Міністерство освіти і науки України

Чернівецький національний університет імені Юрія Федьковича

Івасюк Галина Петрівна

УДК 517.956.4

ПОЧАТКОВІ ЗАДАЧІ ДЛЯ ПАРАБОЛІЧНИХ СИСТЕМ

СОЛОННИКОВА–ЕЙДЕЛЬМАНА

01.01.02 – Диференціальні рівняння

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Чернівці – 2007

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана на кафедрі математичного моделювання Чернівецького

національного університету імені Юрія Федьковича Міністерства

освіти і науки України.

Науковий керівник – доктор фізико-математичних наук,

професор Івасишен Степан Дмитрович,

Чернівецький національний університет імені Юрія Федьковича,

кафедри математичного моделювання

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук,

професор Матійчук Михайло Іванович,

Чернівецький національний університет

імені Юрія Федьковича,

професор кафедри диференціальних рівнянь;

кандидат фізико-математичних наук,

доцент Кондур Оксана Созонтівна,

Прикарпатський національний університет

Василя Стефаника,

доцент кафедри економічної кібернетики

Захист відбудеться ''8'' лютого 2008 р. о год. на засіданні спеціалізованої вченої ради

К 76.051.02 у Чернівецькому національному університеті імені Юрія Федьковича за адресою: 58012, м.Чернівці, вул. Університетська, 28, аудиторія 8.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Чернівецького національного університету імені Юрія Федьковича (58012, м.Чернівці, вул. Л.Українки, 23).

Автореферат розіслано ''27'' грудня 2007 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради Бігун Я.Й.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальнiсть теми. У 1938 р. І.Г.Петровським уведений досить широкий клас параболічних систем рівнянь із частинними похідними, названий у світовій літературі класом параболічних за Петровським систем. Теорії таких систем присвячені численні статті багатьох авторів та відомі монографії А.Фрідмана, С.Д.Ейдельмана, О.О.Ладиженської, В.О.Солонникова та Н.М.Уральцевої, С.Д.Івасишена, М.В.Житарашу та С.Д.Ейдельмана, М.І.Матійчука. У цих працях добре розвинута теорія задачі Коші та крайових задач, основними результатами якої є встановлення коректної розв'язності таких задач у різноманітних функціональних просторах, одержання інтегральних зображень розв'язків і детальне вивчення властивостей ядер цих зображень – фундаментальної матриці розв'язків (ФМР) та матриці Гріна.

У теорії задачі Коші важливу роль відіграє ФМР. Для параболічних за Петровським систем довільних порядків побудова й дослідження властивостей ФМР здійснені в працях С.З.Брука, С.Д.Ейдельмана, В.Погожельського, Л.Н.Слободецького, Д.Г.Аронсона, М.І.Матійчука та ін.

Означення І.Г.Петровського параболічності систем узагальнювалось у різних напрямках. Зокрема, в 1960 р. С.Д.Ейдельман розглянув новий клас систем, який узагальнював клас систем, параболічних за Петровським. У цих системах диференціювання за різними просторовими змінними мають, взагалі кажучи, різну вагу відносно диференціювання за часовою змінною, тобто системи мають векторну параболічну вагу. Тому такі системи названі -параболічними. Дослідження для них задачі Коші та властивостей розв'язків проведені в працях С.Д.Ейдельмана, С.Д.Івасишена, М.І.Матійчука, І.П.Мединського, Г.С.Пасічник, О.С.Кондур, Т.М.Балабушенко та ін.

У 1964 р. В.О.Солонников запропонував ще одне узагальнення параболічних за Петровським систем. У цих системах порядок оператора, який діє на невідому функцію у рівнянні з номером , може залежати як від , так і від . Теорію крайових і початкових задач для таких систем розроблено в фундаментальній праці В.О.Солонникова, опублікованій в томі 83 "Трудов математического института имени В.А.Стеклова АН СССР" за 1965 рік. Одним з основних результатів цієї праці є доведення теорем про коректну розв'язність таких задач у просторах Гельдера обмежених функцій.

Деякі результати для параболічних за Солонниковим систем, що стосуються коректної розв'язності початкових задач, а також крайових задач у необмежених областях у просторах необмежено зростаючих при функцій одержані в працях С.Д.Івасишена і В.П.Лавренчука, О.А.Олійник і Є.В.Радкевича, М.Л.Маринова.

З аналізу результатів для параболічних за Петровським систем та їх узагальнень С.Д.Ейдельмана і В.О.Солонникова можна зробити висновок, що ще недостатньо досліджені задача Коші для -параболічних систем довільних порядків за всіма змінними, початкові задачі для параболічних за Солонниковим систем особливо у випадках, коли праві частини цих задач є зростаючими за функціями. Видається також природною спроба розширити вищевказані класи параболічних систем, зокрема, розглянути системи, які одночасно узагальнюють параболічні за Солонниковим і за Ейдельманом системи, і для них побудувати теорію початкових задач. Дисертаційна робота присвячена вирішенню порушених вище питань.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертація виконана в рамках науково-дослiдних робіт "Дослідження математичних моделей, які описуються диференціальними рівняннями з особливостями і виродженнями" (номер держреєстрацiї 0102U006596) і "Якісне дослідження та математичне моделювання процесів, що описуються диференціальними та диференціально-функціональними рівняннями" (номер держреєстрацiї 0106U008365), які виконувались на кафедрі математичного моделювання Чернiвецького національного унiверситету iменi Юрiя Федьковича. Аспіранткою цієї кафедри є авторка дисертації.

Мета i завдання дослiдження. Метою роботи є означення нового класу систем рівнянь з частинними похідними, який узагальнює відомі класи систем, параболічних у розумінні В.О.Солонникова та -параболічних у сенсі С.Д.Ейдельмана, та побудова для цього класу теорії початкових задач.

Безпосередніми завданнями дослідження є:–

детальне описання постановки початкових задач для нового класу систем;–

встановлення коректної розв'язності початкових задач в якомога ширших класах функцій, при цьому одержання точних апріорних оцінок розв'язків;–

з'ясування того, наскільки умови параболічності початкової задачі є істотними для правильності апріорних оцінок її розв'язків;–

доповнення відомих результатів для -параболічних систем результатами, які ще є невідомими і необхідними для розв'язання вищепоставлених завдань.

Об'єктом дослідження є новий клас параболічних систем – клас параболічних систем Солонникова–Ейдельмана.

Предмет дослідження – початкові задачі для параболічних систем Солонникова–Ейдельмана.

Методи дослідження: методи теорії параболічних потенціалів, метод регуляризатора.

Наукова новизна одержаних результатiв. У дисертації вперше одержані такі основні результати:

1) означено новий клас параболічних систем (параболічних систем Солонникова–Ейдельмана) і детально описано постановку для нього початкових задач (параболічних початкових задач Солонникова–Ейдельмана);

2) для модельних параболічних початкових задач описано структуру ФМР, одержано її оцінки, доведено теорему про коректну розв'язність у просторах Гельдера зростаючих функцій;

3) доведено теорему про коректну розв'язність загальної параболічної початкової задачі Солонникова–Ейдельмана в просторах Гельдера зростаючих функцій та виведено точні оцінки норм розв'язків через відповідні норми правих частин системи та початкових умов;

4) доведено необхідність умови параболічності системи для правильності вищеуказаних оцінок норм розв'язків;

5) встановлено нові властивості ФМР задачі Коші для загальної -параболічної системи першого порядку за часовою змінною, зокрема, знайдено формули, які виражають коефіцієнти системи через ФМР.

