Чикрій Кирило Аркадійович

УДК 518.9

ГАРАНТОВАНИЙ РЕЗУЛЬТАТ

ДЛЯ КОНФЛІКТНО-КЕРОВАНИХ ПРОЦЕСІВ

01.05.01 – теоретичні основи інформатики та кібернетики

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Київ – 2007

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Інституті кібернетики ім. В. М. Глушкова НАН України.

Науковий керівник: доктор технічних наук, професор

Гаращенко Федір Георгієвич,

Київський національний університет імені Тараса Шевченка, завідувач кафедри

моделювання складних систем

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор

Макаренко Олександр Сергійович,

Науково-навчальний комплекс “Інститут прикладного системного аналізу” НАН та МОН України при НТУУ “КПІ”, провідний науковий співробітник,

кандидат фізико-математичних наук

Стецюк Петро Іванович,

Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України, старший науковий співробітник

Провідна установа: Дніпропетровський національний університет, факультет прикладної математики, кафедра

обчислювальної математики та математичної кібернетики.

Захист відбудеться _26_” червня_ 2007 р., о (об) _12__ годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.194.02 при Інституті кібернетики імені В. М. Глушкова НАН України за адресою:

03680, МСП, Київ-187, проспект академіка Глушкова, 40.

З дисертацією можна ознайомитися в науково-технічному архіві інституту.

Автореферат розісланий “ 24_” __травня___ 2007 р.

Учений секретар

спеціалізованої вченої ради СИНЯВСЬКИЙ В.Ф.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Теорія конфліктно-керованих процесів – новий розділ математичної теорії оптимальних процесів, який пов’язаний з дослідженням керованих систем, що функціонують в умовах конфлікту та невизначеності. Поштовхом до її розвитку послужили реальні прикладні задачі, які мають важливе практичне значення для прогнозування розвитку економіки, проектування ракетної та космічної техніки, моделювання взаємодії керованих рухомих об’єктів і в інших областях людської діяльності. Такими є, зокрема, задача зближення керованих об’єктів, задача групового переслідування та керування за неповної інформації про стан, задача керування системою з постійно діючими збуреннями, для яких відсутній статистичний опис, а відомі лише границі зміни параметрів збурення. При цьому ситуація може бути ускладнена присутністю обмежень на стан об’єктів. Як правило, в ролі функцій керування використовують вимірні обмежені функції, проте іноді є необхідність в застосуванні узагальнених функцій, що призводить до розривних траєкторій динамічних систем. Вищезгадані класи ігрових задач і ряд інших, близьких за своєю природою, є предметом дослідження конфліктно-керованих процесів. Для них характерна присутність двох протидіючих сторін, що мають протилежні цілі. Присутність другого гравця-супротивника в порівнянні з задачею оптимального керування приводить до дослідження істотно більш складних проблем керування, а також до вивчення інших принципово нових питань, які не виникають у звичайній задачі керування.

Практична важливість та великий теоретичний інтерес, який визвали задачі та проблеми теорії конфліктно-керованих процесів, стимулювали інтенсивний розвиток цього напрямку прикладної математики.

Методи оптимізації конфліктно-керованих процесів можна умовно розділити на дві групи. До першої з них слід зарахувати ті підходи, ціллю яких є побудова оптимальних стратегій гравців. Це, перш за все, метод Айзекса Айзекс Р. Дифференциальные игры. – М.: Мир, 1967. – 480 с., що базується на ідеології динамічного програмування та знаходженні в’язкісних розв’язків рівнянь типу Гамільтона - Якобі. В цьому напрямку слід зазначити роботи С.М. Кружкова, фундаментальні дослідження А.І. Субботіна й А.А. Мелікяна, їх учнів, великих груп французьких та італійських математиків.

Ідейно близькою до динамічного програмування є попятна процедура Понтрягіна - Пшеничного. Одну з попятних процедур уперше застосував Л.С. Понтрягін Понтрягин Л.С. Избранные научные труды. – М.: Наука, 1988. – 2. – 480 с. при побудові альтернованого інтегралу. Цей результат узагальнив Б.М. Пшеничний Пшеничный Б.Н., Остапенко В.В. Дифференциальные игры. – Киев: Наук. думка, 1992. – 260 с., запропонувавши конструкцію напівгрупових операторів. Різні аспекти даної методики досліджуються в роботах М.С. Нікольського, П.Б. Гусятнікова, В.В. Остапенка, А. Азамова, Є.С. Половінкіна.

