Національна академія наук України

ІНСТИТУТ ПРИКЛАДНИХ ПРОБЛЕМ МЕХАНІКИ І МАТЕМАТИКИ
ІМ. Я.С. ПІДСТРИГАЧА

Кундрат

Андрій Миколайович

УДК 539.3

Напружений стан тіл із вЗаЄмонерухомими тонкими жорсткими включеннями за антиплоскої деформації

01.02.04 – механіка деформівного твердого тіла

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Львів – 2007

Дисертацією є рукопис

Робота виконана в Івано-Франківському національному технічному університеті нафти і газу МОН України та в Інституті прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України.

Науковий керівник: кандидат фізико-математичних наук, старший науковий співробітник Шацький Іван Петрович, Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України, старший науковий співробітник відділу моделювання демпфуючих систем, м. Івано-Франківськ.

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, старший науковий співробітник Кунець Ярослав Іванович, Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстри-гача НАН України, провідний науковий співробітник відділу математичних методів механіки руйнування та контактних явищ, м. Львів;

доктор фізико-математичних наук, старший науковий співробітник Стащук Микола Григорович, Фізико-механічний інститут ім. Г.В. Карпенка НАН України, провідний науковий співробітник відділу фізичних основ руйнування та міцності матеріалів, м. Львів.

Провідна установа: Одеський національний університет ім. І.І. Мечникова, кафедра методів математичної фізики, МОН України, м. Одеса.

Захист відбудеться “_6__” __лютого___ 2007 року о _15__ годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 35.195.01 в Інституті прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України за адресою: 79060, м. Львів, вул. Наукова, 3-б.

З дисертацією можна ознайомитись в науковій бібліотеці Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України (79060, м. Львів, вул. Наукова, 3-б).

Автореферат розісланий “_5__” __січня___ 2007 року.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради,

доктор фізико-математичних наук Р.М. Мартиняк

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Проблема вивчення напружено-деформованого стану та теоретичного обґрунтування міцності структурно неоднорідних тіл постійно користується підвищеною увагою спеціалістів у галузі механіки деформівного твердого тіла. Встановлення полів напружень і деформацій дає можливість більш точно прогнозувати та раціонально використовувати несучу здатність елементів конструкцій.

Одним із широко вживаних засобів підвищення дієздатності елементів конструкцій є їх армування стрічковими включеннями, що значно підвищує жорсткість системи, проте одночасно супроводжується збільшенням концентрації напружень, яка потребує окремого дослідження. Напружено-деформований стан в околі концентраторів напружень суттєво залежить від їх взаємного розташування та взаємодії між собою. Задачі такого класу, як правило, досліджують так, що забезпечується локальна рівновага кожного з включень, а свобода їх взаємного переміщення обмежується лише матеріалом матриці. Такий підхід, цілком виправданий для цілей матеріалознавства, потребує коригування стосовно задач керованого армування конструкцій, коли елементи арматури можуть зв’язуватися у єдиний каркас.

Дисертаційна робота спрямована на розв’язання наукового завдання – розвинути методи дослідження напружено-деформованого стану пружних тіл, армованих взаємонерухомими тонкими жорсткими включеннями, за умов антиплоскої деформації. Вирішення такого завдання є актуальним для механіки деформівного твердого тіла і відображає прикладні запити техніки щодо створення обґрунтованих методів розрахунку міцності тіл, армованих чужорідними включеннями.

Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дослідження за темою дисертації пов’язані з виконанням держбюджетної теми Івано-Франківського національного технічного університету нафти і газу “Розробка нових технологій подовження ресурсу та підвищення ефективності роботи нафтогазового обладнання” (2004–2006 рр., номер держреєстрації 0104U004087) та держбюджетної теми ІППММ ім. Я.С. Підстригача НАН України “Моделі та методи прямих і обернених задач для дослідження фізико-механічних процесів у неоднорідних шаруватих структурах із залишковими деформаціями і дефектами” (2006 р., номер держреєстрації 0106U000592), дисертант – виконавець.

Мета й задачі дослідження. Мета роботи – дослідження напружено-деформованого стану пружного масиву з системами взаємонерухомих жорстких стрічкових включень за умов поздовжнього зсуву. Для її досягнення необхідно вирішити такі основні задачі:

–

–

–

–

Об’єкт дослідження – пружні ізотропні тіла з системами жорстких стрічкових включень, зв’язаних в єдиний каркас.

Предмет дослідження – вплив взаємозв’язаності включень на напружено-деформований стан пружних тіл за умов антиплоскої деформації.

