НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ІНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

Євстаф’єв Руслан Юрійович

УДК 519.1

ПРИЄДНАНІ ГРУПИ, БУДОВА

ТА ЛІЄВА СТРУКТУРА

АРТІНОВИХ КІЛЕЦЬ

01.01.06 – алгебра і теорія чисел

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Київ - 2007

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Інституті математики НАН України.

Науковий керівник:

доктор фізико-математичних наук,

старший науковий співробітник

СИСАК Ярослав Прокопович,

Інститут математики НАН України,

провідний науковий співробітник

відділу алгебри.

Офіційні опоненти:

доктор фізико-математичних наук, професор

ПЕТРАВЧУК Анатолій Петрович,

Київський національний університет

імені Тараса Шевченка, завідувач кафедри

алгебри та математичної логіки;

кандидат фізико-математичних наук

ПИЛЯВСЬКА Ольга Степанівна,

Національний університет “Києво-Могилянська

Академія”, доцент кафедри математики.

Провідна установа:

Львівський національний університет

імені Івана Франка МОН України,

кафедра алгебри і логіки, м. Львів.

Захист відбудеться “13” лютого 2007 р. о “15” год. на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.206.01 Інституту математики НАН України за адресою: 01601, м. Київ-4, вул. Терещенківська, 3.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Інституту математики НАН України.

Автореферат розісланий “11” січня 2007 р.

Учений секретар

спеціалізованої вченої ради РОМАНЮК А.С.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. В останні десятиріччя продовжує зростати інтерес до питань, які межують з теорією груп, теорією кілець та теорією кілець Лі. Зокрема, велика увага приділяється проблемам вивчення впливу на будову асоціативного кільця R його похідних структур, таких, як мультиплікативна група R*, приєднана група R° і асоційоване кільце Лі (адитивна група R+ кільця R, наділена множенням [r,s]=rs-sr). Дисертаційна робота присвячена дослідженню взаємозв’язків між властивостями приєднаної групи R° артінового кільця R, будовою цього кільця та структурою кільця Лі, асоційованого з кільцем R.

Одним із перших систематичне дослідження мультиплікативних груп провів Г. Хігман, який вивчав групи одиниць групових кілець над скінченними алгебраїчними розширеннями кільця цілих чисел. Подальший розвиток теорії груп оборотних елементів групових кілець був стимульований її застосуваннями в суміжних розділах математики: алгебраїчній K-теорії та алгебраїчній топології. Значну роль у становленні цієї теорії відіграли роботи С.Д. Бермана, С.К. Сегала, Г. Цассенхауза, Д.С. Пассмана, А.А. Бовді та інших. Одночасно з дослідженнями групових кілець інтенсивно розроблялись теорії оборотних елементів в інших класах кілець, таких, як поля та тіла (Т. Сколем, Л.К. Хуа, В.Р. Скотт, М.Ш. Хузурбазар, А.І. Ліхтман, О.Є. Залеський, Д.А. Супруненко та інші). Природно, що велика інформація про будову мультиплікативних груп тіл сприяла вивченню більш широких класів кілець. Зокрема, багато робіт було присвячено дослідженню артінових, локальних, напівдосконалих та напівлокальних кілець з заданими мультиплікативними або приєднаними групами (К.Е. Елдрідж, І. Фішер, Р. Джілмер, К. Пірсон, Д. Шнайдер, В.К. Ніколсон, Я. Стюарт, Г. Гроза, В.А. Ратінов, Ю.Б. Іщук та інші). Проте артінові кільця, приєднані групи яких задовольняють певні обмеження (наприклад, умови розв’язності), до цього часу ще недостатньо вивчені.

Не менш актуальними є задачі опису будови кільця з заданим асоційованим кільцем Лі та вивчення впливу асоційованого кільця Лі на мультиплікативну або приєднану групу. Важливість розв’язання першої задачі пов’язана, в першу чергу, з її можливими застосуваннями у теорії кілець з поліноміальними тотожностями. У цьому напрямку було одержано велику кількість результатів (С. Аміцур, І. Херстейн, М.Б. Смірнов, О.Є. Залеський, А.М. Красільніков, Р.К. Шарма, Дж.Б. Срівастава, Д. Райлі, М. Уілсон та інші). Проте ці результати стосуються, в основному, загальних властивостей асоціативних кілець. В той же час артінові кільця, асоційоване кільце Лі яких задовольняє певні умови (наприклад, умови узагальненої нільпотентності або розв’язності), досліджені досить мало.

Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертаційна робота виконана у відділі алгебри Інституту математики НАН України в рамках теми № U000527 “Теорія матричних задач як зображень маркованих колчанів і узагальнення розв’язних груп”.

Мета і завдання дослідження. Одержати структурні теореми для артінових кілець, приєднана група або асоційоване кільце Лі яких задовольняє певні обмеження, а також встановити взаємозв’язки між властивостями приєднаних груп та лієвою структурою артінових кілець.

Об’єктом дослідження є артінові кільця, їх приєднані групи та асоційовані кільця Лі. Предмет дослідження — взаємозв’язки між приєднаними групами, будовою та лієвою структурою артінових кілець.

Методи дослідження. Основні методи, які використовуються при дослідженнях, — загальні методи теорії груп і теорії кілець.

Наукова новизна одержаних результатів. Основні результати, які визначають наукову новизну і виносяться на захист, такі:

1. Одержано структурну теорему для артінових кілець з нільпотентною приєднаною групою, яка узагальнює добре відомий результат про будову комутативних артінових кілець. Знайдено умови, при яких нільпотентність приєднаної групи артінового кільця еквівалентна нільпотентності його асоційованого кільця Лі, та доведено, що при цих умовах верхні центральні ряди обох структур співпадають.

