НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ІНСТИТУТ ПРИКЛАДНИХ ПРОБЛЕМ МЕХАНІКИ І МАТЕМАТИКИ ІМ. Я.С. ПІДСТРИГАЧА

Івасько Роман Олексійович

УДК 539.3

ТЕРМОНАПРУЖЕНИЙ СТАН ФЕРИТОВИХ ТІЛ

З ПЛОСКОПАРАЛЕЛЬНИМИ ГРАНИЦЯМИ ЗА ДІЇ КВАЗІУСТАЛЕНИХ ЕЛЕКТРОМАГНІТНИХ ПОЛІВ

01.02.04 – механіка деформівного твердого тіла

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Львів – 2007

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Інституті прикладних проблем механіки і математики

ім. Я.С. Підстригача НАН України.

Науковий керівник: | доктор фізико-математичних наук, професор Гачкевич Олександр Романович, Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України, завідувач відділу теорії фізико-механічних полів. | Офіційні опоненти: | доктор фізико-математичних наук, професор Осадчук Василь Антонович, Національний університет „Львівська політехніка”, завідувач кафедри „Зварювальне виробництво, діагностика та відновлення металоконструкцій”;

доктор фізико-математичних наук, старший нау-ковий співробітник Киричок Іван Федорович, Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України, провідний науковий співробітник відді-лу термопружності. | Провідна установа: | Донецький національний університет Міністерст-ва освіти і науки України, кафедра теорії пруж-ності і обчислювальної математики, м. Донецьк. |

Захист відбудеться „9” липня 2007 р. о 15 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д .195.01 в Інституті прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України за адресою: 79060, м. Львів, вул. Наукова, 3-б.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України (79060, м. Львів, вул. Наукова, 3-б).

Автореферат розіслано „8” червня 2007 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради,

доктор фізико-математичних наук |

Максимук О.В. |

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. В електронній, електротехнічній та інших галузях промисловості все ширшого застосування набувають пристрої з елементами з феритових магнітних матеріалів. Часто технології виготовлення таких елемен-тів, зокрема відпалу, пов’язані з використанням дії зовнішнього електромагніт-ного поля (ЕМП), в тому числі квазіусталеного (амплітуди напруженостей елек-тричного і магнітного полів якого мало змінюються за період електромагнітних коливань). Вплив ЕМП на феритове тіло спричинює протікання в ньому ряду взаємозв’язаних процесів різної фізичної природи (теплових, механічних і елек-тромагнітних), які суттєво впливають на міцнісні і конструкційні параметри відповідних феритових елементів. Це зумовлено і тим, що ферити (з огляду на спосіб виготовлення та механічні властивості) належать до керамічних матеріа-лів, для виробів з яких навіть малі напруження можуть приводити до значних змін їх електромагнітних функціональних параметрів. Тому важливим є вивчен-ня фізико-механічних процесів в деформівних твердих феритових тілах за дії ЕМП для прогнозування функціональної здатності феритових елементів при-строїв різного технічного призначення.

В літературі відомі широкі дослідження механічної поведінки як феро-магнітних, так і діелектричних тіл за комплексних навантажень (механічних, електромагнітних, теплових), резонансних коливань і дисипативного розігріву п’єзоелектричних та п’єзомагнітних керамічних тіл (із застосуванням при описі ЕМП формалізмів, використовуваних в такого типу задачах, наближень виму-ше-ної електро- чи магнітостатики). Наявні в літературі дослідження взаємодії ЕМП з феритовим (яке проявляє одночасну здатність до намагнічування та по-ляризації) середовищем стосуються в основному оптимізації (з використанням результатів експериментальних досліджень) режимів експлуатації феритових виробів за дії ЕМП та прогнозування вихідних характеристик електротехнічних і електронних пристроїв. Вони спрямовані на мінімізацію гістерезисних втрат у матеріалі. Відомі дослідження, пов’язані з виготовленням композитів індукцій-ним способом з використанням клеєвих сумішей з феритовими наповнювачами. Проте вони відносяться лише до вивчення процесу нагрівання феритових мате-ріалів за допомогою ЕМП. Взаємозв’язок механічних, теплових і електромаг-нітних процесів у тілі з феритового матеріалу при дії ЕМП, а також його вплив на параметри цих процесів за різних амплітудно-частотних характеристик зов-нішніх ЕМП в літературі вивчено недостатньо. Не враховано здатності ферито-вого середовища одночасно як до намагнічування, так і до поляризації в певних ділянках частотного спектру. Тому виникає потреба в побудові математичної моделі кількісного опису та дослідження зумовленого дією квазіусталеного ЕМП напруженого стану феритових тіл з урахуванням зв’язку процесів елект-ропровідності, теплопровідності та деформації, а також особливостей електро-магнітних властивостей матеріалу залежно від частоти ЕМП для раціонального проектування і розробки електромагнітних пристроїв з феритовими елемента-ми, а також режимів їх експлуатації та режимів обробки таких елементів з вико-ристанням ЕМП із забезпеченням функціональної здатності як цих елементів, так і пристроїв в цілому.

Зв’язок роботи з науковими програмами, планами і темами. Дослід-ження за темою дисертації виконувались в рамках науково-дослідних тем Інс-титуту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України: „Розробка математичних моделей і методів дослідження та оптиміза-ції процесів деформування, тепломасопереносу і структурних перетворень в ба-гатокомпонентних електропровідних тілах при комплексних зовнішніх діях” (1999-2003 рр., № держреєстрації 0199U000627); „Розробка математичних мо-делей і методів для дослідження та оптимізації нелінійних термомеханодифу-зійних процесів у багатокомпонентних електропровідних і діелектричних середовищах неоднорідної структури” (2002-2004 рр., № держреєстрації 0102U001616); „Розробка математичних моделей і методів термомеханіки структурно-неоднорідних тіл” (2005-2006 рр., № держреєстрації 0105U000236); „Математичне моделювання, дослідження та оптимізація механотермодифузій-них процесів і фазових змін в електропровідних тілах за локальних комплекс-них зовнішніх дій” (2004-2007 рр., № держреєстрації 0104U000203) (дисертант – виконавець тем).

