Національна академія наук України

Національне космічне агентство України

Інститут космічних досліджень

Крак Юрій Васильович

УДК 621.865.8

РОЗРОБКА ОПТИМІЗАЦІЙНИХ МЕТОДІВ ДОСЛІДЖЕННЯ СКЛАДНИХ МАНІПУЛЯЦІЙНИХ СИСТЕМ

01.05.04 - системний аналіз i теорія оптимальних рішень

автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

доктора фізико-математичних наук

Київ - 1999

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Київському університеті імені Тараса Шевченка.

Науковий консультант - доктор фізико-математичних наук, професор Кириченко Микола Федорович,
Інститут кібернетики ім.В.М.Глушкова НАН України, провідний науковий спеціаліст.

Офіційні опоненти:

доктор фізико-математичних наук, професор
Берб’юк Віктор Євгенович, Інститут прикладних проблем механіки і математики ім.Я.С.Підстригача НАН України, завідувач відділу;

доктор фізико-математичних наук, професор
Кіфоренко Борис Микитович,

Київський університет імені Тараса Шевченка, завідувач кафедри;

доктор фізико-математичних наук, професор
Покотило В’ячеслав Григорович, Інститут клітинної біології та генетичної інженерії НАН України, заступник директора.

Провідна установа - Ужгородський державний університет Міністерства освіти України, математичний факультет.

Захист відбудеться "20" травня 1999р. о 15 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.205.01 в Інституті космічних досліджень НАНУ та НКАУ, Київ-22, проспект Академіка Глушкова, 40.

З дисертацією можна ознайомитися у архіві Інституту космічних досліджень НАНУ та НКАУ.

Автореферат розісланий "16" квітня 1999р.

Вчений секретар

спецiалiзованої вченої ради Н.М.Куссуль

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Дисертаційна робота присвячена розробці нових методів дослідження складних нелінійних динамічних багатоланкових маніпуляційних систем, які базуються на підходах механіки, методах теорії оптимального керування, оптимізації, лінійної алгебри, символьних перетворень та псевдообернень.

Актуальність і ступінь розробки тематики дисертації. Необхідність проведення досліджень з тематики дисертації викликана широким застосуванням, у першу чергу, робототехніки, яка базується на багатоланкових маніпуляційних системах, у різних галузях народного господарства: машинобудуванні, ядерній промисловості, космічній техніці, на шкідливих і небезпечних виробництвах, що вимагають якісного і надійного функціонування, значної швидкодії та економічності, а також недостатньою розробкою відповідних конструктивних теоретичних засад для аналізу геометро-топологічних, кінематичних та динамічних параметрів маніпуляційних систем з метою оптимального, відносно певних критеріїв, їх вибору для автоматизації конкретного виробництва. Це значною мірою актуально для України як ядерної та космічної держави з розвинутою промисловістю. Такого типу проблеми важко формалізуються, оскільки потрібно описати як об’єкт дослідження, так і його робочий простір, спланувати дії в цьому просторі та розрахувати необхідні керування для їхньої реалізації. Використання певного формалізму опису системи обмежується рамками того класу задач, які за його допомогою можна поставити і дослідити. Математичні формалізми опису маніпуляційних систем запропоновані J.J.Uicker, J.Denavit, R.S.Hartenberg (застосування матриць однорідних координат), Є.П.Поповим (використання блочних матриць), В.Г.Кореньовим (агрегату твердих тіл), М.Вукобратовичем (“складання” елементів об’єкту на основі формул Родріго) та ін., мають значну обчислювальну складність (кількість арифметичних операцій, необхідну для реалізації), надмірність опису і орієнтовані, в основному, на використання чисельних методів для розв’язання поставлених задач. Формалізми структурованого та структурно-параметричного опису систем, запропоновані Б.М.Бубликом, М.Ф.Кириченком, Ф.Г.Гаращенком, дозволяють ефективно описувати систему через параметри і структури підсистем. М.Ф.Кириченком і Ф.О.Сопронюком розроблені подібні формалізми для систем з розгалуженнями. В дисертаційній роботі використовуються формалізми, ефективні з точки зору організації обчислень і орієнтовані на чисельно-аналітичні та оптимізаційні методи вирішення поставлених задач.

Для проблем планування станів маніпуляційних систем із значною кількістю ланок (більше шести) отримати явний розв’язок через надмірність не завжди можливо, тому виникає необхідність розробки ефективних оптимізаційних методів, які дозволяють розв’язати цю задачу для довільної системи. Важливо знайти всю множину можливих розв’язків з метою побудови і аналізу досяжності робочого простору і можливості виконання певних технологічних операцій.

