ЛЬВІВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ ІМЕНІ ІВАНА ФРАНКА

Гладун Володимир Романович

УДК 517.526

АНАЛІЗ СТІЙКОСТІ ДО ЗБУРЕНЬ

ГІЛЛЯСТИХ ЛАНЦЮГОВИХ ДРОБІВ

01.01.01 – математичний аналіз

А В Т О Р Е Ф Е Р А Т

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Львів – 2007

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана на кафедрі прикладної математики Національного університету „Львівська політехніка” Міністерства освіти і науки України.

Науковий керівник –

доктор фізико-математичних наук, професор

Боднар Дмитро Ількович,

завідувач кафедри інтелектуальної власності,

комп’ютерного та інформаційного права

Тернопільського національного економічного університету.

Офіційні опоненти –

доктор фізико-математичних наук, професор

Андрієнко Віталій Опанасович, професор кафедри математичного

аналізу Одеського національного університету ім. І. І. Мечникова,

доктор фізико-математичних наук, професор

Сторож Олег Георгійович, професор кафедри математичного та

функціонального аналізу Львівського національного університету

імені Івана Франка.

Провідна установа:

Дніпропетровський національний університет,

кафедра математичного аналізу, м. Дніпропетровськ.

Захист відбудеться "15" червня 2007 р. о 15.00 год. на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 35.051.18 у Львівському національному університеті імені Івана Франка за адресою:

79000, м. Львів, вул. Університетська, 1, ауд. 377.

З дисертацією можна ознайомитись у Науковій бібліотеці Львівського національно-го університету імені Івана Франка за адресою: м. Львів, вул. Драгоманова, 5.

Автореферат розіслано "10" травня 2007 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради ___________________ Тарасюк С.І.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Неперервні дроби були об’єктом дослідження і застосування відомих математиків минулого, зокрема, Л. Ейлера, Й. Ламберта, Ж. Лагранжа, А. Лежандра, П. Лапласа, К. Гауса, К. Якобі, Е. Галуа, П. Чебишева, Т. Стілтьєса, Б. Рімана, А. Маркова.

Історично в теорії неперервних дробів утворилося два напрямки: теоретико-числовий і аналі-тичний. В першому вивчаються регулярні неперервні дроби, які є розвиненням дійсних чисел за алгоритмом Евкліда, в другому – алгоритми розвинення функцій в не-пе-рервні дроби, оцінки похибок наближень з допомогою підхідних дробів, дослідження збіжності числових і функціональних неперервних дробів, множини збіжності, стійкості до збурень та інші.

Різні узагальнення неперервних дробів в теоретико-числовому напрямку розглядались К. Текебе, Л. Ейлером, А. Пуанкаре, К. Якобі, Г. Вороним, Г. Мінковським, О. Перроном, В. Брун-ом, Г. Жекересом, В. Арнольдом та іншими. Такі узагальнення неперервних дробів, як гіллясті ланцю-го-ві дроби, операторні дроби, інтегральні ланцюгові дроби сформувались в аналітичному напрямку.

Використовуючи інтерпретацію неперервного дробу у вигляді графа і розглядаючи більш загальні графи типу дерева, В. Я. Скоробогатько дав означення гіллястого ланцюгового дробу, який є узагальненням неперервного дробу на випадок функцій багатьох змінних.

Цей математичний апарат використано для зображення розв’язків систем лінійних алгебраїчних рівнянь з поліноміальними коефіцієнтами, побудови чисельних методів розв’язання диференціальних та інтегральних рівнянь, зображення алгебраїчних ірраці-она-ль-ностей. Гіллясті ланцюгові дроби отримали застосування в електротехніці – для синтезу багатополюсників, побудови математичних моделей транзисторів, в механіці – при досліджен-ні механічних коливань у різних енергетичних устаткуваннях в суднобудуванні, в теорії антен – при дослідженні задач збудження модульованих імпедансних, діелектричних структур та ан-тен-них решіток, в теоретичній фізиці – для зображення масового оператора квазічастинок, що взаємодіють з фотонами. Операторні ланцюгові дроби застосовано при розв’язуванні рівнянь Шредінгера, в лінійній тео-рії в’язкопружності. Гіллясті ланцюгові дроби є конструктивним апаратом для побудови дробово-раціо-наль-них наближень функцій багатьох змінних, зокрема, багатовимір-них гіпергеометричних функцій.