До другої групи належать ті підходи, в основу яких покладено принцип гарантованого результату. Одним з найбільш потужних методів прийняття рішень в умовах конфлікту є правило екстремального прицілювання М.М. Красовського Красовский Н.Н. Игровые задачи о встрече движений. – М.: Наука, 1970. – 420 с.. Основу підходу складає побудова спеціальних множин позицій – стабільних мостів, що впираються в задану цільову множину. Певний спосіб побудови таких мостів пов’язаний з програмним або першим поглинанням. Умови регулярності забезпечують закінчення гри за час першого поглинання, причому обгрунтовується класичне правило переслідування по кривій погоні Л. Ейлера. Фундаментальні результати отримані в роботах представників єкатеринбургської школи Ю.С. Осіпова, О.Б. Куржанського, А.І. Субботіна Субботин А.И., Ченцов А.Г. Оптимизация гарантии в задачах управления. – М.: Наука, 1981. – 288 с., А.В. Кряжімського, О.Г. Ченцова, В.Д. Батухтіна, В.Е. Третьякова, В.М. Ушакова, В.Й. Жуковського, Н.М. Субботіної, А.М. Красовського, Ю.І. Бердишева, В.С. Пацко та багато інших вчених.

Достатні умови закінчення позиційної гри за час першого поглинання отримані Б.М. Пшеничним, випадок інтегральних обмежень досліджував Ю. М. Онопчук, групове переслідування – С.Й. Тарлінський, М.С. Габріелян, Й.С. Раппопорт, ефект запізнення інформації – Г.Ц. Чикрій.

Найбільш простий і ефективний при розв’язанні конкретних задач зближення перший прямий метод Л.С. Понтрягіна. Цей метод дає зручні для перевірки достатні умови закінчення гри в класі стробоскопічних стратегій на основі теореми вимірного вибору Філіппова - Кастена. Згаданий метод послужив відправною точкою для цілого ряду плідних досліджень та узагальнень. До них належать роботи Е.Ф. Міщенка, М.С. Нікольського, П.Б. Гусятникова, Д. Зонневенда, О.К. Керімова та ін.

Із першим прямим методом тісно пов’язаний метод розв’язуючих функцій Chikrii A.A. Conflict-controlled processes. – Boston-London-Dordrecht: Kluwer Academic Publishers,

1997. – 424 p., який є методологічною основою даної дисертації. Він дає можливість шляхом побудови певних скалярних функцій досліджувати широкий спектр задач в єдиній схемі. Згадані скалярні функції вимагають введення нового об’єкта – обернених функціоналів Мінковського. Досягнення в дослідженні вказаного методу пов’язані з іменами Б.М. Пшеничного, А.О. Чикрія, М.Л. Григоренка, М.Н. Петрова, С.Д. Ейдельмана, Ю.Г. Кривоноса, Й.С. Раппопорта, І.І. Матичина, О.А. Бєлоусова.

Важливі результати в області динамічних ігор отримані в роботах В.М. Кунцевича, Ф.Л. Черноуська, Л.О. Петросяна, М.М. Петрова, L.Berkovitz, O., A., T., В.П. Малюкова, В.В. Захарова, М.А. Зенкевича, С.В. Чистякова, Л.П. Югая.

Спеціальним класом динамічних процесів є імпульсні системи. Для них характерна розривність траєкторій, що потребує додаткової уваги і розробки відповідних технічних засобів. Фундаментом для подальших досліджень у цьому напрямку є роботи А.М. Самойленка, М.О. Перестюка, С.Т. Заваліщина, О.М. Сесекіна, Л.Т. Ащепкова, С.І Ляшка, A.F. Bressan, F., S.G. Pandit.

Математичним базисом для дослідження та оптимізації конфліктно-керованих процесів є методи нелінійного та опуклого аналізу, теорії багатозначних відображень і математичної теорії керування. В цьому відношенні ключові результати зосереджені в роботах:Ж.-П. Обена Aubin J.-P., Frankowska H. Set-Valued Analysis. – Birkhauser, Boston-Basel-Berlin, 1990. – 461 p., Г. Франковської, О.Д. Іоффе, В.М. Тіхомірова, Б.М. Пшеничного, Б.Ш. Мордуховича, Т. Рокафеллара, Ф. Кларка, О.Б. Куржанського, М.З. Згуровського, В.С. Мельника, В.О. Плотнікова.

Незважаючи на широкий спектр глибоких математичних досліджень конфліктно-керованих процесів, залишається ціла низка важливих проблем, які потребують додаткового розгляду. До них, зокрема, належать питання, пов’язані зі співвідношенням першого прямого методу з різними формами методу розв’язуючих функцій, можливостями останнього в застосуванні до процесів з імпульсними керуваннями.

Вищезгадані актуальні задачі теорії конфліктно-керованих процесів і пов’язані з ними проблеми складають предмет досліджень даної дисертаційної роботи.

Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертаційна робота виконана у відповідності до плану наукових досліджень відділу інтелектуальних систем управління динамічними об’єктами Інституту кібернетики імені В. М. Глушкова НАН України:

ВФК 115.05 “Розроблення високоефективних інформаційних технологій прогнозу та розпізнавання ситуацій в системах прийняття рішень”. 