Зазначимо, що з одержаних у роботі результатів випливають нові результати для загальних параболічних систем І.Г.Петровського, С.Д.Ейдельмана та В.О.Солонникова, які стосуються коректної розв'язності задачі Коші в просторах Гельдера зростаючих функцій.

Практичне значення одержаних результатiв. Отримані в дисертаційній роботі результати мають теоре-тичне значення і можуть знайти застосування у подальшому розвитку загальної теорії параболічних рiвнянь та систем.

Особистий внесок здобувача. Основнi результати дисертації одержанi автором самостiйно. У спiльних з науковим керівником працях [1, 2] С.Д. Івасишену належить постановка задач i аналiз одержаних результатiв.

Апробацiя результатiв дисертацiї. Результати дослiджень, що включенi до дисертацiї, доповiдались на: конференції молодих учених із сучасних проблем механіки і математики імені академіка Я.С.Підстригача (Львів, 2005 р.); XI Міжнародній науковій конференції імені академіка М.Кравчука (Київ, 2006 р.); Міжнародній науковій конференції з диференціальних рівнянь, присвяченій 100-й річниці з дня народження Я.Б.Лопатинського (Львів, 2006 р.); Міжнародній науковій конференції ''Диференціальні рівняння та їх застосування`` (Чернівці, 2006 р.); Мiжнароднiй математичній конференції імені В.Я.Скоробогатька (Дрогобич, 2007 р.); математичному науковому семінарі імені В.Я.Скоробагатька (Львів, 2007 р.); наукових семінарах Чернівецької філії відділу математичної фізики Інституту прикладних проблем механіки і математики НАН України (Чернівці, 2004 – 2007 рр.); наукових семінарах факультету прикладної математики та кафедри математичного моделювання Чернівецького національного університету (Чернiвцi, 2005 – 2007 рр.).

Публiкацiї. Основнi результати дисертацiйної роботи опублiкованi в 9 працях, з них 2 – у наукових журналах, 2 – у збiрниках наукових праць i 5 – у матерiалах конференцiй. Серед публiкацiй 4 праці в наукових фахових виданнях з перелiку N 1 ВАК України вiд 09.06.1999 р.

Структура i обсяг роботи. Дисертацiя складається зі вступу, переліку умовних позначень і скорочень, чотирьох роздiлiв, висновків і списку використаних джерел , який мiстить 63 найменування і займає 8 сторінок. Повний обсяг роботи становить 124 сторінки.

Автор висловлює щиру подяку науковому керiвнику професору Степану Дмитровичу Івасишену за постановку задачі та змістовні консультації.

ОСНОВНИЙ ЗМICТ РОБОТИ

У вступі обгрунтовується актуальність теми, ставляться мета і завдання дослідження, указується на зв'язок дисертації з науковими темами кафедри, на якій вона виконана, наводяться основні результати, відзначається їх новизна, практичне значення й апробація.

У першому розділі зроблено огляд праць, присвячених в основному дослідженню задачі Коші та початкових задач для систем рівнянь, параболічних за Петровським, $\overrightarrow{2b}$-параболічних за Ейдельманом і параболічних у сенсі Солонникова.

У {\bf другому розділі} наведені відомі результати про ФМР задачі Коші для $\overrightarrow{2b}$-параболічних систем, а також установлені нові, які є необхідними для одержання основного результату роботи або мають самостійний інтерес.

Нехай $n$, $N$, $n_1$, $\dots$, $n_N$, $b_1$, $\dots$, $b_n$ -- задані натуральні числа, $T$ -- задане додатне число. Використовуватимемо такі позначення: $\ora{2b}:=(2b_1, \dots,

2b_n)$; $b$ -- найменше спільне кратне чисел $b_1$, $\dots$, $b_n$; $m_0:=2b$, $m:= (m_1, \dots, m_n)$, $m_j:= b/b_j$, $q_j:= 2b_j/(2b_j-1)$, $j \in \{1, \dots, n\}$; $\Z_+^n$ -- сукупність

усіх $n$-ви\-мір\-них мультиіндексів $\alpha:=(\alpha_1, \dots, \alpha_n)$, $\ov{\Z}_+^{n+1}$ -- сукупність усіх $(n+1)$-ви\-мір\-них мультиіндексів $\ov \alpha:=(\alpha_0, \alpha)$, де $\alpha \in \Z_+^n$; $\partial_{t, x}^{\ov\alpha}:=\partial_{t}^{\alpha_0}\partial_{x}^{\alpha} $,

$\partial_{x}^{\alpha}:=\partial_{x_1}^{\alpha_1} \dots \partial_{x_n}^{\alpha_n}$; $\Pi_H:= \{(t, x) \in \R^{n+1} \,\, \Big| \,\, t \in H, x \in \R^n\}$, де $H \subset \R$; $i$ -- уявна одиниця. Для $\alpha \in \Z_+^n$ покладемо $\|\alpha\| := \dst \sum\limits_{j=1}^{n}m_j \alpha_j$, а для $\ov \alpha \in \ov \Z_{+}^{n+1}$ -- $\dst \|\ov{\alpha}\|:= \sum\limits_{j=0}^{n}m_j \alpha_j$.

У підрозділі 2.1 відомі властивості ФМР $Z$ задачі Коші для $\ora{2b}$-параболічної системи

(I \partial_t - \suml_{\|\alpha\| \leq 2b} a_{\alpha}(t,

x)\partial_{x}^{\alpha})u(t, x) = 0, \quad (t, x) \in \Pi_{[0,

T]}, \eqno(1)

де $I$ -- одинична матриця порядку $N$, $a_{\alpha}$ -- матриця розміру $N \times N$, $u:=\mathrm{col}(u_1, \dots, u_N)$, доповнені рядом нових властивостей. Зокрема, встановлені такі рівності, з допомогою яких коефіцієнти системи (1) виражаються через ФМР:

\liml_{\tau \to t}\Bigg((t - \tau)^{-1} \Bigg(\intl_{\R^n} Z(t, x;

\tau, y)dy - I\Bigg)\Bigg) = a_0(t, x),

\liml_{\tau \to t}\Bigg((t - \tau)^{-1} \intl_{\R^n} Z(t, x; \tau,

y)(y-x)^{\beta}dy\Bigg) = \left\{\begin{array}{ll} \beta!

a_{\beta}(t, x), & 0 < \|\beta\| \leq 2b, \\

0, & \|\beta\| > 2b, \end{array}\right.

$(t, x)\in \Pi_{(0, T]},$ $\beta \in \Z_+^n$, $\beta!:= \beta_1!

\dots \beta_n!$.

Підрозділи 2.2 і 2.3 містять деякі нові результати для одного $\ora{2b}$-параболічного рівняння без молодших членів зі сталими коефіцієнтами вигляду

\Bigg(a_0 \partial_t^r + \suml_{\|\ov \alpha\| = 2br \atop

(\alpha_0 < r)} a_{\ov\alpha}\partial_{t, x}^{\ov

\alpha}\Bigg)u(t, x) = f(t, x),\enskip (t, x) \in \Pi_{(0, T]},

\eqno(2)

де $a_0 \neq 0$, $r$ -- натуральне число, яке більше за 1.