Основи аналітичної теорії гіллястих ланцюгових дробів сформувались у роботах П. І. Боднарчука, Д. І. Боднара, М. С. Сявавка, Х. Й. Кучмінської, М. О. Недашковсько-го; розвивались у дослідженнях В. Сємашка, Х. Воделанда, А. Коут, Б. Вердонк, Дж. Мерфі, М. О’Донохое, Т. М. Антонової, О. М. Сусь, Р. І. Дмитришина, О. С. Манзій, Н. П. Гоєнко та викладені в монографіях В. Я. Скоробогатька, П. І. Боднарчука, Д. І. Боднара.

Як показують чисельні експерименти і теоретичні дослідження, неперервні та гіллясті ланцю-го-ві дроби мають властивість обмеженого нагромадження похибок, що виникають в процесі їх обчислень. В. П. Терських вперше звернув увагу на стійкість неперервних дробів та їх узагальнень, що виникали в технічних роз-рахунках. Питання обчислювальної стійкості неперервних дробів, в залежності від алгоритмів їх обчислення, розглядалося у роботах Г. Бланч, В. Гаучі, Н. Мейкона, М. Баскервіла, У. Джоунса, В. Трона. У роботах П. І. Боднарчука, В. Я. Скоро-богать-ка та їх учнів досліджувалась асимптотична стійкість гіллястих ланцюгових дроб-ів. Д. І. Боднаром одержано формули відносних похибок підхідних дробів гіллястих ланцюгових дробів та встановлено їх оцінки у випадках, коли елементами цих дробів є додатні числа, а також комплексні числа, що задовольняють умови багатовимірного аналогу теореми Ворпіцького. М. О. Недашковський дослідив стійкість гіллястих ланцюгових дробів з додатними елементами та комплексними елементами, що задовольняють умо-ви типу Прінгсгей-ма, дослідив стійкість гілляс-тих ланцюгових дробів, які є розв'язками систем лінійних алгебраїчних рівнянь. Формули для абсолютних похибок підхідних дробів встановлено та використано при дослідженні стійкості до збурень інтегральних ланцюгових дробів Т. М. Антоновою.

Аналіз оцінок похибок підхідних дробів неперервних та гіллястих ланцюгових дробів, отриманих у роботах У. Джоунса, В. Трона, Д. І. Боднара, М. О. Недаш-ковського, показує, що вони залежать не тільки від похибок елементів, але від самих елементів. Тому актуальними є задачі вивчення умов, при виконанні яких неперервні та гіллясті ланцюгові дроби є стійкими до збурень їх елементів, побудови множин стійкості до збурень.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Результати, сформульовані в дисертації, є складовою частиною наукових досліджень, які виконувались на кафедрі прикладної математики Національного університету "Львівська політехніка", в Інституті прикладних проблем механіки і математики імені Я. С. Підстригача НАН України в рамках таких держбюджетних тем: “Наближення функцій багатьох змінних деякими типами функціональних гіллястих ланцюгових дробів” (реєстраційний номер 0102U001178), “Розробка теорії гіллястих ланцюгових дробів, побудова чисельних, аналітичних методів розв’язання диференціальних рівнянь” (реєстраційнй номер 0104U002325), “Розвиток диференціально-геометричних та аналітичних методів дослідження рівнянь математичної і теоретичної фізики” (реєстраційний номер 0102U000451), “Диференціально-топо-ло-гічні та геометричні аспекти теорії динамічних систем, рівнянь математичної фізики, теорії фундаментальних взаємодій” (реєстраційний номер 0106U000593).

Мета і задачі дослідження. Метою дисертації є аналіз стійкості до збурень нескінченних гіллястих ланцюгових дробів з числовими елементами, що передбачає вирішення таких задач:

1)

2)

3)

Об’єктом дослідження є гіллясті ланцюгові дроби з числовими елементами.

Предметом дослідження є властивість стійкості до збурень нескінченних гіллястих ланцюгових дробів, побудова множин стійкості до збурень гіллястих ланцюгових дробів з дійсними та комплексними елементами.

Методи досліджень. Для роз’язання поставлених задач використано методи математичного та комплексного аналізу, аналітичної теорії неперервних та гіллястих ланцюгових дробів.

Наукова новизна одержаних результатів. Усі отримані в дисертації результати є новими. Вони є розвитком досліджень стійкості до збурень неперервних та гіллястих ланцюгових дробів. У роботі:

·

·

·

Обґрунтованість і достовірність наукових положень, висновків і рекомендацій. Наукові результати сформульовані у вигляді теорем та тверджень і мають строгі доведення.

