МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

ЗАПОРІЗЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

На правах рукопису

Клименко Михайло Іванович

УДК: 510.67:534.1:330.45

ЧИСЕЛЬНИЙ АНАЛІЗ ХВИЛЬОВИХ ПРОЦЕСІВ ТА СТАЦІОНАРНОГО ДЕФОРМУВАННЯ БАГАТОШАРОВИХ ЦИЛІНДРІВ

01.05.02 – математичне моделювання і обчислювальні методи

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Запоріжжя – 2007

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана у Запорізькому національному університеті Міністерства освіти і науки України

Науковий керівник:

доктор фізико-математичних наук, професор,

Пожуєв Володимир Іванович,

Запорізька державна інженерна академія,

завідувач кафедри програмного забезпечення автоматизованих систем.

Офіційні опоненти:

доктор фізико-математичних наук, професор,

Кузьменко Василь Іванович, Дніпропетровський національний університет, старший науковий співробітник, професор кафедри математичного моделювання;

кандидат технічних наук, доцент

Мастиновський Юрій Вікторович, Запорізький національний технічний університет, завідувач кафедри прикладної математики

Провідна установа:

Інститут проблем машинобудування ім. А.М. Підгорного НАН України, відділ прикладної математики та обчислювальних методів, м. Харків

Захист відбудеться “14” червня 2007 року о 14.30 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради К 17.051.06 Запорізького національного університету за адресою: 69600, м. Запоріжжя, вул. Жуковського, 66.

З дисертацією можна ознайомитися у бібліотеці Запорізького національного університету за адресою: 69600, м. Запоріжжя, вул. Жуковського, 66.

Автореферат розісланий “12” травня 2007 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради Ю.О. Сисоєв

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми дослідження. Складові елементи конструкцій у вигляді нескінченних багатошарових циліндрів знайшли широке застосування у машинобудуванні, зокрема, в авіабудуванні, суднобудуванні, приладобудуванні, а також у будівництві. Задачі дослідження динамічних характеристик таких конструкцій виникають при проектуванні підземних і підводних місткостей та трубопроводів, облицювування тунелів метро, розробці елементів твердопаливних двигунів. Із збільшенням швидкості руху підземного транспорту, літальних та плаваючих апаратів зростає роль динамічного розрахунку багатошарових циліндрів як елементів таких конструкцій та споруд. Це зумовило розвиток аналітичних та чисельних методів дослідження їх поведінки під дією заданих динамічних навантажень, а також процесів розповсюдження вільних хвиль в елементах конструкцій такого типу.

Моделювання процесів розповсюдження пружних хвиль у багатошарових елементах конструкцій займає помітне місце у сучасній механіці деформівного твердого тіла. Задачі про розповсюдження вільних хвиль у системах “пластина – пружна основа” та “оболонка – заповнювач” досліджені у працях Пожуєва В.І., Болотіна В.В., Новичкова Ю.М., Голоскокова Є.Г., Котенкова С.М., Корбута Б.А., Нагорного Ю.І., Мастиновського Ю.В., Шульги М.О. та інших авторів. Значний внесок у розвиток методів моделювання динаміки багатошарових елементів конструкцій під дією рухомих навантажень та розробку аналітичних методів дослідження в цьому напрямі внесли роботи Горшкова О.Г., Ільгамова М.А., Сабодаша П.Ф., Пожуєва В.І., Якушева М.Е., Горошко О.А., Приварникова А.К., Філіппова А.П. та інших дослідників. Задачі аналізу звукоізоляції багатошарових пластин та оболонок розглядалися у працях Бешенкова С.М., Голоскокова Є.Г., Попова А.Л., Гольденвейзера А.Л., Заборова В.І., Новикова І.І., Лонкевича М.П. та інших.

Аналіз існуючих підходів до моделювання задач стаціонарної динаміки багатошарових елементів конструкцій (оболонки, пластини, основи) свідчить про те, що основним напрямом математичного моделювання тут є розробка аналітичних та чисельно-аналітичних методів дослідження динамічних моделей, що ґрунтуються на застосуванні гіпотез про характер деформування шарів з подальшим аналізом та розв’язком відповідних систем диференціальних рівнянь. Такі підходи є досить незручними для моделювання динаміки конструкційних елементів, складених більш ніж з трьох шарів. У зв'язку з цим виникає необхідність розробки ефективної, зручної для реалізації на сучасній обчислювальній техніці, методики чисельного аналізу даного класу задач. Така методика може бути реалізована на основі застосування методу скінченних елементів. Математичні моделі, які розглядаються у даній дисертаційній роботі, дозволяють, використовуючи скінченно-елементну методику, розв’язувати задачі дослідження розповсюдження вільних хвиль та аналізу стаціонарного деформування багатошарового циліндра при дії рухомих навантажень, що розповсюджуються уздовж його осі з постійною швидкістю, а також звукового тиску. Підхід, який пропонується у даному дослідженні, передбачає використання розрахункових схем, що грунтуються на застосуванні одновимірного методу скінченних елементів. Він дає можливість побудови чисельних алгоритмів розв’язування вказаних вище задач для систем, складених з довільного числа циліндричних шарів за будь-яких їх фізичних та геометричних характеристик, що обумовлює актуальність даного дисертаційного дослідження.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Тема дисертаційної роботи та одержані результати відповідають тематиці наукових досліджень за темами, що виконуються у Запорізькому національному університеті.

