ДНІПРОПЕТРОВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ
ДНІПРОПЕТРОВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ
ФІЛІПОВА ОЛЬГА СЕРГІЇВНА
УДК 539.3
ПЛОСКІ ЗАДАЧІ ДЛЯ СКЛАДЕНИХ
АНІЗОТРОПНИХ ТА П’ЄЗОЕЛЕКТРИЧНИХ ТІЛ
З ЗОВНІШНІМИ МІЖФАЗНИМИ ТРІЩИНАМИ
01.02.04 – механіка деформівного твердого тіла
АВТОРЕФЕРАТ
на здобуття наукового ступеня
кандидата фізико-математичних наук
Дніпропетровськ
2007
Дисертацією є рукопис.
Робота виконана на кафедрі теоретичної та прикладної механіки
Дніпропетровського національного університету.
Науковий керівник
доктор фізико-математичних наук, професор
Лобода Володимир Васильович,
Дніпропетровський національний університет,
Міністерство освіти і науки України,
завідувач кафедри теоретичної та прикладної механіки.
Офіційні опоненти:
доктор фізико-математичних наук, професор
Камінський Анатолій Олексійович,
Інститут механіки ім. С. П. Тимошенка НАН України,
завідувач відділу механіки руйнування матеріалів;
доктор фізико-математичних наук, професор
Смирнов Сергій Олександрович,
Дніпропетровський національний університет,
Міністерство освіти і науки України,
декан економічного факультету ДНУ,
професор кафедри комп’ютерної обробки економічної інформації.
Провідна установа
Інститут прикладних проблем механіки і математики
ім. Я. С. Підстригача НАН України, відділ математичних методів
механіки руйнування та контактних явищ, м. Львів.
Захист відбудеться “22” червня 2007 року о 14 год.-30 хв. на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 08.051.10 при Дніпропетровському національному університеті за адресою: м. Дніпропетровськ, просп. К. Маркса, 35, корпус 5, ауд. 85.
З дисертацією можна ознайомитись в науковій бібліотеці ДНУ за адресою:
49050, м. Дніпропетровськ, вул. Козакова, 8.
Відгук на автореферат просимо надсилати за адресою:
49050, м. Дніпропетровськ, вул. Наукова, 13, Дніпропетровський національний університет, вченому секретарю спеціалізованої вченої ради Д 08.051.10.
Автореферат розісланий “18” травня 2007 року.
Вчений секретар спеціалізованої вченої ради,
професор Дзюба А. П.
ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ
Актуальність теми. Одна з основних задач механіки – це розрахунок на міцність конструкцій. Суттєвий вплив на міцність конструкції мають структурні дефекти. В реальних матеріалах конструкцій завжди присутні мікродефекти. Останні під впливом навантаження призводять до появи тріщин та їх росту, що може призвести до руйнування конструкції. Це явище в першу чергу властиве для крихких матеріалів. Тому дуже багато дослідників займалися проблемою міцності елементів конструкцій з тріщинами, практичними питаннями розрахунків конструкцій з дефектами. Основні результати дослідження напружено-деформівного стану (НДС) для тіл з тріщинами представлені в монографіях Камінського А. О., Кіта Г. С. і Хая М. В., Партона В. З. і Кудрявцева Б. А., Морозова М. Ф., Панасюка В. В., Попова Г. Я., Прусова І. А., Саврука М. П, Черепанова Г. П. та інших.
У наш час композитні матеріали широко використовуються в якості конструкційних матеріалів. Дослідження тріщин, котрі виникають на границі поділу різних складових композитних матеріалів (міжфазних тріщин) має велике значення, так як ці тріщини в більшості випадків призводять до руйнування конструкцій, виготовлених з таких матеріалів. В наш час існують дві основні математичні моделі міжфазних тріщин. Перша модель – це “відкрита” тріщина. Вона ще називається класичною (осциляційною) моделлю. Ця модель має суттєвий недолік – напруження та переміщення берегів тріщини біля її вершини мають осцилюючі особливості, що приводить до фізично нереального взаємопроникнення матеріалів. Вагомий внесок в дослідження міжфазних тріщин в рамках класичної моделі зробили Грілицький Д. В., Моссаковський В. І., Прусов І. А., Рибка М. Т., Сулим Г. Т., Черепанов Г. П., Clements D. L., ErdoganF., Rice J. R., Sih G. C., Ting Williams M. L. та інші. Другу, тобто контактну модель міжфазної тріщини вперше запропонувала Comninou М. В цій моделі вважається, що біля вершин тріщини береги контактують. Вона є більш складною, але дозволяє усунути недолік, пов’язаний з наявністю осцилюючої особливості біля вершини тріщини. Контактна модель досліджувалася в роботах Антипова Ю. В., Кіта Г. С., Лободи В. В., Мартиняка Р. М., Острика В. І., Симонова І. В., Смирнова С. О., Улітка А. Ф., Comninou М, Dundurs J., GautesenHerrmann К. Р., Mai Y. W., QinH. та інших.