Методи д''eeслідження. Сформульовані задачі антиплоскої деформації пружних тіл з тонкими включеннями розв’язано методом сингулярних інтегральних рівнянь. Побудова розв’язків інтегральних рівнянь здійснена аналітично та числовим методом механічних квадратур.

Наукова новизна одержаних результатів:

–

–

–

–

Вірогідність отриманих результатів зумовлена обґрунтованістю постановки задач із взаємозв’язаними включеннями, строгою реалізацією апробованого у літературі методу числового розв’язання отриманих систем інтегральних рівнянь, узгодженням аналітичних і числових розв’язків задач для колінеарних включень, відповідністю висновків і результатів фізичній суті досліджуваних явищ, а також збігом результатів окремих часткових випадків з даними, одержаними іншими авторами.

Практичне значення отриманих результатів. Результати роботи розширюють можливість застосування методів механіки руйнування на композиційні матеріали з системами зв’язаних стрічкових включень, зокрема з широко вживаними стандартними профілями у вигляді кутника, тавра, швелера, двотавра. Отримані розв’язки поставлених задач з порівняльним аналізом для взаємонерухомих та вільних включень дозволять зробити раціональний вибір армування відповідно до заданого навантаження.

Особистий внесок здобувача. Напрям досліджень був сформований науковим керівником. Дисертантом самостійно розв’язано усі наведені в роботі задачі, розроблено алгоритми та відповідне програмне забезпечення для отримання числових результатів. У публікаціях, що написані у співавторстві, виконана наукова робота розподіляється таким чином:

–

–

–

Праці [8 – 10, 13] написані одноосібно.

Апробація результатів дисертації. Основні положення дисертаційної роботи доповідалися на науково-технічній конференції професорсько-викладацького складу Івано-Франківського національного технічного університету нафти і газу (Івано-Франківськ, 2002), на ІІ міжнародній науково-практичній конференції "Динаміка наукових досліджень `2003" (Дніпропетровськ), на 6-му Міжнародному симпозіумі українських інженерів-механіків у Львові (Львів, 2003), на науково-технічній конференції професорсько-викладацького складу Міжнародного економіко-гуманітарного університету ім. С.Дем’янчука (Рівне, 2004), на конференціях молодих учених з сучасних проблем механіки і математики ім. акад. Я.С.Підстригача (Львів, 2004, 2005), на Міжнародній конференції “Інтегральні рівняння та їх застосування” (Одеса, 2005), на ХІХ Відкритій науково-технічній конференції молодих науковців і спеціалістів Фізико-механічного інституту ім. Г.В.Карпенка НАН України (Львів, 2005), на Всеукраїнській науковій конференції “Сучасні проблеми механіки (до 100-річчя М.П. Шереметьєва)” (Львів, 2005).

У повному обсязі дисертація доповідалася і обговорювалася на розширеному науковому семінарі кафедри інформаційних систем і обчислювальних методів та кафедри вищої математики Міжнародного економіко-гуманітарного університету ім. С.Дем’янчука (Рівне), на засіданні розширеного наукового семінару кафедри теоретичних основ механіки та кафедри опору матеріалів Івано-Франківського національного технічного університету нафти і газу (Івано-Франківськ), на спільному семінарі відділу моделювання демпфуючих систем та відділу механіки деформівного твердого тіла ІППММ ім. Я.С. Підстригача НАН України (Львів), на загальноінститутському науковому семінарі ІППММ ім. Я.С. Підстригача НАН України (Львів), на науковому семінарі кафедри методів математичної фізики Одеського національного університету ім. І.І. Мечникова (Одеса).

Публікації. Основні результати дисертаційних досліджень висвітлено у 13 публікаціях, серед яких 5 робіт [1–5] надруковані у фахових журналах, 8 – тези і матеріали доповідей [6–13].

Структура та обсяг дисертації. Дисертація складається із вступу, п’яти розділів, що містять 103 рисунки, висновків та переліку використаних джерел із 244 найменувань. Загальний обсяг роботи становить 121 сторінку.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обґрунтовано актуальність теми дисертації; сформульовано мету та завдання досліджень; охарактеризовано наукову новизну та вірогідність отриманих результатів, їх теоретичне та практичне значення; наведено дані про апробацію отриманих результатів і публікації, що відображають основний зміст роботи; її зв’язок із науковими програмами.

У першому розділі подано огляд літератури, що пов’язана з темою дисертації та обґрунтовано вибір напрямку досліджень.