Мета і задачі дослідження. Основною метою дисертаційної роботи є розробка і реалізація загальної методики математичного моделювання хвильових процесів у системі циліндричних шарів, а також реакції багатошарових циліндрів на дію рухомих та акустичних навантажень.

Для створення запропонованої методики моделювання вказаних вище типів динамічних процесів, заснованої на застосуванні методу скінченних елементів, необхідно вирішити наступні задачі:

– побудова математичної моделі задачі у вигляді сукупності систем звичайних диференціальних рівнянь для окремих елементів;

– побудова системи лінійних алгебраїчних рівнянь відносно вузлових значень невідомих переміщень для окремого елемента;

– формування глобальної матриці системи для системи циліндричних шарів з урахуванням умов сполучення між ними;

аналіз та розв’язування отриманої системи;

– для задачі стаціонарного деформування циліндра – виконання чисельного зворотного перетворення Фур’є для знаходження оригіналів переміщень;

– аналіз отриманих результатів.

Розв’язування цих задач у даній дисертаційній роботі здійснюється за допомогою розробленого на мові програмування Фортран-77 відповідного програмного забезпечення.

Об'єктом дослідження є скінченно-елементний підхід до розв’язування задач стаціонарної динаміки для конструкційних елементів, у якості моделі яких може бути використаний багатошаровий нескінченний циліндр.

Предметом дослідження в даній дисертаційній роботі є процес моделювання стаціонарних динамічних процесів у багатошарових циліндрах.

Методи дослідження. Загальна методика дослідження заснована на застосуванні чисельного методу скінченних елементів. Областю застосування запропонованого у даній роботі підходу є стаціонарні задачі динаміки нескінченних багатошарових циліндрів, характер яких дозволяє звести їх розв’язування до інтегрування сукупності систем звичайних диференціальних рівнянь, які описують переміщення окремого шару. До таких задач, зокрема, відносяться задачі дослідження процесів розповсюдження вісесиметричных та невісесиметричных вільних хвиль у системі нескінченних циліндричних шарів за різних умов сполучення між ними, визначення прогинів багатошарових циліндрів під дією навантажень, що рухаються з постійною швидкістю, а також їх реакції на дію акустичного тиску.

Наукова новизна результатів дисертаційної роботи полягає у наступному:

– Вперше запропоновано скінченно-елементний підхід до розв’язування стаціонарних задач динаміки нескінченних багатошарових циліндрів, що дозволяє здійснювати дослідження даних об'єктів для довільної кількості шарів та умов сполучення між ними.

– Отримала розвиток методика побудови дисперсійних залежностей для вільних хвиль у багатошарових циліндрах, яка ґрунтується на застосуванні матриць переходу через шар, що дозволяє здійснювати аналіз хвильових процесів у низькочастотному діапазоні.

– Вперше отримані чисельні характеристики процесу розповсюдження вільних хвиль у нескінченних циліндрах, складених з п'яти шарів.

– Вперше запропонована та програмно реалізована методика формування глобальної скінченно-елементної матриці системи алгебраїчних рівнянь для дослідження хвильових процесів у нескінченних багатошарових циліндрах у випадку ковзних контактів між шарами.

– Вперше запропонована та реалізована методика скінченно-елементного аналізу стаціонарного деформування системи циліндричних шарів під дією рухомих навантажень, а також досліджені особливості чисельної реалізації зворотного перетворення Фур’є, що використовується при цьому.

– Вперше на основі запропонованого скінченно-елементного підходу виконана оцінка звукоізоляційних характеристик конструкційного елементу у вигляді циліндра, складеного з п'яти шарів.

Практичне значення одержаних результатів. Запропонована скінченно-елементна методика та побудовані на її основі чисельні алгоритми дозволяють ефективно розв’язувати задачі стаціонарної динаміки конструкційних елементів у вигляді багатошарових циліндрів, що знаходять широке застосування у сучасному машинобудуванні та будівництві. При цьому вона дозволяє моделювати циліндричні об'єкти, складені з довільного числа шарів без обмежень на їх механічні та геометричні характеристики.

