ЛЬВІВСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

ІМЕНІ ІВАНА ФРАНКА

Кулій Тарас Володимирович

УДК 538.1:539.213

СПІНОВІ ФЛЮКТУАЦІЇ В НЕВПОРЯДКОВАНИХ

ФЕРОМАГНЕТИКАХ

01.04.02 Теоретична фізика

Автореферат дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізикоматематичних наук

ЛЬВІВ 1999

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана на кафедрі теоретичної фізики Львівського державного університету імені Івана Франка.

Науковий керівник: доктор фізико-математичних наук, професор

Вакарчук Іван Олександрович

(Львівський державний університет імені Івана Франка, ректор)

Офіційні опоненти:

доктор фізико-математичних наук, Головач Юрій Васильович,

старший науковий співробітник Інституту фізики конденсованих систем НАН України

кандидат фізико-математичних наук, Бугрій Анатолій Іванович,

старший науковий співробітник Інституту теоретичної фізики ім. М. М. Боголюбова НАН України

Провідна установа:

Чернівецький державний університет імені Юрія Федьковича, кафедра теоретичної фізики. Міністерство освіти України. Чернівці.

Захист відбудеться " 24 " березня1999 р. о 15 годині 30 хв. на засіданні спеціалізованої Вченої Ради Д 35.051.09 при Львівському державному університеті імені Івана Франка за адресою: 290005, м.Львів, вул. Драгоманова 50, аудиторія 1, фізичний факультет.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Львівського державного університету імені Івана Франка (м.Львів, вул. Драгоманова 5).

Автореферат розіслано 22 лютого 1999 р.

Вчений секретар

cпеціалізованої вченої ради Блажиєвський Л. Ф.

Загальна характеристика роботи

Актуальність теми. Невпорядковані магнітні матеріали віддавна широко використовують в найрозмаїтіших технічних пристроях. Варто згадати хоча б, що саме невпорядковані феромагнетики залишаються в наш час головним матеріалом для виготовлення пристроїв пам'яті комп'ютерів, для запису і збереження зображення та звуку в радіоелектротехніці. Саме це привернуло значну увагу дослідників, як експериментаторів так і теоретиків, до вивчення властивостей невпорядкованих магнітних систем.

Експериментальні дослідження сплавів заміщення, аморфних, дрібнодисперсних та рідких магнетиків, а також інших магнітних систем з неоднорідним розподілом параметрів виявили, що невпорядковані магнітні матеріали мають ряд цікавих властивостей не притаманних впорядкованим магнітним системам. Одними з найцікавіших явищ, що з'являється в аморфних магнітних системах є фаза спінового скла та прохідна намагнічуваність, що привертають в останні роки значну увагу як експериментаторів так і теоретиків.

В той час як експериментатори здобули значні успіхи в дослідженні невпорядкованих магнітних матеріалів, теоретичні досліження таких систем зіткнулися зі значними математичними труднощами. В теорії магнітних властивостей сплавів і аморфних магнетиків можна виділити кілька проблем.

Перша з них стосується вибору математичної моделі. Хоча більшість невпорядкованих магнітних сполук є добрими провідниками, для опису їх магнітних властивостей часто використовують моделі локалізавнаних магнітних моментів. Це пов'язано з одного боку з тим, що модель фермірідини та модель Габбарда, які найчастіше використовують для опису магнетизму колективних електронів, є більш складними з математичної точки зору, а з другого боку відомо, що саме Гайзенберґова модель магнетика дає задовільне пояснення магнітних структур і спектру магнонних збуджень магнетиків, як діелектриків, так і провідників.

Інша проблема теоретичного опису невпорядкованих магнетиків пов'язана з врахуванням різних типів безладу. Адже відомо, що навіть у випадку ідеального кристалу точно можна врахувати лише одно та двомагнонні збудження. Найпростішим прикладом невпорядкованої магнітної системи є сплав заміщення, який зберігає кристалічну структуру, але при цьому частина магнітних атомів у вузлах кристалічної ґратки заміщена немагнітними. У випадку аморфного магнетика ми змушені відмовитися від зручної кристалічної ґратки і вводити замість неї в теорію функції розподілу, що ще більше ускладнює теоретичні розрахунки.

Зауважимо, що неоднорідність просторового розподілу магнітних атомів приводить до флюктуацій намагніченності, які в значній мірі зумовлюють специфічну поведінку невпорядкованих магнітних матеріалів. Коректне врахування цих флюктуацій є складною математичною задачею. У випадку Гайзенберґового магнетика флюктуації намагніченості зручно розбити на дві частини, одна з яких враховує лише неоднорідність розподілу магнітних атомів, нехтуючи відмінностями середніх значень магнітних моментів різних атомів, а інша враховує власне флюктуації середнього значення моменту магнітних атомів. Більшість робіт з теорії невпорядкованого Гайзенберґового магнетика враховують лише першу частину флюктуацій намагніченості, в той час як другою частиною нехтують, припускаючи, що її врахування не може значно змінити отримані результати. Проте, нам не відомо про жодні розрахунки флюктуацій середніх магнітних моментів атомів, які б обґрунтовували таке припущення. Більше того, в експериментальних дослідженнях було виявлено деякі цікаві властивості невпорядкованих феромагнетиків, які не можна було пояснити без врахування цих флюктуацій. Зокрема було показано, що саме врахування цих флюктуацій дає змогу пояснити аномальну поведінку константи спінхвильової жорсткості в аморфних феромагнетиках. Проте, робіт, де були б проведені теоретичні розрахунки цих флюктуацій з перших принципів, наскільки ми знаємо, нема, переважно їх моделювали, як деякі функції температури і зовнішнього поля.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертаційна робота виконана у Львівському державному університеті імені Івана Франка згідно планів робіт за держбюджетними темами Фф396Б ``Дослідження структури та встановлення закономірностей і термодинамічних властивостей в багатокомпонентних металічних аморфних системах", Фф579Д ``Розрахунок енерґетичних спектрів електронних, коливних та магнітних збуджень в невпорядкованих тілах", Фф086Б ``Дослідження динамічних і термодинамічних властивостей багатокомпонентних металічних систем" та Фф289Б ``Структура і термодинамічні властивості конденсованих систем з різними типами невпорядкованості (аморфні тіла, кристали з домішками, плазмоподібні фермісистеми)".

