Міністерство освіти і науки України
Львівський національний університет імені Івана Франка
Чернега Ірина Володимирівна
УДК 517.98
СТРУКТУРА СПЕКТРУ АЛГЕБР СИМЕТРИЧНИХ АНАЛІТИЧНИХ
ФУНКЦІЙ НА БАНАХОВИХ ПРОСТОРАХ
01.01.01 – математичний аналіз
АВТОРЕФЕРАТ
дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата
фізико-математичних наук
Львів - 2007
Дисертацією є рукопис
Робота виконана у відділі функціонального аналізу Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача Національної академії наук України.
Науковий керівник:
доктор фізико-математичних наук, старший науковий співробітник Загороднюк Андрій Васильович, завідувач кафедри математичного і функціонального аналізу Прикарпатського національного університету імені Василя Стефаника
Офіційні опоненти:
доктор фізико-математичних наук, професор Сторож Олег Георгійович, професор кафедри математичного і функціонального аналізу Львівського національного університету імені Івана Франка
доктор фізико-математичних наук, старший науковий співробітник Островський Василь Львович, провідний науковий співробітник відділу функціонального аналізу Інституту математики НАН України
Захист відбудеться “28” лютого 2008 р. о 1520 год. на засіданні вченої ради Д 35.051.18 у Львівському національному університеті імені Івана Франка за адресою: 79000, м. Львів, вул. Університетська, 1, ауд. 377.
З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Львівського національного університету імені Івана Франка (м. Львів, вул. Драгоманова, 5).
Автореферат розіслано “25” січня 2008 р.
Вчений секретар
спеціалізованої вченої ради Тарасюк С.І.
ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ
Актуальність теми. В дисертаційній роботі досліджуються множини максимальних ідеалів (спектри) алгебр симетричних аналітичних функцій на банахових просторах. Оскільки між максимальними ідеалами і комплексними гомоморфізмами (характерами) банахової алгебри існує взаємнооднозначна відповідність, яка задається перетворенням Гельфанда, ми можемо трактувати елементи вихідної алгебри як функції на просторі максимальних ідеалів. Довільна рівномірна напівпроста банахова алгебра допускає реалізацію у вигляді замкненої підалгебри алгебри неперервних функцій на компактному хаусдорфовому топологічному просторі, утвореному її максимальними ідеалами. Тому питання щодо опису структури спектру алгебр аналітичних функцій часто виникає в задачах і є важливим напрямком в теорії аналітичних відображень на банахових просторах.
Дана тематика є новою і почала активно розвиватися наприкінці двадцятого століття. Одними з перших, хто розпочав дослідження в цьому напрямку, є Т. Корн, Б. Коль, Т. Гамелін, які вивчали властивості алгебри аналітичних функцій на одиничній кулі спряженого простору, яка породжена *-слабко неперервними лінійними функціоналами. Р. Арон, Б. Коль, Т. Гамелін досліджували максимальні ідеали алгебри комплекснозначних цілих функцій на банаховому просторі, які є обмежені на обмежених множинах, та спектр (множину максимальних ідеалів) рівномірної алгебри обмежених аналітичних функцій на одиничній кулі банахового простору. Подальший розвиток даного напрямку відбувався, також, у роботах європейських вчених, таких як П. Галіндо, Д. Гарсія, М. Маестре (Іспанія), Ш. Дінін (Ірландія) та українських науковців: А.М. Плічко, А.В. Загороднюк, О.В. Лопушанський.
В даній роботі досліджується спектр алгебри симетричних аналітичних функцій на одиничній кулі простору Lp[0,1], 1 p< , та алгебри симетричних аналітичних функцій на просторі lp, 1 p< . Вивчення симетричних функцій на банахових просторах розпочали А.С. Немировський та С.М. Семенов, які досліджували симетричні поліноми на просторах lp і Lp[0,1]. М. Гонзалесом, Р. Гонзало та Х. Харамілло ці результати узагальнено на ширший клас дійсних банахових просторів, наділених певною симетричною структурою. Р. Аленкар, Р. Арон, П. Галіндо і А. Загороднюк, використовуючи ці результати, дослідили спектр алгебри симетричних рівномірно неперервних аналітичних функцій на одиничній кулі простору lp.