Достовірність результатів, отриманих у даній дисертації, забезпечується коректністю постановок задач, узгодженістю з результатами, отриманими на основі підходів, що використовувалися раніше, а також практичною збіжністю результатів при згущенні скінченно-елементної сітки.

Таким чином, застосування методу скінченних елементів дозволяє істотно розширити можливості математичного моделювання у задачах динаміки багатошарових циліндрів та досліджувати широкі класи таких задач на основі загального підходу із застосуванням єдиних алгоритмів.

Особистий внесок пошукача. Всі основні результати, які виносяться на захист, отримані автором самостійно та опубліковані у працях[1-7].

У працях, виконаних у співавторстві та опублікованих спільно у спеціалізованих виданнях переліку ВАК України, пошукачу належать:

у [1] – побудова скінченно-елементного алгоритму розрахунку звукоізоляції багатошаровогої циліндра та його комп’ютерна реалізація ;

у [5] – розробка скінченно-елементного алгоритму розрахунку прогинів багатошарового циліндра та алгоритму чисельного перетворення Фур’є, а також їх комп’ютерна реалізація.

Апробація результатів дисертації. Основні положення дисертаційної роботи були викладені на наступних науково-технічних конференціях та семінарах:

– на міжнародній науково-технічній конференції “Інтегровані комп'ютерні технології у машинобудуванні” ІКТМ 2006 (Харків, Національний аерокосмічний університет “ХАІ”, 2006 р.);

– на науковому семінарі відділу прикладної математики і механіки Інституту проблем машинобудування імені. А.М. Підгорного НАН України (м. Харків, 2006 р.);

– на міжвузівському семінарі “Актуальні проблеми прикладної математики і механіки” (м. Запоріжжя, Запорізький національний університет, 2007 р.);

– на семінарі кафедри математичного моделювання і інформаційних систем Запорізької державної інженерної академії (2006г.);

– на щорічних науково-практичних конференціях Запорізького національного університету (1993, 1996, 2000, 2006гг.);

– на наукових семінарах кафедр прикладної математики та математичного аналізу Запорізького національного університету.

Публікації. Основний зміст роботи і етапи її підготовки викладені у 7 публікаціях [1-7], у тому числі у 3 статтях [1,4,5], опублікованих в журналах, що входять в переліки спеціалізованих видань ВАК України.

На захист виносяться положення, сформульовані у пункті про наукову новизну.

Структура та обсяг роботи. Дисертаційна робота складається з вступу, п'яти розділів, висновків, списку використаної у процесі її підготовки літератури, а також 5 додатків. Загальний обсяг дисертаційного дослідження складає 122 сторінки основного тексту, ілюстрованого 17 малюнками і 2 таблицями.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі стисло розглянуто стан досліджень в області аналізу хвильових процесів і стаціонарного деформування у багатошарових оболонках та циліндрах, обґрунтовано актуальність теми дисертаційної роботи, сформульовано мету і задачі дослідження, узагальнено сукупність наукових результатів, які виносяться на захист, їх наукова новизна, практична цінність. Наведено кількісну характеристику публікацій та особистий внесок в них здобувача, а також відомості про апробацію результатів дисертації.

Перший розділ – присвячений аналізу розвитку наукових досліджень за темою дисертації. У ньому розглянуті основні існуючі методи моделювання для задач стаціонарної динаміки багатошарових циліндрів, а також умови їх застосування. Відзначено, що в даний час багато питань математичного моделювання процесів розповсюдження вільних хвиль в даних об'єктах, а також їх реакції на дію динамічних навантажень, залишаються недостатньо вивченими. У першу чергу це відноситься до таких задач для циліндрів, складених з великої кількості шарів, де застосування існуючих аналітичних методів істотно ускладнюється із її збільшенням. На підставі виконаного тут огляду визначаються мета та задачі даного дисертаційного дослідження, обгрунтовується його актуальність.

У другому розділі запропонована загальна схема побудови та реалізації скінченно-елементної методики моделювання задач стаціонарної динаміки багатошарових циліндрів. Відзначається, що застосування даної методики можливе для задач, стаціонарний характер яких дозволяє редукцію відповідних математичних моделей до систем звичайних диференціальних рівнянь. Наводиться теоретичне обгрунтовування коректності застосування даної методики.

У третьому розділі, у процесі моделювання розповсюдження пружних вільних хвиль у системі нескінченних циліндричних шарів, визначається загальний скінченно-елементний підхід до чисельного аналізу ряду задач стаціонарної динаміки багатошарових циліндрів, моделями яких можуть бути сукупності систем лінійних диференціальних рівнянь.