Мета і задачі дослідження. Головною метою дисертаційної роботи є розрахунок середніх квадратичних флюктуацій намагніченості невпорядкованого Гайзенберґового феромагнетика для різних типів безладу та дослідження їхнього впливу на спектр елементарних збуджень, динамічні та термодинамічні властивості розведених та аморфних феромагнетиків.

Зокрема в роботі розв'язані завдання:

розроблена схема розрахунку спінових флюктуацій в розведеному Гайзенберґовому феромагнетику;

досліджений вплив спінових флюктуацій на спектр спінових хвиль у розведеній спіновій системі;

отримані рівняння для намагніченісті і спінових флюктуацій у розведеному феромагнетику при малій концентрації немагнітних домішок;

вивчена низькотемпературна поведінка намагніченості та спінових флюктуацій у розведеному феромагнетику;

розроблена схема розрахунку флюктуацій намагніченості в аморфному феромагнетику;

досліджений вплив флюктуацій намагніченості на енерґію і загасання магнонів в аморфному феромагнетику;

отримане рівняння для спінових флюктуацій в аморфній системі;

вивчена низькотемпературна асимптотика намагніченості та спінових флюктуацій у Гайзенберґовому аморфному феромагнетику.

Наукова новизна одержаних результатів. В дисертаційній роботі вперше одержано методом двочасових температурних функцій Ґріна в межах наближення Тяблікова систему рівнянь для намагніченості та квадратичних спінових флюктуацій для розведеного Гайзенберґового феромагнетика. Показано, що ця система є самоузгодженою при малій концентрації немагнітних домішок і, також, у запропонованому Канейоші наближенні найпростішого розчеплення.

На основі отриманих рівнянь вперше показано, що квадратичні спінові флюктуації є пропорційними до квадрата концентрації немагнітних домішок і в низькотемпературній границі є пропорційними до . Отримана залежність спінових флюктуацій дала змогу описати низькотемпературну поведінку спектра і загасання спінових хвиль у розведеному феромагнетику при малій концентрації немагнітних домішок.

Знайдений результат для флюктуацій дав змогу вперше отримати рівняння для намагніченості розведеного Гайзенберґового феромагнетика, яке дає змогу розрахувати температурну та польову залежність намагніченості в лінійному за концентрацією немагнітних домішок наближенні. З цього рівняння була отримана, зокрема, низькотемпе-ратурна поведінка намагніченості розведеного феромагнетика.

Отримана система рівнянь дала можливість вперше показати, що, запропоноване Канейоші наближення найпростішого розчеплення конфіґураційних середніх приводить до нефізичного результату для спінових флюктуацій, хоча воно дає правильний якісний опис спектру та намагніченості розведеного феромагнетика.

В дисертації дістав подальший розвиток теоретичний опис аморфних феромагнетиків на мові двочасових температурних функцій Ґріна, запропонований Т. Канейоші, І. О. Вакарчу-ком, Ю. К. Рудавським, Г. В. Понеділком, В. М. Ткачуком та І. Ф. Марголич. Коли в поперед-ніх роботах названих авторів або нехтували спіновими флюктуаціями, або моделювали їх деякою феноменологічною функцією, в цій дисертації вперше розраховано спінові флюктуації в межах наближення середнього поля. Це дало змогу розрахувати константу спінхвильової жорсткості і коефіцієнт загасання спінових хвиль та описати кількісно аномальну поведінку константи спінхвильової жорсткості в аморфному феромагнетику.

Використовуючи рівняння для намагніченості аморфного феромагнетика, запропоноване в дисертації В. М. Ткачука, вперше розрахована низькотемпературна поведінка намагні-ченості аморфного феромагнетика з врахуванням спінових і структурних флюктуацій.

В дисертації, також, вперше отримане рівняння для спінових флюктуацій в аморфному феромагнетику в наближенні Тяблікова і показано, що наближення найпростішого розчеплення Канейоші, приводить до нефізичних розв'язків цього рівняння. Для отримання правильної поведінки флюктуацій намагніченості необхідно згорнути цілий ряд за степенями флюктуацій густини для відповідної конфіґураційно усередненої функції Ґріна.

Головними новими результатами дисертації є:  

Метод самоузгодженого розрахунку за допомогою конфіґураційно усереднених дво-часових температурних функцій Ґріна намагніченості і спінових флюктуацій у невпорядкованих магнітних системах. Системи рівнянь для намагніченості та спінових флюктуацій у розведеному та аморфному феромагнетиках.  