В дисертації також отримано результати, які стосуються симетричних поліномів на просторі lp. А саме, використовуючи введений в роботі оператор симетричного зсуву, встановлено аналоги формули Мартіна та поляризаційної формули для симетричних поліномів і описано деякі диференціювання на алгебрі симетричних поліномів. Також, використовуючи техніку узагальнених функцій Радемахера, вдалось отримати узагальнення класичної поляризаційної формули для неоднорідних поліномів та аналітичних функцій, яке винесено в окремий розділ.
Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами Дисертаційна робота виконувалась в рамках науково-дослідних тем "Розробка спектральної теорії ненормованих операторних алгебр та її застосування до дослідження еволюційних рівнянь та мероморфних відображень" (номер державної реєстрації 0198U002533) та "Розробка спектральної теорії полілінійних і лінійних операторів та операторних алгебр над банаховими просторами і застосування до задач статистичної механіки та майже-комплексного аналізу" (державний реєстраційний номер 0103U000129) відділу функціонального аналізу Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України.
Мета і задачі дослідження.
Метою даної роботи є вивчення аналітичних функцій на банахових просторах та опису спектрів (множин максимальних ідеалів) алгебри симетричних аналітичних функцій на одиничній кулі простору Lp[0,1], алгебр симетричних та субсиметричних функцій на просторі lp; узагальнення поляризаційної формули для неоднорідних поліномів та аналітичних відображень на банахових просторах, а також встановлення аналогу формули Мартіна та поляризаційної формули для симетричних поліномів на просторі lp за допомогою оператора симетричного зсуву.
Об'єктом дослідження є поліноми і аналітичні функції на просторах із симетричним базисом, множини максимальних ідеалів відповідних функційних алгебр, алгебри симетричних аналітичних функцій на банахових просторах.
Предметом дослідження є властивості симетричних аналітичних функцій на банахових просторах, властивості спектрів різних алгебр симетричних аналітичних функцій на банахових просторах та властивості узагальнених функцій Радемахера.
Методи досліджень. Дослідження використовують методи нескінченновимірного комплексного аналізу, комбінаторики, теорії ультрафільтрів та узагальнених функцій Радемахера.
Наукова новизна одержаних результатів.
Всі отримані в дисертації наукові результати є новими. У роботі вперше:
* отримано узагальнення відомої поляризаційної формули для неоднорідних поліномів і аналітичних відображень;
* встановлено аналоги формули Мартіна та поляризаційної формули для симетричних поліномів на просторі lp за допомогою оператора симетричного зсуву;
* побудовано проектори, які є гомоморфізмами з алгебр аналітичних функцій на lp в алгебри симетричних аналітичних функцій на lp;
* описано максимальні ідеали алгебри симетричних аналітичних функцій на просторі l1 та субсиметричних аналітичних функцій на просторі lp;
* описано максимальні ідеали алгебри симетричних аналітичних функцій на одиничній кулі простору Lp[0,1] в цілому, детально розглянуто простори L1[0,1] та L2[0,1].
Практичне значення одержаних результатів.
Отримані у дисертаційній роботі результати мають теоретичний характер. Вони можуть знайти застосування у дослідженнях з теорії операторів над банаховими просторами, в математичній фізиці, при дослідженні геометрії банахових просторів. Ці результати можуть бути використані в наукових дослідженнях, які проводяться в Інституті прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України, Інституті математики НАН України, Львівському національному університеті імені Івана Франка, Київському національному університеті імені Тараса Шевченка, Харківському національному університеті, Прикарпатському національному університеті імені Василя Стефаника та інших наукових установах та ВУЗах України.
Особистий внесок здобувача.
Основні результати, наведені в дисертації, отримані самостійно. Науковому керівнику належить постановка задач і загальне керівництво роботою.
Апробація результатів дисертації.