У першому параграфі третього розділу розглядається математична постановка задачі визначення дисперсійної залежності між частотою та фазовою швидкістю розповсюдження пружних вісесиметричних хвиль у нескінченному циліндрі, складеному з довільного числа шарів. Хвиля, що розповсюджується у даному циліндрі, описується залежностями

(1)

що визначають характер радіальних та осьових переміщень точок циліндра. Переміщення шару описуються динамічними рівняннями теорії пружності:

(2)

Підставляючи співвідношення (1) в систему (2), отримаємо систему звичайних диференціальних рівнянь щодо амплітудних множників u(r), w(r). З умови нетривіальності рішень цієї системи необхідно визначити дисперсійну залежність фазової швидкості від частоти для даної хвилі.

У другому параграфі третього розділу розглядається побудова скінченно-елементного алгоритму розв’язування даної задачі. Для цього використовується модель на основі лінійних одновимірних скінченних елементів. У межах кожного елементу механічні властивості шару не змінюються. Далі визначаються коефіцієнти системи лінійних алгебраїчних рівнянь щодо невідомих вузлових значень функцій та на елементі та розглянуто алгоритм побудови глобальної матриці системи рівнянь. Умова рівності нулю визначника цієї матриці визначає дисперсійне рівняння для вільних хвиль, що розповсюджуються у системі циліндричних шарів.

У третьому параграфі другого розділу пропонується алгоритм розв’язування даної задачі, що ґрунтується на застосуванні матриць переходу через шар. При гармонійному русі циліндра рівняння (2) для кожного з її шарів зводяться до двох хвильових рівнянь :

(3)

причому потенційні функції та пов'язані із змінними u і w співвідношеннями:

(4)

де – швидкість розповсюдження повздовжньої хвилі;

– швидкість розповсюдження поперечної хвилі;

– хвильові числа цих хвиль.

Застосовуючи закон зміни функцій та за координатами z та у вигляді (1), одержуємо звичайні диференціальні рівняння (рівняння Бесселя). Після їх інтегрування з врахуванням співвідношень (4) та закону Гука, отримуємо вирази для амплітудних значень переміщень та напружень:

;

;

(5)

де , , , , , – функції Бесселя та Неймана відповідно нульового та першого порядків;

, , , – постійні інтегрування.

При від’ємних значеннях та функції Бесселя та Неймана замінюються відповідно модифікованими функціями Бесселя , та функціями Макдональда , .

Приймаючи у формулах (5) спочатку , потім і виключаючи з отриманих при цьому восьми рівнянь константи , , , , встановлюємо зв'язок між амплітудними значеннями переміщень та напружень на внутрішній () та зовнішній () поверхнях даного шару:

(6)

Тут – матриця переходу через шар, та – матриці, складені з коефіцієнтів при константах ,, , у виразах, які отримуємо у результаті підстановки в (5) спочатку , потім .

Застосовуючи N разів (N – число шарів циліндра) рекурентне співвідношення (6) і враховуючи, що зовнішні навантаження на циліндр не діють, отримуємо однорідну систему рівнянь відносно значень функцій u(r) та w(r) на його внутрішній поверхні:

(7)

Тут , , , – елементи матриці переходу через систему шарів, яка отримується шляхом перемноження матриць переходу через окремі шари, починаючи із зовнішнього:

. (8)

З умови нетривіальності розв’язків системи (8) знаходимо дисперсійне рівняння

. (9)

При фіксованому значенні частоти , розв’язуючи дисперсійне рівняння (9), знаходимо відповідні їй значення фазової швидкості . Корені рівняння (9) знаходимо, послідовно уточнюючи інтервал зміни знаку його лівої частини до досягнення заданої точності.

У четвертому параграфі третього розділу запропоновані розрахункові схеми, що реалізовані в задачі побудови кривих дисперсії для п'ятишарового циліндру, складеного з трьох високоміцних шарів, розділених між собою двома шарами заповнювача. Здійснено аналіз отриманих результатів, побудовано розподіли переміщень, що відповідають кожній з форм хвиль.

При використанні скінченно-елементної методики точність розрахунків контролювалася шляхом зіставлення результатів, отриманих при збільшенні кількості елементів. Такі чисельні експерименти показали збіжність прийнятої лінійної апроксимації. Значення фазових швидкостей, знайдені з використанням матриць переходу, у своєму верхньому діапазоні добре узгоджуються з результатами, отриманими на основі використання скінченноелементної методології.

