УДК 517.958:536.12:539.3:550.837

Журавчак

Любов Михайлівна

математичне моделювання процесів ПОШИРЕННЯ ТЕПЛОВОГО та ЕЛЕКТРОМАГНІТНОГО ПОЛІВ у неоднорідних середовищах методами приграничних елементів та скінченних різниць

01.05.02 – математичне моделювання та обчислювальні методи

автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

доктора технічних наук

Львів-2007

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана у Карпатському відділенні Інституту геофізи-ки ім. С.І. Субботіна НАН України та в Інституті прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України.

Науковий консультант: академік НАН України, доктор технічних наук, професор

Григоренко Ярослав Михайлович, Інститут механіки ім. С.П.Тимошенка НАН України, м. Київ, головний науковий співробітник відділу обчислювальних методів.

Офіційні опоненти: доктор технічних наук, професор

Булавацький Володимир Михайлович, Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України, м. Київ, провідний науковий співробітник відділу математичного моделювання проблем екології та енергетики;

доктор технічних наук, професор

Дзюба Анатолій Петрович, Дніпропетровський національний університет Міністерства освіти і науки України, м.Дніпропетровськ, завідувач кафедри обчислювальної механіки і міцності конструкцій;

доктор фізико-математичних наук, професор

Слоньовський Роман Володимирович, Національний університет “Львівська політехніка” Міністерства освіти і науки України, м. Львів, професор кафедри прикладної математики.

Захист відбудеться 12 лютого 2008 р. о 13 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 35.052.05 у Національному університеті „Львівська політехніка” (79013, м. Львів, вул. С.Бандери, 12).

З дисертацією можна ознайомитися у бібліотеці Національного університету „Львівська політехніка” за адресою: 79013, м. Львів, вул. Професорська, 1.

Автореферат розісланий 28 грудня 2007 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради,

доктор технічних наук, професор Р.А. Бунь

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Вирішення проблеми виявлення, виділення і дорозвідки покладів корисних копалин у пошуковій геофізиці на сучасному етапі розвитку гео-фізичних досліджень вимагає теоретич-ного та методологічного обґрунтування да-них польових температур-них та електромагнітних спостережень. Водночас знижен-ня матеріало-місткості неоднорідних елементів конструкцій, що працюють в умовах температурних чи силових навантажень, оцінка їх міцності та надійності потребує визначення температурних полів та напружено-деформо-ваного стану і є важливою науково-прикладною проблемою у матеріалознавстві, машино- та приладобуду-ванні. Фізичне моделю-вання та експериментальні дослідження вказаних процесів вимагає великих матеріаль-них затрат, а неповна визначеність параметрів почат-кового стану та невелика кількість експериментальних установок часто усклад-нюють проведення фізичного експерименту для одержання необхідних результатів. Тому розв’язання окреслених проблем вимагає побудови ефективних математичних моделей відповідних фізич-них процесів, потребує розвитку відомих та розробки нових теоретичних методів розв’язування задач математичної фізики, що їм відпові-дають, і, як наслідок, прове-дення на цій базі ґрунтовних наукових досліджень.

Нестаціонарні процеси різної фізичної природи, зокрема, поши-рення теплового та електромаг-нітного полів, спричи-нених природними чи штучними джере-лами, а також усталені процеси, зокрема, гармонічні електромагнітні коливання, лінійне та нелінійне деформу-вання, розподіли електрич-ного та магнітного полів, у неодно-рідних середовищах, з точки зору математичного моделювання описують системами диференціальних рівнянь другого порядку в частинних похідних з постійними або змінними коефіцієнтами.

Оскільки аналітичні розв’язки нестаціонар-них та стаціонарних задач, що моделюють вказані фізичні процеси, класичними методами можна знайти тільки для однорід-них середовищ та з чужорідними включен-нями канонічної чи близької до неї форми, то для неоднорід-них об’єктів при математичному моделюванні в останні роки все ширше викори-стовують чисельні та чисельно-аналітичні методи, орієн-товані на застосування сучасних швидкодіючих комп’ютерів. Найбільш розповсюд-жені різнице-ві методи та методи скінченних елементів (МСЕ) є доцільними при моделюванні фізичних процесів у неперервно-неоднорідних об’єктах скінченних розмірів і дають високу точність результатів, але вимагають покриття сіткою всієї області, яку займає тіло, та потребують значних обсягів оперативної пам’яті, тривалого часу розрахунку й програм розв’я-зування систем лінійних алгебраїчних рівнянь великої розмірності. Викорис-тання методу граничних інтегральних рівнянь (МГІР) та створених на його базі прямих і непрямих методів граничних елементів має низку незаперечних переваг при моделюванні процесів у кусково-однорід-них областях, оскільки дозволяє точно задоволь-няти вихідні рівняння моделі, доступно описує необме-жені і напівбезмежні об’єкти. Застосування МГІР та усіх його чисельних модифікацій потребує дискретизації тільки границі об’єкта та меж поділу середовищ, що економить обсяг оперативної пам’яті під час роботи алгоритму і дає порівняно високу точність розрахунків у внутрішніх точках. Однак при обчисленні шуканих величин поблизу границь чи меж поділу середовищ точність розрахунків різко зменшується, а зна-ходження похідних за координатами та нормаллю від шуканих величин вимагає попереднього аналітичного виділення особливості (головного значення). З огляду на це в багатьох випадках, на думку здобувача, доцільно застосовувати непрямий метод пригра-ничних елементів (НМПГЕ), який можна розглядати як один з варіантів методу джерела і віднести до непрямих методів досліджень, оскільки введені для одержання розв’язку задачі невідомі не є фізичними змінними [1]. Водночас під час дослід-ження означених процесів у кусково-однорідних об’єктах можна суттєво оптимі-зувати процедуру знаходження розв’язків (зменшити час рахунку прик-ладних програм та обсяг оперативної пам’яті ком-п’ютера), якщо врахувати неперервність шуканих функцій на межі поділу середовищ і використати непрямий метод контактних елементів (НМКЕ). Розгляд згаданих процесів у локально-неоднорід-них об’єктах, які найкра-ще відображають реальні ситуації, ще більше потребує визначення переваг та меж застосовності різних методів, що зумовлює доцільність їх поєднання для оптимізації процесу знаходження розв’язків відповідних математичних моделей.

