Чернівецький національний університет
Чернівецький національний університет
імені Юрія Федьковича
Дрінь Світлана Сергіївна
УДК 517.956.4
Задача коші для сингулярних еволюційних рівнянь нескінченного порядку
01.01.02 – диференціальні рівняння
Автореферат
дисертації на здобуття наукового ступеня
кандидата фізико-математичних наук
Чернівці – 2006
Дисертацією є рукопис.
Робота виконана на кафедрі диференціальних рівнянь Чернівецького національного університету імені Юрія Федьковича, Міністерство освіти і науки України.
Науковий керівник – доктор фізико-математичних наук, професор Городецький Василь Васильович, Чернівецький національний університет імені Юрія Федьковича, завідувач кафедри алгебри та інформатики.
Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор, чл.-кор. НАН України Горбачук Мирослав Львович, Інститут математики НАН України, завідувач відділу диференціальних рівнянь з частинними похідними;
доктор фізико-математичних наук, професор Іванчов Микола Іванович, Львівський національний університет імені Івана Франка, завідувач кафедри диференціальних рівнянь.
Провідна установа – Київський національний університет імені Тараса Шевченка, кафедра математичної фізики.
Захист відбудеться “11” травня 2007 року о 1400 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради К 76.051.02.
З дисертацією можна ознайомитися у бібліотеці Чернівецького національного університету імені Юрія Федьковича (58012, м. Чернівці, вул. Л. Українки, 23).
Автореферат розісланий “04” квітня 2007 року.
Вчений секретар спеціалізованої вченої ради Бігун Я.Й.
Загальна характеристика роботи
Актуальність теми. При розв’язані задач математичної фізики, квантової механіки, газової динаміки, теорії теплопровідності, тепломасопереносу, кристалографії, задач про взаємодію тіл, при математичному моделюванні різних реальних процесів виникає необхідність дослідження крайових задач (зокрема, задачі Коші) для диференціальних рівнянь (та систем рівнянь) з різними особливостями та виродженнями, коли, наприклад, рівняння має особливості в коефіцієн-тах, вироджується тип рівняння, рівняння замість диференціальних операторів містять псевдодиференціальні оператори, у рівняннях наявні випадкові збурення і т.п.
Багато таких задач мають природну постановку і у різних просторах узагальнених функцій, оскільки досить часто крайові умови мають особливості в деяких точках межі або ділянках межі. Такі функції допускають регуляризацію у просторах узагальнених функцій скінчен-ного порядку (типу розподілів Соболева-Шварца), або їх можна тракту-вати як узагальнені функції нескінченного порядку (типу ультрарозподі-лів, гіперфункцій), якщо порядок особливостей вищий за степеневий.
До рівнянь, які мають особливості в коефіцієнтах, відносяться В-параболічні рівняння – рівняння з оператором Бесселя, який вироджує-ться по певній просторовій змінній, а саме рівняння при цьому вироджує-ться на межі області. В-параболічні рівняння за своїми внутрішніми властивостями близькі до рівномірно параболічних рівнянь.
При дослідженні проблеми про класи єдиності та класи коректності задачі Коші для рівнянь з частинними похідними зі сталими (або залежними лише від часу) коефіцієнтами широко використовуються простори типу S, введені І.М. Гельфандом та Г.Є. Шиловим, та простори типу W, введені Б.Л. Гуревичем. Простори типу S складаються з нескінченно диференційовних на R функцій, поведінка яких та їхніх похідних на дійсній вісі характеризується величинами , {k,n}?Z+, де подвійна послідовність {mkn} задовольняє певні умови (особливо повно досліджено випадок mnn=kk?nn?; ?, ?>0). Простори типу W є узагальненням просторів типу S внаслідок заміни степеневих функцій довільними опуклими, що дозволяє точніше охарактеризувати особливості зростання або спадання функцій на нескінченності.
У працях М.Л. Горбачука, П.І. Дуднікова, О.І. Кашпіровського, С.Д. Івасишена, Л.М. Андросової, В.В. Городецького, В.П. Лавренчука, О.Г. Возняк, В.А. Літовченка встановлено, що простори типу S' – простори, топологічно спряжені до просторів типу S – є природними множинами початкових даних задачі Коші для широких класів рівнянь з частинними похідними скінченого порядку, при яких розв’язки є нескінченно диференційовними функціями просторових змінних.
Класична теорія задачі Коші для В-параболічні рівнянь розвинена в працях М.І.Матійчука, В.В. Крехівського, С.Д. Івасишена та ін.
