НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ІНСТИТУТ ПРИКЛАДНИХ ПРОБЛЕМ МЕХАНІКИ І МАТЕМАТИКИ ІМ. Я.С. ПІДСТРИГАЧА

ДРОБЕНКО

Богдан Дем’янович

УДК 539.3

ТЕРМОМЕХАНІКА

ПРУЖНО-ПЛАСТИЧНИХ TEРМОЧУТЛИВИХ ФЕРОМАГНІТНИХ ЕЛЕКТРОПРОВІДНИХ ТІЛ ОБЕРТАННЯ

ЗА ДІЇ КВАЗІУСТАЛЕНИХ ЕЛЕКТРОМАГНІТНИХ ПОЛІВ

01.02.04 – механіка деформівного твердого тіла

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

доктора фізико-математичних наук

Львів – 2007

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Інституті прикладних проблем механіки і математики

ім. Я.С. Підстригача НАН України.

Науковий консультант : | доктор фізико-математичних наук, професор Гачкевич Олександр Романович, Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України, завідувач відділу теорії фізико-механічних полів.

Офіційні опоненти: | академік НАН України, доктор технічних наук,

професор Григоренко Ярослав Михайлович,

Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України, головний науковий співробітник від-ділу обчислювальних методів;

доктор фізико-математичних наук, професор Стеблянко Павло Олексійович, Дніпродзер-жинський державний технічний університет, завідувач кафедри вищої математики;

доктор фізико-математичних наук, професор Сулим Георгій Теодорович, Львівський на-ціональний університет ім. Івана Франка, завідувач кафедри механіки.

Захист відбудеться „ 25 ” грудня 2007 р. о 15 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д .195.01 в Інституті прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України за адресою: 79060, м. Львів, вул. Наукова, 3-б.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України (79060, м. Львів, вул. Наукова, 3-б).

Автореферат розіслано „22” листопада 2007 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради,

доктор фізико-математичних наук |

Макисмук О.В. |

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Для підвищення міцності й надійності виробів з електро-провідних матеріалів у сучасних технологіях термообробки широко використовують електромагнітні поля (ЕМП). Безконтактний спосіб передачі енергії до тіла, висока швидкість нагрівання, відносно низьке енергоспоживання, локальний характер дії поля на певні підобласті тіла та високі продуктивність й ступінь автоматизації зумов-люють перспективність використання таких технологій. Відоме застосування такої обробки виробів при гартуванні, лютуванні, зварюванні, очищенні, дегазації, сушін-ні, легуванні, нанесенні зміцнювальних покриттів та ін. Внаслідок наявності скін-ефекту в розподілі струмів індукційна обробка є ефективним способом приповерхне-вого зміцнення виробів, зокрема, її використовують для покращення механічних властивостей різних типів вуглецевих сталей. Локальний індукційний нагрів знайшов також широке застосування при високотемпературному відпалі елементів конструк-цій з метою повного зняття чи пониження рівня залишкових напружень і деформацій для підвищення міцнісних властивостей таких елементів чи конструкцій в цілому.

Дія ЕМП на електропровідне тіло спричиняє протікання в ньому взаємозв’яза-них електромагнітних, теплових, механічних процесів, які істотно впливають на кон-струкційні параметри і міцність. Тому для побудови раціональних режимів термо-обробки із використанням ЕМП і оцінки функціональної здатності виробів з електро-магнітних матеріалів важливою є наявність математичних моделей і методів дослід-ження у взаємодії процесів електропровідності, теплопровідності й деформування в твердих електропровідних тілах залежно від їх електропровідності й здатності до намагнічування та поляризації.

Загальні підходи до побудови термомеханічних моделей суцільного середови-ща, які враховують взаємодію полів різної фізичної природи, достатньо повно висвіт-лені в літературі. На їх основі запропоновано численні конкретні моделі опису меха-нічної поведінки електропровідних тіл з різними електропровідністю і здатністю до поляризації та намагнічування за дії зовнішнього ЕМП. У переважній більшості при-кладних робіт, присвячених кількісному опису термомеханічних процесів в електро-провідних тілах за індукційної обробки, характеристики матеріалів приймають пості-йними (незалежними від температури), а процеси деформування розглядають у пруж-ному наближенні. Застосування таких моделей у випадках, коли тіла нагрівають до високих температур, може призводити до істотних похибок в оцінках параметрів тер-момеханічного стану тіл. За підвищених температур властивості електропровідних тіл є іншими, ніж у природному стані. Зокрема, конструкційні сталі з низьким та середнім вмістом вуглецю вже при температурах близько 550 – 600С деформуються переважно пластично внаслідок залежності межі пружності від температури. Елек-тропровідність таких сталей у діапазоні температур від 20 до 1000С може змінюва-тись у 6–8 разів, а феромагнітні матеріали при температурі Кюрі втрачають свої феромагнітні властивості. Тому виникає практична потреба у розробці ефективних методик моделювання і дослідження термомеханічних процесів у твердих деформів-них тілах за дії ЕМП з урахуванням температурної залежності властивостей матеріа-лу, пружно-пластичного характеру деформування та нелінійних залежностей індук-цій електричного й магнітного полів від відповідних напруженостей та температури.

Зв’язок роботи з науковими програмами, планами і темами. Дослідження за темою дисертації виконувались в рамках науково-дослідних тем Інституту при-кладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України: „Розроб-ка математичних моделей і методів дослідження та оптимізації процесів деформуван-ня, тепломасопереносу і структурних перетворень в багатокомпонентних електропро-відних тілах при комплексних зовнішніх діях” (1999-2003 рр., № держреєстрації 0199U000627); „Розробка математичних моделей і методів для дослідження та опти-мізації нелінійних термомеханодифузійних процесів у багатокомпонентних електро-провідних і діелектричних середовищах неоднорідної структури” (2002-2004 рр., № держреєстрації 0102U001616); „Математичне моделювання, дослідження та опти-мізація механотермодифузійних процесів і фазових змін в електропровідних тілах за локальних комплексних зовнішніх дій” (2004-2007 рр., № держреєстрації 0104U000203); „Розробка математичних моделей і методів термомеханіки структур-но-неоднорідних тіл” (2005-2006 рр., № держреєстрації 0105U000236); (дисертант – виконавець і відповідальний виконавець тем).