Нехай $\Gamma(t, x)$, $t > 0$, $x \in \mathbb{R}^n$, -- фундаментальний розв'язок (ФР) рівняння (2), так що розв'язок цього рівняння для будь-якої досить гладкої і фінітної функції $f$ визначається об'ємним потенціалом

U_f(t, x):= \intl_{0}^{t}d\tau \intl_{\mathbb{R}^n}\Gamma(t -

\tau, x - \xi)f(\tau, \xi)d\xi,

\quad

(t, x) \in \Pi_{(0, T]}. \eqno(3)

Для функції $\Gamma$ встановлені оцінки

|\partial_{t, x}^{\ov \alpha} \Gamma(t, x)| \leq C_{\ov\alpha}t^{r

- (M+\|\ov\alpha\|)/(2b)}E_c(t, x), \quad t > 0, x \in \R^n,

\ov\alpha \in \ov \Z_+^{n+1}, \eqno(4)

де $M:=\dst \suml_{j=0}^{n}m_j$, $E_c(t, x):=\dst \exp\Bigg\{-c \suml_{j=1}^{n} t^{1-q_j}|x_j|^{q_j}\Bigg\}$, $C_{\ov\alpha}$ і $c$ -- додатні сталі.

ФР $\Gamma$ породжує інтеграл Пуассона за формулою

V_{\varphi}(t, x) := \intl_{\mathbb{R}^n}\Gamma(t, x -

\xi)\varphi(\xi) d\xi, \quad (t, x) \in \Pi_{(0, T]}. \eqno(5)

Щоб сформулювати наведені в підрозділі 2.2 властивості потенціалів (3) і (5) означимо необхідні півнорми.

Нехай $c_0$, $a_1$, $\dots$, $a_n$ -- задані числа такі, що $0 < c_0 < c$, де $c$ -- стала з оцінок (4), $a_j \geq 0$, $T < \minl_{j}(c_0/a_j)^{2b_j-1}$; $\overrightarrow{k}(t, \overrightarrow{a}) :=(k_1(t, a_1), \dots, k_n(t, a_n))$, де $\overrightarrow{a}:= (a_1, \dots, a_n)$, $k_j(t, a_j) := c_0 a_j(c_0^{2b_j-1} - a_j^{2b_j-1}t)^{1 - q_j}$; $\Psi(t, x) \dst :=

\exp\Bigl\{\suml_{j=1}^{n}k_j(t, a_j)|x_j|^{q_j}\Bigr\}$, $(t, x) \in \Pi_{[0, T]}$; $l$ i $\lambda$ -- задані числа відповідно з множин $\Z_+^1$ i $(0, 1)$; $ \Delta_t^{\tau}f(t, \cdot):= f(t, \cdot) - f(\tau, \cdot), \,\,\,\, \Delta_{x_j}^{y_j} f(\cdot, x):= f(\cdot, x) - f(\cdot, x(y_j)),$ $ x(y_j):= (x_1, \dots, x_{j-1}, y_j, x_{j+1}, \dots, x_n), \,\,j\in\{1, \dots, n\}.$

Для функцій, визначених у $\Pi_{[0, T]}$, ви\-ко\-рис\-то\-ву\-єть\-ся півнорма

\ll\!\! u \!\!\gg_{l+\lambda, [0, T]}^{\ft \overrightarrow{k}(\cdot, \overrightarrow{a})} := \suml_{j=1}^n <\!\!u\!\!>_{(l+\lambda)/m_j, x_j, [0, T]}^{\ft \overrightarrow{k}(\cdot, \overrightarrow{a})} + <\!\!u\!\!>_{(l+\lambda)/(2b), t, [0, T]}^{\ft \overrightarrow{k}(\cdot, \overrightarrow{a})},\eqno(6)

де

<\!\!u\!\!>_{(l+\lambda)/m_j, x_j, [0, T]}^{\ft \overrightarrow{k}(\cdot, \overrightarrow{a})} := \suml_{0\leq l-\|\overline{\alpha}\| < m_j}<\partial_{t, x}^{\overline{\alpha}} u>_{(l-\|\overline{\alpha}\|+ \lambda)/ m_j,\, x_j, [0, T]}^{\ft \overrightarrow{k}(\cdot, \overrightarrow{a})},

<\!\!u\!\!>_{(l+\lambda)/(2b), t, [0, T]}^{\ft \overrightarrow{k}(\cdot, \overrightarrow{a})} := \!\!\! \suml_{0\leq l-\|\overline{\alpha}\| < 2b}\!\!\!\!\!\!\!\!\!<\!\partial_{t, x}^{\overline{\alpha}}

u\!>_{(l-\|\overline{\alpha}\|+\lambda)/(2b), t, [0, T]}^{\ft \overrightarrow{k}(\cdot, \overrightarrow{a})},

<\!\!u\!\!>_{\lambda, x_j, [0, T]}^{\ft \overrightarrow{k}(\cdot, \overrightarrow{a})} := \supl_{(t, x)\in\, \Pi_{[0, T]}\atop y_j \in \mathbb{R}, \, x_j\neq y_j}(|\Delta_{x_j}^{y_j} u(t, x)|

|x_j-y_j|^{-\lambda} (\Psi(t, x) + \Psi(t, x(y_j)))^{-1}),

<\!\!u\!\!>_{\lambda, t, [0, T]}^{\ft \overrightarrow{k}(\cdot, \overrightarrow{a})} := \supl_{\{t,\beta\} \subset[0, T],\, t \neq \beta \atop x\in \R^n }(|\Delta_t^{\beta} u(t, x)|\, |t -

\beta|^{-\lambda} (\Psi(t, x) + \Psi(\beta, x))^{-1}),

а для заданих в $\R^n$ функцій -- півнорма

[v]_{l+\lambda}^{\ft\overrightarrow{a}} :=\suml_{j=1}^n \suml_{0\leq l-\|\alpha\| < m_j}<\!\partial_x^{\alpha} v\!>_{(l-\|\alpha\|+\lambda)/ m_j,\, x_j}^{\ft\overrightarrow{a}},

\eqno(7)

де

$$ <\! v\!>_{\lambda, x_j}^{\ft\overrightarrow{a}} := \supl_{ x\in\, \R^n \atop y_j \in \mathbb{R}, \, x_j\neq y_j}(|\Delta_{x_j}^{y_j} v(x)| |x_j - y_j|^{-\lambda} (\Psi(0, x)

+ \Psi(0, x(y_j)))^{-1}).

$$

Властивості потенціалів (3) і (5) наведені в таких теоремах.

Теорема 2.1. Для будь-яких фіксованих $l \in \mathbb{Z}_+^1$ i $\lambda \in (0, 1)$ правильні оцінки

\ll\!U_f\!\gg_{l+2br+\lambda, [0, T]}^{\ft \overrightarrow{k}(\cdot, \overrightarrow{a})} \leq C

\ll\!f\!\gg_{l+\lambda, [0, T]}^{\ft \overrightarrow{k}(\cdot, \overrightarrow{a})}.

