НАЦІОНАЛЬНИЙ ТЕХНІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ УКРАЇНИ
НАЦІОНАЛЬНИЙ ТЕХНІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ УКРАЇНИ
“КИЇВСЬКИЙ ПОЛІТЕХНІЧНИЙ ІНСТИТУТ”
КАЛІНОВСЬКИЙ ЯКІВ ОЛЕКСАНДРОВИЧ
УДК 004.942+681.3
РОЗВИТОК МЕТОДІВ ТЕОРІЇ ГІПЕРКОМПЛЕКСНИХ ЧИСЛОВИХ СИСТЕМ ДЛЯ МАТЕМАТИЧНОГО МОДЕЛЮВАННЯ І КОМП’ЮТЕРНИХ ОБЧИСЛЕНЬ
01.05.02 - математичне моделювання та обчислювальні методи
Автореферат
дисертації на здобуття наукового ступеня
доктора технічних наук
Київ – 2007
Дисертацією є рукопис.
Робота виконана в Інституті проблем реєстрації інформації Національної академії наук України
Науковий консультант доктор технічних наук, професор, Заслужений діяч науки і техніки України, лауреат Державної премії СРСР Синьков Михайло Вікторович, Інститут проблем реєстрації інформації НАН України, завідувач відділу спеціалізованих засобів моделювання.
Офіційні опоненти: доктор технічних наук, професор Азаров Олексій Дмитрович, Вінницький Національний технічний університет МОН України, Інститут інформаційних технологій, директор.
доктор технічних наук, старший науковий співробітник Гамаюн Володимир Петрович, Національний авіаційний університет МОН України, Інститут комп‘ютерних технологій, професор кафедри обчислювальної техніки.
доктор технічних наук, старший науковий співробітник Жабін Валерій Іванович, Національний технічний університет України “КПІ” МОН України, факультет інформатики та обчислювальної техніки, професор кафедри обчислювальної техніки.
Захист дисертації відбудеться 17 ” вересня 2007р. о 14:30 годині на засіданні спеціалізованої ради Д 26.002.02 у НТУУ “КПІ” (м. Київ, проспект Перемоги 37, корп.18, ауд. 306)
З дисертацією можна ознайомитись в бібліотеці Національного технічного університету України “КПІ” .
Відзиви на автореферат у двох примірниках, завірені печаткою установи, просимо надсилати на адресу: 03056, м. Київ, проспект Перемоги 37, вченому секретарю Національного технічного університету України “Київський політехнічний інститут”
Автореферат розісланий “ 15 ” серпня 2007р.
Вчений секретар
спеціалізованої вченої ради Д 26.002.02
кандидат технічних наук, доцент Орлова М.М.
ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ
Актуальність теми. Розширення кола задач, що вирішуються в сучасній науці й техніці, висуває нові вимоги до методів представлення й обробки даних. При цьому необхідно відмітити, що для представлення та обробки даних використовуються ті числові системи, які дозволяють переходити до більш нових сучасних числових представлень і на визначених етапах “переводять задачі” в більш високі вимірності.
Відомо, що формування числових систем цілих і раціональних чисел потребувало декількох століть, і до середини ХVI ст. сформувалась нова числова система другої вимірності, яка за класичними поняттями математики є поле, як і дійсні числа. Ця числова система другої вимірності називається системою комплексних чисел. Незабаром після відкриття вона почала находити ефективні застосування, як у самій математиці, так і при вирішенні ряду практичних задач.
Після введення в математику комплексних чисел, розпочався активний пошук числових систем вищих вимірностей – насамперед третьої та четвертої. Пошук числових систем, подібних до полів дійсних і комплексних чисел, не привів до успіху тому, що деякі системи не були комутативними, чи асоціативними, мали дільники нуля.
Істотну допомогу в цьому пошуку подає теорема Фробеніуса, яка зв’язує з відсутністю дільників нуля тільки чотири числових системи, з котрих перші дві – це поля дійсних та комплексних чисел, третя – тіло кватерніонів, а саме числова система четвертої вимірності, яка має всі властивості полів дійсних та комплексних чисел, при цьому вона характеризується відсутністю комутативності. Четверта числова система в цьому переліку – це восьмивимірна система октав, яка є некомутативною й при цьому с альтернативною, або слабо асоціативною.