Задача Коші для сингулярних параболічних рівнянь у класах розподілів та у класах узагальнених функцій типу S' вивчалась Я.І. Житомирським, В.В. Городецьким, І.В. Житарюком, В.П. Лавренчуком. Природним узагальненням В-параболічних рівнянь є сингулярні еволюційні рівняння нескінченного порядку вигляду
, t?(0,T], x?R+ | (1) 1
( – оператор Бесселя порядку v>–1/2), тобто рівняння, які містять не лише поліноми від оператора Bv, а й інші функції від цього оператора .
Задача Коші для рівняння зі сталими коефіцієнтами (а також для еволюційних рівнянь з оператором диференціювання нескінченного порядку або оператором Бесселя нескінченного порядку) у просторах аналітичних функціоналів типу W' досліджена В.В. Городецьким, О.В. Мартинюк та О.М. Ленюком. В.В. Городецьким та Р.С. Колісник побудовані класи цілих функцій (названі ними просторами типу С), які на дійсній вісі спадають швидше за exp{-a|x|}, x?R. Простори S?, ,, {?, ?}?(0,1), які відносяться до просторів типу S, та простори типу W утворюють певні підкласи просторів типу С. У просторах типу С та С' (аналітичних функціоналів – узагальнених функцій нескінченного порядку) задача Коші для рівнянь не вивчена.
Одним з основних методів дослідження задачі Коші для є метод перетворення Фур’є-Бесселя, тому актуальним питанням є побудова теорії такого перетворення у просторах типу С та С' паралельно з теорією задачі Коші для у вказаних просторах. Оскільки множина початкових значень розв’язків рівнянь збігаються з множинами початкових даних задачі Коші, при яких розв’язки є елементами певних функціональних просторів, то важливу роль при постановці та дослідженні задачі Коші для (1) відіграє також розвинення теорії граничних значень для таких рівнянь.
Дисертаційна робота присвячена розв’язанню вказаних проблем для еволюційних сингулярних рівнянь нескінченного порядку вигляду (1) зі сталими та залежними лише від часової змінної коефіцієнтами.
Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертація виконана в рамках науково-дослідної роботи “Дослідження коректності нерегулярних параболічних крайових задач та еквівалент-ності операторів” (номер держреєстрації 0103U001109) кафедри диференціальних рівнянь Чернівецького національного університету імені Юрія Федьковича.
Мета і задачі дослідження. Метою роботи є розвиток теорії задачі Коші для еволюційних сингулярних рівнянь нескінченного порядку вигляду (1) зі сталими або залежними лише від часу коефіцієнтами в класах початкових умов, які є узагальненими функціями нескінченного порядку з просторів типу С'; зокрема, одержання для таких рівнянь результатів, подібних до відомих у теорії задача Коші для В-параболічних рівнянь з початковими умовами з просторів узагальнених функцій типу S'. Безпосередніми задачами дослідження є:
· вивчення властивостей основних операцій (зокрема, операції узагальненого зсуву аргументу) та оператора Бесселя нескінченного порядку в класах основних функцій типу , які складаються з парних функцій із просторів типу ;
· дослідження властивостей перетворення Фур’є-Бесселя основних і узагальнених функцій із просторів типу та ; згорток, згортувачів та мультиплікаторів у таких просторах;
· встановлення коректної розв’язності задачі Коші для рівнянь вигляду (1) (з коефіцієнтами ck(t,x)=ck(t), , k?Z+) у просторах узагальнених функцій типу ; відшукання усіх початкових даних задачі Коші, при яких розв’язок задачі має ті ж властивості гладкості, що і фундаментальний розв’язок.
Наукова новизна одержаних результатів. Для еволюційних сингулярних рівнянь нескінченного порядку зі сталими та залежними лише від часової змінної коефіцієнтами у дисертації вперше одержано такі результати: знайдено необхідні і достатні умови, за яких оператор Бесселя нескінченного порядку коректно визначений і обмежений у просторах типу ; досліджено властивості операції узагальненого зсуву аргументу в таких просторах; доведено теореми про перетворення Фур’є-Бесселя просторів типу (теореми двоїстості); встановлено, що таким перетворенням простори типу відображаються у простори такого ж типу; знайдені оцінки фундаментального розв’язку задачі Коші (ФРЗК) та досліджені властивості ФРЗК як абстрактної функції часового параметра із значеннями у просторах типу , доведена диференційовність (по ) згортки ФРЗК з довільною узагальненою функцією з простору типу , встановлено існування граничних значень вказаних згорток при t>+0 у просторах узагальнених функцій типу ; доведено теореми про коректну розв’язність задачі Коші у просторах узагальнених функцій типу ; знайдено необхідні і достатні умови, котрі повинна задовольняти початкова узагальнена функція , при виконанні яких розв’язок має вигляд u(t,·)=(f * G)(t, ) (G – ФРЗК), u(t,·) при кожному t(0,T] належить до просторів основних функцій типу , u(t,·)>f, t>+0, у просторі узагальнених функцій типу .