Внутрішні міжфазні тріщини вивчені на даний час досить повно як в класичній постановці, так і з врахуванням контакту берегів. У той же час міжфазні тріщини, що виходять на край тіла, досить часто зустрічаються на практиці, але їх дослідженню присвячено значно менше уваги ніж внутрішнім тріщинам. Тут слід назвати роботи Острика В. І. та Улітка А.Ф., RiceJ. R. і Sih G. C., Erdogan F., де в рамках різних моделей аналізується напівнескінчена тріщина між двома ізотропними матеріалами. Слід зауважити, що якщо розмір тіла набагато більший характерного розміру області навантаження та її відстані до вершини крайової тріщини, то ефекти, які мають місце в околі вершин тріщини будуть співпадати з тими, які мають місце для випадку, коли границі тіла прямують до нескінченності. Тому в подальшому області для тіл з тріщинами будемо вважати нескінченими, а тріщини, що виходять на відповідний віддалений край тіла, коротко називати зовнішніми. Оскільки, як уже відзначалось, такі тріщини недостатньо вивчені навіть в рамках класичної моделі, то їх дослідження для анізотропних та п’єзоелектричних матеріалів є актуальним.
Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Робота проводилась згідно з індивідуальним планом підготовки аспіранта кафедри теоретичної та прикладної механіки Дніпропетровського національного університету та в межах науково дослідницьких тем: 06-168-00 “Аналіз незворотних процесів деформування та розробка методів розв’язку основних та змішаних задач теорії пружності, пластичності, стійкості та руйнування для однорідних та кусково-однорідних тіл”, номер державної реєстрації № V005240, 2000–2002 рр.; 7-062-03 "Дослідження проблем міцності, стійкості та руйнування кусково-однорідних ізотропних, анізотропних та п’єзоелектричних тіл з міжфазними дефектами", номер державної реєстрації № U000578, 2003–2005 рр.
Мета і задачі дослідження. Метою роботи є розвиток аналітичних методів та розв’язок плоских задач для зовнішніх міжфазних тріщин з зонами контакту під дією термомеханічного навантаження в анізотропному біматеріалі, а також дослідження зовнішньої електро-проникної та електроізольованої тріщини в п’єзоелектричному біматеріалі в полі електромеханічного навантаження.
Для досягнення сформульованої мети було поставлено та вирішено наступні задачі:
- побудувати представлення компонент напружено-деформівного та електричного стану через кусково-голоморфні вектор-функції, які були б зручними для дослідження зовнішніх міжфазних тріщин в анізотропних та п’єзоелектричних біматеріалах;
- сформулювати на основі цих представлень задачі лінійного спряження, що відповідають класичній та контактній моделям зовнішньої міжфазної тріщини;
- побудувати аналітичні розв’язки вказаних задач;
- провести чисельну реалізацію одержаних розв’язків з метою встановлення нових особливостей деформування зовнішніх міжфазних тріщин в анізотропних та п’єзоелектричних біматеріалах;
Об’єктом дослідження в роботі є кусково-однорідні анізотропні та п’єзоелектричні тіла з зовнішніми міжфазними тріщинами, зокрема такими, що мають зони контакту в околі їх вершин.
Предметом дослідження є розробка методів розрахунку і дослідження особливостей НДС в околі вершин зовнішніх міжфазних тріщин з врахуванням контакту їх берегів.
Методи дослідження. Першою складовою методики дослідження є побудова представлень компонент напружено-деформівного та електричного стану через кусково-голоморфні вектор-функції. Наступна складова базується на формулюванні та побудові точних аналітичних розв’язків задач лінійного спряження для різних моделей зовнішньої міжфазної тріщини. При чисельній реалізації одержаних результатів використані методи розв’язку трансцендентних рівнянь, а для апробації одержаних розв’язків – метод скінчених елементів.
Наукова новизна одержаних результатів.
В дисертаційній роботі одержані наступні нові результати:
- на основі відомих представлень компонент НДС через кусково-голоморфні вектор-функції одержано нові представлення вказаного типу, які є зручними для дослідження зовнішніх міжфазних тріщин в анізотропному та п’єзоелектричному матеріалах;
- вперше задача для зовнішньої міжфазної тріщини з зоною контакту між двома анізотропними матеріалами під дією механічного навантаження зведена до комбінованої крайової задачі Діріхле – Рімана, яка розв'язана точно. Одер-жано трансцендентне рівняння для визначення довжини зони контакту, а також явні вирази для напружень і їх коефіцієнтів інтенсивності;
- враховано вплив температурного поля на довжину зони контакту і відповідний коефіцієнт інтенсивності зсувного напруження;
- вперше проаналізована зовнішня міжфазна тріщина з зоною контакту в п’єзоелектричному біматеріалі. Розглянуто моделі електро-проникної та електроізольованої тріщин. В обох випадках шляхом зведення проблем до задач лінійного спряження Діріхле – Рімана та Гільберта знайдено реальні довжини зон контакту та відповідні коефіцієнти інтенсивності напружень та електричної індукції;
- встановлено на основі конкретних обчислень механічні ефекти щодо впливу механічного навантаження та теплового поля на основні термомеханічні та електромеханічні характеристики в околі вершини зовнішньої тріщини;
- з метою порівняння одержаного аналітичного розв’язку для зовнішньої міжфазної тріщини в ортотропному біматеріалі одержано розв'язок відповідної задачі для тіла скінчених розмірів з крайовою міжфазною тріщиною методом скінчених елементів.