Рівняння для намагніченості розведеного феромагнетика в лінійному наближенні за концентрацією немагнітних домішок та низькотемпературна асимптотика розв'язку цього рівняння. Низькотемпературна поведінка намагніченості аморфного феромагнетика.  

Рівняння для спінових флюктуацій в границі малої концентрації немагнітних домішок. Квадратична залежність від концентрації немагнітних домішок і закон в околі нуля температури для квадратичних спінових флюктуацій в розведеному феромагнетику.  

Доведення того, що наближення найпростішого розчеплення, дає нефізичний результат для квадратичних спінових флюктуацій при незначному безладі. Це наближення може бути використаним при розрахунку спектру, намагніченості та спінових флюктуацій у невпорядкованих феромагнітних системах лише за умови сильного безладу.

Практичне значення одержаних результатів. Проведені в дисертації теоретичні дослідження невпорядкованих феромагнітних систем сприяють глибшому розумінню їх фізичних властивостей. Отримані в роботі результати можна використати для пояснення та інтерпретації експериментальних результатів дослідження аморфних феромагнетиків та феромагнітних сплавів заміщення. Зокрема, отримане рівняння для намагніченості розведеного феромагнетика може бути використане для інтерпретації досліджень температурної і польової залежності намагніченості таких систем.

Отримані залежності для спінових флюктуацій дають змогу кількісно описати аномальну поведінку константи спінхвильової жорсткості в аморфних феромагнетиках.

Запропонований в роботі метод самоузгодженого розрахунку намагніченісті та її квадратичних структурних флюктуацій може бути узагальнений на випадки багато-компонентних, як кристалічних, так і аморфних спінових систем.

Особистий внесок здобувача. У роботах, виконаних зі співавторами, здобувачу належить:

ідея отримання рівняння для квадратичних спінових флюктуацій у розведеному феромагнетику в межах наближення Тяблікова при розрахунку магнітних властивостей розведеного феромагнетика;

розрахунок намагніченості та спінових флюктуацій розведеного феромагнетика у границі малої концентрації немагнітних домішок;

виведення рівняння для квадратичних спінових флюктуацій і аналіз низькотемпературної поведінки намагніченості та спінових флюктуацій у аморфних феромагнетиках.

Апробація результатів дисертації. Результати досліджень, включені до дисертації були представлені і обговорені на таких конференціях та семінарах:

Українсько_Французький симпозіум ``Конденсована речовина: наука та індустрія" (Львів, 1993 р.);

Міжнародна конференція з магнетизму (Варшава, 1994 р.);

Міжнародна школа з теоретичних аспектів магнетизму і споріднених питань (Кудова Здруй, Польща, 1995 р.);

Міжнародна робоча нарада ``Ефекти кристалічного поля в системах з перехідними металами"(Краків, 1995 р.);

Міжнародна наукова конференція присвячена 150-річчю від дня народження видатного українського фізика і електротехніка Івана Пулюя (Львів, 1995 р.);

Весняна школа фізики конденсованих систем ``Безлад і хаос у квантових системах" (Трієст, 1996 р.);

Науковий семінар з статистичної теорії конденсованих систем (Львів, 1997 р.);

ІНТАС_Україна: робоча нарада з фізики конденсованої речовини (Львів, 1998 р.).

Результати, подані в роботі, обговорювалися також на науковому семінарі Інституту фізики конденсованих систем НАН України та неодноразово доповідалися на науковому семінарі кафедри теоретичної фізики Львівського державного університету імені Івана Франка.

Публікації. Матеріали дисертації опубліковані в трьох журнальних статтях і шести тезах конференцій.

Структура і об'єм дисертації. Дисертація складається з вступу, чотирьох розділів, висновків та списку використаних джерел. Обсяг дисертації 120 сторінок, включно зі списком використаних джерел, що містить 146 найменувань.

Основний зміст роботи

У вступі обґрунтована актуальність проблем, розглянутих у дисертації, подано зв'язок роботи з науковими темами, у роботі над якими приймав участь дисертант, визначена мета роботи, відображена новизна одержаних результатів.

Перший розділ ``Огляд літератури" окреслює сучасний стан теорії розведених та аморфних феромагнетиків. В останні роки найрозмаїтіші невпорядковані магнітні системи залишаються одним з найбільш привабливих об'єктів дослідження для екпериментаторів, що породжує необхідність дальшого розвитку теорії розведених та аморфних феромагнетиків. Ряд властивостей притаманнних лише невпорядкованим магнітним системам, таких як аномальна поведінка константи спінхвильової жорсткості в залежності від зовнішнього поля і концентрації магнітних атомів, прохідний магнетизм, спінове скло, локалізація магнітних збуджень, залишають ще багато запитань до теоретиків. Для деяких з них вдалося знайти лише спрощене якісне пояснення. Найпростіша модель, яка дає змогу розрахувати спектральні, динамічні та термодинамічні характеристики феромагнетика з різними типами безладу, це модель Гайзенберґа. Хоча ця модель виведена для опису діелектричного феромагнетика, але з експериментальних, зокрема нейтроноскопічних, досліджень добре відомо, що спектр спінових збуджень цілого ряду металів та провідних сплавів чудово узгоджується з передбаченнями Гайзенберґової моделі локального магнетизму.

