МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ УКРАЇНИ

СЕВАСТОПОЛЬСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ ТЕХНІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

Крамарь Вадим Олександрович

УДК 681.5

АЛГЕБРАЇЧНІ ФОРМИ АНАЛІЗУ І СИНТЕЗУ ГРУБИХ

ЛІНІЙНИХ НЕПЕРЕРВНИХ СИСТЕМ АВТОМАТИЧНОГО

УПРАВЛІННЯ

05.13.03 - Системи і процеси керування

Автореферат дисертації на здобуття наукового

ступеня кандидата технічних наук

Севастополь - 1999

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Севастопольському Державному технічному університеті МО України.

Науковий керівник - доктор технічних наук,

Барабанов Олександр Тріфонович,

професор департаменту технічної

кібернетики СевДТУ

Офіційні опоненты:

- доктор. технічних наук, професор, Пряшников Федор Дмитрієвич, Севастопольський державний технічний університет, департамент електроенергетики, директор

- кандидат фізико -математичних наук Ратнер Юрій Борисович, Морський гідрофізичний інститут НАНУ, старший науковий співробітник.

Провідна установа - Національний технічний університет України «КПІ», м. Київ.

Захист відбудеться «_1_» _липня____1999 р. о _15__ годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д50. 052.02 в Севастопольському Державному технічному університеті за адресою:

335053, м. Севастополь, Стрелецька балка, студмістечко, корпус СевДТУ.

Факс (0692) 244530, e-mail:

З дисертацією можна ознайомитися у бібліотеці СевДТУ.

Автореферат розісланий _25 травня___ 1999 р.

Вчений сектретар спеціалізованої вченої ради

к.т.н., доцент ______________ О. М. Шерешевський

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність роботи. Значне місце в сучасних дослідженнях займають ті аспекти проблеми грубості, що зв'язані з розбігом параметрів в реальних системах, а також неминучею розбіжністю між параметрами моделі і реального об'єкту. Варіації параметрів є невід'ємною частиною дослідження САУ, а проблема врахування цих варіацій і визначення їх допустимих меж надто актуальна при дослідженні складних об'єктів. В нинішній час, поряд з терміном «грубість» використовується термін «робастність».

Властивість грубості (робастностi), передусім, повинно виявлятися в стійкості системи управління. Задача аналізу стійкості систем автоматичного управління з непараметричною адитивною або мультиплікативною неозначенністью в моделі об'єкту займає значне місто в сучасній теорії управління. Таким чином, аналіз грубості властивості асимптотичной стійкості і зв'язані з ним задачі синтезу грубих систем управління, зокрема, метод D - поділа, є одніми з найважливіших задач теорії автоматичного управління. Поява нових і розвиток вже існуючих методів аналізу і синтезу робастних САУ не знімає актуальність цієї проблеми зважаючи на її значення і швидке розширення областей застосування. Цей факт підтверджується наявністю значного числа публікацій, як в вітчизняній, так і в зарубіжній печатці, причому кількість робіт ,що публікуються не зменшується і більша їх частина відноситься до останніх 10-15 років.

Об'єктом дослідження в роботі є неперервні лінійні системи управління з одиничним негативним зворотним зв'язком при наявності непараметричной неозначенностi в моделі об'єкту і неперервні системи управління які синтезуються методом D - подiла по вещественому параметру ,що входить лінійно.

Мета дисертаційного дослідження. Метою дослідження є розробка алгебраїчних методів і критеріїв аналізу стійкості і синтезу параметрів регулятора лінійних неперервних систем управління при непараметричнiй неозначенністі в моделі об'єкту і алгебраїчних критеріїв оцінки якості САУ, яка синтезується методом D - подiлу по вещественому параметру ,що входить лінійно.

Для досягнення цієї мети в дисертації вирішуються наступні задачі:

-

-

- побудова співвідношень для алгебраїчної оцінки якості САУ, яка синтезується методом D - поділу по вещественному параметру ,що входить лінійно.

В рамках рішення поставлених задач розроблен ряд нових алгоритмів, а також модифіковані з урахуванням специфіки досліджень деякі вже існуючі алгоритми і методики. Кожний з отриманих результатів проілюстрований прикладом. Розроблен програмний комплекс, за допомогою якого реалізуються основні результати роботи.