2. Встановлено властивості артінових кілець, приєднана група або асоційоване кільце Лі яких задовольняють умови слабкої нільпотентності та n-енгелевості. Доведено, зокрема, що з цих умов фактично випливає нільпотентність приєднаної групи. Досліджено взаємозв’язок між енгелевістю приєднаної групи артінових кілець та Лі-нільпотентністю кільця.

3. Отримано теорему про будову артінового кільця, комутант приєднаної групи якого нільпотентний, і, як наслідок, описано будову та лієву структуру такого кільця з метабелевою приєднаною групою.

4. Досліджено артінові кільця, приєднана група або асоційоване кільце Лі яких задовольняє умову надрозв’язності, та описано будову таких кілець. Зокрема, охарактеризовано їх лієву структуру; встановлено умови, при яких надрозв’язність приєднаної групи R° артінового кільця R еквівалентна Лі-надрозв’язності кільця R; та побудовано приклад Лі-надрозв’язного кільця, приєднана група якого не є надрозв’язною.

Практичне значення одержаних результатів. Дисертаційна робота носить теоретичний характер. Результати дисертації можуть бути використані для подальшого вивчення різних класів асоціативних кілець, їх приєднаних груп та асоційованих кілець Лі.

Особистий внесок здобувача. Всі основні результати дисертаційної роботи одержані автором самостійно.

Апробація результатів дисертації. Результати дисертації доповідалися і обговорювалися на засіданнях семінару відділу алгебри Інституту математики НАН України та алгебраїчному семінарі Київського національного університету імені Тараса Шевченка, на X та XI Міжнародних математичних конференціях імені академіка М. Кравчука (Київ, 2004 і 2006 роки), V Міжнародній алгебраїчній конференції в Україні (Одеса, 2005 р.), V Міжнародній науковій конференції “Ломоносов - 2006” (Севастополь, 2006 р.), науковій конференції пам’яті проф. С.С. Левіщенка (Київ, 2006 р.).

Публікації. Результати дисертаційної роботи опубліковані у восьми роботах [1-8], з яких три роботи надруковані в фахових виданнях з переліку, затвердженого ВАК України, та п’ять робіт — у матеріалах наукових конференцій.

Структура і обсяг роботи. Робота складається зі вступу, п’яти розділів, висновків і списку використаних джерел, який містить 81 найменування. Повний обсяг дисертації — 124 сторінки, з яких список використаних джерел займає 10 сторінок тексту.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У першому розділі проводиться огляд літератури, пов’язаної з тематикою досліджень, виконаних здобувачем.

У другому розділі вивчаються артінові кільця, приєднана група або асоційоване кільце Лі яких задовольняє умову нільпотентності. Для таких кілець одержано структурні теореми, які узагальнюють добре відомий результат про будову комутативних артінових кілець. Крім того, встановлено критерії нільпотентності приєднаної групи та Лі-нільпотентності скінченних кілець.

У підрозділі 2.1 наведено основні леми, використані у подальшому викладенні.

У підрозділі 2.2 проводиться дослідження будови та лієвої структури артінових кілець з нільпотентною приєднаною групою.

Радикал Джекобсона та центр кільця R будемо позначати через J(R) і Z(R) відповідно. Добре відомо, що кожне комутативне артінове кільце з одиницею є прямою сумою скінченного числа артінових локальних кілецьАтья М., Макдональд И. Введение в коммутативную алгебру. – М.: Мир, 1972. – 160 с. (Теорема 8.7). Наступна теорема узагальнює цей результат на довільні артінові кільця R з нільпотентною приєднаною групою R°, які породжуються множиною Z(R)+R°.

Теорема 2.1. Нехай R — артінове кільце. Приєднана група R° нільпотентна та множина Z(R)+R° породжує R як кільце тоді і тільки тоді, коли R є прямою сумою скінченного числа ідеалів, кожен з яких є або нільпотентним кільцем, або локальним кільцем з нільпотентною мультиплікативною групою.

Оскільки кожне комутативне кільце співпадає зі своїм центром, то з теореми 2.1 випливає опис будови всіх комутативних артінових кілець. Крім того, якщо R — кільце з одиницею, то приєднана група R° і мультиплікативна група R* ізоморфні. Тому сформульована вище структурна теорема буде справедлива і для артінових кілець R з одиницею, мультиплікативна група R* яких нільпотентна та породжує R як кільце.

Наслідок 2.1. Нехай R — артінове кільце з одиницею, яке породжується мультиплікативною групою R*. Тоді група R* нільпотентна в тому і тільки в тому випадку, коли R є прямою сумою скінченного числа ідеалів, кожен з яких є локальним кільцем з нільпотентною мультиплікативною групою.

Нагадаємо, що верхній центральний ряд групи G визначається в такий спосіб: Z0(G)=1 і Zn(G)={z | z є G, g є G (z,g) є Zn-1(G)} для довільного натурального n, де (z,g)=z-1g-1zg. Верхній центральний ряд кільця Лі, асоційованого з кільцем R, визначається аналогічно: Z0(R)=0 і Zn(R)={z | z є R, r є R [z,r] є Zn-1(R)} для будь-якого натурального n.

Група G називається нільпотентною ступеня n, якщо Zn(G)=G і n — найменше число з такою властивістю. Кільце R називається Лі-нільпотентним ступеня n, якщо Zn(R)=R і n — найменше число з такою властивістю.