При одержанні цих результатів модифіковані методи теорії задачі Коші для рівномірно параболічних та сингулярних параболічних рівнянь.
Практичне значення одержаних результатів. Результати дисертації носять теоретичний характер і є певним внеском у побудову загальної теорії задачі Коші для рівнянь з частинними похідними нескінченного порядку, у теорію узагальнених функцій. Для спеціалістів у галузі теплопровідності та термоелектричних явищ одержані результати створюють підґрунтя для дослідження відсутніх у класичній теорії процесів акумулювання тепла в доменах високотемпературної плазми, хвильових теплових процесів у новітніх термоелектричних матеріалах.
Особистий внесок здобувача. Основні результати дисертації отримані автором самостійно. У спільних роботах [1, 2, 3, 9, 11, 12] науковому керівнику В.В. Городецькому належить постановка задач, передбачення та аналіз отриманих здобувачем результатів.
Апробація результатів дисертації. Результати досліджень, включені до дисертації, доповідались на: Всеукраїнській науковій конференції “Нелінійні проблеми аналізу” (Івано-Франківськ, 2003 р.); Міжнародній конференції, присвяченій 60-річчю кафедри інтегральних і диференціальних рівнянь Київського національного університету (Київ, 2005 р.); Кримській осінній математичній школі-симпозіумі зі спект-ральних та еволюційних задач (КРОМШ-2005) (Крим, Ласпі, 2005 р.); Міжнародній конференції “Analysis and Related Topics” (Львів, 2005 р.); Міжнародній науковій конференції імені академіка М. Кравчука (Київ, 2006 р.).
Публікації. Основні результати дисертації опубліковані в 12 працях з них 2 – в наукових журналах, 3 – у збірниках наукових праць і 7 – у матеріалах та тезах наукових конференцій. Серед публікацій – 5 праці у наукових фахових виданнях з переліку № 1, затвердженого ВАК України від 09.06.1999 р.
Структура та обсяг роботи. Дисертація складається зі вступу, трьох розділів, висновків і списку використаної літератури, який містить 123 найменувань. Повний обсяг роботи становить 135 сторінок.
Автор висловлює щиру подяку науковому керівнику професору Городецькому В.В. за наукове керівництво і корисні поради та цікаві ідеї.
Зміст роботи
У вступі обґрунтовується актуальність теми дослідження, сформульовано мету і задачі дослідження, вказується на зв’язок дисертації з науковою темою кафедри, де вона виконується, наводяться основні результати, відзначається їх новизна, практичне значення і апробація.
У першому розділі наведено основні результати, одержані на теперішній час стосовно задачі Коші для рівнянь з частинними похідними нескінченного порядку та сингулярних параболічних рівнянь, зроблено огляд праць безпосередньо пов’язаних з дисертацією в яких запозичується методика доведення і результати яких поширюються на загальніші об’єкти, а також сформульовано постановку задачі , яка досліджується у двох наступних розділах роботи.
У розділі 2 наведено основні означення та твердження, що стосуються топологічної структури просторів типу C, та , основних операцій у цих просторах. Доведено теореми двоїстості для просторів типу . Вивчаються властивості згорток, згортувачів та мультиплікаторів. Знайдено необхідні та достатні умови, за яких у просторах типу визначений, є лінійним і неперервним оператор Бесселя нескінченного порядку. Досліджено властивості оператора узагальненого зсуву аргументу.
Перейдемо до викладу матеріалу другого розділу. У підрозділі 2.1 наведено основні означення та твердження, що стосуються топологічної структури просторів типу C, .Нехай {mn, n?Z+} – монотонно зростаючу послідовність додатних чисел, така що
1. , m0=1;
2. n?Z+; mn?c??n;
3. n?Z+; mn+1?Mhnmn.