Мета і завдання дослідження. Метою дисертаційної роботи є побудова математичної моделі кількісного опису взаємозв’язаних процесів електропро-відності, теплопровідності та деформації, що відбуваються в феритових тілах за дії зовнішнього квазіусталеного електромагнітного випромінювання радіочас-тотного діапазону, для прогнозування функціональної здатності феритових еле-ментів пристроїв різного технічного призначення.

Досягнення мети передбачає:

· аналіз наявного в науково-технічній літературі опису електромагнітних і фі-зико-механічних властивостей феритових матеріалів та відповідних характе-ристик таких матеріалів;

· формулювання фізичних положень та вихідних співвідношень математичної моделі термомеханіки феритових тіл за дії квазіусталених ЕМП на основі за-гальної теорії взаємодії ЕМП з феритовим середовищем;

· розробку методики дослідження механічної поведінки феритових тіл з вико-ристанням сформульованих фізичних положень і відомих з літератури ха-рактеристик матеріалу та формалізму комплексних амплітуд. Встановлення меж застосовності методики;

· знаходження розв’язків нових задач про термомеханічну поведінку ферито-вого шару за дії ЕМП, створюваного однорідним та синусоїдально змінним за однією з координат струмом, що протікає в струмовідній площині, пара-лельній до основи шару. Виявлення на цій підставі закономірностей впливу характеристик матеріалу та амплітудно-частотних параметрів ЕМП на на-пружений стан тіл за забезпечення їх функціональної здатності. Опрацюван-ня розрахункових схем вихідної задачі у відповідності до характерних пара-метрів, що описують зовнішнє електромагнітне навантаження і властивості матеріалу.

Об’єктом дослідження є термомеханічна поведінка феритових тіл за дії квазіусталених електромагнітних навантажень.

Предметом дослідження є розробка математичної моделі та методики ви-значення теплового і напруженого станів феритових тіл за дії квазіусталеного електромагнітного випромінювання радіочастотного діапазону.

Методи дослідження. При побудові математичної моделі використано методи теорії функцій (апроксимація функцій скінченними сумами, кусково-лі-нійна апроксимація результатів експериментальних досліджень), теорії дифе-ренціальних рівнянь з частинними похідними (формулювання задач на ключові функції), фізики твердого тіла (моделювання взаємодії ЕМП з матеріальним континуумом, здатним до намагнічування та поляризації), механіки суцільного середовища (побудова математичної моделі механіки зв’язаних полів). При ви-значенні параметрів ЕМП, полів температури та напружень застосовано теорію функції комплексної змінної (метод комплексних амплітуд); для розв’язання за-дачі теплопровідності – метод скінченних інтегральних перетворень за просто-ровою змінною, а зв’язаної задачі термопружності – апроксимацію розподілів температури і напружень відносно товщинної координати поліномом третього степеня. Отриману внаслідок такої процедури систему лінійних алгебраїчних рівнянь з комплексними коефіцієнтами розв’язано методом Гаусса; при кількіс-ному аналізі розв’язків конкретних задач використано також методи чисельного диференціювання та інтегрування.

Наукову новизну одержаних результатів становлять:

· побудована математична модель кількісного опису зумовлених дією зовніш-нього квазіусталеного електромагнітного випромінювання радіочастотного діапазону взаємозв’язаних електромагнітних, теплових і механічних проце-сів в тілах з феритових матеріалів (здатних до одночасних поляризації і на-магнічування в певних ділянках частотного спектру розглядуваних ЕМП, що не дає можливості сформулювати вихідні задачі про визначення параметрів ЕМП відносно відповідних напруженостей електричного чи магнітного по-лів). Модель основана на загальній теорії взаємодії ЕМП та матеріального континуума, де вплив поля враховано через об’ємні тепловиділення (як джо-улеві, так і пов’язані з перемагнічуванням і переполяризацією) та пондеро-моторні сили, а також відомих з літератури для таких матеріалів значеннях комплексних діелектричних та магнітних проникностей і відповідних тан-генсів кутів втрат, які дозволили ввести формалізм наближених комплексних подань для параметрів ЕМП з подальшим зведенням відповідної нелінійної вихідної задачі електродинаміки до задачі на комплексні амплітуди напру-женостей магнітного або електричного полів. Розв’язок задачі термомехані-ки знайдено у вигляді суми двох складників – повільно змінних за часом (в квазістатичній постановці) та квазіусталених (в постановці зв’язаної дина-мічної задачі термопружності), які відповідають отриманій структурі тепло-виділень і пондеромоторних сил. Ця модель є розвитком відомих моделей для електропровідних неферомагнітних і недіелектричних тіл;

· отримані з використанням запропонованої методики розв’язки задач про визначення параметрів термонапруженого стану пружного шару з феритово-го матеріалу, жорстко зчепленого з півпростором, який перебуває під дією ЕМП, створеного заданою у зовнішньому середовищі системою квазіустале-них електричних струмів за рівномірного та синусоїдального за координа-тою їх розподілу по тонкому шарі (що моделюється площиною, паралель-ною до основи шару). Струмовідна площина знаходиться на деякій відстані від поверхні розглядуваного феритового шару. При цьому квазістатичні складники температури і напружень визначені за допомогою скінченних ін-тегральних перетворень, а квазіусталені – як точно, так і наближено з вико-ристанням апроксимації їх розподілів за товщиною кубічним законом. Ці за-дачі є новими і становлять самостійний інтерес;

· виявлені нові дані про вплив електрофізичних, теплових і механічних харак-теристик матеріалу та амплітудно-частотних параметрів ЕМП на напружено-деформований стан феритових тіл.

