Міністерство освіти і науки України

Львівський національний університет імені Івана Франка

КОГУТ Ігор Васильович

УДК 517.95

ДИФЕРЕНЦІАЛЬНО-СИМВОЛЬНИЙ МЕТОД

РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ЗАДАЧ

З НЕЛОКАЛЬНИМИ КРАЙОВИМИ УМОВАМИ

ДЛЯ РІВНЯНЬ ІЗ ЧАСТИННИМИ ПОХІДНИМИ

01.01.02 – диференціальні рівняння

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Львів – 2007

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана у Національному університеті “Львівська політехніка” Міністерства освіти і науки України.

Науковий керівник – кандидат фізико-математичних наук,

старший науковий співробітник, доцент

Нитребич Зіновій Миколайович,

Національний університет “Львівська політехніка”,

доцент кафедри обчислювальної математики та програмування.

Офіційні опоненти:

доктор фізико-математичних наук, професор,

член-кореспондент НАН України

Пташник Богдан Йосипович,

Інститут прикладних проблем механіки і математики

ім. Я.С. Підстригача НАН України,

завідувач відділу математичної фізики;

доктор фізико-математичних наук, доцент

Пукальський Іван Дмитрович,

Чернівецький національний університет

імені Юрія Федьковича,

в.о. завідувача кафедри диференціальних рівнянь.

Провідна установа – Національний технічний університет України “Київський політехнічний інститут”, кафедра математичного аналізу та теорії ймовірностей, м. Київ.

Захист відбудеться 22 березня 2007 р. о год. на засіданні спеціалізованої вченої ради 35.051.07 у Львівському національному університеті імені Івана Франка за адресою: 79000, м. Львів, вул. Університетська, 1, ауд. 377.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Львівського національного університету імені Івана Франка (м. Львів, вул. Драгоманова, 5).

Автореферат розіслано 17 лютого 2007 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради Остудін Б.А.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Задачі з нелокальними крайовими умовами для диференціальних рівнянь в останні роки інтенсивно вивчаються. Підвищений інтерес до задач такого типу зумовлений з одного боку великою кількістю практичних задач, які вони моделюють (задачі фізики плазми, волого- та солепереносу у ґрунтах, дифузії тощо), а з іншого – необхідністю використання нелокальних умов для опису всіх коректних задач для конкретного диференціального виразу і, зрештою, для побудови загальної теорії крайових задач.

Вперше загальні нелокальні крайові умови були введені і використані для опису усіх розв’язних розширень диференціального оператора у дослідженнях О.О.Дезіна.

Класифікації нелокальних крайових умов для навантажених інтегро-диференціальних рівнянь гіперболічного типу присвячені дослідження А.М.Нахушева.

Задачі з нелокальними крайовими умовами для деяких рівнянь теорії теплопровідності вивчалися у працях М.І.Іонкіна, а для рівнянь еліптичного типу – у працях О.В.Біцадзе, О.А.Самарського, О.Л.Скубачевського та ін.

Дослідженню задач з нелокальними крайовими умовами за часом та з умовами періодичності за просторовими змінними для рівнянь із частинними похідними на основі оцінки знизу малих знаменників, які притаманні цим задачам, присвячені дослідження Б.Й.Пташника і його учнів.

У роботах В.М.Борок та її учнів в основному виділяються або регулярні випадки задач з нелокальними крайовими умовами у смузі чи шарі, або накладаються умови відокремлюваності від нуля знаменників, що можуть перетворюватися в нуль; ці умови забезпечують однозначну розв’язність таких задач.

У дослідженнях М.І.Матійчука задачі з нелокальними умовами вивчаються за допомогою перетворення Фур’є, їх розв’язки подаються у вигляді згорток. Також виділяються умови коректності задач.

У працях В.К.Романка вивчаються задачі з нелокальними крайовими умовами для диференціально-операторних рівнянь зі сталими та змінними коефцієнтами.

У працях згаданих авторів вивчаються задачі з нелокальними умовами для різних типів рівнянь, обґрунтовується існування та єдиність розв’язків у різних класах. Проте деякі їх аспекти є недостатньо вивченими. Зокрема, задачі з нелокальними крайовими умовами для рівнянь та систем рівнянь із частинними похідними нескінченного порядку за просторовими змінними потребують подальшого вивчення. Недостатньо вивченими є також ядра згаданих задач. Цікавим та актуальним для дослідження є питання побудови часткового розв’язку задачі у випадку існування неєдиного розв’язку.