Якщо ж даний діапазон зміни фазової швидкості лежить значно нижче швидкості хвиль у матеріалі високоміцних шарів, застосування матриць переходу пов'язане з значними обчислювальними труднощами, тут ефективним є використання методу скінченних елементів.

У параграфі 3.5 побудовано модель для дослідження розповсюдження вісесиметричних вільних хвиль у багатошаровому циліндрі за наявності ковзних контактів між окремими шарами. Використання методу скінченних елементів дозволяє будувати дисперсійні криві для циліндрів з довільною кількістю шарів за будь-яких умов контакту між ними.

Для системи звичайних диференціальних рівнянь, які отримуємо у результаті підстановки (1) в (2), краєві умови мають вигляд:

(10)

де у, ф – вузлові значення нормальних та дотичних сил взаємодії з сусідніми шарами (елементами) відповідно на нижній (j=1) і верхній (j=2) межах елементу.

При жорсткому контакті на межі виконуються умови безперервності нормальних і дотичних напружень і переміщень, за наявності ковзного контакту дотичні напруження дорівнюють нулю. Застосування скінченно-елементної методики дозволяє отримати систему лінійних алгебраїчних рівнянь:

, (11)

де та – відповідно матриці маси та жорсткості на елементі;

– права частина (11), у яку входять вузлові значення нормальних та дотичних напружень на внутрішній та зовнішній поверхнях елемента.

Нехай між двома сусідніми шарами циліндра є ковзний контакт, при цьому ковзання відбувається на внутрішній поверхні елементу. У цьому випадку величина ф в системі (6) рівна нулю, що дозволяє виключити з неї за допомогою другого рівняння невідому . При цьому одержуємо на елементі систему з трьох рівнянь.

Якщо ковзний контакт задано при r=r, то, використовуючи останнє рівняння системи (11), виключаємо невідому . Якщо ковзні контакти є на внутрішній та зовнішній поверхнях циліндра, то і з другого та четвертого рівнянь системи виключаємо невідомі та . Таким чином, у разі неперервного контакту між шарами, на межі між ними маємо дві невідомі величини та , для ковзного контакту – тільки .

Додаючи послідовно два останні рівняння системи для кожного попереднього елементу з двома першими для наступного при неперервному контакті, або останнє рівняння системи на попередньому елементі з першим на наступному у разі ковзного контакту між ними, отримаємо систему:

[K] {Q}={0}, (12)

де [K] – глобальна стрічкова симетрична матриця системи, що отримана шляхом підсумовування відповідних матриць на элементах;

Q – вектор невідомих вузлових значень переміщень.

З умови нетривіальності розв’язків системи (12) одержуємо дисперсійне рівняння det[K]=0, з якого отримаємо дисперсійну залежність для даної системи циліндричних шарів. За даним алгоритмом розраховані частотні залежності фазової швидкості перших трьох форм в п'ятишаровому циліндрі. Розглядалися різні комбінації з умов сполучення окремих шарів, що відповідають їх жорсткому та ковзному контакту.

Побудовані дисперсійні криві для випадку ковзного контакту обшивок з трьома жорстко сполученими між собою внутрішніми шарами, а також ковзного контакту внутрішнього високоміцного шару з жорстко сполученими між собою шарами, що оточують його. Отримані також розподіли переміщень, що відповідають цим формам хвиль.

У четвертому розділі здійснений скінченно-елементний аналіз розповсюдження невісесиметричних вільних хвиль в нескінченних циліндрах. У параграфі 4.1 формулюється математична постановка задачі. Переміщення для невісесиметричної гармонійної хвилі представляються у вигляді:

(13)

де , , – переміщення точок циліндра відповідно в радіальному, тангенціальному і осьовому напрямах;

n – число хвиль в окружному напрямі;

– хвильове число;

щ – частота;

с – фазова швидкість хвилі.

Циліндр розбивається по товщині на скінченне число шарів (елементів), в межах яких пружні постійні л та м,а також густина не змінюється. Рух окремого шару описується динамічними рівняннями теорії пружності.

Підставляючи в ці рівняння формули закону Гука та співвідношення (13), отримуємо систему звичайних диференціальних рівнянь щодо амплітудних значень радіальних, тангенціальних і нормальних переміщень для кожного шару досліджуваного циліндра. З умови нетривіальності розв’язків цієї системи визначається дисперсійна залежність для пружних невісесиметричних хвиль.

У параграфі 4.2 розглянуто застосування методу скінченних елементів для дослідження розповсюдження невісесиметричних хвиль у нескінченному циліндрі, складеному з N шарів. Ця задача зводиться до сумісного інтегрування сукупності систем звичайних диференціальних рівнянь. Для її вирішення застосовується скінченно-елементна методика, аналогічна використаній у попередньому розділі для аналізу розповсюдження вісесиметричних хвиль.