Задачі механіки для неоднорідних деформівних тіл з системами чужорідних включень вивчали вітчизняні та зарубіжні дослідники: О.Є.Андрейків, Л.Т.Бережницький, В.В.Божидарник, Г.А.Ванін, П.В.Витвицький, Є.І.Григолюк, Д.В.Гриліцький, Р.С.Гром’як, О.М.Гузь, В.А.Декрет, І.Т.Денисюк, М.С.Драган, О.О.Євтушенко, С.О.Калоєров, А.О.Камінський, С.К.Канаун, Л.А.Кіпніс, Г.С.Кіт, Ю.В.Коханенко, В.А.Кривень, М.М.Кундрат, Я.І.Кунець, Р.М.Кушнір, В.В.Лобода, Р.М.Мартиняк, В.В.Михаськів, М.І.Мусхелішвілі, С.М.Мхітарян, Л.В.Нікітін, О.В.Онищук, В.К.Опанасович, В.В.Панасюк, Я.С.Підстригач, Ю.М.Подільчук, В.Г.Попов, Г.Я.Попов, В.В.Реут, Г.М.Савін, М.П.Саврук, В.М.Садівський В.П.Силованюк, М.М.Стадник, М.Г.Стащук, Г.Т.Сулим, А.О.Сяський, А.Ф.Улітко, Л.А.Фільштинський, М.В.Хай, Л.П.Хорошун, Г.П.Черепанов, І.П.Шацький, C.A.Atkinson, F.Erdogan, E.E.Gdoutos та ін.

Роботи згаданих авторів охоплюють широке коло проблем: статичне, циклічне та динамічне деформування і стійкість неоднорідних масивних та тонкостінних композицій з пружними та непружними компонентами. Задачі зазвичай формулюються без обмежень на взаємні переміщення включень у процесі деформування.

У теорії контактних задач відомі розробки, присвячені взаємодії пружних тіл з системою зв’язаних штампів за умов плоскої (М.І.Мусхелішвілі) та просторової (І.І.Аргатов) деформації. Подібні систематичні дослідження для тіл із взаємонерухомими включеннями на сьогодні відсутні.

Вивчення ефекту зв’язаності включень природно розпочати із задач антиплоскої деформації пружного простору з тонкими жорсткими прошарками, опираючись на апробовані аналітичні та числові методи розв’язування сингулярних інтегральних рівнянь.

У другому розділі сформульовано нові задачі антиплоскої деформації пружного тіла, що вміщує систему взаємонерухомих абсолютно жорстких тонких включень. Отримано сингулярні інтегральні рівняння на контурах включень стосовно невідомих стрибків дотичного напруження та додаткові умови єдиності розв’язку. Описано метод квадратур для числового розв’язання інтегральних рівнянь.

Розглядається пружний простір , армований системою N абсолютно жорстких криволінійних стрічкових включень, розташованих на розімкнутих контурах , (рис. ), що утворюють багатозв’язний контур . Механічний контакт включень з матрицею прийнято ідеальним. Композиція перебуває в умовах поздовжнього зсуву здовж осі Oz, спричиненого наступними способами навантаження: а) однорідним полем напружень на безмежності; б) витягуванням стрічок погонними силами, прикладеними безпосередньо до включень; в) заданим взаємним зміщенням включень. Слід вивчити напружено-деформований стан поблизу включень, з’єднаних у один каркас, та порівняти отримані результати з класичними для незв’язаних стрічок.

Рівняння рівноваги у разі антиплоскої деформації мають вигляд

()

де w – z-компонента вектора переміщення, – модуль зсуву матеріалу матриці, q(x, y) – інтенсивність об’ємних сил,  – оператор Лапласа.

На включеннях виконуються крайові умови недеформівності

()

(t – дугова координата).

На безмежності напруження задані:

()

Для взаємонерухомих включень треба зафіксувати їх переміщення між собою

()

та виконати умову глобальної рівноваги ансамблю включень

()

Тут – “центри” включень з координатами ; – задане переміщення k-го включення відносно першого; – стрибок дотичних напружень на контурі включення, – нормаль до контура ; – головний вектор погонних сил, прикладених до жорсткого каркаса.

У системі рухомих (незв’язаних) включень їхня свобода обмежується лише матеріалом матриці і повинні виконуватися умови локальної рівноваги кожного з включень:

()

де  – задані значення головного вектора погонних сил, прикладених до k-го включення.

Таким чином сформульовано задачі антиплоскої деформації для двох типів систем: задача ()–() для середовища з взаємонерухомими включеннями та, задля порівняння, задача ()–(), () для масиву з рухомими включеннями.