Нехай R — асоціативне кільце з одиницею. Н. Гупта і Ф. ЛевінGuptaLevin On the Lie ideals of a ring // J. Algebra. – 1983. – Vol. 81, № . – P. . встановили, що якщо кільце R Лі-нільпотентне ступеня n, то мультиплікативна група R* нільпотентна ступеня не вище n.

Згідно з Н. ДжекобсономДжекобсон Н. Строение колец. – М.: ИЛ, 1961. – 392 с., кільце R називається радикальним, якщо R=R°. С.ДженнінгсJennings Radical rings with nilpotent associated groups // Trans. Roy. Soc. Can. Ser. – 1955. – Vol. 49, № . – P. . довів, що приєднана група R° радикального кільця R нільпотентна тоді і тільки тоді, коли кільце R Лі-нільпотентне. Він також припустив, що ступені нільпотентності кільця Лі, асоційованого з R, та групи R° співпадають, і це було підтверджено Х. ДуDu The centers of a radical ring // Canad. Math. Bull. – 1992. – Vol. 35. – P. ., який одержав такий результат: в радикальному кільці R кожен член Zn(R)(n?0) його верхнього центрального ряду співпадає з відповідним членом Zn(R°)(n?0) верхнього центрального ряду групи R°. Якщо кільце R локальне, то деякий відповідний результат було отримано Ф. Катіно і М. МікколіCatinoMiccoli Local rings whose multiplicative group is nilpotent // Arch. Math. (Basel). – 2003. – Vol. 81, № . – P. . та незалежно Б. ШтольцStolz Nilpotenzbedingungen fьr radikale und lokale Ringe. — Diplomarbeit in Mathematik. Universitдt Mainz, 2002. і формулюється таким чином: Zn(R)*=Zn(R*) для кожного n>0, де Zn(R*) позначає n-й член верхнього центрального ряду групи R*. Зокрема, мультиплікативна група R* локального кільця R нільпотентна тоді і тільки тоді, коли кільце R Лі-нільпотентне, й ступені нільпотентності обох структур співпадають.

Як встановив Г. ЛауеLaue On central chains in ring // Preprint of University of Lecce. – 1990., якщо R — асоціативне кільце, то Zn(R)°?Zn(R°) для кожного n. З іншого боку, якщо множина Z(R)+R° породжує R як кільце, то кожен елемент з R можна записати у вигляді суми деякого елементу з Z(R) та лінійної комбінації елементів із R° з цілими коефіцієнтами і, значить, Z(R)°?Z(R°). Отже, в цьому випадку маємо Z(R)°=Z(R°). Але для n?2 рівність Zn(R)°=Zn(R°) може не виконуватися. Справді, нехай R=Z[i,j,k] — кільце кватерніонів з цілими коефіцієнтами. Тоді i-1,j-1,k-1 є R° і тому множина Z(R)+R° породжує R як кільце. Проте легко перевірити, що i-1 є Z2(R°), тоді як i-1 Z2(R).

В зв’язку з наведеними вище результатами можна сформулювати таке запитання. Нехай R — артінове кільце з нільпотентною приєднаною групою R°, яке породжується множиною Z(R)+R°. Чи виконується рівність Zn(R)°=Zn(R°) для кожного n?0?

Якщо R° абелева і R породжується множиною Z(R)+R°, то R комутативне, тобто Лі-нільпотентне ступеня 1. За аналогією можна припустити, що якщо R° нільпотентна ступеня n, а R породжується множиною Z(R)+R°, то R Лі-нільпотентне ступеня n. Нехай R — артінове кільце, яке породжується множиною Z(R)+R°. Чи буде група R° нільпотентна ступеня n тоді і тільки тоді, коли кільце R Лі-нільпотентне ступеня n?

Із теореми 2.1 виводяться наступні два твердження, які дають відповідь на поставлені вище питання.

Теорема 2.2. Нехай R — артінове кільце. Якщо приєднана група R° нільпотентна і множина Z(R)+R° породжує R як кільце, то:

1) для всіх n?0 виконується рівність Zn(R)°=Zn(R°);

2) кожен ідемпотент кільця R лежить в центрі.

Теорема 2.3. Нехай R — артінове кільце, яке породжується множиною Z(R)+R°. Тоді приєднана група R° нільпотентна в тому і тільки в тому випадку, коли кільце R° Лі-нільпотентне, причому ступені нільпотентності обох структур співпадають.

У підрозділі 2.3 вивчається структура Лі-нільпотентних артінових кілець.

Із теорем 2.3 та 2.1 випливає опис Лі-нільпотентних артінових кілець, які породжуються множиною Z(R)+R°. Наступне твердження характеризує довільні Лі-нільпотентні артінові кільця.

Теорема 2.4. Нехай R — артінове кільце. Кільце R Лі-нільпотентне тоді і тільки тоді, коли R є прямою сумою скінченного числа ідеалів, кожен з яких є або нільпотентним кільцем, або Лі-нільпотентним локальним кільцем.

В підрозділі 2.4 досліджується будова скінченних кілець, приєднана група або асоційоване кільце Лі яких задовольняє умову нільпотентності.

Згідно з теоремою 2.1 довільне скінченне кільце R з нільпотентною приєднаною групою R°, яке породжується множиною Z(R)+R°, є прямою сумою ідеалів, кожен з яких є або нільпотентним кільцем, або локальним кільцем з нільпотентною мультиплікативною групою. Проте, як виявляється, у випадку скінченних кілець можна також дати іншу характеризацію їх будови.

Визначимо ідеал L як найбільший ідеал кільця R, такий, що фактор-кільце L/J(R) розкладається в пряму суму полів із двох елементів, якщо такий розклад існує, і L=J(R) у противному разі.