На кожному елементі використовується лінійна апроксимація амплітудних значень переміщень. Для відшукання їх вузлових значень використовується метод скінченних елементів у формі Гальоркіна. В результаті одержимо систему лінійних алгебраїчних рівнянь на елементі. Послідовно підсумовуючи їх за елементами, одержимо систему рівнянь.

Для існування її нетривіальних розв’язків необхідно, щоб її визначник дорівнював нулю. Це дисперсійне рівняння визначає залежність фазової швидкості хвилі від її частоти.

У параграфі 4.3 на основі даного алгоритму здійснюється побудова та аналіз дисперсійних залежностей для невісесиметричних хвиль. Відповідно запропонованій скінченно-елементній методиці, побудовані дисперсійні залежності перших п'яти невісесиметричних форм пружних хвиль у п'ятишаровому циліндрі для n=1 та n=2, а також здійснено їх аналіз. Побудовано відповідні розподіли переміщень.

Застосування скінченно-елементної методики дозволило також побудувати дисперсійні залежності для хвиль у циліндрах з неоднорідними за товщиною шарами. Такі криві побудовані для п'ятишарового циліндра з внутрішніми шарами, пружні сталі яких змінюються за лінійним законом.

У п’ятому розділі розглянуто застосування запропонованого скінченно-елементного підходу для дослідження реакції багатошарових циліндрів на дію рухомих та акустичних навантажень.

У параграфі 5.1 здійснюється постановка задачі визначення стаціонарного деформування багатошарового циліндра під дією рухомого навантаження. Зовні нескінченного багатошарового циліндра, складеного з довільної кількості шарів, уздовж його осі з постійною швидкістю рухається кільцеве зосереджене навантаження.

Вісесиметричні переміщення кожного шару описуються динамічними рівняннями теорії пружності. Перехід до рухомої системи координат з подальшим застосуванням перетворення Фур’є дозволяє звести розв’язування даної задачі до інтегрування сукупності систем звичайних диференціальних рівнянь відносно трансформант переміщень, аналогічних отриманим у розділі 3. Це дозволяє застосувати для їх інтегрування метод скінченних елементів.

У параграфі 5.2 наведено скінченно-елементний алгоритм розв’язування даної задачі. Отримуємо систему лінійних алгебраїчних рівнянь щодо вузлових значень трансформант переміщень, що співпадає з системою, одержаною при аналізі вісесиметричних хвиль:

, (14)

де [M] і [C] – глобальні стрічкові симетричні матриці маси і жорсткості, що виходять підсумовуванням відповідних матриць для окремих елементів;–

вектор невідомих вузлових значень трансформант переміщень;

– швидкість руху навантаження;

– параметр перетворення Фур’є;

{F}=;

– радіус зовнішньої поверхні циліндра.

Розв’язуючи систему (9) при фіксованих значеннях параметра перетворення , знаходимо вузлові значення трансформант переміщень. У параграфі 5.3 запропонована методика застосування чисельного зворотного перетворення Фур’є для визначення вузлових значень прогинів, здійснено аналіз ефективності використання різних квадратурних формул.

Задача розв’язується для швидкості меншої, від критичної (мінімальної швидкості розповсюдження в циліндрі хвилі першої форми). При цьому підінтегральна функція не має точок розриву на інтервалі інтегрування. Запропонована у роботі скінченно-елементна методика застосована для визначення прогинів п'ятишаровогої циліндра.

Виконано аналіз отриманих результатів. Точність розрахунків контролювалася шляхом збільшення кількості елементів та зміни кроку інтегрування при знаходженні зворотного перетворення Фур’є. У параграфі 5.4 аналогічну методику запропоновано для випадку невісесиметричного навнтаження.

У параграфі 5.5 скінченно-елементна методика застосовується для розрахунку звукоізоляції багатошарових циліндрів. На осі циліндра розташовано джерело звуку, що випромінює звукову хвилю. Фронт цієї хвилі утворює конус з кутом конусності . Звуковий тиск описується залежністю:

(15)

де – хвильове число;

та частота та швидкість звуку;

– функція Ханкеля.

Вирази для звукового тиску всередині та зовні циліндра мають вигляд:

(16)

Тут А і В – коефіцієнти відбиття та проходження звуку, загальний для всіх величин множник опущено.

Переміщення точок циліндра шукаємо у вигляді, аналогічному (1). Вони описуються динамічними рівняннями теорії пружності. Для системи циліндричних шарів отримуємо сукупність систем звичайних диференціальних рівнянь, аналогічну отриманій у розділі 3, що дозволяє застосувати розглянуту раніше скінченно-елементну методику.

