Київський національний університет імені Тараса Шевченка

КУЗЬМИЧ Олена Іванівна

УДК 517.929

СТІЙКІСТЬ ЛОГІКО-ДИНАМІЧНИХ СИСТЕМ З ЧАСОВИМ ПЕРЕМИКАННЯМ

01.05.02 – математичне моделювання та обчислювальні методи

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Київ – 2007

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана на кафедрі моделювання складних систем Київського національного університету імені Тараса Шевченка

Науковий керівник: | доктор фізико-математичних наук, професор

Хусаінов Денис Яхьєвич,

Київський національний університет

імені Тараса Шевченка,

професор кафедри моделювання складних систем

Офіційні опоненти: | доктор фізико-математичних наук, професор

Онищенко Сергій Михайлович,

Інститут математики НАН України,

провідний науковий співробітник відділу динаміки та

стійкості багатовимірних систем

кандидат фізико-математичних наук, доцент

Джалладова Ірада Агаверді-кизи,

Київський національний економічний університет ім. В.Гетьмана, доцент кафедри вищої математики

Захист відбудеться 20 грудня 2007 року о 14 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д26.001.35 в Київському національному університеті імені Тараса Шевченка (03680, Київ, проспект Глушкова, 2, корпус 6, факультет кібернетики, ауд.40).

З дисертацією можна ознайомитись у Науковій бібліотеці Київського національного університету імені Тараса Шевченка за адресою: 01033, Київ, вул. Володимирська, 58.

Автореферат розісланий “15“ листопада 2007 року.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради П.М. Зінько

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Одним з найбільш використовуваних математичних апаратів для опису та дослідження динамічних процесів є логіко-динамічні та неперервно-дискретні системи. Для моделювання складних дискретних, дискретно-неперервних та неперервних динамічних систем найчастіше використовують системи звичайних диференціальних рівнянь, системи рівнянь у частинних похідних, різницеві рівняння, функціонально-диференціальні та інтегральні рівняння.

На сьогоднішній день існують різні математичні моделі, які розроблені для дослідження поведінки логіко-динамічних систем. Серед них - агрегативні системи Бусленка М.П., неперервно-дискретна модель Глушкова В.М., кусково-зшиті системи, що описані Андроновим О.О., імпульсні системи, які вивчаються Самойленком А.М., системи зі змінною структурою Ємельянова С.В., а також гібридні системи Пнуелі, які є одним із перспективних методів моделювання логіко-динамічних систем, що сполучають інженерію, теоретичні комп’ютерні науки і теорію керування.

Дисертаційна робота присвячена важливим проблемам прикладної математики, а саме – розробці методів дослідження динаміки процесів, що моделюються сукупністю диференціальних та різницевих рівнянь, які поєднані логічними законами перемикання. Основна увага зосереджена на одній із найголовніших задач аналізу динаміки таких систем. Це – дослідження стійкості, як ключової якісної властивості, що важлива для проектування систем керування. Особливої уваги заслуговують роботи в цьому напрямку Красовського М.М., Зубова В.І., Кирилової Ф.М., Бублика Б.М., Кириченка М.Ф., Гаращенка Ф.Г., Чикрія А.О., Капустяна В.О. Результати роботи автора в другому розділі дисертації базуються на достатньо глибоко вивчених Ляпуновим О.М., Белманом Р., Демидовичем Б.П., Барбашиним Є.О., Онищенком С.М., Валєєвим К.Г., Хусаіновим Д.Я. та ін. методах якісного аналізу лінійних систем. При побудові моделей багатьох реальних систем часто стає очевидним, що модель повинна включати попередні стани системи, що призводить до вивчення теорії функціонально-диференціальних рівнянь. Одержання результатів третього розділу дисертації стало можливим завдяки розвинутій базі досліджень в цій області, яка широко розвинулась завдяки Хейлу Дж., Белману Р., Азбелеву М.В., Колмановському В.Б., Ясинському В.К., Джалладовій І.А.

Четвертий розділ дисертації пов’язаний з розробкою моделі та оцінкою розв’язку прискорювальної системи руху тіла з трьома степенями свободи під дією безконтактних сил. Проблема динамічної поведінки вільних об’єктів, особливо стійкості його траєкторії, виникає в ряді задач, зокрема для систем прискорення заряджених частинок, а також прискорення або гальмування магніто-левітуючого транспорту.

Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами.

Дисертаційна робота виконана у відповідності до плану наукових досліджень кафедри моделювання складних систем факультету кібернетики Київського національного університету імені Тараса Шевченка в рамках науково-дослідної теми №01БФ015-05 “Розробка структурованих математичних та програмних технологій для моделювання, аналізу, оцінки та оптимізації складних систем” - державний номер реєстрації 0101U000968. Окремі розділи дисертаційної роботи виконані за підтримки гранту “Обґрунтування та визначення технологічних та виробничих аспектів з питань створення сучасних транспортних систем (видів транспорту) на основі технологій явища надпровідної магнітної левітації у м. Києві” (державний номер реєстрації 0105U008151) та гранту державного фонду фундаментальних досліджень Міністерства освіти та науки України “Топологічні та метричні характеристики аттракторів динамічних систем, що породжуються еволюційними задачами (державний номер реєстрації 01.07/00081 з 1 червня 2001 р. по 30 грудня 2005 р.).

Мета і завдання дослідження. Метою роботи є отримання конструктивних оцінок стійкості логіко-динамічних систем, які складаються з різнорідних підсистем, а саме з підсистем, що описуються лінійними диференціальними рівняннями зі сталими коефіцієнтами, а також з підсистем, які описуються лінійними функціонально-диференціальними рівняннями. Крім того, ставиться задача побудови математичної моделі динаміки руху вільного тіла з трьома степенями свободи під дією безконтактних сил, дослідження стійкості траєкторії та отримання оцінок розв’язку системи прискорення.

Об’єктом дослідження є логіко-динамічні системи з часовим перемиканням, що описуються лінійними диференціальними та різницевими рівняннями, а також функціонально-диференціальними рівняннями.

Предметом дослідження є аналіз стійкості та одержання оцінок розв’язків логіко-динамічних систем з часовим перемиканням.

Методи дослідження. Основним методом для одержання оцінок стійкості логіко-динамічних систем з часовим перемиканням є другий метод Ляпунова. Моделювання системи прискорення вільного тіла проводилося із застосуванням методу Лагранжа.

Наукова новизна одержаних результатів полягає в тому, що вперше:

одержано оцінки розв’язку логіко-динамічної системи з часовим перемиканням, яка складається з підсистем, що описуються системами лінійних диференціальних рівнянь зі сталими коефіцієнтами;

отримано оцінки розв’язку логіко-динамічної системи, яка складається з підсистем, що описуються системами лінійних диференціальних рівнянь з запізненням;

виконана оцінка розв’язку систем рівнянь нейтрального типу;

одержано оцінку розв’язку логіко-динамічної системи, яка складається з дискретних підсистем з запізненням;

розроблено математичну модель прискорювальної системи вільного тіла з трьома степенями свободи під дією безконтактних сил та одержано оцінку її розв’язку аналітичним методом та за допомогою чисельного експерименту.

Обґрунтованість та достовірність отриманих результатів підтверджується коректністю постановок задач, строгим доведенням теорем, узгодженістю отриманих аналітичних результатів з даними чисельного експерименту.

Практичне значення отриманих результатів полягає в тому, що в дисертаційній роботі представлені конструктивні оцінки стійкості розв’язків логіко-динамічних систем з часовим перемиканням. Вони можуть бути використані для розробки ефективних систем керування рухомими об’єктами, літальними апаратами, в робототехніці, системах стеження та ін. Одержана в дисертації оцінка стійкості прискорювальної системи вільного тіла може бути застосовна при розробці новітніх екологічно чистих транспортних систем на основі явища магнітної левітації.

Особистий внесок здобувача. Всі основні результати дисертації одержані автором самостійно. У роботах, написаних у співавторстві, здобувачу належить: оцінка розв’язків лінійних логіко-динамічних систем з часовим перемиканням за допомогою другого методу Ляпунова [1]; аналіз стійкості гібридних систем, що описуються дискретними рівняннями [3]; оцінки збурень логіко-динамічних систем з запізненням з використанням функціоналу Ляпунова-Красовського [8]; дослідження розв’язків лінійного рівняння нейтрального типу [5]; аналіз збіжності розв’язків гібридних систем з запізненням [13].