Методи дослідження. Поставлені задачі вирішуються за допомогою методів сучасної теорії управління, лінійної алгебри і застосування підходів узагальненого метода Рауса - Гурвіца.

Наукову новизну складають наступні результати, що виносяться на захист:

-

- Методика і алгоритми синтезу параметрів регулятора заданої структури лінійних безперервних систем управління з непараметричною неозначенністью в моделі об'єкту;

- Методика і алгоритми алгебраїчної оцінки якості систем автоматичного управління яка синтезується методом D - поділу по вещественному параметру.

Основою алгоритмів ,що розробляються в дисертації є узагальнений метод Рауса - Гурвіца.

Практичну цінність роботи складає програмне забезпечення запропонованого в ній алгебраїчного метода аналіз робастной стійкості, синтезу робастно стійких систем і алгебраїчного метода оцінки якості САУ при синтезі її методом D - поділу. За допомогою розробленого програмного забезпечення виконаний аналіз системи автоматичного управління важкого літака при заході на посадку і системи автоматичного управління силовим гіроскопічним стабілізатором.

Реалізація результатів роботи. Дисертаційна робота виконана в рамках галузевiй програми міністерства освіти України "Опрацювання теорi, засобiв, моделей та алгоритмiв для утворення інтелектуальних систем обробки інформації." Результати дисертації були використані при виконанні НДР "Розробка математичних методів і програмних засобів дослідження аналого - цифрових систем управління багатомірними об'єктами" ("Граніт"), "Методи і програмні засоби машинного дослідження багатомірних систем управління" ("Диорит") (Наказ Міністерства Освіти України №37 від 13.02.97г). Комплекс програм алгебраїчного аналізу робастной стійкості і оцінки якості систем

використовується в навчальному процесі департаменту технічної кібернетики СевДТУ в лабораторному практикумi по курсу "Теорія автоматичного управління". Впровадження результатів роботи підтверджені відповідними актами.

Апробація роботи. Основні наукові і практичні результати дисертаційної роботи доповідались і обговорювались на 3-й українській конференції «Автоматика-96» (Севастополь, 1996 р.), 3-й і 4-й кримській міжнародній математичній школі «Метод функції Ляпунова і його додатки» (Алушта, 1997 р., Алушта, 1998 р.), 3-й міжнароднiй науково - технічнiй конференції «Управління використанням енергії» (Севастополь, 1998 р.).

Публікації. Результати дисертації що виносяться на захист опубліковані у 7 статтях науково - технічних збірок списку ВАК України.

Структура і обсяг роботи. Дисертаційна робота складається з вступу, шести розділів, висновків, списків літератури і додатків. Загальний обсяг роботи 168 сторінок друкованого тексту, містить 45 малюнків, 17 таблиць, список використаних джерел з 79 найменувань.

ЗМІСТ РОБОТИ

В вступі обгрунтовується актуальність роботи, сформульовані мета і основні задачі дослідження, перераховані вирішені в роботі задачі і результати їх рішення що захищаються, наведене стисле викладення того нового, що вноситься автором в дослідження проблеми, визначена практична цінність отриманих результатів.

В першому розділі приводиться огляд літератури по проблематиці, що досліджується, вказуються основні напрямки і підходи в рішенні поставлених задач. Зокрема, огляд існуючих публікацій показує, що задача аналізу стійкості систем автоматичного управління з непараметричной неозначенністью в моделі об'єкту є однією з центральних проблем теорії управління і продовжує привертати увагу великї кiлькостi дослідників. Також вказується, що задача D - подiлу є частним випадком задачі робастной стійкості за наявності параметричної неозначеності в моделі об'єкту і задача оцінки якості САУ при синтезі її методом D - поділу є надто актуальною. Огляд літератури показує, що існуючі засоби подібної оцінки засновані на частотном підході. По ряду причин, в багатьох випадках застосування частотних засобів в автоматизованих розрахунках неефективно. Тому виникає необхідність побудови поліноміальних форм нерівностей, розглядуваних при рішенні задач аналізу і синтезу робастно стійких САУ при непараметричнiй неозначеності в моделі об'єкту і оцінки якості САУ, які синтезуються методом D - поділу по вещественому параметру.