Практичне значення одержаних результатів. Результати дисертаційної роботи мають теоретичний характер і є певним внеском в аналітичну теорію гіллястих ланцюгових дробів. Вони можуть бути використані при дослідженні розв'язків задач, зображених у вигляді неперервних чи гіллястих ланцюгових дробів.

Особистий внесок здобувача. Усі наведені в дисертацiї результати отримано автором самостійно. В опублiкованих спільно з Д. І. Боднаром статях [1, 2, 6, 7] науковому керівнику належить постановка задач і обговорення отриманих результатів. В опублікованій спільно з Т. М. Антоновою статті [4] співавтору належать результати, сформульовані в теоремах 1, 2. В дисертаційну роботу ввійшли теореми 4, 5, що належать здобувачеві.

Апробація результатів дисертації. Основні результати дисертації доповідались на: Українському математичному конгресі, присвяченому 200-річчю М. В. Остроградського (Київ, 2001 р.), Міжнародній школі-семінарі “Ланцюгові дроби, їх узагальнення та застосування” (Ужгород, 2002 р.), Міжнародній науковій конференції “Нові підходи до розв’язування диференціальних рівнянь” (Дрогобич, 2001 р.), Міжнародній конференції “Функціональний аналіз і його застосування”, присвяченій 110-річчю з дня народження С. Банаха (Львів, 2002 р.), Міжнародній науковій конференції “Комплексний аналіз і його застосування” (Львів, 2003 р.), X Міжнародній науковій конференції ім. акад. М. Кравчука (Київ, 2004 р.), Міжнародній математичній конференції ім. В. Я. Скоробогатька (Дрогобич, 2004 р.), конференції “Функціональні методи в теорії наближень, теорії операторів, стохастичному аналізі і статистиці”, присвяченій А. Я. Дороговцеву (Київ, 2004 р.), Міжнародній конференції “Математичний аналіз і суміжні питання” (Львів, 2005 р.), Міжнародній науковій конференції “Математичний аналіз і диференціальні рівняння та їх застосування” (Ужгород, 2006 р.), III Всеукраїнській науковій конференції “Нелінійні проблеми аналізу” (Івано-Франківськ, 2003 р.), Всеукраїнській науковій конференції “Сучасні проблеми прикладної математики та інформатики”, присвяченій 80-річчю проф. Н. П. Флейшмана (Львів, 2001 р.), наукових конференціях професорсько-викладацького складу Інституту прикладної математики та фундаментальних наук (Львів, 2002, 2003, 2005, 2006 рр.), конференціях молодих учених із сучасних проблем механіки та математики ім. акад. Я. С. Підстригача (м. Львів, 2004, 2005 рр.); семінарі з теорії функцій у Дніпропетровському національному університеті (керівники: чл.-кор. НАН України, проф. В. П. Моторний і проф. В. Ф. Бабенко), Львівсько-му міжвузівському семінарі з теорії аналітичних функцій (керівники: проф. А. А. Кондратюк і проф. О. Б. Скасків), Львівському міжвузівському семінарі з функціонального аналізу (керівники проф. В. Е. Лянце і проф. О. Г. Сторож), науковому семінарі з теорії функцій в Одеському національному університеті ім. І. І. Мечникова (керівник проф. Е. О. Стороженко), регіональному семінарі з теорії неперервних та гіллястих ланцюгових дробів (керівники: проф. Д. І. Боднар і доц. Х. Й. Кучмінська).

Публікації. Основні результати дисертацiї опублiковано у 7 статтях (2 без співавторів) у наукових виданнях із переліку, затвердженого ВАК України, та у 20 тезах міжнародних і всеукраїнських конференцій.

Структура і обсяг дисертації. Дисертація складається зі вступу, чотирьох розділів, висновків і списку використаних джерел, що містить 113 найменувань. Загальний обсяг дисертації – 150 сторінок.

Автор висловлює щиру подяку професору Д.І.Боднару за наукове керівництво та постійну увагу до роботи.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі розкрито суть і стан розробки наукових проблем за темою дисертації, обгрунтовано їх актуальність, сформульовано мету і задачі дослідження.