Краєві умови для даної задачі визначаються як умови сумісного руху циліндра та акустичного середовища. На основі застосування методу скінченних елементів здійснено дослідження частотних та кутових залежностей звукоізоляції циліндра з різним розподілом складових матеріалів за її товщиною.

ОСНОВНІ РЕЗУЛЬТАТИ ТА ВИСНОВКИ

1. Задачі стаціонарної динаміки нескінченних багатошарових циліндрів, що моделюються за допомогою рівнянь Ламе, можуть бути розв’язані на основі застосування єдиної скінченно-елементної методики.

2. Запропонована у даній роботі скінченно-елементна методика дозволяє розв’язувати такі задачі без обмежень на фізико-механічні та геометричні характеристики циліндричних шарів.

3. Для дослідження розповсюдження вільних хвиль у багатошарових циліндрах у діапазоні низьких частот доцільно застосовувати методику, що ґрунтується на використанні матриць переходу через шар.

4. На основі застосування запропонованої скінченно-елементної методики здійснено дослідження хвильових процесів у багатошарових циліндрах для випадків вісесиметричних та невісесиметричних хвиль; виконано аналіз розподілів переміщень, що відповідають різним формам хвиль.

5. Моделювання динаміки багатошарових циліндрів на основі застосування запропонованої скінченно-елементної методики дозволило виконати аналіз їх стаціонарного деформування під дією зосередженого навантаження, що рухається з постійною швидкістю.

6. На основі застосування МСЕ проведено розрахунок звукоізоляції нескінченного багатошарового циліндра, побудовані частотні та кутові характеристики звукоізоляції для п'ятишарових циліндрів.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Бешенков С.Н., Клименко М.И. К расчету звукоизоляции многослойной цилиндрической оболочки, возбуждаемой изнутри.// Акустический журнал, т.37,вып.1, 1991, с.17-21.

2. Бешенков С.Н., Клименко М.И. Осесимметричные свободные волны в многослойных цилиндрических оболочках. //Динамика и прочность машин, №54, 1993, с.32-37.

3. Клименко М.И. Неосесимметричные свободные волны в системе неоднородных цилиндрических слоев. // Сборник научных трудов, посвященных 10-летию университета. Математика, физика. ЗГУ,1995, с. 27-31.

4. Клименко М.І. Застосування матриць переходу до дослідження хвильових процесів у циліндричних оболонках. // Вісник Запорізького національного університету, 2006, с. 52-57.

5. Сисоєв Ю.О., Клименко М.І. Дія вісесиметричного рухомого навантаження на багатошарову циліндричну оболонку. // Вісник Запорізького державного університету, 2000, с. 69-73.

6. Клименко М.И. Конечно-элементная методология решения задач стационарной динамики многослойных цилиндрических оболочек // Тези доповідей міжнародної науково-технічної конференції “Інтегровані комп’ютерні технології в машинобудуванні” ІКТМ’2006. – Харків: “ХАІ”, 2006. – С.41.

7. Клименко М.И. Стационарная реакция многослойной цилиндрической оболочки на действие неосесимметричной подвижной нагрузки. // Тези доповідей наукових конференцій Запорізького державного університету, вип.3, ч.1. – Запоріжжя, 1993.

АНОТАЦІЯ

Клименко М.І. Чисельний аналіз хвильових процесів та стаціонарного деформування багатошарових циліндрів. – Рукопис.

Дисертація на здобуття вченого ступеня кандидата фізико-математичних наук за фахом 01.05.02 – математичне моделювання і обчислювальні методи, Запорізький національний університет, Запоріжжя, 2007.

Дисертаційна робота присвячена розробці ефективної скінченно-елементної методики для моделювання широких класів стаціонарних задач динаміки нескінченних багатошарових циліндрів – дослідження розповсюдження вільних пружних хвиль та стаціонарного деформування багатошарових нескінченних циліндрів під дією рухомих та акустичних навантажень. Застосування такої методики дозволяє на основі єдиного алгоритму розв’язувати такі задачі для циліндрів, складених з довільної кількості шарів без обмежень на їх геометричні і физико-механічні характеристики.

Для чисельного аналізу цих задач у роботі пропонується підхід, що ґрунтується на застосуванні одновимірних лінійних скінченних елементів. За допомогою запропонованої скінченно-елементної методології побудовані та досліджені дисперсійні залежності між частотою та фазовою швидкістю вісесиметричних та невісесиметричних вільних хвиль для п'ятишарових циліндрів.

