Київський університет

імені Тараса Шевченка

КОВАЛЬЧУК Юрій Олексійович

УДК 519.21

КРАЙОВІ ЗАДАЧІ

З ВИПАДКОВИМИ ПОЧАТКОВИМИ УМОВАМИ

І ФУНКЦІОНАЛЬНІ РЯДИ

ІЗ ПРОСТОРІВ ОРЛІЧА

01.01.05 — теорія ймовірностей

та математична статистика

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Київ - 1999

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана на кафедрі теорії ймовірностей та математичної статистики Київського університету імені Тараса Шевченка.

Науковий керівник:

Офіційні опоненти:

Провідна організація: | доктор фізико-математичних наук, професор

КОЗАЧЕНКО ЮРІЙ ВАСИЛЬОВИЧ,

Київський університет ім. Тараса Шевченка,

завідуючий кафедрою.—

доктор фізико-математичних наук, професор

СОЛНЦЕВ СЕРГІЙ ОЛЕКСІЙОВИЧ,

Національний технічний університет “Київський політехнічний інститут”, кафедра маркетингу;—

кандидат фізико-математичних наук, доцент

СУГАКОВА ОЛЕНА ВОЛОДИМИРІВНА,

Київський економічний інститут менеджменту, кафедра вищої математики.

Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України, м. Київ.

Захист відбудеться “21” червня 1999 р. о 14.00 годині в ауд. № 42 на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.001.37 при Київському університеті ім. Тараса Шевченка за адресою: 252127, м. Київ, проспект академіка Глушкова, 6, механіко-математичний факультет.

З дисертацією можна ознайомитись в бібліотеці Київського університету ім. Тараса Шевченка (м. Київ, вул. Володимирська, 58, к. 10).

Автореферат розіслано “17” травня 1999 р.

Вчений секретар

спеціалізованої ради

доктор фіз.-мат. наук, професор Моклячук М.П.

Загальна характеристика роботи

Актуальність теми. Дослідження властивостей випадкових рядів у різних функціональних просторах є одним з важливих напрямків розвитку теорії випадкових процесів. Можливість зображення деяких випадкових процесів у вигляді функціональних рядів дозволяє вивчати властивості цих процесів на основі властивостей їх зображень.

Зокрема, актуальним є питання про умови та швидкість збіжності стохастичних рядів у нормах різних функціональних просторів.

З іншого боку, зображення випадкових процесів у вигляді збіжних випадкових рядів відкриває додаткові можливості для їх використання як у самій теорії випадкових процесів, так і у її застосуваннях в інших математичних дисциплінах: при розв’язуванні практичних задач математичної фізики з випадковими початковими умовами, математичному моделюванні тощо.

Такий стан речей зумовив останнім часом неослабний інтерес дослідників і інтенсивний розвиток теорії у цьому напрямі. Основи цього напряму були закладені ще у роботах Р. Пелі (Paley R.), А. Зігмунда (Zygmund A.) та Н. Вінера (Wiener N.), і розвинуті у роботах багатьох дослідників, серед яких відмітимо праці українських математиків М.Й. Ядренка, Ю.В. Козаченка, В.В. Булдигіна, а також праці Талаграна (Talagrand M.), Іто і Нісіо (Ito K., Nisio M.), Джайна та Маркуса (Jain N., Markus M.B.).

У 60-і роки почались дослідження збіжності випадкових рядів зі значеннями у банахових просторах. В.В. Булдигін заклав основи загальної теорії збіжності з ймовірністю одиниця випадкових рядів з незалежними членами зі значеннями в топологічних просторах.

Дана теорія у 70-і роки була розвинута і доповнена рядом робіт, у яких вивчалась збіжність за ймовірністю випадкових рядів із залежними членами у різних функціональних просторах. Серед цих робіт відмітимо роботи В.В. Булдигіна, у яких досліджується збіжність за ймовірністю випадкових рядів із членами, що належать до банахових просторів, Ю.В. Козаченка та ін., присвячених вивченню умов збіжності випадкових рядів з залежними членами у нормах різних функціональних просторів.