Теорема 2.2. Для будь-яких фіксованих $l \in \mathbb{Z}_+^1$ i $\lambda \in (0, 1)$ правильні оцінки

\ll\!V_{\varphi}\!\gg_{l+2b(r-1)+\lambda, [0, T]}^{\ft \ora k(\cdot, \ora a)} \leq C[\varphi]_{l+\lambda}^{\ft \ora a}.

У підрозділі 2.3 одержано інтегральне зображення розв'язків рівняння (2), з якого випливає єдиність розв'язку задачі Коші для цього рівняння в класі необмежено зростаючих при $|x| \rightarrow \infty $ функцій.

Позначимо через $C_0^{\ft\ora k(\cdot, \ora a)}$ простір неперервних функцій $u$: $\Pi_{[0, T]} \to \bC$, які мають скінченну норму

\|u\|_0^{\ft \ora k(\cdot, \ora a)}:=\supl_{(t, x) \in \Pi_{[0, T]}}(|u(t, x)|(\Psi(t, x))^{-1}),

а через $\widehat{C}_0^{\ft\ora k(\cdot, \ora a)}$ -- простір неперервних функцій $f$: $\Pi_{(0, T]} \to \bC$, для яких скінченні величини

\|f(t, \cdot)\|^{\ft \ora k(t, \ora a)}:=\supl_{ x \in \R^n}(|f(t, x)|(\Psi(t, x))^{-1})

для будь-яких $t \in (0, T]$ i норма

\|\widehat{f}\|_0^{\ft\ora k(\cdot, \ora a)}:= \intl_{0}^{T}\|f(t, \cdot)\|^{\ft \ora k(t,\ora a)}dt.

Теорема 2.3. Нехай функція $u$ є розв'язком в $\Pi_{(0,T]}$ рівняння (2) з $f \in \widehat{C}_0^{\ft \ora k(\cdot, \oraa)}$ і така, що $\partial_t^{\alpha_0}u \in C_0^{\ft \ora k(\cdot,\ora a)}$, $\alpha_0 \in \{0, 1, \dots, r-1\}$. Тоді правильнаформула

u(t, x) = \intl_{\R^n}\suml_{\alpha_0=0}^{r-1}a_0\partial_t^{r-1-\alpha_0}\Gamma(t,

x - \xi)\partial_{\tau}^{\alpha_0} u(\tau, \xi)\Bigg|_{\tau = 0}d\xi +

+ \intl_{0}^{t}d\tau \intl_{\R^n}\Gamma(t-\tau, x - \xi)f(\tau, \xi) d\xi,\quad (t, x) \in \Pi_{(0, T]},

де $\Gamma$ -- ФР рівняння (2).

У третьому розділі дається означення нового класу систем рівнянь із частинними похідними і описується та аналізується постановка початкових задач для таких систем.

Розглядається система $N$ рівнянь з $N$ невідомими функціями $u_1$, $\dots$, $u_N$ вигляду

\suml_{j=1}^{N}A_{kj}(t, x, \partial_t, \partial_x)u_j(t, x) = f_k(t, x), \quad (t, x) \in \Pi_{(0, T]}, k \in \{1, \dots, N\},

де $A_{kj}$ -- лінійні диференціальні вирази. Якщо ввести позначення $A:=(A_{kj})_{k,j=1}^{N}$, $u:= \mathrm{col} (u_1, \dots, u_N)$ i $f:=\mathrm{col}(f_1, \dots, f_N)$, то цю систему можна записати у вигляді

A(t, x, \partial_t, \partial_x)u(t, x) = f(t, x), \quad (t, x) \in \Pi_{(0, T]}. \eqno(8)

Припускається, що існують такі цілі числа $s_k$ i $t_j$ , що степінь відносно $\lambda$ многочлена $A_{kj}(t, x, p \lambda^{m_0}, i \sigma \lambda^m)$, $\sigma \lambda^m := (\sigma_1 \lambda^{m_1}, \dots \sigma_n \lambda^{m_n})$, не перевищує $s_k +t_j$ (якщо $s_k+t_j < 0$, то $A_{kj}:=0$) i $ \suml_{k=1}^{N}(s_k+t_k) = 2br,$ де $r$ -- степінь $\det A(t, x, p, i\sigma)$ як многочлена від $p$.

Нехай $A^0:=(A_{kj}^0)_{k,j=1}^{N}$ -- головна частина $A$, тобто

A_{kj}^0(t, x, p \lambda^{m_0}, i \sigma \lambda^m) = \lambda^{s_k+t_j}A_{kj}^0(t, x, p, i\sigma).

Означення 3.1. Система рівнянь (8) називається рівномірно параболічною системою Солонникова--Ейдельмана (або рівномірно параболічною за Солонниковим системою квазіоднорідної структури) на множині $\Pi_{[0, T]}$, якщо існує така стала $\delta > 0$, що для будь-яких $(t, x) \in \Pi_{[0, T]}$ i $\sigma \in \R^n$ $p$-корені рівняння $\det A^0(t, x, p, i\sigma) = 0$ задовольняють нерівність

\mathrm{Re} \, p(t, x, \sigma) \leq -\delta \suml_{j=1}^{n} \sigma_j^{2b_j}.

Числа $t_j$ i $s_k$ визначаються неоднозначно, їх вибір фіксується умовою $\maxl_{k \in \{1, \dots, N\}}s_k = 0$.

Припускається, що виконується умова

система (8) є рівномірно параболічною в $\Pi_{[0, T]}$ зі сталою $\delta > 0$ згідно з вищенаведеним означенням.

Частинними випадками вищеозначених систем є системи, параболічні за Петровським ($m_k = 1$, $k \in \{1, \dots, n\}$, $s_j = 0$ i $t_j = 2bn_j$, $n_j \in \N$, $j \in \{1, \dots, N\}$), $\ora{2b}$-параболічні за Ейдельманом ($m_k > 1$ для принаймні одного $k \in \{1, \dots, n\}$, $s_j = 0$, $t_j = 2bn_j$, $n_j \in \N$, $j \in \{1, \dots, N\}$) і параболічні за Солонниковим однорідної структури ($m_k = 1$, $k \in \{1, \dots, n\}$).

Для параболічних систем Солонникова--Ейдельмана початкові умови задаються рівністю

B(x, \partial_t, \partial_x)u(t, x)\Big|_{t = 0} = \varphi(x), x \in \R^n, \eqno(9)

де $B := (B_{kj})_{k = 1, j = 1}^{\enskip r, \enskip N}$ -- матричний диференціальний вираз, $\varphi:= \mathrm{col}(\varphi_1, \dots, \varphi_{r})$ -- задана вектор-функція. Припускається, що існують такі цілі числа $p_k$, що степінь відносно $\lambda$ многочлена $B_{kj}(x, p\lambda^{m_0}, i\sigma \lambda^m)$ не перевищує $p_k + t_j$ (якщо $p_k + t_j < 0$, то $B_{kj}:= 0$). Головною частиною виразу $B$ є вираз $B^0 := (B_{kj}^0)_{k=1, j = 1}^{\enskip r, \enskip N}$, де $ B_{kj}^0(x, p\lambda^{m_0}, i \sigma \lambda^m) = \lambda^{p_k+t_j}B_{kj}^0(x, p, i\sigma)$.