Мета і задачі дослідження. Метою роботи є поглиблене дослідження одного з фундаментальних методів теорії конфліктно-керованих процесів – методу розв’язуючих функцій на предмет його реалізації в класі стробоскопічних стратегій та застосування до оптимізації імпульсних систем. Однією із задач є порівняння різних форм методу розв’язуючих функцій з першим прямим методом Понтрягіна, встановлення достатніх умов співпадання гарантованих часів, а також їх відмінності як для всіх точок фазового простору, так і для окремо взятих. Для процесів з імпульсними керуваннями гравців у вигляді дельта-функцій необхідно встановити достатні умови закінчення гри за деякий гарантований час у випадку одного або групи переслідувачів за різних інформаційних допущень. Отримані теоретичні результати проілюструвати на переконливих модельних прикладах ігрових ситуацій.

Наукова новизна одержаних результатів. Отримані в роботі результати є новими. Для квазілінійних конфліктно-керованих процесів з циліндричною термінальною множиною в рамках методу розв’язуючих функцій встановлено достатні умови закінчення гри за деякий гарантований час в класі стробоскопічних стратегій. Ці умови виражені у формі зірчатості по конусу або опуклозначності певних багатозначних відображень.

Наведено порівняння гарантованих часів різних схем методу розв’язуючих функцій з першим прямим методом в термінах опуклозначних відображень за певної структури термінальної множини. Локальні умови співвідношення гарантованих часів подані у вигляді включень для спеціальних конусів.

Для лінійних диференціальних ігор з імпульсними керуваннями встановлено достатні умови закінчення гри. Послідовно розглянуто три випадки імпульсного керування переслідувача, втікача, а також обох гравців.

Для задачі групового переслідування з імпульсними керуваннями переслідувачів встановлено умови зближення за скінченний гарантований час. Для простих рухів гравців дана умова на початкові положення типу “оточення”, яка забезпечує поїмку втікача хоча б одним із переслідувачів.

Практичне значення одержаних результатів. Отримані в дисертаційній роботі результати є теоретичною основою для моделювання взаємодії керованих рухомих об’єктів в умовах невизначеності. Вони дозволяють приймати рішення в екстремальних ситуаціях за участю угрупувань керованих об’єктів.

Результати можуть бути використані при створенні тренажерів для якісної оцінки результатів ігрової взаємодії, а в кінцевому рахунку – для розробки ефективних алгоритмів та програмного забезпечення.

Особистий внесок здобувача. Всі основні результати, викладені в дисертації, отримані автором самостійно. У публікаціях, виконаних у співавторстві, особистий внесок здобувача полягає в розробці схем переслідування, формулюванні тверджень, проведенні доведень та ілюстрації теоретичних результатів на модельних прикладах. Співавторам належать постановки задач та рекомендації щодо методів їх розв’язання.

Апробація результатів дисертації. Основні результати дисертаційної роботи доповідались на наукових семінарах факультету кібернетики Київського національного університету імені Тараса Шевченка та Інституту кібернетики імені В. М. Глушкова, а також на_ 

11-й міжнародній конференції по автоматичному управлінню “Автоматика-2004” (27-30 вересня 2004 р., Київ); 

11-th International Symposium on Dynamic Games and Applications (December 18-21, 2004, Tucson, USA);_ 

12-th International Symposium on Dynamic Games and Applications (July 3-6, 2006, Sophia Antipolis, France).

Публікації. Основні положення дисертаційної роботи висвітлено в 11 наукових роботах, з яких 8 надруковано в наукових фахових виданнях, затверджених ВАК України, а 3 – у матеріалах міжнародних наукових конференцій.

Структура та обсяг дисертації. Дисертаційна робота складається з вступу, чотирьох розділів, висновку та списку використаних джерел. Перелік використаних джерел складається із 120 найменувань. Повний обсяг роботи – 143 сторінки.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обґрунтовується актуальність обраної теми, формулюється мета роботи, зазначається наукова новизна отриманих результатів та висвітлюється їх теоретична і практична цінність.

У першому розділі дисертаційної роботи вводяться необхідні для розуміння подальшого матеріалу поняття та пов’язані з ними твердження. Результати підкріплені змістовними поясненнями і стосуються опуклого та нелінійного аналізу, дискриптивної теорії множин, теорії багатозначних відображень та лінійних керованих процесів.