Все перелічене і визначає актуаль-ність теми дисер-таційної роботи, присвяченої побудові матема-тичних моделей для дослідження процесів поширення теплового та електро-магнітного полів у дво- та тривимір-них неодно-рідних середовищах, розробці нових чисельно-аналітичних підходів, які ґрунтуються на спільному застосу-ванні некла-сичного методу скінченних різниць, непрямих методів пригра-ничних та контакт-них елементів, розвитку обчислюваль-ного експерименту та первинної інтерпретації отриманих даних.

Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, тема-ми. Робота виконувалась відповідно до планів наукових дос-ліджень Карпатського відділення Інституту геофізики ім. С.І. Субботіна НАН України та Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України. Зокрема, автор була відповідальним виконавцем держбюджетних тем: „Розробка комплексу електромагнітних методів детальних досліджень структури і динаміки літосфери на прикладі Карпатського регіону”, № держреєстрації 0193U024077 (1992-1995 рр.); „Розробка комплексних технологій наземних і морських електро-магнітних досліджень будови і динаміки геоструктур”, № держ-реєстрації 0196U008645 (1996-2000 рр.); „Фізико-математичне обґрунту-вання і техніко-методичне забез-печення дво- і тривимірних електромаг-нітних досліджень геосередо-вищ”, № держреєстрації 0101U000374 (2001-2005 рр.); „Розробка фізико-геологічних основ і нових техно-логій комплексного геофізич-ного прогно-зування покладів вуглеводнів в Україні”, № держ-реєстрації 0102U002513 (2002-2006 рр.); „Дослідження можливос-тей засто-сування комплексу динамічних електро-метричних і геомагнітних методів для прогно-зування нафтогазоносності геологічних структур”, № держреєстрації 0104U006786 (2004-2006 рр.); „Розробити методи розв’язу-вання нелінійних крайових задач термо-пружності для тіл неодно-рідної структури”, № держреєстрації 0194U015278 (1994-1997 рр.); „Розробка методів розв’язування задач термо-пружності при ім-пульсних режимах наванта-ження термочут-ливих тіл неоднорідної структури”, № держреєстрації 0198U002530 (1998-2002 рр.); „Роз-робка математич-них моделей і методів термомеханіки структурно-неоднорідних тіл”, № держреєст-рації 0105U000236 (2003-2006 рр.); науково-дослідної теми „Обробка та інтер-претація ре-зультатів геомагніт-них, магні-тотелуричних і сейсмічних досліджень на регіональних профілях РП-5, РП-11 в Передкарпатському прогині”, № держ-реєстрації 0101U003465 (2001-2003 рр.), а також проекту „Мате-матичне моделю-вання тривимір-них задач ім-пульсної індуктивної електророзвідки” Держав-ного фонду фунда-ментальних досліджень, грант № 06.07/208 (2004-2006 рр.).

Мета і завдання дослідження. Метою дисертаційної роботи є вирішення важливої науково-прикладної проблеми, що полягає у побудові математичних моделей процесів поширення температурних та електромагніт-них полів у кусково-однорідних і локально-неоднорідних (із залежними від координат або температури фізичними характеристиками) середовищах, у розробці чисельно-аналітич-них підходів, які поєднують в собі переваги методів диференціальних та граничних інтегральних рівнянь, до визначення й дослідження цих полів.

Для досягнення цієї мети в дисертації поставлено такі задачі:

· здійснити математичне моделювання процесу поширення електромагнітного поля в неоднорідних об’єктах, зокрема, в земній корі;

· здійснити математичне моделювання процесу поширення нестаціонарного та розподілу стаціонарного теплових полів у кусково-однорідних середовищах з урахуванням залежності теплофізичних характеристик від координат чи температури;

· обґрунтувати ефективність застосування непрямого методу приграничних елементів (НМПГЕ) для побудови і чисельно-аналітичного розв’язування систем інтегральних рівнянь, до яких зво-дяться розглянуті фізичні процеси, у кусково-однорідних середовищах, та показати доцільність його поєднання з некласичним методом скінченних різниць (МСР) у областях з локальними неоднорідностями;

· на основі побудованих дискретно-континуальних моделей розглянутих процесів спланувати і провести обчислювальні експерименти, інтерпретацію темпера-тур-них і геоелектромагнітних даних та параметрів напружено-деформованого стану середовищ.

Об’єктом дослідження є нестаціонарні процеси поширення теплового і електромагнітного полів, гармонічні електромагнітні коливання, нелінійне деформу-вання та розподіли потенціальних полів у кусково-однорідних об’єктах, локально-градієнтних середови-щах та областях з нелінійною поведінкою матеріалів зон.

Предметом дослідження є матема-тичне моделю-вання вказаних вище процесів у неодно-рідних середовищах за допомогою чисельно-аналітичних підходів, які поєднують в собі переваги методів диференціальних та граничних інтегральних рівнянь; обчис-лювальний експеримент та первинна інтерпретація темпера-турних і геоелектромагнітних даних та параметрів напружено-деформо-ваного стану об’єктів.

Методи дослідження. Для математичного моделювання вказаних процесів вико-ристані непрямі методи приграничних і контактних елементів, некласичний метод скінченних різниць, методи занурення, адитивного розщеплення та продов-ження розв’язку за параметром, а також проекційно-сіткові методи та апарат узагальнених функцій.