Мета і завдання дослідження. Метою дисертаційної роботи є розробка мето-дики дослідження взаємодії процесів електропровідності, теплопровідності та дефор-мування в електропровідних тілах за квазіусталених електромагнітних навантажень з урахуванням температурної залежності електромагнітних, теплових і механічних властивостей їх матеріалів, пружно-пластичного характеру деформування та неліній-ності залежностей індукцій електричного й магнітного полів від відповідних напру-женостей та температури для побудови теоретичних основ раціонального проекту-вання і розробки пристроїв цільової обробки елементів інженерних конструкцій з використанням ЕМП, а також розробки раціональних режимів високотемпературної індукційної обробки виробів з електропровідних матеріалів з допомогою ЕМП і прогнозування їх функціональної здатності, міцнісних характеристик та рівня залиш-кових напружень.

Досягнення мети передбачає:

· формулювання моделі кількісного опису механічних, теплових і електромагнітних процесів в електропровідних термочутливих тілах за дії квазіусталеного ЕМП на основі загальної теорії взаємодії ЕМП та деформівного матеріального континууму за врахування нелінійних зв’язків між індукціями й напруженостями відповідно електричного й магнітного полів, залежностей теорії теплопровідності та неізотер-мічної термопружно-пластичності;

· розробку з використанням методу скінченних елементів (МСЕ) і різницевих алго-ритмів ефективної числової методики розв’язування сформульованих нелінійних задач математичної фізики;

· побудову на основі запропонованої числової методики обчислювального алгорит-му з раціональним (за взаємосуперечливими критеріями точності і тривалості обчислень) поєднанням числових схем визначення полів різної фізичної природи в електропровідних тілах за дії квазіусталених ЕМП та створення відповідного проблемно-орієнтованого програмного забезпечення;

· проведення досліджень точності й збіжності запропонованої числової методики шляхом порівняння числових розв’язків модельних задач з відомими в літературі аналітичними розв’язками, отриманими іншими авторами, а також на основі обчислювальних експериментів з використанням критерію „практичної збіжності” (через порівняння розв’язків, знайдених на різних за густиною скінченно-елемент-них поділах і кроках інтегрування за часом відповідних рівнянь, що описують параметри розглядуваних електромагнітних, теплових і механічних процесів;

· знаходження на основі розробленого підходу розв’язків нових практично важли-вих задач про визначення електромагнітних, температурних і механічних полів у термочутливих пружно-пластичних феромагнітних тілах за високотемпературної індукційної обробки з використанням зовнішнього квазіусталеного ЕМП та вивчення на цій основі закономірностей термомеханічної поведінки цих тіл в широкому температурному діапазоні і визначення залишкових напружень в таких тілах після обробки за різних умов нагрівання-охолодження;

· побудову раціональних за напруженнями режимів високотемпературної індукцій-ної обробки феромагнітних тіл (за керування частотою струму, умовами охолод-ження, геометричним розмірами джерел струму у зовнішньому середовищі тощо).

Об’єктом дослідження є зумовлена дією квазіусталеного ЕМП термомеханічна поведінка електропровідних термочутливих здатних до пружно-пластичного дефор-мування феромагнітних та діелектричних тіл (за нелінійної залежності індукцій електричного і магнітного полів від відповідних напруженостей та температури).

Предметом дослідження є розвиток математичних моделей і методів термо-механіки для дослідження у взаємозв’язку механічних, теплових та електромагнітних процесів в термочутливих феромагнітних та діелектричних електропровідних твер-дих деформівних тілах за врахування пружно-пластичного характеру деформування при підвищених температурах.

Методи дослідження. При побудові математичної моделі кількісного опису термомеханічних процесів в електропровідних термочутливих феромагнітних та діелектричних тілах за дії квазіусталених ЕМП використано відомі модельні уявлен-ня термомеханіки, електродинаміки, теплопровідності, неізотермічної термопружно-пластичності, теорії диференціальних рівнянь з частинними похідними (формулю-вання задач на ключові функції), фізики твердого тіла (моделювання взаємодії ЕМП з матеріальним континуумом, здатним до намагнічування та поляризації), механіки суцільного середовища (побудова математичної моделі механіки зв’язаних полів). При розв’язуванні отриманої зв’язаної нелінійної системи ключових диференціаль-них рівнянь за сформульованих початкових та крайових умов використано метод зважених залишків, МСЕ у варіанті методу Гальоркіна та сім’я однокрокових багатопараметричних різницевих алгоритмів. Аналіз пружно-пластичного стану тіл виконано із застосуванням методів змінних параметрів жорсткості (метод Ньютона) та додаткових напружень. При обчисленні матричних і векторних характеристик окремих скінченних елементів (СЕ) інтегрування виконано чисельно на основі квад-ратурних формул Гауса. При апроксимації температурно залежних фізико-механіч-них характеристик матеріалу, кривих деформування та намагнічування використано інтерполяційні сплайни.