Практичні застосування гіперкомплексних числових систем (ГЧС) відбулося в кінці ХІХ в середині ХХ століть, коли механіки й математики розвинули теорію кватерніонів в область вісьмивимірних ГЧС типу бікватеріонів. У цей же період фізики-теоретики стали активно використовувати октоніони, або октави. Усе це привело до того, що розпочався активний пошук задач, які б використовували ГЧС різних вимірностей.
Уже навіть наведені вище приклади свідчать про велику різноманітність існуючих ГЧС, що, у свою чергу, висуває на перший план задачу перечислення цих ГЧС і правил переходу від однієї ГЧС до інших. Досвід роботи із ГЧС як у теоретичному, так і в практичному планах, свідчить про те, що для ефективного їх використання повинні застосовуватися такі ГЧС, які можна арифметизувати, до яких ми відносимо ті з великої множини, які містять одиничний елемент, і для яких виконуються всі необхідні операції для проведення моделюючих рішень. На сьогоднішній день можна констатувати існування таких ГЧС, які в певному сенсі є класичними. До них відносяться: системи комплексних, дуальних, подвійних, триплексних, квадриплексних чисел, кватерніонів тощо.
Аналіз літературних джерел свідчить про широке використання ГЧС у класичній механіці, механіці твердого тіла, електродинаміці, радіоелектроніці, комп’ютерній анімації й багатьох інших галузях науки та техніки. Географія робіт теоретичного й практичного напрямків по дослідженню гіперкомплексних форм представлення даних включає США, Велику Британію, Німеччину, Росію, Францію, Японію, Румунію та багато інших країн. Серед дослідників, які розвивали методи ГЧС на ранніх етапах, необхідно виділити таких видатних учених як: Л. Ейлер, В.Р. Гамільтон, І.М. Виноградов, Г. Грассманн, Е. Штуді, А. Келі, К. Вейерштрасс, Б. Пірс, В. Кліффорд, Ф. Молін, Г. Фробеніус, А. Гурвиць, Р.С. Болл, А.П. Котельников, Е. Нетер, Д. Гревс. У подальшому значний внесок у розвиток методів ГЧС у теоретичному плані зробили: О.Г. Курош, А.А. Бухштаб, Б.А. Розенфельд, В.В. Люш, а в науково-практичному плані дослідження числових систем: В.Н. Бранець, І.П. Шмиглевський, І.Я. Акушський, М.А. Лаврентьев, В.М. Чернов, Ф.М. Диментберг, І.Л. Кантор, О.С. Солодовников, Ю.В. Линник, К.Г. Самофалов, О.В. Палагін, В. Ф Євдокимов, М.В. Синьков, Є.І. Брюхович, В.П. Тарасенко, Г.М. Луцький, З.Л. Рабинович, А.І. Закидальский, А.П. Панов, Ю.А. Курочкін, Є.А. Толкачов, Н.М. Губарені, І.Л. Бородкіна та ін. При цьому сьогодні вже можна перелічити наукові колективи та школи спеціалістів, наприклад, у Києві, Москві, Новосибірську, Самарі, Мінську.
На сучасному етапі розвитку математичного моделювання та комп‘ютерних обчислень ще більш актуальним стає створення методів вирішення багатовимірних задач. Існуючі системи представлення інформації дозволяють провадити математичне моделювання наукових та практичних задач багатьох класів. Але представлення інформації за допомогою ГЧС має декілька переваг, які дозволяють підвищити ефективність моделювання.
Переваги гіперкомплексних числових систем визначаються такими властивостями останніх, яких немає у традиційних систем представлення інформації. Насамперед, при застосуванні ГЧС враховуються особливості структури самого об‘єкту моделювання. Наприклад, при моделюванні задач, пов‘язаних з рухом у просторі, застосування кватерніонів значно поліпшує обчислювальну процедуру та результати, що отримуються. При застосуванні для моделювання ГЧС в багатьох випадках зменшується вимірність систем рівнянь, які описують об‘єкти. А це відкриває можливість для використання аналітичних обчислень при моделюванні, що також підвищує ефективність останнього.
Усе вищезгадане свідчить про високу актуальність теоретичних досліджень та практичних розробок, пов’язаних із ГЧС.
Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дослідження, що представлені в роботі, виконувались у відділі спеціалізованих засобів моделювання Інституту проблем реєстрації інформації Національної Академії наук України у відповідності з наступними планами та темами:–
цільовою програмою НАН України “Наукові основи створення інтелектуальних інформаційних систем” – тема “Крижина” – “Розробка теоретичних та практичних проблем представлення даних за допомогою ГЧС, створення на їхній основі високоефективних моделей” (№ ДР 0102U003589, 2002–2006 рр.);–
науково-дослідною тематикою НАН України: тема “Гіперон” – “Розробка методів ефективного моделювання систем рівнянь великої вимірності для вирішення фізико-технічних задач енергетики” (№ ДР 01860048565, 1986–1989 рр.); тема “Брус” – “Розвиток та дослідження методів ГЧС стосовно моделювання систем рівнянь для широкого класу задач” (№ ДР 0193U002037, 1990–1993 рр.); тема “Число” – “Дослідження арифметичних, алгебраїчних та аналітичних властивостей ГЧС, орієнтованих на підвищення ефективності моделювання систем рівнянь для широкого класу задач” (№ ДР 0196U0018338, 1994–1997 рр.); тема “Рівняння” – “Розвиток та дослідження алгоритмів вирішення диференціальних рівнянь та їх систем від гіперкомплексного змінного” (№ ДР 0298U001097, 1998–2000 рр.); тема “Куб” – “Розвиток методів підвищення продуктивності інформаційних систем використанням спеціалізованих класів диференціальних рівнянь” (№ ДР 0204U003103, 2001–2003 рр.); тема “Куб-1” – “Розвиток теоретичних положень багатовимірних систем даних та їх використання для вирішення практичних задач” (№ ДР 0104U003174, 2004–2006 рр.); тема “Куб-2” – “Розвиток методів представлення та обробки багатовимірних даних для вирішення задач захисту інформації, цифрової фільтрації та реконструкції томографічних зображень” (2007–2009 рр.);–
програмою фундаментальних досліджень Національного космічного агентства України: тема “Фундамент-12” – “Дослідження властивостей ГЧС, орієнтованих на ефективне моделювання руху літальних та космічних апаратів” (1994 р.); тема “Фундамент-3-7” – “Дослідження властивостей ГЧС, орієнтованих на ефективне моделювання руху літальних та космічних апаратів” (1995 р.);–
грантами Українського науково-технологічного центру: угода № 1636 – “Розробка мережевого комплексу автоматизованого проектування складних багатофункціональних систем” (2001-2004 рр.); угода № 3278 – “Розробка методології та інструментарію моделювання в середовищі Internet з орієнтацією на мікроелектромеханічні системи (МЕМС)”, 2006 р.–
проектом Державного фонду наукових досліджень України “ДФФД–БРФФД–2005” УКРАЇНА–БІЛОРУСІЯ № 10.01/002 “Дослідження та використання ГЧС у задачах динаміки, кінематики та кодування інформації” (№ ДР 0105U008393, 2005–2006 рр.).
Мета і задачі дослідження. Метою дослідження є підвищення ефективності вирішення широкого кола практичних багатовимірних задач шляхом розробки теоретичних основ, методів та засобів представлення інформації за допомогою ГЧС та використання їх для математичного моделювання та комп‘ютерних обчислень.
Задачі дослідження:–
дослідити властивості основних базових алгебраїчних операцій у ГЧС, їхнє представлення за допомогою структурних констант та матриць;–
дослідити множинність ГЧС, процедури подвоєння, задачу перечислення класів ізоморфізмів, їхнє використання для підвищення ефективності комп’ю-терних обчислень;–
дослідити основні структурно-алгебраїчні операції в ГЧС із орієнтацією на застосування в математичному моделюванні;–
дослідити та розробити теоретичні основи побудови представлень нелінійних функцій від гіперкомплексного змінного;–
побудувати представлення нелінійних функцій від гіперкомплексного змінного в різних класах ізоморфізмів ГЧС;–
дослідити та розробити методи вирішення лінійних диференціальних рівнянь у гіперкомплексних числових системах; –
дослідити побудову деяких математичних моделей із використанням ГЧС.
Об’єктом дослідження є ГЧС, представлення інформації в гіперкомплексній формі та обчислювальні методи її обробки при моделюванні.
Предметом дослідження є множинність ГЧС, методи виконання алгебраїчних операцій у них, включаючи лінійні й нелінійні перетворення, а також методи вирішення лінійних диференціальних рівнянь у ГЧС.
Методи досліджень засновані на теорії розширень поля комплексних чисел, загальній і лінійній алгебрі, теорії функцій комплексного змінного та диференціальних рівнянь і положень цифрової обробки інформації.
Наукова новизна одержаних результатів.