Наукова новизна одержаних результатів:

· для дослідження нестаціонарних, стаціонарних та усталених процесів у кусково-однорідних об’єктах довільної форми, локально-градієнтних середови-щах та областях з нелінійною пове-дінкою мате-ріалів зон побудовано математичні моделі, що містять системи дифе-ренціальних рівнянь у частинних похідних, умови контакту на межах поділу середовищ, граничні та початкові умови;

· вперше розроблено чисельно-аналітичні підходи, які базуються на спільному використанні НМПГЕ та некласичного МСР, для математичного моделювання:

процесу поширення квазістаціонарного та усталених гармонічних коливань електромагнітного поля, спричиненого штуч-ними джерелами струму, що дає можливість визначати його ком-поненти в неодно-рідній земній корі, не вводячи потенціалів електричного чи магнітного типів;

стаціонарного та нестаціонарного теплових полів, що дає можливість визначати температуру і тепловий потік у кусково-однорідних середовищах з локальними неоднорідностями з урахуванням залеж-ності тепло-фізичних характеристик від координат чи температури;

процесу нелінійного деформування, що дає можливість визначати параметри напружено-деформованого стану середовищ з урахуван-ням залежності фізико-механічних характеристик від координат та тензора деформацій;

· вперше обґрунтовано ефективність використання НМПГЕ для побудови і чисельно-аналітичного розв’язування систем граничних інтегральних рівнянь, до яких зво-дяться розглянуті нестаціонарні та усталені фізичні процеси, у кусково-однорідних областях довільної форми, що дозволило порівняно з непрямим методом граничних елементів (НМГЕ) послабити сингулярність граничних інтегральних рівнянь, спростити побудову дискретно-континуальних моделей та істотно підвищити точність під час обчис-лення шуканих величин поблизу границь чи меж поділу середовищ;

· вперше для математичного моделювання стаціонарних, нестаціонарних та усталених фізичних процесів у кусково-однорідних областях довільної форми за умов ідеального контакту між складовими розроблено чисельно-аналітичні підходи, які ґрунтуються на поєднанні непрямих методів пригранич-них та контактних елементів, що дозволило вдвічі зменшити кількість граничних інтегральних рівнянь на межі поділу середовищ;

· здійснено комплексні дослідження дво- та тривимірних прямих задач геоелектро-магнетизму, тепло-провідності та нелінійної теорії пружності, спрямо-вані на вирішення проблем пошуку родовищ корисних копалин у земній корі, визна-чення місцезна-ходження та розмірів чужорідних включень, порожнин і дефектів.

Практичне значення одержаних результатів. Розроб-лені в дисер-тації підходи до побудови дискретно-континуальних моделей дозволяють моделювати широкий клас фізичних процесів та станів у неоднорідних середовищах для задач геофізи-ки, теплофізики, механіки, екології, мате-ріалознавства, дефекто-скопії та мікромеха-ніки зернистих композитів. Розв’язки, отримані за допомогою цих підходів, можуть бути основою для мікроаналізу композитних структур із залу-ченням теорій гомогені-зації. Побудовані нові матема-тичні моделі фізичних процесів та одержані на їх базі розв’язки прямих задач можуть використо-вуватись для створення методів роз-в’язування оберне-них задач у цих прикладних галузях науки.

Розроблену для моделювання нестаціонарних процесів методологію можна застосувати для розв’язу-вання інших початково-крайових задач, що містять диферен-ціальні оператори в частинних похідних з відомим фундаментальним розв’язком для однорідного простору, а також за умов неідеального контакту на межі поділу середовищ. Запропоновані в роботі підходи, методи досліджень та пакети прикладних програм можуть використовуватись у навчальному процесі під час викладу спеціальних курсів.

Для математичного моделювання стаціонарних та нестаціонарних процесів розроблено комплекс прикладних програм, який використовують під час проведення наукових досліджень в рамках держбюджетних та науково-дослідних тем відділом геоелектромагнітних мето-дів Карпатського відділення Інституту геофізики ім. С.І. Субботіна НАН України та відділом термомеханіки Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України. В рамках госп-договірної науково-дослідної теми із Західно-Українською геофізичною розвіду-вальною експеди-цією проведено інтерпретацію польових даних та передано її результати для використання при вивченні прогнозних геометричних та фізичних параметрів нафтогазових об’єктів; з Прикарпат-ським державним підприємством „Спецгео-логорозвідка” проведена первинна інтерпретація даних з метою викори-стання її результатів для діагностування стану приповерхневих геосередовищ, формування прогнозних параметрів для попередження екологічно небезпечних явищ, що підтверджено відповідними актами про використання результатів роботи.