Для розв’язання використано метод сингулярних інтегральних рівнянь, який в задачах для тонких включень рівнозначний методу сил. Включення змодельовані контурами, вздовж яких розподілені об’ємні сили, що діють по осі z. При переході через контур включення дотичні напруження терплять розрив на величину цих зосереджених сил. Розподіл стрибків по довжині кожного включення підбирали так, щоб виконувалися умови недеформованості ().

Після підстановки інтегрального зображення переміщення

()

(w0(x, y) – функція переміщення основного стану в тілі без включень, – фундаментальний розв’язок рівняння Лапласа) в крайові умови () отримали систему сингулярних інтегральних рівнянь стосовно стрибків напружень

, ()

Тут .

Ядра сингулярні за Коші при i k, st.

Єдиний розв’язок системи з N сингулярних інтегральних рівнянь у класі функцій з кореневою особливістю на кінцях контура існує за наявності N додаткових умов для стрибків напружень. Залежно від постановки задачі це будуть умови (), () для з’єднаних або умови () для нез’єднаних включень. Умови () з урахуванням виразу () теж записані в термінах функцій стрибків

()

Тут .

За знайденими стрибками напружень можна визначити напруження та переміщення в кожній точці тіла. Зокрема в околі вершини включення справедлива асимптотика

де – коефіцієнти інтенсивності напружень (КІН); r,  – полярні координати з центрами на кінцях контура Lk.

У цьому розділі докладно виписані інтегральні рівняння та додаткові умови для системи прямолінійних стрічкових включень. Завершується розділ описом відомої схеми методу квадратур для розв’язування систем сингулярних інтегральних рівнянь.

У третьому розділі вивчається взаємодія колінеарно розташованих прямолінійних включень. Окремо розглянуто масиви з системами двох та п’яти зв’язаних в каркас включень за перерахованих вище трьох способів навантаження. Для двох включень отримано аналітичний розв’язок, при більшій кількості включень розв’язки систем інтегральних рівнянь побудовано методом квадратур. Знайдено стрибки напружень по ширині включень, КІН у околах їх вершин, значення головного вектора напружень на кожному із нерухомих включень та пружні переміщення точок масиву. Подано порівняння результатів з класичним випадком незв’язаних включень.

Однорідний зсув. Для пружного простору з двома однаковими колінеарними включеннями за умов однорідного зсуву на безмежності побудовано аналітичні розв’язки задач (), () (), та (), ().

Зокрема для нерухомих стрічок, розташованих на осі абсцис, стрибок напружень на правому включенні буде

()

де х – локальна координата, що відраховується від середини включення; л l/d – відношення розміру включення до відстані між центрами; ; ,  – повні еліптичні інтеграли першого та другого роду відповідно.

У випадку системи незв’язаних включень результати збігаються з відомими:

()

Формули () та () відрізняються лише доданками – розв’язками однорідного інтегрального рівняння з константами, визначеними з різних додаткових умов.

Стрибки напружень (рис. 2) для зв’язаних включень зберігають сталий знак на всій ширині одного окремого включення, а для незв’язаних змінюють знак і є самоврівноваженими.

Рис. 2. Стрибки напружень для віддалених (а) та близько розташованих (б) стрічок:
1 – зв’язані, 2 – незв’язані включення.

Поведінка КІН для взаємонерухомих

та рухомих включень

при зміні параметра теж принципово різна (рис. ).

Рис. 3. КІН у ближній (a) та дальній (б) вершинах правого включення: 1 – зв’язані, 2 – незв’язані стрічки, штрихова лінія – одне включення завширшки .

Для зв’язаних включень небезпечнішими концентраторами є дальні вершини включень (); при віддалені стрічок концентрація напружень підвищується ( – спадна функція , ); при зближенні стрічок концентрація напружень поблизу внутрішніх вершин практично зникає, а у дальніх вершинах КІН близький до величини , характерної для ізольованого включення завширшки (штрихова лінія), та прямує до сталої величини, яка співпадає із значенням для вдвічі ширшого ізольованого включення, зокрема, при .

Для незв’язаних включень спостерігаємо протилежні тенденції: завжди небезпечними є ближні вершини (); при віддалені включень КІН зменшується , при зближенні включень – зростає. Граничний перехід для такої системи є нерегулярним.

Витягування включень. Далі розв’язана задача про витягування колінеарних включень за умов їх ідеального контакту з пружною матрицею. Нехай сила прикладена до правого включення, а .

Числові результати для КІН подані на рис. .