В другому розділі розглядається застосування узагальненого метода Рауса - Гурвіца до аналізу розподілу коренів вещественого многочлена, як засіб дослідження властивостей частотних годографів.

В третьому розділі пропонується метод дослідження стійкості лінійних неперервних САУ з непараметричною неозначенністью в моделі об'єкту, оснований на аналізі, за допомогою узагальненого методу Рауса - Гурвіца, розподілу веществених коренів крітеріального многочлена, що характеризує частотний годограф.

Розглядається неперервна система управління з одиничним негативним зворотним зв'язком. Припускається, що задана номінальна система з допомогою заданої правильної раціональної функції

Передаточна функція прямого ланцюга реальної системи задається з точністю до класу або.

Передаточна функція належить класу, якщо:

а) і мають однакове число нестійких полюсів;

б) ,, (1)

де - задана правильна раціональна функція, вибір якої характеризує адитивну неозначенність (грубість опису) завдання ланок прямого ланцюга системи, причому і мають однакову кiлькiсть коренів на мнимiй осі.

Передаточна функція належить класу,, якщо:

а) і мають однакове число нестійких полюсів;

б) , (2)

де - задана правильна раціональна функція, що характеризує мультиплікативну неозначенність моделі.

При частотному аналізі робастной стійкості розглядуваних систем використовуються лемми отримані H. Kimura і K. Wei, R. K. Yedavalli:

Лемма1. Клас замкнутих систем, де

, (3)

є робастно стійким, якщо і тільки якщо:

а) стійка замкнута система при і

б) виконується нерівність

. (4)

Лемма 2. Клас замкнутих систем, де визначається співвідношенням (3), є робастно стійким, якщо і тільки якщо:

1.

2.

Для переходу до поліноміальних форм нерівностей аналізу робастной стійкості при адитивнiй неозначенністі вводяться в розгляд: «робастизованний» характеристичний многочлен замкнутої системи

, (6)

де,

і «робастизований» характеристчний многочлен розiмкнутої системи

. (7)

Аналізуючи нерівність (4), можемо записати

(8)

або, використовуючи подання для квадрату модуля, запишемо

(9)

Так як. s=j, то для подальшого аналізу (4) розглядається многочлен

(10)

Записуючи многочлени і у вигляді

, (11)

(12)

отримаємо многочлен вигляду

(13)

Вважаючи x, запишемо

, (14)

т.ч., для виконання нерівності (9) необхідно і достатньо, щоб виконувалася нерівність

(15)

Необхідно відзначити, що так як, то з співвідношення (10) видно, що.

Рішення поставленої задачі визначає

Лемма 3. Для того щоб клас замкнутих систем був робастно стійким, необхідно і достатньо, щоб:

1)

1)

(16)

де означає число всіх різноманітних веществених негативних коренів многочлена

Для аналізу робастной стійкості САУ за наявності мультиплікативной неозначенності в моделі об'єкту вводяться в розгляд «робастизовані» многочлени

(17)

, (18)

параметри яких залежать від мультіплікативної неозначенністі Також вводиться многочлен

. (19)

Виконуючи побудови аналогічні випадку адитивної неозначеності одержуємо, що необхідні і достатні умови робастной стійкості розглядуваної САУ при заданiй мультиплікативнiй неозначеності визначає

Лемма 4. Для того щоб клас замкнутих систем був робастно стійким необхідно і достатньо, щоб:

1. Розглядувана САУ була стійка при;

2. Виконувалось співвідношення

(20)

де означає число різноманітних негативних веществених коренів многочлена. Перевірка умов (16) і (20) здійснюється за допомогою математичного апарату загальної проблеми Рауса, зокрема, шляхом побудови простої узагальненої таблиці Рауса по двом вхідним рядкам, що формуються по коефіціентам заданого многочлена, і застосування правила обчислення числа різноманітних негативних коренів вещественого многочлена.