Обґрунтованість і достовірність основних наукових засад і отриманих результатів забезпечується фізичною обґрунтованістю вихідних положень мате-матичної моделі, строгістю постановки сформульованих задач та методів їх розв’язування, використанням експериментально визначених фізико-механіч-них характеристик матеріалів, узгодженістю запропонованого варіанту теорії термомеханіки феритових тіл за дії квазіусталених ЕМП радіочастотного діапа-зону з відомими розрахунковими моделями дослідження термомеханічної пове-дінки феромагнітних тіл та тіл низької електропровідності (ТНЕ) при індукцій-ному нагріванні, співпадінням отриманих часткових результатів з відомими.

Практичне та теоретичне значення отриманих результатів. Теоретич-не значення отриманих результатів полягає в розширенні кола моделей термо-механіки електропровідних тіл при дії електромагнітних навантажень на випа-док феритових тіл (тіл, здатних до одночасного намагнічування та поляризації) за дії зовнішнього квазіусталеного електромагнітного випромінювання радіо-частотного діапазону. Практичне значення отриманих результатів полягає у можливості їх використання для оцінки залежності рівнів напружень у виробах від характеристик технологічних чи експлуатаційних навантажень з метою про-гнозування параметрів електротехнічних і електронних пристроїв з феритовими елементами при їх проектуванні.

Апробація результатів дисертації. Основні результати досліджень, ви-кладені в дисертаційній роботі, доповідалися й обговорювалися на VІ-VII Між-народних нарадах-семінарах „Инженерно-физические проблемы новой техни-ки” (Москва, 2001, 2003); IV-VІІ Міжнародних симпозіумах українських інже-нерів-механіків у Львові (Львів, 1999, 2001, 2003, 2005); V-VІІ Міжнародних наукових конференціях „Математичні проблеми механіки неоднорідних струк-тур” (Львів, 2000, 2003, 2006); ІІ Всеукраїнській науковій конференції „Неліній-ні проблеми аналізу” (Івано-Франківськ, 2000); ХІ наукових читаннях, присвя-чених пам’яті академіка Я.С. Підстригача (Львів, 2001); ІІ та ІV Всеукраїнських наукових конференціях „Математичні проблеми технічної механіки” (Дніпро-петровськ, 2002, 2004); Міжнародній науково-технічній конференції „Проблеми математичного моделювання сучасних технологій” (Хмельницький, 2002); ІV Міжнародній науковій конференції „Актуальні проблеми механіки деформівно-го твердого тіла” (Донецьк-Мелекіно, 2006).

У повному обсязі дисертаційна робота доповідалася й обговорювалася на семінарі відділу теорії фізико-механічних полів Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України під керівництвом д.ф.-м.н., проф. О.Р. Гачкевича, на семінарі кафедри механіки Львівського наці-онального університету ім. Івана Франка під керівництвом д.ф.-м.н., проф. Г.Т. Сулима, на об’єднаному семінарі кафедр прикладної механіки та комп’ю-терних технологій і теорії пружності та обчислювальної математики Донецько-го національного університету під керівництвом акад. НАН України, д.ф.-м.н., проф. В.П. Шевченка і д.ф.-м.н., проф. С.О. Калоєрова, на науковому семінарі відділу термопружності Інституту механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України під керівництвом д.ф.-м.н., проф. В.Г. Карнаухова, на науковому семінарі ка-федри зварювального виробництва, діагностики та відновлення металоконст-рукцій Національного університету “Львівська політехніка” під керівництвом д.ф.-м.н., проф. В.А. Осадчука, на загальноінститутському науковому семінарі „Механіка взаємозв’язаних полів” Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України під керівництвом д.ф.-м.н., проф. Р.М. Кушніра.

Публікації та особистий внесок здобувача. Основні результати дослід-жень, які відображені в дисертації, опубліковано в 11 наукових працях [1-11], у тому числі в 4 статтях у фахових виданнях зі списку ВАК України [1-4], 5 стат-тях в інших наукових виданнях [5-9] (з них 4 статті у фахових виданнях зі спис-ку ВАК України з інших спеціальностей [5-8]), 1 матеріалах [10] і 1 тезах [11] конференцій. Результати, що складають основний зміст дисертаційної роботи, отримано автором самостійно. В роботах [1-10], опублікованих у співавторстві, здобувачеві належать: співучасть у побудові варіанту теорії термомеханіки фе-ритових тіл при дії квазіусталеного ЕМП (побудова системи рівнянь та крайо-вих умов) [1, 3, 4, 9, 10], побудові аналітичного виразу кривої намагнічування для феромагнітних матеріалів за слабких полів високої частоти [2], формулю-ванні граничних задач для характеристик квазіусталеного ЕМП в феромагніт-них тілах (які описуються квазілінійними диференціальними рівняннями пара-болічного типу) [5], розробці методики отримання майже періодичних за часом розв’язків цих рівнянь [6] та дослідження фізико-механічних процесів за умов низькотемпературного технологічного нагрівання феритових виробів [8]; аналі-тичний розв’язок задачі електродинаміки для феритового шару [3, 9]; розробка алгоритму наближеного розв’язування зв’язаної задачі термопружності та його чисельна реалізація [3, 4, 7, 9]; отримання і аналіз розв’язків розглядуваних за-дач [3, 4, 7, 9].