Зв’язані включення перебувають в однакових умовах, з ростом КІН в їхніх ближніх вершинах зменшується, а у дальніх вершинах зростає, так що при дістаємо результат для включення подвійної ширини під силою Z: , . При , як для одного ізольованого включення, що витягується силою .

Рис. 4. КІН у ближній (+) та дальній (–) вершинах правого включення для зв’язаних (a) і незв’язаних (б) стрічок (суцільні лінії – навантажене, штрихові – ненавантажене включення).

Натомість для незв’язаних стрічок при розглянутому навантаженні найбільші КІН спостерігаємо біля внутрішньої вершини навантаженого включення. Під час витягування рухомих включень дістаємо дещо більшу концентрацію напружень.

Монтажні напруження. Побудовано аналітичний розв’язок задачі про поздовжній зсув пружного простору, викликаний взаємним зміщенням двох колінеарних включень на величину :

При зменшенні віддалі між примусово зміщеними стрічками монтажні напруження зростають.

На завершення третього розділу досліджено напружено-деформований стан пружного простору з п’ятьма колінеарними включеннями та виконано порівняльний аналіз числових результатів з відповідними даними для системи двох включень за усіх трьох типів навантаження.

Для прикладу, рис. говорить про те, що найбільші збурення напружено-деформованого стану спостерігаються поблизу крайніх включень, з’єднаних в жорсткий каркас.

Рис. 5. Переміщення пружного простору з п’ятьма взаємонерухомими (а) та рухомими (б) колінеарними включеннями за однорідного зсуву.

clangfenp1049 У четвертому розділі досліджено напружений стан масиву з паралельно розташованими включеннями. Розглянуто композиції з двома та п’ятьма включеннями за трьох згаданих вище типів навантаження. Числові результати для взаємонерухомих стрічок порівнюються з даними для рухомих включень.

Вплив зв’язаності паралельних включень на напружено-деформований стан матриці якісно такий же, як і для колінеарних стрічок.

Зокрема, для паралельних стрічок однакового розміру зсув перпендикулярно до площин їх розташування дає результати, однакові для з’єднаних та нез’єднаних включень. За зсуву в площинах, паралельних до включень, спарені включення спричиняють значну концентрацію напружень, яка наростає при їх взаємному віддаленні: . У той же час незв’язані включення не збурюють однорідне поле напружень. Порівняння картини переміщень для цієї задачі (рис. ) найбільш виразно характеризує основний задум роботи.

Рис. . Переміщення пружного простору з паралельними включеннями за зсуву в площинах xz: а – зв’язані, б – незв’язані включення.

За умови витягування паралельних стрічок зміна їх взаємного розташування у меншій мірі позначається на концентрації напружень, ніж у колінеарних. При зближенні примусово зміщених паралельних включень монтажні напруження зростають.

Для двох зсунутих паралельних включень (лінія, що з’єднує їх центри, не перпендикулярна до контурів розташування) встановлено найбільш небезпечну орієнтацію однорідного зсуву, яка залежить від взаємного розміщення з’єднаних включень. Для нез’єднаних включень найбільші КІН досягаються за зсуву перпендикулярно до площин розташування.

Крім того, досліджено поздовжній зсув пружного простору з паралельними включеннями різної ширини ( – співвідношення розмірів). За зсуву на безмежності перпендикулярно до стрічок вужче включення є слабшим концентратором напружень проти ширшого (для віддалених включень – у разів). При їх зближенні ця тенденція посилюється, ширше включення практично не помічає вужчого і КІН у його вершинах майже такі ж, як для ізольованого.

При зсуві паралельно до зв’язаних стрічок головні вектори стрибків напружень є пропорційними до ширини включень. Більші значення КІН отримали поблизу вужчого включення. Зі збільшенням віддалі між зв’язаними дефектами інтенсивність збурення напруженого стану зростає.

Для довільно орієнтованого навантаження знайшли найбільш небезпечні кути нахилу площини зсуву до площини включень. За такої орієнтації навантаження для близько розташованих стрічок руйнування може початись поблизу ширшої, а для віддалених – біля вужчої стрічки.

На підставі результатів числового аналізу встановлено, що за усіх типів навантаження (зсув, витягування, монтажне зміщення) діада різнорoзмірних паралельних включень є небезпечнішим концентратором напружень проти пари однакових включень з шириною вужчого або ширшого дефекта.

Завершується розділ дослідженням антиплоскої деформації простору з системою п’яти паралельних включень однакової ширини. Розглянуто варіанти взаємонерухомих та рухомих стрічок.

