Харківський національний університет радіоелектроніки

УДК 519.21

Черемська Надія Валентинівна

СТОХАСТИЧНІ НЕСТАЦІОНАРНІ МОДЕЛІ

В ЗАДАЧАХ ОБРОБКИ ДАНИХ

Спеціальність 01.05.02 – математичне моделювання та обчислювальні методи

Автореферат дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата технічних наук

Харків – 2007

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана у Національному технічному університеті "Харківський політехнічний інститут" Міністерства освіти і науки України, м. Харків.

Науковий керівник – доктор технічних наук, професор Шаронова Наталія Валеріївна, Національний технічний університет "Харківський політехнічний інститут", завідувач кафедри інтелектуальних комп’ютерних систем.

Офіційні опоненти: доктор технічних наук, професор Михальов Олександр Ілліч,

Національна металургійна академія України (м. Дніпропетровськ),

завідувач кафедри інформаційних технологій та систем;

доктор фізико-математичних наук, профессор Руткас Анатолій Георгійович,

Харківський національний університет ім. В.Н. Каразіна, завідувач кафедри

математичного моделювання та программного забезпечення.

Захист відбудеться „18” грудня 2007 р. о 13 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д .052.02 у Харківському національному університеті радіоелектроніки за адресою: 61166, м. Харків, пр. Леніна, 14.

З дисертацією можна ознайомитися у бібліотеці Харківського національного університету радіоелектроніки за адресою: 61166, м. Харків, пр. Леніна, 14.

Автореферат розіслано „16” листопада 2007 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради В.В.Безкоровайний

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Існує великий клас прикладних задач, для яких є характерною статистична нестаціонарність. Наприклад, задачі фільтрації та прогнозу випадкових процесів, поширення хвиль у турбулентній атмосфері та інші. Для розв’язання задач, для яких припущення щодо статистичної стаціонарності не виконується, використовувались певні узагальнення стаціонарних випадкових функцій, які являють собою адитивні або мультиплікативні збурення стаціонарних випадкових процесів або однорідних випадкових полів. А саме: випадкові функції зі стаціонарними приростами, які використовуються, наприклад, для моделювання атмосферної турбулентності (у роботах Моніна А.С., Яглома А.М., Ритова С.М., Тихонова В.І.), локально-стаціонарні випадкові процеси та локально-однорідні випадкові поля, які використовуються, наприклад, для моделювання поширення електромагнітних хвиль у атмосфері Венери (у роботах Ісимару А., Татарського В.І.) та інші.

Проте, спроба застосування перелічених вище моделей нестаціонарних процесів для низки задач призводить до великих похибок. Це такі задачі як побудова адекватної моделі операції хімічного рідинного травлення алюмінієвих і поліїмідних шарів гнучких кабелів і плат при дослідженні електромагнітних хвиль, які поширюються поблизу земної кулі або в іоносфері (у роботах Меня А.В., Брауде С.Я., Rickettколи припущення щодо статистичної однорідності приростів порушується. При аналізі задачі гасіння або зростання поверхневих хвиль сильною турбулентністю, наприклад, що створюється об’єктом, який рухається, також порушується статистична однорідність. Припущення, що турбулентність є статистично стаціонарною в часовій області, практично не виконується для випадку природних турбулентних течій, де середні значення усіх гідродинамічних елементів звичайно не є сталими та мають явно виражений добовий і річний хід. Під час роботи радіоапаратури систем космічних апаратів також виникають неконтрольовані температурні флуктуації, які пов’язані, зокрема, з нестаціонарними неконтрольованими процесами на Сонці, потраплянням космічних об’єктів у хмари космічних часток плазми сонячного вітру тощо, які частіше за все відбуваються на скінченному інтервалі часу та локалізовані в просторі і тому їх принципово не можна змоделювати стаціонарними випадковими процесами або однорідними випадковими полями.

Першим кроком у введенні нових класів випадкових процесів були дослідження М.С. Лівшиця та А.А. Янцевича, де вивчалися нестаціонарні випадкові процеси на основі кореляційної теорії та було встановлено важливий зв’язок між теорією квазіунітарних або несамоспряжених операторів та нестаціонарними випадковими функціями. Великий внесок у розв’язання таких задач внесли такі вітчизняні та зарубіжні вчені як В.О. Золотарьов, О.І. Михальов, А.Г. Руткас, Л.А. Сахнович, D.JonhGetoorPishelNiemiта інші.

Аналіз сучасного стану кореляційної теорії та її застосувань показав, що методи врахування нестаціонарності до теперішнього часу розроблені слабо, мають спеціальний характер та не об’єднані загальною ідеєю. Тому постає необхідність у розробці кореляційної теорії широкого класу нестаціонарних випадкових функцій, яка була б перспективною для розв’язання прикладних задач, для яких статистична нестаціонарність або неоднорідність відповідних статистичних даних істотна. Саме це зумовлює актуальність проблем дослідження.

Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Робота відповідає державним науково-технічним програмам, які сформульовано в Законі України “Про наукову і науково-технічну діяльність” та в Законі України “Про національну програму інформатизації”, а також планам науково-технічних робіт МОН України. Дисертаційна робота виконана відповідно до плану науково-дослідних робіт Національного технічного університету “Харківський політехнічний інститут” (НТУ “ХПІ”) у межах державної бюджетної теми МОН України “Розробка інформаційно-аналітичного забезпечення процедур підтримки прийняття рішень в комп’ютерно-інтегрованих системах” (ДР №0106U001518), де автор брала участь як виконавець.

Мета і задачі дослідження. Метою дисертаційної роботи є розробка єдиного підходу до розв’язання прикладних задач, для яких статистична нестаціонарність або неоднорідність даних є істотною, а існуючі моделі не є адекватними. Для досягнення цієї мети необхідно розв’язати такі задачі:–

увести універсальні числові та функціональні характеристики статистичної нестаціонарності або неоднорідності та подати класифікацію відповідних випадкових функцій;–

побудувати моделі дійснозначних кореляційних функцій нестаціонарних випадкових процесів (послідовностей) та неоднорідних випадкових полів, які б ураховували комплексний спектр;–

розробити методи отримання нових класів випадкових функцій за допомогою принципово нового підходу, який засновано на лінійних перетвореннях у гільбертовому просторі;–

запропонувати новий підхід для опису властивостей статистично нестаціонарних або неоднорідних середовищ та джерел; розглянути прикладні задачі поширення хвиль в таких середовищах.

Об’єкт дослідження – нестаціонарні випадкові процеси, послідовності й неоднорідні випадкові поля та їх числові та функціональні характеристики в прикладних задачах зі статистично нестаціонарними або неоднорідними даними.

Предмет дослідження – кореляційна теорія нестаціонарних випадкових процесів і послідовностей та неоднорідних випадкових полів.

Методи дослідження: спектральна теорія несамоспряжених та неунітарних операторів та теорія лінійних систем, асоційованих із операторними вузлами (комплексами), застосована для отримання спектральних розкладів нестаціонарних випадкових функцій; трикутні та універсальні моделі операторів, застосовані для побудови моделей нестаціонарних випадкових функцій та моделей відповідних кореляційних функцій; кореляційний аналіз випадкових даних, використаний під час обробки експериментальних даних в операції хімічного рідинного травлення та даних радіоастрономічних вимірювань.

Наукова новизна одержаних результатів.

1. Вперше на основі нових числових та функціональних характеристик нестаціонарності та неоднорідності запропонована єдина класифікація нестаціонарних випадкових функцій та неоднорідних випадкових полів, що дозволяє будувати моделі інтерпретації даних, які не можна апроксимувати стаціонарними випадковими процесами або процесами зі стаціонарними приростами.

2. Набула подальшого розвитку кореляційна теорія нестаціонарних випадкових функцій, що дозволяє детальніше аналізувати дані різних фізичних процесів.

3. Удосконалено математичні моделі нестаціонарних випадкових функцій та відповідних кореляційних функцій для обробки даних в прикладних задачах зі статистичною нестаціонарністю або неоднорідністю.

Практична цінність отриманих результатів. Отримані в дисертаційній роботі стохастичні нестаціонарні моделі використані:–

для експериментального відпрацьовування та впровадження адаптивної системи автоматизованого управління технологічними процесами виготовлення гнучких кабелів мікросхем з кроком 50–80 мкм.–

для побудови адекватної моделі для інтерпретації результатів вимірювання модуля функції видності при різних годинних кутах на інтерферометрі УРАН-І на частоті 25 МГц.–

у навчальному процесі кафедри теоретичної та прикладної інформатики Харківського національного університету ім. В.Н. Каразіна в дисципліні “Стохастичний аналіз” та інших навчальних дисциплінах.

Апробація результатів дослідження. Основні результати дисертації доповідались та обговорювались на IX-й Міжнародній науковій конференції ім. ак. Кравчука, на Міжнародних конференціях з математичного моделювання (м. Херсон, 2002 р., 2003 р.)

Публікації. За результатами наукових досліджень опубліковано 12 наукових праць, у тому числі 7 статей у виданнях, що входять до переліків, затверджених ВАК України.

Особистий внесок здобувача. Усі основні положення дисертаційної роботи, які виносяться на захист, отримані здобувачем особисто.

У роботах, опублікованих у співавторстві, здобувачеві належать такі результати: у [1] запропоновано зображення для найпростіших нестаціонарних процесів та послідовностей, у [2] отримано розв’язок системи рівнянь, які визначають оптимальну середню квадратичну оцінку та наведено приклад, у [5] введено функціональні та числові характеристики неоднорідності випадкових полів, знаходження зображень для відповідних кореляційних різниць, відновлення неоднорідних дискретних випадкових полів за спектром та спектральні розклади нестаціонарних випадкових послідовностей, у [8] побудовано відновлення нестаціонарного сигналу за кореляційною функцією, у [9] побудовано знаходження зображень для відповідних кореляційних різниць.