Структура та обсяг дисертації. Дисертаційна робота складається зі всту-пу, п’яти розділів, висновків і списку використаних джерел. Загальний обсяг дисертації становить 142 сторінки. Робота містить 23 рисунки та 1 таблицю. Список використаних джерел складається зі 182 найменувань.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі подано загальну характеристику роботи; обґрунтовано актуаль-ність дисертаційної роботи та її зв’язок з науковими програмами; сформульова-но мету і задачі дослідження; відзначено новизну отриманих результатів та їх практичне значення; викладено дані про апробацію результатів роботи та публі-кації її основного змісту, а також особистий внесок здобувача в публікаціях у співавторстві; зроблено короткий опис структури дисертації.

У першому розділі наведено огляд літератури по близьких за напрямком роботах з механіки зв’язаних полів. Проаналізовано математичні моделі, які описують взаємозв’язок процесів різної фізичної природи (в тому числі і елект-ромагнітних).

Загальні підходи до побудови моделей механіки суцільного середовища, що враховують взаємодію полів різної фізичної природи, викладено в роботах Я.Й. Бурака, В.Т. Грінченка, О.М. Гузя, О.А. Ільюшина, В.Г. Карнаухова, Ф.Г. Махорта, В.З. Партона, Я.С. Підстригача, Л.І. Сєдова, А.Ф. Улітка, М.О. Шульги, A.C., K., G.A., F.C., W., Y.H., H., C., A.A. van de та ін.

Проблема математичного моделювання і дослідження електромагнітних, теплових і механічних явищ в матеріальних середовищах є багатогранна. Роз-глядаються як різні типи матеріалів (електропровідні неферомагнітні і феромаг-нітні, діелектричні, п’єзоелектричні, п’єзомагнітні і ін.), так і моделі досліджен-ня специфіки взаємодії ЕМП з конкретними матеріальними континуами (елект-ро- та магнітопружність, поширення хвиль за наявності ЕМП, побудова теоре-тичних основ обробки тіл з використанням ЕМП і т.п.). Розробці таких конкрет-них моделей визначення, дослідження і оптимізації механічної поведінки тіл з різними електричними і магнітними властивостями за наявності ЕМП присвя-чені роботи А.Н. Агєєва, С.А. Амбарцумяна, Г.Е. Багдасаряна, М.В. Белубекя-на, Я.Й. Бурака, О.Р. Гачкевича, Я.М. Григоренка, В.Т. Грінченка, О.М. Гузя, В.І. Дресвяннікова, К.Б. Казаряна, С.А. Калоєрова, В.Г. Карнаухова, І.Ф. Ки-ричка, М.І. Кисельова, Ю.М. Коляна, Б.А.Кудрявцева, Ю.І. Лелюха, В.В. Лохі-на, Ф.Г. Махорта, В.В. Мелешка, Л.В. Мольченка, Ю.І. Няшина, В.З. Партона, Я.С. Підстригача, Ю.М. Подільчука, Ю.М. Постольника, Н.Н. Рикаліна, М.М. Родигіна, В.С. Саркісяна, І.К. Сенченкова, І.Т. Сєлєзова, Л.В. Сєлєзової, М.М. Сидляра, М.Г. Угодчикова, А.Ф. Улітка, Л.А. Фільштинського, В.Ф. Чеку-ріна, Б.І. Чорного, О.М. Шаблія, В.П. Шевченка, М.О. Шульги, A.C., Y., K., E., G.A., F.C. і ін.

При цьому виділяється започаткований роботами Я.Й. Бурака, Я.С. Під-стригача, Б.І. Колодія, М.М. Родигіна напрям важливих у застосуваннях дослід-жень, пов’язаних з розробкою математичних моделей термомеханіки електро-провідних тіл для оцінки їх термомеханічної поведінки за дії широко вико-ристовуваних в інженерній практиці усталених і квазіусталених ЕМП (зокрема, при індукційному нагріванні). В роботах Я.Й. Бурака, О.Р. Гачкевича, Б.Д. Дро-бенка, Б.І. Колодія, Р.С. Мусія, Я.С. Підстригача, Р.Ф. Терлецького, М.Т. Соло-дяка, Л.В. Чернявської, Б.І. Чорного, Z. Kasperski, J. Szymczak, S. Szymura та ін. запропоновано математичні моделі визначення та дослідження напруженого стану електропровідних деформівних тіл, що можуть намагнічуватись чи поля-ризуватись, з врахуванням квазіусталеного характеру зміни в часі чинників дії ЕМП на матеріальний континуум, термочутливості матеріалу. Розглянуто особ-ливості деформування за наявності електромагнітної дії з модуляцією ампліту-ди при імпульсному модулюючому сигналі.

Однак в літературі відсутні математичні моделі і методи дослідження зу-мовленого дією ЕМП термонапруженого стану широко використовуваних фе-ритових функціональних елементів пристроїв різного технічного призначення, які в силу своїх електромагнітних властивостей проявляють в певних ділянках частотного спектру квазіусталених ЕМП одночасно здатність як до намагнічу-вання, так і поляризації.

У другому розділі, присвяченому опису фізико-механічних властивостей феритових матеріалів за дії квазіусталених ЕМП, проведено їх класифікацію за магнітними та електричними властивостями (магнітном’які, електром’які; маг-нітнотверді, електротверді; магнітострикційні, електрострикційні; матеріали з прямокутною петлею гістерезису). За механічними властивостями вони нале-жать до крихких матеріалів. Розглянуто електромагнітну дію (за характерних па-раметрів, , де– найбільше значення напруже-ності магнітного поля в феритовому тілі,– максимальна несуча кругова час-тота ЕМП), за якої можна прийняти, що переміщення, деформації і їх швид-кос--ті в досліджуваних крихких тілах є настільки малі, що виконуються припу-щен-ня лінійної теорії пружності, а впливом руху на характеристики ЕМП можна знех-тувати. Обмежуються феритами, для яких є неістотні електромеханічні і термо-електричні ефекти. Приймається, що функціональні властивості виробів з фери-тових матеріалів зберігаються за максимальних температур, нижчих від їх тем-пе-ратур Кюрі, і напружень, менших від допустимих. Тоді за електромагніт-ної дії, при якій зберігаються функціональні властивості виробів, електромаг-нітні, теплофізичні і фізико-механічні характеристики матеріалу можна вважа-ти неза-лежними від температури (усереднені в проміжку нагрівання). Середо-вище роз-глянуто як ізотропне, в якому вектори намагнічування і поляризації паралельні відповідно до векторів напруженостей магнітного та електричного полів. При окреслених умовах вважається, що матеріальні рівняння, які визна-чають зв’язок векторів напруженостей, і зміщень, магнітного та електрич-но-го полів, а також їх зв’язок зі струмом провідності, в ферито-вих тілах ма-ють вигляд:

, , , (1)

де,– абсолютні магнітна і діелектрична проникності,– коефі-цієнт електропровідності;,– орти в напрямку векторів і; і– проекції векторів і на додатний напрям вектора, а і– проекції векторів і на додатний напрям вектора. При циклічних перемагнічуванні та переполяризації перші дві залежності описують динамічні петлі гістерезису, для яких характерне насичення. Форми петель для конкретних матеріалів залежать від частоти і амплітуди зовнішнього поля. Для слабких полів і високих частот криві намагнічування і поляризації мають фор-му еліпса. Для окремих феритів є відомі (виміряні експериментально) характе-ристики,;,;,;, і відповідно, та,. Тут,– індукції насичення;,– залишкові індукції;,– коерци-тивні сили;,– характерні величини напруженостей при насичених намагнічуванні та поляризації;,– початкові відносні проникності;,– максимальні відносні проникності. Гістерезисні залежності і за врахування специфіки процесів намагнічування і поляризації фери-тів при гармонічних в часі напруженостях магнітного і електричного полів, отримуються у вигляді

, , (2)

де,– для матеріалів, що мають вузькі петлі гістерезису, які моделюють основними кривими намагнічування і поляризації (м’які ферити);,– для матеріалів, що ма-ють широку петлю гістерезису (тверді ферити). У співвідношеннях (2):,;,; і– намагнічування та поляризація насичення; при і при, при і при;,– значення напруженостей на поверхні тіла. У випадку еліптичної залежнос-ті між індукціями і напруженостями при гармонічних напруженостях магнітно-го і електричного полів в електротехнічній літературі використовують комплек-сні проникності (розглядається перша гармоніка):

(3)

(, ,;, , , де, , ,– комплексні амплітуди)

і відповідні тангенси кутів втрат

. (4)

Таке подання випливає з (2) при

, , ;

, , . (5)

При цьому комплексні проникності (тангенси втрат) істотно залежать від часто-ти. В літературі є наявні значення комплексних проникностей і відповідних тангенсів втрат як функцій частоти для різних типів феритів. Вони описують за-лежності між напруженостями і індукціями для феритів при і. Феритові матеріали є поганими провідниками (порівняно з фе-ромагнетиками). Їх коефіцієнт електропровідності змінюється в границях. Теплові і механічні характеристики феритового матеріа-лу за літературними даними мають розкиди і їх значення можуть бути встанов-лені в певних границях.

Феритовий матеріал є магнітною керамікою і за своїми міцнісними харак-теристиками належить до крихких матеріалів, для яких має місце лінійна залеж-ність між деформаціями та напруженнями аж до межі міцності. За типових умов експлуатації виробів з феритових матеріалів є наявні слабкі поля () при високих несучих частотах (), які містять діапа-зон, де ферит має властивості і феромагнетика, і діелектрика. Такі ж параметри мають поля, що використовуються в багатьох відомих технологіях термооброб-ки виробів з феритових матеріалів.

У третьому розділі побудовано математичну модель та методику кількіс-ного опису взаємозв’язаних процесів електропровідності, теплопровідності та деформації, що відбуваються в феритових тілах за дії ЕМП, створеного заданою у зовнішньому середовищі системою квазіусталених електричних струмів раді-очастотного діапазону з модуляцією амплітуди, густина яких має вигляд:

, (6)

де– комплексний вектор густини електричних струмів;– радіус-вектор розглядуваної точки простору;;– максимальна амплітуда струмів;– задана повільно змінна за період електромагнітних коливань функція (майже стала), яка задовольняє умову квазіусталеного наближення

. (7)

За сформульованих у другому розділі умов, що приймаються при експе-риментальному визначенні характеристик феритових матеріалів і отриманні ма-теріальних рівнянь, вплив квазіусталеного ЕМП на процеси теплопровідності і деформування в феритовому тілі, як і в відомих моделях для феромагнітних та діелектричних тіл, враховано через зумовлені цим полем джоулеві та гістере-зис--ні (пов’язані з перемагнічуванням і переполяризацією) тепловиділення і пон-деро-моторні сили. Пондеромоторні моменти за рахунок паралельності векторів ін-дукцій і напруженостей магнітного і електричного полів дорівнюють нулю. В такому наближенні і при постійних характеристиках матеріалу вихідні співвід-но-шення для кількісного опису параметрів теплових, механічних і електромаг-нітних про-цесів в феритових тілах за дії квазіусталеного ЕМП сформульовано за два ета-пи. На першому етапі на основі рівнянь Максвелла записано задачі для визна-чення параметрів ЕМП та вирази для тепловиділень і пондеромотор-них сил (за їх статистичного окреслення) як функцій електромагнітних пара-метрів. На дру-гому етапі, ґрунтуючись на співвідношеннях динамічної задачі термопружності в напруженнях, отримано залежності, що описують теплові і механічні пара-метри при заданих початкових і крайових умовах на температуру і компо-ненти тензора напружень, в яких джерелами тепла і об’ємними си-лами є теп-ловиділення і пондеромоторні сили, знайдені на першому етапі. При цьому за-дачу першого етапу про визначення параметрів ЕМП, яка описується рівняння-ми Максвелла за залежностей (2) між напруженостями і індукціями електрич-ного і магнітного полів, вже не можна сформулювати відносно відпо-відних на-пруженостей електричного чи магнітного полів (що зумовлює значні матема-тичні труднощі при визначенні параметрів ЕМП).