Обґрунтованість і достовірність наукових результатів забезпечується використанням достовірних моделей, коректністю фізичної та математичної постановок граничних задач, застосуванням відомих, перевірених іншими дослідниками аналітичних методів, узгодженням одержаних результатів з окремими відомими розв’язками, а також з результатами чисельного аналізу.
Теоретичне й практичне значення одержаних результатів. Запропоновані методики дозволяють визначати напруження і стрибки переміщень, а також досліджувати коефіцієнти інтенсивності напружень та довжини зон контакту для міжфазних тріщин в анізотропних матеріалах під дією температурного поля й зосереджених сил, а також для п’єзоелектричних матеріалів у випадку електро-проникної та електроізольованої тріщин, що дає можливість робити висновки про тріщиностійкість кусково-однорідних матеріалів. Крім того, одержані результати дозволяють виявити реальну картину деформування зовнішньої міжфазної тріщини і дозволяють використати ці закономірності при конструюванні чисельних алгоритмів розв’язання задач з міжфазними тріщинами для біматеріальних тіл скінчених розмірів.
Апробація результатів дисертації. Окремі результати дисертаційної роботи доповідалися на:
§ третій всеукраїнській науковій конференції “Математичні проблеми технічної механіки”, що проходила у м. Дніпродзержинську 22-24 квітня 2003 р.;
§ сьомому міжнародному симпозіумі українських інженерів-механіків у Львові, 18-20 травня 2005 р.
У цілому дисертаційна робота обговорювалася на наукових семінарах кафедри теоретичної та прикладної механіки ДНУ та кафедри диференціальних рівнянь ДНУ, а також на семінарі відділу математичних методів механіки руйнування та контактних явищ Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я. С. Підстригача НАН України, м. Львів.
Публікації. За матеріалами дисертації опубліковано 7 робіт. З них: 5 статей у наукових фахових виданнях, 2 тези доповідей.
Особистий внесок здобувача:
Основні результати були отримані автором самостійно. Співавтор робіт [1-3, 5-6] В. В. Лобода є науковим керівником дисертанта, тому з ним обговорювалися постановки розглянутих задач, здійснювався вибір методів дослідження та аналізувалися отримані результати.
Особисто О. С. Філіповій належать такі розглянуті в дисертаційній роботі і публікаціях наукові результати:
- побудова представлень механічних [1] та електромеханічних [3, ] характеристик через кусково-голоморфні вектор-функції;
- зведення класичної та контактної моделей для зовнішньої міжфазної тріщини в анізотропному біматеріалі під дією зосереджених сил [1] та температурного поля [2], а також для електро-проникної [3] та електроізольованої [4] тріщин в п’єзоелектричному біматеріалі до задач лінійного спряження та розв’язок цих задач;
- виведення трансцендентних рівнянь для визначення довжин зон контакту та явних виразів для коефіцієнтів інтенсивності напружень [1-4, 6];
- чисельний аналіз одержаних аналітичних розв'язків та інтерпретація одержаних результатів [1-4, 6, 7];
- побудова скінчено-елементного розв’язку для крайової міжфазної тріщини з зоною контакту та його порівняння з аналітичними результатами [5].
Структура дисертації. Дисертація складається зі вступу, трьох розділів, висновків і списку використаних джерел. Вона містить 136 сторінок машинопис-ного тексту, 26 ілюстрацій, 26 таблиць, налічує 113 літературних джерел.
ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ
У вступній частині обґрунтовано актуальність роботи як з теоретичної, так і з практичної точок зору, а також подано стислу характеристику дисертаційної роботи.
У першому розділі приводиться огляд літератури, присвяченої дослідженню міжфазних тріщин з відкритими берегами та з зоною їх контакту, котрі розташовані на лінії поділу двох різнорідних ізотропних, анізотропних чи п’єзоелектричних матеріалів.
Далі розглянуто анізотропний біматеріальний простір зі змішаними умовами в площині поділу матеріалів . Вважаючи, що всі компоненти НДС не залежать від координати одержано наступні представлення компонент НДС через кусково-голоморфні вектор-функції:
, (1)
де – вектор-функція комплексної змінної , яка аналітична у кожній півплощині, включаючи зчеплені ділянки інтерфейсу;, , – біматеріальна матриця, що визначається пружними характеристиками півпросторів, – означає стрибок функції при переході через інтерфейс.
Вводячи нову вектор-функцію де символ з рискою означає комплексне спряження, одержуємо такі представлення для компонент НДС:
, (2)
де. Очевидно, що функція аналітична у кожній півплощині, а також на тих відкритих ділянках лінії поділу матеріалів, на яких навантаження відсутні. Слід також відзначити, що співвідношення (1) і (2) забезпечують неперервність напружень при переході через інтерфейс. Ці співвідношення зручні для формулювання задач лінійного спряження при конкретних умовах на інтерфейсі.