У п’ятому розділі вивчено взаємодію перпендикулярних стрічкових включень, позбавлених можливості взаємного переміщення. Розроблено методику дослідження концентрації напружень поблизу вершин тонкостінних фасонних профілів.

Спочатку розв’язано задачі антиплоскої деформації масиву з двома та трьома взаємно перпендикулярними зв’язаними включеннями. Докладно вивчено вплив їх взаємного розташування на розподіл стрибків напружень та на величину КІН поблизу вершин за зсуву на безмежності або за примусового взаємного переміщення.

У разі зближення перпендикулярних лінійних включень (аж до співдотику) дістаємо ламані або розгалужені контури, які слугують моделями тонкостінних фасонних профілів (відповідно кутника, швелера або тавра, двотавра).

У точках сполучення включень має місце слабша ніж (–1/2) особливість напружень, отриманий методом квадратур числовий розв’язок для стрибків є неточним. Проте числові значення КІН у найбільш небезпечних ізольованих вершинах профілів підраховуються з достатньою точністю, що перевірено на аналітичних результатах при зближенні двох колінеарних включень.

У вершинах фасонних профілів з розмірами елементів 2l (рис. ) за зсуву на безмежності обчислили значення КІН (табл. ).

Рис. . Схеми фасонних профілів.

Таблиця 

КІН за зсуву на безмежності

КІН | Вершина | Фасонний профіль згідно з рис.  | Паралельні

включення | а | б | в | г | .

.А | 1,000 | 0,323 | 0,924 | 0,975 | 0,924 | В | 1,0001,198 | 0,924 | 0,975 | 0,924 | А– | 0,418 | 1,198 | 0,621 | 0,619 | 0,619 | В | 0,418– | 0,323 | 0,621– | 0,619– | 0,619 | С | 1,207 | bcbbrrrb

Розглянуто також випадок довільно орієнтованого зсуву на безмежності: , . Із аналізу глобальних екстремумів КІН, які досягались при стаціонарних кутах або на межі області зміни встановлено найгіршу та найкращу орієнтацію навантаження для кожного профілю.

Найнебезпечнішою орієнтацією зсуву щодо тавра (а) є кут з максимальним КІН: ;

щодо кутника , або , ;

щодо двотавра , ;

щодо швелера , .

Оптимальні кути орієнтації зсувного навантаження та відповідні їм мінімуми найбільших КІН є такими:

для тавра: ; ;

для кутника: ; ;

для двотавра: , ;

для швелера: , .

Екстреаальна орієнтація навантаження не завжди пролягає по осі симетрії фасонного профілю, чи перпендикулярна до неї.

Крім того побудовано розв’язки задач витягування (погонними силами Z) тонкостінних профілів з пружної матриці. Окремі результати дослідження наведено в табл. , .

Таблиця 

КІН при витягуванні

КІН | Вершина | Фасонний профіль згідно з рис.  | Паралельні

включення | а | б | в | г | .

.

А | 0,106 | 0,113– | 0,083 | 0,082 | 0,086 | В | 0,1060,113 | 0,083 | 0,082 | 0,086 | С | 0,119 | Таблиця 

Пропорція сил на контурах

Контур | Фасонний профіль згідно з рис.  | Паралельні

включення | а | б | в | г | .

.

L1– | 0,567 | 0,5 | 0,453– | 0,368– | 0,5L2–0,433–0,5– | 0,094 | 0,264 | 0,5L3– | 0,453– | 0,368 |

У разі прикладених сил до включення, армування масиву тавром і кутником з однаковою сумарною шириною контурів (4l) є рівноцінним і найбільші КІН різняться на 0,05%. Подібний висновок справедливий і для пари двотавр – швелер з однаковою матеріаломісткістю: відмінність у КІН складає 0,01%.

У той же час за зсуву на безмежності результати такого порівняння залежать від орієнтації навантаження.

ОСНОВНІ РЕЗУЛЬТАТИ ТА ВИСНОВКИ

У роботі вирішено важливе наукове завдання – розвинуто методи дослідження напружено-деформованого стану пружних тіл, армованих взаємонерухомими тонкими жорсткими включеннями, за умов антиплоскої деформації. Результати роботи розширюють можливість застосування методів механіки руйнування на композиційні матеріали з системами зв’язаних стрічкових включень, зокрема зі стандартними тонкостінними профілями.

Основні результати досліджень є такими.