У рамках дисертаційного дослідження запропоновано концепцію і методологічні принципи представлення та обробки інформації у гіперкомплексному вигляді, які орієнтовані на використання в математичному моделюванні та комп‘ютерних обчисленнях, отримані такі результати, що істотно розширюють представлення про ГЧС і можливості їх використання для побудови математичних моделей в різних галузях науки та техніки:
- вперше в явній формі досліджена класифікація ГЧС, яка відрізняється від попередніх наявністю нерозглянутих раніш ГЧС, що дозволяє використовувати ці системи для підвищення ефективності розв’язання прикладних задач;
- вперше досліджені ізоморфні переходи за допомогою лінійних перетворень базису для класів ГЧС, важливих для побудови математичних моделей, що дозволяє значно скоротити обсяги комп’ютерних обчислень при обробці інформації у гіперкомплексному вигляді;
- вперше запропоновано методи побудови структурно-алгебраїчних характеристик ГЧС для класів, важливих для побудови математичних моделей: норм, спряжених елементів, дільників нуля, які дозволяють значно спрощувати гіперкомплексні вирази;
- створено метод побудови виразів представлень нелінійних функцій від гіперкомплексного змінного за допомогою відповідних асоційованих систем лінійних диференціальних рівнянь, який значно ефективніший за метод підсумовування степеневих рядів і дозволяє одержувати представлення нелінійностей в широкому класі ГЧС в аналітичному вигляді;
- вперше за допомогою методу асоційованої системи лінійних диференціальних рівнянь розроблені методи побудови аналітичних представлень таких нелінійних функцій від гіперкомплексного змінного, як експонента, тригонометричні та гіперболічні функції; як установлено експериментально, ці представлення дають можливість безпосередньо обчислювати значення нелінійних функцій від гіперкомплексного змінного значно ефективніше, ніж традиційний метод підсумовування степеневих рядів;
- вперше теоретично обґрунтовано та практично доведено можливість застосування аналітичних представлень нелінійних функцій від гіперкомплексного змінного до побудови розв’язків лінійних диференціальних рівнянь від гіперкомплексного змінного і з гіперкомплексними коефіцієнтами, експериментально установлено, що цей метод дає можливість за значно менший час одержувати в аналітичному вигляді розв‘язки важливих для математичного моделювання класів лінійних диференціальних рівнянь від гіперкомплексного змінного і з гіперкомплексними коефіцієнтами порівняно з існуючим методом перетворення лінійних диференціальних рівнянь від гіперкомплексного змінного в систему рівнянь від дійсного змінного;
- створені теоретичні підходи до розробки та аналізу структур рекурсивних цифрових фільтрів, які, на відміну від існуючих, будуються за допомогою представлення передавальної функції з гіперкомплексними коефіцієнтами, що підвищує швидкодію фільтрів та поліпшує їх параметричну чутливість.
Практичне значення одержаних результатів полягає в створенні передумов підвищення ефективності математичного моделювання при вирішенні конкретних практичних задач та комп’ютерних обчислень на базі використання гіперкомплексних числових систем.
Практичне значення мають:
- перечислення класів ізоморфізмів канонічних комутативних гіперкомплексних числових систем вимірностей від другої до четвертої, що дає можливість використання при математичному моделюванні нових важливих класів ГЧС;
- закономірності перетворення базисних елементів та гіперкомплексних чисел при ізоморфному переході в іншу систему, що дає можливість значно підвищити ефективність комп’ютерних обчислень в ГЧС;
- аналітичні представлення норм, спряжених чисел, одиничних елементів, дільників нуля та обернених чисел в комутативних гіперкомплексних числових системах другої, третьої та четвертої вимірностей, які використовуються при створенні математичних моделей, зокрема ефективних структур рекурсивних цифрових фільтрів;
- узгодження алгоритмів виконання складних операцій в системах, які мають дільники нуля, що забезпечує коректність комп‘ютерних обчислень при побудові математичних моделей з використанням гіперкомплексних числових систем;
- вирази представлень в різних комутативних гіперкомплексних числових системах експоненціальної функції від гіперкомплексної змінної, що значно підвищує ефективність розв’язування лінійних диференціальних рівнянь від гіперкомплексного змінного;
- представлення в різних комутативних гіперкомплексних числових системах тригонометричних та гіперболічних функцій (синуса, косинуса, гіперсинуса, гіперкосинуса), які доцільно використовувати при математичному моделюванні;
- методики ефективного моделювання практичних задач, що описуються лінійними однорідними та неоднорідними диференціальними рівняннями з постійними коефіцієнтами в різних комутативних гіперкомплексних числових системах другої, третьої та четвертої вимірностей;
- методики моделювання практичних задач, що описуються лінійними однорідними та неоднорідними диференціальними рівняннями із змінними коефіцієнтами в різних комутативних гіперкомплексних числових системах другої, третьої та четвертої вимірностей;
- методики синтезу за допомогою ГЧС широкого кола структур цифрових рекурсивних фільтрів для різних практичних застосувань.