В ряді робіт було показано, що спектральні характеристики спінових хвиль у невпорядкованому феромагнетику можна виразити у вигляді ряду за флюктуаціями намагніченості. В найпростішому наближенні можна обмежитися розглядом лише квадратичних флюктуацій. Власне тому виникає цікава задача самоузгодженого розрахунку намагніченності та її середніх квадратичних флюктуацій. В багатьох попередніх роботах при розгляді розведеного і аморфного Гайзенберґового феромагнетика були враховані лише флюктуації структури, а флюктуації середнього значення спіна на різних вузлах не враховувалися. Завданням дисертаційної роботи було розрахувати квадратичні флюктуації намагніченості в розведеному та аморфному феромагнетиках та проаналізувати їхній вплив на спектр спінових хвиль та намагніченість.

У другому розділі ``Вплив структурних спінових флюктуацій на спектр спінових збуджень розведеного феромагнетика" запропоновано підхід, який дає змогу за допомогою методу двочасових температурних функцій Ґріна дослідити вплив структурних флюктуацій на термодинамічні властивості і спектр спінових хвиль розведеного Гайзенберґового феромагнетика.

Розглянемо деяку кристалічну ґратку з вузлів, в яких випадковим чином розподілені магнітні атоми. Така система може бути описана ізотропним гамільтоніаном Гайзенберґа

, (1)

де обмінний інтеґрал, що описує взаємодію між тим і тим атома-ми, оператор спіна того атома, напруженість зовнішнього магнітного поля, випадкова змінна, що набуває значення 1 або 0 відповідно до того зайнятий чи ні тий вузол магнітним атомом.

Для знаходженя спектру елементарних збуджень нашої системи зручно використати запізнювальну двочасову функцію Ґріна

. (2)

Найпростіше наближення Канейоші дає змогу отримати вираз для конфіґураційно усередненої функції Ґріна, який містить середню намагніченість та середні квадратичні флюктуації намагніченості у розрахунку на вузол ґратки. При нулі температури спінові флюктуації відсутні: і , де концентрація магнітних атомів.

З аналізу полюсів конфіґураційно усередненої функції Ґріна при нулі температури видно, що колективні спінові збудження добре визначені в розведеному феромагнетику. Умова занулення константи спінхвильової жорсткості дає нам вираз для порогу протікання . Для простої кубічної ґратки зі взаємодією найближчих сусідів цей вираз набирає вигляду

, (3)

де

, (4)

модифіковані циліндричні функції Бесселя. Отримані наближені значення перколяційного порогу у випадку дво і тривимірної простої кубічної ґратки близькі до даних комп'ютерного експерименту, хоча у одновимірному випадку це наближення не відображає точного результату .

Для опису магнонного спектру при відмінних від нуля температурах необхідно розрахувати намагніченість і її флюктуації. Будемо виходити з рівняння, що пов'язує середнє значення магнітного моменту того вузла з енерґетичним представленням неусередненої функції Ґріна . Стандартним чином ми отримуємо

. (5)

Усереднюючи це рівняння за конфіґураціями, ми отримуємо рівняння для намагніченності

, (6)

де ми ввели матрицю неусередненої функції Ґріна з елементами , а також врахували той факт, що усереднена одновузлова функція Ґріна не залежить від номера вузла. Такий запис спектральної густини намагніченості дає змогу використовувати імпульсне зображення функції Ґріна для розрахунку намагніченості

Віднімаючи усереднене рівняння (6) від неусередненого (5), домножуючи результат на флюктуацію і усереднюючи цей добуток за конфіґураціями, ми отримуємо рівняння для середніх квадратичних флюктуацій.

Можна легко показати, що флюктуації намагніченості розпадаються на два доданки:

, (7)

де середня намагніченість з розрахунку на магнітний атом, а середні спінові флюктуації з розрахунку на магнітний атом, які, власне, цікаво було розрахувати. Отримане нами рівняння для спінових флюктуацій в обезрозміреній формі має вигляд

, (8)

де

. (9)

Тут та введені нами для зручності нові функції Ґріна, а та обезрозмірені обернена температура і напруженість зовнішнього магнітного поля відповідно.

Зауважимо, що наближення найпростішого розчеплення дає нам змогу отримати, як функцію так і в термінах намагніченості і квадратичних спінових флюктуацій і, таким чином, замикає систему рівнянь (6)). Хоча ця система рівнянь досить складна і в загальному випадку може бути розв'язана лише чисельно, вдається отримати в явному вигляді низькотемпературну асимптотику спінових флюктуацій:

, (10)

де

, (11)

, (12)

. (13)

об'єм примітивної комірки, константа спінхвильової жорсткості нерозведеного феромагнетика нормована на намагніченість.

Видно, що вираз для середніх квадратичних флюктуацій є від'ємним, принаймні для малих концентрацій немагнітних домішок, коли ми можемо знехтувати другим доданком у виразі (11). Таким чином, найпростіше нетривіальне розчеплення привело нас до нефізичного результату для температурної залежності квадратичних флюктуацій намагніченості магнітної підсистеми.

На завершення другого розділу ми побудували формальні ряди для конфіґураційно усереднених функцій Ґріна та . Для отримання правильної температурної поведінки намагніченості та її квадратичних флюктуацій у розведеному феромагнетику необхідно розрахувати ці функції точніше, ніж це дає змогу зробити найпростіше розчеплення конфіґураційних середніх.