Застосування нових методів у вивченні згаданих задач є актуальним, позаяк відкриває нові аспекти у їх дослідженні, дозволяє глибше та різнобічно оцінювати та аналізувати їхні якісні характеристики, виділяти нові класи існування та єдиності розв’язків, а також отримувати нові зображення для розв’язків цих задач, що у багатьох випадках має значні переваги. Одним із таких нових методів є диференціально-символьний метод, розроблений в останні десятиліття П.І.Каленюком та З.М.Нитребичем на підставі узагальненої схеми відокремлення змінних.

Диференціально-символьний метод у деякому сенсі споріднений з класичним операційним численням, яке було запропоноване у роботах М.Є.Ващенка-Захарченка та узагальнене, строго обґрунтоване і використане для розв’язування задач електромагнітної теорії О.Гевісайдом, а згодом використане у задачах механіки А.І.Лур’є, В.В.Власовим та іншими вченими і яке передбачає відшукання розв’язку рівняння чи задачі для рівнянь із частинними похідними у вигляді , де – відомі функції, – деякі диференціальні вирази з певним чином означеною дією. У працях Ю.А.Дубінського запропоновано операторний метод розв’язування задач, який має безпосередній зв’язок з диференціально-символьним методом. Окрім класичного операторного методу, до розв’язування крайових задач для рівнянь із частинними похідними застосовують інші методи, зокрема, метод інтегральних перетворень, метод початкових функцій тощо.

В основі диференціально-символьного методу лежить підхід, який дозволяє будувати розв’язки задач за допомогою виразів вигляду , де – відомі функції (початкові функції або праві частини рівнянь), а – деякі аналітичні функції вектор-параметра та змінної , які певним чином конструюються. Можна виділити такі характерні ознаки цього методу: при його застосуванні побудова розв’язку задачі не залежить від типу рівняння; неістотною є кількість просторових змінних; метод є однаково застосовним як для однорідних, так і для неоднорідних рівнянь та систем рівнянь із частинними похідними; у випадку поліномних чи квазіполіномних початкових функцій і правих частин рівнянь диференціально-символьний метод вимагає лише скінченної кількості операцій диференціювання.

Згадані особливості диференціально-символьного методу підкреслюють актуальність подальших досліджень, пов’язаних із застосуванням такого методу до розв’язування задач із нелокальними крайовими умовами для рівнянь та систем рівнянь із частинними похідними першого порядку за часовою змінною та нескінченного порядку за просторовими змінними, дослідження ядер цих задач, побудови часткових розв’язків у випадку існування неєдиного розв’язку.

Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Результати дисертації отримано у рамках наукових досліджень, які проводились на кафедрі обчислювальної математики та програмування Національного університету “Львівська політехніка”, зокрема, у рамках держбюджетної теми “Дослідження нелокальних, багатоточкових та різноконтурних задач для диференціальних рівнянь із частинними похідними” (номер державного реєстру 0103U001338).

Мета і задачі дослідженння. Метою роботи є дослідження деяких крайових задач з нелокальними крайовими умовами за часовою змінною для рівнянь та систем рівнянь із частинними похідними першого порядку за часовою змінною і нескінченного порядку за просторовими змінними зі сталими коефіцієнтами за допомогою диференціально-символьного методу.

Реалізація даної мети зводиться до розв’язування таких задач:

1. Встановити класи існування і єдиності розв’язків задач з нелокальними крайовими умовами для рівнянь із частинними похідними;

2. За допомогою диференціально-символьного методу побудувати розв’язки цих задач;

3. Описати ядра таких задач у класах квазіполіномів;

4. Розробити алгоритм знаходження часткових розв’язків таких задач у випадку існування неєдиного розв’язку з точністю до елементів ядра;

5. Поширити вказані вище результати на випадок системи рівнянь із частинними похідними першого порядку за часовою змінною та нескінченного порядку за просторовими змінними.

Об’єкт дослідження: задачі з нелокальною крайовою умовою за часовою змінною для лінійних рівнянь та систем лінійних рівнянь із частинними похідними першого порядку за часовою змінною і нескінченного порядку включно за просторовими змінними зі сталими коефіцієнтами.

Предмет дослідження: побудова та дослідження розв’язків крайових задач з нелокальною крайовою умовою за часовою змінною для лінійного рівняння та системи рівнянь із частинними похідними першого порядку за часовою змінною і нескінченного порядку включно за просторовими змінними зі сталими коефіцієнтами.