Далі розглядаються крайові міжфазні тріщини в анізотропному біматеріалі (рис. 1). Вважається, що розмір тіла набагато більший, ніж довжина ділянки зчеплення і величини та . Тоді ефекти, які мають місце в околі вершин тріщин будуть співпадати з тими, які мають місце для випадку, коли границі тіла прямують до нескінченності. Тому в подальшому будемо вважати тіла нескінченними. Крім того, якщо значно менше ніж довжина зони зчеплення , то вплив лівої тріщини та її навантаження на ефекти, що виникають в околі вершини правої, буде незначним. Тому в подальшому будемо звертати основну увагу на праву тріщину і при її дослідженні враховувати лише навантаження на неї. При необхідності аналогічний аналіз може бути проведений і для лівої тріщини.
Спочатку поставлена задача розв’язується в класичній постановці. Тобто вважається, що два ортотропних півпростори зчеплені на ділянці , , а на іншій частині інтерфейсу , та , мають місце дві тріщини (рис. 1). Вважається також, що в точці , берегів правої тріщини діють зосереджені сили , які не змінюються вздовж координати . Тоді має місце плоска деформація в площині і у векторах і, а також у відповідних матрицях можна враховувати тільки дві перші компоненти. Умови на інтерфейсі мають вигляд:
, , , , , (3)
, ,. (4)
Виходячи з (2), можна записати:
(5)
Комбінуючи співвідношення (5), одержуємо:
, , (6)
де, , , , , , , , , , – компоненти матриці , – дійсні.
Задовольняючи умовам на інтерфейсі приходимо до такої задачі лінійного спряження для функції :
, , , , (7)
де.
Було отримано точний розв’язок цієї задачі і знайдено вираз для. Одержано також вирази для похідних від стрибків переміщень та напружень на лінії поділу матеріалів. Проводячи аналіз одержаних напружень для і стрибків переміщень для отримали, що вони при і, відповідно, нескінченну кількість разів змінюють знак, тобто для такої моделі тріщини має місце добре відома осцилююча особливість, що характеризується фізично нереальним взаємопро-никненням матеріалів.
З метою усунення осцилюю-чої особливості розглянута уточ-не-на модель правої тріщини. Поблизу її вершини введемо область глад-кого контакту берегів , з заздалегідь невідомим по-ложен-ням точки (рис. 2). Умови на інтерфейсі, окрім (3), включа-ють:
, , , (8)
, ,. (9)
Задовольняючи граничним умовам приходимо до наступної комбінованої крайової задачі Діріхле– Рімана:
, , , , . (10)
Задача (10) є набагато більш складною, ніж (7). Але розв’язок цієї задачі при умові був також представлений у замкненому вигляді:
(11)
де, ,
, ,.
Аналітичний аналіз показав, що при основні характеристики НДС знайдені у рам-ках контактної моделі зводяться до відповідних формул осциляційної моделі, що говорить про правильність результатів, отриманих для контактної моделі.
Розв’язок (11) є математично коректним для довільного положення точки . Однак, він буде фізично коректним, якщо будуть виконані наступні додаткові умови:
для, для. (12)
Останні умови будуть виконані, якщо тріщина в точці закривається плавно, таким чином, що На основі цієї умови було отримане наступне трансцендентне рівняння для визначення відносної довжини області контакту :
, (13)
де, ,. У випадку малих вважаючи, що, маємо, тобто наближений розв’язок рівняння (13) можна подати у вигляді:
, (14)
де. Значення потрібно вибирати так, щоб представляло собою найбільший корінь рівняння (13) з проміжку, де. Точність розв'язку (14) є тим більшою, чим менше значення. КІН зсувного напруження визначається формулою:
. (15)
На рис. 3 для, , , , приведена залежність відносних довжин області контакту від величини . Вибира-лися біматеріали: алюміній/ мідь (біматеріал I), комбінація ортотропних матеріалів з характеристиками:
, , , ,
, (біматеріал II), ідеалізований матеріал з, і з умовами на відрізку нижньої границі, близькими до жорсткого закріплення (біматеріал III).
В табл. приведені значення КІН для біматеріалу I та зон контакту з рис. 3. З отриманих результатів випливає, що зсувне навантаження суттєво впливає як на довжину зони контакту, так і на КІН . При від’ємних значеннях довжини зон контакту можуть ставати співвимірними з довжиною ділянки зчеплення, однак при додатних і нульових значеннях зона контакту є дуже малою.