Збільшення швидкодії та точності виконання заданих операцій, зменшення енергетичних витрат вимагає використання динамічних властивостей системи. Методи побудови математичних моделей динаміки маніпуляційних систем, розроблені Р.Полом, М.Вукобратовичем, А.Ф.Верещагіним, І.Віттенбургом, Ф.П.Кулаковим, J.M.Hollerbach, C.S.G. Lee, M.Shahinpoor, J.Y.S.Luh, A.K.Bejczy, M.W.Walker, D.E.Orin, C.P.Neuman, W.Schielhen, K.S.Fu та іншими вченими, базовані на принципах класичної механіки - рівняннях Ньютона-Ейлера, рівняннях Лагранжа П роду, принципах Даламбера, Гаусса - також значною мірою направлені на реалізацію чисельними методами. Однак, такий підхід не дозволяє відокремити етап побудови рівнянь динаміки від використання останніх у задачах аналізу і синтезу, отримати обчислювальну складність побудови моделі конкретної маніпуляційної системи, проаналізувати вплив складових частин рівнянь на систему в цілому і, тим самим, побудувати ефективні алгоритми керування. В цьому напрямку великий потенціал мають методи, основані на розробці або використанні символьних систем (REDUCE, MACSYMA, MATHEMATICA та інш.) для побудови чисельно-аналітичних процедур формування рівнянь динаміки (М.Вукобратович, Leu M.C., V.D.Tourassis, C.P.Neuman, S.Dubowsky, J.L.Grant, Khalil W., Homati N., Cheng P.-Y., та ін.). Суттєвим недоліком цих методів є те, що вони недостатньо використовують специфіку об’єкту досліджень і, незважаючи на невелику обчислювальну складність, мають надмірність обчислень, тому розробка методів та алгоритмів побудови рівнянь руху в чисельно-аналітичній формі з мінімізацією обчислень є актуальною.

Для аналізу й синтезу систем керування рухом у режимі реального часу використання відомих методів дослідження систем керування - оптимального керування, нелінійного керування, лінеаризації, адаптивного керування (Є.П.Попов, В.С.Медведєв, Є.І.Юревич, М.Вукобратович, Р.Пол, П.Д.Крутько, Ф.Л.Черноусько, В.Є.Берб’юк, В.Б.Ларін, S.Dubowsky, A.J.Koivo, Naremdra K.S., Kelly R., Lee C.S.G., Luh J.Y.S., Mikhailov L.K., Sadegh N., Seraji H., C.Y.Wu, K.D.Young та багато інших вчених) - через складність і нелінійність динаміки призводить до значних ускладнень. Тому перспективними є підходи, основані на знаннях з фізіології рухів людини (М.О.Бернштейн, П.К.Анохін, М.Л.Цетлін та інш.) - методи навчального типу(learning control), координації (S.Arimoto, J.S.Albus, S.-R.O.Z.Bien, W.T.Miller III, E.G.Harokopos, Kawamura S., Б.М.Кіфоренко та ін.), які дозволяють здійснити спрощення моделей, виділити найбільш суттєві елементи руху і реалізувати керування в режимі реального часу.

Таким чином, розробка оптимізаційних методів дослідження складних маніпуляційних систем, особливо маніпуляційних роботів, є актуальною як з теоретичної, так і з практичної точок зору.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Результати досліджень, наведені в дисертації, увійшли складовою частиною до проектів ДКНТ України “Розвиток конструктивної теорії моделювання та оптимального керування складних систем з неповними даними” (№ 1/806, 1992-1994рр., № 1.2.3/4, 1994-1996рр., № 1.4/347, 1997-1998рр.), “Розробка проблемно-орієнтованих математичних і програмних засобів моделювання, аналізу та синтезу керовних фізико-механічних систем” (№6.3/1589, 1997-1998рр.). Дисертаційна робота частково була підтримана Міжнародною Соросівською програмою в галузі точних наук (ISSEP), грант № APU051055.

Мета і задачі дослідження полягають у розробці оптимізаційних постановок задач і методів системного аналізу геометро-топологічних параметрів, планування та оцінки станів, побудови областей досяжності, розрахунку траєкторій та організації рухів, формування математичних моделей в чисельно-аналітичному вигляді з мінімізацією обчислювальної складності, динаміки і керування складними нелінійними маніпуляційними системами.

Наукова новизна. У дисертації особисто автором одержано такі нові результати:

- доведено теореми про виділення в елементах математичних моделей динаміки маніпуляційних систем сталої частини, залежної від масомоментних параметрів і обчислюваної apriori, та змінної, залежної від узагальнених координат системи;

- вперше розроблено метод декомпозиції маніпуляційних систем на системи різних розмірностей;

- вперше доведені теореми про представлення елементів рівнянь динаміки маніпуляційних систем, максимально згрупованих з виділенням матриць спеціального вигляду;

- показано, що формування елементів рівнянь динаміки здійснюється оптимальним способом і зводиться до двох базових операцій матричних добутків, які обчислюються мінімальною кількістю арифметичних операцій множення і додавання;

- вперше здійснено системний аналіз за критерієм обчислювальної складності цілих класів маніпуляційних систем;

- для задач аналізу та побудови областей досяжності доведені теореми з умовами досяжності та локальної досяжності станів маніпуляційних систем;

- розроблено оптимізаційні методи вибору геометро-топологічних параметрів маніпуляційних систем за критеріями досяжності певних множин точок та областей;

- запропоновано нові методи розв’язування задач дослідження рівноважних станів;

- розроблено ефективні алгоритми розв’язання задач динаміки і побудови програмних траєкторій маніпуляційних систем;

- на основі розроблених оптимізаційних та чисельно-аналітичних методів запропоновано вперше координаційний підхід до організації рухів маніпуляційних систем.

Теоретична і практична цінність одержаних результатів полягає в тому, що: для складних багатоланкових маніпуляційних систем розроблено новий метод побудови математичних моделей динаміки з мінімізацією обчислювальної складності, який дозволяє досліджувати відомі маніпуляційні системи та проектувати нові з певними властивостями, використовувати динаміку в задачах аналізу та синтезу систем керування в режимі реального часу; на основі запропонованого методу проаналізовано клас маніпуляційних систем з шістьома ступенями рухливості, де із загальної кількості 729 можливих кінематичних схем виділені 42 схеми, які становлять практичний інтерес; отримані розв’язки задач статики та планування локальних станів і траєкторій руху; здійснено аналіз областей досяжності ланок системи; запропоновані методи є конструктивними і можуть безпосередньо застосовуватись у САПР маніпуляційних систем.