Другий розділ присвячений дослідженню методу розв’язуючих функцій для широкого класу конфліктно-керованих процесів. У підрозділі 2.2 встановлено достатні умови розв’язання ігрових задач зближення в класі стробоскопічних стратегій у формі зірчатості по конусу певних багатозначних відображень або в більш загальному вигляді – опуклозначності відображень, для яких опорна функція в певному напрямку є розв’язуючою. Запропонована окрема схема методу розв’язуючих функцій, орієнтована на використання лише стробоскопічних стратегій, і більш загальна, ніж перший прямий метод (підрозділ 2.3). У підрозділі 2.5 встановлено функціональну форму першого прямого методу, а в підрозділі 2.6 описано метод розв’язуючих функцій для випадку фіксованих точок термінальної множини. Для всіх вищезгаданих схем встановлені співвідношення між гарантованими часами закінчення гри (підрозділи 2.1, 2.4 – 2.6). Підрозділ 2.7 присвячений порівнянню гарантованих часів методу розв’язуючих функцій та першого прямого методу для заданих початкових функцій. Отримані теоретичні результати в підрозділі 2.8 ілюструються на спеціальному прикладі з неповним вимітанням, який показує, що гарантовані часи усіх розглянутих схем можуть відрізнятися.

Розглянемо конфліктно-керований процес

(1)

Тут, функція, , , є вимірною за Лебегом і обмеженою при, матрична функція, , вимірна по , а також сумована по для кожного . Блок керування задається функцією , , , , яка вважається неперервною за сукупністю змінних , , – натуральні числа, – сукупність непустих компактів з . Керування гравців , , , є вимірними функціями часу.

Задана циліндрична термінальна множина

(2)

де – лінійний підпростір з ; тут – ортогональне доповнення до в.

Перший гравець намагається вивести траєкторію на множину за найкоротший час, а другий – максимально відтягнути цей момент або уникнути зустрічі.

Приймемо сторону першого гравця і вважатимемо: якщо гра триває на інтервалі , то він застосовує контркерування

,

що визначається стробоскопічною стратегією.

Позначимо ортопроектор, що діє з в . Поклавши , розглянемо багатозначні відображення

,

на множинах відповідно і , де .

Умова Понтрягіна. Багатозначне відображення приймає непусті значення на множині .

У силу властивостей параметрів конфліктно-керованого процесу за будь-якого фіксованого відображення є вимірним по на інтервалі і замкнутим по , , а відображення – вимірне по і замкнутозначне.

З умови Понтрягіна і теореми вимірного вибору випливає, що за будь-якого існує хоча б один вимірний по селектор , такий, що , . Позначимо множину таких селекторів через , і введемо фукцію

.

Розглянемо багатозначне відображення

,

,

і його опорну функцію у напрямку

Цю функцію називають розв’язуючою.

Оскільки виконана умова Понтрягіна, то багатозначне відображення на множині має непустий замкнутий образ. Слід зауважити, що при і, відповідно, при і . Крім того, при в силу теорем про характеризацію та обернений образ багатозначне відображення є -вимірним по , а розв’язуюча функція – -вимірною по , в силу теореми про опорну функцію.

Розглянемо вираз

(3)

Якщо для деякого, то будемо вважати, що функція вимірна по. Якщо ж, то для і в цьому випадку значення інтеграла природно покласти рівним , а відповідна нерівність виконана автоматично. У випадку, коли нерівність у фігурних дужках не виконується при всіх , то будемо вважати, що .

Теорема 2.1.1 дає достатні умови приведення траєкторії на множину в момент в класі квазістратегій.

Умова 2.2.1. При багатозначне відображення, , , є зірчатим по конусу відносно нуля.

Наступна теорема дає умови закінчення гри за час в класі стробоскопічних стратегій.

Теорема 2.2.1. Нехай для ігрової задачі (1), (2) виконана умова Понтрягіна й умова 2.2.1 з селектором , а множина є опуклою, причому точна нижня грань в (3) по досягається і .

Тоді траєкторія процесу (1) може бути приведена на термінальну множину (2) в момент за допомогою контркерування.

Зауважимо, що умова 2.2.1 виконана, якщо відображення є опуклозначним для , , а множина – опуклий компакт.

Умову 2.2.1, зберігаючи теорему 2.2.1, дещо послаблює наступна умова:

Умова 2.2.2. При відображення , , , є опуклозначним, тобто

Наведені умови гарантують вибір незалежних від вимірних селекторів відображення, таких, що. Ця обставина приводить до модифікації схеми методу розв’язуючих функцій, яка дає, певною мірою, вичерпну відповідь на питання про розв’язання ігрових задач зближення в класі стробоскопічних стратегій.

Розглянемо багатозначне відображення

і його опорну функцію в напрямку +1

Якщо , то відображення є замкнутозначним і вимірним по , , а значить вимірною по є функція .

При очевидно , а для .

Введемо функцію

(4)

Теорема 2.3.1. Нехай для конфліктно-керованого процесу (1), (2) виконана умова Понтрягіна і, причому для заданої функції, деякого селектора точна нижня грань в (4) досягається і.