Розглянуто важливий для інженерних застосувань випадок слабких ЕМП при високих частотах, за якого є наявні в науково- технічній літературі дані про значення магнітних і діелектричних проникностей і відповідних тангенсів кутів втрат для різних типів феритових матеріалів та їх залежності від частоти. За-пропоновано наближену методику дослідження наявних фізико-механічних по-лів за таких електромагнітних дій. Еліптичність форми петель гістерезису в слабких ЕМП високої частоти дає можливість для таких полів, використовуючи метод комплексних амплітуд (за опису параметрів ЕМП в наближенні першої гармоніки), лінеаризувати вихідну задачу електродинаміки шляхом введення наближених комплексних представлень векторів напруженостей електричного та магнітного полів

, (8)

де

(9)

(,– модульовані комплексні амплітуди в тілі, які задовольняють подібні до (7) умови квазіусталеності поля:

), (10)

та звести її до задачі електродинаміки відносно відповідних напруженостей електричного чи магнітного полів за здатності феритового матеріалу до одно-час-них як намагнічування, так і поляризації.

Для квазіусталеного ЕМП, амплітуди напруженостей якого описуються повільно змінними функціями часу (внаслідок малої зміни амплітуд поля на пе-ріоді електромагнітних коливань), реальні динамічні петлі гістерезису для кож-ного конкретного періоду коливань замінено еквівалентними еліпсами, що ха-рактеризуються комплексними проникностями (3) та відповідними тангенсами кутів гістерезисних втрат (4) (відомими експериментальними даними).

Виходячи з закону збереження енергії ЕМП і статистичної моделі елект-ромеханічної взаємодії поля і середовища, здатного до намагнічування та поля-ризації, при комплексних представленнях векторів напруженостей електрично-го та магнітного полів, отримано вирази для питомої потужності тепловиділень і пондеромоторної сили у вигляді двох складників – повільно змінного в часі (який співпадає з об’ємною густиною відповідної величини, усередненою за пе-ріод коливань ЕМП) і квазіперіодичного (сумарна потужність якого за період дорівнює нулю).

При знайдених тепловиділеннях і пондеромоторних силах температура і напруження в тілі визначаються системою рівнянь динамічної термопружності (сформульованих відносно температури і тензора напружень) при крайо-вих умовах, які відповідають заданим умовам нагріву та закріплення тіла. Вихо-дячи зі структури виразів для тепловиділень і пондеромоторних сил, температу-ру і тензор напружень подано у вигляді суми повільно змінних у часі і квазіус-талених складників. При цьому перші з них визначено в квазістатичній постановці, нехтуючи впливом зв’язаності полів деформації та температури, а другі – в квазіусталеному наближенні (нехтуючи впливом початкової стадії процесу).

У четвертому розділі для отримання закономірностей механічної пове-дінки феритових тіл за дії зовнішніх квазіусталених ЕМП на основі запропоно-ваної у розділі 3 методики та з використанням аналітичних і числових методів визначено параметри термонапруженого стану феритового пружного шару тов-щини за дії ЕМП, створеного заданою у зовнішньому середовищі системою квазіусталених електричних струмів

, (11)

рівномірно розподілених по тонкому струмовідному шару (що моделюється площиною, паралельною до основи шару). Площина знаходиться на віддалі від поверхні розглядуваного феритового шару. При цьому з метою проведення широкого аналізу результатів розв’язок відповідної зв’язаної задачі термомеха-ніки знайдено наближено з використанням кубічної апроксимації розподілів квазіусталених складників температури і напружень за товщинною координа-тою. Числові дослідження виконано для зчепленого з жорстким півпростором при (переміщення) шару. Температурні поля і напруження шару з магнітном’якого нікель-цинкового фериту 1000НН кількісно досліджували за товщин h = 0,03; 0,15 і 0,30 м та. Характеристики матеріалу такі:;;;;;;. Розраховували для густини електрично-го струму (типової для режимів експлуатації виробів з таких мате-ріалів, за яких) і. Частоту зовнішнього ЕМП вибирали з переліку дозволених для використання у промисловості амплітудно-модульова-них хвиль (радіочастотного діапазону, ультракоротких, а також НВЧ телевізій-ного діапазонів). При цьому враховували залежності діелектричної та магнітної проникностей і тангенсів кутів гістерезисних втрат від частоти поля. Верхня ос-нова вільна від механічних навантажень. На ній має місце конвективний теплообмін з зовнішнім середовищем (температура якого постійна і дорівнює початковій температурі шару) при критерії Біо, а нижня основа – теплоізольована.

На відміну від феромагнітних тіл, починаючи з частоти, зміна товщини феритового шару веде до зміни характеру розподілу амплітуд напруженостей ЕМП, повільно змінних складників і амплітуд квазіусталених складників об’ємних густин тепловиділень та пондеромоторних сил: для малих товщин він майже лінійний, а для великих – хвильовий.

У різних діапазонах частот ЕМП для феритових тіл характерні різні меха-нізми нагріву. Для частот істотні джоулеві тепловиділення, а для вищих – гістерезисні двох типів: у діапазоні – діелектричні, а для – магнітні.

Аналіз показав, що до частот пондеромоторна сила в основно-му визначається магнітною силою Кельвіна.