У підрозділі 1.1 першого розділу подано огляд робіт за темою дисертації, а також викладено основні факти, які були використані у наукових дослідженнях. У підрозділі 1.2 наведено основні результати дисертації.

Основним об’єктом дослідження є нескінченні гіллясті ланцюгові дроби (ГЛД)

...,

де ... – кількість гілок розгалуження, ... – мультиіндекс. Нехай

..., ..., ....

Скінченні ГЛД ..., ..., ..., називають -ми підхідними дробами ГЛД . Величини, які визначаються рекурентними спів-відношеннями ..., ..., ..., ..., причому ..., ..., ..., називають залишками ...-го підхідного дробу ГЛД . Позначимо ..., ..., ..., ....

Нехай ..., ..., ..., ..., – збурені значення елементів ..., ... ГЛД відповідно. ГЛД ... називатимемо збуреним до дробу .

Нехай ..., ..., ..., ..., – послідовність множин елементів ГЛД і збуреного до нього ГЛД, тобто ..., ..., ..., ....

Сукупність множин ... називають послідовністю множин збіжності ГЛД , якщо умови ..., ..., ..., забезпечують збіжність цього дробу, тобто ..., ....

Означення 1. Послідовність множин збіжності ..., ..., ..., ..., ГЛД назвемо послідовністю множин абсолютної стійкості до збурень цього дробу, якщо для довільного дійсного числа ... існує таке дійсне число ..., що для кожного ..., ..., ..., і кожного ..., ..., ..., такого, що ..., ... виконуються нерівності ..., ....

Означення 2. Послідовність множин збіжності ..., ..., ..., ..., ГЛД назвемо послідовністю множин відносної стійкості до збурень цього дробу, якщо для довільного дійсного числа ... існує таке дійсне число ..., що для кожного ..., ..., ..., ..., ..., і кожного ..., ..., ..., такого, що ..., ..., вико-ну-ю-ться нерівності ..., ....

Аналогічно можна сформулювати означення послідовності множин збіжності, абсолютної (відносної) стійкості до збурень підпослідовності підхідних дробів ГЛД .

Сукупність множин ..., ..., ..., ..., назвемо послідовніс-тю багатовимірних множин елементів ГЛД

...,

якщо ... ..., ..., ....

Нехай ..., ..., ... – відносні, ..., ..., ... – абсолютні похибки елементів ..., ... і підхіднного дробу ... ГЛД відповідно, тобто

..., ..., ..., ..., ..., ...,

..., ..., ..., ..., ..., ....

У підрозділі 2.1 другого розділу доведено деякі рекурентні співвідношення для відносних і абсолютних похибок залишків підхідних дробів, використовуючи які встановлено різні варіанти формул для похибок підхідних дробів ГЛД.

У підрозділі 2.2 досліджується властивість стійкості до збурень ГЛД з додатними елементами.

Теорема 2.2.1. Нехай відносні похибки елементів ГЛД є рівномірно обмеженими:

..., ..., ..., ...,

..., ..., ..., ....

Множини ..., ..., ..., є послідовністю множин відносної стійкості до збурень ГЛД , якщо існує послідовність додатних сталих ..., ..., ..., таких, що для всіх ..., ..., ...,

..., ..., ..., ...,

і розбігається ряд

....

Теорема 2.2.2. Нехай відносні похибки елементів ГЛД задовольняють умови , .

1) Області ..., ..., ..., ..., ..., ..., ..., ..., є послідовністю областей відносної стійкості до збурень ГЛД , якщо розбігається ряд ...;

2) область ..., ..., ..., є областю відносної стійкості до збурень ГЛД , причому для відносної похибки -го підхідного дробу справджуються оцінки

...,

де

..., ...,

....

Також встановлено умови, при виконанні яких області ... ..., ..., ..., де ..., ..., ..., є послідовністю областей відносної стійкості до збурень ГЛД .

У третьому розділі досліджується збіжність і стійкість до збурень гіллястих ланцюгових дробів з дійсними компонентами та деяких підпослідовностей їх підхідних дробів.

У підрозділі 3.1 встановлено множини збіжності та множини абсолютної стійкості до збурень ГЛД з дійсними частинними чисельниками і знаменниками, що дорівнюють одиниці, а також деяких підпослідовностей їх підхідних дробів.

У теоремі 3.1.1 сформульовано умови, при виконанні яких множини

..., ..., ..., ...,

де ..., ..., ..., ..., – задані дійсні сталі, є послідовністю множин абсолютної стійкості до збурень ГЛД

....