З метою апробації одержаного аналітичного розв’язку для зовнішньої міжфазної тріщини в ортотропному біматеріалі одержано розв'язок подібної задачі методом скінчених елементів. Розглядалась плоска деформація ізотропного нескінченно довгого по напряму осі тіла, поперечний переріз якого показано на рис. . Ділянка нижньої границі жорстко защемлена, а на ділянках границі виникли крайові тріщини. На ділянці невідомої довжини в околі вершини правої тріщини має місце зона гладкого контакту, а її берега навантажені системою зосереджених сил, котрі прикладені в точці с координатами. Розв’язок задачі будувався при довільному положенні точки . Щоб він був фізично коректним, потрібно, щоб виконувалися додаткові умови:
для , для . (16)
Розв’язок отримано методом скінчених елементів. Вибирались восьмивузлові елементи, які подрібнювалися при наближенні до тріщини і особливо до її правої вершини. Визначались інваріантні – інтеграли в околі точок і , через які по відомим формулам знаходились КІН. Для конкретного положення точки відношення варіювалось, до тих пір поки мало місце плавне закриття тріщини в точці (відповідний КІН ставав близьким до нуля). В припущенні, що одержаний результат порівнювався зі знайденим вище відповідним аналітичним розв’язком для нескінченої області, одержаним при тих же значеннях матеріальних констант. Похибка у визначенні відносної довжини зони контакту складала , що говорить про добру узгодженість результатів, одержаних абсолютно різними методами.
У другому розділі спочатку проводиться аналіз осциляційної моделі для зовнішніх тріщин під дією температурного поля. Припустимо, що біматеріальні півплощини нагріті (охолоджені) на температуру. Використовуючи підхід Вольтера вважаємо, що температурні напруження, а температурні переміщення, де – коефіцієнти лінійного теплового розширення. Останнє справедливо, якщо півплощини не зв'язані.
Вважаючи, що ортотропні півплощини зчеплені на ділянці, а на іншій частині інтерфейсу та вони вільні від напружень (рис. 1 для), одержуємо:
, для. (17)
Використовуючи співвідношення (6) приходимо до наступної задачі лінійного спряження:
, , (18)
з умовою на нескінченності, де,.
Було знайдено вираз для та стрибок похідної від переміщень при переході через інтерфейс, який має осцилюючу особливість. Для усунення цієї особливості (аналогічно розділу 1) розглянута уточнена модель правої тріщини (рис.2 для), яка припускає наявність зони контакту . В цьому випадку має місце наступна комбінована крайова задача Діріхле – Рімана:
, , (19)
, , (20)
з умовою на нескінченності.
Приведено точний розв’язок цієї задачі та вираз для стрибка похідної від переміщень при переході через інтерфейс. Аналогічно як і для міжфазної тріщини під дією зосереджених сил, було знайдено трансцендентне рівняння для визначення відносної довжини області контакту :
, де . (21)
КІН в цьому випадку має вигляд:
. (22)
Далі розглядалась зовнішня міжфазна тріщина під дією температурного поля й зосереджених сил. У силу лінійності задачі, її розгляд може бути проведений для температурного та силового навантажень окремо. Всі ж необхідні характеристики напруженно-деформівного стану знаходяться суперпозицією розв’язків вказаних задач.
Був проведений чисельний аналіз результатів, отриманих у випадку термопружної задачі, для зовнішньої міжфазної тріщини з зоною контакту.
На рис. 5 та 6 для, , , приведені значення відносних довжин області контакту в залежності від величини (при) та від величини (при) відповідно. Характеристики біматеріалів ті ж, що і у розділі 1.
У третьому розділі бу-ло проаналізовано зовнішні міжфазні тріщини в п’єзоелектричному матеріалі.
Спочатку розглядався випадок електро-проникної тріщини. Вважалось, що тріщина розташована між двома різнорідними п’єзоелектричними півпросторами і з характеристиками, що визначаються матрицями і відповідно. При цьому:
,
а, ,– пружні модулі, п’єзоелектричні та діелектричні константи відповідно.
На основі відомих представлень для п’зоелектричного біматеріалу шляхом перетворень, аналогічних розділу , одержані вирази типу (2). Вважалось, що геометричні характеристики та навантаження аналогічні рис. , а п’єзоелектричні матеріали відносяться до класу і поляризовані у напрямку . Слід відзначити, що для випадку повністю електропроникного інтерфейсу електричну індукцію вдається виразити через механічні фактори, тому задача лінійного спряження для функції аналогічна (7). Її розв’язок одержано у замкнутому вигляді і знайдено вирази для стрибка похідної від переміщень та напружень при переході через інтерфейс.
Аналогічно розділу 1 для усунення осцилюючої особливості було використано контактну модель. Умови на лінії поділу матеріалів у цьому випадку мають вигляд:
- механічні умови:
, , , , ,
, , , (23)
, , ,
- електричні умови:
, , , (24)
де – електричний потенціал.
Задовольняючи граничним умовам (23), (24) була отримана комбінована крайова задача Діріхле – Рімана. Вона формально співпадає з (10) і її розв’язок одержано аналогічно (11). Використовуючи умови типу (12) отримано трансцендентне рівнянням для визначення відносної довжини області контакту аналогічне (13) та його асимптотичний розв’язок. Було знайдено КІН зсувного напруження, який визначає можливість розвитку тріщини і виражається формулою, близькою до (15).
Для чисельного аналізу вважалось, що верхній матеріал PZT , а нижній – PZT , , , . Аналіз показав, що,. У табл. 2 для різних наведені значення відносних довжин області контакту залежно від величини, а на рис. 7 наведені значення КІН. З отриманих результатів випливає, що зони контакту є, як правило, дуже малими, але для деяких значень вони стають порівнянними з довжиною ділянки зчеплення. Довжина зони контакту та величина залежать також від точки прикладання зосереджених сил, але ця залежність не є дуже суттєвою.