При розгляді САУ з виділеним в прямому ланцюзі регулятором з заданою структурою і невизначеними коефіціентами і об'єктом з непараметричною неозначенністью пропонується методика побудови систем алгебраїчних нерівностей по яким можлива побудова в просторі параметрів регулятора областей робастной стійкості при заданiй неозначеності. Для цього за допомогою зазначених вище засобів виробляється побудова многочленів типу (10) і (19) відповідно, коефіціенти яких залежать від параметрів регулятора. При цьому, використовуючи відповідні умови робастной стіійкості, т.є. аналіз позитивної визначеності побудованих многочленів, в символьному вигляді застосуванням Гурвіцевих форм аналізу розподілу веществених коренів многочлена одержуємо системи алгебраїчних нерівностей, дозвіл яких призводить до побудови областей робастной стійкості САУ в просторі параметрів регулятора.

В четвертому розділі пропонується алгебраїчний підхід дослідження якості систем, яка синтезується методом D - подiлу по вещественому параметру, що здійснюється застосуванням математичного апарату загальної проблеми Рауса і сводящійся до аналізу веществених коренів многочленів, а також індексів Коши раціональних функцій, що характеризують відповідні частотні годографи і критерії.

В якості систем з параметричною неозначенністью розглядається САУ, яка синтезується методом D - подiлу по вещественому лінійному параметру. В якості вхідних використовуються частотні критерії оцінки якості розглядуваних систем В. В. Меерова.

Рівняння кривої D-подiлу по параметру має вигляд

. (21)

Для отримання полиноміальних нерівностей використовується подання для вещественой і мнімой частини частотного годографа

ReZ (j)=(1/2) [Z (j) +Z (-j)] =A (x)/ , x=, (22)

ImZ (j)=(1/2j) [Z (j)-Z (-j)]=-B (x)/, x=, (23)

де

A (s2)=(1/2) [R (s) Q (-s) +R (-s) Q (s)] =чет [R (-s) Q (s)], (24)

B ()=(1/2) [sQ (s) R (-s)+(-s) Q (-s) R (s)] =чет [-sQ (-s) R (s)]. (25)

Використовуючи означені подання і подання для квадрату модуля одержуємо алгебраїчні форми аналізу якісних показників розглядуваних САУ.

Так, наявність в системі запасу стійкості по фазі не менше заданого визначається вираженням

(E/A+) =0, (26)

де вираження в лівій частині (26) означає число негативних коренів многочлена E (x) що доставляють позитивне значення многочлену A(x), а многочлени E(x) і A(x) характеризують годограф D - подiлу. Аналогічно отримані алгебраїчні вирази для оцінки монотоності перехідного процесу, величини перерегулювання, часу регулювання і аналізу положительністі вещественой частотной характеристики системи яка синтезується. Всі отримані співвідношення висловлюються через такі числа, що характеризують розподіл коренів многочленів, як число усіх різноманітних веществених, число всіх різноманітних негативних (позитивних) веществених коренів, число різноманітних негативних (позитивних) веществених коренів заданої кратності, число різноманітних веществених коренів в заданому інтервалі. Означені числа обчислюються за допомогою математичного апарату загальної

проблеми Рауса шляхом побудови простої і розширеної таблиць Рауса і застосування відповідних алгоритмів.

В п'ятому розділі розглядаються питання, зв'язані з розробкою лінгвістичного і програмного забезпечення.

В шостому розділі наведен розрахунок системи автоматичного управління важкого літака при заході на посадку і системи автоматичного управління силовим гіроскопічним стабілізатором за допомогою запропонованих в дисертації підходів.

ОСНОВНІ РЕЗУЛЬТАТИ І ВИСНОВКИ

Розроблені алгебраїчні засоби аналізу і синтезу грубих лінійних неперервних САУ з неозначеністью в моделі об'єкту.

1.

1.

1.

1.

1.

1.

1.

1.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ РОБІТ

Основні положення дисертації викладені в наступних роботах:

1.

1.

1.

1.

1.

1.

1.

Крамарь В.А. Алгебраические формы анализа и синтеза грубых линейных непрерывных систем автоматического управления. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук по специальности 05.13.03 - Системы и процессы управления, - Севастопольский государственный технический университет, Севастополь, 1999.

В диссертации предлагаются новые методы алгебраического анализа и синтеза систем автоматического управления при наличии непараметрической неопределенности в модели объекта и САУ, синтезируемой методом D - разбиения по произвольному вещественному параметру.