Тоді траєкторія процесу (1) може бути приведена на термінальну множину (2) в момент за допомогою контркерування.

Справедливе співвідношення

за допустимих значень аргументів, яке за умови 2.2.2 перетворюється в рівність (наслідок 2.3.1).

Доцільно порівняти функції , з функцією Понтрягіна

Зауважимо, що теорема 2.4.1 дає достатні умови закінчення гри в момент без умови опуклості множини . Включення у фігурних дужках має місце тоді і лише тоді, коли існує такий вимірний селектор , що . Це означає, що виродження (перетворення в ) розв’язуючої функції цілком відповідає першому прямому методу. Крім того, існує такий селектор, що

(наслідок 2.4.3).

Виразимо перший прямий метод Понтрягіна у вигляді розв’язуючих функцій. Для цього розглянемо багатозначне відображення

і його опорну функцію

При відображення є вимірним по , , і замкнутозначним, відповідно, вимірна по функція .

Введемо функцію часу

Теорема 2.5.1 дає достатні умови закінчення гри в момент , а теорема 2.5.2 – умови рівності

Це дає можливість (теорема 2.5.3) встановити, що за умови опуклозначності 2.2.2 та умови афінності множини ( – точка)

а лише за умови афінності множини (наслідок 2.5.1)

На основі техніки розв’язуючих функцій у підрозділі 2.6 розглядається схема з фіксованими точками множини . При цьому не вимагається опуклість множини , проте гарантується (теорема 2.6.1) попадання проекції траєкторії в наперед задану точку у момент , який визначається схемою методу. При цьому вищезгаданий час за умови збігається з часом , а за умови опуклозначності (умова 2.6.2) - з часом при підходящому виборі селектора (теорема 2.6.2).

Порівняємо часи і в залежності від вибору функцій . Для цього введемо багатозначні відображення

і функцію

Для заданої функції розглянемо множину

в свою чергу, для позначимо

Для фіксованих і позначимо

Теорема 2.7.1. Нехай для конфліктно-керованого процесу (1), (2) виконана умова Понтрягіна, для заданої функції існує такий селектор , що , причому , для всіх , , , , , виконана умова

функція напівнеперервна знизу по для і момент є точкою неперервності функції . Тоді

Теорема 2.7.2. Нехай для конфліктно-керованого процесу (1), (2) виконана умова Понтрягіна, для заданої функції існує такий селектор , що , і для , ,

Тоді

У випадку аналогічні твердження, виражені через багатозначне відображення , містяться в наслідках 2.7.1 та 2.7.2.

У підрозділі 2.8 розглядається спеціальний приклад з неповним вимітанням в умові Понтрягіна, на якому ілюструються теоретичні результати розділу 2.

У розділі 3 вивчаються лінійні диференціальні ігри зближення, в яких керування одного або обох гравців мають імпульсний характер. Для вищезгаданого класу ігрових задач послідовно розглядаються ситуації імпульсного керування переслідувача, втікача, а також випадки різної інформованості гравців. Ця особливість, певною мірою, дискретизує конфліктно-керований процес. У кожному випадку отримані достатні умови розв’язку задачі зближення на основі методу розв’язуючих функцій та результатів розділу 2.

Розлянемо лінійний конфліктно-керований процес

(5)

з циліндричною термінальною множиною .

Нехай , , – послідовність моментів часу, занумерованих у порядку зростання і не мають скінченних граничних точок. Будемо вважати, що переслідувач може впливати на процес тільки в моменти , , згідно з виразом

де – вектори скачків , а - дельта-функція Дірака. Керування втікача є вимірною функцією, . У підрозділі 3.2 розглядається задача зближення. Введемо багатозначні відображення

Інтеграл від багатозначного відображення є інтегралом Аумана, а – геометрична різниця Мінковського.

Умова 3.2.1. Багатозначні відображення приймають непусті значення при всіх , .

Зафіксувавши певні елементи , , , позначимо , , і покладемо

Розглянемо багатозначні відображення

їх опорні функції

і позначимо

Зафіксувавши і , покладемо .

Умова 3.2.2. Має місце поточкова рівність

Теорема 3.2.1. Нехай для конфліктно-керованого процесу (5), що перебуває у початковому стані , з циліндричною опуклою термінальною множиною при імпульсному керуванні переслідувача виконані умови 3.2.1 і 3.2.2 з деяким фіксованим набором , причому . Тоді траєкторія системи (5) може бути приведена з початкового стану на термінальну множину (2) в момент .

Теорема 3.3.1 є аналогом теореми 2.3.1 при імпульсних керуваннях переслідувача, вона послаблює умову опуклозначності 3.2.2, залишаючи її лише на фінальному відрізку часу.

У підрозділі 3.4 розглядається випадок імпульсного керування втікача. Задано конфліктно-керований процес

(6)

з термінальною множиною . Послідовність не має скінченних граничних точок.