У цей час з’явилася значна кількість робіт, у яких вивчалось питання про швидкість збіжності випадкових рядів у рівномірній метриці. Наступний крок у вивченні умов та швидкості збіжності випадкових рядів було зроблено Ю.В. Козаченком та ін. у роботах, в яких розглядалася збіжність випадкових рядів у нормах деяких просторів Орліча. У роботах Ю.В. Козаченка, І.Н. Зелепугіної та В.Н. Рязанцевої були одержані умови збіжності та загальні оцінки швидкості збіжності гауссових випадкових рядів у нормах деяких просторів Орліча. Цими ж авторами були одержані оцінки швидкості збіжності у просторах Орліча для субгауссових випадкових рядів та рядів субгауссового типу.

Одержані загальні оцінки були поліпшені в ряді робіт на основі методу, що грунтується на ідеї Ж. Кахана, суть якої полягає в застосуванні нерівності Бернштейна для знаходження умов рівномірної збіжності випадкових рядів. Цей метод був запропонований Ю.В. Козаченком.

Умови та оцінки швидкості збіжності за ймовірністю випадкових рядів знаходять широке застосування при розв’язанні задач математичної фізики з випадковими початковими умовами. Фізичні постановки таких задач розглядав Кампе де Фер’є.

У роботах Ю.В. Козаченка, В.В. Булдигіна, Є. Бейсенбаєва запропоновано підхід, який грунтується на дослідженні збіжності за ймовірністю у функціональних просторах послідовності часткових сум, що апроксимують розв’язок крайової задачі. Цей підхід був використаний для обгрунтування застосовності методу Фур’є до розв’язання крайової задачі для рівняння гіперболічного типу з випадковими початковими умовами, в припущенні, що випадкові умови є гауссовими [Булдигін В.В., Козаченко Ю.В.], сумісно строго Орлічевими [Козаченко Ю.В., Barrasa de la Krus E.], а також строго субгауссовими [Козаченко Ю.В., Тригуб С.Г.] випадковими процесами.

Мета даної роботи. Метою досліджень, результати яких викладено в дисертації, є одержання умов збіжності та оцінок швидкості збіжності деяких функціональних випадкових рядів у нормах різних просторів, а саме просторів Орліча, Lp - просторів, просторів Соболєва, а також обгрунтування застосовності методу Фур’є до розв’язання крайової задачі для рівняння гіперболічного типу з випадковими початковими умовами, в припущенні, що випадкові умови є сумісно строго sub() випадковими процесами.

Методи дослідження базуються на розробленому Ю.В. Козаченком підході до дослідження умов та швидкості збіжності у нормах різних просторів випадкових рядів, а також збіжності у функціональних просторах послідовності часткових сум, що апроксимують розв’язок крайових задач математичної фізики з випадковими початковими умовами.

Наукова новизна результатів роботи.

Одержано:

ѕ

ѕ умови та оцінки швидкості збіжності строго sub() випадкових рядів у нормах просторів Орліча;

ѕ умови існування узагальненого розв’язку крайової задачі для однорідного гіперболічного рівняння з початковими умовами, які є строго sub() випадковими процесами.

ѕ оцінки швидкості збіжності зображень цього розв’язку, отриманих методом Фур’є, в нормах просторів Соболєва.

Теоретична та практична цінність дисертації. Одержані результати узагальнюють і доповнюють відповідні дослідження в теорії випадкових рядів та в теорії крайових задач математичної фізики.

Ці результати можуть бути використаними при розв’язуванні ряду задач математичної фізики, які зводяться до крайових задач з випадковими початковими умовами.

Особистий внесок здобувача. По темі дисертації опубліковано 10 робіт. Математичні результати робіт [7-10] одержані здобувачем самостійно. В даних роботах співавтору належить вибір напрямку досліджень та обговорення теоретичних результатів. Результати решти робіт отримані здобувачем самостійно.

Апробація роботи. Основні результати дисертаційної роботи доповідалися на семінарі з теорії ймовірностей та математичної статистики механіко-математичного факультету Київського університету імені Тараса Шевченка, на П’ятій та Шостій міжнародних конференціях імені академіка М. Кравчука відповідно у травні 1996 і в травні 1997 року у м. Києві, а також представлені на Другій Скандінаво-Українській конференції з математичної статистики (8-13 червня 1997 р, м. Умео, Швеція).