Розглянуто випадки жорсткого та ковзного контактів між окремими шарами. Для зони низьких частот запропоновано застосування методу матриць переходу через шар, що дозволяє уникнути обчислювальних похибок, характерних у даному випадку для застосування методу скінченних елементів. Виконано розрахунок прогинів нескінченного багатошарового циліндра, що знаходиться під дією рухомого навантаження. Розглянуто випадок докритичних швидкостей руху навантаження. Для даної задачі запропонований ефективний чисельний алгоритм виконання зворотного перетворення Фур’є.

Запропонована скінченно-елементна методика використана також для розрахунку звукоізоляції багатошарового циліндру при вісесиметричному акустичному збудженні зсередини. Проведено дослідження кутових та частотних залежностей звукоізоляції циліндрів з різним розподілом складових матеріалів за товщиною.

Ключові слова: метод скінченних елементів, нескінченний багатошаровий циліндр, вільні пружні хвилі, дисперсійна залежність, рухоме навантаження, звукоізоляція.

АННОТАЦИЯ

Клименко М.И. Численный анализ волновых процессов и стационарной деформации многослойных цилиндров. – Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.05.02 – математическое моделирование и вычислительные методы, Запорожский национальный университет, Запорожье, 2007.

Диссертационная работа посвящена разработке эффективной конечно-элементной методики для моделирования широких классов стационарных задач динамики бесконечных многослойных цилиндров – исследования распространения свободных упругих волн и стационарной деформации многослойных бесконечных цилиндров под действием подвижных и акустических нагрузок.

Применение такой методики позволяет на основе единого алгоритма решать такие задачи для цилиндров, составленных из произвольного количества слоев без ограничений на их геометрические и физико-механические характеристики.

Для численного анализа этих задач в работе предлагается подход, основанный на применении одномерных линейных конечных элементов. С помощью предложенной конечно-элементной методологии построены и исследованы дисперсионные зависимости между частотой и фазовой скоростью осесимметрических и неосесимметрических свободных волн для пятислойных цилиндров.

Рассмотрены случаи жесткого и скользящего контактов между отдельными слоями. Для зоны низких частот предложено применение метода матриц перехода через слой, что позволяет избежать вычислительных погрешностей, характерных в данном случае для применения метода конечных элементов.

Выполнен расчет прогибов бесконечного многослойного цилиндра, находящегося под действием подвижной нагрузки. Рассмотрен случай докритических скоростей движения нагрузки. Для данной задачи предложен эффективный численный алгоритм выполнения обратного преобразования Фурье.

Предложенная конечно-элементная методика использована также для расчета звукоизоляции многослойного цилиндра при внутреннем осесимметрическом акустическом возбуждении изнутри. Проведено исследование угловых и частотных зависимостей звукоизоляции цилиндров с различным распределением составных материалов за толщиной.

Ключевые слова: метод конечных элементов, бесконечный многослойный цилиндр, свободные упругие волны, дисперсионная зависимость, подвижная нагрузка, звукоизоляция.

ANNOTATION

Klimenko M. I. Numerical analysis of wave processes and stationary deformation of multi-layer cylinders. – Manuscript.

Dissertation for the Candidate of Science degree in physical and mathematical sciences, speciality 01.05.02 – mathematical modeling and computing methods, Zaporozhye National University, Zaporozhye, 2007.

The dissertation is concerned with the development of an effective finite elements method for modeling wide classes of stationary tasks of infinite multi-layer cylinders dynamics – researching free resilient waves expansion and stationary deformation of infinite multi-layer cylinders under the effect of mobile and acoustic loads.

The application of such a method allows to solve the tasks using one algorithm for cylinders built of an arbitrary quantity of layers without limitation of their geometrical as well as physical and mechanical characteristics. For numerical analysis of the tasks the approach based on the application of one-dimensional finite line elements is proposed in the dissertation work. With the aid of the proposed finite elements method, dispersion dependences between the frequency and phase velocity of free waves symmetrical and non-symmetrical to the axis for five-layer cylinders are built and researched. The cases of rigid and sliding contacts between separate layers are investigated.

The application of the matrix method of transition through the layer is proposed for the low frequency zone, which allows to avoid computing errors typical for the application of the finite elements method in this case. The computation of flexures of infinite multi-layer cylinder under the effect of mobile load is made. The case of pre-critical velocity of load movement is analyzed.

Effective numerical algorithm of making reverse transformation by Fourier is proposed for the given case. The proposed finite elements method is used as well for computing sound-insulation of multi-layer cylinders when internal acoustic disturbance is caused from inside. Angular and frequency dependences of sound-insulation of cylinders with different distribution of constituent materials due to thickness are researched.

Key words: elements method, infinite multi-layer cylinder, free resilient waves, dispersion dependences, mobile load, sound-insulation.