Введемо цілочисленну функцію

та розглянемо багатозначні відображення

Позначимо

Умова 3.4.1..

Для позначимо набір селекторів

і покладемо

Розглянемо багатозначні відображення

відповідні розв’язуючі функції

і множину

Нехай, де – початковий стан; – фіксований набір селекторів.

Умова 3.4.2. Мають місце співвідношення

Теорема 3.4.1. Якщо для процесу (6) з термінальною множиною при імпульсному керуванні втікача виконана умова 3.4.1, а множина опукла, для початкового стану і набору селекторів множина не пуста, то для будь-якого , для якого виконана умова 3.4.2, траєкторія процесу може бути приведена з початкового стану на термінальну множину в момент .

У підрозділі 3.5 в рамках методу розв’язуючих функцій вивчається модифікована схема при імпульсному керуванні другого гравця. Встановлено достатні умови закінчення гри за деякий гарантований час.

Задача імпульсного переслідування з дискримінацією супротивника досліджена в підрозділі 3.6. При виконанні аналога умови Понтрягіна і за умови опуклозначності відображень, пов’язаних з конфліктно-керованим процесом, встановлено факт приведення траєкторії процесу на циліндричну термінальну множину в заданий момент часу.

У підрозділі 3.7 розглядаються конфліктно-керовані процеси, в яких обидва гравці використовують імпульсні керування. На основі розробленої техніки даються достатні умови закінчення гри.

Результати розділу 3 ілюструються на модельному прикладі, де охоплені всі розглянуті ситуації і розрахунки доводяться до числа (підрозділ 3.8).

У розділі 4 розглядається задача імпульсного переслідування групою керованих об’єктів одного втікача. Відомо, що характерною особливістю такого типу задач є неопуклість термінальної множини. Це серйозна проблема при побудові розв’язку та встановленні гарантованого часу переслідування за заданих початкових умов. Використання підходів, розвинутих у попередніх розділах, а також основних ідей методу розв’язуючих функцій дозволяє в підрозділах 4.2 і 4.3 отримати достатні умови поїмки. У підрозділі 4.4 детально вивчено випадок простих рухів, для якого сформульовано необхідну та достатню умову, аналогічну відомому правилу “оточення”.

Розглянемо задачу групового переслідування з переслідувачами

(7)

і одним втікачем

(8)

Будемо вважати, що , , , де – деякий період. Керування переслідувачів мають вигляд

а керування втікача є довільною вимірною функцією, що приймає значення з кулі радіусом з центром в початку координат, тобто .

Гра (7), (8) вважається закінченою, якщо

для деякого (9)

Позначимо ,, і введемо функції

де , .

Наслідок 4.4.1. Нехай – початковий стан конфліктно-керованого процесу (7) – (9). Групове імпульсне переслідування може бути закінчене за скінченний час тоді і тільки тоді, коли справедливе включення

(10)

Співвідношення (10) еквівалентне нерівності .

Уточнимо той скінченний час, про який йдеться у наслідку. Для цього введемо функції

де і

Тут 0 як аргумент функції означає, що відповідні селектори багатозначних відображень умови Понтрягіна вибрані рівними нулю. Тоді згідно з теоремою 4.3.1 гра групового переслідування (7) – (9) за умови (10) може бути закінчена з початкового стану в момент , причому справедлива оцінка

ВИСНОВКИ

У дисертації одержано нові науково обгрунтовані результати в галузі квазілінійних динамічних ігор зближення та лінійних ігрових задач з імпульсним керуванням.

Основні результати дисертаційної роботи:

1. Для квазілінійних конфліктно-керованих процесів з циліндричною термінальною множиною в рамках методу розв’язуючих функцій встановлено достатні умови закінчення гри за деякий гарантований час в класі стробоскопічних стратегій. Умови виражені в формі зірчатості по конусу або опуклозначності спеціальних багатозначних відображень.

2. Запропонована модифікована схема методу, що забезпечує закінчення гри за певний гарантований час в класі стробоскопічних стратегій без будь-яких додаткових умов.

3. Встановлена функціональна форма першого прямого методу Понтрягіна і вивчено варіант методу розв’язуючих функцій з фіксованими точками термінальної множини.

4. Наведено порівняння гарантованих часів різних схем методу розв’язуючих функцій з першим прямим методом в термінах опуклозначних відображень за певної структури термінальної множини.

5. Показано ілюстративний приклад з неповним вимітанням, в якому можна точно знайти гарантовані часи за різними схемами та порівняти їх з часом першого прямого методу.

6. Для процесів з імпульсними керуваннями встановлено достатні умови закінчення гри. Послідовно досліджено три випадки імпульсного керування переслідувача, втікача, а також обох гравців, вивчено різні ситуації взаємної інформованості, обгрунтовано дискретний аналог паралельного зближення.