Наукову новизну одержаних результатів становлять:

· орієнтована на використання числових методів математична модель кількісного опису та дослідження термомеханічних процесів в електропровідних тілах за квазіусталених електромагнітних навантажень з урахуванням температурної зале-жності електромагнітних, теплових і механічних властивостей матеріалів, пружно-пластичного характеру деформування й нелінійних залежностей індукцій від напруженостей електричного й магнітного полів і температури за нагрівання до підвищених температур; модель базується на загальній теорії взаємодії ЕМП і матеріального континууму (в якій вплив поля враховано через пондеромоторні сили і об’ємні тепловиділення, як джоулеві, так і пов’язані з перемагнічуванням і пере поляризацією), та співвідношеннях теорій електромагнітного поля (з неліній-ними матеріальними рівняннями для тіл з різними електропровідністю й здат-ністю до намагнічування та поляризації за дії зовнішнього квазіусталеного ЕМП), теплопровідності й неізотермічної термопружно-пластичності;

· побудована з використанням МСЕ та сім’ї простих багатопараметричних різнице-вих схем методика числового моделювання термомеханічних процесів в електро-провідних тілах за квазіусталених електромагнітних навантажень із застосуванням різних за величиною, змінних кроків числового інтегрування за часом рівнянь, що описують в запропонованій математичній моделі ЕМП (у системі „тіло - зовнішнє середовище”), температуру й напружено-деформований стан (НДС) (у тілі);

· отримані розв’язки важливих класів задач про визначення та дослідження термо-механічної поведінки конкретних феромагнітних (як магнітном’яких, так і магніт-нотвердих) тіл за високотемпературної індукційної обробки (в широкому темпера-турному діапазоні, включаючи температури вище точки Кюрі) та виявлені при цьому нові дані й закономірності, зокрема, пов’язані з еволюцією параметрів тер-момеханічного стану тіл в процесі нагрівання у зв’язку зі змінами температурно залежних властивостей матеріалів, пружно-пластичним характером деформування та втратою матеріалом феромагнітних властивостей в околі температури Кюрі;

· спрощені розрахункові схеми адекватного прогнозування (без врахування залеж-ності магнітної проникності від напруженості поля, за сталих характеристик матеріалу та ін.) параметрів термомеханічного стану термочутливих пружно-пластичних феромагнітних тіл за високотемпературної індукційної обробки при істотно менших обсягах обчислень;

· оцінки меж застосовності запропонованої методики визначення електромагніт-ного, температурного і механічного полів та спрощених розрахункових схем, зокрема, з усередненими характеристиками у тілах із маловуглецевих сталей за високотемпературної індукційної обробки;

· побудовані раціональні режими високотемпературної обробки елементів констру-кцій (за частотою струму, умовами охолодження, геометричними розмірами та формами областей розподілу джерел струму у навколишньому середовищі, залишковими напруженнями, тривалістю термообробки тощо);

· результати, використані при розробці теоретичних основ технології виконання регламентних ремонтних робіт на діючому енергетичному обладнанні з метою зміцнення та подовження термінів його експлуатації.

Обґрунтованість і достовірність основних наукових засад і отриманих результатів забезпечено фізичною обґрунтованістю вихідних положень математичної моделі, строгістю постановки сформульованих задач та методів їх розв’язування, використанням експериментально визначених фізико-механічних характеристик матеріалів, доброю узгодженістю числових розв’язків окремих задач з відомими в літературі аналітичними розв’язками, проведеними дослідженнями достовірності розв’язків кожної із розглянутих в роботі задач на основі критерію „практичної збіжності” через порівняльний аналіз розв’язків на різних за густиною поділах області на СЕ та часових кроках інтегрування відповідних рівнянь, що описують параметри електромагнітних, теплових і механічних процесів.

Практичне та теоретичне значення отриманих результатів. Теоретичне зна-чення отриманих результатів полягає в розширенні кола моделей термомеханіки еле-ктропровідних тіл на випадок термочутливих, пружно-пластичних, здатних до намаг-нічування та поляризації твердих деформівних тіл за дії зовнішнього квазіусталеного ЕМП. Практичне значення отриманих результатів полягає у розробці варіанту мето-дики математичного і числового моделювання зумовлених дією широко застосову-ва-них в інженерній практиці квазіусталених ЕМП процесів електропровідності, тепло-провідності та деформування в електропровідних тілах за врахування залежності властивостей матеріалу від температури, пружно-пластичного характеру деформу-вання та нелінійних залежностей індукцій електричного й магнітного полів від від-повідних напруженостей та температури за нагрівання до підвищених температур. Використаний при цьому апроксимаційний апарат дозволяє враховувати складні за-лежності властивостей матеріалів від наявних фізико-механічних процесів в широко-му температурному діапазоні. Розроблене програмне забезпечення дає можливість адекватного моделювання та дослідження термомеханічної поведінки електропровід-них тіл за високотемпературного індукційного нагрівання, а також визначення зали-шкових напружень в тілах після їх охолодження. Створене програмне забезпечення може бути основою розробки раціональних режимів термообробки конкретних еле-ментів конструкцій за різними критеріями, зокрема, з метою забезпечення в них бажаного чи близького до заданого рівня залишкових напружень, мінімізації часу обробки при обмеженнях на напруження, рівномірності нагрівання виробів чи їх заданих областей тощо (за керування величиною чи частотою струму, геометричною формою джерел струму в зовнішньому просторі, умовами охолодження і т.п.).

Результати дисертаційної роботи використані при удосконаленні існуючих і створенні нових технологій виконання ремонтних робіт на діючому енергетичному обладнанні Бурштинської ТЕС з метою зміцнення та подовження термінів його експлуатації.