У третьому розділі ``Спінові флюктуації у розведеному феромагнетику при малій концентрації немагнітних домішок" показано, що в такому випадку система рівнянь для намагніченості та спінових флюктуацій стає замкненою. Розраховано температурну та польову залежності намагніченості у лінійному за концентрацією немагнітних домішок наближенні, а також середні квадратичні спінові флюктуації у квадратичному наближенні за концентрацією домішок.

У випадку малої концентрації немагнітних атомів ми можемо знехтувати кореляціями флюктуацій на різних вузлах і важати, що

. (14)

Таким чином, єдиною величиною, яку нам потрібно оцінити в цьому наближенні залишається . Можна легко пересвідчитися, що

. (15)

Ми, звичайно, не знаємо закону розподілу флюктуацій намагніченості, але природно припустити, що, подібно до Ґаусового розподілу, вищі ніж квадратичні флюктуації намагніченості є величинами вищого порядку малості і ми можемо знехтувати ними в лінійному наближенні за концентрацією немагнітних домішок:

. (16)

Надалі ми будемо нехтувати вищими ніж другий моментами намагніченості магнітної підсистеми.

Зроблені вище наближення дають змогу згорнути в наближенні малих концентрацій немагнітних домішок формальні ряди для конфіґураційно усереднених функцій Ґріна, які отримані в попередньому розділі. Підстановка отриманого виразу для функції Ґріна у (8) показала, що середні квадратичні спінові флюктуації є вищого, ніж лінійний, порядку малості за концентрацією домішок.

Цей висновок дав змогу отримати явний вигляд для спектральної густини намагніченості в лінійному наближенні за концентрацією немагнітних домішок. В цьому ж наближенні розрахувані масовий оператор та всі функції, що входять у вираз для конфіґураційно усередненої функції Ґріна, необхідної для розрахунку температурної залежності намагніченості для простої вимірної кубічної ґратки. Ми дослідили довгохвильову границю отриманої функції Ґріна і одержали вирази для константи спін-хвильової жорсткості та коефіцієнта загасання спінових хвиль.

Рівняння для спектру спінових хвиль у простій кубічній ґратці зі взаємодією найближчих сусідів має такий розв'язок у довгохвильовій асимптотиці:

, (17)

де обмінний інтеґрал для найближчих вузлів, стала ґратки, розмірність ґратки. Інтеґрал є меншим від одиниці для всіх цілих розмірностей, крім . В одновимірному випадку знаменник другого доданку у виразі для спектру (17) розбігається, що пов'язано з тим, що як завгодно мале розведення приводить до неможливості поширення спінових хвиль у одновимірному феромагнетику зі взаємодією найближчих сусідів. Для розмірностей простору константа спінхвильової жорсткості у виразі (17) прямує до нуля зі зменшенням концентрації магнітних вузлів до перколяційного порогу , який у лінійному за концентрацією домішок наближенні має вигляд

. (18)

Цікаво порівняти результат (18) для перколяційного порогу з виразом (3), отриманим у попередньому розділі у наближенні найпростішого розчеплення. Ми бачимо, що

. (19)

Вирази та мають однакову асимптотику в границі великих розмірностей простору.

Оскільки вираз для критичної концентрації (18) риманий в лінійному за наближенні, він повинен давати добрі результати для низьких розмірностей, коли величина є малою, але ми не маєм жодних підстав сподіватися на добрі результати для великих розмірностей , коли . Справді, для ми отримуємо точний результат, а для критична концентрація , що не збігається з формулою Вете , яка є асимптотикою критичної концентрації для великих розмірностей. Не зважаючи на це, обчислення свідчать, що результати для порогу перколяції отримані з (18) є кращими для і , ніж результати отримані з формули Бете.

Хоча ми не маємо жодних апріорних арґументів на користь застосовності чи незастосовності виразу для різних розмірностей простору, порівнюючи числа ми бачимо, що, принаймні, для простої кубічної ґратки цей вираз також дає кращі результати для розмірностей і , ніж формула Бете, а у випадку тривимірного простору дає ближче до точного значення перколяційного порогу, ніж вираз , отриманий у лінійному за концентрацією домішок наближенні.

Дослідження низькотемпературної асимптотики намагніченості розведеного феромагнетика показали, що вона зберігає поведінку , а розведення приводить до швидшого спадання намагніченості з температурою. Ми отримали явний вигляд низькотемпературної асимптотики намагніченості для випадку простої 3вимірної кубічної ґратки зі взаємодією найближчих сусідів:

, (20)

де

. (21)

В дисертації показано, що відносні квадратичні флюктуації намагніченості є другого порядку за концентрацією немагнітних домішок і тому ними можна знехтувати в лінійному наближенні. Подібно до намагніченості, при низьких температурах відносні квадратичні флюктуації намагніченості демонструють поведінку . Для випадку простої 3вимірної кубічної ґратки зі взаємодією найближчих сусідів ми отримали явний вигляд низькотемпературної залежності квадратичних спінових флюктуацій:

. (22)

У четвертому розділі ``Cтруктурні флюктуації намагніченості та спектр спінових збуджень аморфного феромагнетика" досліджений вплив спінових флюктуацій на магнонний спектр аморфного феромагнетика.

Розглянемо невпорядковану систему, що складається з спінів розподілених в об'ємі , взаємодію між якими описує ізотропний гамільтоніан Гайзенберґа

, (23)

де обмінний інтеґрал між тим та тим атомами, оператор спіну того атома, зовнішне магнітне поле, координати атомів, розподілені випадковим чином із заданою функцією розподілу .