Основні результати дисертації доповідались на:–
міжнародній конференції "Functional Analysis and its Applications", присвяченій 110-річчю з дня народження Стефана Банаха (Львів, 28-31 травня 2002 року);–
конференціях НТШ (Львів, березень 2003 року, березень 2007 року); –
1-ій літній школі з топологічної алгебри і функціонального аналізу (Львів - Козьова, 22-31 липня 2003 року);–
міжнародній конференції, присвяченій 125 річниці від дня народження Ганса Гана (Чернівці, 27 червня-3 липня 2004 року);–
конференціях молодих учених із сучасних проблем механіки і математики імені академіка Я.С. Підстригача (Львів, 24-26 травня 2004 року, 24-27 травня 2005 року);–
наукових читаннях, присвячених пам'яті академіка Я.С. Підстригача (Львів, 29 травня 2007 року);–
5-ій літній школі "Algebra, Topology and Analysis" (Львів - Козьова, 6-18 серпня 2007 року);–
міжнародній математичній конференції ім. В.Я. Скоробагатька (Дрогобич, 24-28 вересня 2007 року);–
семінарі математичної секції Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України (м. Львів);–
міських семінарах з функціонального аналізу Львівського національного університету (керівники В.Е. Лянце і О.Г. Сторож, м. Львів);–
семінарах відділу функціонального аналізу Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України (м. Львів).
Публікації. Основні результати дисертації опубліковано в 11 наукових працях, 5 з яких у фахових виданнях з переліку ВАК України та 6 у матеріалах наукових математичних конференцій.
Структура та об'єм роботи.
Дисертація складається з вступу, чотирьох розділів, розбитих на підрозділи, висновку та списку використаних джерел. Повний об'єм роботи – 122 сторінки. Список використаних джерел включає 79 найменувань.
ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ
У вступі дисертаційної роботи подано загальну характеристику роботи, обґрунтовано актуальність теми, сформульовано мету та теоретичне значення проведених досліджень.
У першому розділі наведено огляд літератури за темою проведених досліджень, викладено основні допоміжні поняття та теореми, пов'язані з темою дисертації. Також сформульовано основні напрямки і результати досліджень.
Одним з напрямків дисертаційної роботи є узагальнення класичної поляризаційної формули для неоднорідних поліномів та аналітичних функцій на банахових просторах. Цьому присвячений розділ 2 даної дисертації.
Нехай X, Y – банахові простори. Відомо, що для кожного n-однорідного полінома P: X Y існує єдина симетрична n-лінійна форма A:Xn Y така, що P(x)=A(x,…,x). Для отримання A з P застосовується поляризаційна формула, яку в підрозділі 2.1 узагальнено для довільного неоднорідного полінома. Має місце наступна теорема:
Теорема 2.1 Нехай P=P0+ … +Pn – довільний поліном степеня n на X, де P0const і Pk – k-однорідні поліноми для k=1, … ,n. Нехай An – n-лінійна симетрична форма, яка породжує Pn. Тоді
В даній теоремі Sj[n](t) – узагальнені функції Радемахера, які для кожного натурального n ? 2 визначаються наступним чином. Нехай б1,б2, … ,бn комплексні корені степеня n з одиниці.
Позначимо Ij=(j-1/n, j/n), j=1, … ,n і – відкритий j2-підінтервал довжиною 1/n2 інтервалу Ij1 (j1,j2=1,… ,n). Продовжуючи таким чином, ми можемо визначити інтервал для довільного k. Функцію S1[n](t):[0,1] C означуємо, покладаючи S1[n](t)= бj для t з інтервалу Ij, 1 j n. В загальному Sk[n](t)= бj якщо t належить підінтервалу , де jk=j.
Позначимо
і введемо множину Ni наступним чином: Ni={p=p1 p2 … pi: p1<p2<…< pi - прості числа}.
Теорема 2.2 Для довільного полінома P=P0+ … +Pn однорідний поліном Pk(x), 1 < k <e n, визначається з рівності Pk(x)=Ak(x, … ,x), де
і
У підрозділі 2.2 доводиться аналог поляризаційної формули для аналітичних функцій на банахових просторах.