Апробація результатів дисертації. Матеріали дисертаційної роботи доповідалися на наукових міжнародних конференціях: International Conference Dynamical System Modeling and Stability Investigation (Kiev, Ukraine, May 27-30, 2005); Диференціальні рівняння та їх застосування (Київ, Україна, 6-9 червня, 2005); International conference modern problems and new trends in probability theory (Chernivtsi, Ukraine, June 19-26, 2005); “Інтегральні рівняння та їх застосування” (Одеса, Україна, 29 червня – 4 липня, 2005); 9th International conference “Stability, Control and Right Bodies Dynamics” (Donetsk, Ukraine, September 1-6, 2005); VIII Кримська міжнародна математична школа “Метод функцій Ляпунова і його застосування” (Алушта, Крим, Україна, 10 - 17 вересня, 2006); International Mathematical Conference CCDEA (Zilina, Slovakia, June 26-30, 2006); на наукових семінарах кафедри моделювання складних систем факультету кібернетики Київського національного університету імені Тараса Шевченка.

Публікації. Основні результати дисертаційної роботи опубліковані в 15 друкованих працях, в тому числі в 5 наукових статтях, надрукованих у фахових виданнях ВАК України та 10 – в тезах доповідей на міжнародних наукових конференціях.

Структура та обсяг дисертації. Дисертаційна робота складається зі вступу, 4-х розділів, висновку, списку використаних джерел із 143 найменувань (11 стор.) 9 додатків (30 стор.) та 20 ілюстрацій. Повний обсяг роботи - 180 сторінок, з них - 128 сторінок основного тексту.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ

У вступі обґрунтовано актуальність проблематики дисертації, сформульовано мету роботи, розглянуто її зміст за розділами із висвітленням найважливіших результатів.

Перший розділ має оглядовий характер. У ньому розглянуто сучасний стан вибраного напрямку досліджень, виділені основні досягнення та проблеми. Проаналізовано основні принципи розробки математичних моделей логіко-динамічних систем, здійснено огляд підходів до моделювання та дослідження їх стійкості.

У другому розділі розглянута динаміка системи з часовим перемиканням, яка складається з підсистем, що описуються лінійними диференціальними рівняннями зі сталими коефіцієнтами, а також лінійними дискретними рівняннями. За допомогою другого методу Ляпунова отримано оцінки стійкості розв’язків.

У першому пункті другого розділу одержано оцінку розв’язків логіко-динамічної системи, яка представлена набором підсистем, що є лінійними диференціальними рівняннями зі сталими коефіцієнтами

Кожна з підсистем описує динаміку збурення на заданому скінченому проміжку часу , , . Для системи виконується умова неперервності фазових координат в моменти перемикань

.

Припускається, що початкове збурення знаходиться в –околі стану рівноваги системи, тобто . Отримана оцінка величини відхилення розв’язку системи (1) від стану рівноваги в момент .

Одним з методів отримання оцінки розв’язків, які розглянуті в дисертації, є метод квадратичної функції Ляпунова, яка побудована у вигляді квадрату інтегралу

Теорема 2.1. Нехай початковий стан системи (1) задовольняє умові . Тоді при виконуватиметься нерівність

Іншим способом отримання оцінки є так званий метод “зшивання” функцій Ляпунова підсистем. В цьому випадку в моменти перемикань поверхні рівня сусідніх функцій Ляпунова співпадають.

Теорема 2.2. Нехай початковий стан логіко-динамічної системи (1) задовольняє умові . Тоді при виконується нерівність

Крім того, оцінка збурення розв’язку системи (1) одержана з використанням автономної функції Ляпунова . При цьому накладається умова асимптотичної стійкості кожної з підсистем. Додатно визначені матриці є розв’язками матричних рівнянь Ляпунова

при довільних додатно визначених матрицях , .

Теорема 2.3. Нехай кожна з підсистем логіко-динамічної системи (1) асимптотично стійка. Тоді при виконується співвідношення

,

де ,

– довільні додатно визначені матриці, – відповідні розв’язки матричних рівнянь (5).