Для забезпечення коректності задачі (8), (9) вираз $B$ повинен задовольняти таку умову доповняльності: {\it рядки матриці $B^0(x, p, 0) \widehat{A^0}(0, x, p, 0) $, де $\widehat{A^0}:= (\det A^0)(A^0)^{-1}$, лінійно незалежні за модулем одночлена $p^r$ у кожній точці $x \in \R^n$}. При виконанні цієї умови система (8) і початкова умова (9) дають можливість за допомогою операції диференціювання та розв'язування лінійних алгебричних систем визначити значення при $t=0$ будь-якої похідної від кожної функції $u_j$ через $f_k$ і $\varphi_s$ та їх похідні.

Умова доповняльності рівносильна умові

\det H^{(\rho)}(x) \neq 0, \,\,\det H^{(\rho^{(k)})}(x)\neq 0, \,\,x \in \R^n,

де $H^{(\rho)}$ i $H^{(\rho^{(k)})}$ -- матриці відповідних

вищезгаданих алгебричних систем. У дисертації припускається, що виконується рівномірний варіант цієї умови, а саме умова

існує така стала $\delta_1 > 0$, що для всіх матриць $H^{(\rho)}$, $H^{(\rho^{(k)})}$ і точок $x \in \R^n$ справджуються нерівності

|\det H^{(\rho)}(x)| \geq \delta_1, \quad |\det H^{(\rho^{(k)})}(x)| \geq \delta_1.

Означення 3.2. Задача (8), (9), для якої виконуються умови i, називається параболічною початковою задачею Солонникова--Ейдельмана.

Останній, четвертий, розділ займає центральне місце в дисертації. Він містить основні результати роботи, які стосуються коректної розв'язності початкових задач для нового класу

параболічних систем.

Спочатку розглянута модельна параболічна початкова задача Солонникова--Ейдельмана

A^0(\partial_t,\partial_x)u(t, x) = f(t, x),\,\,t > 0, x\in \R^n, \eqno(10)

B^0(\partial_t,\partial_x)u(t, x)|_{t=0} = \varphi(x),\,\, x\in \R^n, \eqno(11)

тобто задача зі сталими коефіцієнтами, яка містить тільки групу старших членів як у системі, так і в початковій умові.

У підрозділі 4.1 описана структура ФМР $Z$ системи (10), одержані її оцінки, а також формули для розв'язків задачі (10), (11). В усі ці формули входить ФР $\Gamma$ $\overrightarrow{2b}$-параболічного рівняння $ \det A^0(\partial_t, \partial_x)v = 0 $. Зауважено, що аналогічні результати є правильними також для систем вигляду $A^0(\beta, y, \partial_t, \partial_x)u = f, $ які одержуються із системи (8), коли відкинути молодші члени, а коефіцієнти головної частини зафіксувати в точці $(\beta, y) \in \Pi_{[0, T]}$. Зокрема, для ФР $\Gamma(\cdot, \cdot; \beta, y)$ рівняння $ \det A^0(\beta, y, \partial_t, \partial_x)v = 0 $ справджуються оцінки

|\partial_{t, x}^{\overline{\alpha}}\Gamma(t, x; \beta, y)| \leq C_{\overline{\alpha}}t^{r-(M+\|\overline{\alpha}\|)/(2b)} E_c(t, x),

t > 0, x \in \mathbb{R}^n, (\beta, y) \in \Pi_{[0, T]}, \overline{\alpha} \in \overline{\mathbb{Z}}_+^{n+1}, \eqno(12)

в яких сталі $C_{\ov\alpha}$ i $c$ не залежать від $\beta, y$, якщо припускати, що виконується умова $\mathbf{A}$ та нижченаведена умова $\mathbf{C}$.

Підрозділ 4.2 присвячений зведенню загальної параболічної початкової задачі Солонникова--Ейдельмана до задачі з нульовими початковими даними.

Означимо потрібні простори Гельдера обмежених і зростаючих функцій. Нехай $k_j(\cdot, a_j)$, $\ora k(\cdot, \ora a)$ і $\Psi(\cdot, \cdot)$ -- вищеозначені функції, в яких $0 < c_0 < c$, де $c$ -- стала з оцінок (12).

Для $l \in \Z_+^1$ i $\lambda \in (0, 1)$ $H_{l+\lambda, [0, T]}^{\ft \ora k(\cdot, \ora a)}$ -- простір функцій $u$: $\Pi_{[0, T]} \to \mathbb{C}$, які мають неперервні похідні $\partial_{t, x}^{\ov \alpha}u$, $\|\ov \alpha\| \leq l$, і скінченну норму

\|u\|_{l+\lambda, [0, T]}^{\ft \ora k(\cdot, \ft \ora a)}:= \ll\!\! u \!\!\gg_{l+\lambda, [0, T]}^{\ft

\overrightarrow{k}(\cdot, \overrightarrow{a})} + \suml_{j=0}^{l} <\!\! u \!\!>_{j, [0, T]}^{\ft \overrightarrow{k}(\cdot, \overrightarrow{a})},

де $\ll\!\! u \!\!\gg_{l+\lambda, [0, T]}^{\ft \overrightarrow{k}(\cdot, \overrightarrow{a})}$ означено в (6), а

<\!\!u\!\!>_{j, [0, T]}^{\ft \overrightarrow{k}(\cdot, \overrightarrow{a})} := \suml_{\|\ov\alpha\| = j}\supl_{(t, x) \in \Pi_{[0, T]}}(|\partial_{t, x}^{\ov \alpha} u(t, x)| (\Psi(t, x))^{-1});

$C_{l+\lambda}^{\ft \ora a}$ -- простір функцій $v$: $\R^n \to \mathbb{C}$, для яких існують неперервні похідні $\partial_{x}^{ \alpha}v$, $\|\alpha\| \leq l$, і є скінченною норма

|v|_{l+\lambda}^{\ft\overrightarrow{a}} := [v]_{l+\lambda}^{\ft \ora a} +\suml_{j = 0}^l <\!v\!>_j^{\ft \ora a},

де $[v]_{l+\lambda}^{\ft \ora a}$ означено формулою (7), а

<\!\!v\!\!>_{j}^{\ft \overrightarrow{a}} := \suml_{\|\alpha\| = j}\supl_{x \in \R^n}(|\partial_{x}^{\alpha} v(x)| (\Psi(0, x))^{-1});

$H_{l+\lambda, [0, T]}:= H_{l+\lambda, [0, T]}^{\ft \ora k(\cdot, \ora 0)}$, $C_{l+\lambda}:=C_{l+\lambda}^{\ft \ora 0}$, де $\ora 0 :=(0, \dots, 0)$; ${\mathop{H}\limits^{\circ}}{\ft \ora k(\cdot, \ft \ora a) \quad \atop l+\lambda, [0, T] }$ -- підпростір простору $H_{l+\lambda, [0, T]}^{\ft \ora k(\cdot, \ora a)}$, елементи якого разом з усіма своїми похідними дорівнюють нулеві при $t = 0$; $\dst \prodl_{j=1}^{N}H_{r_j+\lambda, [0, T]}^{\ft \ora k(\cdot, \ora a)}$, $ \prodl_{j=1}^{N}{\mathop{H}\limits^{\circ}}{\ft \ora k(\cdot, \ora a) \quad \atop \ft r_j+\lambda, [0, T]}$ i $\dst \prodl_{j=1}^{r}C_{r_j+\lambda}^{\ft \ora a}$ -- декартові добутки

відповідних прос\-то\-рів з індексами $r_j \in \Z_+^1$.