Методи дослідження: диференціально-символьний метод, методи теорії диференціальних рівнянь, теорії цілих функцій та алгебри.

Наукова новизна одержаних результатів. Дисертаційна робота продовжує дослідження П.І.Каленюка та З.М.Нитребича у напрямі розробки диференціально-символьного методу розв’язування задач з нелокальними крайовими умовами для рівнянь і систем рівнянь із частинними похідними. У роботі отримано такі нові результати:

1. Виділено класи існування та єдиності розв’язків задач у класі квазіполіномів, а в окремих випадках – у класі цілих аналітичних функцій з певними обмеженнями щодо зростання на нескінченності.

2. За допомогою диференціально-символьного методу побудовано розв’язки задач у явному вигляді, їх подано як дії диференціальних виразів, взагалі кажучи, нескінченного порядку, на деякі функції, залежні від вектор-параметрів, з подальшим покладанням цих вектор-параметрів такими, що дорівнюють нулеві.

3. За допомогою цього ж методу вперше досліджено ядра таких задач у класах квазіполіномів.

4. Для випадку існування неєдиних розв’язків задач розроблено алгоритм побудови часткових розв’язків задач з точністю до елементів ядер задач.

Практичне значення одержаних результатів. Результати дисертаційної роботи мають теоретичний характер. Їх можна використовувати для дослідження конкретних задач практики, а саме математичних моделей фізичних явищ, як-от процеси фізики плазми, дифузії, волого- та солепереносу у ґрунтах тощо.

Особистий внесок здобувача. Основні результати дисертаційної роботи одержані автором самостійно. У спільних працях [1–4, 6, 8, 9, 11, 12, 15–17] науковому керівникові З.М.Нитребичу належать постановка задач, передбачення результатів та аналіз одержаних результатів, а також співучасть у доведенні окремих допоміжних тверджень, а саме: леми 1 у праці [4], леми 1 у праці [6], леми 2 у праці [3]; П.І.Каленюку належать передбачення деяких результатів та їх аналіз.

Апробація результатів дисертації. Основні результати дисертації доповідались та обговорювались на: Математичному семінарі кафедри обчислювальної математики та програмування Національного університету “Львівська політехніка” (керівник проф. П.І.Каленюк); Львівському міському семінарі з диференціальних рівнянь (керівники проф. М.І.Іванчов, проф. П.І.Каленюк, чл.-кор. НАН України Б.Й.Пташник); Науковому семінарі кафедри диференціальних рівнянь інституту математики Яґелонського університету (м.Краків, Польща); Міжнародній науковій конференції “Нові підходи до розв’язування диференціальних рівнянь” (1–5 жовтня 2001 р., м.Дрогобич); IXміжнародній конференції ім. акад. Кравчука (16–19 травня 2002 р., м.Київ); Міжнародній конференції “Функціональний аналіз та його застосування”, присвяченій 110-й річниці С.Банаха (28–31 травня 2002 р., м.Львів); Міжнародній науковій конференції “Шості боголюбовські читання” (26–30 серпня 2003 р., м.Чернівці); III Всеукраїнській науковій конференції “Нелінійні проблеми аналізу” (9–12 вересня 2003 р., м.Івано-Франківськ); Міжнародній математичній конференції ім. В.Я.Скоробогатька (27 вересня – 1 жовтня 2004 р., м.Дрогобич); Xміжнародній конференції ім. акад. Кравчука (13–15 травня 2004 р., м.Київ); Конференції молодих учених із сучасних проблем механіки і математики ім. акад. Я.С.Підстригача (24–26 травня 2004 р., м.Львів); Міжнародній науковій конференції “Диференціальні рівняння та їх застосування”, присвяченій 60-річчю кафедри інтегральних та диференціальних рівнянь КНУ ім. Т.Шевченка (6–9 червня 2005 р., м.Київ); XIМіжнародній конференції ім. акад. Кравчука (18–20 травня 2006 р., м.Київ); Міжнародній конференції з диференціальних рівнянь, присвяченій 100-й річниці Я.Б.Лопатинського (12–17 вересня 2006 р., м.Львів); Міжнародній науковій конференції “Диференціальні рівняння та їх застосування” (11–14 жовтня 2006 р., м.Чернівці).