Поряд розглянемо монотонно зростаючу послідовність додатних чисел {ln, n?Z+}, яка володіє властивостями 1 – 3. Покладемо
Функція ? – диференційовна (лема 2.3), парна на R, монотонно зростає на проміжку і монотонно спадає на , ?(x)?1, R, ?(1)=1. Крім того,
R\[-1,1]: ?(x)?c0exp{c|x|}.
Зазначимо також, що функція ln? – опукла на (лема 2.1), тобто
: ln?(x1)+ln?(x2)?ln?(x1+x2).
Функція ? – невід’ємна, диференційовна, парна на R функція, монотонно спадає на проміжку , монотонно зростає на проміжку , ?(x)?1, R, і
R\[-1,1]: ?(x)?c'0exp{-c'|x|}.
Якщо ввести позначення: , то функція володіє властивістю опуклості у наведеному вище розумінні.
Символом позначається сукупність всіх цілих однозначних функцій ?:С>С, що задовольняють умову
, , , C: |?(z)|?c?(ax)?(by).
Збіжність в визначається так: послідовність {?v,v?N} називається збіжною до нуля, якщо вона рівномірно збігається до нуля в кожній обмеженій області комплексної площини, при цьому справджуються нерівності |?v(z)|?c?(ax)?(by), С, зі сталими c, a, b>0, не залежними від v.
В визначені і є неперервними операції множення на незалежну змінну, диференціювання, зсуву аргументу. Мультиплікатором у просторі є кожна ціла функція f:С>С, яка при довільному задовольняє нерівність , z=x+iy?С.
Символом (R) позначатимемо сукупність функцій, заданих на R, які допускають аналітичне продовження у всю комплексну площину і як функції комплексної змінної є елементами простору . Символом позначимо сукупність усіх цілих парних функцій з простору . Цей простір з відповідною топологією називатимемо основним простором або простором типу , а його елементи – основними функціями. Відповідно символом (R) позначатимемо сукупність парних функцій з простору (R).
У підрозділі 2.2 наведені твердження, які стосуються основних операцій у просторі . Зокрема, у пункті 2.2.1 встановлено, що у цьому просторі визначений і є неперервним оператор Бесселя , , який діє по змінній . Ця властивість є наслідком наступного твердження.
Теорема 2.4. У просторі визначений і є неперервним оператор .
Як наслідок з цієї теореми дістаємо, що у просторі (R) визначений і є неперервним оператор , , який відповідає дійсній змінній .
Далі наведемо приклад функції, яка є мультиплікатором у кожному просторі . Для цього доведемо наступне твердження.
Лема 2.2. Нормована функція Бесселя , , як функція комплексної змінної, є мультиплікатором у просторі .
У просторах (R) можна користуватися прямим і оберненим перетворення Фур’є-Бесселя, оскільки, як випливає із результатів, одержаних В.В. Городецьким та Р.С. Колісник Городецький В.В., Колісник Р.С. Про одне узагальнення просторів типу W // Науковий вісник Чернівецького університету: Зб. наук. праць. Вип. 134. Математика. – Чернівці: Рута, 2002. – С. 30-37. , (R) є підпростором простору (простори складаються з парних функцій простору S Л.Шварца), у якому вказані перетворення визначені коректно:
,
, (R),
cv=(22vГ2(v+1))-1, v>–1/2.
У пункті 2.2.2 вивчаються властивості перетворення Фур’є-Бесселя просторів типу (R); встановлено, що таким перетворенням простори типу (R) відображаються у простори такого ж типу.
Наведемо одну із теорем двоїстості.
Теорема 2.4. Правильною є формула FB[(R)]=(R), де
?*(?) – функція, двоїста за Юнгом до функції ln?(?+1), ??[0,+?);
?*(?) – функція, двоїста за Юнгом до функції –ln?(?+1), ??[0,+?);
при цьому оператор FB:(R)>(R) є неперервним.
У пункті 2.2.3 розглядається оператор узагальненого зсуву аргументу в просторі (R), а також оператор Бесселя нескінченного порядку.
Символом позначимо оператор узагальненого зсуву аргументу, який відповідає оператору Бесселя:
, ??(R),
1 де bv=Г(v+1)/(Г(1/2)Г(v+1/2)), v>–1/2.
Лема 2.4. Оператор узагальненого зсуву аргументу визначений і неперервний у просторі (R).
Лема 2.5. Операція узагальненого зсуву аргументу диференційовна у просторі (R).