Теорема 2.7. Приєднана група R° скінченного кільця R тоді і тільки тоді нільпотентна, коли R=Z(R)+L.

Критерій Лі-нільпотентності скінченних кілець має такий вигляд.

Теорема 2.8. Скінченне кільце R тоді і тільки тоді Лі-нільпотентне, коли R=Z(R)+J(R).

В зв’язку з отриманими теоремами про будову скінченних кілець виникає цікаве питання. Чи будуть мати місце розклади, вказані в теоремах 2.7 і 2.8, у випадку довільних артінових кілець? А саме, чи можна довільне артінове кільце R з нільпотентною приєднаною групою R° записати у вигляді R=Z(R)+L та чи завжди можна представити довільне Лі-нільпотентне артінове кільце у вигляді суми його центра та радикала Джекобсона?

Виявляється, що відповідь на ці запитання в загальному випадку негативна і це пов’язано з можливістю існування нетривіальних диференціювань в полях, які входять в розклад фактор-кільця R/J(R). Нагадаємо, що відображення d кільця R в себе називається диференціюванням, якщо d(x+y)=d(x)+d(y) і d(xy)=d(x)y+xd(y) для будь-яких x,y є R. Досить легко побудувати поле з нетривіальним диференціюванням. Наприклад, добре відомо, що поле раціональних чисел Q має лише нульове диференціювання, проте в полі раціональних функцій Q(x) вже існує нетривіальне диференціювання, яке співпадає зі звичайним диференціюванням функції однієї змінної.

Приклад 2.2. Існує локальне артінове Лі-нільпотентне кільце R, яке породжується приєднаною групою R° і яке не можна записати у вигляді R=Z(R)+J(R).

В третьому розділі досліджуються артінові кільця, приєднана група або асоційоване кільце Лі яких задовольняє деякі умови, що узагальнюють поняття нільпотентності. Серед таких умов розглянуто найбільш відомі, а саме: слабка нільпотентність і n-енгелевість — та доведено, що у випадку артінових кілець з цих умов фактично випливає нільпотентність приєднаної групи. Аналогічний результат одержано і для кілець Лі, асоційованих з артіновими кільцями.

У підрозділі 3.1 розглядаються артінові кільця з енгелевою приєднаною групою.

Група, в якій кожні два елементи породжують нільпотентну підгрупу, називається слабко нільпотентною. Визначимо для довільного натурального n комутатор вигляду (r,ns)=(r,s,…,s), де s повторюється n разів. Група G називається n-енгелевою, якщо (r,ns)=1 для кожної пари елементів r і s з G. Якщо ж останнє співвідношення виконується для будь-яких елементів r і s при деякому n, що залежить від цих елементів, то група називається енгелевою.

Добре відомий приклад Є.С. ГолодаГолод Е.С. Некоторые проблемы Бернсайдовского типа // Матер. Межд. Матем. Конг. – М., 1966. – С. . показує, що існують слабко нільпотентні групи, які не є локально нільпотентними. В той же час невідомо чи співпадають класи слабко нільпотентних і енгелевих груп. Ряд авторів вивчали умови, при яких енгелева група обов’язково локально нільпотентна чи навіть нільпотентна. Однією з таких умов є умова мінімальності для підгруп (В.Г. ВіляцерВиляцер В.Г. К теории локально нильпотентных групп // Успехи мат. наук. – 1958. – Т. 13, № . – С. 163-168.). Крім цього, теорема ЦорнаZorn Nilpotency of finite groups // Bull. Amer. Math. Soc. – 1936. – Vol. 42. – P. 485., яка є одним із найперших результатів теорії енгелевих груп, говорить, що кожна скінченна енгелева група нільпотентна.

За аналогією з групами можна припустити, що якщо кільце задовольняє умову мінімальності для правих або лівих ідеалів, то з енгелевості приєднаної групи буде випливати її локальна нільпотентність або навіть нільпотентність. В зв’язку з цим необхідно відмітити, що із виконання у кільці умови мінімальності для правих або лівих ідеалів не випливає, що приєднана група задовольняє умову мінімальності для підгруп.

Теорема 3.1. Нехай R — артінове кільце та J(R) — радикал Джекобсона кільця R. Якщо приєднана група R° енгелева і фактор-кільце R/J(R) комутативне, то R° нільпотентна.

Зауважимо, що питання про комутативність фактор-кільця R/J(R) зводиться до питання про комутативність тіла з енгелевою мультиплікативною групою, яке на даний час є відкритим. Проте якщо приєднана група R° слабко нільпотентна або n-енгелева, то фактор-кільце R/J(R) комутативне і, отже, з теореми 3.1 випливає таке твердження.

Наслідок 3.1. Нехай R — артінове кільце. Якщо приєднана група R° слабко нільпотентна або n-енгелева для деякого натурального n, то вона нільпотентна.

В підрозділі 3.2 вивчаються властивості артінових кілець, асоційоване кільце Лі яких енгелеве.

Для елементів r1,…,rn+1 є R Лі-комутатор [r1,…,rn+1] визначається за індукцією [r1,…,rn+1]=[[r1,…,rn],rn+1] для кожного натурального n?2. Нагадаємо, що кільце R називається енгелевим, якщо [r,s,…,s]=0 для кожної пари елементів r і s з R, та n-енгелевим, якщо s повторюється точно n разів. Також визначимо слабко Лі-нільпотентні кільця, тобто кільця, в яких кожні два елемента породжують Лі-нільпотентне підкільце.