Нехай задачі (8), (9), крім умов $\mathbf{A}$ і $\mathbf{B}$, виконуються ще умови

коефіцієнти диференціальних виразів $A_{kj}$ i $B_{sj}$ належать відповідно до просторів $H_{l-s_k+\lambda, [0, T]}$ i $C_{l-p_s+\lambda}$, $\{k, j\} \subset \{1, \dots, N\}$, $s \in \{1, \dots, r\}$};

$\,\,f \in \dst \prodl_{j=1}^{N}H_{l-s_j+\lambda, [0, T]}^{\ft \ora k(\cdot, \ora a)}$, $\,\,\varphi \in \dst \prodl_{s=1}^{r}C_{l-p_s+\lambda}^{\ft \ora a}$.

Лема 4.1. Нехай $\hat{l}_j := [(l+t_j)/(2b)]$, $ j \in \{1, \dots, N\}$. Якщо виконуються умови ${\bf A }$, ${\bf B }$, ${\bf C }$ і ${\bf D }$, то функції

{\varphi_j^{(\alpha_0)}} := \partial_t^{\alpha_0}{u_j\mid_{t=0}}, \quad \alpha_0 \in \{0, \dots, {\hat{l}_j}\}, j \in \{1, \dots, N\}, \eqno(13)

які знаходяться із системи (8) та початкової умови (9), належатьдо просторів $C_{l+t_j - 2b\alpha_0 + \lambda}^{\ft \ora a}$ і справджуються оцінки}

|\varphi_j^{(\alpha_0)}|_{l+t_j - 2b\alpha_0 + \lambda}^{\ft\overrightarrow{a}} \leq C \Biggl(\sum_{j=1}^N {\|f_j\|_{l-s_j+\lambda, [0, T]}^{\ft \ora k(\cdot, \ft \ora a)}}

+ \sum_{s=1}^r{|\varphi_s|_{l-p_s + \lambda}^{\ft\overrightarrow{a}}}\Biggl).\eqno(14)

Лема 4.2 Нехай $\varphi_j^{(\alpha_0)}$ -- функції із (13). Тоді існують функції $v_j \in H_{l + t_j + \lambda, [0, T]}^{\small {\overrightarrow{k}(\cdot, \overrightarrow{a})}}$, $j \in \{1, \dots, N\}$, для яких виконуються початкові умови

\partial_t^{\alpha_0} v_j(t, x)\Big|_{t = 0} = \varphi_j^{(\alpha_0)}(x), \quad x \in \mathbb{R}^n, \alpha_0 \in \{0, \dots, {\hat{l}_j}\},

та нерівності

\|v_j\|_{l + t_j + \lambda, [0, T]}^{\small {\overrightarrow{k}(\cdot, \overrightarrow{a})}} \leq C

\left(\suml_{j=1}^{N}\|f_j\|_{l - s_j + \lambda, [0, T]}^{\small {\overrightarrow{k}(\cdot, \overrightarrow{a})}} + \suml_{s=1}^{r} |\varphi_s|_{l - p_s + \lambda}^{\small

\overrightarrow{a}}\right).

Теорема 4.1. Нехай виконуються умови {\bf A}, {\bf B}, {\bf C}, {\bf D} і нехай $\varphi_j^{(\alpha_0)}$, $v_j$ -- функції із лем 4.1 та 4.2. Для існування єдиного розв'язку $u \in \prod\limits_{j=1}^{N} H_{l+t_j+\lambda, [0, T]}^{\small {\overrightarrow{k}(\cdot, \overrightarrow{a})}}$ задачі (8) і (9) необхідно й досить, щоб вектор-функція $ w:= u - v, \quad v:= \mathrm{col}(v_1, \dots, v_N), $ була єдиним розв'язком із простору $\prod\limits_{j=1}^{N} {\mathop{H} \limits^{\,\,\,_0}}_{l+t_j+\lambda, [0, T]}^{\ft \ora k(\cdot, \ft \ora a)}$ системи

A(t, x, \partial_t, \partial_x) w(t, x) = g(t, x), \quad (t, x) \in \Pi_{[0, T]}, \eqno(15)

де вектор-функція $g(t, x) := f(t, x) - A(t, x, \partial_t, \partial_x) v(t, x)$, $(t, x) \in \Pi_{[0, T]}$, належить до простору $\prod\limits_{j=1}^{N} {\mathop{H} \limits^{\,\,\,_0}}_{l-s_j+\lambda, [0, T]}^{\ft \ora k(\cdot, \ft \ora a)}$.

Якщо для $w$ справджується оцінка

\suml_{j=1}^{N}\|w_j\|_{l+t_j+\lambda, [0, T]}^{\small {\overrightarrow{k}(\cdot, \overrightarrow{a})}} \leq C \suml_{j=1}^{N}\|g_j\|_{l - s_j + \lambda, [0, T]}^{\small

{\overrightarrow{k}(\cdot, \overrightarrow{a})}}, \eqno(16)

то для $u$ є правильною оцінка

\suml_{j=1}^{N}\|u_j\|_{l+t_j+\lambda, [0, T]}^{\small {\overrightarrow{k}(\cdot, \overrightarrow{a})}} \leq C \left(\suml_{j=1}^{N}\|f_j\|_{l - s_j + \lambda, [0, T]}^{\small

{\overrightarrow{k}(\cdot, \overrightarrow{a})}} + \suml_{s=1}^{r} |\varphi_s|_{l-p_s+\lambda}^{\small \overrightarrow{a}}\right). \eqno(17)

Означення 4.1. Задача про знаходження розв'язку $w \in \prod\limits_{j=1}^{N} {\mathop{H} \limits^{\,\,\,_0}}_{l+t_j+\lambda, [0, T]}^{\ft \ora k(\cdot, \ft \ora a)}$ системи (15), в якій $g \in \prod\limits_{j=1}^{N} {\mathop{H} \limits^{\,\,\,_0}}_{l-s_j+\lambda, [0, T]}^{\ft \ora k(\cdot, \ft \ora a)}$, називається задачею з ну\-льо\-ви\-ми початковими даними для параболічної системи Солонникова--Ейдельмана в просторах Гельдера зростаючих функцій .

За допомогою теорем 2.1, 2.3 і 4.1 у підрозділі 4.3 доведена наступна теорема.

Теорема 4.2. Якщо вектор-функції $f$ i $\varphi$ задовольняють умову {\bf D}, то існує єдиний розв'язок $u \in \prod\limits_{j=1}^{N} {\mathop{H}}_{l+t_j+\lambda, [0, T]}^{\ft

\ora k(\cdot, \ft \ora a)}$ задачі (10), (11), для якого справджується оцінка (17).

У підрозділі 4.6 доведена основна в дисертації теорема 4.4, аналогічна теоремі 4.2.