За частоти ЕМП, для якої довжина хвилі у феритовому середовищі () є кратна подвійному максимальному розміру тіла у на-прямку поширення електромагнітних хвиль спостерігається параметричний ре-зонанс (резонанс форми). Він пов’язаний з виникненням нерухомих хвиль та су-проводжується збільшенням напруженостей поля і як наслідок – величин, які через них виражаються (чинників дії поля).

Умовою виникнення нерухомих електромагнітних хвиль у феритовому середовищі, на відміну від діелектричних тіл, є як певне співвідношення між довжиною хвилі та розміром тіла у напрямку її поширення (необхідна умова), так і незначні гістерезисні втрати (поряд з великими значеннями проникностей) на даній частоті поля. Проявляється специфіка феритового матеріалу: суттєва частотна залежність проникностей і гістерезисних втрат.

На рис. наведено розподіли по товщині шару квазістатичних складників температури та найбільших за значеннями компонент напружень в шарі (тов-щини) в усталеному температурному режимі () за частоти ЕМП.

Рис. 

Виявлено, що квазіперіодичні за часом складники температури та напру-жень за згаданих типових умов експлуатації нехтовно малі порівняно з квазіста-тичними, значення яких не перевищують допустимих (температури Кюрі та границь міцності: і за розтягу і стис-ку); для феритового шару (як і для феромагнітних та діелектричних тіл) квазі-статичні складники напружень зумовлені в основному дією тепловиді-лень, тобто, визначаючи їх, можна знехтувати дію пондеромоторних сил; зі зменшенням товщини шару збільшується квазістатичний складник напружень від пондеромоторної сили; значення квазістатичних складників напру-жень нехтовно малі порівняно з квазістатичними.

Встановлено також, що для феритових тіл (як і для електропровідних не-феромагнітних неполяризовних, феромагнітних неполяризовних і неферомаг-нітних тіл низької електропровідності (ТНЕ)) існують такі частоти зовнішнього ЕМП, за яких значно зростають рівні температури і напружень, зумовлені квазі-періодичними в часі складниками тепловиділень і пондеромоторних сил (коли їх частота (2) наближається до однієї з власних частот термопружних коли-вань шару). Аналіз виразів для квазіусталених складників температури і напру-жень показав, що в околі частоти ЕМП (де– власна частота товщинних коливань шару,– швидкість поширення поздовжньої пружної хвилі), яку визначають з умови екстремуму цих складників, вони мак-симальні.

На рис. показано розподіли за товщинною координатою амплітуд квазі-періодичних складників напружень (за врахування зв’язаності полів деформації і температури) для резонансних частот ЕМП (а –, б –). Символом позначено напруження, зумовлені понде-ромоторною силою.

Рис. 

Значення обох перших двох резонансних частот ЕМП знайдено з вико-ристанням запропонованої методики наближеного розв’язування зв’язаної сис-теми рівнянь термопружності (що описують квазіусталені складники), яка ґрун-тується на поданні розподілу шуканих функцій за товщинною координатою ку-бічними поліномами.

На відміну від ТНЕ, у феритових тілах в околах резонансних частот квазі-періо-дичні складники напружень в основному визначає пондеромоторна сила, ве-ли-кі значення якої зумовлені магнітними властивостями матеріалу. Зі збіль-шен-ням порядку резонансної частоти амплітуди квазіперіодичних складників тем-пера-тури і напружень зменшуються.

Дослідження термонапруженого стану шару в околах резонансних частот і показали, що резонанс, викликаний зв’язаністю полів деформа-ції і температури (, де– параметр зв’язаності), відбувається внас-лідок незначного термопружного розсіяння енергії і характеризується вищим резонансним відгуком такої коливної системи, ніж системи, наявної за резонан-су форми.

Отримані на резонансних частотах значення квазіперіодичних складників напружень можуть перевищити границі міцності матеріалу і зумовити руйну-вання виробу, а складників температури – температуру Кюрі і призвести до втрати магнітних і електричних властивостей цього виробу.

У п’ятому розділі для оцінки впливу неоднорідності розподілу зовніш-нього електричного струму на параметри технологічного нагріву плоских фери-тових елементів за врахування напруженого стану (міцнісних характеристик) визначено і досліджено термомеханічну поведінку феритового шару за дії квазі-усталеного ЕМП, створюваного струмом, що протікає в струмовідній площині, густина якого має синусоїдальний характер зміни за координатою.

У відповідності до результатів, отриманих в розділі 4 для стійкої залеж-ності процесу нагрівання від частоти електромагнітної дії, прийнято, що круго-ва несуча частота лежить поза околом резонансних і. При цьому використана квазістатична постановка. Отримання розв’язку здійснено за три етапи, які зведені до послідовного визначення параметрів, що описують елект-ромагнітне, температурне та механічні поля.

На рис. показано розподіли по товщині шару приросту температури при рівномірному (– рис. а) та гармонічному за координатою (– рис. б) розподілах густини електричного струму (, , , ,– частота синусоїдальної за координатою зміни густини струму), які досягаються в усталеному температурному режимі ().

Рис. 

Видно, що синусоїдальний характер розподілу густини струму спричинює зрос-тання приросту температури в шарі порівняно з рівномірним.

Специфіка технології виготовлення феритових виробів зумовлює необхід-ність використання термічної обробки. В достатньо широкому діапазоні темпе-ратур (аж до температур Кюрі) ефективним є електромагнітний спосіб термооб-робки (низькотемпературна обробка) феритових виробів. Процес нагрівання відбувається так само, як і в технології індукційної термообробки, але в основ-ному завдяки особливості електрофізичних властивостей матеріалу – здатності до перемагнічування та переполяризації з виділенням тепла в періодичному ЕМП (при малих джоулевих тепловиділеннях внаслідок низької електропровід-ності). Для такої термічної обробки треба досягнути температури в тілі, не ниж-чої. З метою побудови раціональних режимів згаданого технологічного нагрівання (зокрема для технологічного тренування феритових виробів, низько-температурного відпалу з метою зняття конструкційних, монтажних чи інших залишкових напружень і т.п.) з використанням ЕМП досліджено квазістатичні складники температури і напружень в шарі за однорідного струму в струмовід-ній площині ().