1. Сформульовано нові крайові задачі антиплоскої деформації пружного простору з системами жорстких стрічкових включень, зв’язаних в єдиний каркас. Замість класичних умов локальної рівноваги кожного окремого включення записані умови взаємного переміщення та умови глобальної рівноваги ансамблю.

2. Методом сингулярних інтегральних рівнянь побудовано числово-аналітичні розв’язки задач для колінеарних, паралельних та перпендикулярних стрічкових включень за умов навантаження однорідним полем напружень на безмежності та погонними силами, прикладеними безпосередньо до включень. Описано монтажні напруження, спричинені примусовим взаємним переміщенням включень.

3. Уперше досліджено вплив зв’язаності включень на напружено-деформований стан композиції. Показано, що зв’язаність армувальних елементів істотно змінює характер залежності напружено-деформованого стану матриці від розташування включень.

4. Розроблено методику дослідження концентрації напружень поздовжнього зсуву поблизу тонкостінних фасонних профілів, яка полягає у здійсненні регулярного граничного переходу в розв’язках задач при зближенні взаємонерухомих включень в цілісний об’єкт.

На підставі розв’язків розглянутих задач встановлено такі закономірності.

1. Для системи колінеарних включень за зсуву на безмежності стрічки, позбавлені взаємного переміщення, є небезпечнішими концентраторами напружень проти незв’язаних дефектів. З віддаленням зв’язаних включень КІН збільшується, особливо поблизу їх дальніх вершин, а для незв’язаних навпаки – найбільша інтенсивність напружень досягається біля ближніх кінців при зменшенні відстані між ними. За фіксованої відстані між дальніми вершинами крайніх зв’язаних включень, додаткове збільшення їх кількості, ширини призводить до зменшення напружень на кожному з включень. Для незв’язаних спостерігаються протилежні тенденції.

При витягуванні зв’язаної системи включень відбувається перерозподіл напружень за рахунок перерозподілу сил у жорсткому каркасі. Зв’язаність включень зумовлює підвищення жорсткості системи та зниження рівня концентрації напружень порівняно з незв’язаними дефектами.

При зближенні примусово зміщених колінеарних стрічок монтажні напруження зростають.

2. Для систем паралельних включень у разі зсуву на безмежності встановлено якісно подібні залежності.

Крім того, показано, що для діади зв’язаних паралельних симетрично зсунутих включень максимуми КІН за найбільш небезпечної орієнтації навантаження досягаються на зовнішніх вершинах. У разі незв’язаних включень найгіршим є розташування площини зсуву перпендикулярно до включень. За усіх типів навантаження діада паралельних включень різного розміру є небезпечнішим концентратором напружень порівняно з парою включень однакової ширини.

3. Дослідження КІН поблизу вершин тонкостінних фасонних профілів (тавра, кутника, двотавра, швелера) на глобальний екстремум показали, що найнебезпечніша та оптимальна орієнтації площини однорідного зсуву не завжди збігаються з площиною симетрії профілю чи з перпендикулярною до неї площиною.

Фасонні профілі з однаковою сумарною шириною контурів є практично рівноцінними концентраторами напружень під час їх витягування з матриці.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

Анотація

Кундрат А.М. Напружений стан тіл із взаємонерухомими тонкими жорсткими включеннями за антиплоскої деформації. – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.02.04 – механіка деформівного твердого тіла. – Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України, Львів, 2007.

Дисертація стосується дослідження напружено-деформованого стану пружного тіла з системами взаємонерухомих тонких абсолютно жорстких включень за умов поздовжнього зсуву.

Сформульовано нові крайові задачі антиплоскої деформації пружного простору з системою жорстких стрічкових включень, з’єднаних в один каркас. Окрім умов недеформівності контурів включень, ідеально зчеплених з матрицею, вимагається виконання додаткових умов єдиності розв’язку. Замість класичних умов рівноваги кожного окремого включення записані умови їх заданого взаємного переміщення та глобальної рівноваги ансамблю. Задачі зведено до систем сингулярних інтегральних рівнянь стосовно стрибків дотичних напружень на контурах включень.

Побудовано числово-аналітичні розв’язки задач для колінеарних, паралельних та перпендикулярних стрічкових включень за умов навантаження однорідним полем напружень на безмежності та погонними силами, прикладеними безпосередньо до включень. Описано монтажні напруження, спричинені примусовим взаємним переміщенням включень.

Досліджено вплив зв’язаності включень на напружено-деформований стан композиції. Показано, що зв’язаність армувальних елементів істотно змінює характер залежності напружено-деформованого стану матриці від розташування включень.