Структура і обсяг роботи. Дисертаційна робота складається зі вступу, шести розділів, висновків, списку використаних джерел, додатків. Повний обсяг дисертації складає 225 стор., 35 рисунків на 15 сторінках, список використаних джерел зі 170 найменувань на 17 сторінках, 3 додатки на 16 стор.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі шляхом аналізу та порівняння відомих математичних моделей з розробленими моделями обґрунтовано актуальність теми дисертації, зазначено зв’язок роботи з науковими темами, сформульовано мету і задачі дослідження, визначено об’єкт, предмет і методи дослідження, показано наукову новизну та практичну цінність роботи, апробацію результатів роботи на конференціях та їх висвітлення у друкованих працях.

У першому розділі на основі аналітичного огляду літературних джерел проведено аналіз існуючих методів класифікації випадкових процесів і послідовностей за кореляційною функцією; розглянуто гільбертів підхід до побудови кореляційної теорії; зроблено огляд наукових результатів з лінійних перетворень випадкових функцій, а також фільтрації та прогнозу випадкових функцій; проведено аналіз стану питань з моделювання статистично стаціонарних та однорідних випадкових середовищ та поширення хвиль у випадкових середовищах; сформульовано постановку задач і подальших досліджень.

При розв’язанні прикладних задач з’ясовано, що припущення щодо стаціонарності випадкових функцій в багатьох випадках не виконується. Тому було введено певні класи нестаціонарних випадкових функцій: випадкові функції зі стаціонарними приростами, квазістаціонарні процеси, процеси, що гармонізуються, локально-стаціонарні (сепарабельні) випадкові процеси. Проте, ці класи нестаціонарих випадкових функцій мають, загально кажучи, спеціальний характер.

Вивчення структури стаціонарної випадкової функції та її кореляційної функції може бути здійснено за допомогою гільбертового підходу, який широко застосовується для дослідження стаціонарних випадкових процесів у роботах А.М. Колмогорова, Г. Крамера, А.М. Яглома, Ю.А. Розанова та ін. Такий підхід дозволяє зобразити кореляційну функцію у вигляді скалярного добутку та відкриває широкі можливості для моделювання кореляційних функцій.

На основі аналізу сучасного стану кореляційної теорії сформульовано постановку задач і подальших досліджень.

У другому розділі на основі диференціальних та різницевих рівнянь в часткових похідних уведено нові функціональні та числові характеристики нестаціонарності, побудовано кореляційну теорію нестаціонарних випадкових функцій за допомогою трикутних та універсальних моделей несамоспряжених операторів, проведено реконструкцію випадкових функцій за спектром, отримано спектральний розклад нестаціонарних випадкових послідовностей.

У цьому розділі запропоновано єдиний підхід до опису відхилення випадкової функції від заданого класу випадкових функцій. Спеціальним способом уводяться перетворення кореляційної функції , (), які характеризують той або інший клас випадкових функцій:

(стаціонарний випадковий процес);

(ганкелев випадковий процес);

(стаціонарна в широкому розумінні випадкова послідовність);

(ганкелева випадкова послідовність).

У разі, коли випадковий процес (послідовність) не є стаціонарним (ганкелевим), для опису характеру відхилення від нестаціонарності (ганкелевості) необхідно досліджувати структуру перетворень

або ().

При побудові кореляційної теорії обмежимось кривими (послідовностями ) у гільбертовому просторі, що мають так зване еволюційне зображення: (), де А – лінійний обмежений оператор у цьому просторі. Саме еволюційне зображення кривих (послідовностей) у гільбертовому просторі дозволяє дослідити структуру характеру відхилення від стаціонарності або ганкелевості за допомогою зображень:

(1)

де . Відповідно, .

У цьому розділі введено нові функціональні та числові характеристики відхилення випадкових функцій від стаціонарних (ганкелевих):–

інфінітезимальна кореляційна функція (кореляційна різниця) – функція

;–

ранг (квазіранг) – максимальні ранги квадратичних форм

.

Використовуючи (1) у випадках або для інфінітезимальної кореляційної функції (кореляційної різниці), отримуємо зображення:

, де ;

, де ;

, де .

За допомогою трикутних моделей для різних випадків спектра оператора А та і , у дисертаційній роботі отримано зображення для .

Наприклад, якщо спектр випадкової послідовності розташований у верхній півплощині, то для кореляційної різниці отримано вираз:

,

де , а визначаються лише за спектром та мають вигляд:

.

Проведено відновлення кореляційної функції (кореляційної різниці, інфінітезимальної кореляційної функції) тільки за спектром та відповідним початковим елементом, що дозволяє будувати конкретні моделі кореляційних функцій, які можна використати для обробки експериментальних даних у задачах розглянутого класу.

У цьому розділі також показано, що довільна лінійна дискретна система у просторі станів може бути розширена до системи, яка асоційована з операторним вузлом, тільки за рахунок розширення зовнішніх просторів.

Для нестаціонарних випадкових функцій на основі операції зчеплення операторних вузлів отримано спектральні розклади, які є суперпозицією гармонічних коливань з комплексними частотами (на відміну від стаціонарних випадкових функцій, де частоти дійсні) у випадку дискретного спектру, та є суперпозицією “струн” (тобто розподілених коливань) у випадку нескінченнократного спектру. Отримані спектральні розклади дозволяють будувати спектральний аналіз нестаціонарних випадкових функцій.