За аналогією з теоремою 3.1 можна припустити, що якщо артінове кільце R задовольняє умові енгелевості та фактор-кільце R/J(R) комутативне, то R Лі-нільпотентне. Більше того, як виявляється, в цьому випадку кільце R Лі-нільпотентне в сильнішому розумінні, а саме: нехай г1(R)=R і гi+1(R) — ідеал, породжений множиною [гi(R),R], для кожного натурального i?1. Кільце R називається строго Лі-нільпотентним, якщо гn(R)=0 для деякого n. Очевидно, якщо кільце строго Лі-нільпотентне, то воно і Лі-нільпотентне, але протилежне твердження не завжди має місце, як показує приклад, побудований в роботі Н. Гупти і Ф. Левіна (див. с. 5).

Теорема 3.2. Нехай R — артінове кільце та J(R) — радикал Джекобсона кільця R. Якщо R енгелеве і фактор-кільце R/J(R) комутативне, то R строго Лі-нільпотентне.

За допомогою цієї теореми одержуємо наслідок.

Наслідок 3.2. Нехай R — артінове кільце. Якщо кільце R слабко Лі-нільпотентне або n-енгелеве для деякого натурального n, то воно строго Лі-нільпотентне.

У четвертому розділі вивчаються артінові кільця, приєднана група яких має нільпотентний комутант. Для таких кілець одержано структурну теорему, з якої, зокрема, випливає опис будови артінових кілець з метабелевою та надрозв’язною приєднаними групами. Крім того, отримано теореми, які характеризують лієву структуру артінових кілець з метабелевою приєднаною групою.

У підрозділі 4.1 вивчається будова артінових кілець, приєднана група яких має нільпотентний комутант.

Ряд комутантів групи G визначається за індукцією: д0(G)=G і дn+1(G)=(дn(G), дn(G)) для кожного цілого n?0. Група G називається розв’язною ступеня m?1, якщо дm(G)=1 і дm-1(G)?1. Розв’язні групи ступеня не більшого ніж 2 називаються метабелевими. Група називається надрозв’язною, якщо вона має скінченний нормальний ряд з циклічними факторами.

Як відомо, взаємозв’язок між розв’язністю приєднаної групи R° та структурою кільця R описується дуже просто, а саме: R° розв’язна тоді і тільки тоді, коли групи (R/J(R))° і J(R)° розв’язні. Оскільки радикал Джекобсона J(R) артінового кільця R нільпотентний, то у випадку артінових кілець для характеризації цього взаємозв’язку достатньо визначити умови, при яких приєднана група фактор-кільця R/J(R) розв’язна. Це і було зроблено К.Е. ЕлдріджемEldridge On Rings Structures Determined by Groups // Proc. Amer. Math. Soc. – 1969. – Vol. 23, № . – P. 472-477., який встановив, що приєднана група R° напівпростого артінового кільця R тоді і тільки тоді розв’язна, коли R розкладається в пряму суму ідеалів, кожен з яких є або полем, або кільцем квадратних матриць порядку 2 над полем із двох чи трьох елементів.

Проте слід зазначити, що коли приєднана група артінового кільця належить до одного з більш вузьких класів розв’язних груп (наприклад, коли вона метабелева), ситуація зовсім інша. В цьому випадку, по-перше, J(R)° не обов’язково метабелева, а, по-друге, з метабелевості груп (R/J(R))° і J(R)° не випливає метабелевість групи R°. Таким чином, виникає питання про характеризацію будови артінових кілець, приєднана група яких задовольняє, наприклад, умову метабелевості або надрозв’язності. В даному підрозділі доведено структурну теорему для артінових кілець, приєднана група яких має нільпотентний комутант.

Визначимо ідеал T як найбільший ідеал кільця R, такий, що фактор-кільце T/J(R) розкладається в пряму суму полів, якщо такий розклад існує, і T=J(R) в противному разі. Кільце квадратних матриць порядку 2 над полем із двох елементів позначимо через M2(F2).

Теорема 4.1. Нехай R — артінове кільце. Комутант приєднаної групи R° тоді і тільки тоді нільпотентний, коли R=ST, де S=0 або S=M2(F2)…M2(F2).

З цієї теореми випливає важливий наслідок.

Наслідок 4.1. Приєднана група R° артінового кільця R метабелева (надрозв’язна) тоді і тільки тоді, коли група R° метабелева (надрозв’язна) і R=ST, де S=0 або S=M2(F2)…M2(F2).

В підрозділі 4.2 досліджується лієва структура артінових кілець з метабелевою приєднаною групою.

Ряд комутантів кільця Лі, асоційованого з R, визначається наступним чином: д0(R)=0 і дn+1(R)=[дn(R),дn(R)] для кожного цілого n?0. Кільце R називається Лі-розв’язним ступеня m?1, якщо дm(R)=0 і дm-1(R)?0. Лі-розв’язні кільця ступеня не більшого ніж 2 називаються Лі-метабелевими.