Публікації та особистий внесок здобувача. Результати дисертації опубліковані у монографії, навчальному посібнику, 10 статтях у наукових журналах, 7 статтях у збірниках наукових праць, матеріалах та тезах 12 конференцій. Всі основні результати дисертації одержані автором особисто і достатньо відображені в роботах [1-18]. У монографії [1] автором написані параграфи 1.1, 1.3-1.5, 2.1, 2.3, 2.5, 5.1, 5.3, 5.4, розділи 4, 6; у [2] - параграфи 1, 4, 7 розділу 1; 4, 5 розділу 2, розділ 3; в роботах [3,4] автору належать оптимізаційні постановки задач, розробка алгоритмів та програм реалізації; в [8] - розробка методу побудови програмних рухів, в [10] - ідеї методу формування рівнянь динаміки; в роботах [15],[17] - ідеї зведення до оптимізаційних задач та методи їх розв’язання.

Апробація результатів дисертації. Основні результати роботи доповідались і обговорювались на Сьомій Всесоюзній конференції “Управление в механических системах” (Свердловск, 1990р.), Міжнарод-ному семінарі “Multi-arm robot manipulators” (Іркутськ, 1991р.), симпозіумі ”Symposium on Optimal Control of Mechanical Systems” (Москва, 1992р.), конференції “Моделирование и исследование устойчивости процессов” (Київ, 1992р.), симпозіумі “Питання оптимізації обчислень” (Київ, 1993р.), Першій Українській конференції з автоматичного керування “Автоматика-94” (Київ, 1994р.), Всеукраїнській науковій конференції “Застосування обчислювальної техніки, математичного моделювання та математичних методів у наукових дослідженнях” (Львів, 1995р.), Другій Українській конференцiї з автоматичного керування “Автоматика-95” (Львів, 1995р.), Українських конференціях “Моделювання і дослідження стійкості систем” (Київ, 1994, 1996, 1997рр.), Всеукраїнській конференції “Диференціально-функціональні рівняння та їх застосування” (Чернівці, 1996р.), П’ятій Українській конференції з автоматичного управління “Автоматика-98” (Київ, 1998р.), семінарі “Динаміка та оптимізація керованих систем” Інституту прикладних проблем механіки і математики НАН України ім.Я.С.Підстригача (керівник - д.ф.-м.н., проф. Берб’юк В.Є.), семінарах кафедри математичних проблем керування і кібернетики Чернівецького університету ім. Юрія Федьковича (керівник - д.ф.-м.н., проф. Сопронюк Ф.О.), семінарах “Моделювання та оптимізація систем” кафедри моделювання складних систем Київського університету ім.Тараса Шевченка (керівник - чл.-кор. НАН України Бублик Б.М.), семінарі “Дискретні системи керування” Інституту космічних досліджень НАНУ та НКАУ (керівник - академік НАН України Кунцевич В.М.), під час перебування на стажуванні у Йєльському університеті (New Hawen, США, 1998р.).

Структура та обсяг дисертації. Дисертаційна робота складається зі вступу, п’яти розділів, висновків, списку використаних джерел, що нараховує 206 найменувань, та додатку і включає 8 рисунків та 7 таблиць. Повний об’єм дисертації 260 сторінок.

Зміст роботи

У вступі подано загальну характеристику дисертації: розкрито сутність та стан наукової проблеми; обгрунтовано необхідність проведення і відзначено актуальність дослідження; сформульовано мету роботи; анонсовано новизну одержаних результатів та їх теоретичне і практичне значення.

У першому розділі відзначається, що об’єктом дослідження дисертаційної роботи є маніпуляційні системи, які складаються з множин твердих тіл, послідовно з’єднаних ідеальними керованими кінематичними парами V класу, дається огляд літературних джерел, вивчаються основні підходи і методи дослідження таких систем, зокрема використання певних математичних формалізмів опису, побудови математичних моделей динаміки та керування, аналізуються одержані результати з переліком їх недоліків, переваг і шляхів подальшого розвитку, а також формулюються основні задачі досліджень.

У другому розділі наводиться, оснований на рівняннях Лагранжа П роду, чисельно-аналітичний підхід до формування рівнянь динаміки маніпуляційних систем у вигляді

, (1)

де - відповідно вектори узагальнених координат та узагальнених керуючих сил; - матриця інерції ланок розмірності nn; =, , - матриці розмірності nn, які описують внесок складових відцентрових та коріолісових сил; - n1- вектор гравітаційних сил, - масомоментні параметри ланок.

Для цього розробляється метод розділення на сталу та змінну частини при знаходженні енергетичних характеристик, в результаті якого будуються елементи системи (1) (теореми 2.4-2.7) [1,5,6,10-12]:

, (2)

, (3)

, , (4)

, (5)

(6)

, (7)

, (8)

- відповідно динамічні та статичні моменти і маса і-ї ланки, - ортогональні матриці поворотів навколо осей кінематичних пар, - зміщення систем координат, - прискорення вільного падіння,

Таким чином, в елементах системи (1) виділена частина (7), (8), залежна від сталих величин маніпуляційної системи і яку можна обчислити apriori, та частина (5), (6), залежна від узагальнених координат системи і яку треба обчислювати за кожної зміни останніх. В наступних підрозділах вивчаються властивості та наводиться алгоритм побудови в явному аналітичному вигляді тригонометричних складових рівнянь динаміки (1).