У третьому розділі введено нові функціональні та числові характеристики неоднорідності, отримано операторні зображення для випадкових полів неперервних та дискретних аргументів, відповідних умов на кореляційну функцію, побудовано кореляційну теорію неоднорідних випадкових полів за допомогою систем двічі переставних операторів, розроблено новий підхід до спектрального зображення і моделювання неоднорідних випадкових полів.

На основі трикутних моделей операторів отримано модельні зображення для часткових інфінітезимальних кореляційних функцій, часткових кореляційних різниць для різних випадків спектра:

,

де для випадку неперервних спектрів модельних операторів та ;

для випадку дискретних спектрів модельних операторів та ;

, де ,

для випадку, коли у оператора неперервний спектр, а у оператора – дискретний.

Отримані моделі неоднорідних випадкових полів можна використати для опису середовищ, які знаходяться у перехідному стані (наприклад, плазма випадковим способом змінює свій заряд), або коли електромагнітні хвилі поширюються поблизу земної кулі та статистична неоднорідність середовища порушується, та інших.

У четвертому розділі проведено дослідження поведінки рангу (квазірангу) та інфінітезимальних кореляційних функцій або кореляційних різниць при лінійних перетвореннях відповідних кривих і послідовностей у гільбертовому просторі. Розглядаються лінійні перетворення, які зберігають ранг (квазіранг) нестаціонарності. Досліджено лінійні перетворення неоднорідних випадкових полів, що є основою для розв’язання низки прикладних задач, які наведено в розділі 6.

Далі розглядаються лінійні перетворення (ділатації) випадкових послідовностей та процесів після їх занурення у відповідний гільбертів простір з подальшим обчисленням кореляційних функцій як скалярних добутків у . При перетворенні () еволюційно зображеної послідовності (А – лінійний обмежений оператор у гільбертовому просторі) для кореляційної різниці отримано вираз

, (2)

де , – неспадаюча функція обмеженої варіації, , , а є лінійним функціоналом від .

У цьому розділі також розв’язано обернену задачу. А саме: відновлення послідовності та оператора В за кореляційною різницею (2). Це дозволяє зводити задачу лінійних перетворень з випадковими параметрами до детермінованої задачі лінійних перетворень у гільбертовому просторі та безпосередньо обчислювати кореляційні функції, інфінітезимальні кореляційні функції, кореляційні різниці, оминаючи складну процедуру імовірнісного аналізу та моделювати явний вигляд кореляційних функцій достатньо широкого класу нестаціонарних процесів та послідовностей.

У п’ятому розділі побудовано моделі дійснозначних кореляційних функцій нестаціонарних даних, одержано алгоритми оптимального прогнозу й фільтрації для нестаціонарних випадкових послідовностей. Отримано явні вирази дійснозначних кореляційних функцій нестаціонарних випадкових функцій для різних випадків спектрів. Розглянуто задачу реконструкції за кореляційною функцією дисипативних нестаціонарних випадкових процесів першого рангу нестаціонарності для різних випадків спектра, а також неоднорідних випадкових полів, які мають задану кореляційну функцію.

Розглянуто задачу прогнозу та фільтрації випадкових послідовностей. На прикладах нестаціонарних випадкових послідовностей задача прогнозу та фільтрації вирішується явно, отримано вирази для відповідних середніх квадратичних помилок. Показано, що, на відміну від прогнозу стаціонарних випадкових функцій, помилка прогнозу нестаціонарних функцій залежить від останнього моменту часу.

Як приклад розглянемо прогноз за останнім значенням нестаціонарної випадкової послідовності зі спектром, який складається з однієї точки комплексної площини . Помилка прогнозу в цьому випадку має вигляд

. (3)

Залежність від помилки прогнозу (3) при різних значеннях кута та параметрів та показана на рис. 1 та рис. 2.

Побудовані алгоритми прогнозу випадкових нестаціонарних процесів та послідовностей дозволяють за даними попереднього моменту часу будувати оцінку випадкового процесу або послідовності в наступні моменти часу.

Рис.1. Залежність від помилки прогнозу (3) при , ,

Рис. 2. Залежність від помилки прогнозу (3) при , ,

У шостому розділі пропонується єдиний підхід до розв’язання прикладних задач, для яких статистична нестаціонарність або неоднорідність відповідних статистичних характеристик істотна, за допомогою моделей нестаціонарних функцій.

У цьому розділі розглянуто застосування моделі нестаціонарного процесу в операції хімічного рідинного травлення алюмінієвих і поліїмідних шарів гнучких кабелів і плат. При ретельному розгляді через неминучі природні флуктуації властивостей матеріалів та навколишнього середовища, через технічні флуктуації параметрів технологічного обладнання та режимів його роботи, змінні стани усіх технологічних процесів є випадковими функціями просторово-часових координат та параметрів технологічних режимів процесів. У більшості випадків цими випадковостями не можна нехтувати через те, що всі вони впливають на вихідні параметри виробів.