Апробація результатів дисертації. Основні результати досліджень, викладені в дисертаційній роботі, доповідалися й обговорювалися на V та VІ Європейських конференціях із залишкових напружень ECRS-5 (Linkцping, Sweden, 1997) і ECRS-6 (Coimbra, Portugal, 2002); на IV – VІІІ Міжнародних симпозіумах українських інжене-рів-механіків (Львів, 1999, 2001, 2003, 2005, 2007); на V – VІІ Міжнародних наукових конференціях „Математичні проблеми механіки неоднорідних структур” (Львів-Луцьк, 2000; Львів, 2003, 2006); на Міжнародній конференції “Моделювання та опти-мізація складних систем” (Київ, 2001); на Міжнародній конференції з управління „Автоматика–2001” (Одеса, ); на VІ і VII Міжнародних нарадах-семінарах „Ин-женерно-физические проблемы новой техники” (Москва, 2001, 2003); на ІІ конферен-ції по тонкостінних елементах конструкцій („Second Conference on Thin-Walled Vessels”) (Karіуw, Poland, 2001); на ІІ та ІІІ Всеукраїнських наукових конференціях „Математичні проблеми технічної механіки” (Дніпродзержинськ, 2002, 2003); на VI Міжнародній конференції “Автоматизация: проблемы, идеи, решения” (Россия, Тула, 2002); на Міжнародній конференції “Tools” (Koжovce, Bratislava, Slovak Republic, 2002); на Міжнародній науково-технічній конференції „Проблеми математичного моделювання сучасних технологій” (Хмельницький, 2002); на Міжнародній конфе-ренції “New Trends in Static and Dynamics of Buildings” (Bratislava, Slovak Republic, 2002); на Міжнародній науково-технічній конференції “Автоматизація: проблеми, ідеї, рішення” (Севастополь, ); на Міжнародних конференціях „Systemy informa-cyjne i infor-matyczne w inїynierii produkcji” (Lublin, Poland, 2003, 2005); на X – XII Всеукраїнських наукових конференціях „Сучасні проблеми прикладної математики та інформатики” (Львів, , 2004, 2005); на V українсько-польському симпозіумі ”Current problems of mechanics of non-homogeneous structures” (Львів-Луцьк, 2003); на Міжнародній конференції “Механіка середовища, методи комп’ютерних наук та моделювання (Львів, 2004); на V міжнародній конференції „Nowe technologie i osi№gniкcia w metalurgii i inzynerii materailowej” (Chкstochowa, Poland, 2004); на Міжнародній конференції „Проблеми чисельного аналізу і прикладної математики” (Львів, 2004); на міжнародних математичних конференціях ім. В.Я. Скоробагатька (Дрогобич, 2004, 2007); на ІІІ-ій та ІV-ій міжнародних конференціях “Актуальні проблеми механіки деформівного твердого тіла” (Донецьк-Мелекіно, 2005, 2006); на Міжнародній конференції „Интегральные уравнения и их применения” (Одеса, 2005); на Всеукраїнській науковій конференції “Сучасні проблеми механіки”, при-свяченій 100-річчю М.П. Шереметьєва (Львів, 2005); на V Міжнародній конференції “Interpor 2006” (Bydgoczcz, Poland, 2006), на ІV Міжнародному симпозіумі „Trends in Continuum Physics TRECOP-2007” (Львів, 2007).

У повному обсязі робота доповідалася та обговорювалася на семінарах відділу теорії фізико-механічних полів Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України під керівництвом д.ф.-м.н., проф. О.Р. Гачкевича та Центру математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України під керівництвом чл.-кор. НАН України, д.ф-м.н., проф. Я.Й. Бурака і д.ф.-м.н. Є.Я. Чаплі; на науковому семінарі кафедри механіки Львівського національного університету ім. Івана Франка під керівництвом д. ф.-м. н., проф. Г.Т. Сулима, на науковому семінарі за напрямком „Механіка взаємозв’язаних полів” Інституту прикладних проблем механіки і матема-тики ім. Я.С. Підстригача НАН України під керівництвом д.ф.-м.н., проф. Р.М. Кушніра; на науковому семінарі за напрямком „Механіка оболонкових систем” при Інституті механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України під керівництвом акад. НАН України, д.т.н., проф. Я.М. Григоренка; на об’єднаному семінарі кафедр прик-ладної механіки та комп’ютерних технологій і теорії пружності та обчислювальної математики Донецького національного університету під керівництвом акад. НАН України, д.ф.-м.н., проф. В.П. Шевченка і д.ф.-м.н., проф. С.О. Калоєрова.

Публікації та особистий внесок здобувача. Основні результати досліджень, які відображені в дисертації, опубліковано в 32 наукових працях [1-32], у тому числі в 22 статтях у фахових виданнях зі списку ВАК України [1-22], 6 статтях в інших наукових виданнях [23-28] (з них 2 статті у фахових виданнях зі списку ВАК України з інших спеціальностей [25, 26]), 4 – в матеріалах міжнародних конференцій [29-32]. Результати, що складають основний зміст дисертаційної роботи, отримано автором самостійно. У працях [9, 10, 12, 14, 15, 17, 19, 27, 28], опублікованих самостійно, по-дано основні результати теоретичних досліджень, зокрема, з отримання системи вихі-дних співвідношень варіанту моделі електромагнітотермопружно-пластичності, ме-тодики числового розв’язування отриманих на цій основі нелінійних задач математи-чної фізики, знаходження розв’язків конкретних задач, формулювання висновків. В роботах, опублікованих у співавторстві, здобувачеві належать: співучасть у побудові варіанту теорії кількісного опису термомеханічних процесів в електропровідних тілах за дії квазіусталеного ЕМП (побудова системи рівнянь та крайових умов), розробка алгоритмів числового розв’язування сформульованих задач та відповідного програмного забезпечення, проведення комп’ютерного моделювання, отримання ре-зультатів та участь в їх обговоренні [3, 6, 7, 11, 13, 16, 18, 22, 24-26, 29-32], спів-участь у постановці задач, розробка методики числового розв’язування нелінійних задач теплопровідності й термомеханіки та створення відповідного програмного за-безпечення, проведення обчислювального експерименту, участь в обговоренні отри-маних результатів [1, 4, 5, 8, 20, 23], співучасть в постановці задачі, розробці числових алгоритмів її розв’язування та створенні програмного забезпечення [2].

Структура та обсяг дисертації. Дисертаційна робота складається із вступу, семи розділів, які містять 141 рисунок та 2 таблиці, висновків, додатків і списку використаних джерел із 479 найменувань. Загальний обсяг дисертації становить 326 сторінок (обсяг основного тексту – 269 сторінок).

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі подано загальну характеристику роботи і аналіз стану досліджень з наукової проблеми; обґрунтовано актуальність дисертаційної роботи та її зв’язок з науковими програмами; сформульовано мету і задачі дослідження; окреслено новиз-ну отриманих результатів та їх практичне значення; наведено дані про апробацію ре-зультатів роботи та публікації її основного змісту, а також особистий внесок здобува-ча в публікаціях у співавторстві; зроблено короткий опис структури дисертації.

У першому розділі наведено огляд літератури по близьких за напрямком робо-тах з механіки зв’язаних полів. Проаналізовано математичні моделі, які описують взаємозв’язок процесів різної фізичної природи (в тому числі й електромагнітних).