Публікації. Основний зміст роботи викладено у фахових періодичних виданнях, що входять до переліку ВАК України, а саме у 6 статтях [1-6] (усі – в наукових журналах та збірниках) та додатково висвітлено у 12 тезах доповідей наукових конференцій [7-18].

Структура та обсяг роботи. Дисертація складається зі вступу, 3 розділів, висновків, списку використаних джерел і має обсяг 134 сторінки. Список використаних джерел налічує 138 найменувань.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

Використовуватимемо такі позначення:

…– …-вимірний дійсний евклідів простір;

…– …-вимірний комплексний простір;

,…;

…– множина натуральних чисел;

…– множина цілих чисел;

…– множина цілих невід’ємних чисел;

…– множина мультиіндексів вигляду …, де …, ….

Для …, … позначимо

… – одинична матриця порядку …; … – символ транспонування; … – символ Кронекера.

… – клас дійснозначних квазіполіномів вигляду …, де …, … для …, …, …; …, …, – деякі поліноми з дійсними коефіцієнтами;

… – клас дійснозначних квазіполіномів вигляду …, де …, …, …, …, … для …; …, …, – поліноми змінних і з дійсними коефіцієнтами;

… – клас аналітичних на … за змінною … функцій …, які для фіксованого … належать до ….

Введемо класи аналітичних функцій, які допускають однозначне аналітичне продовження до цілих функцій з урахуванням лише порядків:

… – ціла функція, …; –

ціла функція довільного скінченного порядку за сукупністю змінних, …;

… – ціла функція порядку … за сукупністю змінних, …, …;

… – ціла функція експоненційного типу, …;

… – ціла функція порядку … або першого порядку, але у цьому випадку типу, меншого за , ….

Для … позначаємо: …

… – кратність нуля … функції …, де …, тобто

Уведемо деякий аналог кратності нуля функції для випадку багатьох змінних. Для деякої цілої функції …, …, та її нуля … позначимо:

У вступі дисертації обґрунтовано актуальність теми, показано зв’язок роботи з науковими темами, сформульовано мету та задачі дослідження, висвітлено наукову новизну, практичне значення, апробацію результатів та кількість публікацій.

У першому розділі дисертації подано огляд праць, які стосуються теорії задач з нелокальними крайовими умовами, а також диференціально-символьного методу.

У другому розділі дисертації досліджено задачу

(1)

… (2)

де … – диференціальний вираз, загалом, нескінченного порядку зі сталими коефіцієнтами та цілим аналітичним символом …, …, …, …, …, ….

Поряд з неоднорідним диференціальним рівнянням (1) і неоднорідною нелокальною умовою (2) розглядатимемо відповідні до них однорідне рівняння

(3)

і однорідну нелокальну крайову умову

(4)

Розв’язок задачі (1), (2) шукається у вигляді суми розв’язку задачі (3), (4) та часткових розв’язків задач (3), (2) та (1), (4).

Розглянемо функцію

(5)

та множину її нулів

(6)

У підрозділі 2.1 досліджується задача (3), (4). Нехай …. Формальні розв’язки рівняння (3) подано у вигляді

(7)

Теорема 2.1. Нехай функція … – квазіполіном з класу … вигляду

… (8)

де … і … – довільні поліноми степенів …,…. Тоді функція (7) є розв’язком задачі (3), (4). Навпаки, якщо функція (7) є розв’язком задачі (3), (4) і …, то … має вигляд (8), у якому … і … – деякі поліноми степенів не вище ….

Наслідок 2.2. Якщо функція … належить до класу … і є розв’язком задачі (3), (4), то….

Аналогічний результат отримано для випадку … (теорема 2.2, наслідок 2.5).

У підрозділі 2.2 досліджується задача (3), (2). Наведемо результати для ….

Формальний розв’язок задачі (3), (2) подано у вигляді

(9)

Теорема 2.3. Нехай …. Тоді у класі функцій … існує єдиний розв’язок задачі (3), (2), який можна знайти за формулою (9).

Теорема 2.4. Нехай …, де …, …. Тоді у класі функцій … існує єдиний розв’язок задачі (3), (2), який можна знайти за формулою (9).

Теорема 2.5. Нехай … і має вигляд

… (10)

де … – довільний поліном. Тоді частковий розв’язок задачі (3), (2) можна знайти за формулою

… (11)

у якій ….

Теорема 2.6. Нехай … і має вигляд (10), де … – поліном степеня …. Тоді частковий розв’язок задачі (3), (2) можна знайти за формулою

… (12)

де ….