Особистий внесок здобувача. Усі результати дисер-таційної роботи отримано здобувачем самостійно. У роботах, написаних у співавторстві, здобувачу належить розробка і реалізація підходів, що ґрунтуються на застосуванні методів приграничних та контактних елементів, а також некласичних скінченних різниць, до моделювання фізичних процесів та станів у неоднорідних середовищах. Зокрема, у монографії [1] та статтях [29, 33] автору належить розвиток непрямого методу приграничних елементів щодо розв’я-зування нестаціонар-ної задачі теплопровідності у однорідних й кусково-однорідних областях та його поєднання з некласичним методом скінченних різниць у локально-неоднорідних областях, а також з непрямим методом контактних елементів для стаціонарної задачі теорії потенціалу у кусково-однорідних областях; у статтях [3, 4, 11] – розробка підходу до знаходження компо-нент електромагнітного поля для кусково-однорідного півпростору у квазістаціонар-ному наближенні; у працях [6, 47] – методологія математичного моделювання усталених коливань електромагнітного поля у кусково-однорідному півпросторі; у роботах [5, 18, 21, 43] – участь у розробці підходу до знаходження нестаціонарного температур-ного поля у дво- та тривимірних однорід-них та кусково-однорідних середови-щах за допомогою НМПГЕ для двох покрокових часових схем: схеми послідовності початко-вих умов та схеми єдиної почат-кової умови; у працях [14, 45, 49] – розробка методів знаходження компонент електричного та магнітного поля в локально-неоднорід-ному півпросторі та просторі; у статтях [7, 8, 20] – обчислюваль-ний експери-мент під час розв’язування задач про напружено-деформований стан однорідних та неоднорідних тіл з врахуванням фізичної нелінійності та неідеального контакту; у статтях [16, 22, 23, 31] – поширення НМПГЕ на розв’язування задач пружності та термопруж-ності у кусково-однорідних та локально-неоднорідних областях, участь у постановці задач та розробці схеми побудови їх розв’язку; у роботах [26, 59, 60] – математичне моделювання нестаціо-нарних електромагнітних полів у кусково-однорідних середовищах; у статті [19] – розробка й апробація поєднання контактних елементів з некласичними скінченними різницями у задачах геоелектророзвідки постійним струмом для неоднорідних середовищ; у статті [39] – математичне моделювання методу профілювання під час знаходження електричного потенціалу в електропровідній кусково-однорідній півплощині; у роботах [35, 50] – розробка підходу до розв’язування нестаціонарної та стаціо-нарної задач теплопровідності для середовищ із залежними від температури характеристиками; у статтях [41, 42] – участь у постановці та розробці схеми побудови розв’язку нестаціонарних задач теплопровідності з нелінійною граничною умо-вою третього роду; у роботах [51, 52, 54, 58] – знаходження електричного потенціалу з використанням непрямих методів граничних та контактних елементів у задачах геоелектророзвідки постійним струмом для кусково-однорідних об’єктів; у працях [48, 55, 56] – спільне використання приграничних і контактних елементів у задачах геоелектророзвідки постійним струмом.

Апробація результатів дисертації. Основні концепції, ідеї, поло-ження і результати досліджень доповідались і обговорювались на наукових семіна-рах, конференціях, нарадах, симпозіумах: 4-й Міжна-родній конфе-ренції з механіки неоднорідних структур (Тернопіль, 1995); Міжнародній конфе-ренції „Крайові задачі термомеханіки” (Львів, 1996); Міжна-родній конференції „Сучасні проблеми механіки і математики” (Львів, 1998); Науково-практичній конференції “Результати і перспективи геофізичних дослід-жень у західному регіоні України” (Львів, 1998); Міжнарод-них конфе-ренціях „Питання теорії і практики геологічної інтерпретації гравітаційних, магнітних і електричних полів” (Воронеж, 1996, Ухта, 1998); XXІ та XXІІ Генеральних Асамблеях Європейського Геофізичного Товариства (Гаага, 1996, Відень, 1997); XІV нараді з електромагнітної індукції в Землі (Сіная, 1998); ІV Міжнародному семінарі-нараді „Прямі і обернені задачі теорії електромагнітних і акустичних хвиль” (Львів, 1999); Міжнародному симпозіумі „Питання оптимізації обчислень” (Київ, 1999); VІ Міжнародній конференції “Математичні проблеми меха-ніки неоднорідних структур” (Львів, 2003); 6-й Міжнародній науково-практичній конференції „Нафта і газ України 2000” (Івано-Франківськ, 2000); VІ Міжнарод-ному науково-техніч-ному симпозіумі „Геоінформаційний моні-торинг навколиш-нього середовища. GPS і GІS технології” (Алушта, 2001); Всеукраїн-ських наукових конференціях “Сучасні проблеми приклад-ної мате-матики та інфор-матики” (Львів, 2000, 2002, 2003, 2004); наукових конференціях „Моніторинг небез-печних геологічних процесів та екологіч-ного стану середовища” (Київ, 2003, 2006); 10-й та 16-й наукових сесіях Наукового товариства ім. Шевченка (Львів, 1999, 2005); VІ Міжнародному конгресі з температурних напружень (Відень, 2005); науковій конференції „Нові геофізичні технології прогнозування та моніторингу геологічного середовища” (Львів, 2006).

У повному обсязі робота доповідалась на розширених наукових семінарах Карпатського відділення Інституту геофізики ім. С.І. Суб-ботіна НАН України, відділу термомеханіки Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України, науковому семінарі відділу обчислювальних мето-дів Інституту меха-ніки ім. С.П. Тимо-шенка НАН України, науковому семінарі відділу математичних методів і програмних засобів прикладної інформатики Інсти-туту кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України, міжвузівському науковому семінарі „Проблеми механіки деформівних тіл і конструкцій” при Придніпровсь-кому науковому центрі НАН України, науковому семінарі Західно-Української геофізич-ної розвідувальної експедиції.

Публікації. Основ-ні результати дисертації викладено в 60 наукових працях, зокрема, в одній монографії, у 22 статтях в наукових журналах і збірниках наукових праць, які входять до Переліку фахових видань ВАК України в галузі технічних наук; 13 статтях в наукових журналах, які входять до Переліку фахових видань ВАК України в інших галузях, у 6 наукових статтях в інших виданнях, у 8 матеріалах міжнародних семінарів, конференцій і конгресів, у 10 тезах доповідей національних і міжнародних конференцій, симпозіумів та нарад.

Структура та об’єм роботи. Дисертаційна робота складається зі вступу, основної частини з восьми розділів, висновків, списку використаних джерел з 323 найменувань. Загальний обсяг дисертації становить 347 сторі-нок, обсяг основного тексту 314 сторінок, ілюстрованого 48 рисунками та трьома табли-цями.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі подано загальну характеристику роботи: розкрито сутність і стан вивчення наукової проблеми, обґрунтовано доціль-ність напрямку досліджень та актуальність теми дисертації, сформульовано її мету, основні методи і задачі досліджень, відзна-чено наукову новизну отриманих результатів, їх зв’язок із науко-вими програмами, планами та темами, наведено дані щодо їх практичної цінності й апробації.