Теорема 2.3 Нехай Ak – k-однорідне симетричне відображення, яке відповідає k-однорідній компоненті fk аналітичного відображення обмеженого типу f. Тоді
В розділі 3 вводиться оператор зсуву в просторі симетричних аналітичних функцій на просторі lp. Під симетричними функціями на lp ми розуміємо функції на lp, які є симетричні відносно групи скінченних підстановок базисних елементів. Легко бачити, що для симетричної функції f(x) на lp функція f(x+y) для деякого фіксованого y lp не є, взагалі кажучи, симетричною. Тобто простір симетричних функцій не є інваріантним відносно звичайного оператора зсуву Ty:f(x) f(x+y). В підрозділі 3.1 запропоновано інший зсув на lp, який зберігає простір симетричних аналітичних функцій.
Нехай x,y lp, x=(x1,x2,…) і y=(y1,y2,…). Визначимо симетричний зсув x y lp формулою
x y=(x1,y1,x2,y2,…).
Відзначимо основні властивості симетричного зсуву.
1. Якщо x=1(u) і y=2(v) для деяких підстановок 1, 2, то x y = (u v) для деякої підстановки на N.
2. x yp=xp+yp.
3. Fn(x y)=Fn(x)+Fn(y) для довільного натурального n p, де і множина {Fk} є алгебраїчним базисом в просторі симетричних поліномів на lp.
Позначимо через Tsy:Hbs(lp) Hbs(lp) оператор симетричного зсуву, Tsy:f fy, де fy(x)=f(x y).
Твердження 3.1 Tsy є неперервним гомоморфізмом алгебри симетричних цілих функцій обмеженого типу Hbs(lp) в себе.
Позначимо
В підрозділі 3.2, за допомогою введеного оператора симетричного зсуву, доведено аналог формули Мартіна для симетричних поліномів. Нагадаємо, що за допомогою формули Мартіна можна обчислити однорідну компоненту Pk, k=0,…, n довільного неоднорідного полінома P степеня n.
Нехай P – симетричний поліном степеня n p на lp. Тоді існує поліном від змінних, такий що
де – найменше ціле число, яке є більшим або дорівнює p.
Скажемо, що симетричний поліном P є цілком однорідним поліномом степеня (n,m), якщо P – n-однорідний і відповідний йому поліном Q – m-однорідний. Очевидно, що кожен симетричний поліном можна подати (єдиним чином) у вигляді скінченної суми цілком однорідних. У цьому підрозділі отримано спосіб знаходження такого розкладу, використовуючи симетричний зсув та формулу Мартіна.
Поліном Q, взагалі кажучи, неоднорідний і degQ n. Нехай Q=Qn+…+Q0 – розклад Q на однорідні доданки. Очевидно, що якщо P – n-однорідний поліном, то Qk – (n,k)-цілком однорідний поліном. В загальному випадку: нехай – розклад симетричного полінома P на цілком однорідні доданки, де Q(i,j) – деякі (i,j)-цілком однорідні поліноми.
Теорема 3.1 Для довільного набору попарно різних дійсних чисел (b0,…bn) та попарно різних натуральних чисел (m0,…, mn) існують невироджені матриці і такі, що для довільного симетричного полінома P степеня n
Нехай P – симетричний поліном, такий, що Q – n-однорідний поліном. Нехай – симетрична n-лінійна форма, що породжує n-однорідний поліном Q, тобто У підрозділі 3.3 отримано формулу, яка відновлює n-лінійну форму за поліномом P.
У підрозділі 3.4 розглядаємо диференціювання в алгебрі симетричних поліномів.
У підрозділі 3.5 отримані результати застосовуються до аналітичних функцій.
Скажемо, що симетрична аналітична функція f на поліноміально породжена, якщо існує поліном Q на l1 такий, що
Позначимо Легко бачити, що – відкрита необмежена множина. Ми будемо називати полідиском в l1.
Теорема 3.4 Довільна поліноміально породжена симетрична аналітична функція f на однозначно продовжується до деякої симетричної аналітичної функції на .
В розділі 4 досліджується множина максимальних ідеалів (спектр) алгебри симетричних аналітичних функцій на одиничній кулі простору Lp[0,1] та алгебри симетричних цілих функцій обмеженого типу на просторі lp.