Наслідок 2.1. Операція узагальненого зсуву аргументу нескінченно диференційовна у просторі (R).
Згортку двох функцій з простору (R)визначимо формулою:
, {?,?}?(R).
Оскільки (R)?S, де S – простір Л. Шварца, а у просторі S вірною є формула
,
то ця ж формула є правильною і у просторі (R). Отже, простори (R) утворюють топологічні алгебри відносно операції згортки основних функцій.
У пункті 2.2.4 розглядається оператора Бесселя нескінченного порядку.
Нехай – деяка ціла парна функція. Говоритимемо, що у просторі задано оператор Бесселя нескінченного порядку якщо для довільної основної функції ?? ряд
зображає деяку основну функцію з простору .
Нехай ?1, ?1 – функції, з теореми 2.4. Правильним є наступне твердження.
Теорема 2.5'. Оператор Бесселя нескінченного порядку f(Bv,z) визначений і неперервний у просторі тоді і лише тоді, коли ціла парна функція f:С>С – мультиплікатор у просторі .
Наслідок 2.2. Нехай Af – звуження оператора f(Bv,z) на (R). Тоді для довільної функції ??(R) правильною є рівність
, {x,?}?R.
Отже, у цьому випадку Af можна розуміти як псевдодиференціаль-ний оператор, побудований за певним аналітичним символом.
Зауваження 2.12. Аналогічні результати є правильними і для оператора Бесселя нескінчен-ного порядку.
побудованого за цілою парною (по z) функцією L, залежною від параметра t
, z=x+iy?С, t?[0,T],
у припущенні, що , Z+, а функція при кожному є мультиплікатором у просторі , тобто
С: ;
при цьому
, (R), {x,?}?R.
У підрозділі 2.3 розглядається простір узагальнених функцій типу . Вивчаються властивості згорток, згортувачів та мультиплікаторів.
Символом ((R))' позначатимемо простір усіх лінійних неперервних функціоналів над відповідним простором основних функцій зі слабкою збіжністю, а його елементи називатимемо узагальненими функціями.
Оскільки в просторі (R) визначена операція узагальненого зсуву аргументу, то згортку узагальненої функції f?((R))' з основною функцією задамо формулою
(тут позначаємо дію функціоналу f за змінною ) при цьому є нескінченно диференційовною на R функцією, бо, згідно з наслідком 2.1, операція узагальненого зсуву аргументу нескінченно диференційовна у просторі (R).
Якщо f?((R))' і f*??(R), (R), то функціонал f називається згортувачем у просторі (R).
Оскільки FB[?]?(R), якщо ??(R), то перетворення Фур’є-Бесселя узагальненої функції f?((R))' визначимо за допомогою співвідношення
, (R). | (2) 1
Із та з властивостей лінійності та неперервності функціоналу f та перетворення Фур’є-Бесселя основних функцій випливає лінійність і неперервність функціоналу FB[f] над простором основних функцій (R). Отже перетворення Фур’є-Бесселя узагальненої функції f, заданої на (R), є узагальненою функцією на просторі (R).
Правильним є наступне твердження.
Теорема 2.7. Якщо узагальнена функція f?((R))' – згортувач у просторі (R), то
, (R).
Якщо узагальнена функція – мультиплікатор у просторі (R), то її перетворення Фур’є-Бесселя – згортувач у просторі (R).
Зауваження 2.13. Якщо узагальнена функція f?((R))' – згортувачем у просторі (R), то
, (R), m?N..
У підрозділ 2.4 наведено основні означення та твердження, що стосуються відображень вигляду , де X – лінійний топологічний простір або об’єднання таких просторів, – деяка числова множина. Такі відображення називають ще абстрактними функціями параметра v у просторі X. За X можна, зокрема, брати простори типу С та .
Розділ 3 присвячений вивченню коректної розв’язності задачі Коші для еволюційних сингулярних рівнянь нескінченного порядку в класах початкових умов, які є узагальненими функціями типу ультрарозподілів. Досліджуються властивості ФРЗК, вивчається гранична поведінка згорток, що породжуються ФРЗК та узагальненими функціями з просторів типу
У підрозділі 3.1 встановлено оцінки ФРЗК (функії G); дифернційовність (по t) функції G(t,·) як абстрактної функції параметра із значеннями у просторі типу (R) та формулу диференціювання (по t) згортки , f? ((R))'; існування граничного значення вказаної згортки при у просторах типу ((R))'. Ці результати дозволяють довести коректну розв’язність задачі Коші для еволюційних сингулярних рівнянь нескінченного порядку в певних підпросторах узагальнених функцій ((R))', які збігаються з множинами початкових значень гладких розв'язків .вказаних рівнянь.