Довільний ГЛД з дійсними, відмінними від нуля елементами шляхом еквівалентних перетворень і перепозначень завжди можна звести до ГЛД

...,

де ... при ..., ... при ....

Нехай ..., ..., ..., ..., ..., ..., ..., – деякі послідовності дійсних сталих таких, що ..., ... – гіпер-октанти простору ...:

...,

і нехай

... ...

..., ..., ..., –

послідовність багатовимірних множин елементів ГЛД і збуреного до нього ГЛД, тобто ..., ....

Розглядаються множини мультиіндексів, які визначаються рекурентними співвідношеннями:

...,

...,

..., причому ..., ....

Теорема 3.1.2. Множини ..., які задаються згідно з , де ..., ..., ..., ..., є послідовністю множин абсолютної збіжності: 1) підпослідовності ... підхідних дробів ГЛД , якщо ..., де ... ..., ...; 2) підпослідовності ... підхідних дробів ГЛД , якщо ..., де ... ..., ...; 3) послідовності ... підхідних дробів ГЛД , якщо ..., де a) ... ..., ..., або b) ... ..., ....

При цьому для довільних ..., ..., справджуються нерівності: ... ... у випадку 1), ... у випадку 2), ... у випадку 3 a), ... у випадку 3 b).

Теорема 3.1.3. Нехай абсолютні похибки елементів ГЛД є рівномірно обмеженими: ..., ..., і ..., ..., ..., ..., – сталі, які визначають множини ..., ..., ..., ... – послідовність дійсних додатних сталих таких, що збігається ряд .... Тоді множини ..., ..., де

...

..., ..., ...,

є послідовністю множин абсолютної стійкості до збурень ГЛД . Для абсолют-ної похибки -го підхідного дробу справджується оцінка:

....

В підрозділах 3.2, 3.3 третього розділу встановлено множини збіжності і множини стійкості до збурень ГЛД з від’ємними та знакозмінними частинними чисельниками, а також деяких підпослідовностей їх підхідних дробів.

Розглядається ГЛД з від’ємними частинними чисельниками

...,

Нехай ..., – дійсні додатні сталі, причому ..., ... ... при всіх можливих значеннях мультиіндексів. Задамо багатовимірні множини елементів ГЛД та збуреного до нього ГЛД:

...,

...,

....

Теорема .2.3. Множини , що визначаються згідно з , , , причому ..., є послідовністю множин збіжності підпослідовності підхідних дробів ... ..., ГЛД , якщо

...,

де

...,? ..., ....

Теорема .2.4. 1) Множини ..., що визначаються згідно з , і

..., ...,

причому ..., ..., ..., є послідовністю множин збіжності підпослідовностей підхідних дробів ... ГЛД ;

2) Множини ..., що визначаються згідно з , і

..., ...,

причому ..., ..., ..., є послідовністю множин збіжності ГЛД , якщо виконується умова , де – послідовність додатних сталих, які визначаються згідно з .

Теорема .2.5. Нехай відносні похибки елементів ГЛД є рівномірно обмеже-ними: ....

1) Множини ..., що визначаються згідно з , , є послідовністю множин відносної стійкості до збурень підпослідовності підхідних дробів ... ГЛД , якщо збігається ряд

...,

де

..., ... визначаються згідно з ;

2) множини ..., що визначаються згідно з , , , причому ..., є послідовністю множин відносної стійкості до збурень підпослідовності підхідних дробів ... ..., ГЛД , якщо збігається ряд ;

3) множини ..., що визначаються згідно з , , , причому ..., є послідовністю множин відносної стійкості до збурень ГЛД , якщо збігається ряд

..., де ...

Для відносної похибки -го підхідного дробу справджується оцінка

...,

де

...

Використовуючи підходи, запропоновані при доведенні теореми 3.2.5, також встановлено умови, при виконанні яких множини

..., ...,

..., ..., де ..., – задані дійсні додатні сталі, є послідовністю множин відносної стійкості до збурень ГЛД та підпослідовності ....

У підрозділі 3.3 розглядається ГЛД

...,

де

..., ..., ....

Теорема 3.3.1. Нехай елементи ГЛД задовольняють умови і ... ... причому ... ..., ..., ..., ..., – задані дійсні додатні сталі, і ..., де

..., ..., ....

Тоді ГЛД збігається і ..., ....