Нижче наведені оцінки збурень логіко-динамічної системи (1) без накладання умов стійкості підсистем.

Теорема 2.4. Нехай для початкових умов системи (1) має місце . Тоді при довільних підсистемах справедлива нерівність

. (7)

І навпаки, для того, щоб при виконувалась нерівність достатньо, початкові умови задовольняли

. (8)

У другому пункті другого розділу аналогічними методами одержано нижню оцінку розв’язків системи (1).

У третьому пункті другого розділу досліджено поведінку логіко-динамічної системи, яка описується системами лінійних різницевих рівнянь зі сталими коефіцієнтами

які діють на проміжках . Виконується умова неперервності

З використанням функції Ляпунова у вигляді квадрату інтегралу має місце наступний результат.

Теорема 2.7. Нехай початковий стан логіко-динамічної системи (9) задовольняє умові . Тоді при виконуватиметься

При використанні методу “зшивання” поверхонь рівня функції Ляпунова одержано такий результат.

Теорема 2.8. Нехай початковий стан системи (9) задовольняє умові . Тоді при виконується нерівність

де .

Оцінки збурень логіко-динамічної системи (9) одержані також при виконанні умов асимптотичної стійкості матриць , . Додатно визначені матриці є розв’язками відповідних різницевих матричних рівнянь Ляпунова (13)

при довільних додатно визначених матрицях

Крім того, одержано оцінки збурень логіко-динамічної системи методом функцій Ляпунова виду без накладання умов стійкості.

У четвертому пункті другого розділу одержані оцінки збурень розв’язків неавтономних систем вигляду (14)

Використовується чисельно-аналітичний метод, заснований на апроксимації на невеликих проміжках часу неавтономної системи автономними. Для дослідження використовувались: метод побудови функцій Ляпунова вигляду , що заснований на використанні інтегралів стаціонарних підсистем, метод застосування матричних рівнянь Ляпунова та метод функцій Ляпунова вигляду .

У третьому розділі одержано оцінки розв’язку логіко-динамічної системи, яка складається з підсистем, що описуються системами лінійних диференціальних рівнянь із запізненням та нейтрального типу, а також дискретних підсистем із запізненням.

Використовуються наступні векторні та матричні норми:

В першому пункті третього розділу одержано оцінки збіжності розв’язків логіко-динамічних систем, складених із систем лінійних рівнянь із запізненням

Кожна з підсистем описує динаміку на заданому скінченому проміжку часу. Передбачається, що початкове збурення знаходиться в –околі стану рівноваги. Оцінюється величина відхилення розв’язку системи (16) від стану рівноваги в кінцевий момент часу . Виконується умова неперервності

.

Для отримання оцінок збіжності розв’язків на окремих інтервалах використовуються функціонали Ляпунова-Красовського квадратичного вигляду.

Попередньо одержано оцінки розв’язків стійких та нестійких підсистем із запізненням

(17)

із використанням функціоналу вигляду

.

Справедливе наступне твердження.

Теорема 3.1. Нехай існують додатно визначені матриці і , при яких матриця також додатно визначена. Тоді система (17) асимптотично стійка і для її розв’язків справедливі такі верхні експоненціальні оцінки збіжності

Величина задовольняє умові .

Розглянуто випадок, коли не знайдені матриці і , при яких матриця є додатно визначена.

Позначимо

. (19)

За рахунок вибору параметра матриця може бути додатно визначеною.

Лема 3.1. Нехай матриці , додатно визначені і виконується нерівність

(20)

Тоді матриця також буде додатно визначеною.

З використанням доведеної леми, отримано наступне твердження.

Теорема 3.2. Нехай не існують (або не знайдені) додатно визначені матриці ,, при яких матриця також додатно визначена. Якщо величина вибрана згідно нерівності (20), то для розв’язків системи (17) справедливі верхні експоненціальні оцінки збіжності (18), (18а), причому

Окремо одержані результати для випадків скалярних нестійких та стійких підсистем з запізненням.

За врахуванням умови неперервності в моменти перемикань отримано мажорантні оцінки розв’язків системи (16). Має місце наступний результат.