Перший розділ присвячено огляду літературних джерел та обґрунтуванню вибору напрямків досліджень. Зроблено аналітичний огляд основ-них наукових результатів за обраною тематикою, підкрес-лено зв’язок роботи з іншими дослідженнями, визначено проблеми, які необхідно розв’язувати. Відображено основний зміст роботи і описано послідовність викладу матеріалу дисертації.

Зроблено огляд математичних методів, які використовують при моделюванні процесів та станів різної природи у неоднорідних середовищах. Створенню фундаментальної теоретичної бази і методів розв’я-зування нестаціонарних задач теплопро-відності, геоелектромагне-тизму та нелінійної теорії пружності в неодно-рідних середовищах присвячені монографії Я.М. Григоренка, О.М. Гузя й Ю.М. Не-миша, Г. Карслоу й Д. Єгера, В.Д. Куп-радзе, О.В. Ликова, В.О. Лома-кіна, Г.І. Марчука й В.І. Агош-кова, О.Г. Міхліна, М.І. Мусхелішвілі, В. Новаць-кого, Я.С. Підстригача, В.О. Ломакіна й Ю.М. Коляна, Г.Я. Попова, В.Л. Рва-чова і М.С. Синекопа, А.М. Ти-хонова, С.М. Шейн-мана та інших. У роботах цих та інших авторів, зокрема, Р. Баттер-філда, П. Бенерджі, К. Бреббії, В.М.Була-вацького, Я.Й. Бурака, О.Р. Гачке-вича, О.Я. Григоренка, Є.Г.Грицька, В.Т. Грін-ченка, А.П. Дзюби, В.С. Дей-неки, В.І. Дмитрієва, М.С. Жданова, Б.Я. Кантора, В.Г. Кар-наухова, О.О. Кауфмана, Г.С. Кіта, Л.В. Курпи, Р.М. Куш-ніра, М.П. Ленюка, С.І. Ляшка, В.Л. Макарова, Б.А. Мандзія, М.В. Марчука, В.В. Мелешка, В.В. Ми-хаськіва, В.С. Мо-ги-латова, З.Т. Назарчука, В.А. Осадчука, В.Г. Попова, В.С. Попо-вича, Б.В. Про-цюка, Я.Г. Савули, Я.С. Сапужака, І.В. Сергі-єнка, В.В. Скопецького, Р.В. Слоньов-ського, Г.Т. Сулима, Л.А. Табаров-ського, А.Ф. Улітка, Д.В. Федасю-ка, М.В. Хая, В.Ф. Чекуріна, В.П. Шевчен-ка, Г.А. Шинкаренка, В.М. Шумана для знаход-ження фізичних полів у неоднорід-них тілах використано різні аналітичні та чисельні методи: відокремлення змінних, інтеграль-них перетво-рень, збурення форми границі, спряження, застосування узагальнених функ-цій, проекційно-сіткові, скінченних різниць, R-функ-цій, гранич-них інтегральних рівнянь, граничних і скін-ченних елементів, а також їх поєднання.

В останні десятиліття зростання потужності і швидкодії комп’ютерів дозволяє дослідникам чисельно моделювати щораз більше наближені до реальних поля і стани різної фізичної природи у дво- і тривимірних середо-вищах на відміну від раніше розглянутих спрощених, переважно одновимірних, моделей середовищ та процесів, що в них відбуваються. Під час побудови математичних моделей у гео-фізиці, механіці суцільного середовища, теплофізиці, електродинаміці, геоелектриці реальні середо-вища найчастіше моделюють кусково-однорідними, тобто складе-ними з однорідних ізотропних частин, включень (зон) довільної форми з різними, але постій-ними фізичними характеристиками в межах складових. Рідше розгля-дають локально-неоднорід-ні об’єкти, фізичні характерис-тики яких залежать від координат (геометрична неодно-рідність) або (та) шуканої функції (фізична неоднорідність) у деяких локальних областях, та кусково-однорідні з локальними неодно-рідностями, хоч саме такі моделі адекватніше відповідають реальним ситуаціям у різних прикладних галузях науки й техніки.

Розвиток чисельно-аналітичних методів моделювання фізичних процесів різної природи відбувається, в основному, у двох напрямах: в рамках методу інтегральних рівнянь та підходу, заснованого на безпосередньому розв’язуванні диференціаль-них рівнянь. Гібридні схеми моделювання з використанням переваг обох попе-редніх напрямів застосовують ще не так широко. Проведений огляд і аналіз літератури показав, що на даний час недостатньо розглянуті математичні моделі, які враховують геометричні чи фізичні неоднорідності, а пропоновані для математич-ного моделю-вання підходи не позбавлені низки недоліків. Шляхом синтезу матема-тичних методів, зокрема, граничних інте-гральних рівнянь, проек-ційно-сіткових, зану-рення, гранич-них і скінченних елементів, і виникли запропо-новані чисельно-аналітичні підходи, що ґрунтуються на поєднанні НМПГЕ, некласичного МСР та НМКЕ, і дозволяють моделювати нестаціонарні й усталені процеси, розподіли потенціальних полів у неоднорідних областях складної форми при розв’язуванні прямих задач у різних галузях науки й техніки. Вдала побудова математичних моде-лей і вибір високо-точних методів розв’язування прямих задач служать основним фактором інформа-тивності обернених задач, оскільки дозволяють мінімі-зувати вар-тість прикладних розробок та підвищити ступінь достовірності визначення парамет-рів середовища. Модульний принцип побудови пакетів приклад-них програм для реалізації вказаних підходів сприяє підвищенню універсальності й гнучкості розгля-нутих математич-них моде-лей щодо розв’язування багатьох складних задач з різних галузей науки й техніки, дозволяє легко розширювати коло наукових досліджень.