Передумовою для створення автоматизованих систем керування технологічними процесами є побудова адекватних моделей усіх операцій, які входять до керованого технологічного процесу, та вичерпно повний опис усіх збурюючих впливів.

У цьому розділі запропоновано застосування моделі нестаціонарного випадкового процесу, яка отримана в дисертації, для експериментального відпрацьовування адаптивної системи автоматизованого управління технологічними процесами виготовлення гнучких кабелів мікросхем з кроком 50–80 мкм.

У роботі показано, що запропонована модель адекватно відображає залежність клину травлення від товщини фоторезистивної маски на інтервалі, де дисперсія є мінімальною (рис. 3).

Рис. 3. Модельна та експериментальна залежність клину травлення від товщини фоторезистивної маски:

– експериментальні дані;

– модельні залежності клину травління з різними

значеннями параметрів.

Моделі нестаціонарного процесу застосовано для аналізу даних під час експериментальних досліджень флуктуацій радіохвиль та для інтерпретації даних, які отримані на декаметровому інтерферометрі УРАН-І. Інтерферометр УРАН-І призначено для дослідження кутових розмірів джерел космічного радіовипромінювання в декаметровому діапазоні радіохвиль за допомогою вимірювання нормованого коефіцієнту кореляції сигналів, які прийняті в рознесених на відстань 42,6 км точках прийняття сигналів (радіоастрономічна обсерваторія ім. С.Я. Брауде поблизу с. Граково та м. Зміїв Харківської області).

Опорним інструментом у процесі вимірювання є інтерферометр, який працює в діапазоні 10–25 МГц та має розрішення близько кутової хвилини. При вимірюванні коефіцієнту кореляції сигналів, що приймаються антенами, необхідно враховувати їх часові запізнення й зміну кута повороту площини поляризації в різних пунктах приймання, яка виникає через ефект Фарадея при поширенні радіохвиль в іоносфері.

На рис. 4. наведено результати вимірювання модуля функції видності джерела ЗС 234 при різних годинних кутах на інтерферометрі УРАН-І на частоті 25 МГц.

Рис. 4. Результати вимірювання модуля функції видності

1 – значення експериментальних даних з „вусами”

(середньоквадратичними відхиленнями );

2 – модельна крива (в припущенні стаціонарного

сигналу);

3, 4 – модельні залежності (за допомогою моделі

нестаціонарного процесу, яка побудована в дисертації).

На рис. . наведено результати експериментальних даних (лінія 1). Вертикальні лінії „вуси” характеризують похибки вимірювань через зміни властивостей середовища, а різні довжини „вусів” (тобто величина середньоквадратичного відхилення) свідчать про статистичну нестаціонарність властивостей середовища.

Апроксимація експериментальних даних модельною кривою, яка була побудована на підставі припущення щодо стаціонарності відповідного сигналу (лінія 2), не зовсім адекватно описує експериментальні дані (на рис. . лінія 2 не входить в область „вусів”).

Для точнішого опису експериментальних даних можна скористатися моделлю нестаціонарного процесу, яка отримана в дисертаційній роботі

,

де ( характеризує нестаціонарність).

Для зручності введемо явну змінну , яка виконує роль годинного кута.

Тоді для функції видності отримуємо вираз:

.

Функція видності залежить не тільки від , але й від t. При побудові відповідних кривих розглядається однопараметричне сімейство кривих, які залежать від t.

Поведінка функції видності при додатних та від’ємних годинних кутах відрізняється (лінія ), через те, що відрізняються умови приймання радіосигналу на антени різної поляризації. Тому пропонуються дві модельні криві для апроксимації даних: одна для додатних кутів, інша для від’ємних.

Чисельні розрахунки показали, що найбільш придатними є модельні криві при таких значеннях параметрів:

(лінія 3) (для додатних кутів):

;

(лінія 4) (для від`ємних кутів):

.

Слід звернути увагу на те, що відношення – параметр, що характеризує зміну амплітуди за період хвилі. Якщо , то можна використовувати модель квазістаціонарного сигналу. У нашому випадку . Таким чином, ми маємо справу з істотно нестаціонарним процесом.

На рис. 4 видно, що модель нестаціонарного процесу, яка отримана в дисертаційній роботі, адекватно описує експериментальні дані та може бути використана для обробки даних при радіоастрономічних дослідженнях.

У цьому ж розділі розглянуто врахування нестаціонарності при розв’язанні задачі про взаємодію сильної турбулентності з вітровими хвилями. При розрахунках вітрових хвиль звичайно припускається, що поле тиску як функції є стаціонарним випадковим процесом. Проте, умова стаціонарності порушується при згасанні або розганянні вітрових хвиль. У цьому випадку складається з двох частин:

,

де тиск, пов’язаний з турбулентністю, що не залежить від форми поверхні; тиск на поверхні, який виникає внаслідок її обтікання повітряними течіями, де – форма поверхні.

За допомогою моделей нестаціонарних випадкових процесів, які побудовано в дисертації, враховано нестаціонарний характер поверхні в процесі згасання або зростання атмосферної турбулентності (вітру).