Далі в дисертаційній роботі розробляється метод декомпозиції [1,12] маніпуляційної системи, який дозволяє побудувати нові ефективні алгоритми формування елементів рівнянь руху (1). Він базується на тому, що оскільки маніпуляційна система описується послідовністю кінематичних пар, то, виділивши певний неперервний ланцюг цієї послідовності і залишаючись в рамках формалізмів опису, також одержимо маніпуляційну систему, тільки меншої розмірності.

Позначимо через множину добутків матриць , для базової (вихідної) маніпуляційної системи розмірності , а через - множину добутків матриць для маніпуляційної системи розмірності r-q+1 (q<= r, 1<= r <=n), яка є нерозривним ланцюгом від q-ї до r-ї ланки базової системи. Розглянемо окремо маніпуляційну систему розмірності r-q+1. Нехай її кінематична схема співпадає зі схемою виділеної з базової системи розмірності , і узагальнені координати дорівнюють …,.

Теорема 2.9. =. (9)

Теорема 2.10. Нехай , - множини добутків матриць маніпуляційних систем розмірності відповідно r-q+1 і p-t+1. Візьмемо . Тоді

. (10)

Теорема 2.11. Якщо в кінематичній схемі замінити -ту ланку на іншу, то множина нової маніпуляційної системи буде містити множини вихідної системи.

Таким чином, у загальному випадку схему декомпозиції маніпуляційної системи можна зобразити у вигляді дерева (рис. 1.). Елементами множини , які власне потрібно обчислити, будуть добутки матриць

, , , , (11)

тоді як решта елементів вже обчислена для маніпуляційних систем меншої розмірності, виділених з базової.

Рис. 1.

Декомпозиція маніпуляційної системи на системи меншої розмірності дозволяє побудувати ефективний метод формування елементів системи (1) за n кроків. Його суть полягає в тому, що на кожному кроці обчислюються тільки елементи систем відповідної розмірності і вони додаються до вже обчислених елементів:

Крок k (k=1,…,n). Знаходимо елементи множин , . Для цього треба обчислити () нових добутків матриць і помножити їх на відповідні матриці сталих величин (8). Кількість задіяних членів матриці сил інерції на цьому кроці дорівнюватиме , причому вони будуть різного укладення - від 1-го до k-го.

До задіяних на цьому кроці членів матриці сил інерції додаються такі елементи: для діагональних

(12)

для недіагональних

(13)

Таким чином, наведений метод дає можливість за n кроків одержати члени матриці сил інерції маніпуляційної системи розмірності n. Кожний член формується ітераційним способом, що набагато спрощує аналіз і групування елементів. На кожному кроці треба обчислити тільки необхідну частину добутків, а кількість членів, цілком знайдених на кроці, дорівнює номеру кроку.

На основі методу декомпозиції у третьому розділі розробляється методика і доводяться відповідні теореми про формування рівнянь у структурованому і максимально згрупованому вигляді.

Теорема 3.1. Діагональні елементи матриці сил інерції (1), у відповідності до методу декомпозиції, будуються за наступними формулами

(14)

де (15)

(16)

Теорема 3.2. Недіагональні елементи матриці сил інерції будуються за наступними формулами

(17)

де

(18)

(19)

(20)

(21)

(22)

(23)

Теорема 3.3. Для елементів матриць відцентрових сил справедливо

(24)

де

(25)

(26)

(27)

(28)

(29)

Теорема 3.4. Елементи матриці відцентрових сил маніпуляційної системи (1) будуються за наступними співвідношеннями

(30)

де

(31)

(32)

(33)

(34)

(35)

Тут - матриці спеціального вигляду, у яких тільки два елементи дорівнюють одиниці, решта - нулю.

Для елементів матриць , які характеризують вклад коріолісових сил, тобто які стоять при різних добутках перших похідних від узагальнених координат - , справедливі наступні

Теорема 3.5. . (36)

Теорема 3.6. (37)

Теорема 3.7. (38)

.

Теорема 3.8. Елементи вектора гравітаційних сил обчислюються за формулами

, (39)

де ,

(40)

(41)

Таким чином, для побудови елементів системи (1) отримали множини рекурентно визначених, попарно відмінних матриць, які є спільними для різних елементів і утворюють дерево обчислення із спільними матрицями у вузлах, що дозволяє виключити повторні обчислення, тобто здійснити максимальне групування. При формуванні елементів виділено дві базові операції - добуток матриці повороту на довільну матрицю справа, тобто і добуток довільної матриці на матрицю повороту зліва і справа: . Мінімізація кількості обчислень досягається при знаходженні операції сліду з урахуванням вигляду матриць і обчисленні базових добутків матриць мінімальною кількістю арифметичних операцій множення і додавання.