Теорема 4.4. Нехай $l$ i $\lambda$ -- задані числа із множин $\mathbb{Z}_+$ i $(0, 1)$. Якщо виконуються умови\textbf{\textit{A}}, \textbf{\textit{B}} та \textbf{\textit{C}} , то для будь-яких $f \in \prod\limits_{j=1}^{N} H_{l - s_j + \lambda, [0, T]}^{\footnotesize\overrightarrow k(\cdot, \footnotesize\overrightarrow a)}$ i $\varphi \in \prod\limits_{s=1}^{r} C_{l-p_s+\lambda}^{\footnotesize\overrightarrow a}$ існує єдиний

\linebreak розв'язок $u \in \prod\limits_{j=1}^{N} H_{l + t_j + \lambda, [0, T]}^{\footnotesize\overrightarrow k(\cdot, \footnotesize\overrightarrow a)}$ задачі (8), (9), для якого справджується оцінка (17),в якій стала $C$ залежить тільки від відповідних норм коефіцієнтів задачі, сталих $\delta$ i $\delta_1$ з умов \textbf{\textit{А}} і \textbf{\textit{B}} та чисел $n$, $N$, $b_j$, $t_k$, $s_k$, $p_s$, $l$, $\lambda$ i $T$.}

Доведення цієї теореми грунтується на теоремі 4.1 та побудові й дослідженні регуляризатора задачі (8), (9), тобто лінійного неперервного оператора $\mathcal{R} : \prod\limits_{m=1}^{N} {\mathop{H} \limits^{\,\,\,_0}}_{l-s_m+\lambda, [0, \tau]}^{\ft \ora k(\cdot, \ft \ora a)} \rightarrow \prod\limits_{m=1}^{N} {\mathop{H} \limits^{\,\,\,_0}}_{l+t_m+\lambda, [0, \tau]}^{\ft \ora k(\cdot, \ft \ora a)}$, який задовольняє умови $ \mathcal{A}\mathcal{R} = I_{1} + \mathcal{T}$ i $ \mathcal{R}\mathcal{A} = {I}_{2} + \mathcal{W},$ де $\mathcal{A}$ -- оператор, який визначається системою (15), ${I}_{1},\,{{I}}_{2}$ -- тотожні, а $\mathcal{T}$ i $\mathcal{W}$ -- лінійні неперервні оператори у відповідних просторах, причому норми $\mathcal{T}$ i $\mathcal{W}$ малі, якщо досить малою є товщина $\tau$ шару $\Pi_{[0, \tau]}$.

За допомогою регуляризатора доводиться центральна теорема 4.3 для задачі з нульовими початковими даними.

Теорема 4.3. Нехай виконуються умови \textbf{\textit{A}}, \textbf{\textit{B}} і \textbf{\textit{C}}. Тоді існує таке число $\tau_0$, що для будь-якого числа $\tau \leq \tau_0$ задача (15) в $\Pi_{[0, \tau]}$ однозначно розв'язна і для її розв'язку справджується нерівність (16) для $[0, \tau]$, в якій стала $C$ залишається обмеженою при $\tau \to 0$.

З теореми 4.4 випливає, що умова параболічності системи (8) є достатньою, щоб справджувалась оцінка (17) для будь-якого розв'язку $u \in \prod\limits_{j=1}^{N} H_{l + t_j + \lambda, [0, T]}^{\footnotesize\overrightarrow k(\cdot, \footnotesize\overrightarrow a)} $ задачі (8), (9). Виявляється, що ця умова є необхідною.

Теорема 4.5. Нехай система (8) має структуру параболічної системи Солонникова--Ейдельмана з параметрами $b_j$, $t_k$, $s_k$, $p_s$ i $r$, число початкових умов (9) дорівнює $r$ і диференціальний вираз $B(x, \partial_t, \partial_x)$ задовольняє умову \textbf{\textit{B}}, коефіцієнти диференціальних виразів $A$ i $B$ задовольняють умову \textbf{\textit{C}} з деякими числами $l \in \mathbb{Z}_+$ i $\lambda \in (0, 1)$. Для того, щоб система (8) задовольняла умову \textbf{\textit{A}}, необхідно й досить, щоб існувала така стала $C > 0$, що для всіх вектор-функцій $u \in \prod\limits_{j=1}^{N} H_{l + t_j + \lambda, [0, T]}^{\footnotesize\overrightarrow k(\cdot, \footnotesize\overrightarrow a)}$ справджується нерівність

\sum\limits_{j=1}^{N}\|u_j\|_{l+t_j+\lambda,[0, T]}^{\footnotesize\overrightarrow k(\cdot, \footnotesize\overrightarrow a)} \leq C\left(\sum\limits_{k,j=1}^{N}\|A_{kj} u_j\|_{l-s_k+\lambda, [0, T]}^{\footnotesize\overrightarrow k(\cdot, \footnotesize\overrightarrow a)} + \sum\limits_{k=1}^{r}\sum\limits_{j=1}^{N} |B_{kj} u_j|_{t=0}|_{l-p_k+\lambda}^{\footnotesize\overrightarrow a}\right).

В И С Н О В К И

У дисертації означено новий клас параболічних систем(параболічних систем Солонникова–Ейдельмана), який узагальнює відомі класи систем, параболічних за І.Г.Петровським, С.Д.Ейдельманом та В.О.Солонниковим. Для цього класу систем описано постановку початкових задач (параболічних початкових задач Солонникова--Ейдельмана), для яких встановлені такі основні результати:–

у модельному випадку описана структура ФМР, одержані її оцінки, доведена теорема про коректну розв'язність у просторах Гельдера зростаючих функцій, при цьому виведені точні оцінки норм розв'язків через відповідні норми правих частин системи та початкових умов;–

у загальному випадку доведена теорема про коректну розв'язність у просторах Гельдера зростаючих функцій, аналогічна до відповідної теореми для модельного випадку;–

доведена теорема про необхідність умови параболічності системи для правильності апріорних оцінок у просторах Гельдера розв'язків загальних параболічних початкових задач Солонникова–Ейдельмана.

З вищеуказаних результатів випливають нові результати про коректну розв'язність у просторах Гельдера зростаючих функцій задачі Коші для загальних систем, параболічних у розумінні І.Г.Петровського, С.Д.Ейдельмана та В.О.Солонникова. У дисертації встановлені також нові властивості ФМР задачі Коші для -параболічної системи першого порядку за часовою змінною, зокрема, знайдено формули, які виражають коефіцієнти системи через ФМР.

Для обґрунтування результатів дисертацiйної роботи модифіковані методи, які розроблені при дослідженні задачі Коші для параболічних за Петровським і -параболічних систем, а також крайових задач для систем, параболічних за Солонниковим.

Результати проведених в дисертацiї досліджень мають теоретичне значення. Вони можуть використовуватися в подальшому розвитку теорiї параболічних рівнянь і систем .

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ

ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Івасишен С.Д., Івасюк Г.П. Параболічні за Солонниковим системи квазіоднорідної структури // Укр. мат. журн. – 2006. – 58, № 11. – С. 1501 – 1510.

2. Івасишен С.Д., Івасюк Г.П. Початкові задачі для параболічних систем Солонникова–Ейдельмана // Доп. НАН України. – 2007. – № 9. – С. 7 – 11.

3. Івасюк Г.П. Початкова задача для модельних параболічних за Солонниковим систем неоднорідної структури // Наук. вісник Чернівецького ун-ту: Зб. наук. пр. Вип. 269. Математика. – Чернівці: Рута, 2005. – С. 49 – 52.