У підрозділі 4.1 досліджуються умови, при яких кожен комплексний гомоморфізм алгебри симетричних цілих функцій обмеженого типу на просторі lp, Hbs(lp), продовжується до деякого комплексного гомоморфізму алгебри всіх цілих функцій обмеженого типу на lp, Hb(lp). Має місце наступне твердження:
Твердження 4.1 Припустимо, що існує неперервний гомоморфізм ??: Hb(lp) Hbs(lp), який є проектором на Hbs(lp), тобто ?? (f)=f для довільної функції f Hbs(lp). Тоді кожен характер Mbs продовжується до деякого характеру Mb за формулою
(f)=( ?? (f)),
де f Hb(lp) і оператор продовження є неперервним відображенням з Mbs в Mb.
Існування гомоморфізму-проектора з Hb(lp) на Hbs(lp) та умови його неперервності досліджуються у наступних підрозділах.
В підрозділі 4.2 побудовано усереднюючий оператор проекції S, який, однак, не є гомоморфізмом.
Шуканий гомоморфізм-проектор будується в два етапи. В підрозділі 4.3 описано перший крок – гомоморфізм з простору всіх неперервних поліномів на просторі lp, ??(lp), на простір неперервних субсиметричних поліномів . На другому кроці, в підрозділі 4.5, ми будуємо гомоморфізм з простору на простір всіх неперервних симетричних поліномів ??s(lp).
Нехай ?? – напівгрупа, породжена ізометричними операторами i,
i:(x1, x2,…) (x1,…,xi-1,0,xi,…).
Функції, які є симетричними відносно напівгрупи ??, називаються субсиметричними.
Р. Гонзало побудувала гомоморфізм з простору ??(lp) на простір , який ми позначимо .
Наслідок 4.3 Нехай V є -симетричною областю lp, 1 p<. Tоді гомоморфізм може бути продовжений до неперевного гомоморфізму на довільній алгебрі аналітичних функцій на V, де поліноми є щільними в її підалгебрі субсиметричних функцій на V. Більше того, якщо функція f неперервна на замиканні тоді є неперервна на і якщо функція f обмежена на деякій субсиметричній підмножині тоді це ж справедливе для.
Будемо позначати це продовження тим самим символом.
Наслідок 4.4 Кожен характер продовжується до деякого характеру Mb(lp) за формулою:
де f Hb(lp).
В підрозділі 4.4, за допомогою введеного оператора субсиметричного зсуву, доведено існування алгебраїчного базису (Qn)?n=1 в просторі субсиметричних поліномів на lp, який містить алгебраїчний базис симетричних поліномів.
В підрозділі 4.5 доведено наступне твердження.
Твердження 4.6 Існує гомоморфізм (не обов'язково неперервний) з на , такий що , якщо P є симетричним.
Зауваження. Ми не знаємо, чи гомоморфізм де J – гомоморфізм з на який визначається на базисних поліномах Qm наступним чином:
(де описаний в підрозділі 4.2), є неперервним в загальному випадку. Зауважимо, що гомоморфізм можна побудувати іншими способами. Наприклад, замість J ми можемо взяти J0(Qm)=Qm, якщо Qm є симетричним і нуль в протилежному випадку. Однак ми не знаємо, як довести неперервність J чи J0 для довільного простору lp. Наступна теорема показує, що J0 – неперервний для випадку l1.
Теорема 4.4 Гомоморфізм де J0 визначений в зауваженні після твердження 4.6, є неперервним гомоморфізмом з простору на простір .
Наслідок 4.9 Існує неперервне вкладення множини Mbs(l1) в Mb(l1), яке задається формулою:
В підрозділі 4.6 розглянуто радіус-функцію комплексних гомоморфізмів.
В підрозділі 4.7 наведено деякі результати, що стосуються алгебри симетричних аналітичних функцій на полідиску .
Позначимо через алгебру симетричних функцій вигляду де g Hb(l1), і – полідиск в l1.
Має місце наступний результат:
Твердження 4.8 Алгебри і Hb(l1) є ізометрично ізоморфними.