Також розглянуто задачу про знаходження поля, яке створюється системою флуктуючих джерел, що знаходяться на екрані. Кореляційна функція джерел не припускається сепарабельною. Розподіл поля на екрані є сумою сепарабельного поля та статистично неоднорідного поля першого рангу. Для знаходження розв’язку в наближенні параболічного рівняння запропоновано метод занурення у відповідний гільбертів простір, який дозволяє швидко та ефективно відшукувати статистичні характеристики розв’язку.

У цьому розділі також досліджено флуктуації амплітуди плоскої хвилі, яка поширюється в турбулентній атмосфері, статистично неоднорідної в напрямку та статистично однорідної в напрямках та . Для комплексної фази в наближенні методу плавних збурень для рівняння

де випадкова діелектрична проникність, яка описує випадкове неоднорідне середовище, після використання спектральних розкладів для та отримано аналітичну залежність для амплітуди плоскої хвилі, яка враховує неоднорідність середовища.

Розглянуто задачу врахування нестаціонарних випадкових процесів теплопровідності в сонячних батареях, що виникають через флуктуючі джерела. Вирази для кореляційної функції температурного поля в пластині дозволяють отримати поправки, які враховуються при проектуванні сонячних батарей:

де ,., , – кореляційна функція випадкового джерела.

У цьому розділі одержано наближені розрахункові формули для середнього температурного поля та його дисперсії, що враховують флуктуаційні процеси при розрахунках теплових режимів сонячних батарей, які дозволяють внести відповідні поправки при теоретичних розрахунках.

ВИСНОВКИ

У дисертаційній роботі розв’язано актуальну науково-прикладну задачу із створення математичних моделей, що описують нестаціонарні випадкові процеси у різних технічних системах при обробці даних, на основі використання кореляційної теорії. Основні результати роботи полягають у такому:

1. Проведений аналіз сучасного стану кореляційної теорії випадкових функцій та її застосувань показав, що відомі методи аналізу та моделювання не завжди є ефективними в задачах зі статистично нестаціонарними даними. Це спричинило виділення основної теоретичної проблеми введення числових та функціональних характеристик нестаціонарності (неоднорідності) на єдиній основі, які дозволили подати нову класифікацію нестаціонарних випадкових функцій у межах кореляційної теорії та ефективно описати характер відхилення випадкових функцій від стаціонарних.

2. Реалізовано єдиний підхід до побудови кореляційної теорії нестаціонарних випадкових процесів та полів, який засновано на зануренні випадкових функцій у відповідний гільбертів простір. Такий підхід дозволив застосовувати сучасну теорію несамоспряжених і неунітарних операторів та отримувати нові спектральні зображення для кореляційних функцій та відповідних випадкових функцій, відновлювати відповідну випадкову функцію лише за спектром, а також моделювати нестаціонарні випадкові функції.

3. Запропоновано новий підхід, заснований на лінійних перетвореннях детермінованих послідовностей та кривих у відповідному гільбертовому просторі, який дозволяє з одного опорного випадкового процесу (послідовності), навіть стаціонарного, отримувати широкі класи нестаціонарних процесів (послідовностей) та зводити задачу лінійних перетворень з випадковими параметрами до детермінованої задачі лінійних перетворень у гільбертовому просторі.

4. Розроблено математичні моделі прогнозу та фільтрації нестаціонарних випадкових послідовностей (процесів) та отримано ефективні обчислювальні алгоритми прогнозу та фільтрації, що дозволило за даними попереднього моменту часу будувати оцінку випадкового процесу або послідовності в наступні моменти часу за допомогою явних формул прогнозу.

5. Запропоновано метод побудови за кореляційною функцією випадкового процесу (послідовності), який визначається лише скінченним числом випадкових параметрів. Це дозволяє визначати випадковий процес (послідовність) явним способом, що істотно спрощує процедуру моделювання нестаціонарних випадкових функцій.

6. На основі розв’язання й аналізу низки прикладних задач показано, що розроблена в дисертаційній роботі кореляційна теорія дозволяє будувати моделі нестаціонарних випадкових функцій, які більш адекватно описують нестаціонарні випадкові процеси, ніж існуючі моделі.

7. Результати роботи впроваджені в ДП Науково-дослідному технологічному інституті приладобудування, Радіоастрономічному інституті НАН України та у навчальному процесі Харківського національного університету ім. В.Н. Каразіна.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Черемская Н.В., Петрова А.Ю., Проценко М.А. О моделировании вещественнозначных корреляционных функций нестационарных случайных процессов и последовательностей // Технология приборостроения. – 2003. – № 2. – С. 25–29.

2. Шаронова Н.В., Черемская Н.В. Об оптимальном прогнозе и фильтрации одного класса нестационарных случайных последовательностей // Вестник НТУ “ХПИ”: Сб. научн. тр., сер. “Системный анализ, управление и информационные технологии”. – Харьков, 2004. – № 45. – С. 93–100.

3. Черемская Н.В. Об одном классе нестационарных случайных последовательностей // Вестник НТУ “ХПИ”: Сб. научн. тр., сер. “Системный анализ, управление и информационные технологии”. – Харьков, 2003. – № 18. – С. 122–130.