Символом позначимо клас цілих парних однозначних функцій ?:С>С, які є мультиплікаторами у просторі і такими, що e??. Розглянемо функцію L(t,z), z=x+iy?С, неперервно диференційовну по t?(0,T], T<?, яка задовольняє умову, що при кожному t?(0,T]: , і , С:
,
де функції , на півосі збігаються з функціями , , відповідно ({ln,n?Z+}, {mn,n?Z+} – послідовності, за якими будується простір ) і які продовженні на піввісь парним способом.
Нехай . При фіксованому як функція змінної належить до простору .
Символом , ??R, , позначимо обернене перетворення Фур’є-Бесселя функції , тобто
, , ??R.
Із теореми 2.7 випливає, що G(t,·)?(R) при кожному (, – функції, про які йде мова у цій теоремі). Функція допускає аналітичне продовження у всю комплексну площину і G(t,s)? при кожному , s?С ; при цьому
С: ,
де сталі залежать від параметра . Виділимо цю залежність у явному вигляді. Правильним є наступне твердження.
Лема 3.1. G(t,·)? при кожному ; при цьому
{?,?}?R:
s=?+i??С | (3) 1
де – функція, двоїста за Юнгом до функції ,
– функція, двоїста за Юнгом до функції .
Наслідок 3.1. Правильними є нерівності
, k?N,
де , – сталі із нерівності (не залежні від k).
Лема 3.2. Функція , , як абстрактна функція параметра t із значеннями в просторі , диференційовна по t.
Наслідок 3.2. Правильною є формула
, f?((R))', t?(0,T].
Лема 3.3. Нехай узагальнена функція f? ((R))' – згортувач у просторі (R),
?(t,x)=(f*G)(t,x), t? (0,T], x?R.
Тоді граничне співвідношення , , виконується у просторі ((R))'.
У підрозділі 3.2 досліджується коректна розв’язність задачі Коші для еволюційних рівнянь з оператором Бесселя нескінченного порядку у певних підпросторах узагальнених функцій типу ((R))'.
Нехай – функція, яка задовольняє умови, сформульовані у зауваженні 2.12 до теореми 2.5', – оператор, побудований за функцією .
Розглянемо тепер рівняння
, | (4) 1
Під розв’язком рівняння розумітимемо функцію u: t>u(t,·)(R), яка диференційовна по t і задовольняє рівняння .
Символом ((R)) позначимо сукупність усіх узагальнених функцій з простору ((R))', які є згортувачами у просторі (R). Отже, якщо f? ((R)), то ?(t,·)?(R) при кожному t? (0,T].
Лема 3.3дозволяє ставити задачу Коші для рівняння так. Для задамо початкову умову
, | (5) 1
де f?((R))'. Під розв’язком задачі Коші , розумітимемо розв’язок рівняння , який задовольняє початкову умову у тому сенсі, що при у просторі ((R))'.
Теорема 3.1. Задача Коші , коректно розв’язна в класі узагальнених функцій ((R)); при цьому розв’язок подається у вигляді
, f?((R)), .
Зазначимо, що до класу рівнянь належать відомі B-параболічні рівняння зі сталими та залежними лише від t коефіцієнтами.
У підрозділі 3.3 аналогічні результати одержані стосовно задачі Коші для сингулярних еволюційних рівнянь з оператором Бесселя нескінченного порядку із залежними від часу коефіцієнтами у випадку n незалежних змінних.
Основні результати і Висновки
Дисертація присвячена розвитку теорії задачі Коші для еволюційних сингулярних рівнянь нескінченного порядку зі сталими та залежними лише від часової змінної коефіцієнтами у класах початкових даних, які є узагальненими функціями з просторів типу . Такі рівняння є природним узагальненням сингулярних параболічних рівнянь і є важливими з точки зору застосувань у теорії рівнянь з частинними похідними.