Важливий вклад у розробку сучасних уявлень про закономірності взаємо-впливу нестаціонарних процесів різної фізичної природи внесли Я.Й. Бурак, О.Г. Горшков, Е.І. Григолюк, Я.М. Григоренко, В.Т. Грінченко, О.М. Гузь, В.Г. Карнаухов, Г.С. Кіт, А.Д. Коваленко, М.І. Кісєльов, В.Д. Кубенко, І.О. Луковський, І.А. Мотовиловець, Ю.В. Немировський, Ю.І. Няшин, В.В. Панасюк, В.З Партон, Г.С. Писаренко, Я.С. Підстригач, Б.Є. Победря, В.Г. Попов, Ю.C. Постольник, В.Б. Поручиков, Л.І. Сєдов, І.Т. Селєзов, Ф.А. Улітко, І.І. Федик, В.П. Шевченко, Ю.М. Шевченко, G.Е. Меlаn, W.H.аrcus та ін.

Загальні підходи до побудови термомеханічних моделей суцільного сере-довища з врахуванням взаємовпливу процесів різної фізичної природи, достатньо повно висвітлені в працях С.А. Амбарцумяна, Я.Й. Бурака, В.Т. Грінченка, О.М. Гузя, О.А. Ільюшина, В.Г. Карнаухова, І.Ф. Киричка, Ф.Г. Махорта, В.З. Партона, Я.С. Підстригача, Л.І. Сєдова, А.Ф. Улітка, М.О. Шульги, L.S. De Groot, A.C.K.S. Кaliski, G.A.F.C.W.Y.H.H.H.C.A.A. van de Ven та ін.

Розробці конкретних моделей визначення, дослідження й оптимізації ме-ханічної поведінки тіл за комплексних зовнішніх навантажень, одним з яких є, зокре-ма, електромагнітне, присвячені роботи А.М. Агєєва, С.А. Амбарцумяна, О.Є. Андрейківа, Г.Е. Багдасаряна, М.В. Белубекяна, О.Р. Гачкевича, Д.В. Грілицького, В.С. Гудрамовича, О.М. Гузя, Б.П. Гуменюка, В.І. Дресвяннікова, Я.О. Жука, К.Б. Казаряна, С.О. Калоєрова, І.Ф. Киричка, М.І. Кісєльова, В.І. Козлова, Ю.М. Коляна, В.Ф. Кондрата, М.Р. Короткіної, Б.А. Кудрявцева, Ю.І. Лелюха, В.В. Лободи, В.В. Лохіна, В.Л. Макарова, Ф.Г. Махорта, В.В. Мелешка, Л.В. Мольченка, О.К. Морачковського, Р.М. Мусія, З.Т. Назарчука, С.В. Пелетмінського, Ю.М. Подільчука, Г.Я. Попова, Ю.C. Постольника, В.Л. Рвачова, М.М. Рикаліна, М.М. Родiгіна, М.П. Саврука, В.С. Саркісяна, І.К. Сенченкова, І.Т. Сєлєзова, Л.В. Сєлєзової, М.М. Сiдляра, В.І. Сторожева, Г.Т. Сулима, В.А. Осадчука, Д.В. Тарлаковського, Р.Ф. Терлецького, Л.А. Фільштинського, Л.П. Хорошуна, В.Ф. Чекуріна, Б.І. Чорного, О.М. Шаблія, Р.М. Швеця, П.Р. Шевчука, J.Alblas, W.R.J. Dunkin, Y.E.J., B., F.C., J., L.J.і та ін.

Ефективні числові та числово-аналітичні методики розв’язування різних задач механіки зв’язаних полів та електромагнітотермомеханіки запропоновані в працях Я.М. Григоренка, О.Я. Григоренка, В.С. Гудрамовича, В.І. Дресвяннікова, В.І. Козлова, Ю.М. Коляна, В.Л. Макарова, В.В. Мелешка, Ю.І. Няшина, І.В. Прохоренко, В.Л. Рвачова, Я.Г. Савули, В.Г. Савченка, І.К. Сенченкова, П.О. Стеблянка, М.Г. Угодчикова, В.П. Шевченка, Ю.М. Шевченка, Г.А. Шинкаренка, P.Di.J.K.J., F.O. Bodart, A.-V. Boureau, J.L.Y.V.I.G.J.M.R.B.O.C.Zienkiewicz та ін.

У переважній більшості праць, присвячених розробці математичних моделей дослідження механічної поведінки тіл з різними електромагнітними властивостями, за дії ЕМП характеристики матеріалу приймають постійними, а процес деформуван-ня розглядають у пружному наближенні. В той же час така обробка, як правило, відбувається за високих температур. За таких умов на поведінку тіл істотний вплив мають залежність властивостей матеріалу від температури, пружно-пластичний хара-ктер деформування та особливості магнітних та електричних властивостей матеріалу (нелінійні залежності індукцій електричного й магнітного полів від відповідних на-пруженостей та температури). Відомі окремі праці, в яких частково враховувались згадані фактори. Зокрема, в праці Я.Й. Бурака, Б.П. Галапаца і Б.І. Колодія розгля-нуто індукційне нагрівання довгого пружно-пластичного циліндра, в роботах М.В. Новикова, Г.С Писаренка, О.С. Цибенка і О.М. Анісіна, а також О.Р. Гачкевича і В.Я. Бойчука та О.Р. Гачкевича і О.Р. Місьонг окремі характеристики матеріалу приймались залежними від температури, В.І. Дресвянніковим запропонована числова методика розрахунку електромагнітних теплових і механічних полів у термо-чутливому пружно-пластичному просторово одновимірному середовищі за імпульс-них електромагнітних навантажень (при нехтуванні процесами теплопровідності, оскільки розглянуті процеси в мікросекундному діапазоні), О.Р. Гачкевичем та М.Т. Солодяком запропоновано аналітичний вираз для врахування гістерезисної залежності між векторами індукції і напруженості магнітного поля. О.Р. Гачкевичем та Р.Ф. Терлецьким досліджено вплив температурної залежності діелектричних втрат на термомеханічну поведінку шару низької електропровідності.