Розроблено методику дослідження концентрації напружень поздовжнього зсуву поблизу тонкостінних фасонних профілів (тавра, кутника, двотавра, швелера), яка полягає у здійсненні регулярного граничного переходу в розв’язках задач при зближенні взаємонерухомих включень в цілісний об’єкт.

Ключові слова: пружне тіло, антиплоска деформація, взаємонерухомі включення, стрибок напружень, фасонний профіль.

Abstract

Kundrat A.M. Stresses state of bodies with reciprocally unmoved thin rigid inclusions to the antiplane strain. – Manuscript.

Thesis for the Candidate’s Degree in Physics and Mathematics by speciality 01.02.04 – Mechanics of Solids. – Pidstryhach Institute of Applied Problems of Mechanics and Mathematics of National Academy of Science of Ukraine, Lviv, 2007.

The thesis is devoted to research of the stressed-strained state of elastic body with the system of reciprocally unmoved thin rigid inclusions subjected to the longitudinal shear. New boundary-value problems for antiplane strain of elastic space with the system of the rigid ribbon-like and connected in one framework inclusions are formulated. Conditions of undeformability of inclusions contour and additional conditions of unique solution are realized. Conditions of reciprocally displacement and global equilibrium of inclusions ensemble are written instead the classic conditions of equilibrium for every separate inclusion. The problems are reduced to systems of singular integral equations for jumps of tangential stresses on the contours of inclusions.

Numerical-analytical solutions of the problems for collinear, parallel and perpendicular ribbon-like inclusions are obtained for by the homogeneous field of stress at infinity and linear forces on contours of inclusions. Erection stress induced by the reciprocally moving of inclusions are described.

The influence of inclusions connection on the stressed-strained state of composition are investigated. It is shown, that the connection of reinforcement elements substantially changes the character of the stressed-strained state of matrix on dependence from geometry location of inclusions.

The procedure of research the stress concentration is developed near the thin-walled profile shaped. It consists in realization of regular limit step to an integral object in problems solutions by the inclusions approach.

Key words: elastic body, antiplane strain, reciprocally unmoved inclusions, jump of stress, profile shaped.

АННОТАЦИЯ

Кундрат А.М. Напряженное состояние тел с взаимонеподвижными тонкими жесткими включениями при антиплоской деформации. – Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.02.04 – механика деформируемого твердого тела. – Институт прикладных проблем механики и математики им. Я.С. Подстригача НАН Украины, Львов, 2007.

Диссертация посвящена исследованию напряженно-деформированного состояния упругих тел с системами взаимонеподвижных тонких абсолютно жестких включений в условиях продольного сдвига.

Сформулированы новые задачи антиплоской деформации упругого пространства с системой жестких ленточных включений, соединенных в один каркас. Кроме условий недеформируемости контуров включений, идеально сцепленных с матрицей, должны выполнятся дополнительные условия единственности решений. Вместо классических условий равновесия каждого отдельного включения записаны условия заданного взаимного перемещения лент и глобального равновесия ансамбля. Задачи сведены к системам сингулярных интегральных уравнений относительно скачков касательных напряжений на контурах включений.

Построены численно-аналитические решения задач для коллинеарных, параллельных и перпендикулярных ленточных включений в условиях нагружения однородным полем касательных напряжений на бесконечности и погонными силами, приложенными непосредственно к контурам включений. Описаны монтажные напряжения, вызванные принудительным взаимным перемещением включений. Для двух коллинеарных включений получены аналитические результаты, для других конфигураций – численные (методом механических квадратур). Определены скачки напряжений на линиях включений, коэффициенты интенсивности напряжений в окрестности вершин, значения главных векторов усилий на каждом включении, перемещения точек массива.

Приведено сравнение полученных результатов с решениями, построенными в классической постановке для среды с несвязанными включениями. На этом основании исследовано влияние связанности включений на напряженно-деформированное состояние композиции. Установлено, что связанность арматуры существенно изменяет характер зависимости напряженно-деформированного состояния матрицы от расположения включений.

Разработана методика исследования концентрации напряжений вблизи тонкостенных фасонных профилей (тавра, уголка, двутавра, швеллера), которая заключается в осуществлении регулярного предельного перехода в решениях задач при сближении взаимонеподвижных перпендикулярных включений в единый объект.

Изучены экстремальные направления внешней нагрузки, приводящей к наибольшей и наименьшей концентрации напряжений возле вершин профилей.

Ключевые слова: упругое тело, антиплоская деформация, взаимонеподвижные включения, скачок напряжений, фасонный профиль.