Публікації. По темі дисертациї опубліковано 10 робіт, з них 6 робіт самого автора, 6 робіт надруковано в провідних наукових виданнях.

Обсяг та структура дисертації. Дисертація складається з вступу, трьох розділів, висновку та списку цитованої літератури, який містить 67 найменувань. Загальний обсяг роботи 110 сторінок машинописного тексту.

ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обгрунтовується актуальність теми дисертації, формулюється мета досліджень, коротко аналізуються основні праці, що відносяться до теми дисертації, наводяться основні одержані результати.

У першому розділі дисертації “Простір sub() та сім’я строго sub() випадкових величин” вводяться поняття строго sub() сім’ї випадкових величин і строго sub() випадкових процесів. Ці поняття є узагальненням понять відповідно строго субгауссових випадкових величин та строго субгауссових процесів. Для них наводиться ряд важливих результатів, які використовуються для доведення теорем другого розділу.

У підрозділі 1.1 наведені деякі відомі результати з теорії просторів Орліча та просторів sub(), а також сформульовані допоміжні твердження, які стосуються властивостей N - функцій Орліча і використані у наступних підрозділах.

У підрозділі 1.2 введені наступні поняття:

Означення 1.6. Сім’я випадкових величин із простору sub() називається строго sub(), якщо існує стала С>0, така, що для будь-якої не більш ніж зліченної множини I i , i I і для будь-яких i R1 виконується нерівність

Сталу С будемо називати визначальною сталою сім’ї .

Означення 1.7. Випадковий процес

X = {X(t), t T }

із sub() називається строго sub(), якщо сім’я випадкових величин {X(t), tT} є строго sub().

Сім’я випадкових процесів Xi = {Xi(t), tT, iI } називається сумісно строго sub(), якшо сім’я випадкових величин {Xi(t), tT, iI } є строго sub().

Визначальну сталу сім’ї {Xi(t), tT, iI } будемо називати визначальною сталою сім’ї процесів Xi, iI.

Наведені також приклади сумісно строго sub() випадкових процесів та деякі допоміжні твердження.

У другому розділі “Збіжність випадкових рядів у нормах простору Lp та простору Орліча” розглядається питання про умови та швидкість збіжності випадкових рядів із членами, що належать до строго sub() сімей випадкових величин. Окремо розглядається випадок, коли N-функція Орліча  (x) є такою, що угнута, і випадок, коли функція опукла. Для обох випадків одержані умови та оцінки швидкості збіжності випадкових рядів у нормах просторів Lp, крім того, для другого випадку умови та оцінки швидкості збіжності рядів у нормах просторів Орліча.

У підрозділі 2.1 вивчаються розподіли квадратичних форм від строго sub() випадкових величин із просторів sub().

Розглянуто випадок, коли функція (x) така, що (x) = x2/2 при x<1, і така, що функція опукла.

Лема 2.1. Нехай (u) N-функція, така, що (u) = u2/2 при |u|<1, і така, що функція p(u) із зображення неперервна і строго монотонна. Нехай *(u) N-функція, додаткова до (u).

Тоді існує така стала >0, що при всіх >0 виконується нерівність

Теорема 2.1. Нехай (x) N-функція Орліча, така, що функція p(x) із зображення неперервна і строго зростає, а функція опукла. Нехай сім’я строго sub() випадкових величин з визначальною сталою C, вектор, компоненти якого належать сім’ї , A симетрична невід’ємно визначена матриця.

Тоді для всіх s >1 виконується нерівність

де стала, задана в лемі 2.1.

Далі розглянуто випадок, коли (x) N-функція Орліча, така, що — угнута, і (x)/x2 0 при x .

Лема 2.3. Нехай — сім’я строго sub() випадкових величин з визначальною сталою C, k, k = — випадкові величини із сім’ї , (x) N-функція Орліча, така, що — угнута, при x0 і

Тоді для будь-яких s > 0 справедлива нерівність:

де

Теорема 2.2. Нехай — сім’я строго sub() випадкових величин з визначальною сталою C, — вектор, компоненти якого належать сім’ї , (x) N-функція Орліча, для якої виконуються умови леми 2.3, А — симетрична невід’ємно визначена матриця.