Чисельні дослідження розв’язків показали, що за витраченою індуктором енергією на нагрів шару (пропорційною до густини струму та часу досягнення необхідної температури відпалу) оптимальним є режим обробки на частотах, які лежать в околі частот резонансу форми. Проте максимальні значення напру-жень, спричинені дією такого ЕМП на феритовий виріб, в залежності від наяв-них теплових крайових умов можуть перевищити допустимі (границя міцності на стиск розглядуваного феритового матеріалу становить). Рис. ілюструє розподіли по товщині шару приросту температури та спричинених нею значень максимальних напружень (при, , , ,).

Рис. 

У розглянутому випадку температура на поверхні шару є трохи меншою, ніж необхідна для відпалу. Потрібна температура (за напружень, що містяться в межах допустимих) досягається регулюванням теплових граничних умов (нап-риклад, заміни конвективного теплообміну на теплоізоляцію).

ОСНОВНІ РЕЗУЛЬТАТИ РОБОТИ ТА ВИСНОВКИ

У дисертації розв’язано актуальне наукове завдання механіки деформів-ного твердого тіла – розробка методики дослідження механічної поведінки фе-ритових тіл за дії квазіусталеного ЕМП для аналізу наявних фізико-механічних процесів з метою прогнозування функціональної здатності феритових елементів пристроїв різного технічного призначення (за допустимими напруженнями і температурами Кюрі).

У роботі отримано такі основні результати:

1. Побудовано математичну модель кількісного опису термомеханічної поведінки феритових тіл з врахуванням зв’язаності процесів електропровіднос-ті, теплопровідності та деформації. Вона базується на загальній теорії взаємодії ЕМП та матеріального континууму, що може одночасно намагнічуватись і по-ляризуватись в певних ділянках частотного спектру квазіусталених ЕМП, в якій вплив електромагнітного випромінювання на фізико-механічні процеси врахо-вано через тепловиділення (як пов’язані з перемагнічуванням та поляризацією, так і джоулеві) і пондеромоторні сили (при статистичному описі силових чин-ників дії випромінювання на розглядуване тіло як зовнішньої по відношенню до нього дії), а також відомих для таких матеріалів залежностях магнітних і електричних зміщень від напруженостей відповідних полів.

2. Розроблено наближену методику дослідження термонапруженого стану таких тіл за помірної напруженості магнітного поля і високих частот (,), яка базується на відомих з літератури визначених експериментально характеристиках конкретних феритових матеріалів – комп-лексних магнітних та діелектричних проникностях і відповідних тангенсах ку-тів втрат. Це дозволило ввести формалізм наближених комплексних подань для параметрів ЕМП з подальшим зведенням вихідної задачі для визначення цих параметрів до задачі на комплексні амплітуди напруженостей магнітного або електричного полів (в наближенні основних гармонік цих напруженостей).

3. Отримано з використанням запропонованої методики розв’язки нових задач про визначення електромагнітних, температурних і механічних полів у пружному шарі з феритового матеріалу за дії ЕМП, створеного заданим квазіус-таленим електричним струмом за рівномірного та синусоїдального за координа-тою його розподілу у струмовідній площині, паралельній до основи шару.

4. Виявлено на основі аналізу знайдених розв’язків ряд нових закономір-ностей механічної поведінки феритових тіл та особливостей їх функціональної здатності за дії зовнішніх квазіусталених ЕМП. Основними з них є:–

на відміну від феромагнітних тіл, у феритових тілах (як і в тілах низької елек-тропровідності (ТНЕ)), вигляд розподілів (лінійний або хвильовий) напруже-ностей ЕМП, тепловиділень і пондеромоторних сил за дії зовнішнього ЕМП за-лежить від співвідношення між характерним розміром тіла в напрямку поши-рення електромагнітної хвилі та її довжиною у феритовому середовищі, яка ви-значається як електричними, так і магнітними властивостями матеріалу;–

у феритових тілах (як і в ТНЕ) виникає параметричний резонанс: значне зрос-тання напруженостей електричного та магнітного полів в околах певних (резо-нансних) частот ЕМП, зумовлене виникненням нерухомих (стоячих) електро-магнітних хвиль. Виникнення стоячих хвиль істотно залежить від гістерезисних втрат, які для феритових тіл суттєво залежать від частоти ЕМП і магнітних (а не електричних, як для ТНЕ) властивостей матеріалу;–

як і для феромагнітних тіл та ТНЕ, у феритових тілах виникає резонанс, зу-мовлений періодичним характером зміни в часі тепловиділень і пондеромотор-них сил. Для нього кожна з резонансних частот ЕМП практично дорівнює поло-вині відповідної власної частоти коливань тіла. При цьому наближені значення перших двох частот резонансних товщинних коливань можуть бути більш прос-то отримані за допомогою кубічної апроксимації розподілів квазіусталених складників температури і компонент напружень за просторовими змінними;

– вплив пондеромоторних сил на напружений стан феритових тіл є нехтовно малим за винятком околів частот ЕМП, при яких спостерігаються резонансні явища за зв’язаності полів деформації і температури. Тоді вплив пондеромотор-них сил є визначальним (на відміну від ТНЕ, де визначальним є вплив теплови-ділень).

Основний зміст дисертаційної роботи відображено у публікаціях:

1. Гачкевич О.Р., Івасько Р.О. Термомеханіка феритових тіл в квазіусталено-му електромагнітному полі // Мат. методи та фіз.-мех. поля. – 2000. – 43, № . –