У другому розділі, використовуючи принцип „від простішого до складнішого” щодо досліджуваних об’єктів, розглянуто процеси поширення теплового та електро-магнітного полів в однорідних областях. Для математичного моделювання вперше розроблено НМПГЕ, розглянуто його теоретичні й обчислювальні аспекти, порівняно чисельні результати, одержані за допомогою НМПГЕ, з аналітич-ними розв’язками та отриманими іншими чисельними методами, зокрема, непрямим методом граничних елементів (НМГЕ) як найближчим за ідей-ним спря-муванням і ширше відомим дослідникам.

Розглянуто однорідне ізотропне тіло довільної форми, яке віднесено до декар-тової системи координат і займає область. Для знаходження фізичної скалярної вели-чини (наприклад, температури) або компонент векторної вели-чини (зокрема, векторів напру-женості електромагнітного поля) побудовано математичну модель [1, 18, 33]

Доведено справедливість твердження.

Теорема 1. Нехай задано зовнішню приграничну до область та область розшире-них початкових умов з введеними в них відповідно невідомими фіктивними джерелами та відомими неперервними функ-ціями, які співпадають в з , рівні нулю зовні , а в області вибираються у зручному для інтегру-вання вигляді. Тоді інтегральні зображення розв’яз-ків рівнянь (1) з урахуванням початкового розподілу (3) мають вигляд:

Для знаходження невідомих одержано, враховуючи граничні умови (2), граничні інтегральні рівняння (ГІР):

Оскільки знайти розв’язки рівнянь (7) в явному вигляді у прикладних задачах переважно неможливо, здійснено їх просторово-часову дискретизацію за допомогою наступних кроків.

1. У зовнішній приграничній області виділено (n+1) підобласті, які взаємно не перетинаються, причому одна чи навіть дві з них можуть бути порожніми множинами. Далі розбито на плоскі криво-лінійні чотири-кутники (при n=2) або шестигранники з неплоскими гранями (при n=3) приграничні елементи (ПГЕ), при-чому , а перетин і при не обов’яз-ково пови-нен бути порожньою множиною. На елементах уведено сімей-ства точок, на криво-лінійних відрізків, а на при n=3 поверхонь. У кожно-му ПГЕ розмірності j (ПГЕj) введено невідоме фіктивне джерело інтен-сивності.

2. Для зручності опису залежності від часу часовий промінь T розбито на інтервали Tp=]p-1, p] (p=1,2,...,P, 0=0) і в межах кожного Tp для спрощення алго-ритму невідомі інтенсивності фіктивних джерел апроксимовано за часом поліномом з невідомими коефіцієнтами.

3. Для задоволення граничних умов використано ме-тод колокації, області та дискретизовано внутрішніми комірками.

Дискретно-континуальну модель побудовано для двох покро-кових часових схем: схеми послідовності початкових умов (СППУ) та схеми єдиної початкової умови (СЄПУ). У першій схемі кожний крок за часом розглянуто як нову задачу, тобто уведено локальний час і обчислені в кінці кожного часового інтервалу значення у внутрішніх точках використано як початкові для наступного кроку. У другій схемі процес інтегру-вання за часом завжди відбувається з одного і того ж реального моменту часу.

Інтегральні рівняння (7) після просторово-часової дискретизації для P го кроку обох схем записано у вигляді систем лінійних алгебраїчних рівнянь (СЛАР). Її роз-в’язки використано у формулах (4) для обчислення шуканих функцій та похідних від них величин як у будь-якій внутрішній точці, так і у точках границі в момент часу .

Проведено часткове аналітичне інтегрування за приграничними елементами розмірності n для випадку апрокси-мації функцій поліномами за часом. Здійс-нено аналітичне інтегрування за часовою змінною, а також за однією з просторових змінних (полярним або сферичним радіусом). Це спрощує розробку програмного забезпе-чення дискрет-них моделей та підвищує точність одержаних роз-в’язків, оскільки чисельне інтегрування здійснено за однією або двома просторо-вими координатами, що використовуються для опи-су еле-мента границі, вже несингулярної, як правило, функції.

Похибки, які виникають при застосуванні НМПГЕ до розв’язування практичних задач, спричинені апроксимаційними й дискретизаційними операціями, а також чисельним інтегруванням. З метою порівняння точності чисель-них резуль-татів, одержаних НМПГЕ, з відомим аналітичним розв’язком та розв’яз-ком, одержа-ним за допомогою НМГЕ, досліджено розв’язки нестаціонарних задач теплопро-відності з граничними умовами першого роду для двовимірної пластини квадратної форми [21] та для паралелепіпеда з одинич-ним коефіцієнтом температуропровідності матеріалу. Зокрема, для паралелепіпеда розглянуто нульові початкові умови та граничні умови: .

Як видно з рис. , у внутрішніх і граничних точках паралелепіпеда точність збігу чисельних результатів з аналітичним розв’язком є вищою у НМПГЕ порівняно з НМГЕ, причому з плином часу вона покращується.

Рис. 1. Порівняння у внутрішніх (а, б) та граничних (в) точках паралеле-піпеда температури, обчисленої за допомогою НМПГЕ та НМГЕ, з аналітичним розв’язком

Далі на двох тестових прикладах оцінено похибки, які виникають при застосуванні різних типів ПГЕ. Область вибирали у вигляді круга радіуса 1м і квадрата зі стороною 2м. У першому прикладі на задавали температуру та вибирали коефіцієнт температуропроводності , у другому при нульових початкових умовах та за відсутності джерел тепла. Гра-ницю розбивали на вісім граничних елементів однакової довжини. Досліджено залеж-ність відносних похибок температури від висоти ПГЕ, їх типу та форми. Розглянуто три випадки дискретиза-ції області: з недостачею, повну при), з пере-криттям. Для виявлення особливостей, внесених кожним типом ПГЕ, задачу спочатку почер-гово розв’язу-вали для окремих типів ПГЕj, коли дві підмножини були порожніми. Кількість дуг та точок на усіх елементах вибирали однаковою. Інтенсив-ності вве-дених фіктив-них джерел апроксиму-вали невідо-мими постій-ними. Розв’язки першого і другого прикла-дів, одержані за допомогою СЄПУ для окремих типів ПГЕ та їх поєднання порівняно з умовами, заданими на гра-ниці круга і квад-рата. Враховуючи той факт, що найвища точність розв’язків для круга дося-галась за повної дискретизації області, а для квадрата за дискрети-зації прямокутниками, на рис. 2 зображено чисельні резуль-тати для цього випадку.