Якщо існують додатно визначені матриці , , , такі, що матриці

Величини , задовольняють умові .

Якщо ж таких матриць , , не існує, то, поклавши

,

позначимо

а нерівність

виконується при

.

Теорема 3.5. Нехай початковий стан системи (16) задовольняє умові . Тоді при виконується нерівність

. (21)

В другому пункті третього розділу одержано оцінки збурень дискретної логіко-динамічної системи зі сталими коефіцієнтами із запізненням

,

кожна з підсистем якої діє на проміжках .

Попередньо розглянута система із запізненням вигляду (23)

Спочатку окремо одержані мажорантні оцінки збіжності розв’язків стійкої та нестійкої підсистем системи (23). Оцінки стійких дискретних підсистем із запізненням отримано з використанням функціоналу вигляду

,

а оцінки збіжності нестійких підсистем одержано за допомогою неавтономного функціоналу

Введемо позначення:

Розглянута логіко-динамічна система в цілому, для якої має місце наступний результат.

Теорема 3.9. Нехай система описується рівняннями (22). Тоді при виконуватиметься нерівність

(25)

У третьому пункті третього розділу наведена оцінка розв’язків системи лінійних диференціально-різницевих рівнянь зі сталими коефіцієнтами нейтрального типу

(26)

Для отримання оцінки розв’язків використовується функціонал Ляпунова-Красовського квадратичного вигляду

(27)

з додатно визначеними матрицями , і сталими , .

Введемо наступні позначення:

,

Теорема 3.14. Нехай існують додатно визначені матриці , , при яких матриця також додатно визначена. Тоді для розв’язків системи нейтрального типу (26) справедлива наступна верхня оцінка збіжності

, ,

,

де сталі , задовольняють умові .

У четвертому розділі розроблена і досліджена модель прискорення вільної маси точкових розмірів системами зарядів силового поля, сили якого обернено пропорційні квадрату відстані між зарядом вільної маси та нерухомими джерелами силового поля, розміщеними в напрямку прискорення маси. Проблема динамічної поведінки вільних об’єктів, особливо стійкості його траєкторії, виникає в ряді задач, зокрема для систем прискорення заряджених частинок, а також прискорення або гальмування магніто-левітуючого транспорту. Метою дослідження є побудова математичної моделі динаміки тіла з трьома степенями свободи під дією безконтактних сил та дослідження стійкості траєкторії на основі методу функцій Ляпунова.

Досліджувана система складається з окремих підсистем, які описані системами диференціальних рівнянь з нелінійною правою частиною. Дані підсистеми моделюють рух заряду на окремих часових проміжках до досягнення моменту перемикання. Прискорююча система складається із послідовно розміщених притягуючих пристроїв (пар зарядів). Для рухомої частинки сили, які діють в напрямках, що перпендикулярні бажаній лінійній траєкторії можуть розвинути нестійкість, що призведе до суттєвої зміни динамічної поведінки. Задача полягає у знаходженні таких умов, при яких дана система при послідовній нейтралізації найближчої притягуючої пари зарядів по мірі наближення рухомого заряду буде являтися прискорюючою системою та проведенні оцінки розв’язку такої системи.

На основі рівнянь Лагранжа у припущені консервативності динамічної системи для системи рівновіддалених нерухомих зарядів одержана математична модель динаміки руху прискореної (гальмуючої) частинки, що має вигляд системи диференціальних рівнянь:

де - рухомий заряд, , - притягуючі заряди, - маса зарядів, - відстань між притягуючими парами, - відстань нерухомого заряду до траєкторії прискорення.

В постановці задачі про стійкість відносно частини змінних досліджується стійкість відносно малих відхилень від прямолінійної траєкторії прискорення координат та їх швидкостей, а збурення координати (напрям прискорення) та її швидкості вважаються довільними за величиною. Спочатку доведено, що прямолінійна траєкторія задовольняє рівнянням руху. Після цього одержується розв’язок рівняння та інтеграл повної енергії збуреного руху, для якого знаходяться умови додатності. Встановлено, що траєкторія прискорення має обмеження на відстань прискорюваної маси до нерухомих зарядів. Зокрема, для процесу прискорення однією парою нерухомих зарядів, стійкість траєкторії обмежена зверху відстанню, що не повинна бути меншою, ніж . Це означає, що для стійкості траєкторії прискорююча система повинна бути нейтралізована на певній відстані від нерухомих зарядів, яка залежить від кількості нерухомих зарядів.