В наступному підрозділі розділу 3 досліджується і аналізується обчислювальна складність формування рівнянь динаміки (1) для маніпуляційних роботів у чисельно-аналітичному вигляді на основі методу декомпозиції [16,18]. Оскільки обчислювальна складність формування рівнянь динаміки запропонованим методом залежить від конкретної кінематичної схеми маніпулятора і його масомоментних параметрів, то за основу вибрано клас маніпуляційних роботів з шістьома і менше ступенями рухливості. Обмежимося класом кінематичних схем тільки з поворотними з’єднаннями і позначимо цифрою 1 обертання ланки навколо осі ОХ, цифрою 2 - навколо осі ОУ, цифрою 3 - навколо осі OZ і, таким чином, кінематичну схему маніпулятора будемо записувати послідовністю цифр - 1,2 чи 3. Для шестиланкових маніпуляторів загальна кількість кінематичних схем в цьому класі буде 36=729. Оскільки, як правило, для маніпуляційних роботів перша і остання ланки обертаються навколо осі ОХ і за умови, що ніякі три ланки підряд не можуть мати однакового ступеня рухливості, отримаємо 42 схеми, використання яких має практичний інтерес. Для цих схем побудуємо рівняння динаміки (1) в чисельно-аналітичному вигляді і дослідимо їхню обчислювальну складність (див. табл.1).

Із аналізу результатів табл.1, випливає ще одна нова суттєва властивість рівнянь динаміки, а саме: кінематичні схеми, симетричні відносно поворотів навколо осей OY i OZ, мають однакову обчислювальну складність. Тобто з точки зору аналізу обчислювальної складності запропонованим чисельно-аналітичним методом досить дослідити тільки 21 кінематичні схеми маніпуляційних систем, а це цілком реальна і здійсненна задача.

Таблиця 1. Обчислювальна складність формування рівнянь дина-
міки для шестиланкових маніпуляторів (+ -додавання, * - множення).

MP-6 | + | * | MP-6 | + | *

112131 | 169 | 173 | 113121 | 169 | 173

112231 | 167 | 153 | 113321 | 167 | 153

112331 | 178 | 155 | 113221 | 178 | 155

112321 | 204 | 200 | 113231 | 204 | 200

112311 | 165 | 154 | 113211 | 165 | 154

121131 | 196 | 198 | 131121 | 196 | 198

121331 | 247 | 251 | 131221 | 247 | 251

121311 | 239 | 253 | 131211 | 239 | 253

121321 | 283 | 308 | 131231 | 283 | 308

121231 | 283 | 308 | 131321 | 283 | 308

122311 | 232 | 224 | 133211 | 232 | 224

122321 | 278 | 283 | 133231 | 278 | 283

122131 | 243 | 256 | 133121 | 243 | 256

123121 | 306 | 334 | 132131 | 306 | 334

123131 | 306 | 334 | 132121 | 306 | 334

123211 | 290 | 295 | 132311 | 290 | 295

123311 | 246 | 219 | 132211 | 246 | 219

122331 | 240 | 216 | 133221 | 240 | 216

123231 | 341 | 362 | 132321 | 341 | 362

123221 | 293 | 285 | 132331 | 293 | 285

123321 | 287 | 271 | 132231 | 287 | 271

В роботі для цих кінематичних схем дається обчислювальна складність побудови кожної складової рівнянь (1). Показано, що близько двох третин займають обчислення коріолісових сил, майже половину - інерційні сили. Якщо ланки маніпулятора є симетризованими тілами, то обчислювальна складність зменшиться приблизно на третину. Відзначається, що обчислювальна складність проаналізованих кінематичних схем безпосередньо залежить від типу кінематичних пар з’єднання шарнірів і розташування однакових ступенів рухливості в кінематичній схемі маніпуляційного робота. На обчислювальну складність у значній мірі впливають масомоментні параметри ланки.

Четвертий розділ дисертаційної роботи присвячено розробці оптимізаційних методів геометро-статичного аналізу і синтезу складних маніпуляційних систем.

В підрозділі 4.1 розглядається задача оберненого планування станів в околі цільової точки [1,2]. Нехай функції для задають закон руху n-тої ланки маніпуляційної системи. Ці функції залежать від узагальнених координат так, що

(42)

де - суть розв’язки задач Коші

(43)

, (44)

. (45)

Знайдемо частинні похідні узагальнених координат, скористав-шись для цього системою спряжених рівнянь:

де (i) - матриці, що задовольняють системі:

З (42), для диференційовних функцій випливає, що

, (46)

де - матриця частинних похідних Якобі. Базуючись на методах псевдообернення, наводиться загальний розв’язок задачі оберненого планування станів для різних випадків залежностей між матрицею і векторами стану та кінематичної схеми маніпуляційної системи. Для кінематичних схем з надмірністю, для знаходження розв’язку задачі оберненого планування станів використовується метод динамічного програмування.

Для математичної постановки задачі знаходження оптимальних геометро-топологічних параметрів маніпуляційної системи співвідно-шення (43)-(45) перепишемо у такому вигляді [1,17]:

, (47)

(48)

(49)

де . (50)

Довжина ланок маніпуляційної системи вибирається з деякої множини допустимих довжин задане число.

Використаємо співвідношення (47)-(50) для формулювання задачі визначення оптимальної геометрії маніпулятора, оскільки змінюючи параметри можна будувати різні кінематичні схеми системи. Введемо функціонал

, (51)

де - множина робочого простору, - визначається співвідношенням (43). Даний функціонал характеризує розмір множини досяжних положень маніпуляційної системи в напрямку , тому будемо називати його функціоналом положення. Аналогічно вводяться функціонали підходу та орієнтації. Нехай множина точок положення, в які система має вийти. Введемо функціонал: .

Тоді загальну задачу знаходження оптимальних параметрів маніпуляційної системи, які максимізують розмір робочої області в заданих напрямках і дозволяють виходити в задані точки даної області, можна сформулювати так: знайти

(52)

за обмежень (47)-(49).

Для знаходження оптимальних значень параметрів маніпуляційної системи використовуються оптимізаційні процедури.