4. Черемская Н.В. Спектральные разложения одного класса нестационарных случайных последовательностей // Вісник Харківського національного університету ім. В.Н. Каразіна: Зб. наук. праць. сер. “Математичне моделювання. Інформаційні технології. Автоматизовані системи управління”. – Харків, 2003. – № . – Вип. 2. – С. 151–158.

5. Шаронова Н.В., Черемская Н.В. Корреляционная теория одного класса неоднородных случайных полей // Вестник Херсонского технического университета. – 2004. – № 1 (19). – С. 343–348.

6. Черемская Н.В. Линейные преобразования нестационарных случайных последовательностей // Радиотехника. – 2004. – Вып. . – С. –49.

7. Черемская Н.В. О моделировании некоторых классов нестационарных случайных последовательностей при помощи треугольных моделей операторов // Радиотехника. – 2003. – Вып. 132. – С. –77.

8. Петрова А.Ю., Фадеев В.А., Черемская Н.В. Корреляционные функции и квазидетерминированные сигналы // Вісник Харківського національного університету ім. В.Н. Каразіна: Зб. наук. праць. сер. “Математичне моделювання. Інформаційні технології. Автоматизовані системи управління”. – Харків, 2005. – № . – Вип. 5. – С. 172–177.

9. Петрова А.Ю., Черемская Н.В., Климова Л.В., Проценко М.А. Об одной вероятностной модели тепловых режимов радиоаппаратуры // Вісник Харківського національного університету ім. В.Н. Каразіна: Зб. наук. праць. сер. “Математичне моделювання. Інформаційні технології. Автоматизовані системи управління”. – Харків, 2006. – № . – Випуск 6. – С. 160–165.

10. Черемская Н.В. Об одном классе линейных преобразований нестационарных случайных последовательностей // Матеріали IX-ої міжнародної наукової конференції ім. ак. М. Кравчука. К., 16-19 трав. 2002 р. – К.; Львів; Чернівці; Одеса, 2002. – С. 459.

11. Черемская Н.В. Операторный подход к корреляционной теории некоторых классов нестационарных случайных функций // Вестник Херсонского технического университета. – 2003. – № 3 (19). – С. 449–451.

12. Черемская Н.В. О моделировании нестационарных случайных последовательностей методами спектральной теории несамосопряженных операторов // V Международная конференция по математическому моделированию. Херсон, 9-14 сент. 2002 г. – С. 142–145.

АНОТАЦІЯ

Черемська Н.В. Стохастичні нестаціонарні моделі в задачах обробки даних.

Дисертацією є рукопис, поданий на здобуття наукового ступеня кандидата технічних наук за спеціальністю 01.05.02 – математичне моделювання та обчислювальні методи. – Харківський національний університет радіоелектроніки, Харків, 2007.

Дисертаційна робота присвячена побудові математичних моделей нестаціонарних випадкових функцій та їх застосуванням в задачах обробки даних.

Проведений аналіз сучасного стану кореляційної теорії випадкових функцій та її застосувань дозволив сформулювати та розв’язати наукову задачу розроблення єдиного підходу до опису нестаціонарності та отримання моделей нестаціонарних функцій, які б мали широке коло застосувань.   Уведено   нові  числові   та   функціональні   характеристики   нестаціонарності,   які ефективно описують характер відхилення випадкових функцій від стаціонарних. Реалізовано єдиний підхід до побудови кореляційної теорії нестаціонарних випадкових процесів та полів, який заснований на зануренні випадкових функцій у відповідний гільбертів простір та дозволяє визначати випадковий процес (послідовність) явним способом, що істотно спрощує процедуру моделювання нестаціонарних випадкових функцій. Запропоновані в дисертації моделі нестаціонарних випадкових функцій були використані для опису статистичних характеристик клину травління, а також для інтерпретації даних, які отримані на декаметровому інтерферометрі УРАН-І.

Ключові слова: математична модель, кореляційна функція, нестаціонарний випадковий процес (послідовність), гільбертів простір, трикутна модель, спектральний розклад.

АННОТАЦИЯ

Черемская Н.В. Стохастические нестационарные модели в задачах обработки данных.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук по специальности 01.05.02 – математическое моделирование и вычислительные методы. – Харьковский национальный университет радиоэлектроники, Харьков, 2007.

Диссертационная работа посвящена построению математических моделей нестационарных случайных функций и их применению для решения прикладных задач со статистически нестационарными или неоднородными данными.

На основе анализа современного состояния корреляционной теории случайных функций и её приложений в задачах обработки данных сформулирована научная задача разработки единого подхода к описанию нестационарности и построению моделей нестационарных функций, которые имеют широкий спектр приложений.

В диссертационной работе при помощи дифференциально-разностных уравнений или уравнений в частных производных, которым удовлетворяет корреляционная функция, введены новые числовые и функциональные характеристики нестационарности (квазиранг, корреляционная разность), позволяющие дать единую классификацию нестационарных случайных функций. Это дает возможность эффективно описывать характер отклонения случайных функций от стационарных.

В работе изучена структура соответствующих функциональных характеристик нестационарности (неганкелевости), а также получены модели корреляционных функций и корреляционных разностей эволюционно представимых функций.