Необхідно відзначити роботи F.C., в яких запропоновано аналітичну і експериментальну методики визначення механічної поведінки тіл циліндричної геометрії за короткотривалого електромагнітного навантаження з урахуванням взає-мозв’язку електромагнітних й теплових процесів з деформаційними. Встановлено, що вплив рухомості середовища на характеристики ЕМП за таких навантажень є неістотним. Результати досліджень підтверджені експериментом.

Таким чином, з приведеного огляду випливає, що стосовно розглядуваної нау-кової проблеми запропоновано, в основному, методики визначення термопружного стану електропровідних діелектричних і феромагнітних тіл за постійних характерис-тик матеріалу. Проте, в літературі відсутні математичні моделі і методи визначення та дослідження НДС електропровідних тіл за дії широко розповсюджених в практиці термообробки квазіусталених ЕМП, за якої нагрівання відбувається до підвищених температур, при комплексному врахуванні термочутли-вості електромагнітних, тепло-вих та механічних властивостей матеріалу, пружно-пластичного характеру деформу-вання та особливостей феромагнітних і діелектрич-них властивостей матеріалу.

У другому розділі розроблено варіант математичної моделі кількісного опису та дослідження термомеханічних процесів у термочутливих пружно-пластичних здат-них до намагнічування й поляризації електропровідних тілах за квазіусталених ЕМП, які створює задана у скінченній підобласті зовнішнього середовища система струмів

, (1)

де – модульована амплітуда; – час; – радіус-вектор точки, – частота.

ЕМП описує система рівнянь Максвелла, які сформульовані для області тіла й зовнішнього середовища, температурне поле – рівняння теплопровідності, а НДС тіла – співвідношення неізотермічного термопружно-пластичного течіння. За припущен-ня, що частота зовнішнього ЕМП перебуває поза околом резонансної (коли, як показано в роботах Я.Й. Бурака і О.Р. Гачкевича, зумовлені дією квазіусталених ЕМП динамічні ефекти в механічній поведінці електропровідних тіл є незначними), процес деформування розглядаємо у квазістатичному наближенні. Величини пара-метрів електромагнітної дії, переміщення й деформації, а також їх швидкості в тілі приймаємо такими, що є справедливими лінійні залежності між деформаціями та переміщеннями, і впливом рухомості середовища на характеристики ЕМП можемо знехтувати. Електромеханічні, термоелектричні, стрикційні ефекти для розглядува-них матеріалів вважаємо неістотними. При цьому вплив зовнішнього ЕМП на проце-си теплопереносу й деформування враховуємо через тепловиділення та об’ємні (пон-деромоторні) сили (розглядаємо матеріали, що можуть намагнічуватись і поляризува-тись; залежності індукцій магнітного й електричного полів від відповідних напруже-ностей приймаємо нелінійними, а самі вектори індукцій та напруженостей – парале-льними). Усі електро-, теплофізичні й механічні характеристики матеріалу вважаємо залежними від температури.

У такому наближенні задачу про визначення НДС електропровідного тіла за дії квазіусталеного ЕМП формулюємо за два етапи. На першому – формулюємо рів-няння, що описують параметри ЕМП й температурного поля (зв’язані нестаціонарні рівняння Максвелла й теплопровідності), а також вирази для пондеромоторних сил, як чинників силової дії ЕМП на тіло. На другому етапі записуємо співвідношення, що окреслюють переміщення, деформації й напруження у тілі на основі співвідношень неізотермічної термопружно-пластичності, для яких .

В п.2.1 отримано визначальні співвідношення для кількісного опису процесів електропровідності й теплопровідності в електропровідному тілі з неперерв-ною за Ліпшицем поверхнею за дії ЕМП, яке створює система струмів (1), розподі-лених у скінченій підобласті зовнішнього середовища. Температуру в тілі та ЕМП в системі „тіло-середовище” описує зв’язана система рівнянь теплопровідності

(2)

та Максвелла для тіла

,(3)

(4)

і зовнішнього середовища

,(5)

,(6)

де – температура; – об’ємна теплоємність; – коефіцієнт тепло-провідності; – тепловиділення (зумовлені протіканням у тілі індукційних струмів, та процесами перемагнічування й переполяризації); – вектори напруженостей магнітного й електричного полів; – магнітна та електрична індукції; – густина струмів; – об’ємна густина електричних зарядів; і – задані функції коор-динат і часу; – оператор Гамільтона; () i () означають відповідно операції ротора й дивергенції.

Феноменологічні співвідношення приймаємо у вигляді

,(7)

,(8)

де , – функції, які описують зв’язок між векторами індукцій й напруженостей відповідно електричного й магнітного полів у тілі; – коефіцієнт електропровіднос-ті; , – діелектрична та магнітна проникності вакууму.

За залежностей (7) та (8) рівняння Максвелла відомим способом зведені до системи рівнянь, в яких за основну ключову функцію вибрано вектор напруженості електричного чи магнітного полів. За квазіусталених електромагнітних навантажень (при ) ці рівняння, якщо за основну ключову функцію вибрано вектор напруженості електричного поля, набувають вигляду

, (9)

(10)

для ізотропного тіла та

(11)

для зовнішнього середовища, де введено позначення:

. (12)

Зауважмо, що за нелінійної залежності індукції магнітного поля від відповідної напруженості повністю сформулювати рівняння відносно функції (як в лінійному випадку) не вдається (диференціальна магнітна проникність в (9) залежить від напруженості (індукції) магнітного поля).

Якщо за основну ключову функцію обрано вектор, рівняння на та для ізотропного тіла (у випадку нехтування струмами зміщення при ) внаслідок умов квазіусталеності можна розділити:

. (13)

Виходячи із закону збереження енергії ЕМП і статистичної моделі електроме-ханічної взаємодії квазіусталеного поля і здатного до намагнічування й поляризації середовища, в п.2.2 отримано вирази усередненої за період електромагнітних коливань питомої потужності тепловиділень

(14)

(як джоулевих, так і пов’язаних з перемагнічуванням та переполяризацією) та пондеромоторної сили

, (15)

як чинників дії ЕМП на процеси теплопереносу й деформування, де

.