У дисертаційній роботі вперше:
ь знайдено необхідні і достатні умови, за яких оператор Бесселя нескінченного порядку коректно визначений і обмежений у просторах типу ; досліджено властивості операції узагальненого зсуву аргументу у таких просторах;
ь доведено теореми про перетворення Фур’є-Бесселя просторів типу (теореми двоїстості); встановлено, що таким перетворенням простори типу відображаються у простори такого ж типу;
ь знайдено необхідні і достатні умови, які характеризують клас згортувачів та мультиплікаторів – узагальнених функцій із просторів типу ;
ь встановлені оцінки ФРЗК та досліджені властивості ФРЗК як абстрактної функції часового параметра із значеннями у просторах типу , доведення диференційовність (по t) згортки ФРЗК, з довільною узагальненою функцією з простору типу та встановлена формула диференціювання такої згортки (по t), доведено існування граничних значень вказаних згорток при t>+0 у просторах узагальнених функцій типу ;
ь доведено теореми про коректну розв’язність задачі Коші у просторах узагальнених функцій типу , знайдено умови, котрі повинна задовольняти початкова узагальнена функція f, при виконанні яких розв’язок має вигляд (G – ФРЗК), при кожному належить до простору основних функцій типу , , t>+0, у просторі узагальнених функцій типу .
Одержані результати і методика доведення мають теоретичне значення. Вони можуть знайти застосування і подальший розвиток у теорії рівнянь з частинними похідними, теорії узагальнених функцій.
Список опублікованих праць
1. Городецький В.В., Дрінь С.С. Задача Коші для еволюційних сингулярних рівнянь нескінченного порядку // Доп. НАН України. – 2003. № 11. – С. 12 - 17.
2. Городецький В.В., Дрінь С.С. Перетворення Фур’є-Бесселя просторів типу C та C' // Доп. НАН України. – 2004. - № 8. – С. 19 - 24.
3. Дрінь С.С., Дрінь І.І. Перетворення Фур’є-Бесселя просторів типу S та S' // Науковий вісник Чернівецького університету: Збірник наук. праць. Вип. 160. Математика. – Чернівці: Рута, 2003. – С. 50-59.
4. Дрінь С.С. Оператори Бесселя нескінченного порядку у просторах типу C // Наук. вісн. Чернівецького ун-ту. Вип. 191 - 192. Математика. – Чернівці: Рута, 2004. – С. 41 - 46.
5. Дрінь С.С. Оператори узагальненого зсуву аргументу в просторах типу // Науковий вісник Чернівецького університету6: Зб. наук. пр. Вип. 314-315. Математика. – Чернівці: Рута, 2006. – С. 59 – 63.
6. Дрінь С.С. Еволюційні рівняння з оператором Бесселя нескінченного порядку // Spectral and Evolution Problems: Proceedings of the Sixteenth Crimean Autumn Mathematical School-Symposium (KROMSH-2005), September 18-29, 2005, Sevastopol, Laspi, Vol. 16. – Simferopol, 2006. – P. 12-15.
7. Дрінь С.С. Еволюційні сингулярні рівняння нескінченного порядку // Десята міжнародна наукова конференція ім. акад. М. Кравчука 13 - 15 травня 2004 р., м. Київ: Матеріали конференції. – К.: Задруга, 2004. – С. 101.
8. Дрінь С.С. Задача Коші для сингулярних еволюційних рівнянь нескінченного порядку // Диференціальні рівняння та їх застосування. Міжнародна конференція, присвячена 60-річчю кафедри інтегральних і диференціальних рівнянь Київського національного ун-ту. Тези доповідей. – Київ, 2005. – С. 29.
9. Городецький В.В., Дрінь С.С. Перетворення Фур’є одного класу цілих функцій // Міжнародна конференція "Математичний аналіз і суміжні питання". Тези доповіді. – Львів, 2005. – С. 33.
10. Дрінь С.С. Задача Коші для сингулярних еволюційних рівнянь нескінченного порядку // Одинадцята міжнародна наукова конференція ім. акад. М. Кравчука 18 - 20 травня 2006 р., м. Київ: Матеріали конференції. – К.: Задруга, 2006. – С. 417.
11. Городецький В.В., Дрінь С.С. Задача Коші для сингулярних еволюційних рівнянь // International conference of differential equations. Book of abstracts. – Lviv, 2006. – P. 20.
12. Городецький В.В., Дрінь С.С. Перетворення Фур’є-Бесселя та оператор Бесселя нескінченного порядку у просторах типу C // ? Всеукраїнська наукова конференція “Нелінійні проблеми аналізу”. Тези доповідей. – Івано-Франківськ: Плай, 2003. – С.26.
Анотація
Дрінь С.С. Задача Коші для сингулярних еволюційних рівнянь нескінченного порядку. – Рукопис.
Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.02 – диференціальні рівняння. Чернівецький національний університет ім. Ю.Федьковича, Чернівці, 2007.
Дисертація присвячена розвитку теорії задачі Коші для еволюційних рівнянь з оператором Бесселя нескінченного порядку зі сталими або залежними лише від часової змінної коефіцієнтами в класах початкових умов, які є узагальненими функціями з просторів типу і дослідженню властивостей фундаментального розв’язку; при цьому, попередньо, описуються простори основних та узагальнених функцій типу та , вивчаються властивості перетворення Фур’є-Бесселя, згорток, згортувачів та мультиплікаторів у таких просторах.
Ключові слова: перетворення Фур’є-Бесселя, оператор Бесселя нескінченного порядку, узагальнена функція, згортка, згортувач, мультиплікатор, задача Коші, сингулярні параболічні рівняння.
ABSTRACT
Drin S.S. The Cauchy problem for evolutionary equations of the infinite order. – Manuscript.
The thesis for obtaining the scientific degree of the candidate of physical and mathematical sciences on the specialty 01.01.02 – differential equations. Chernivtsi State University, Chernivtsi, 2007.
The thesis is devoted to the construction of the Cauchy problem for the evolutionary equations with Bessel operator of the infinite order with constant coefficients depending only on the time variable in classes of the initial conditions, which are generalized functions from the type and research of the conditions of fundamental solution, while initially spaces of the main and generalized functions of type and are described, conditions of the Fourrier-Bessel transformation convolutions, convolutors and multiplicators are studied, in this spaces.
Key words: Fourrier-Bessel transformation, Bessel operator of the infinite order, generalized function, convolution, multiplicator, Cauchy problem, singular parabolic equation.
Анотация
Дринь С.С. Задача Коши для сингулярных эволюционных уравнений бесконечного порядка. – Рукопись.
Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.02 – дифференциальные уравнения. Черновицкий национальный университет имени Юрия Федьковича, Черновцы, 2007.
Диссертация посвящена развитию теории задачи Коши для сингу-лярных эволюционных уравнений с оператором Бесселя бесконечного порядка с постоянными или зависящими от временной переменной коэффициентами в классах начальных условий, являющихся обобщенны-ми функциями из пространств типа и исследованию свойств фундаментального решения. Такие уравнения являются естественным обобщением равномерно параболических и В-параболических уравнений с постоянными коэффициентами и важны с точки зрения применений в теории уравнений с частными производными.
В работе построены пространства типа целых функций, убываю-щих на действительной оси при быстрее, чем exp{-|x|}, x?R. С помощью метода преобразования Фур’е-Бесселя найдены необходимые и достаточные условия, при которых оператор Бесселя бесконечного порядка, действующий в просторах типа , является ограниченным; при этом такой оператор понимается как псевдодифференциальний оператор, построенный по определенному аналитическому символу. Доказано теоремы о преобразовании Фур’е-Бесселя пространств типа (теоремы двойственности); установлено, что этими преобразованиями пространства отображаются в пространства такого же типа. Найдены необходимые и достаточные условия, характеризующие класс свертывателей и мультипликаторов – обобщенных функций из пространств типа . Установлены оценки фундаментального решения задачи Коши (ФРЗК) в пространствах типа , доказана дифференцируемость (по t) свертки ФРЗК с произвольной обобщенной функцией из пространств типа и установлена формула дифференцирования такой свертки (по t), изучено поведение указанных сверток при в пространствах обобщенных функций типа .
В работе найдены условия, при которых задача Коши для эволюционных уравнений с оператором Бесселя бесконечного порядка с постоянными или зависящими от временной переменной коэффициентами корректно разрешима в пространствах обобщенных функций типа ((R))', совпадающих со множествами начальных значений гладких решений указанных уравнений совпадают с этим пространством; при выполнении этих условий решение имеет вид , f?((R))', где G – ФРЗК; при каждом принадлежит пространству основных функций типа (R), , t>+0, в пространстве обобщенных функций типа ((R))'.
При получении этих результатов модифицированы методы теории задачи Коши для равномерно параболических уравнений и сингулярных параболических уравнений.
Полученные результаты и методика доказательств имеют теоретическое значение. Они могут найти применение и дальнейшее развитие в теории уравнений с частными производными, теории обобщенных функций.
Ключевые слова: преобразование Фур’е-Бесселя, оператор Бесселя бесконечного порядка, обобщенная функция, свертка, свертиватель, мультипликатор, задача Коши, сингулярные параболические уравнения.