Нехай ... ..., ..., ..., ..., – задані дійсні додатні сталі і множини

..., ...,

..., ..., ..., ..., ..., є послідовністю багатовимірних множин елементів ГЛД та збуреного до нього ГЛД ..., тобто для всіх наборів мультиіндексів

..., ....

У теоремі 3.3.2 встановлено достатні умови, при виконанні яких багатовимірні множини елементів є множинами абсолютної стійкості до збурень ГЛД .

Теорема 3.3.2. Нехай абсолютні похибки елементів ГЛД є рівномірно обмеженими: ..., ..., .... Множини ..., що визначаються згідно з , є послідовністю множин абсолютної стійкості до збурень ГЛД , якщо збігається ряд ..., де величини ..., ..., визначаються згідно з . Для абсолютної похибки -го підхідного дробу справджується оцінка:

....

Також встановлено умови, при виконанні яких множини

..., ...,

..., ..., ..., де ... ..., – задані дійсні додатні сталі, є послідовністю множин відносної стійкості до збурень ГЛД та підпослідовності його підхідних дробів ....

У четвертому розділі досліджується стійкість до збурень гіллястих ланцюгових дробів з комплексними елементами. У підрозділі 4.1 побудовано і досліджено множини відносної стійкості до збурень ГЛД з комплексними частинними знаменниками та чисельниками, що дорівнюють одиниці.

Нехай ..., ..., ..., ..., – послідовність множин елементів ГЛД

...

та збуреного до нього ГЛД, тобто ..., ..., ..., ....

Теорема 4.1.2. Нехай відносні похибки елементів ГЛД задовольняють умови: ..., ..., ..., і нехай ..., ..., ..., ..., – задані дійсні сталі.

Множини ......,? ...,? ..., є послідовніс-тю множин відносної стійкості до збурень ГЛД , якщо збігається ряд ..., де ..., .... Для відносної похибки ...-го підхідного дробу справджується оцінка:

....

Використовуючи методику доведення теореми 4.1.2, встановлено деякі кутові множини стійкості до збурень ГЛД , а також умови, при виконанні яких множини

......,

......,

де ..., ..., ..., ..., ..., ..., ..., – задані дійсні сталі, ..., ..., ..., – задані комплексні сталі такі, що ..., ..., ..., є послідовністю множин відносної стійкості до збурень ГЛД .

У підрозділі 4.2 встановлено множини елементів та множини значень ГЛД , побудовано і досліджено множини відносної стійкості до збурень гіллястих ланцюгових дробів з комплексними частинними чисельниками та знаменниками, що дорівнюють одиниці.

Нехай ..., ..., – послідовність множин елементів ГЛД і збуреного до нього ГЛД, ..., ..., ..., ..., ..., ..., ..., – задані дійсні сталі, ..., ..., ..., – задані комплексні сталі такі, що ..., ..., .... Розглянемо множини

...,

...,

..., ..., ..., де

..., ..., ..., ..., ....

Теорема 4.2.2. Нехай існує стала ..., ..., така, що:

..., ..., ....

Множини ..., ..., ..., такі, що ..., ..., ..., а ... визначаються співвідношеннями , , причому ..., ..., є послідовністю мно-жин відносної стійкості до збурень ГЛД , якщо збігається ряд

...,

де

...,

....

Для відносної похибки -го підхідного дробу справджується оцінка

....

Теорема 4.2.3. Нехай відносні похибки елементів ГЛД

...

де ..., ..., ..., ..., ..., ..., задовольняють умови , і нехай ..., ..., ..., – задані дійсні додатні сталі, ..., ..., ..., – задані комплексні сталі такі, що ..., ..., ..., ..., ..., ....

Множини , , де ..., ..., ..., ..., ..., є послідовністю множ-ин відносної стійкості до збурень ГЛД , якщо збігається ряд ..., де величини ..., ..., визначаються згідно з . Для відносної похибки -го підхідного дробу справджується оцінка:

....

Окрім цього, досліджено еліптичні (кругові) множини (теорема 4.2.4) та обмежені параболічні множини (теорема 4.2.5) відносної стійкості до збурень ГЛД .

У підрозділі 4.3 побудовано і досліджено багатовимірні множини відносної стійкості до збурень гіллястих ланцюгових дробів з комплексними елементами.

Нехай ..., ...; ..., ..., ..., ..., – послідовність багатовимірних множин елементів ГЛД і збуреного до нього ГЛД.