7. Для задачі групового переслідування з імпульсними керуваннями переслідувачів отримано умови зближення за скінченний гарантований час. Для простих рухів гравців встановлена умова на початкові положення типу “оточення”, яка забезпечує поїмку втікача хоча б одним з переслідувачів.

ОСНОВНІ ПОЛОЖЕННЯ ДИСЕРТАЦІЇ ОПУБЛІКОВАНІ

В ТАКИХ ПРАЦЯХ:

1. Чикрий К. А. Об окончании линейной дифференциальной игры за нефиксированное время //Теория оптимальных решений. – 1999. – С. 22 – 27.

2. Коваленко А. С., Чикрий К. А. Об одном методе исследования игровых задач сближения Проблемы управления и информатики. – 1999. – № 4. – С. – 78.

3. Чикрий  К. А., Щур А. В. О линейных дифференциальных играх сближения с интегральным блоком управления Проблемы управления и информатики. – 2000. – № . – С. 40 – 44.

4. Матичин И. И., Чикрий  К. А. Дифференциальные игры с импульсным управлением Теория оптимальных решений. – 2004. – № . – С. 102 – 108.

5. Чикрий К. А. Прямые методы Понтрягина во фрактальных игровых задачах // Матеріали 11-ї міжнар. конф. по автоматичному управлінню “Автоматика-2004” (27-30 вересня 2004 р.). – К.: НУХТ, 2004. –Т. 4. – С. 44.

6. Чикрий А. А., Матичин И. И., Чикрий К. А. Конфликтно-управляемые процессы с разрывными траекториями Кибернетика и системный анализ. – 2004. – № 6. – С. 15 – 29.

7. А. А., MatichinChikrii Differential Games with Impulse Control Proc. 11-th Intern. Sump. on Dynamic Games and Applications (December 18 – 21, 2004). – Tuscon: USA, 2004. – Vol. 1. – P. 108 – 125.

8. Чикрий А. А., Раппопорт И. С., Чикрий К. А. О достаточных условиях разрешимости игровых задач сближения в классе стробоскопических стратегий Докл. НАН Украины. – 2005. – № . – С. 71 – 76.

9. Кривонос Ю. Г., Матичин И. И., Чикрий К. А. Групповое преследование в дифференциальных играх с импульсным управлением Теория оптимальных решений. – 2005. – № . – С. 25 – 34.

10. А.Josef Solution of Quasilinear Pursuit Problem in the Class of Strobostrophic Strategies Proc. 12-th Intern. Sump. on Dynamic Games and Applications (July 3 – 6, 2006). – Sophia Antipolis: France, 2006. – P. .

11. Чикрий А. А. Раппопорт И. С., Чикрий К. А. К теории преследования в классе стробоскопических стратегий Докл. НАН Украины. – 2006. – № . – С. 72 – 77.

АНОТАЦІЇ

Чикрій К.А Гарантований результат для конфліктно-керованих процесів. – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.05.01 – теоретичні основи інформатики та кібернетики. – Інститут кібернетики імені В. М. Глушкова НАН України, Київ, 2007.

У дисертаційній роботі досліджуються квазілінійні динамічні ігри зближення та ігрові задачі з імпульсними керуваннями. Для конфліктно-керованих процесів з циліндричною термінальною множиною в рамках методу розв’язуючих функцій встановлено достатні умови закінчення гри за деякий гарантований час в класі стробоскопічних стратегій. Умови виражені у формі зірчатості по конусу або опуклозначності спеціальних багатозначних відображень. Запропоновано різні схеми вищезгаданого методу. Зокрема, встановлена функціональна форма першого прямого методу Понтрягіна, що дало можливість порівняти гарантовані часи різних схем методу розв’язуючих функцій між собою, а також з першим прямим методом. Для процесів з імпульсними керуваннями отримано достатні умови закінчення гри. Послідовно досліджено випадки імпульсного керування переслідувача, втікача, а також обох гравців, вивчено різні ситуації взаємної інформованості, обгрунтовано дискретний аналог паралельного зближення. Для задачі групового зближення з імпульсними керуваннями переслідувачів встановлено достатні умови зближення за скінченний гарантований час, завдяки яким у випадку простих рухів гравців отримані геометрично наглядні умови на початкові положення типу “оточення”, що забезпечують поїмку втікача хоча б одним із переслідувачів.

Ключові слова: конфліктно-керований процес, багатозначне відображення, вимірний селектор, стробоскопічна стратегія, гарантований час, метод розв’язуючих функцій, умова Понтрягіна, імпульсне керування, групове зближення.

Чикрий К.А. Гарантированный результат для конфликтно-управляемых процессов. – Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.05.01 – теоретические основы информатики и кибернетики. – Институт кибернетики имени В. М. Глушкова НАН Украины, Киев, 2007.