Далі розглядалася задача, аналогічна попередній, але в припущенні, що тріщини та (рис. ) елект-роізольовані, тобто силові лінії електричного поля гальмуються заповнювачем тріщини. Така математична модель може бути важливою, коли розріз між двома п’єзоелектричними матеріалами заповнений електроізоляційною речовиною. Вважалось, що додатково до механічного навантаження на берегах правої тріщини можуть бути розташовані зосереджені електричні зміщення інтенсивності.
Виходячи з представлень компонент електро-механічного стану через кусково-аналітичні вектор-функції були одержані наступні вирази для комбінації компонент НДС:
, (25)
, (26)
де – функції, аналітичні у кожній півплощині, а також на ненавантажених ділянках берегів тріщини.
Механічні умови на інтерфейсі співпадають з (23), а замість (24) маємо:
, ,
, ,. (27)
Комбінована крайова задача у цьому випадку має вигляд:
де,.
На відміну від елект-ропроник-ної тріщини, розв’язки комбінованої крайової задачі Діріхле Рімана слід розшукувати як при , так і при , а повний розв’язок будується шляхом спільного викорис-тання функцій і. Були знайдені всі електромеханічні фактори у явному вигляді тобто переміщення, напруження та електрична індукція на відповідних проміжках лінії поділу матеріалів. Основні коефіціенти інтенсивності (КІ) напружень та електричної індукціі вводились за допомогою формул:
, ,
і були знайдені в замкненому вигляді. Побудований розв’язок є математично коректним для довільного положення точки . Однак він буде фізично коректним, якщо будуть виконані додаткові умови:
для, для.
Показано, що ці умови будуть виконані, якщо, де положення точки визначається з рівняння:, а положення точки з рівняння:. Тобто у випадку електроізольованої тріщини нерівності (12) однозначно не визначають положення точки. Доведено, що це положення визначається на основі ще однієї додаткової умови, яка витікає з теореми про мінімум потенціальної енергії. Використання цієї умови показує, що дійсне положення точки співпадає з. Були отримані рівняння для визначення відносного положення точок і, які визначаються величинами.
На рис. 9 для, , , і приведені значення відносного положення точок , , які визначаються величинами, , відповідно, в залежності від величини. Вибирались біматеріали PZT /PZT . В табл. 3 приведені значення КІ і, що відповідають різним значенням співвідношення.
З отриманих результатів випливає, що у випадку електроізольованої тріщини ненульовим КІ є не тільки КІ зсувного напруження , а і КІ електричного зміщення , який також може мати вплив на можливість розвитку тріщини.
У висновках сформульовано основні результати досліджень.
ОСНОВНІ РЕЗУЛЬТАТИ І ВИСНОВКИ
В дисертаційній роботі розглянуті класична та контактна моделі для зовнішніх міжфазних тріщин в анізотропному біматеріалі під дією зосереджених сил та температурного поля. В рамках вказаних моделей досліджена також зовнішня електро-проникна та електроізольована тріщини в п’єзоелектричному біматеріалі. В роботі був проведений розвиток аналітичних методів і одержано нові аналітичні розв’язки вказаних задач для тріщин в анізотропних та п’єзоелектричних матеріалах.
Основні результати дисертаційної роботи полягають у наступному:
- одержано нові представлення компонент напружено-деформованого стану в анізотропному біматеріалі через кусково-голоморфні вектор-функції. Ці функції є аналітичними у верхній та нижній півплощинах, а також на відкритих ненавантажених ділянках інтерфейсу. Вони є зручними для формулювання задач лінійного спряження для зовнішніх міжфазних тріщин в таких біматеріалах. Подібні представлення компонент електромеханічного стану одержані також для п’єзоелектричного біматеріалу;
- розглянута плоска задача для зовнішньої тріщини з зоною контакту між двома ортотропними півпросторами під дією механічного навантаження. За допомогою вищевказаних представлень вона зведена до комбінованої крайової задачі Діріхле – Рімана, для якої одержано точний аналітичний розв’язок;
- одержано трансцендентне рівняння для визначення довжини зони контакту, а також знайдені явні вирази для стрибків переміщень, напружень і їх коефіцієнтів інтенсивності. Встановлені залежності цих величин, а також довжини зони контакту від механічних характеристик матеріалів та навантаження;
- з метою апробації одержаного аналітичного розв’язку для тріщини в ортотропному біматеріалі одержано розв'язок подібної задачі для крайової міжфазної тріщини з зоною контакту у тілі скінчених розмірів методом скінчених елементів. При умові, що розмір тіла набагато більший довжини ділянки зчеплення виявлено хорошу відповідність аналітичного та чисельного результатів;
- досліджена зовнішня міжфазна тріщина з зоною контакту в анізотропному біматеріалі під дією комбінації зосереджених сил і температурного поля. Вивчено вплив температурного поля на довжину зони контакту і на відповідний коефіцієнт інтенсивності зсувного напруження;
- проаналізована класична та контактна моделі для зовнішньої міжфазної тріщини в п’єзоелектричному біматеріалі. Розглянуто випадки електро-проникної та електроізольованої тріщин. З використання вищезгаданих представлень компонент електромеханічного стану через кусково-голоморфні вектор-функції вказані проблеми зведені до задач лінійного спряження Діріхле – Рімана та Гільберта. На основі аналітичних розв’язків цих задач знайдені необхідні електромеханічні компоненти, а також реальні довжини зон контакту та відповідні коефіцієнти інтенсивності напружень і електричної індукції;
- на основі чисельного аналізу одержаних аналітичних розв’язків досліджено вплив механічних характеристик матеріалів, напрямку та точок прикладення зосереджених сил та інтенсивності теплового поля на основні електромеханічні характеристики в околі вершини зовнішньої тріщини. Встановлено зокрема, що в більшості випадків довжина зони контакту є малою, але при наявності інтенсивного зсувного поля в околі вершини тріщини вона може ставати співвимірною з довжиною ділянки зчеплення.