В підрозділі 4.3, використовуючи поняття теорії оптимального керування, наводяться деякі підходи до аналізу та побудови областей досяжності маніпуляційних систем [1-3].

Означення 4.1. Повний стан захвата n-тої ланки маніпуляційної системи назвемо досяжним, якщо його можна реалізувати за певних значень узагальнених координат.

Означення 4.2. Стан n-тої ланки назвемо цілком досяжним, якщо для всіх узгоджених пар , повний стан цієї ланки досяжний.

Означення 4.3. Множину цілком досяжних станів назвемо областю повної досяжності, а множину станів, які можна реалізувати хоча б для однієї узгодженої пари , - областю часткової досяжності -.

Означення 4.4. Повний стан назвемо локально досяжним (локально досяжним за положенням), якщо існує таке >0, що стан , який задовольняє умову є цілком досяжний.

Подібні означення можна ввести для локальної досяжності за підходом та орієнтацією. Геометричний зміст локальної досяжності досяжності за підходом, зокрема, полягає в тому, що в стані вектор підходу можна змінювати, залишаючи при цьому без змін вектори положення та орієнтації.

Для дослідження областей досяжності розглядаються послідовно його сусідні з’єднання (j-1) та (j), j=1,n. Доведена наступна

Теорема 4.1. Якщо існують такі , за яких повний стан (j-1)-ї ланки

(53)

досяжний, то і стан j-ї ланки маніпуляційної системи буде досяжним.

Теорема 4.2. Якщо для всіх узгоджених пар , існують такі , ,…,, за яких для із станів досяжний повний стан (j-1)-ї ланки і для виконуються співвідношення (53), то стан досяжний для всіх .

Теорема 4.3. Для локальної досяжності за положенням стану , якому відповідає вектор узагальнених координат , необхідно й досить виконання умови

,

де а значення є розв’язками задачі (43).

Для конкретної маніпуляційної системи розглядаються умови досяжності, цілком досяжності та локальної досяжності, а також досліджуються певні локальні властивості кінематичних схем, які дали б змогу алгоритмізувати аналіз та побудову областей досяжності.

В наступному підрозділі досліджується задача оптимізації оцінки параметрів ланок маніпуляційної системи [1]. Нехай довжини ланок маніпуляційної системи відомі з похибкою, тобто задано припустиму множину значень вектора

Потрібно за відомими: кінематичними залежностями

(54)

припустимою множиною , результатами вимірів координат станів системи

, (55)

і припустимою множиною шумів вимірів - обчислити оптимальну оцінку і апостеріорну множину значень параметрів .

Розв’язання задачі (54),(55) зведено до розв’язання відомих задач оцінювання параметрів, розроблених у сучасній теорії керування.

Для постановок задач дослідження рівноважних станів використовується структурований підхід до математичного опису механічних систем [15]. Статичні моделі зв’язують між собою стан маніпуляційної системи, який характеризується вектором узагальнених координат , та узагальнені сили , які необхідні для визначення цього стану, а також діючі зовнішні сили. В залежності від того які параметри відомі, а які потрібно визначити, виділимо три задачі статики.

Задача 1. Задано: 1) узагальнені координати ;

2) сила та момент сил, що прикладені до n-тої ланки маніпуляційної системи f=(R,Q).

Знайти: узагальнені керуючі сили .

Задача 2. Задано: 1) узагальнені керуючі сили ;

2) узагальнені координати .

Знайти: силу та момент сил f=(R,Q).

Задача 3. Задано: 1) узагальнені керуючі сили ;

2) сила та момент сил f=(R,Q).

Знайти: вектор узагальнених координат .

Теорема 4.8. Система рівнянь

(56)

де A(, p) - матриця n6 з елементами:

(57)

а h(, p)- вектор n1 з елементами:

, (58)

де

описує статичну модель маніпуляційного робота.

Тут параметри, які визначаються структурованим підходом.

Спираючись на представлення (56) рівнянь статики, пропонуються розв’язки задач 1-3. Перша задача - пряма задача статики є найбільш простою: її розв’язок - вектор узагальнених сил - однозначно визначається за фіксованим положенням та прикладеним зусиллям за формулами (56)-(58).

Задача 2. Матриця A(, p), в загальному випадку, є прямокутною матрицею розмірності n6. Нехай n = 6 , тобто маніпуляційна система має шість ступенів рухливості. Для знаходження сили та момента сил розв’яжемо систему (56) відносно f. Якщо det A(, p) 0, то за відомим вектором узагальнених координат та узагальнених сил u однозначно визначається вектор f:

(59)

Якщо det A(, p)=0, то можливі два випадки:

А. Для заданих u і вектор f знаходиться неоднозначно, тобто існує ціла множина векторів f, які задовольняють (56). Тому ставиться задача знаходження f з умов:

. (60)

Розв’язком (60) буде:

, (61)

де - псевдообернена матриця.

Б. Для заданих u і розв’язків не існує. Це означає, що для них не можливий статично-рівноважний стан системи.

Нехай n, тобто матриця буде прямокутною, і для знаходження сили та момента сил, що прикладені до маніпуляційної системи, необхідно використовувати методи псевдообернення.

Задача 3 - обернена задача статики - є однією із складних задач. Нехай - заданий вектор узагальнених керуючих сил, - задана сила та момент сили. Вектор узагальнених координат будемо знаходити з умов мінімума функціонала:

(62)

де - множина внутрішніх обмежень на узагальнені координати

- задані значення.