Як встановили А.М. КрасільніковКрасильников А. Н. О группе единиц кольца, присоединенное кольцо Ли которого метабелево // Успехи мат. наук. – 1992. – Т. 47. – С. . та незалежно від нього Р.К. Шарма і Дж.Б. СріваставаSharmaSrivastava Lie centrally metabelian group rings // J. Algebra. – 1992. – Vol. 151. – P. ., приєднана група кожного Лі-метабелевого кільця метабелева. Для кілець, адитивна група яких не містить 2-скруту (тобто таких кілець R, в яких із 2x=0 випливає x=0 для будь-якого x є R), цей результат був також доведений М.Б. СмірновимСмирнов М. Б. О группе единиц ассоциативного кольца, удовлетворяющего тождеству лиевой разрешимости // Весці АН БССР, сер. фіз.-мат. навук. – 1983. – № . – С. 20-23.. Обернена задача опису лієвої структури кільця з метабелевою приєднаною групою розглядалась у роботі А.М. Красільнікова, який показав, що якщо приєднана група R° ніль-кільця R метабелева, то R Лі-метабелеве. Аналогічне твердження для радикальних і локальних кілець було доведено Б. Амбергом і Я.П. СисакомAmbergSysak Associative rings with metabelian adjoint group // J. Algebra. – 2004. – Vol. 277. – P. .. Крім цього, із результатів останньої роботи випливає такий результат. Якщо R — артінове кільце з одиницею, фактор-кільце R/J(R) комутативне та мультиплікативна група R* метабелева і породжує R як кільце, то R Лі-метабелеве. В цій ситуації природно виникає таке запитання. Чи буде справедливе аналогічне твердження для приєднаної групи у випадку, коли R — кільце без одиниці?

Зауважимо, що в цьому випадку стандартна процедура приєднання кільця цілих чисел, застосована до кільця R, не приводить знову до артінового кільця, і тому наступна теорема не є наслідком вказаного вище результату.

Теорема 4.3. Нехай R — артінове кільце, приєднана група R° якого метабелева, і нехай J(R) — радикал Джекобсона кільця R. Якщо R° породжує R як кільце та фактор-кільце R/J(R) комутативне, то R Лі-метабелеве.

В зв’язку з цією теоремою необхідно зазначити, що навіть якщо група R° метабелева, то фактор-кільце R/J(R) не обов’язково є комутативним і R не обов’язково породжується своєю приєднаною групою (відповідними прикладами є кільце квадратних матриць порядку 2 над полем із двох елементів і кільце верхньотрикутних матриць порядку 2 над полем із двох елементів). Тому виникає питання про те, яку лієву структуру буде мати довільне артінове кільце, приєднана група якого метабелева.

Теорема 4.4. Нехай R — артінове кільце. Якщо приєднана група R° метабелева, то R Лі-розв’язне ступеня не більшого ніж 3.

В п’ятому розділі проводиться дослідження артінових кілець, приєднана група або асоційоване кільце Лі яких задовольняє умову надрозв’язності. Отримано теореми, які описують будову таких кілець, а також встановлено умови, при яких надрозв’язність приєднаної групи R° артінового кільця R еквівалентна Лі-надрозв’язності кільця R.

В підрозділі 5.1 характеризується будова артінових кілець з надрозв’язною приєднаною групою.

Згідно з результатом К.Е. Елдріджа (див. с. 10) артінове кільце, приєднана група якого скінченно породжена та розв’язна, є скінченним. Тому у подальшому викладенні скрізь, де йде мова про артінові кільця з надрозв’язною приєднаною групою, ми будемо говорити тільки про скінченні кільця.

Як випливає з наслідку 4.1, будь-яке скінченне кільце з надрозв’язною приєднаною групою можна записати у вигляді R=ST, де S=0 або S=M2(F2)…M2(F2), а фактор-кільце T/J(T) комутативне. Наступна теорема доповнює цей результат, уточнюючи структуру другого ідеалу.

Теорема 5.1. Нехай R — скінченне кільце, в якому фактор-кільце R/J(R) комутативне. Якщо приєднана група R° надрозв’язна, то R розкладається в пряму суму ідеалів Ri, кожен з яких є кільцем одного з таких типів:

1) Ri — нільпотентне кільце;

2) фактор-кільце Ri/J(Ri) — пряма сума полів одного і того ж простого порядку;

3) Ri — локальне кільце, в якому Ri=Z(Ri)+J(Ri) та фактор-кільце Ri/J(Ri) є полем, відмінним від свого простого підполя.

У підрозділі 5.2 вивчаються взаємозв’язки між надрозв’язністю приєднаної групи R° скінченного кільця R та надрозв’язністю кільця Лі, асоційованого з R.

О.Є. Залеський та М.Б. СмірновZalesskii A.E., Smirnov Lie algebra associated with linear group // Comm. Algebra. – 1981. – Vol. 20, № . – P. . встановили, що якщо кільце R з одиницею нульової характеристики (тобто в його адитивній групі немає елементів скінченного порядку) розв’язне як кільце Лі, то його група одиниць також розв’язна. Проте в загальній ситуації це твердження невірне. Наприклад, кільце R всіх (2Ч2) -матриць над полем F, де F — поле раціональних функцій над полем із двох елементів, задовольняє тотожність [[R,R],[R,R],R]=0, тоді як мультиплікативна група R* містить неабелеву вільну підгрупу і, отже, не є розв’язною. З іншого боку, Б. Амберг та Я.П. СисакAmbergSysak Radical rings with soluble adjoint group // J. Algebra. – 2002. – Vol. 247. – P. . довели, що кожне радикальне кільце з розв’язною приєднаною групою повинне бути Лі-розв’язним. Крім того, зважаючи на результат А.М. Красільнікова, приєднана група кожного Лі-метабелевого кільця метабелева. Зазначимо також, що, згідно з теоремою 4.3, якщо R — артінове кільце, приєднана група R° якого метабелева і породжує R як кільце, та фактор-кільце R/J(R) комутативне, то R Лі-метабелеве.

Адитивна підгрупа V кільця R називається Лі-ідеалом, якщо [V,R]R. Нагадаємо, що за аналогією з групами визначаються Лі-надрозв’язні кільця. А саме, кільце називається Лі-надрозв’язним, якщо в ньому існує скінченний ряд Лі-ідеалів з циклічними секціями.