Диссертационная работа посвящена исследованию квазилинейных динамических игр сближения и игровых задач с импульсными управлениями. Для конфликтно-управляемых процессов с цилиндрическим терминальным множеством в рамках метода разрешающих функций получены достаточные условия окончания игры за некоторое гарантированное время в классе стробоскопических стратегий. Условия выражены в форме звездности по конусу либо выпуклозначности специальных многозначных отображений.

Подробно изучены многозначные отображения с замкнутыми значениями и их селекторы на предмет -измеримости и суперпозиционной измеримости. Последнее обстоятельство используется при выборе измеримых селекторов в качестве управлений преследователя, заменяя, по существу, известную теорему Филиппова - Кастена. Предложено различные схемы упомянутого выше метода. В частности, установлена функциональная форма первого прямого метода Понтрягина, что дало возможность сравнить гарантированные времена различных схем метода разрешающих функций между собой, а также с первым прямым методом. Это сравнение выполнено как для всех начальных состояний, так и для отдельно взятых. В последнем случае соотношение для гарантированных времен зависит от соответствующих включений для конусов многозначных отображений. Указаны конкретные ситуации, когда время метода разрешающих функций, реализованное в классе контруправлений, меньше времени первого прямого метода.

Приведен пример конфликтно-управляемого процесса с простыми движениями и -окрестностью начала координат в качестве терминального множества. Области управлений игроков подобраны таким образом, что нарушается свойство полного выметания в условии Понтрягина. В этом примере указана начальная позиция, для которой рассматриваемые гарантированные времена различны, а все фазовое пространство разбито на две области и вопрос об окончании игры за конечное время может быть сформулирован в виде необходимых и достаточных условий.

Для процессов с импульсными управлениями установлены достаточные условия окончания игры. Последовательно исследованы случаи импульсного управления преследователя, убегающего, а также обоих игроков, изучены различные ситуации взаимной информированности, обоснован дискретный аналог параллельного сближения.

Подробно рассмотрен пример игровой задачи, где строится в явном виде разрешающая функция, управление преследователя и дается в аналитическом виде выражение для времени преследования в зависимости от начальных состояний и от классов управлений, используемых игроками.

Для задачи группового сближения с импульсными управлениями преследователей получены достаточные условия сближения за конечное гарантированное время. В случае простых движений игроков получены геометрически наглядные условия на начальные положения типа “окружения”, которые обеспечивают поимку убегающего хотя бы одним из преследователей. При этом рассмотрен случай, когда область управления убегающего обратно пропорционально зависит от расстояния между одинаково отдаленными моментами выдачи импульсов и, следовательно, возможна ситуация, когда преследователи якобы уступают убегающему по ресурсам управления. Тем не менее результат оказывается в их пользу.

Ключевые слова: конфликтно-управляемый процесс, многозначное отображение, измеримый селектор, стробоскопическая стратегия, гарантированное время, метод разрешающих функций, условие Понтрягина, импульсное управление, групповое сближение.

Chikrii K.A. Guaranteed result for conflict-controlled processes. – Manuscript.

Thesis for the candidate degree in physics and mathematics by speciality 01.05.01 – theoretical foundations of informatics and cybernetics. – V.M.Glushkov Institute of Cybernetics, National Academy of Sciences of Ukraine, Kyiv, 2007.

Thesis is devoted to investigation of the quasilinear dynamic games and the game problems with impulse controls. In so doing, conflict-controlled processes with cylindrical terminal set are treated. On the basis of the method of resolving functions, sufficient conditions for the game termination in some quaranteed time are obtained. These conditions are realized in the class of stroboscopic strategies and expressed in the form of star-shapedness in certain cone or convex-valuedness of special set-valued mappings. Various schemes of the above-mentioned method are suggested. In particular, the functional form of Pontryagin’s first direct method is derived. This makes feasible to compare the quaranteed times of various schemes of the method of resolving functions as well as each of these times with the time of the first direct method. Also sufficient conditions for the game termination are established for the processes with impulse controls. In succession are studied the cases when impulse controls are employed only by one of the players (the pursuer or the evader) or by both of them. Special attention is paid to various kinds of the players’ information availability on the opponent behaviour. Discrete analog of the parallel pursuit rule is established. Also the problem of group pursuit when all the pursuers apply impulse controls is studied in detail. Sufficient conditions for capture of the evader in a finite quaranteed time are deduced. In the case of simple motions these conditions take the form of geometric-descriptive conditions on the initial positions of “encirclement” type and provide capture of the evader at least by one of the pursuers.

Key words: conflict-controlled process, set-valued mapping, measurable selection, stroboscopic strategy, quaranteed time, method of resolving functions, Pontryagin's condition, impulse control, group pursuit.