Запропоновані методики та одержані розв’язки дозволяють визначати переміщення, напруження, а також досліджувати коефіцієнти інтенсивності напружень та довжини зон контакту міжфазних тріщин в анізотропних та п’єзоелектричних біматеріалах під дією зосереджених сил, температурного та електричного впливів. Ці методики та розв’язки можуть бути використані при визначенні тріщиностійкості кусково-однорідних тіл з зовнішніми міжфазними тріщинами.
ОСНОВНІ РЕЗУЛЬТАТИ ДИСЕРТАЦІЇ ОПУБЛІКОВАНІ В РОБОТАХ
1. Лобода В. В., Чернецкая (Филиппова) О. С. О контактной модели краевой межфазной трещины в анизотропном биматериале под действием сосредоточенных сил // Вісник Дніпропетровського університету. Серія Механіка. – Т.2. – Вип. 6. – 2002. – С. 75 – 84.
2. Лобода В. В., Філіпова О. С. Термопружна задача для крайової міжфазної тріщини з зоною контакту в анізотропному біматеріалі // Машинознавство. – 2003. – № 5. – С. 3 – 9.
3. Лобода В. В., Філіпова О. С. Контактна модель зовнішньої електро-проникної міжфазної тріщини в п’єзоелектричному біматеріалі // Математичні методи та фізико-механічні поля. – 2006. – 49. №3. – С. – 85.
4. Филиппова О. С. Контактная модель краевой электроизолированной трещины в пьезоэлектрическом биматериале Вісник Дніпропетровського університету. Серія Механіка. – Т.2. – Вип. 10. – 2005. – С. 159 – 168.
5. Лобода В. В., Филиппова О. С. Об анализе контактной модели краевой межфазной трещины с помощью метода конечных элементов // Вісник Дніпропетровського університету. Серія Механіка. – 2005. – Т.1. Вип. 9. – С. 178 – 183.
6. Лобода В. В., Філіпова О. С. Контактная модель для краевой межфазной трещины в ортотропном материале // Третя всеукраїнська наукова конференція “Математичні проблеми технічної механіки”. – Дніпродзержинськ. – 2003. – С. .
7. Філіпова О. С. Контактна модель крайової міжфазної тріщини в п’єзоелектричному біматеріалі під дією зосереджених сил. // Сьомий міжнародний симпозіум українських інженерів-механіків. – Львів. – 2005. – С. 44 – 45.
АНОТАЦІЯ
Філіпова О. С. Плоскі задачі для складених анізотропних та п’єзоелектричних тіл з зовнішніми міжфазними тріщинами. – Рукопис.
Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.02.04 – механіка деформівного твердого тіла. – Дніпропетровський національний університет.
В дисертації вивчаються особливості деформування зовнішніх міжфазних тріщин в анізотропних та п’єзоелектричних біматеріалах. Розглядаються випадки чисто механічного навантаження, а також комбінації температурного та силового навантаження. Для п’єзоелектричних тіл розглядаються моделі електро-проникної та електроізольованої тріщин. Знайдені нові вирази для компонент напружено-деформівного стану через кусково-голоморфні вектор-функції, які є зручними для дослідження зовнішніх міжфазних тріщин. Розглядались випадки осциляційної моделі, що приводять до фізично нереального взаємопроникнення берегів тріщини в околі її вершини, але основна увага приділялась контактній моделі, яка припускає наявність зони гладкого контакту берегів в околі вершин тріщини. В цьому випадку проблеми зведені до комбінованих крайових задач Діріхле – Рімана, для яких представлені точні аналітичні розв’язки. Одержані прості трансцендентні рівняння для знаходження довжини зони контакту, а також явні вирази для коефіцієнтів інтенсивності напружень та коефіцієнту інтенсивності електричної індукції у випадку п’єзоелектричного матеріалу. З метою підтвердження достовірності отриманого аналітичного розв’язку для зовнішньої тріщини одержано розв’язок аналогічної модельної задачі для тіла скінчених розмірів методом скінчених елементів. Проілюстровано ефекти щодо впливу механічного навантаження та теплового поля на основні механічні та електромеханічні характеристики в околі вершини зовнішньої міжфазної тріщини.