4. Івасюк Г.П. Про властивості потенціалів модельного -параболічного рівняння довільного порядку // Наук. вісник Чернівецького ун-ту: Зб. наук. пр. Вип. 288. Математика. – Чернівці: Рута, 2006. – С. 51 –56.

5. Івасюк Г.П Про початкову задачу для модельних параболічних за Солонниковим систем неоднорідної структури // Конф. молодих учених із суч. проблем мех. і мат. ім. академіка Я.С.Підстригача (24 – 27 травня 2005 р., Львів): Тези доповідей. – Львів, 2005. – С. 25 – 26.

6. Івасюк Г.П. Про зведення загальної початкової задачі до задачі з нульовими початковими даними для параболічних за Солонниковим систем квазіоднорідної структури // Одинадцята міжнар. наук. конф. ім. академіка М.Кравчука (18 – 20 травня 2006 р., Київ): Матеріали конференції. – К., 2006. – С. 113.

7. Івасюк Г.П. Коректна розв'язність початкової задачі для модельної параболічної за Солонниковим системи з квазіоднорідною структурою // Міжнар. наук. конф. з диференціальних рівнянь, присвячена 100-й річниці з дня народження Я.Б.Лопатинського (12 - 17 вересня 2006 р., Львів): Тези доповідей. – Львів, 2006. – С. 25 – 26.

8. Івасюк Г.П. Про параболічні за Солонниковим системи квазіоднорідної структури // Міжнар. наук. конф. ''Диференціальні рівняння та їх застосування``, присвячена 60-річчю заснування каф. диф. рівнянь та пам'яті профессора С.Д.Ейдельмана (11 - 14 жовтня 2006 р., Чернівці): Тези доповідей. – Чернівці, 2006. – С. 55.

9. Івасюк Г.П. Про початкові задачі для параболічних систем Солонникова–Ейдельмана // Міжнар. мат. конф. ім. В.Я.Скоробогатька (24 - 28 вересня 2007 р., Дрогобич): Тези доповідей. – Львів, 2007. – С. 108.

АНОТАЦІЯ

Івасюк Г.П. Початкові задачі для параболічних систем Солонникова–Ейдельмана. – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фiзико-математичних наук за спецiальнiстю 01.01.02 – диференціальні рівняння. – Чернівецький нацiональний університет iм. Юрія Федьковича, Чернівці, 2007.

У дисертації означено новий клас параболічних систем, клас параболічних систем Солонникова--Ейдельмана, який узагальнює відомі класи систем, параболічних за І.Г.Петровським, С.Д.Ейдельманом та В.О.Солонниковим. Для цього класу систем описано постановку початкових задач – параболічних початкових задач Солонникова–Ейдельмана (ППЗСЕ). Для модельних ППЗСЕ визначено структуру фундаментальної матриці розв'язків, одержано її оцінки, доведено теорему про коректну розв'язність у просторах Гельдера необмежено зростаючих із зростанням просторових змінних функцій, при цьому виведено точні оцінки норм розв'язків через відповідні норми правих частин системи та початкових умов. Для загальних ППЗСЕ доведено теорему про коректну розв'язність у просторах Гельдера зростаючих функцій, аналогічну до відповідної теореми для модельного випадку. Доведено необхідність умови параболічності системи для правильності апріорних оцінок у просторах Гельдера розв'язків загальних ППЗСЕ.

Ключовi слова: параболічна за Солонниковим система, -параболічна система, параболічна система Солонникова–Ейдельмана, початкова задача, фундаментальна матриця розв'язків, коректна розв'язність, простір Гельдера зростаючих функцій.

АННОТАЦИЯ

Ивасюк Г.П. Начальные задачи для параболических систем Солонникова–Эйдельмана. – Рукопись.

Диссертация на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.02 – дифференциальные уравнения. – Черновицкий национальный университет им. Юрия Федьковича, Черновцы, 2007.

В диссертации определен новый класс параболических систем уравнений в частных производных, класс параболических систем Солонникова–Эйдельмана, обобщающий известные классы систем параболических в смысле И.Г.Петровского, С.Д.Эйдельмана и В.А.Солонникова. Для этого класса систем описана постановка начальных задач, параболических начальных задач Солонникова–Эйдельмана, для которых установлены следующие основные результаты: –

в модельном случае определена структура фундаментальной матрицы решений, получены её оценки, доказана теорема о корректной разрешимости в пространствах Гёльдера неограничено растущих с ростом пространственных переменных функций, при этом получены точные оценки норм решений через соответствующие нормы правых частей системы и начальных условий;–

в общем случае доказана теорема о корректной разрешимости в пространствах Гёльдера растущих функций, аналогичная соответствующей теореме для модельного случая; –

доказана теорема о необходимости условия параболичности системы для справедливости априорных оценок в пространствах Гёльдера решений общих параболических начальных задач Солонникова–Эйдельмана.

Из указанных выше результатов следуют новые результаты о корректной разрешимости в пространствах Гёльдера растущих функций задачи Коши для общих систем, параболических в смысле И.Г.Петровского, С.Д.Эйдельмана и В.А.Солонникова. В диссертации установлены также новые свойства фундаментальной матрицы решений задачи Коши для -параболической системы первого порядка по временной переменной, в частности, найдены формулы, выражающие коэффициенты системы через фундаментальную матрицу решений.

Для обоснования результатов диссертации модифицированы методы, разработанные при исследовании задачи Коши для параболических по Петровскому и -параболических по Эйдельману систем, а также краевых задач для систем, параболических по Солонникову.

Результаты проведённых в диссертации исследований имеют теоретическое значение. Они могут использоваться в дальнейшем развитии теории параболических уравнений и систем.

Ключевые слова: параболическая по Солонникову система, -параболическая система, параболическая система Солонникова–Эйдельмана, начальная задача, фундаментальная матрица решений, корректная разрешимость, пространство Гёльдера растущих функций.

ABSTRACT

Ivasyuk G.P. Initial problems for Solonnikov–Eidelman's parabolic systems. – Manuscript.

The thesis for obtaining Candidate of Sciences (Physical and Mathematical) degree (Ph. D.) speciality 01.01.02 – Differential Equations. Chernivtsi National Yuri Fedkovich University, Chernivtsi, 2007.

A new class of parabolic systems, a class of Solonnikov–Eidelman's parabolic systems, which extends the known classes of parabolic on I.G. Petrovsky, S.D. Eidelman and V.A. Solonnikov systems is defined in thesis. For this class of systems it is described a statement of initial problems – Solonnikov–Eidelman's parabolic initial problems (SEPIP). For model SEPIP a structure of fundamental matrix of solutions is defined, its estimates are obtained and the theorem on correct resolvability in Hlder spaces of infinitely increasing functions, with increase of space variables, is proved. Precise estimates of norms of solutions by corresponding norms of members of right part of system and of initial conditions are deduced. For common SEPIP a theorem on correct resolvability in Hlder spaces of increasing functions, similar to the corresponding theorem for model case, is proved. It is proved, that the parabolic condition for systems is necessary condition for correctness of a priori estimates in Hlder spaces of solutions common SEPIP.

Key words: parabolic on Solonnikov system-parabolic system, initial problem, parabolic Solonnikov–Eidelman's system, fundamental matrix of solutions, correct resolvability, Hlder space of increasing functions.