Наслідок 4.10 Множина максимальних ідеалів алгебри гомеоморфна множині максимальних ідеалів алгебри Hb(l1). Зокрема, .
Також в даному підрозділі наведено приклад, який показує, що існує характер з , який не породжується значенням в жодній точці полідиску .
У підрозділі 4.8, за допомогою узагальнених функцій Радемахера, досліджується спектр алгебри симетричних аналітичних функцій на одиничній кулі простору Lp[0,1].
Позначимо через простір n-однорідних поліномів на просторі Lp[0,1], які є симетричними відносно вимірних автоморфізмів відрізка [0,1]. Кожен поліном має вигляд:
P(x)=q(R1(x),…,Rk(x)),
де q – поліном на степеня n; k – найбільше натуральне число, яке не перевищує p і .
Теорема 4.6 Нехай n,j,k – визначені, як раніше (з означення узагальнених функцій Радемахера), Sk[n] – узагальнені функції Радемахера. Тоді для довільного фіксованого n і довільних l,m таких, що l m існує автоморфізм lmn:[0,1] [0,1] такий, що Sl[n](t)=Sm[n](lmn(t)).
Позначимо через hn простір , через As(Ln[0,1]) – алгебру симетричних аналітичних функцій на просторі Ln[0,1] і через Hs(Ln[0,1]) – алгебру цілих симетричних функцій.
Наслідок 4.11 Звуження довільної функції f As(Ln[0,1]) (f Hs(Ln[0,1])) на hn при фіксованому n є симетричною аналітичною (цілою) функцією відносно групи підстановок на множині нижніх індексів.
Надалі будемо використовувати позначення Sn=S1[n].
Розглянем звуження f на . Нехай .
Теорема 4.7 Відображення є ін'єктивним гомоморфізмом з в .
Визначимо множину M наступним чином:
Зауважимо, що з теореми 4.7 випливає, що множина максимальних ідеалів алгебри , міститься в . Наступна теорема дозволяє покращити даний результат.
Теорема 4.11
В підрозділі 4.9 детальніше розглянуто множини максимальних ідеалів симетричних аналітичних функцій на одиничних кулях просторів L1[0,1] та L2[0,1].
Лема 4.5 Функція відображає замкнену одиничну кулю простору L1 на одиничний диск .
Наслідок 4.16 Алгебра аналітичних симетричних функцій на і неперервних на ізоморфна алгебрі A(D1) і множина максимальних ідеалів алгебри гомеоморфна D1.
На просторі симетричних аналітичних функцій на L2[0,1] існує ортонормований базис в L2 такий, що:
,
де R1=S1 і R2=S2+S12.
Позначимо .
Теорема 4.10 Відображення переводить одиничну кулю простору L2 в множину виду |z2| 1-|z1|2 простору .
Позначимо через .
Теорема 4.11 Алгебра ізоморфна алгебрі аналітичних функцій у внутрішності і неперервних на , а множина максимальних ідеалів алгебри гомеоморфна до .
ВИСНОВКИ
Дослідження максимальних ідеалів алгебр аналітичних функцій на банахових просторах є новим напрямком в теорії аналітичних відображень, який почав активно розвиватися наприкінці XX століття. Даній тематиці присвячений розділ 4 дисертаційної роботи, де вивчаються множини максимальних ідеалів алгебри симетричних аналітичних функцій на просторі lp. Побудовано гомоморфізм з простору P(lp) на простір Ps(lp) і доведено неперервність даного гомоморфізму у випадку p=1. Як наслідок цього, доведено існування неперервного вкладення множини максимальних ідеалів алгебри симетричних цілих функцій обмеженого типу на просторі l1 в множину максимальних ідеалів алгебри цілих функцій обмеженого типу на l1.
Cпектр алгебри симетричних рівномірно неперервних аналітичних функцій на просторі lp досліджувався Р. Аленкаром, Р. Ароном, П. Галіндо і А. Загороднюком; симетричні функції на деяких банахових просторах вперше були введені А. Немировським та С. Семеновим, а згодом М. Гонзалесом, Р. Гонзало та Х. Харамілло узагальнені на ширший клас дійсних банахових просторів, наділених певною симетричною структурою.