Ключові слова: міжфазна тріщина, зовнішня тріщина, зона контакту, коефіцієнти інтенсивності напружень.
ABSTRACT
Filipova O. S. The plane problems for composite anisotropic and piezoelectric bodies with external interface cracks. – Manuscript.
Thesis for Degree of the Candidate of Science in Physics and Mathematics by speciality: 01.02.04 – mechanics of deformable solid. – Dnipropetrovsk National University, Dnipropetrovsk, Ukraine, 2007.
The thesis deals with the external cracks in anisotropic and piezoelectric bimaterials. The cases of pure mechanical loading as well as the combination of thermal and mechanical loading are considered. The models of the electrically permeable and electrically insulated cracks are considered for piezoelectric materials. New expressions for the components of stress-strain state via sectionally-holomorphic vector-functions are found. These expressions are convenient for the investigation of external interface cracks. The cases of oscillating model were considered, but the main attention was devoted to the contact zone model, which admit the existing of a frictionless contact zone at the crack tip. In this case the problems are reduces to the combined Dirichlet-Riemann problems, which are solved exactly. Simple transcendental equations for the determination of the contact zone length and the clear expressions for the stress and electrical displacement intensity factors are obtained. The solution for an edge interface crack in a finite sized body is found by finite element method. This solution is compared with the associated analytical solution and good agreement is found. Different effects concerning the influence of mechanical loading and thermal field upon mechanical and electromechanical values at the external interface crack tip are illustrated.
Key words: interface crack, external crack, contact zones, stress intensity factors.
AННОТАЦИЯ
Филиппова О. С. Плоские задачи для составных анизотропных и пьезоэлектрических тел с внешними межфазными трещинами. – Рукопись.
Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.02.04 – механика деформированного твердого тела. – Днепропетровский национальный университет, Днепропетровск, 2007.
В диссертации изучаются особенности напряженно-деформированного состояния составных анизотропных и пьезоэлектрических тел с внешними трещинами на линии раздела материалов. Размеры тел предполагаются намного большими, чем размер участка сцепления, поэтому они аппроксимируются полупространствами.
Рассматривается нагружение берегов трещины сосредоточенными силами, а также комбинация такого нагружения с температурным, причем считается, что имеет место плоская деформация в плоскости перпендикулярной берегам трещины.
Для анизотропных биматериалов найдены новые выражения для компонент напряжено-деформированного состояния через кусочно-голоморфные вектор-функции, которые удобны для исследования межфазных трещин указанного типа. Подобные представления получены также для электромеханических компонент в случае пьезоэлектрических биматериалов, причем рассмотрены модели как электропроникающей, так и электроизолированной трещин.
Вначале предполагалось, что трещины полностью открыты. На основании полученных представлений формулировались задачи линейного сопряжения, для которых строились точные аналитические решения. Анализ этих решений показал, что в окрестности вершин трещин имеют место осциллирующие особенности, которые приводят к физически нереальному взаимопроникновению материалов. Поэтому в дальнейшем основное внимание уделялось контактной модели, которая допускает наличие зоны гладкого контакта берегов возле вершины трещины. В этом случае для произвольной длины зоны контакта проблемы сведены к комбинированным краевым задачам Дирихле – Римана, для которых во всех рассматриваемых случаях биматериалов и условий на берегах трещины приведены точные аналитические решения. Получены достаточно простые аналитические выражения для всех необходимых электромеханических компонент. Из дополнительных условий, которые обеспечивают физическую корректность контактной модели, получены простые трансцендентные уравнения для нахождения длины зоны контакта, а также явные выражения для коэффициентов интенсивности напряжений и коэффициента интенсивности электрической индукции в случае пьезоэлектрического материала.
С целью подтверждения достоверности аналитического решения для внешней трещины с зоной контакта получено решение аналогичной модельной задачи для краевой трещины в теле конечных размеров методом конечных элементов. Выбирая участок сцепления в 10 раз меньше, чем характерный размер области и сравнивая найденную длину зоны контакта с аналитическим решением для бесконечной области, получено их хорошее соответствие.
Проиллюстрированы эффекты влияния механической нагрузки и теплового поля на основные механические и электромеханические характеристики в окрестности вершины внешней межфазной трещины. В частности показано, что отношение длины зоны контакта к длине участка сцепления зависит от механических характеристик материалов, направления и точек приложения сосредоточенных сил и в большинстве случаев является достаточно малым. В то же время при нагружении, которое вызывает значительное сдвиговое поле в окрестности вершины трещины, длина зоны контакта, как для анизотропного, так и для пьезоэлектрического биматериалов может становиться соизмеримой с длиной участка сцепления.
Ключевые слова: межфазная трещина, внешняя трещина, зона контакта, коэффициенты интенсивности напряжений.
Підписано до друку 28.03.2007 р. Формат 60Ч90/16.
Папір друкарський. Друк плоский. Гарнітура Times New Roman.
Умов. друк. арк. 1. Тираж 100 прим. Замовлення № ____
Друкарня ДНУ, вул. Наукова, 5, м. Дніпропетровськ, 49050