Теореми 2.3, 2.6 узагальнено на багатовимірний випадок (теореми 2.7, 2.8).

У підрозділі 2.3 досліджується задача (1), (4). Нехай ….

Формальний розв’язок задачі (1), (4) знайдено у вигляді

(13)

де ….

Теорема 2.9. Якщо …, де … – множина (6), то у класі функцій … існує єдиний розв’язок задачі (1), (4), який можна зобразити у вигляді (13).

Теорема 2.10. Нехай …, де … – множина (6), причому …. Якщо …, то у класі … існує єдиний розв’язок задачі (1), (4), який можна знайти за формулою (13).

Теорема 2.11. Нехай … – функція вигляду

… (14)

де …, … – поліном змінних … та …. Тоді частковий розв’язок задачі (1), (4) можна обчислити за формулою

… (15)

де … – функція, побудована “підправленням” … елементами ядра.

Теорема 2.12. Нехай … і має вигляд (14), де …, … – поліном, степінь якого за змінною … дорівнює …. Тоді частковий розв’язок задачі (1), (4) можна знайти за формулою

… (16)

де …, ….

Теореми 2.9, 2.12 узагальнено на багатовимірний випадок (теореми 2.13, 2.14).

У третьому розділі в області змінних …, … вивчається задача

… (17)

… (18)

де …, …, … – оператор-матриця порядку …, елементами якої є довільні диференціальні вирази зі сталими коефіцієнтами та цілими символами, …, …, ….

Поряд із задачею (17), (18) розглядається відповідна однорідна задача

… (19)

… (20)

Позначимо через … характеристичний поліном для …: …, через … – приєднану матрицю для …, через … – розв’язок задачі Коші

Позначимо: …, …, ….

У підрозділі 3.1 досліджується залежність розв’язності задачі від вигляду характеристичного визначника …. Виділено такі три випадки: 1) …; 2) …; 3) …, причому ….

Лема 3.1. Матриця … має такі властивості: 1)…; 2) …; 3) Елементи матриці … – цілі стосовно … функції; 4) Елементи матриці … – квазіполіноми стосовно ….

У підрозділі 3.2 досліджується задача (19), (20). Нехай …. Розв’язки системи рівнянь (19) подано у вигляді

… (21)

де … – невідомий оператор-рядок.

Теорема 3.1. Якщо вектор-функція (21) є нетривіальним розв’язком задачі (19), (20), а …, …, – квазіполіноми з класу …, то кожна компонента …, …, або є тотожнім нулем, або має вигляд …, де …, … – деякі поліноми, …, ….

Наслідок 3.1. Якщо вектор-функція є розв’язком задачі (19), (20), а її компоненти …, …, то …, ….

Наслідок 3.2. У класі вектор-функцій, компоненти яких належать до …, існує лише тривіальний розв’язок задачі (19), (20).

Подібні результати отримано і для випадку … (теорема 3.2, наслідки 3.3, 3.4).

У підрозділі 3.3 досліджується задача (19), (18). Подамо результати для ….

Теорема 3.3. Формальний розв’язок задачі (19), (18) визначається за формулою

… (22)

Позначимо

… (23)

де … – степені поліномів …, … (у випадку багатьох просторових змінних степені поліномів розуміємо за сукупністю змінних).

Теорема 3.4. Нехай … – оператор-матриця порядку , елементами якої є довільні диференціальні вирази зі сталими коефіцієнтами та цілими аналітичними символами, і …. Якщо …, …, то у класі … існує єдиний розв’язок задачі (19), (18), який можна зобразити у вигляді (22).

Наведемо результати для випадку, коли …, причому ….

Теорема 3.5. Нехай …, …. Тоді у класі вектор-функцій, компоненти яких належать до класу …, існує єдиний розв’язок задачі (19), (18), який можна знайти за формулою (22).

Теорема 3.6. Нехай … – вектор-функція, компоненти якої належать до …, і має вигляд …, …; … – поліном степеня …, коефіцієнтами якого є вектор-стовпці розміру …. Тоді частковий розв’язок задачі (19), (18) можна знайти за формулою

… (24)

де ….

Аналогічні результати отримано і для випадку … (теореми 3.7–3.10).

У підрозділі 3.4 досліджується задача (17), (20).

Теорема 3.11. Формальний розв’язок задачі (17), (20) визначається за формулою

… (25)

де

….