Виходячи з наведених вище результатів, можна поставити питання про те, який взаємозв’язок існує між Лі-надрозв’язністю асоціативного кільця та надрозв’язністю його приєднаної групи. Як виявляється, надрозв’язність у певному розумінні ближча до розв’язності, ніж до метабелевості. Зокрема, наступний приклад показує, що з Лі-надрозв’язності кільця не випливає надрозв’язність його приєднаної групи.

Приклад 5.1. Існує скінченне локальне Лі-надрозв’язне кільце, приєднана група якого не є надрозв’язною.

Із наступного твердження випливає, що при певних умовах у скінченному кільці умова надрозв’язності для приєднаної групи та асоційованого кільця Лі виконується автоматично.

Теорема 5.2. Нехай R — скінченне кільце. Якщо фактор-кільце R/J(R) розкладається в пряму суму полів простих порядків, то виконуються наступні умови:

1) приєднана група R° надрозв’язна;

2) кільце R Лі-надрозв’язне;

3) в R існує скінченний ряд ідеалів з циклічними факторами.

Тепер розглянемо більш детально випадок, коли фактор-кільце R/J(R) містить хоча б одне поле, яке не співпадає зі своїм простим підполем.

Теорема 5.3. Нехай R — скінченне кільце. Якщо фактор-кільце R/J(R) розкладається в пряму суму полів, кожне з яких відмінне від свого простого підполя, то наступні умови рівносильні:

1) приєднана група R° надрозв’язна;

2) приєднана група R° нільпотентна;

3) кільце R Лі-нільпотентне.

Підрозділ 5.3 присвячено вивченню структури Лі-надрозв’язних артінових кілець.

Спочатку з’ясуємо будову Лі-надрозв’язних напівпростих артінових кілець.

Лема 5.2. Повне матричне кільце Mn(D) над тілом D тоді і тільки тоді Лі-надрозв’язне, коли або n=1 і D — скінченне поле, або n=2 і D — поле з двох елементів.

Таким чином, будь-яке Лі-надрозв’язне напівпросте артінове кільце є прямою сумою ідеалів, кожен з яких є або скінченним полем, або кільцем квадратних матриць порядку 2 над полем із двох елементів.

Згідно з наслідком 4.1 будь-яке скінченне кільце з надрозв’язною приєднаною групою можна записати у вигляді R=ST, де S=0 або S=M2(F2)…M2(F2), а фактор-кільце T/J(T) комутативне. Як виходить із леми 5.2, ідеал S є Лі-надрозв’язним кільцем, а із теорем 5.1, 5.2 та 5.3 одразу ж випливає, що й ідеал T також є Лі-надрозв’язним кільцем. Таким чином, має місце таке твердження.

Наслідок 5.1. Нехай R — скінченне кільце. Якщо приєднана група R° надрозв’язна, то R Лі-надрозв’язне.

Як показує наведене вище твердження, ситуація із надрозв’язністю є в певному сенсі унікальною. Згідно з результатами розділів 2 і 4 у загальному випадку із нільпотентності (відповідно метабелевості) приєднаної групи R° артінового кільця R не випливає нільпотентність (відповідно метабелевість) кільця Лі, асоційованого з R. Крім цього, зважаючи на результат К.Е. Елдріджа, фактор-кільце R/J(R) артінового кільця R із розв’язною приєднаною групою розкладається в пряму суму ідеалів, кожен з яких є або полем, або кільцем квадратних матриць порядку 2 над полем із двох чи трьох елементів. Проте кільце M2(F3) не є Лі-розв’язним, і тому артінове кільце з розв’язною приєднаною групою не обов’язково Лі-розв’язне.

Наступна теорема є аналогом теореми 5.1 і характеризує структуру Лі-надрозв’язних скінченних кілець, фактор-кільце яких за модулем радикала Джекобсона комутативне.

Теорема 5.4. Нехай R — скінченне кільце, в якому фактор-кільце R/J(R) комутативне. Якщо R Лі-надрозв’язне, то R розкладається в пряму суму ідеалів Ri, кожен з яких є кільцем одного з наступних типів:

1) Ri — нільпотентне кільце;

2) фактор-кільце Ri/J(Ri) — пряма сума полів одного і того ж простого порядку;

3) Ri — локальне кільце, в якому фактор-кільце Ri/J(Ri) є полем, відмінним від свого простого підполя.

ВИСНОВКИ

Дисертація присвячена дослідженню артінових кілець, приєднана група або асоційоване кільце Лі яких задовольняє певні обмеження, та вивченню взаємозв’язків між властивостями приєднаних груп артінових кілець та їх лієвою структурою. Основні результати дисертаційної роботи можна підсумувати таким чином:

1. Одержано структурну теорему для артінових кілець з нільпотентною приєднаною групою, яка узагальнює добре відомий результат про будову комутативних артінових кілець. Знайдено умови, при яких нільпотентність приєднаної групи артінового кільця еквівалентна нільпотентності його асоційованого кільця Лі, та доведено, що при цих умовах верхні центральні ряди обох структур співпадають.

2. Встановлено властивості артінових кілець, приєднана група або асоційоване кільце Лі яких задовольняють умови слабкої нільпотентності та n-енгелевості. Доведено, зокрема, що з цих умов фактично випливає нільпотентність приєднаної групи. Досліджено взаємозв’язок між енгелевістю приєднаної групи артінових кілець та Лі-нільпотентністю кільця.

3. Отримано теорему про будову артінового кільця, комутант приєднаної групи якого нільпотентний, і, як наслідок, описано будову та лієву структуру такого кільця з метабелевою приєднаною групою.