В роботі розрахована конфіґураційно усереднена функція Ґріна такої системи у наближенні найпростішого розчеплення і показано, що низькотемпературні властивості аморфного феромагнетика можна описати наближено в термінах середніх квадратичних спінових флюктуацій.

Виходячи з того, що спінові флюктуації повністю визначаються флюктуаціями структури, ми знайшли зв'язок між цими двома величинами в наближенні середнього поля і показали, що врахування спінових флюктуацій приводить до перенормування структурного фактора, порівняно з виразами, в яких структурні флюктуації не враховувалися.

Виходячи з отриманих виразів для конфіґураційно усередненої функції Ґріна, проаналізовані спектр та загасання спінових хвиль в аморфному феромагнетику. Показано, що врахування спінових флюктуацій не змінює якісно спектр спінових хвиль у аморфному феромагнетику, і обчислено константу спінхвильової жорсткості:

, (24)

. (25)

Тут ми ввели позначення

, (26)

де сруктурний фактор аморфного матеріалу. У цьому ж наближенні обчислений коефіцієнт загасання спінових збуджень. Розраховані вирази дають змогу пояснити аномальну поведінку константи спінхвильової жорсткості в аморфному феромагнетику.

За аналогією з отриманим В. М. Ткачуком рівнянням для намагніченості аморфного феромагнетика, ми отримали рівняння для квадратичних спінових флюктуацій:

, (27)

де

, (28)

, (29)

параметр, який може приймати довільне значення менше за мінімальну віддаль між атомами, Це рівняння містить конфіґураційно усереднену функцію Ґріна , яку можна розрахувати наближено стандартними методами.

В роботі розраховані низькотемпературна поведінка намагніченості та квадратичних спінових флюктуацій, використовуючи конфіґураційно усереднені функції Ґріна, отримані в наближенні найпростішого розчеплення конфіґураційних середніх. Для намагніченості отриманий закон :

, (30)

де . Якщо б ми розрахували конфіґураційно усереднену функцію точно, вираз для намагніченості не містив би параметра , який може мати довільне значення з інтервалу від нуля до реального параметра пакування. В межах зроблених наближень коефіцієнт залежить від , проте спрямовуючи масовий оператор до нуля ми отримуєм . Таким чином у грубому наближенні ми можемо покласти , що приводить до аналогічної низькотемпературної поведінки намагніченості аморфного феромагнетика, як і у випадку кристалічної системи.

Розрахунок низькотемпературної поведінки флюктуацій намагніченості у наближенні найпростішого розчеплення дає нам

, (31)

де функція є додатною при малих і змінюється, як за величиною, так і за знаком при зміні параметра . Таким чином ми отримали, що середні квадратичні спінові флюктуації є пропорційними до , проте розрахований коефіцієнт містить вільний параметр, що є наслідком зробленого наближення. Для різних значень параметра ми отримуємо, як нефізичні від'ємні, так і фізичні додатні значення коефіцієнта. Для того, щоб отримати коректне значення коефіцієнта низькотемпературної асимптотики квадратичних спінових флюктуацій, необхідно, як і у випадку розведеного феромагнетика, точніше розрахувати відповідну конфіґураційно усереднену функцію Ґріна, враховуючи внески від цілого ряду за флюктуаціями густини.

Висновки

Хоча теорія невпорядкованих магнітних систем розвивається вже майже пів століття, тут залишається ще багато нерозв'язаних проблем. Одним з головних завдань фізики невпорядкованих систем залишається дослідження впливу флюктуацій різних параметрів системи на її властивості.

В дисертацї було поставлено завдання розрахувати спінові флюктуації для феромагнітних систем з різними типами безладу і проаналізувати їхній вплив на магнітні властивості та спектр спінових збуджень. Для досліджень був обраний метод двочасових температурних функцій Ґріна, як один з найбільш широко вживаних в теорії невпорядкованих систем.

На основі цього методу в дисертації вперше одержано в межах наближення Тяблікова систему рівнянь для намагніченості та квадратичних спінових флюктуацій для розведеного Гайзенберґового феромагнетика. Показано, що ця система є самоузгодженою при малій концентрації немагнітних домішок і також в запропонованому Канейоші наближенні найпростішого розчеплення. Ми розв'язали систему рівнянь для намагніченості та спінових флюктуацій в наближенні найпростішого розчеплення і показали, що таке наближення якісно добре описує поведінку намагніченості і спектру спінових хвиль, але приводить до нефізичного результату для спінових флюктуацій. Середні квадратичні спінові флюктуації, розраховані у наближенні найпростішого розчеплення, стають від'ємними при малих концентраціях немагнітних домішок.

Щоб отримати правильну поведінку спінових флюктуацій, ми підсумували в лінійному наближенні за концентрацією домішок ряди, що входять у вирази для відповідних функцій Ґріна. Це дало нам змогу проаналізувати рівняння для спінових флюктуацій також і у випадку малої концентрації немагнітних домішок і показати, що квадратичні спінові флюктуації є пропорційними до квадрата концентрації домішок. В низькотемпературній границі вони є пропорційними до . Цей результат обґрунтовує доцільність нехтування спіновими флюктуаціями при дослідженні намагніченості та спектру розведених систем з малою концентрацією немагнітних домішок. Отримані нами в лінійному наближенні за концентрацією домішок результати для намагніченості та спектру спінових хвиль збігаються з результатами інших авторів.