Для опису НДС тіла використано варіант теорії неізотермічного термопружно–пластичного течіння, відповідно до якої процес деформування проходять покроково. При побудові ключових рівнянь пружно-пластичного деформування в п. .3 прийнято відомі положення: про початок пластичного деформування з виходом точки у просторі напружень на поверхню течіння

; (16)

про прирости компонент тензорів напружень

; (17)

температурних деформацій

; (18)

про розвиток пластичних деформацій по нормалі до поверхні

(19)

та про прирости координат центру поверхні течіння за крок навантаження

, (20)

де – компоненти тензора напружень; – координати центра поверхні течіння;– функція, яка задає розмір поверхні течіння залежно від температури і нагромад-женої пластичної деформації; – інтенсивність приростів пластичних деформацій; – значення компонент тензора пружних модулів відповідно в кінці кроку навантаження (в момент часу) та їхніх приростів (у зв’язку з температурною залежністю) на даному кроці; – компоненти тен-зорів повних, температурних і пластичних деформацій на початку кроку навантажен-ня (в момент часу); – значення коефіцієнта температурного розширення, відповідно, на початку і в кінці кроку навантаження; – символ Кронеккера; – скалярний множник. Відзначимо, що за критерій переходу в пластичну область в роботі обрано умову Мізеса, функція течіння для якої

.

З урахуванням цих положень співвідношення (17) між приростами напружень і деформацій набувають вигляду

,(21)

де компоненти тензорів об’єднані у відповідні вектори

,

а матричні характеристики мають такий вигляд:

;

;

;

.(22)

Тут

;–

кут нахилу кривої “еквівалентне напруження – еквівалентна пластична деформація” (верхній індекс Т означає транспонування).

У такому наближенні, відповідно до вибраної в роботі розрахункової схеми, на першому етапі із зв’язаних рівнянь (2) і (4), (6), (9)-(12) з нелінійними феноменоло-гічними співвідношеннями (7) за відсутності в початковий момент часу ЕМП в сис-темі „тіло-середовище” і заданою температурою в тілі, за відомих умов спряження параметрів ЕМП на поверхнях розділу тіла і середовища та умов теплообміну

,(23)

(24)

і умов випромінювання на нескінченості визначаємо параметри, які описують ЕМП, температуру та пондеромоторні сили (15) як чинники силової дії ЕМП на тіло. Тут – вектор одиничної нормалі до поверхні тіла; – коефіцієнт тепловіддачі.

Зв’язність цієї системи рівнянь зумовлена температурними залежностями характеристик матеріалу і структурою тепловиділень (14).

На другому етапі за відомими температурою і пондеромоторними силами на основі рівнянь (21),

, (25)

, (26)

за граничних умов

(27)

визначаємо НДС тіла. Тут – вектор переміщень; і – матриці диференціального оператора геометричних співвідношень теорії пружності та на-прямних косинусів зовнішньої нормалі до поверхні; і – вектори силового навантаження (заданого на поверхні) та переміщень (заданих на поверхні).

У практиці термообробки твердих тіл з використанням ЕМП широко викорис-товують кільцеві індуктори. У зв’язку з цим розглянуто практично важливий випадок ізотропного тіла обертання за дії ЕМП, яке створює розподілена у скінченій підобласті оточуючого середовища коаксіальна з тілом система струмів з густиною

, (28)

де – циліндричні координати. За цієї умови вихідна задача про визначення ЕМП і температури (якщо за основну ключову функцію при знаходженні ЕМП прийнято вектор напруженості електричного поля) набуває вигляду

, (29)

, (30)

, (31)

, (32)

(33)

за відповідних початкових умов, умов на межі поділу „тіло-середовище”

, (34)

, (35)

умов на осі обертання та умов випромінювання на нескінченності.

Матричні та векторні характеристиками у формулюванні задачі термомеханіки (21), (25)-(27) в осесиметричному випадку мають вигляд

,

.

Коли за основну ключову функцію при визначенні ЕМП в осесиметричному випадку обрано вектор, замість одного рівняння (31) для тіла (і відповідно (33) для середовища) отримуємо по два рівняння (відносно невідомих ), що істотно ускладнює проблему побудови розв’язку. При розгляді довго-го циліндричного тіла за відповідних зовнішніх впливів (не залежних від координати) для визначення ЕМП і температури в такому тілі маємо рівняння

(36)

за відповідних початкових і крайових умов.

У третьому розділі на основі МСЕ (для апроксимації шуканих розв’язків за просторовими змінними) і сім’ї різницевих алгоритмів (для їх апроксимації за часом) запропоновано методику числового моделювання термомеханічних процесів в елек-тропровідних тілах за дії квазіусталених ЕМП з використанням різних за величиною, змінних кроків числового інтегрування за часом рівнянь, що описують в запропоно-ваній математичній моделі електромагнітні, температурні та механічні поля.

Вихідні для числового аналізу співвідношення отримані відомим способом за допомогою методу зважених залишків. З цією метою рівняння, які описують ЕМП і температурне поле, та співвідношення термопружно-пластичності (в переміщеннях) домножені на відповідні вагові функції, проінтегровані по області визначення, і з використанням формули Остроградського-Гауса зведені до співвідношень, які містять нижчий порядок вищих похідних від шуканих функцій. Зовнішнє середовище при цьому наближене скінченою областю, з достатньо віддаленою від тіла і заданих струмів поверхнею.