4. Досліджено артінові кільця, приєднана група або асоційоване кільце Лі яких задовольняє умову надрозв’язності, та описано будову таких кілець. Зокрема, охарактеризовано їх лієву структуру; встановлено умови, при яких надрозв’язність приєднаної групи R° артінового кільця R еквівалентна Лі-надрозв’язності кільця R; та побудовано приклад Лі-надрозв’язного кільця, приєднана група якого не є надрозв’язною.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

[1] Евстафьев Р.Ю. Артиновы кольца с нильпотентной присоединенной группой // Укр. мат. журн. – 2006. – Т. 58, № . – С. .

[2] Євстаф’єв Р.Ю. Артінові кільця з метабелевою приєднаною групою // Доп. НАН України. – 2006. – № . – С. 30-33.

[3] Евстафьев Р.Ю. Об артиновых кольцах, удовлетворяющих условиям энгелевости // Укр. мат. журн. – 2006. – Т. 58, № . – С. .

[4] Евстафьев Р.Ю. Конечные кольца с нильпотентной присоединенной группой // Матеріали десятої міжнародної наукової конференції ім. акад. М. Кравчука (Київ, 13-15 травня 2004 р.). – К.: Нац. техн. ун-т України “КПІ”, 2004. – С. 374.

[5] Yevstafev Artinian rings whose adjoint group is nilpotent // 5th International Algebraic Conference in Ukraine (Odessa, July 20-27, 2005). – Odessa.: Odessa I.I. Mechnikov National University, 2005. – P. 236.

[6] Евстафьев Р.Ю. Артиновы кольца, присоединенная группа которых метабелева // Материалы пятой научной конференции “Ломоносовские чтения” (Севастополь, 4-5 мая 2006 г.). – Севастополь.: Черноморский филиал МГУ им. М.В. Ломоносова, 2006. – С. 400.

[7] Евстафьев Р.Ю. Артиновы кольца, присоединенная группа которых сверхразрешима // Матеріали одинадцятої міжнародної наукової конференції ім. акад. М. Кравчука (Київ, 18-20 травня 2006 р.). – К.: Нац. техн. ун-т України “КПІ”, 2006. – С. 421.

[8] Евстафьев Р.Ю. Артиновы кольца со сверхразрешимой присоединенной группой // Матеріали наукової конференції пам’яті проф. С.С. Левіщенка (Київ, 7 жовтня 2006 р.). – К.: Нац. пед. ун-т ім. М.П. Драгоманова, 2006. – С. 37-38.

АНОТАЦІЇ

ЄВСТАФ’ЄВ Р.Ю. Приєднані групи, будова та лієва структура артінових кілець. — Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук зі спеціальності 01.01.06 – алгебра і теорія чисел. – Інститут математики НАН України, Київ, 2006.

Досліджуються артінові кільця, приєднана група або асоційоване кільце Лі яких задовольняє умови нільпотентності, енгелевості, метабелевості та надрозв’язності.

Отримано структурну теорему для артінових кілець з нільпотентною приєднаною групою. Встановлено, що зі слабкої нільпотентності або n-енгелевості приєднаної групи артінових кілець фактично випливає її нільпотентність. Описано будову артінових кілець, приєднана група яких має нільпотентний комутант. Доведено, що артінове кільце з надрозв’язною приєднаною групою є Лі-надрозв’язним. Побудовано приклад Лі-надрозв’язного кільця, приєднана група якого не є надрозв’язною.

Ключові слова: артінове кільце, приєднана група, асоційоване кільце Лі, нільпотентна група, слабко нільпотентна група, n-енгелева група, надрозв’язна група, Лі-надрозв’язне кільце.

ЕВСТАФЬЕВ Р.Ю. Присоединенные группы, строение и лиева структура артиновых колец. — Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.06 – алгебра и теория чисел. – Институт математики НАН Украины, Киев, 2006.

Исследуются артиновы кольца, присоединенная группа или ассоциированное кольцо Ли которых удовлетворяет условиям нильпотентности, энгелевости, метабелевости и сверхразрешимости.

Получена структурная теорема для артиновых колец с нильпотентной присоединенной группой. Найдены условия, при которых верхний центральный ряд присоединенной группы артинова кольца совпадает с верхним центральным рядом ассоциированного кольца Ли. Изучена взаимосвязь между нильпотентностью присоединенной группы и нильпотентностью ассоциированного кольца Ли артиновых колец. Установлены критерии нильпотентности присоединенной группы и Ли-нильпотентности конечных колец.

Доказано, что из слабой нильпотентности или n-энгелевости присоединенной группы артинова кольца фактически вытекает ее нильпотентность. Также найдены условия, при которых энгелева присоединенная группа артинова кольца нильпотентна. Исследована взаимосвязь между энгелевостью присоединенной группы артиновых колец и Ли-нильпотентностью кольца.

Описано строение артиновых колец, присоединенная группа которых имеет нильпотентный коммутант. Получены теоремы, которые характеризуют лиеву структуру артиновых колец с метабелевой присоединенной группой.

Найдены условия, при которых сверхразрешимость присоединенной группы артинова кольца эквивалентна Ли-сверхразрешимости кольца. Доказано, что артиново кольцо со сверхразрешимой присоединенной группой Ли-сверхразрешимо. Построено пример Ли-сверхразрешимого кольца, присоединенная группа которого не является сверхразрешимой.

Ключевые слова: артиново кольцо, присоединенная группа, ассоциированное кольцо Ли, нильпотентная группа, слабо нильпотентная группа, n-энгелева группа, сверхразрешимая группа, Ли-сверхразрешимое кольцо.

IEVSTAFIEVAdjoint groups, construction and Lie structure of artinian rings. — Manuscript.

Thesis for the degree of candidate of