Використовуючи знайдені моменти часу перемикань, виконано аналітичну оцінку розв’язку системи прискорення в кінцевий момент функціонування методом функцій Ляпунова вигляду . Чисельне моделювання динаміки системи проводилося в середовищі MatLab. Знайдені при цьому оцінки розв’язку узгоджуються з отриманими теоретично.

ВИСНОВКИ

В дисертаційній роботі з використанням другого методу Ляпунова отримано оцінки стійкості лінійних логіко-динамічних систем та лінійних неавтономних систем, а також логіко-динамічних систем, складених із систем лінійних рівнянь з запізненням, скалярних стійких та нестійких підсистем з запізненням, дискретних логіко-динамічних систем з запізненням та скалярного рівняння нейтрального типу. Розроблена і досліджена модель прискорення та гальмування вільної частинки точкових розмірів системами зарядів силового поля, сили якого обернено пропорційні квадрату відстані між зарядом вільної маси та нерухомими джерелами силового поля, розміщеними в напрямку прискорення (гальмування) маси. Основними результатами дисертації є:

Отримано верхні та нижні оцінки стійкості лінійних логіко-динамічних систем, що описуються лінійними диференціальними рівняннями зі сталими коефіцієнтами з використанням методу функцій Ляпунова, побудованих на інтегралах підсистем, а також методу “зшивання” функцій Ляпунова, що дало можливість знайти найбільш точні оцінки розв’язків. Застосування автономної функції Ляпунова дозволило знайти оцінки розв’язків логіко-динамічних систем з асимптотично стійкими підсистемами. Одержано оцінки стійкості лінійних логіко-динамічних систем, які описуються різницевими рівняннями.

Проведена оцінка розв’язків лінійних неавтономних систем. Запропоновано чисельно-аналітичний метод, заснований на апроксимації на невеликих проміжках часу нестаціонарних систем стаціонарними.

Одержано оцінки збіжності розв’язків логіко-динамічних систем, складених із систем лінійних рівнянь із запізненням. Розглянуто випадки стійких та нестійких підсистем. Окремо одержано оцінки скалярних стійких та нестійких підсистем з запізненням.

Отримано оцінки збурень логіко-динамічних систем із запізненням, що описуються дискретними підсистемами, а також дискретними рівняннями.

Одержано оцінки розв’язків стійких систем та скалярного рівняння нейтрального типу.

Побудовано математичну модель динаміки руху тіла з трьома степенями свободи під дією кулонівських сил, досліджено стійкість траєкторії вільного тіла та здійснено оцінку розв’язку цієї системи на основі методу функцій Ляпунова. Знайдені умови, при яких дана система при послідовній нейтралізації найближчої притягуючої пари зарядів по мірі наближення рухомого заряду є прискорюючою системою. Досліджено особливості руху вільного тіла в середовищі MatLab R12.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ АВТОРА ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЙНОЇ РОБОТИ

Хусаінов Д.Я., Кузьмич О.І. Оцінки стійкості логіко-динамічних систем з часовим перемиканням // Вісник Київського університету. Серія: фізико-математичні науки. - 2005. – №1. - С. 230-237.

Кузьмич О.І. Оцінки стійкості динаміки гібридних систем з кінечним числом перемикань // Вісник Київського національного університету. Серія: фізико-математичні науки. - 2005. - №2. - С.260-267.

Кузьмич О.І., Хусаінов Д.Я. Оцінка динаміки гібридних систем, що описуються дискретними рівняннями // Вісник Київського національного університету. Кібернетика. - 2005. №6. - С.45-48.

Кузьмич О.І. Оцінки збурень розв’язків неавтономних систем // Вісник Київського національного університету імені Тараса Шевченка. Кібернетика. - 2006. №7. - С.37-42.