Тоді для будь-яких s > 0 справедлива нерівність:

У підрозділі 2.2 розглядаються класи послідовностей функцій, для яких виконуються нерівності типу Бернштейна.

Нехай (,,) і (S,S,) — вимірні простори, () і () — -скінченні міри; Z — деякий банахів простір вимірних функцій на просторі (,,), з нормою||·||Z; L2(S) — простір функцій, інтегрованих з квадратом відносно міри ();

Означення 2.1. Послідовність функцій , належить класу якщо існують:

а) послідовність функцій з L2(S);

б) числова послідовність така, що для будь-якої числової послідовності при будь-якому n > 0 виконується нерівність

Далі наведені важливі приклади послідовностей функцій, що належать до класу і наступне основне твердження.

Лема 2.4. Нехай (,,) і (S,S,) — вимірні простори, f(s,) — вимірна функція на просторі (S, S , ), . Якщо для -майже всіх s

і для -майже всіх

то

У підрозділі 2.3 знайдено умови та швидкість збіжності строго sub() випадкових рядів у нормах просторів Орліча.

Нехай — послідовність вимірних функцій на (X,X,), що належать до класу де (S,S,) — вимірний простір, qk(s) — послідовність функцій з L2(S), а cn — числова послідовність, для якої виконується нерівність з означення 2.1.

Нехай — послідовність випадкових величин з строго sub() сім’ї з визначальною сталою С (означення 1.6); для N-функції (x) виконуються припущення теореми 2.1.

Позначимо

де — деяка числова послідовність.

Теорема 2.3. Нехай існує монотонно неспадна послідовність   така, що для будь-якого виконується

і при

Тоді

де — норма у просторі Орліча випадкових величин LU(), породженому N_функцією — функція, додаткова до (х).

При цьому для будь-якого >0 виконується нерівність

де

а визначена в лемі 2.1.

При >1 виконується нерівність

Далі у цьому підрозділі сформульовано ряд важливих наслідків з цієї теореми.

У підрозділі 2.4 вивчаються умови та швидкість збіжності випадкових рядів вигляду

де випадкові величини k належать до строго sub() сім’ї з визначальною сталою С, — N-функція Орліча, така, що — угнута, функція неперервна і така, що

а — послідовність обмежених вимірних функцій з класу

Для таких рядів знайдено умови та швидкість збіжності у нормах просторів Lp. Основним результатом цього підрозділу є теорема 2.4, яка грунтується на твердженні теореми 2.2.

У третьому розділі “Застосування методу Фур’є до крайових задач з випадковими початковими умовами” викладено твердження, які обгрунтовують застосування методу Фур’є до крайових задач для однорідного гіперболічного рівняння з початковими умовами у вигляді сумісно строго sub() випадкових процесів.

Основним результатом цього розділу є така теорема.

Теорема 3.2. Нехай випадкові процеси (x) і (x) — сумісно строго sub() з визначальною сталою С, N-функція (x) задовольняє умови теореми 2.1.

Для того, щоб існував узагальнений розв’язок задачі Штурма-Ліувілля, зображуваний у вигляді ряду, який збігається у нормі достатньо, щоб існувала монотонно неспадна послідовність для якої збігається ряд

При цьому для будь-якого >0 виконується нерівність

де

B — деяка стала.

Або при >1 виконується нерівність

Подібна теорема сформульована далі для випадку, коли виконуються умови теореми 2.4.

Крім того, у третьому розділі при деяких початкових припущеннях сформульовані зручніші оцінки існування узагальненого розв’язку розглянутої задачі, і, на їх основі, одержані умови в термінах корреляційних функцій процесів (x) і (x), при яких виконуються умови згаданих теорем.

Основні результати роботи.

Одержано:

·

· Умови та оцінки швидкості збіжності строго sub() випадкових рядів у нормах просторів Орліча;

· Умови існування узагальненого розв’язку крайової задачі для однорідного гіперболічного рівняння з початковими умовами, які є строго sub() випадковими процесами;

· Оцінки швидкості збіжності зображень цього розв’язку, отриманих методом Фур’є, у нормах просторів Соболєва.