Також в розділі 4 досліджується спектр алгебри симетричних аналітичних функцій на одиничній кулі простору Lp[0,1]. Для даного дослідження використовуються узагальнені функції Радемахера, які були введені Р. Ароном та Глобевніком. В підрозділі 4.3 детальніше розглянуто множини максимальних ідеалів симетричних аналітичних функцій на одиничній кулі просторів L1[0,1] та L2[0,1].
За допомогою узагальнених функцій Радемахера в розділі 2 поляризаційну формулу, яка є одним з фундаментальних результатів в теорії поліномів і полілінійних відображень, узагальнено для неоднорідних поліномів і аналітичних функцій на банахових просторах.
В дисертації, також, отримано результати, які стосуються симетричних поліномів на просторі lp. В розділі 3 введено оператор симетричного зсуву на просторі lp та показано, що він є неперервним гомоморфізмом алгебри Hbs(lp) в себе. За допомогою введеного оператора симетричного зсуву встановлено аналоги формули Мартіна для симетричних поліномів. Також для симетричних поліномів доведено аналог поляризаційної формули. В розділі 3 теж розглянуто диференціювання в алгебрі симетричних поліномів та отримано застосування до аналітичних функцій на просторі l1.
СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ РОБІТ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ
[1] Пузирьова І. (Чернега) Симетричні аналітичні функції в Lp// Мат. методи і фіз. мех. поля. – 2002. – Т.45, № 1. – С. 56–61.
[2] Загороднюк А.В., Чернега І.В. Симетрії просторів аналітичних функцій на банахових просторах// Мат. методи і фіз. мех. поля. – 2004. – Т.47, № 2. – С. 30–35.
[3] Чернега І.В. Узагальнення поляризаційної формули для неоднорідних поліномів і аналітичних відображень// Наук. вісн. Чернівецького ун-ту. Математика. – 2004. – Вип. 191-192. – С. 141–146.
[4] Чернега І.В. Оператор зсуву у просторі симетричних аналітичних функцій на l1// Мат. методи і фіз. мех. поля. – 2006. – Т.49, № 2. – С. 52–57.
[5] Chernega I.V., Zagorodnyuk A.V. Application of generalized Rademacher functions to investigation of algebras of symmetric analytic functions on Lp[0,1]// Matematychni Studii. – 2004. – Т.21, № 1. – P. 64–71.
[6] Чернега І.В. Аналог поляризаційної формули для довільного неоднорідного полінома// Конфер. молодих учених із суч. проблем мех. і матем. ім. акад. Я. С. Підстригача. Тези доповідей. Львів, 24–26 травня 2004р. – С. 167–168.
[7] Чернега І.В. Групи симетрії в алгебрах аналітичних функцій на банаховому просторі// Міжнар. наук. конф., присв. 125 річниці від дня народж. Г. Гана. Тези доповідей. Чернівці, 27 червня–3 липня 2004 р. – С. 117–118.
[8] Чернега І.В. Алгебри симетричних аналітичних функцій на просторах L1 та L2// Конфер. молодих учених із суч. проблем мех. і матем. ім. акад. Я. С. Підстригача. Тези доповідей. Львів, 24–27 травня 2005р. – С. 219.
[9] Чернега І. Симетричні аналітичні функції на просторі l1// Міжнар. матем. конф. ім. В.Я. Скоробогатька. Тези доповідей. Дрогобич, 24–28 вересня 2007р. – С. 290.
[10] Chernega I. Properties of symmetric analytic functions on Lp[0,1]// 1-ша літня школа з топологічної алгебри і функціонального аналізу. Львів - Козева, 22–31 липня 2003р. – C. 22–23.
[11] Chernega I. Symmetrization homomorphisms// Fifth Summer School "Algebra, Topology and Analysis." Lviv - Kozyova, August 6–18, 2007. – P. 34–35.
Чернега І.В. Структура спектру алгебр симетричних аналітичних функцій на банахових просторах. - Рукопис.
Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.01 – математичний аналіз. – Львівський національний університет імені Івана Франка Міністерства науки і освіти України, Львів, 2007.