Теорема 4.3.1. Нехай відносні похибки елементів ГЛД задовольняють умови , , і нехай ..., ..., ..., ..., – задані дійсні додатні сталі, ..., ..., ..., – задані комплексні сталі такі, що ..., ..., ....

Множини ..., ..., ..., де

...,

...,

..., є послідовністю багатовимірних множин відносної стійкос-ті до збурень ГЛД , якщо збігається ряд , де ..., .... Для відносної похибки -го підхідного дробу ГЛД справджується оцінка

....

Теорема 4.3.2. Нехай відносні похибки елементів ГЛД задовольняють умови , , і нехай ..., ..., ..., ..., – задані дійсні додатні сталі, ..., ..., ..., – задані комплексні сталі такі, що ..., ..., ..., ..., ....

Множини ..., де

...,

...,

...,

..., є послідовністю багатовимірних множин відносної стійкості до збурень підпослідовності підхідних дробів ... ГЛД (2.1), якщо збігається ряд з

..., ....

Для відносної похибки ...-го підхідного дробу ГЛД?(2.1) справджується оцінка .

У теоремі 4.3.3 доведено, що сукупність множин ..., де ..., ..., ..., ..., ..., при цьому ..., а множини ..., ..., ... визначаються згідно з , , відповідно є послідовністю багатовимірних множин відносної стійкості до збурень ГЛД , якщо збігається ряд , де величини визначаються згідно з .

Також встановлено (теорема 4.3.4), що множини ..., ..., ..., ..., є багатовимірними множинами відносної стійкості до збурень ГЛД , якщо відносні похибки елементів задовольняють умови , та існує стала ..., ..., така, що для всіх ..., ..., ..., виконуються нерівності ..., ..., ..., ..., причому ....

ВИСНОВКИ

Дисертація присвячена вивченню умов, при виконанні яких нескінченні гіллясті ланцюгові дроби є стійкими до збурень їх елементів. Основні наукові результати полягають у наступному:

1. Встановлено формули для похибок підхідних дробів гіллястих ланцюгових дробів, що виникають в результаті збурення їх елементів. Отримано умови відносної стійкості до збурень гіллястих ланцюгових дробів з додатними елементами і побудовано множини відносної стійкості до збурень цих дробів.

2. Досліджено стійкість до збурень гіллястих ланцюгових дробів з дійсними, зокрема, з від’ємними та знакозмінними елементами, і деяких підпослідовностей їх підхідних дробів. Встановлено множини абсолютної та відносної стійкості до збурень цих дробів.

3. Побудовано та досліджено множини відносної стійкості до збурень, зокрема, багатовимірні множини стійкості, гіллястих ланцюгових дробів загального та спеціального виглядів з комплексними елементами.

4. Встановлено оцінки похибок підхідних дробів гіллястих ланцюгових дробів з дійсними та комплексними елементами.

Отримані у дисертації результати носять завершений характер, супроводжуються повними доведеннями, доповнюють і розширюють відомі результати з дослідження стійкості до збурень гіллястих ланцюгових дробів. При їх отриманні використано методи математичного та комплексного аналізу, аналітичної теорії неперервних та гіллястих ланцюгових дробів.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

АНОТАЦІЯ

Гладун В. Р. Аналіз стійкості до збурень гіллястих ланцюгових дробів. – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.01 – математичний аналіз. – Львівський національний університет імені Івана Франка, Львів, 2007.

Дисертаційна робота присвячена вивченню умов, при виконанні яких нескінченні гіллясті ланцюгові дроби є стійкими до збурень їх елементів.

У дисертації встановлено формули для абсолютних та відносних похибок підхідних дробів гіллястих ланцюгових дробів, що виникають в результаті збурення їх елементів; отримано умови стійкості до збурень гіллястих ланцюгових дробів з додатними елементами та побудовано множини відносної стійкості до збурень таких дробів; досліджено стійкість до збурень гіллястих ланцюгових дробів з дійсними, зокрема, з від’ємними та знакозмінними елементами, а також деяких підпослідовностей їх підхідних дробів; побудовано та досліджено множини стійкості до збурень, зокрема, багатовимірні множини, гіллястих ланцюгових дробів загального та спеціального виглядів з комплексними елементами і деяких підпослідовностей їх підхідних дробів; встановлено оцінки похибок підхідних дробів гіллястих ланцюгових дробів з дійсними та комплексними елементами.