Для  нестационарных  случайных  функций на основе операции сцепления операторных узлов получены спектральные разложения, являющиеся суперпозицией гармонических колебаний с комплексными частотами (в отличие от стационарных случайных функций, у которых частоты вещественны) в случае дискретного спектра и являющиеся суперпозицией “струн” (то есть, распределенных колебаний) в случае бесконечнократного вещественного спектра. Полученные спектральные разложения позволяют строить спектральный анализ нестационарных случайных функций.

Реализован единый подход к построению корреляционной теории нестационарных случайных процессов и полей (как для дискретных значений параметров, так и для непрерывных), основанный на погружении случайных функций в соответствующее гильбертово пространство и использовании теории несамосопряженных или неунитарных операторов, а также теории линейных систем, ассоциированных с операторными узлами (комплексами).

Гильбертов подход к изучению случайных функций открыл новые возможности для построения корреляционной теории нестационарных случайных процессов, последовательностей и полей, основанной на линейных преобразованиях детерминированных последовательностей и кривых в соответствующем гильбертовом пространстве. Это позволяет свести задачу линейных преобразований со случайными параметрами к детерминированной задаче линейных преобразований в гильбертовом пространстве и непосредственно вычислять корреляционные функции, инфинитезимальные корреляционные функции, корреляционные разности, минуя сложную процедуру вероятностного анализа, и моделировать явный вид корреляционных функций достаточно широких классов нестационарных процессов и последовательностей.

В работе получены математические модели и алгоритмы фильтрации нестационарных случайных процессов (последовательностей). Рассмотрены также алгоритмы прогноза нестационарных случайных последовательностей и процессов по последнему значению, по математическому ожиданию, по условному математическому ожиданию. В отличие от случая стационарных случайных последовательностей, средний квадрат ошибки зависит не только от момента прогноза, но и от последнего (дискретного или непрерывного) момента времени.

Предложен метод построения по корреляционной функции случайного процесса (последовательности), который определяется конечным числом случайных параметров. Это позволяет фактически определять случайный процесс (последовательность) явным образом, что существенно упрощает процедуру моделирования нестационарных случайных функций.

На основе решения и анализа прикладных задач показано, что разработанная в диссертационной работе корреляционная теория позволяет, в частности, моделировать процесс химического жидкостного травления. Это  позволяет экспериментально отрабатывать адаптивную систему автоматизированного управления технологическими процессами изготовления гибких кабелей и плат. Модель нестационарного процесса, полученная в работе, применена для анализа и интерпретации результатов измерения модуля функции видности при различных часовых углах, полученных на декаметровом интерферометре УРАН-І.

В диссертации также предложен единый подход к решению ряда прикладных задач, позволяющий учесть статистическую нестационарность или неоднородность данных и демонстрирующий достаточно широкие прикладные возможности построенных в диссертации новых моделей нестационарных случайных процессов, последовательностей и полей.

Это такие задачи как: задача о взаимодействии сильной турбулентности с поверхностными волнами; задача нахождения поля, образованного системой флуктуирующих источников, находящихся на экране; задача о флуктуации амплитуды плоской волны, которая распространяется в турбулентной атмосфере, статистически неоднородна в направлении и статистически однородна в направления и .; задача учета нестационарных случайных процессов теплопроводности в солнечных батареях, обусловленных флуктуирующими источниками.

Ключевые слова: математическая модель, корреляционная функция, нестационарный случайный процесс (последовательность), гильбертово пространство, треугольная модель, спектральное разложение.

ABSTRACT

CheremskaStochastic Time-dependent Models in Data Processing Problems.

The dissertation is a manuscript for a Technical Sciences Candidate`s Degree on Speciality 01.05.02 – Mathematical Modeling and Computational Approaches. – Kharkiv National Radio Electronics University, Kharkiv, 2007.

The thesis is devoted to the construction of mathematical models of time-dependent random functions and their application in data processing problems.

The analysis of the modern state of random functions correlation theory and its applications has allowed to define and solve a scientific problem of working out a single approach to get time-dependent function models and to describe those ones that would have a wide range of application. New numerical and functional characteristics of time-dependence have been introduced that describe effectively the nature of random functions deviation from time-dependent ones. A single approach to the construction of the correlation theory of time-dependent random processes and fields has been carried out based on random functions submersion into the corresponding Hilbert space which allows to determine the random process explicitly which in its turn essentially simplifies time-dependent random function modeling procedure.

The models of time-dependent random functions suggested in the research have been used for statistic characteristics of etching wedge and for interpretation of data shown by a decametre interferometre URAN-1.

Key words: mathematical model, correlation function, time-dependent random process (sequence), Hilbert space, triangular model, spectral decomposition.

Підписано до друку 14.11.07. Формат 6084. Спосіб друку – ризографія.

Умов. Друк арк. 1,2. Тираж 100 прим.

Зам.№ 2-461. Ціна договірна.

Надруковано у СПДФО Цепунов О.Ю.

Свідоцтво №932621 від 12.03.2005 р.

61002, Харків, вул. Сумська, 78