Теорема 3.12. Нехай … – оператор-матриця порядку …, елементами якої є довільні диференціальні вирази зі сталими коефіцієнтами та цілими аналітичними символами, і …. Якщо …, …, то у класі вектор-функцій, компоненти яких …, …, належать до …, існує єдиний розв’язок задачі (17), (20), який можна зобразити у вигляді (25).

Наведемо результати для випадку, коли …, причому ….

Теорема 3.13. Якщо у системі (17) …, …, то у класі вектор-функцій, компоненти яких належать до …, існує єдиний розв’язок задачі (17), (20). Цей розв’язок можна зобразити у вигляді (25).

Теорема 3.14. Нехай … – вектор-функція, компоненти якої належать до …, вигляду …, де …, … – довільний вектор з …, для якого виконується …, … – поліном, коефіцієнтами якого є вектор-стовпці розміру …, … – степінь полінома … за сукупністю змінних …. Тоді частковий розв’язок задачі (17), (20) можна знайти за формулою

… (26)

де … – деяка вектор-функція, що будується за системою (17), … – довільний вектор, такий що …, ….

ВИСНОВКИ

Дисертація присвячена дослідженню розв’язності та побудові розв’язків задач з нелокальними крайовими умовами за часовою змінною для рівнянь та систем рівнянь із частинними похідними першого порядку за часовою змінною і нескінченного порядку за просторовими змінними зі сталими коефіцієнтами. Розв’язки задач побудовано за допомогою диференціально-символьного методу. У дисертації одержано такі нові результати:

1. Виділено класи існування та єдиності розв’язків задач з нелокальними крайовими умовами за часовою змінною для рівняння та системи рівнянь із частинними похідними у класах квазіполіномів, а в окремих випадках – у класах цілих аналітичних функцій з певними обмеженнями на зростання.

2. Побудовано розв’язок задачі для однорідного рівняння та однорідної системи рівнянь з неоднорідною нелокальною умовою, а також для неоднорідного рівняння та неоднорідної системи рівнянь з однорідною нелокальною умовою. Ці розв’язки побудовано за допомогою диференціально-символьного методу у явному вигляді, їх подано як дії диференціальних виразів, взагалі кажучи, нескінченних порядків, на деякі цілі або мероморфні функції (або матриці – у випадку системи рівнянь), залежні від вектор-параметра, з подальшим покладанням цього вектор-параметра таким, що дорівнює нулеві.

3. За допомогою цього ж методу досліджено ядра таких задач у класі квазіполіномів. Знайдено необхідні (а у випадку одного рівняння – і достатні) умови належності до ядра функцій квазіполіномного вигляду.

4. Для випадку існування неєдиного розв’язку задачі для квазіполіномних правих частин рівнянь та умов розроблено алгоритм побудови часткових розв’язків із точністю до елементів ядер задач.

Робота має теоретичний характер. Її результати можуть бути використані у подальших теоретичних дослідженнях задач з нелокальними крайовими умовами, а також у конкретних практичних задачах, моделями яких є задачі з нелокальними крайовими умовами.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Каленюк П.І., Когут І.В., Нитребич З.М. Диференціально-символьний метод розв’язування нелокальної крайової задачі для рівняння з частинними похідними // Мат. методи та фіз.-мех. поля. – 2002. – 45, №2. – С.7–15.

2. Каленюк П.І., Когут І.В., Нитребич З.М. Диференціально-символьний метод розв’язування нелокальної крайової задачі для однорідної системи рівнянь із частинними похідними // Мат. методи та фіз.-мех. поля. – 2003. – 46, №3. – С.25–31.

3. Каленюк П.І., Когут І.В., Нитребич З.М. Диференціально-символьний метод розв’язування нелокальної крайової задачі для неоднорідного рівняння із частинними похідними // Вісн. Львів. ун-ту. – Серія мех.-матем. – 2003. – №62. – С.60–66.

4. Kalenyuk P., Kohut I., Nytrebych Z. Differential-symbol method of solving the nonlocal boundary value problem in the class of non-uniqueness of its solution // Мат. студії. – 2003. – 20, №1. – С.53–60.

5. Когут І.В. Розв’язування нелокальної крайової задачі для однорідної системи рівнянь із частинними похідними диференціально-символьним методом // Мат. методи та фіз.-мех. поля. – 2004. – 47, №4. – С.120–124.

6. Каленюк П.І., Когут І.В., Нитребич З.М. Нелокальна крайова задача для неоднорідної системи рівнянь із частинними похідними першого порядку за часом // Мат. студії. – 2005. – 24, №2. – С.159–166.