Хусаинов Д.Я., Диблик Й., Кузьмич Е.И. Оценки сходимости решений линейного уравнения нейтрального типа // Динамические системы. - 2006. - в.21., – С.43-53.

Kuzmich O. The decisions stability estimates of linear hybrid systems // Modern problems and new trends in probability theory. International conference. Chernivtsi, Ukraine, June 19-26, 2005. – P.132.

Кузьмич Е.И. Исследование одной гибридной системы специального вида // Диференціальні рівняння та їх застосування. Київ, 6-9 червня, 2005 р. - С. 51.

Кузьмич Е.И., Хусаинов Д.Я. Оценки возмущений систем с запаздыванием с переключениями // Диференціальні рівняння та їх застосування. Чернівці, 11-14 жовтня, 2006 р. - С. 76.

Кузьмич Е.И. Вычисление терминальных возмущений гибридных систем с временным переключением // Интегральные уравнения и их применение. Одесса, 29.06-04.07.2005. – C.78.

Кузьмич Е.И. Оценки решений гибридных систем, состоящих из линейных подсистем с временным переключением // Dynamical system modeling and stability investigation (DSMSI). Kiev, May 23-25, 2005. - C.74.

Кузьмич Е.И. Оценки устойчивости решений дискретних гибридних систем // Stability, Control and Rigit Bodies Dynamics. Donetsk (Ukraine), September 1-6, 2005. - P. 28.

Kuzmych O.I. Estimations of solutions of Hybrid differential systems // Sbornik “4. Matematicky workshop”. Brno, October, 2005. - P. 73.

Kuzmych O., Langerak R. Estimations of solutions convergence of hybrid systems with delay // International Conference on Differential and Difference Equations and Applications 2006 (CDDEA 2006). Rajeckй Teplice, the Slovak Republic, June 26-30, 2006. – P. 30.

Кузьмич Е.И. Построение решений линейной дискретно-непрерывной системы // VIII Крымская международная математическая школа “Метод функций Ляпунова и его приложения” (МФЛ-2006). Крым, Алушта, 10-17 сентября 2006 г. – C.95.

Kuzmych O.I. Construction of solutions of linear hybrid systems // Sbornik “5. Matematicky workshop”. Brno, October, 2006. - P.67.

АНОТАЦІЯ

Кузьмич О.І. Стійкість логіко-динамічних систем з часовим перемиканням. – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.05.02 – математичне моделювання та обчислювальні методи. – Київський національний університет імені Тараса Шевченка, Київ, 2007.

Дисертаційна робота присвячена важливим проблемам прикладної математики, а саме – розробці методів дослідження динаміки процесів, що моделюються сукупністю диференціальних та різницевих рівнянь, які поєднані логічними законами перемикання. Основна увага зосереджена на дослідження ключової якісної властивості – стійкості таких систем, яка важлива для проектування систем керування.

В роботі досліджено поведінку розв’язку та отримано оцінки стійкості логіко-динамічної системи з часовим перемиканням, яка складається з підсистем, що описуються системами лінійних диференціальних рівнянь зі сталими коефіцієнтами а також дискретних рівнянь.

Одержано оцінки розв'язку логіко-динамічної системи, яка складається з підсистем, що описуються системами лінійних диференціальних та дискретних рівнянь з запізненням. Отримано оцінки розв'язку систем рівнянь нейтрального типу.

Розроблено модель прискорювальної системи руху тіла з трьома степенями свободи під дією безконтактних сил та здійснено оцінку її розв'язку аналітичним методом та за допомогою чисельного експерименту. Проблема динамічної поведінки вільних об’єктів, особливо стійкості його траєкторії, виникає в ряді задач, зокрема для систем прискорення заряджених частинок, а також прискорення або гальмування магніто-левітуючого транспорту.

Результати проведених чисельних експериментів при моделюванні динаміки системи підтверджують теоретичні результати дисертації, одержані для лінійних систем.

Ключові слова: логіко-динамічна система, стійкість, функції Ляпунова, другий метод Ляпунова, метод функціоналів Ляпунова-Красовського, часове перемикання.

АННОТАЦИЯ

Кузьмич Е.И. Устойчивость логико-динамических систем с временным переключением. – Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.05.02 – математическое моделирование и численные методы. – Киевский национальный университет имени Тараса Шевченко, Киев, 2007.