Основні результати дисертації

опубліковані в наступних роботах

1.

1.

праць. — Ніжин: НДПІ ім. М.В. Гоголя, 1996. — С. 9-12.

1.

1.

1.

1.

1.

1.

1.

1.

Ковальчук Ю.О. Крайові задачі з випадковими початковими умовами і функціональні ряди із просторів Орліча. — Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.05 — теорія ймовірностей та математична статистика. — Київський університет імені Тараса Шевченка, Київ, 1999.

Досліджуються умови та швидкість збіжності випадкових функціональних рядів із просторів sub() у різноманітних нормах. Одержані результати застосовуються до дослідження крайової задачі для гіперболічного рівняння з випадковими початковими умовами.

Ключові слова: випадкові процеси, випадкові ряди, простір Орліча, диференціальне рівняння гіперболічного типу, метод Фур’є.

Ковальчук Ю.А. Краевые задачи со случайными начальными условиями и функциональные ряды из пространств Орлича. — Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.05 — теория вероятностей и математическая статистика. — Киевский университет имени Тараса Шевченко, Киев, 1999.

Исследование свойств случайных рядов в различных функциональных пространствах является одним из важных направлений развития теории случайных процессов. Возможность представления некоторых случайных процессов в виде функциональных рядов позволяет изучать свойства этих процессов на основании свойств изображающих их рядов.

В диссертации исследуются условия и скорость сходимости случайных функциональных рядов из пространств sub() в различных нормах, а именно пространств Орлича, Lp —пространств, пространств Соболева. Полученные результаты применяются к исследованию краевой задачи для гиперболического уравнения со случайными начальными условиями.

В первом разделе диссертации приведены известные результаты из теории пространств Орлича и пространств sub(), необходимых для дальнейшего изложения материала. Введены также новые понятия семейства строго sub() случайных величин и строго sub() случайного процесса, а также сформулированы основные утверждения и приведены примеры, подтверждающие целесообразность введения этих понятий, наряду с такими классами, как, например, семейства строго орличевых случайных величин и строго орличевы случайные процессы.

Во втором разделе сформулированы утверждения о распределении квадратичных форм от строго sub() случайных величин. Эти утверждения сформулированы отдельно для случая, когда функция выпукла, и для случая, когда она является вогнутой, поскольку доказательства утверждений для этих двух случаев базируются на различных методах. Таким образом, актуальной остается проблема нахождения метода, который приводил бы к аналогичным результатам в общем случае.

В этом же разделе сформулировано понятие BZ2 — последовательностей функций, т.е. понятие, обобщающее существующие определения различных классов последовательностей функций, для которых выполняются неравенства типа Бернштейна.

Приведены также важные примеры таких классов.

Далее получены условия и оценки скорости сходимости строго sub() случайных рядов в нормах пространств Орлича отдельно для случая, когда функция выпукла, и для случая, когда она является вогнутой.

Представление случайных процессов в виде сходящихся случайных рядов открывает новые возмжности для решения задач математической физики со случайными начальными условиями. Эта идея была положена в основание дальнейших исследований, результаты которых изложены в третьем разделе диссертации.

Основными результатами третьего раздела являются теоремы, в которых установлены условия существования обобщенного решения краевой задачи для однородного гиперболического уравнения, если начальными условиями этой задачи являются совместно строго sub() случайные процессы. При этом получены оценки скорости сходимости рядов, представляющих это решение.

Ключевые слова: случайные процессы, случайные ряды, пространство Орлича, дифференциальное уравнение гиперболичесгого типа, метод Фурье.

Kovalchuk Yu.O. The boundary-value problems with random initial conditions and functional series from Orlich spaces. — Manuscript.

Thesis for a degree of Candidate of Science (Ph.D.) in Physics and Mathematics, speciality 01.01.05. — Probability theory and Mathematical Statistics. — Kiev Shevchenko University, Kiev, 1999.

Conditions for convergence and estimates of the convergence rate of random functional series from sub() spaces in various norms, are studied. The results obtained are used to investigation of the boundary-value problem for hyperbolic equation with random initial conditions.

Key words: random processes, random series, Orlich space, hyperbolic differential equation, Fourier method.