7. Когут І.В. Диференціально-символьний метод розв’язання нелокальної крайової задачі для рівняння з частинними похідними першого порядку за часом // Міжнародна наукова конференція “Нові підходи до розв’язування диференціальних рівнянь” (1–5 жовтня 2001р., м.Дрогобич). Тези доповідей. – С.69.

8. Каленюк П.І., Когут І.В., Нитребич З.М. Диференціально-символьний метод розв’язання нелокальної крайової задачі для рівняння з частинними похідними // IXміжнародна конференція ім. акад. М.Кравчука (16–19 травня 2002р., м. Київ). Матеріали конференції. – С.87.

9. Kalenyuk P., Kohut I., Nytrebych Z. Differential-symbol method of solving the nonlocal boundary value problem // Міжнародна конференція “Функціональний аналіз та його застосування”, присвячена 110-й річниці С.Банаха (28–31 травня 2002 р., м.Львів). Тези доповідей. – С. 97.

10. Когут І.В. Дослідження множини розв’язків однорідної системи рівнянь із частинними похідними з однорідною нелокальною крайовою умовою // Міжнародна наукова конференція “Шості боголюбовські читання” (26–30 серпня 2003р., м.Чернівці). Тези доповідей. – С.99.

11. Каленюк П.І., Когут І.В., Нитребич З.М. Диференціально-символьний метод розв’язування нелокальної крайової задачі для однорідної системи рівнянь із частинними похідними // III Всеукраїнська наукова конференція “Нелінійні проблеми аналізу” (9–12 вересня 2003р., м.Івано-Франківськ). Тези доповідей. – С.45.

12. Каленюк П.І., Когут І.В., Нитребич З.М. Нелокальна крайова задача для неоднорідної системи рівнянь із частинними похідними // Xміжнародна конференція ім. акад. М.Кравчука (13–15 травня 2004 р., м.Київ). Матеріали конференції. – С.121.

13. Когут І.В. Дослідження нелокальної крайової задачі для неоднорідної системи рівнянь із частинними похідними за допомогою диференціально-символьного методу // Конференція молодих учених із сучасних проблем механіки і математики ім. акад. Я.С.Підстригача (24–26 травня 2004р., м.Львів). Тези доповідей. – С.80–82.

14. Когут І.В. Дослідження нелокальної крайової задачі у класі існування її неєдиного розв’язку // Міжнародна математична конференція ім. В.Я.Скоробогатька (27 вересня – 1 жовтня 2004р., м.Дрогобич). Тези доповідей. – С.100.

15. Каленюк П.І., Когут І.В., Нитребич З.М. Про нелокальну крайову задачу для неоднорідної системи рівнянь із частинними похідними // Міжнародна наукова конференція “Диференціальні рівняння та їх застосування”, присвячена 60-річчю кафедри інтегральних та диференціальних рівнянь КНУ ім. Т.Шевченка (6–9 червня 2005 р., м.Київ). Тези доповідей. – С.37.

16. Каленюк П.І., Когут І.В., Нитребич З.М., Ільків В.С. Про однозначну розв’язність нелокальної крайової задачі для системи рівнянь із частинними похідними // XI міжнародна конференція ім. акад. М.Кравчука (18–20 травня 2006 р., м.Київ). Матеріали конференції. – С.118.

17. Каленюк П.І., Когут І.В., Нитребич З.М. Дослідження нелокальної крайової задачі для системи рівнянь із частинними похідними першого порядку за часом // Міжнародна конференція з диференціальних рівнянь, присвячена 100-й річниці Я.Б.Лопатинського (12–17 вересня 2006 р., м.Львів). Тези доповідей. – С.30–31.

18. Когут І.В. Побудова розв’язку нелокальної крайової задачі в області неєдиності за допомогою диференціально-символьного методу // Міжнародна наукова конференція “Диференціальні рівняння та їх застосування”, (11–14 жовтня 2006 р., м.Чернівці). Тези доповідей. – С.65.

АНОТАЦІЯ

Когут І.В. Диференціально-символьний метод розв’язування задач з нелокальними крайовими умовами для рівнянь із частинними похідними. – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.02 – диференціальні рівняння. – Львівський національний університет імені Івана Франка, Львів, 2007.