Для знаходження вектора узагальнених координат застосовується градієнтна процедура

,

де - операція проектування на множину , - крок ітерації, .

Для знаходження частинних похідних маємо:

.

Таким чином, побудовані конструктивні методи розв’язання задач статики 1-3.

У п’ятому розділі дисертаційної роботи наводяться нові методи розв’язання задач динаміки, побудови програмних рухів та організації керування маніпуляційних систем.

Використовуючи розроблений у другому розділі метод формування елементів рівнянь (1), розв’язуються задачі динаміки маніпуляційних систем, а саме: пряма та обернена задачі динаміки і знаходження ефективних моментів інерції [1,5].

Аналогічно методу укладення елементів, пропонується алгоритм для знаходження вектора узагальнених сил у процесі формування цих елементів. Для простоти наведемо алгоритм обчислення першого доданку в (1).

Крок 3. Позначимо . На цьому кроці алгоритмом формування матриці сил інерції обчислено члени ,,…,, які надають відповідні укладення узагальнених сил

(63)

.

Члени ,,…, анулюються.

У результаті роботи наведеного алгоритму за кроків будуть обчислені всі елементи вектора узагальнених керуючих сил для першого доданку в (1), тобто добуток . Аналогічно можна побудувати алгоритми розрахунку відцентрових, коріолісових та гравітаційних сил.

Наведемо алгоритм знаходження оберненої матриці у процесі формування елементів матриці інерції .

Крок 1. Позначимо . На цьому кроці маємо обчислені алгоритмом формування матриці сил інерції члени ,,…,, і обернену матрицю . Позначимо (,…,). Тоді матрицю можна записати так

Обернена матриця до матриці буде

(64)

де .

Елементи ,,…, і обернена матриця анулюються, зберігається .

Таким чином послідовно за кроків роботи алгоритму одержимо матрицю, обернену до матриці сил інерції .

Для знаходження ефективних моментів інерції досить зробити -1 кроків наведеного вище алгоритму обертання матриці . На -му кроці треба знайти , .

Тоді ефективні моменти обчислюються за формулами

(65)

де - діагональні елементи матриці .

В підрозділі 5.3 розглядається задача побудови програмних рухів для важливого в прикладних застосуваннях класу рухів, коли задані значення функції і перших похідних у вузлах [1,2,8]:

(66)

(67)

(68)

Сплайн будемо шукати у вигляді полінома

. (69)

Таким чином, для визначення коефіцієнтів маємо умов зі (66)-(68). Три умови, що залишились, задаються в залежності від конкретної задачі:

А. Задані швидкості на обох кінцях інтервалу і прискорення на одному з них:

(70)

Б. Задані швидкість або прискорення на одному з кінців і умова плавності на всьому інтервалі:

(71)

В. Задані швидкість або прискорення на одному з кінців і умова мінімуму енергії:

(72)

Отримані алгоритми визначення коефіцієнтів для наведених вище випадків.

Далі в дисертації показується, що розроблені в попередніх розділах математичні методи дозволяють здійснити координований рух маніпуляційної системи [1,13,14]. Координація з точки зору фізіології рухів є подоланням надмірності системи для досягнення поставленої цілі. Подолання надмірної кількості узагальнених координат (геометрична координація), які переводять систему в цільовий стан полягає у визначенні тих із них, що вносять найбільший внесок у рух, роблячи при цьому цільовий стан досяжним. Це здійснюється за допомогою оптимізаційних процедур планування станів. Кінематична координація руху визначається знаходженням таких змін узагальнених координат як функцій часу, за яких взаємозалежність (нелінійна) між ними буде зменшена. Координація на рівні динаміки (динамічна координація) системи подягає у знаходженні тих складових елементів рівнянь руху, які вносять найбільший (домінантний) вклад у його реалізацію.

З огляду на отримані результати можна здійснювати координацію руху маніпуляційної системи шляхом послідовного розв’язування і корекції такиїх необхідних задач:

1. Задати початковий стан системи (вектор узагальнених координат).

2. Задати цільовий стан системи.

3. Здійснити геометричну координацію.

4. Визначити інтервал часу.

5. Здійснити кінематичну координацію.

6. Перевірити обмеження на положення, швидкість та прискорення по кожній із узагальнених координат. Якщо є порушення, то збільшити інтервал часу і перейти на п. 5.

7. Сформувати рівняння руху (1).

8. Перевірити обмеження на узагальнені керуючі сили. Якщо є порушення, то збільшити інтервал часу і перейти на п. 5.

9. Здійснити динамічну координацію.

Таким чином, у результаті роботи алгоритму буде знайдено відрізок часу виконання заданого руху без порушення обмежень на узагальнені координати, швидкості, прискорення та узагальнені керуючі сили, а також набір структур із рівнянь динаміки, які реалізовують цей рух. Отже, процедура організації координовано руху цілком конструктивна і її можна реалізувати apriori, після чого для заданого руху зберігати необхідний набір елементів рівнянь динаміки.

Висновки

Проведені в дисертаційній роботі дослідження і одержані результати свідчать, що розробка оптимізаційних методів системного дослідження складних нелінійних маніпуляційних систем є важливою і актуальною. Такий підхід дозволяє здійснювати постановки нових задач і розробляти конструктивні методи їх розв’язання.

Розроблено новий метод формування математичних моделей динаміки маніпуляційних систем у чисельно-аналітичному вигляді з мінімізацією обчислювальної складності, який основується на наступних отриманих нових результатах.