Получены соотношения, позволяющие исследовать робастную устойчивость при наличии аддитивной или мультипликативной неопределенности в модели объекта на основе анализа распределения корней критериальных многочленов обобщенными методами Рауса - Гурвица. Разработана методика построения систем алгебраических неравенств для синтеза параметров регулятора заданного вида линейной непрерывной САУ при наличии непараметрической неопределенности в модели объекта . В основе указанной методики лежит применение обобщенного метода Гурвица к анализу распределения корней критериальных многочленов, содержащих синтезируемые параметры регулятора. Разработаны соотношения, позволяющие оценивать качественные параметры системы автоматического управления синтезируемой методом D - разбиения по вещественному линейно входящему параметру или коэффициенту усиления прямой цепи в частном случае. Для решения поставленной задачи получены полиномиальные формы частотных неравенств В.В. Меерова. Решение полученных полиномиальных неравенств осуществляется путем применения обобщенного метода Рауса - Гурвица к анализу знакоопределенности рациональной функции.

Получены алгебраические выражения, позволяющие оценивать запас устойчивости по фазе системы, монотонность переходного процесса, величину перерегулирования, время регулирования и анализировать положительность вещественной частотной характеристики синтезируемой системы. Все полученные в диссертации соотношения выражаются посредством числовых характеристик распределения корней вещественных многочленов, таких как число всех различных вещественных, число всех различных отрицательных (положительных) вещественных корней, число различных отрицательных (положительных) вещественных корней заданной кратности, число различных вещественных корней в заданном интервале. Указанные числа вычисляются при помощи математического аппарата общей проблемы Рауса, путем построения простых и расширенных таблиц Рауса - Гурвица и применения соответствующих алгоритмов.

Ключевые слова: непараметрическая неопределенность, робастная устойчивость, обобщенный метод Рауса - Гурвица, алгебраизация, D - разбиение, показатели качества.

Крамарь В. А. Алгебраїчні форми аналізу і синтезу грубих лінійних неперервних систем автоматичного управління. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата технічних наук по спеціальності 05.13.03 - Системи і процеси управління, - Севастопольський державний технічний університет, Севастополь, 1999.

В дисертації пропонуються нові методи алгебраїчного аналізу і синтезу систем автоматичного управління за наявності непараметричной неозначенністі в моделі об'єкту і САУ, яка синтезується методом D - подiлу по вещественому параметру. Отримані співвідношення, що дозволять досліджувати робастную стійкість САУ з адитивной або мультіплікатівной неозначеностью в моделі об'єкту на основі аналізу розподілу коренів крітериального многочлена узагальненим методом Рауса. На основі узагальненого методу Гурвіца отримані умови в формі системи алгебраїчних нерівностей для синтезу параметрів регулятора САУ з непараметричной неозначенністью в моделі об'єкту. Розповсюджено застосування узагальненого методу Рауса - Гурвіца на аналіз ряду показників якості систем, які синтезуються методом D - разбієнія.

Ключові слова: непараметрична неозначенність, робастна стійкість, узагальнений метод Рауса - Гурвіца, алгебраізація, D - разбієніє, показники якості.

Kramar V. A. The algebraic forms of the analysis and synthesis of rough linear continuous systems of automatic control. - Manuscript.

Dissertation on competition of a scientific degree of the candidate of engineering science on a speciality 05.13. 03 - System and control procedures, - Sevastopol state engineering university, Sevastopol, 1999.

In a thesis the new methods of the algebraic analysis and synthesis of systems of automatic control are offered at presence of nonparametric uncertainty in a model of plant and system, synthesized by a method D - partition on a real parameter. The relations permitting to investigate system's robust stability with additive or multiplicate uncertainty in a model of plant are

obtained analysing distribution of the roots of a criteria polynomial on a generalized Routh table. The conditions in the form of a system of algebraic inequalities, for synthesis of parameters of the governor of a system with nonparametric uncertainty in a model of plant are obtained, with help of generalized method of the Hurwitz. The application of a generalized Routh - Hurwitz method to the analysis of a series of indexes of quality of systems synthesized by the method D - of a partition is spreaded.

Key word: nonparametric uncertainty, robust stability generalized a Routh - Hurwitz method, algebraization, D - partition, indexes of quality.