Дисертація присвячена дослідженню розв’язності та побудові розв’язків задач з нелокальними крайовими умовами за часовою змінною для рівнянь та систем рівнянь із частинними похідними першого порядку за часовою змінною і нескінченного порядку за просторовими змінними зі сталими коефіцієнтами. Розв’язки задач побудовано за допомогою диференціально-символьного методу.

Виділено класи існування та єдиності розв’язків задач з нелокальними крайовими умовами за часовою змінною для рівняння та системи рівнянь із частинними похідними у класах квазіполіномів, а в окремих випадках – у класах цілих аналітичних функцій з певними обмеженнями на порядок зростання. За допомогою диференціально-символього методу побудовано розв’язки таких задач, а також досліджено їхні ядра у класі квазіполіномів. Для випадку існування неєдиного розв’язку задачі для квазіполіномних правих частин рівнянь та умов розроблено алгоритм побудови часткових розв’язків.

Ключові слова: рівняння із частинними похідними, диференціальні рівняння нескінченного порядку, нелокальні умови, диференціально-символьний метод, узагальнена схема відокремлення змінних.

АННОТАЦИЯ

Когут И.В. Дифференциально-символьный метод решения задач с нелокальными краевыми условиями для уравнений в частных производных. – Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.02 – дифференциальные уравнения. – Львовский национальный университет имени Ивана Франко, Львов, 2007.

Диссертация посвящена исследованию разрешимости и построению решений задач с нелокальными краевыми условиями по временной переменной для уравнений и систем уравнений в частных производных первого порядка по временной переменной и бесконечного порядка по пространственным переменным с постоянными коэффициентами. Решения задач построены с помощью дифференциально-символьного метода.

Выделены классы существования и единственности решений задач с нелокальными краевыми условиями по временной переменной для уравнения и системы уравнений в частных производных в классах квазиполиномов, а в отдельных случаях – в классах целых аналитических функций с некоторыми ограничениями на порядок роста. С помощью дифференциально-символьного метода построены решения таких задач, а также исследованы их ядра в классе квазиполиномов. Для случая существования неединственного решения задачи для квазиполиномиальных правых частей уравнений и условий разработан алгоритм построения частных решений.

Ключевые слова: уравнения в частных производных, дифференциальные уравнения бесконечного порядка, нелокальные условия, дифференциально-символьный метод, обобщенная схема разделения переменных.

ABSTRACT

Kohut, I.V. Differential-Symbol Method of Solving the Problems with Nonlocal Boundary Conditions for Partial Differential Equations. – Manuscript.

Dissertation for the Candidate degree of Physico-Mathematical Sciences on the speciality 01.01.02 – differential equations. – Lviv Ivan Franko National University, Lviv, 2007.

The dissertation deals with investigating the solvability and constructing the solutions of the problems with nonlocal boundary value conditions in time variable for the partial differential equations and their systems of the first order in time variable and infinite order in spatial variables, with constant coefficients. The solutions have been constructed by means of the differential-symbol method.

We specify the classes of existence and uniqueness of the solutions of the problems with nonlocal boundary value conditions in time variable for the partial differential equation and the system of partial differential equations in the classes of quasipolynomials, and, in the individual cases, in the classes of entire analytical functions with certain constraints on their growth.

We construct the solution of the problem for homogeneous equation and system with inhomogeneous nonlocal condition, as well as for inhomogeneous equation and system with homogeneous nonlocal condition. Those solutions have been constructed in explicit form by means of the differential-symbol method. They are represented as actions of the infinite order differential expressions onto certain entire or meromorphic functions (or matrices – in case of a system of equations) dependent on a vector-parameter, with further assuming this vector-parameter to be zero.

By means of the mentioned method, we investigate the problems’ kernels in the classes of quasi-polynomials. We specify the necessary (and sufficient – in case of the single equation) conditions for function of quasipolynomial form to belong to a kernel.

For the case when the non-unique solution of the problem exists, for quasipolynomial right-hand sides of equations and conditions, we have developed the algorithm of constructing the particular solutions within the elements of the problems’ kernels.

Keywords: partial-differential equations, infinite order differential equation, nonlocal boundary conditions, differential-symbol method, generalized scheme of variables separation.

Підписано до друку 15.02.2007 р.

Формат 6090 1/16. Папір офсетний.

Друк на різографі. Умовн. друк. арк. 1,5. Обл.-видав. арк. 0,89.

Тираж 100 прим. Зам. 70097

Поліграфічний центр

Видавництва Національного університету “Львівська політехніка”

вул Ф.Колесси, 2, 79000, Львів