Рис. 2. Залежність відносних похибок на частині границі круга (а) та квадрата (б) для різних типів ПГЕ

Як видно з рис. 2, точність обчис-лення температури на границях круга і квад-рату є найвищою під час використання ПГЕ2 (криві без символів) та сімейств дуг, покращується при збільшенні кількості дуг і точок та спільному застосуванні різних типів ПГЕ. Тут кут між віссю 0x1 та точкою спостереження, l  відстань від точки (1.0;0) до точки спостереження, ПГЕ2 у першому та другому прикладах вибирали висотою h1=1.5м, h2=1.0м відповідно, ПГЕ1 почергово розміщува-ли на відстанях H=0.1, 0.4, 0.7, 1.0, 1.3 (м) та H=0.1, 0.3, 0.5, 0.7м) від границі, ПГЕ0 рівномірно виби-рали на цих кривих. Внаслідок симетрії задач приведено залежність похибок тільки на четвертій частині границі. Для внутрішніх точок результати, одержані за допомогою НМПГЕ, співпадали з аналітичними розв’язками, наведеними в роботах Карслоу й Єгера, та з одержани-ми НМГЕ з точністю до трьох значущих цифр.

Для тіл, що займають деяку область в чи , схема розв’язування НМПГЕ була дуже подібною, що дозволило використати модульний принцип побудови програмного забезпечення та уніфікувати розробку його частини. Відмінності в основному проявились у розмірності та формі приграничних елементів й у фунда-ментальних розв’язках.

Проведені чисельні дослідження показали, що НМПГЕ у поєднанні з покро-ковими часовими схемами (СППУ та СЄПУ) забезпечує вищу точність розра-хунків температурного поля порівняно з НМГЕ при використанні однакової кількості елементів та однакового ступеня апрокси-мації невідомих інтенсивностей фіктивних джерел. Це обґрунтовується тим, що пригранична область та розширена область початкової умови за рахунок додаткових параметрів (їх товщин) згладжують вплив уведених у цих областях джерел та функцій.

Порівняння теоретичних та обчислювальних аспектів викори-стання різних типів ПГЕ при моделюванні нестаціонарних процесів теплопро-відності, здійснене в цьому розділі, дозволило зробити такі висновки. Під час застосування ПГЕ2 і ПГЕ1 всі інтеграли розгля-дають у звичайному сенсі, а це дозволяє у разі потреби обмежитись тільки чисельним інтегру-ванням. При цьому зберіга-ється діагональ-на перевага елементів матриці СЛАР, яка забез-печує добру її обумовленість. ПГЕ1 у випадку однієї кривої можна розглядати як аналог деякого гладкого контуру, який охоплює область , не співпадає з її граничною поверхнею і був запропонований у методі функціо-нальних рівнянь Купрадзе, однак питан-ня про способи вибору такого контуру до цього часу повністю не досліджені. Зрозуміло, що при чисельній реалізації такого алгорит-му значна віддаленість контуру від границі приво-дить до поганої обумовле-ності матриці СЛАР внаслідок відносно малої вели-чини діагональ-них елемен-тів або до одержання лінійно-залежних систем рівнянь. Вико-ристання сімейств кривих дозво-ляє усунути вказану проблему, оскільки при збіль-шенні кількості кривих дискримінант матриці СЛАР зростає. ПГЕ0 значно спрощують алгоритм розв’язу-вання задачі, оскільки дозво-ляють уник-нути інтегрування по ПГЕ, замінивши його сумуванням добутків фундаментальних розв’язків на значення невідомої функції. Їх можна рекомен-дувати при знаходженні початкових набли-жень як експрес-метод розв’язування обернених задачах матема-тичної фізики, коли більшу роль відіграє оптимі-зація часу, ніж точності.

У третьому розділі, знову використовуючи принцип „від простішого до складнішого” щодо досліджуваних об’єктів, здійснено за допомогою НМПГЕ математичне моделювання знаходження розподілу потенціальних полів, параметрів напружено-деформованого стану та компонент векторів напруженості електро-магнітного поля для випадку гармонічних коливань в однорідних областях.

Розглянуто однорідне ізотропне тіло довільної форми, яке займає у декартовій системі координат область . Для знаходження фізичних ска-лярних величин (наприклад, темпе-ратури чи потенціалу електричного поля) або компонент векторних величин (зокрема, векторів переміщень чи напруженості електро-магнітного поля для випадку гармонічних коливань) побудовано математичні моделі [15, 20, 30, 31, 36]:

Доведено справедливість твердження.

Теорема 2. Нехай задано зовнішню приграничну до область із введеними в ній невідомими фіктивними джерелами або масовими силами. Тоді інтегральні зображення розв’язків рівнянь з (8), (9) та (10) мають вигляд:

Задовольняючи граничні умови з (8). (9) та (11), одержано ГІР:

які при доповнено умовами у нескінченно віддалених точках. Після дискретизації пригра-ничної області на приграничні елементи й апроксимації неві-домих інтенсивностей джерел в них постійними рівняння (15)(17) записано у вигляді СЛАР. Після їх розв’язання і знайдення цих невідомі вико-ристано формули (12) та (13) для обчислення потенціалу, компонент векторів переміщень та напру-женостей електромагнітного поля (ЕМП) та похідних від них величин у будь-яких точках спостереження.