Ключові слова: гіллястий ланцюговий дріб, підхідні дроби, стійкість до збурень, множини відносної стійкості до збурень, множини абсолютної стійкості до збурень, оцінки абсолютних та відносних похибок підхідних дробів гіллястих ланцюгових дробів.

АННОТАЦИЯ

Гладун В. Р. Анализ устойчивости к возмущениям ветвящихся цепных дробей. – Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.01 – математический анализ. – Львовский национальный университет имени Ивана Франко, Львов, 2007.

Диссертационная работа посвящена исследованию устойчивости к возмущениям бесконечных ветвящихся цепных дробей (ВЦД) с числовыми элементами. Диссертация состоит из введения, четырех разделов, выводов и списка использованных источников. Общий объем диссертации – 150 страниц.

Во введении дано обоснование актуальности темы, указываются цель и задачи исследования, научная новизна, практическое значение и апробация полученных результатов.

В первом разделе подан обзор работ по теме диссертации, изложены основные факты, использованные в научных исследованиях, приведены основные результаты диссертации.

Во втором разделе установлены формулы для относительных и абсолютных погрешностей подходящих дробей, возникающих при возмущении элементов ВЦД. Также изучается свойство устойчивости к возмущениям бесконечных ВЦД с положительными элементами. Установлены условия, при выполнении которых области , , , где , , , , и области , , где , , , являются последовательностями областей относительной устойчивости к возмущениям.

В третьем разделе исследуется сходимость и устойчивость к возмущениям бесконечных ВЦД с действительными частными числителями и знаменателями равными единице и некоторых последовательностей их подходящих дробей. Построены и исследованы многомерные множества абсолютной устойчивости к возмущениям этих ВЦД. Также построены многомерные множества абсолютной сходимости последовательностей , , их подходящих дробей. Впервые исследованы многомерные множества абсолютной и относительной устойчивости к возмущениям некоторых последовательностей подходящих дробей ВЦД с отрицательными и знакопеременными частными числителями и знаменателями равными единице.

В четвертом разделе построены и исследованы множества относительной устойчивости к возмущениям (полуплоскости, некоторые угловые множества, а также множества, которые на четных этажах дроби являются внешностью кругов, а на нечетных – полуплоскостями) ВЦД с комплексными частными знаменателями и числителями равными единице. Используя технику множеств элементов и соответствующих им множеств значений, построены и исследованы множества относительной устойчивости к возмущениям ВЦД с комплексными частными числителями и знаменателями равными единице, а также ВЦД специального вида – с ветками ветвления на четных этажах и с одной – на нечетных. Также построены и исследованы многомерные множества относительной устойчивости к возмущениям ВЦД общего вида с комплексными элементами и некоторых подпоследовательностей их подходящих дробей.

Установлены оценки погрешностей подходящих дробей ветвящихся цепных дробей с действительными и комплексными элементами.

Ключевые слова: ветвящаяся цепная дробь , подходящая дробь, устойчивость к возмущениям, множества относительной устойчивости к возмущениям, множества абсолютной устойчивости к возмущениям, оценки абсолютных и относительных погрешностей подходящих дробей ветвящихся цепных дробей.

ABSTRACT

Hladun V.R. Stability analysis to perturbations of branched continued fractions. – Manuscript.

The thesis for obtaining the Candidate of Physical and Mathematical Sciences degree on the speciality 01.01.01 – Mathematical Analysis. – Ivan Franko Lviv National University, Lviv, 2007.

The thesis deals with investigating the conditions under which the infinite branched continued fractions are stability to perturbations of their elements.

In the thesis we establish formulas of absolute an relative errors of the approximants of branched continued fractions, which appear as a result of perturbation of their elements; we establish the conditions of stability to perturbations of branched continued fractions with positive elements and construct the sets of relative stability to perturbations of such fractions. Also we investigate the stability to perturbations of branched continued fractions with real elements, in particular, with the negative and alternating elements, as well as some subsequences of their approximants. We construct and investigate the sets of stability to perturbations, in particular, the multidimensional sets, of branched continued fractions of the general and special form with complex elements and some subsequences of their approximants. Besides, we establish the estimates errors of approximants of branched continued fractions with real and complex elements.

Кey words: branched continued fraction, approximants, stability to perturbations, the sets of absolute stability to perturbations, the sets of relative stability to perturbations, the estimates of absolute and relative errors of approximants of branched continued fractions.