же поверхности к разным семьям координатных линий, изменяет сетку координатных линий минимальных поверхностей.

Предлагается способ построения изотропных кривых и полученных на их основе присоединенных минимальных поверхностей.

Отдельно рассмотрен случай, когда в параметрические уравнения плоской кривой вместо параметра подставляется функция от этого параметра. В этом случае получаются минимальные поверхности, что представляют собой отсеки присоединенных минимальных поверхностей, образованных без введения такой замены, то есть таким образом задаются другие изотропные сетки на присоединенных минимальных поверхностях.

Для построения разных изотермических сеток на заданной минимальной поверхности предлагается следующая подстановка: вместо параметров поверхности вводится действительная и мнимая части функции от комплексной комбинации этих параметров.

Предлагается способ введения формул изгибания двух присоединенных минимальных поверхностей одна на другую путем отделения действительной и мнимой частей комплексной комбинации радиус-векторов минимальной поверхности и присоединенной к ней минимальной поверхности.

Ключевые слова – функция комплексной переменной, конформное отображение, минимальная поверхность, изотропная кривая, семья ассоциированных поверхностей, изгибание поверхностей.

Chernyshova E.O. The using of functions of complex variable for construction of surfaces of technical forms. - The Manuscript.

The dissertation on competition of a scientific degree of the candidate of engineering science. on a specialty 05.01.01 - applied geometry, engineering graphics. - Kiev National University of Building and Architecture, Kyiv, Ukraine, 2007.

The thesis is devoted to the development of methods of geometrical design of curves and surfaces on the basis of scientific positions of theory of functions of complex variable. The conformal mapping can be set by the function of complex variable. In dissertation the conformal mapping of the curves from one isotropic grid on other are considered. It attended to the conformal mapping of circle, of ellipse, of Pascal's limacon with tangencies to the base circle of reflection which locate in the any place of complex plane by the Zhukovski’s functions and got on their basis of surface of revolution. The method of formation of isotropic curves is offered. Great attention is spared to the use of functions of complex variable for construction of the added minimal surfaces by improvement of the known methods of their construction and on the basis of isotropic curves. The bending of minimal surfaces on added to them is considered.

Keywords: the function of complex variable, conformal mapping, minimal surface, isotropic curve, family of the associated surfaces, bending of surfaces.