Диссертационная работа посвящена важным проблемам прикладной математики, а именно – разработке методов исследования динамики процессов, которые моделируются совокупностью дифференциальных и разностных уравнений, совмещенных логическими законами переключения. Основное внимание сосредоточено на исследование ключевого качественного свойства – устойчивости таких систем, которая важна для проектирования систем управления.

В работе исследовано поведение решения и получены оценки устойчивости логико-динамической системы с временным переключением, которая состоит из подсистем, описывающихся системами линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами а также дискретных уравнений. При этом использовался метод функций Ляпунова, построенных на интегралах подсистем и метод “сшивания” функций Ляпунова, что дает возможность найти наиболее точные оценки решений. Использование автономной функции Ляпунова дало возможность найти оценки решений гибридных систем с асимптотически устойчивыми подсистемами. Получены оценки устойчивости линейных гибридных систем, которые описываются разностными уравнениями.

Проведена оценка решений линейных неавтономных систем. Для этого предложен численно-аналитический метод, основанный на аппроксимации на небольших промежутках времени нестационарных систем стационарными.

Получены оценки сходимости решений логико-динамических систем, составленных из систем линейных уравнений с запаздыванием. Для исследование использовался метод функционалов Ляпунова-Красовского. Получены оценки решений устойчивых систем и скалярного уравнения нейтрального типа.

Практические задачи современности связаны с разработкой новых технологий, в частности с бесконтактным экологически чистым транспортом на магнитном подвесе. Актуальной проблемой есть исследование устойчивости сверхпроводимых магнитных систем. Магнитная подвеска вагона позволит преодолеть существующий для колесного транспорта барьер по скорости, значительно уменьшит шум и повысит экономность наземного транспорта. Преимущества систем магнитной левитации по сравнению с традиционными техническими решениями дают основание рассчитывать на важные достижения. В диссертации разработана модель ускорительной системы свободного тела на примере модели движения тела с тремя степенями свободы под действием бесконтактных сил и осуществлена оценка ее решения аналитическим методом и с помощью численного эксперимента. Для данной динамической системы найдены такие условия, при которых эта система при последовательной нейтрализации ближайшей притягивающей пары зарядов по мере приближения движущегося заряда является ускоряющей системой. Получены особенности движения свободного тела в системе в среде MatLab R14. Выполнены оценки устойчивости решения ускоряющей системы.

Результаты проведенных численных экспериментов при моделировании динамики системы подтверждают теоретические результаты диссертации, полученные для линейных систем.

Ключевые слова: логико-динамическая система, устойчивость, функции Ляпунова, второй метод Ляпунова, метод функционалов Ляпунова-Красовского, временное переключение.

ABSTRACT

O.I. Kuzmych. The stability of logic-dynamical system with time switching. – Manuscript.

Thesis for the Degree of Candidate of Sciences in Physics and Mathematics in speciality 01.05.02 – mathematical modeling and numerical methods. – Taras Shevchenko Kyiv National University, 2007.

This Thesis is dedicated to the important problems of the applied mathematics; specifically, to the development of methods for researching the dynamics of processes designed for the aggregate of differential and difference equations with logical laws of switching. The key property of the research focuses on the stability of systems which are important for planning the control systems.

In the Thesis estimates of solutions for the logic-dynamical system with time switching are obtained. Such logic dynamical systems with time consist of subsystems. These subsystems are described by simpler systems of linear differential equations with constant coefficients and discrete equations.

The estimates of the solutions for the logic-dynamical system are obtained. These systems consist of subsystems which are described by the systems of linear differential equations with delay, and discrete equations with delay. The estimates of solutions for the systems of equations of neutral type are also obtained.

The model of the transport system of magnetic levitation is developed based on the example of the model of body motion with three degrees of freedom. The estimation of its solution is obtained by the analytical method, as well as by using the numeral experiment. The results, obtained during numerical experiments of the developed system, confirm the theoretical result of the linear systems.

Key words: logic-dynamical system, stability, Lyapunov functions, the second method of Lyapunov, the method of Lyapunov-Krasovsky functional, time switching.