Внаслідок проведення стандартної процедури скінченно-елементної дискрети-зації співвідношень методу зважених залишків (у варіанті методу Гальоркіна) задача першого етапу (про визначення зв’язаних електромагнітного і температурного полів) зведена до системи звичайних диференціальних рівнянь

,(37)

(38)

відносно невідомих значень температури та напруженості електричного (магнітного) полів у вузлах скінченно-елементного поділу області тіла і зовнішнього середовища. Матрично-векторні характеристики цих задач обчислюємо через підсумовування відповідних характеристик окремих скінченних елементів, вирази для яких у випадку осьової симетрії мають вигляд

,

,

,

,(39)

де – матриця функцій форми; – координата вздовж границі СЕ;

Задачі Коші (37), (38) розв’язуємо з використанням сім’ї однокрокових багато-параметричних алгоритмів, запропонованих O.C.Zienkiewicz, W.L.Wood.

На другому етапі за відомими розподілами температури і пондеромоторних сил, які є об’ємними силами у рівняннях рівноваги, визначаємо НДС тіла. Процес деформування при цьому проходимо покроково. Розподіли пондеромоторних сил та температури у тілі, починаючи із заданих величин при, змінюються на відповідні прирости та на кожному кроці навантаження так, що до завершення процесу деформування приймають свої кінцеві значення. На кожному кроці за цими приростами визначаємо прирости переміщень, деформацій і напружень, які підсумовуємо з отриманими на попередніх кроках. Так, крок за кроком, як наслідок, отримуємо історію зміни термомеханічного стану тіла.

Вектор приростів переміщень вузлів на черговому кроці навантаження визначаємо з нелінійного скінченно-елементного рівняння

,(40)

в якому матрицю та вектор формуємо через підсумовування відповідних матриць і векторів для окремих СЕ:

; (41)

.(42)

Задачу термопружно-пластичності розв’язуємо з використанням відомих в літе-ратурі методів змінних параметрів жорсткості (методу Ньютона, який вимагає фор-мування нової „пружно-пластичної матриці жорсткості” на кожному кроці іте-раційного процесу) та додаткових напружень (відповідно до якого обчислення про-водять із постійною матрицею). Корекцію повних напружень внаслідок їх від-хилення від фактичних значень при покроковому проходженні процесу деформуван-ня проводимо на основі узагальненого співвідношення G.C.O.C.

Обчислювальний процес організовано у такий спосіб. За електрофізичними характеристиками матеріалу, які відповідають початковій температурі, з кроком упродовж декількох періодів розв’язуємо задачу Коші (38). Як тільки у кожному вузлі СЕ-поділу області тіла виконується умова

(43)

(– параметр, який характеризує досягнення збіжності), переходимо до роз-в’язування з кроком задачі (37) на визначення температурного поля в тілі з усередненими джерелами тепла, потужність яких визначена упродовж останнього періоду коливання електромагнітної хвилі у тілі.

У процесі інтегрування за часом рівняння (37), крок навантаження для задачі термопружно-пластичності фіксуємо, якщо в якомусь з вузлів СЕ-поділу тіла виконується хоча б одна з умов

,(44)

де – значення температури й усереднених за період пондеромо-торних сил у даний момент часу та в момент попереднього розрахунку напруженого стану тіла; – числові параметри, які характеризують допустиму величину зростання температури і пондеромоторних сил за крок навантаження.

Обчислення температурного поля з тими ж самими джерелами тепла продовжу-ємо доти, доки для кожного вузла мають місце умови

,(45)

де – значення температури у вузлі поділу тіла на СЕ в момент часу (коли відбувся перехід від розв’язування задачі Коші (38) до розв’язування задачі (37)) і в поточний момент часу відповідно. Як тільки максимальні відносні зміни якоїсь із характеристик досягли заданих величин, попередньо обчислені усереднені тепло-виділення вже не відповідають поточному значенню температури і необхідно переходити на обчислення параметрів ЕМП при нових значеннях електрофізичних характеристик.

Для апроксимації властивостей матеріалу, температурно-залежних кривих на-магнічування, поляризації та деформування поряд з відомими аналітичними пред-ставленнями передбачена можливість застосування інтерполяційних сплайнів, побу-дованих за точками відомих кривих, які описують поведінку матеріалів в широкому темпера-турному діапазоні за дії ЕМП. Рис. 1, зокрема, ілюструє процедуру визначення магнітної проникності (інтенсивності напружень) в точці з напруженістю магнітного поля (інтенсивністю деформацій) і температурою за двома кривими намагнічування (деформування), заданими чисельно відповідно для найближчих до температур і ( ).

Рис. 1. Числова апроксимація кривих намагнічування та деформування

Варто відзначити, що такий підхід дозволяє детально описувати наявні криві практично довільної складності.

У четвертому розділі наведено опис розробленого програмного забезпечення, в якому знайшли реалізацію запропоновані у розділах 2 та 3 методики математичного і числового моделювання. Викладені основні принципи програмної реалізації запро-понованої розрахункової схеми, загальна характеристика й структура програмного комплексу та обчислювальні аспекти МСЕ в сукупності з різницевими алгоритмами інтегрування за часом рівнянь, які описують електро-магнітне, температурне і механі-чні поля. Особливу увагу звернено на формування дискретних моделей розглядува-них задач електромагнітотермомеханіки (питанням побудови скінченно-елементного поділу областей, задання граничних умов, апроксимації нелінійних властивостей матеріалів), формування ключових систем рівнянь МСЕ та їх розв’язування.

Створене програмне забезпечення має еволюційну форму з тенденцією до постійного покращення і розширення, оскільки в основу розробки покладені принципи загальності, відкритості, модульності, компактності.

При програмній реалізації запропонованої методики виділено часткові розра-хункові схеми, які за квазіусталених ЕМП дозволяють аналізувати особливості тер-момеханічної поведінки електропровідних тіл з різними електричними і магнітними властивостями, зокрема, недіелектричних неферомагнітних, лінійних магнітних, феромагнітних магнітном’яких і феромагнітних магнітнотвердих тощо.

У п’ятому розділі запропоновано методику моделювання процесів високотем-пературної індукційної обробки електропровідних тіл і, як приклад, досліджено тер-момеханічну поведінку скінченного циліндра, виготовленого з недіелектричного не-феромагнітного та лінійного магнітного матеріалів за індукційного нагрівання до певної температури і наступного охолодження.

Рис.