У дисертації описано спектр (множину максимальних ідеалів) різних алгебр аналітичних функцій на банахових просторах, зокрема, алгебри цілих симетричних функцій обмеженого типу та алгебри симетричних аналітичних функцій на одиничній кулі банахового простору. Класичну поляризаційну формулу узагальнено для випадку неоднорідних поліномів та аналітичних функцій на банахових просторах.
Ключові слова: поліноми на банаховому просторі, аналітичні функції та симетричні аналітичні функції на банаховому просторі, алгебри аналітичних функцій, спектри (множини максимальних ідеалів) алгебр аналітичних функцій.
Чернега И.В. Структура спектра алгебр симметрических аналитических функций на банаховых пространствах. - Рукопись.
Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.01 – математический анализ. – Львовский национальный университет имени Ивана Франка Министерства образования и науки Украины, Львов, 2007.
В диссертации описано спектр (множество максимальных идеалов) различных алгебр аналитических функций на банаховых пространствах, в частности, алгебры целых симметрических функций ограниченного типа и алгебры симметрических аналитических функций на единичном шаре банахового пространства. Классическую поляризационную формулу обобщено на случай неоднородных полиномов и аналитических функций на банаховых пространствах.
Ключевые слова: полиномы на банаховом пространстве, аналитические функции и симметрические аналитические функции на банаховом пространстве, алгебры аналитических функций, спектры (множества максимальных идеалов) алгебр аналитических функций.
Chernega I.V. Structure of spectra of algebras of symmetric analytic functions on Banach spaces. - Manuscript.
Thesis for the degree of Candidate of Physics and Mathematics in speciality 01.01.01 -- mathematical analysis. – Ivan Franko Lviv National University, Lviv 2007.
The thesis is devoted to description of spectra (that is, the set of closed maximal ideals) of some algebras of analytic functions on Banach spaces. In particular, the spectrum of the algebra Hbs(lp) (the algebra of symmetric analytic functions on the space lp which are bounded on bounded subsets) is investigated. A homomorphism which is a projection from Hb(lp), the algebra of bounded type analytic functions on the space lp, onto its subalgebra Hbs(lp) is constructed and the continuity of the homomorphism is proved in the case of p=1. Using this homomorphism, we show that every element of the spectrum of the algebra Hbs (l1) can be extended to some element of the spectrum Hb (l1). Also every element of the spectrum of the algebra of subsymmetric bounded type analytic functions on lp, we can extend to some element of the set of maximal ideals of Hb(lp).
Using the generalized Rademacher functions, we describe the spectrum of the algebra of analytic functions on the unit ball of the space Lp[0,1], which are symmetric under measurable automorphisms of [0,1]. Using another approach the cases when p=1 and p=2 are investigated. Also the set of maximal ideals of the algebra of symmetric analytic functions on a polydisk in the space l1 is described.
In the thesis the symmetric translation operator and the subsymmetric translation operator are defined. In particular, using the symmetric translation operator analogues of Martin formula and the polarization formula for symmetric polynomials on lp are established; a differential operator in the algebra of symmetric polynomials is described.
The polynomially generated symmetric analytic functions on the unit ball of the space l1 are defined in the thesis and the extension theorem for such functions is proved. In particular, it is shown that any polynomially generated symmetric analytic function on the unit ball of the space l1 can be extended to some symmetric analytic function on a polydisk.
Also using the generalized Rademacher functions, the polarization formula which is one of fundamental results in the theory of polynomials and polylinear mappings is generalized for any nonhomogeneous polynomial and analytic mapping on a Banach spaces.
Key words: polynomials on Banach spaces, analytic functions and symmetric analytic functions on Banach spaces, algebras of analytic functions, spectra (sets of maximal ideals) of algebras of analytic functions.
Підписано до друку 8.11.2007 р.
Папір друк. № 1. Спосіб друку – офсет.
Формат паперу 60х90/16 Ум. друк. аркушів 0,9
Тираж 100 штук.
Замовлення № 0022/1
Друк ВКП фірма “ВМС”
м. Львів, вул.. Чупринки, 38
тел../факс (032) 297-04-74