1. Отримані теореми про представлення елементів кінетичної та потенціальної енергій в максимально згрупованій формі з виділенням частин, залежних від масомоментних параметрів і частин, залежних від узагальнених координат системи. В першу частину входять параметри обчислювані apriori, а не в процесі власне побудови рівнянь руху, які надалі вважаються певними сталими величинами, що значно зменшує кількість обчислень. Досліджені і одержані нові властивості і побудовані ефективні алгоритми формування в явному аналітичному вигляді частин, залежних від тригонометричних функцій узагальнених координат.

Доведені теореми про справедливість такого представлення і для елементів рівнянь динаміки маніпуляційних систем.

2. Вперше для формування математичних моделей маніпуляційних систем доведені теореми про декомпозицію вихідної системи на системи меншої розмірності. На основі цих теорем запропоновано метод укладень для побудови рівнянь динаміки. Використання цього методу, з урахуванням розділення на частини, дозволило одержати представлення для елементів матриць інерційних, відцентрових, коріолісових і вектора гравітаційних сил рівнянь руху у структурованій і згрупованій формі з виділенням матриць спеціального вигляду. Одержані представлення по суті є конструктивним алгоритмом формування елементів рівнянь руху, який зводиться до застосування двох базових операцій множення матриць і обчислюється мінімальною кількістю арифметичних операцій.

Здійснено системний аналіз за критерієм обчислювальної складності цілого класу кінематичних схем маніпуляційних роботів. Оскільки в рамках розробленого методу кожна маніпуляційна система буде характеризуватися власною кількістю арифметичних операцій формування рівнянь руху, то досліджено залежність обчислювальної складності системи від типів з’єднань, послідовності з’єднань кінематичних пар, об’єднань ланцюгів ланок у відповідних схемах. Показано, що із 729 можливих кінематичних схем шестиланкових маніпуляційних роботів тільки 42 становлять практичний інтерес. Для цих схем здійснено аналіз і наведено обчислювальні складності побудови кожної складової рівнянь руху.

Розроблений метод також дозволяє здійснювати операції заміни (вставки) ланок (ланцюгів ланок) у системі, причому обчислюються тільки ті елементи, які безпосередньо пов’язані з цією ланкою (ланцюгами ланок), а не формування всіх елементів системи, що важливо в САПР маніпуляційних систем.

Отримано загальний розв’язок задачі оберненого планування станів маніпуляційних систем. Наведена оптимізаційна постановка задачі вибору геометро-топологічних параметрів кінематичних схем маніпуляційних систем шляхом введення функціоналів, які характеризують робочий простір системи. Знайдені оптимальні оцінки і апостеріорні множини значень геометричних параметрів, сформульовані критерії досяжності станів маніпуляційних систем і досліджені локальні властивості кінематичних пар, які дозволяють суттєво спростити аналіз та побудову областей досяжності.

Сформульовані три задачі дослідження рівноважних станів, доведена теорема про представлення моделі статики у вигляді лінійної системи. Загальні розв’язки поставлених задач отримано на основі методів псевдообернення та мінімізації функціоналів.

На базі розробленого методу формування рівнянь динаміки побудовані нові ефективні алгоритми розв’язання прямої і оберненої задач динаміки, знаходження ефективних моментів інерції. Наведено метод побудови програмних рухів маніпуляційних систем у вигляді ермітових сплайнів четвертого порядку, які забезпечують проходження через задані вузли із заданими швидкостями.

Отримані в дисертаційній роботі методи розв’язування задач планування станів і траєкторій та побудови рівнянь динаміки дали можливість розробити новий підхід до організації керування рухом, який дозволяє дослідити природу процесів керування рухом з метою спрощення і виділення найвагоміших елементів і їх використання в технічних рішеннях побудови таких систем керування. Введені поняття геометричної, кінематичної і динамічної координації, на основі яких будуються алгоритм координації рухів як спосіб знаходження глобального керування.

Автор висловлює щиру подяку своєму науковому консультантові доктору фізико-математичних наук, професору Миколі Федоровичу Кириченку за постановку та обговорення проблем даної галузі досліджень та постійну увагу до роботи.

Основні результати дисертації опубліковані в таких роботах:

1.Кириченко М.Ф.,Крак Ю.В.,Сорока Р.О.Оптимізація маніпуляційних роботів. - Київ.: Либідь.- 1990. - 144 с.

2.Кириченко Н.Ф., Сорока Р.А., Крак Ю.В. Манипуляционные роботы. Алгоритмическое и программное обеспечение средств управления движением. - Киев: КГУ, 1987. - 84 с.

3.Кириченко Н.Ф., Крак Ю.В., Сорока Р.А. Математическое моделиро-вание механики и процессов управления манипуляционными роботами //Известия АН СССР. Техн. кибернетика. - 1987. - № 3. - С. 147-155.

4.Кириченко Н.Ф., Крак Ю.В., Сорока Р.А. Моделирование, оптимиза-ция и адаптация манипуляционных роботов //Кибернетика и вычисл. техника. - 1987, Вып.73. - С.90-93.

5.Крак Ю.В. К формированию уравнений динамики манипуляционных роботов применительно к задачам управления движением // Автоматика. - 1988. - №4. - С.89-93.

6.Крак Ю.В. Оптимизация вычислений при формировании уравнений движения манипуляционных роботов// Доклады АН УССР. Сер.А. -1988. - № 9. - С.74-78.

7.Крак Ю.В. Исследование математических моделей и информационных процессов в системах управления