Розвинутий нами при дослідженні розведеного феромагнетика підхід, застосований в дисертації, також, для вивчення аморфного ферромагнетика. Спочатку ми розрахували зв'язок між спіновими флюктуаціями і флюктуаціями структури в наближенні середнього поля. Це дало змогу розрахувати константу спінхвильової жорсткості і коефіцієнт загасання спінових хвиль та описати кількісно аномальну поведінку константи спінхвильової жорсткості в аморфному феромагнетику.

Далі ми вивели рівняння для спінових флюктуацій в межах наближення Тяблікова і, таким чином, отримали систему рівнянь для намагніченості та спінових флюктуацій. В дисертації показано, що як і у випадку розведеного магнетика, наближення найпростішого розчеплення дає змогу замкнути цю систему. Аналіз низькотемпературної поведінки розв'язків рівнянь для намагніченості та спінових флюктуацій, отриманих в межах цього наближення, показав, що для спінових флюктуацій воно приводить до нефізичної поведінки, в той час як отримана низькотемпературна асимптотика для намагніченості та спектру спінових хвиль збігається з результатами інших авторів.

Таким чином, ми можемо стверджувати, що отримані нами нові результати в граничному випадку узгоджуються з результатами інших авторів і можуть бути використані для пояснення результатів експериментальних досліджень кристалічних сплавів заміщення та односортних аморфних феромагнетиків. Запропонований метод може бути узагальнений і на випадок складніших невпорядкованих магнітних систем.

Основні результати дисертації опубліковані в таких роботах:

1. VakarchukTkachukKuliy V. Magnetic Properties of Dilute Alloys: Equations for Magnetization and Its Structural Fluctuations. // Phys. Stat. Solidi (b). 1998. V. , No . P. 186.

2. VakarchukTkachukKuliyThe influence of structure disorder on mean atomic moment fluctuations and the spin-wave spectrum // J. Magn. Magn. Mater. 1995. V. , No 2. P. 194.

3. VakarchukTkachukKuliyThe influence of spin structural fluctuations on the spectrum and damping of spin waves in amorphous ferromagnets // Cond. Matt. Phys. 1994. No . P. 180.

4. KuliyMagnetic properties of dilute alloys: equation for magnetization and its structural fluctuations // INTAS*Ukraine: Workshop on Condensed Matter Physics. Lviv, May 2124, 1998. Lviv. 1998. P. .

5. Ткачук В. М., Кулій Т. В. Спінові хвилі та флюктуації намагніченості в розведеному Гайзенберґовому феромагнетику// Науковий семінар з статистичної теорії невпорядкованих систем. Програма і тези доповідей. Львів. 1997. С. .

6. VakarchukTkachukKuliyStructure Disorder and Spin Waves in Amorphous Ferromagnets // International Workshop on CrystalField Effects in TransitionMetal Systems CEF95, 1315 October 1995, Krakw. Krakw (Poland). 1995. P. .

7. TkachukKuliySpinWave Stiffness Constant in Amorphous Ferromagnets // International Workshop on CrystalField Effects in TransitionMetal Systems CEF95, 1315 October 1995, Krakw. Krakw (Poland). 1995. P. .

8. VakarchukTkachukKuliyThe Influence of Structure Disorder on Mean Atomic Moment Fluctuations and a SpinWave Spectrum // ICM'94 Programme and Abstracts. Warszawa (Poland). 1994. P. .

9. VakarchukTkachukKuliyThe Influence of Mean Atomic Moments Structural Fluctuations on the Spectrum and Damping of Spin Waves in Amorphous Ferromagnets // UkrainianFrench Symp. "Cond. Matt.: Science \& Industry, Lviv, February, 2027, 1993". Lviv. 1993. P. .

Кулій Т. В. Спінові флюктуації в невпорядкованих феромагнетиках. Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізикоматематичних наук за спеціальністю 01.04.02 теоретична фізика, Львівський державний університет імені Івана Франка, Львів, 1999.

Досліджено вплив спінових флюктуацій на спектр магнонних збуджень та магнітні властивості розведеного та аморфного феромагнетиків, що описуються ізотропною моделлю Гайзенберґа. Використано метод конфіґураційно усереднених двочасових температурних функцій Ґріна. Отримані рівняння для спектру і загасання магнонів з врахуванням спінових флюктуацій. В наближенні Тяблікова отримані рівняння для намагніченості та спінових флюктуацій розведеного феромагнетика. Показано, що спінові флюктуації є квадратичними за концентрацією немагнітних домішок. Для аморфного феромагнетика в наближенні середнього поля отриманий зв'язок між спіновими флюктуаціями і флюктуаціями структури. Отримане у наближенні Тяблікова рівняння для спінових флюктуацій в аморфному феромагнетику і проаналізований його розв'язок у наближенні найпростішого розчеплення конфіґураційних середніх.

Ключові слова: спінові флюктуації, модель Гайзенберґа, розведений феромагнетик, аморфний феромагнетик.

Кулій Т. В. Спиновые флуктуации в неупорядоченных ферромагнетиках. — Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико–математических наук по специальности 01.04.02 — теоретическая физика, Львовский государственный университет имени Ивана Франко, Львов, 1999.