Програмну реалізацію запропонованого підходу здійснено для стаціо-нарної задачі тепло-провідності та теорії пружності. Область знову вибирали у вигляді круга радіуса 1м та квадрата зі стороною 2м. В обох прикладах на задавали температуру при за відсутності джерел тепла або компоненти вектора переміщень за відсут-ності масових сил у допущенні, що для області виконувалися умови плоскої дефор-мації, матеріал (сталь конструкційна) мав такі пружні характе-ристики: , . Показано, що точність обчис-лення потенціалу та переміщень на границях круга і квадрату є найвищою під час використання ПГЕ2 та сімейств дуг, покращується при збільшенні кількості дуг і точок та спільному застосуванні різних типів ПГЕ (зокрема, чотири-кутників і сімейств дуг) [15, 36], водночас вона є набагато вищою при використанні НМПГЕ, ніж НМГЕ [20].

У четвертому розділі за допомогою НМПГЕ здійснено математичне моделювання процесів поширення теплового та електромагнітного полів у кусково-однорідних середовищах за умов ідеального контакту на межах поділу складових.

Для знаходження фізичної скалярної величини (температури) або векторної величини (компонент електромагнітного поля) побудовано математичну модель [1, 5, 32]:

Розглянуто множину , складену з M площин або M просторів, яка володіє такими властивостями: [1]. Після введення приграничних областей з фіктивними джерелами та розширення області визначення функцій на весь на основі теореми 1 записано інтегральні зображення розв’язків рівнянь (18), аналогічні (4) з врахуван-ням (5), (6) та індексу приналежності зоні m.

Для задоволення граничних умов з (19) та умов контакту (20) одержано ГІР:

Побудовано дискретно-континуальні моделі для двох покро-кових часових схем: СППУ та СЄПУ. Області з метою спро-щення викладу матеріалу і без втрати загаль-ності дискретизо-вано на ПГЕ розмірності n. На кожному часовому інтервалі у ПГЕ невідо-му функцію апроксимовано по часу поліномом степені T з невідомими постійними, які знайдено зі СЛАР, отриманих після просторово-часової дискре-тизації на P му кроці для обох часових схем у колокаційному сенсі з (21), (22). Визначено температуру, тепловий потік та компоненти ЕМП на P му кроці як у внутрішніх точках кожної , так і на межах поділу середовищ, оскільки після розв’язання СЛАР всі області розглядають цілком незалежно.

Далі за допомогою НМПГЕ здійснено математичне моделювання усталених коливань теплового та електромагнітного полів у кусково-однорідному середовищі. У допущенні, що температура чи компоненти електромагнітного поля гармонічно змінюються в часі з кутовою частотою для знаходження комплекс-них амплітуд побудовано математичну модель [6, 47]:

Після введення множини просторів та приграничних областей з невідо-мими функціями на основі теореми 2 записано інтегральні зображення розв’язків системи рівнянь Гельмгольца (23), аналогічні (13) з врахуванням (14) та індексу приналежності зоні m.

Для задоволення умов на границі та межах поділу середовищ одержано ГІР:

Здійснено просторову дискретизацію та апроксимацію в межах кожного приграничного елемента невідо-мих інтенсивностей джерел комплексними постій-ними, які знайдено зі СЛАР, отриманих задо-воленням у колокацій-ному сенсі рівнянь (25), (26).

Змодельовано процеси поширення теплового [5, 43] та електро-маг-нітного поля [3, 4, 11] у кусково-однорід-ному півпросторі при нульових початко-вих й граничних умовах. З рівнянь Максвела одержано у квазістаціо-нарному наближенні рівняння для компо-нент вектора напруже-ності елект-ричного поля, побудовано явний часовий розв’язок задачі знаходження компо-нент векторів напруженостей ЕМП без застосування спектраль-ного аналізу і вектор-них потен-ціалів електричного чи магнітного типів.

Під час проведення чисельних досліджень область вибирали у формі паралеле-піпеда з розмірами , який знаходився на глибині від границі півпростору. Збурення теплового поля викликалось внутрішнім джерелом у формі квадратної пластини зі сторо-ною , розміщеним на глибині . Залежність температури від часу в джерелі описували дельта-функцією Дірака. Джерелом збурення ЕМП був контур (квадратна рамка зі стороною , розміщена на глибині ), в якому в момент часу включали постій-ний струм. Розра-хунки проведено з опти-мальною з точки зору необхідної точності та об’єму обчислювальних операцій кількістю елементів дискретизації, оскільки подвоєння їхньої кількості практично не впливало на точність, але суттєво збільшувало час обчислень. ПГЕ вибирали висотою 0.5м. Лінійні розміри, враховуючи принцип подібності, зменшили порівняно з реальними в 100 разів.

Порів-няно чисельні результати, отримані за допомогою НМПГЕ та НМГЕ (рис. ). Порівняль-ний аналіз графіків засвід-чує, що точність обчислень теплового потоку (рис. 3а) та компонент ЕМП (рис. 3б) за допомогою НМПГЕ є вищою, ніж при одержанні роз-в’язків НМГЕ.

Рис. 3. Порівняння результатів, отриманих за допомогою НМПГЕ (криві з симво-лами ) та НМГЕ (криві без символів) з точним розв’язком (криві з символами ).

Дослід-жено закономірності зміни ха-рактеристик тепло-вого та електромагніт-ного полів від геометрії та фізичних властивостей вклю-чень: їх тепло- або електропровідності, відстані від границі півпростору, довжи-ни – з метою форму-лювання практичних реко-мендацій при розпізнаванні чужорід-них зон (рис. 4, 5, криві з написом 1 відпо-відають однорід-ному пів-простору).

Рис.4. Вплив провідності включення на значен-ня теплового потоку на