Исследовано влияние спиновых флуктуаций на спектр магнонных возбуждений и магнитные свойства разбавленого и аморфного ферромагнетиков, описываемых изотропной моделью Гейзенберга. Использован метод конфигурационно усредненных двухвременных температур-ных функций Грина. Получены уравнения для спектра и затухания магнонов с учетом спиновых флуктуаций. В приближении Тябликова получены уравнения для намагниченности и спиновых флуктуаций разбавленного ферромагнетика. Показано, что спиновые флуктуации являются квадратическими по концентрации немагнитных примесей. Для аморфного ферромагнетика в приближении среднего поля получена связь между спиновыми флуктуациями и флуктуациями структуры. Получено в приближении Тябликова уравнение для спиновых флуктуаций в аморфном ферромагнетике и проанализировано его решение в приближении простейшого расцепления конфигурационных средних.

Ключевые слова: спиновые флуктуации, модель Гейзенберга, разбавленный ферромагнетик, аморфный ферромагнетик.

KuliySpin fluctuations in disordered ferromagnets. Manuscript.

Thesis on search of the scientific degree of candidate of physical and mathematical sciences, specialty 01.04.02 theoretical physics, the Ivan Franko State University of Lviv, Lviv, 1999.

The theory of disordered magnetic systems is being developed during almost a half-century. Nevertheless there remain a lot of unsolved problems. One of them is a description of the influence of spin fluctuations on the properties of disordered magnetic system. While an influence of structure fluctuations on the thermodynamic properties and spin–wave spectrum has been widely studied most of authors neglected spin fluctuations caused by the structural disorder. In 1983 Kaneyoshi showed that taking into account the spin fluctuations is necessary in order to explain the anomalous behaviour of spin-wave stiffness constant in amorphous ferromagnets.

The aim of the thesis was to calculate spin fluctuations for different disordered ferromagnetic systems and to analyse their influence on the magnetic properties and the spin–wave spectrum. We choose the method of configurationally averaged Green's function developed by Kaneyoshi to study the dilute and amorphous ferromagnetic systems. It was used successfully by several authors to describe different properties of the disordered magnets. At the same time one of the most used approximations within the frames of this method is neglecting of spin fluctuations caused by disorder. Note that at the zero temperature the magnetisation of a ferromagnet tends to saturation and the spin fluctuations are suppressed.

The first system we have considered was a dilute Heisenberg ferromagnet. Within the Tyablikov approximation the set of equations describing the magnetization and the mean quadratic spin fluctuations caused by the disorder was derived for this system. It was shown that this set is self–consistent at low concentration of nonmagnetic impurities and also within the approximation of the simplest decoupling suggested by Kaneyoshi.

The analyses of the obtained set of equations for magnetization within the approximation of the simplest decoupling suggested by Kaneyoshi brought us to the conclusion that, although this approximation provides a good qualitative description of the spectrum and magnetization for the dilute ferromagnet, it leads to the nonphysical result for the spin fluctuations. The last became negative at the low concentration of nonmagnetic impurities. We have constructed formal series for the Green's functions present in the equations for the magnetization and the spin fluctuations. To obtain correct behavior of spin fluctuations one needs to sum up these series within the better approximation.

To calculate spin fluctuations at low concentration of nonmagnetic impurities we have neglected the correlations between the spin fluctuations at the different sites. It allowed us to sum up the series for the corresponding Green's functions within the linear over the concentration of impurities approximation. Using the obtained expressions we have shown that the quadratic spin fluctuations are proportional to the square of nonmagnetic impurities concentration and display behaviour at the low temperatures. This allowed us to describe the low–temperature behaviour of spin–wave spectrum and damping for dilute ferromagnet at low concentration of nonmagnetic impurities. We have also obtained explicitely the equation for magnetization in linear with respect to the concentration of impurities approximation. Using this equation we have analysed, in particular, the low–temperature behaviour of the magnetisation for dilute ferromagnet. At zero temperature our results coinsides with that obtained previously by the various authors.

We have shown that the expression for the percolation threshould obtained in the linear over the concentration of impurities approximation reproduces an exact result for the one-dimensional case and provide a reasonable agreement with numerically obtained values for two– and three–dimensional cases. The expression for the percolation threshould obtained in the simplest decoupling approximation gives wrong result for the one–dimensional case but provide a good agreement with numerically obtained values for the two–dimensional case. In the three–dimensional case the last expession provide the closest theoretical value of the percolation threshould to the numerical one.

We also have applied the configurationally averaged Green's function method to the amorphous ferromagnetic systems. This approach was earlier developed by T.I.Yu.G.V. Tkachuk, and I.We have calculated the first spin fluctuations within the mean-field approximation. It allowed us to obtain explicitely the spin–wave stiffness constant and the spin–wave damping and to describe quantitatively an anomalous behaviour of spin-wave spectrum in amorphous ferromagnet.

Using the equation for the magnetization of amorphous ferromagnet we have calculated low–temperature behaviour of the magnetization of amorphous ferromagnet taking into account spin fluctuations as well as structure fluctuations.

We also suggested the equation for spin fluctuations in amorphous ferromagnet within the Tyablikov approximation. It is shown that the approximation of the simplest decoupling suggested by Kaneyoshi leads to unphysical solutions of this equation. To obtain correct behaviour of the spin fluctuations one needs to collect all the series over the fluctuations of density present in the exact expression for corresponding Green's function.

Key words: spin fluctuations, Heisenberg model,