Наукові та практичні результати дисертаційної роботи використовуються в Інституті прикладного системного аналізу НТУУ “КПІ”, Інституті спеціального зв‘язку та захисту інформації НТУУ “КПІ”, Інституті фізики НАН Білорусі. Акти та довідки про впровадження приведені в додатку до роботи.
Особистий внесок здобувача полягає в створенні теоретичної бази, яка дала можливість одержати наукові та практичні результати, їхньому дослідженні та експериментальній перевірці. Усі наукові результати дисертації здобувач одержав самостійно. У наукових працях, що опубліковані в співавторстві, йому належать: [4, 6–8, 14] – дослідження структур ГЧС і властивостей алгебраїчних операцій у них; [14, 22] – дослідження класів ізоморфізмів ГЧС; [3, 8, 11, 15, 17] – методи використання ізоморфізмів ГЧС для підвищення ефективності комп’ю-терних обчислень; [23, 25, 26, 28, 29] – обґрунтування визначення норми, спряженого числа та дільників нуля в ГЧС; [12, 13, 18] – принцип побудови представлень нелінійностей в ГЧС на основі асоційованих систем диференціальних рівнянь; [24, 30, 31, 39, 42–44] – представлення таких нелінійних функцій у ГЧС різних вимірностей та типів, як експонента, логарифм, тригонометричні та гіперболічні синус і косинус; [9] – встановлення зв’язку між системами лінійних диференціальних рівнянь і ГЧС; [1, 2, 5, 16, 20, 36] – доведення того, що гіперкомплексне представлення експоненти є загальним розв’язком лінійного диференціального рівняння від гіперкомплексного змінного; [35, 46] – методи вирішення лінійних неоднорідних диференціальних рівнянь від гіперкомплексного змінного з різними типами правої частини; [19, 21, 27, 32–34, 37, 40, 41, 45] – методи побудови математичних моделей з використанням ГЧС; [10, 38] – геометричні побудови в гіперкомплексних просторах.
Вважаю приємним обов’язком підкреслити, що науковий консультант цієї дисертації професор М.В. Синьков є засновником наукового напрямку по дослідженню ГЧС в Україні. На всіх етапах виконання дисертації професор М.В. Синьков завжди підтримував мою роботу й приймав активну участь у формуванні структури та конкретного змісту, за що я приношу йому глибоку подяку.
Апробація результатів дисертації. Основні положення дисертації доповідались на міжнародних, відомчих та вузівських науково-технічних конференціях, семінарах та симпозіумах: всесоюзна конференція “Моделювання-85” (Київ, 1985); республіканська науково-технічна конференція “Функціонально-орієнтовані системи” (Харків, 1986); 3-й всесоюзний симпозіум з обчислювальної томографії (Київ, 1986); всесоюзний науково-технічний семінар “Машинні методи крайових задач” (Рига, 1985); 1-а міжнародна конференція “Паралельні обчислення та їхнє застосування” (Польща, 1994); 8-а міжнародна наукова конференція “Теорія та техніка передачі, прийому та обробки інформації” (Харків, 2002); міжнародний семінар “Гіперкомплексні числа в геометрії та фізиці” (Москва, 2002); 7-а міжнародна практична конференція “Безпека інформації в інформаційно-телекомунікаційних системах” (Київ, 2004); 4-а науково-технічна конференція “Інформаційні технології та безпека” (Партеніт, 2004); всеукраїнська конференція “Комп’ютерне моделювання та інформаційні технології в економіці” (Харків, 2006); а також річних звітних науково-технічних конференціях ІПРІ НАН України та науково-технічних семінарах Відділу спеціалізованих засобів моделювання ІПРІ.
Публікації. Основні результати досліджень опубліковані у 46-ти публікаціях, з них 27 у провідних фахових виданнях.
Обсяг та структура роботи. Дисертація складається з вступу, чотирьох розділів, висновків, списку використаних джерел, що містить 255 найменувань, у тому числі 143 іноземними мовами і 11 додатків. Робота включає 308 сторінок основного тексту, 47 рисунків в тексті та на 14 сторінках, 3 таблиці, літературні джерела на 26 сторінках та 69 сторінок додатків. Повний обсяг роботи 417 сторінок.
ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ
У вступі обґрунтовано актуальність проблеми розвитку теорії та методів ГЧС для математичного моделювання й комп’ютерних обчислень на сучасному етапі розвитку науки й техніки. Сформульовано мету та задачі досліджень, приведені основні наукові результати та показано практичне значення одержаних результатів.
У першому розділі розглянуто основні етапи формування та розвитку сучасного уявлення про числову інформацію, досліджено особливості та методи виконання математичних операцій у таких системах числення як система залишкових класів і фібоначчиєва система числення.
Розглянуті системи представлення інформації дозволяють провадити математичне моделювання наукових та практичних задач багатьох класів. Але представлення інформації за допомогою гіперкомплексних числових систем має декілька переваг, які дозволяють підвищити ефективність моделювання. При застосуванні гіперкомплексних числових систем враховуються особливості структури самого об‘єкту моделювання. В багатьох випадках зменшується вимірність систем рівнянь, які описують об‘єкти, що спрощує дослідження моделей та зменшує обсяги комп‘ютерних обчислень.
Сучасний стан розвитку теорії гіперкомплексних числових систем харак-теризується дослідженнями за багатьма напрямками. Найбільш важливими з них:
1) розвиток загальної теорії гіперкомплексних числових систем і дослідження їх структурних властивостей;
2) дослідження класів ізоморфізмів гіперкомплексних числових систем та методів їх перечислення;
3) дослідження функцій від гіперкомплексного змінного в різних системах та побудова їх представлень у вигляді гіперкомплексних функцій;
4) дослідження методів розв’язування та властивостей розв’язків різних типів диференціальних рівнянь від гіперкомплексного змінного та з гіперкомплексними коефіцієнтами;
5) розширення класів задач, при моделюванні яких застосування методів теорії ГЧС приносить значний ефект;
6) розробка алгоритмічного та програмного забезпечення, призначеного для проведення арифметичних, алгебраїчних та аналітичних обчислень у різних ГЧС. Програмне забезпечення розроблюється як у мовах програмування низького рівня (, Fortran, VisualBasik), так і за допомогою систем символьних обчислень типу MathCAD, Maple, Mathematica тощо.
Методи ГЧС знайшли дуже важливі застосування в механіці, теоретичній фізиці та ряді інших важливих галузей знань. У даній роботі не будемо докладно торкатися цього питання, обмежившись посиланнями на кватерніонне формулювання класичної електродинаміки, та октоніонну модель фізики.
Найбільшу кількість застосувань у технічних науках знайшли кватерніони. Це обумовлено тим, що за їхньою допомогою дуже зручно та ефективно моделювати вже відомі задачі в нових ефективних формулюваннях.
Із численних застосувань кватерніонів відзначимо тільки деякі, найбільш важливі, які спираються на апарат кватерніонів:–
задачі навігації, орієнтації та управління рухом твердого тіла в тривимірному просторі, у тому числі й під водою;–
комп’ютерна графіка, де необхідно розрахувати вигляд на екрані тіла, що обертається, у багатьох проміжних положеннях для створення ефектів анімації;–
дослідження деформації пружних та еластичних конструкцій;–
фільтрація зображення на базі кватерніонного перетворення Фур’є;–
обробка кольорового зображення, при якій композиція трьох основних кольорів виражається векторною частиною кватерніону. При цьому значно спрощуються алгоритми фільтрації кольорового зображення;–
у криптографії кватерніонне представлення інформації приводить до підвищення стійкості шифрів.
Якщо за допомогою кватерніонів можна моделювати тільки обертання твердого тіла, то для моделювання обертання та переміщення використовуються дуальні числа, бікватерніони – подвоєння кватерніонів за допомогою дуальних чисел, а також подвійні кватерніони – подвоєння кватерніонів за допомогою системи подвійних чисел. На основі дуальних чисел виведено рівняння динаміки твердого тіла: вирази для дуальних моментів, кількості руху, кінетичної енергії, рівнянь Ньютона та Лагранжа. Ці вирази компактні й дуже зручні для використання в задачах із великою кількістю переносів систем координат. Дуальні числа, подвійні та дуальні кватерніони знайшли широке застосування в задачах моделювання та управління плоскими та просторовими механізмами, роботами та маніпуляторами з багатьма ступенями свободи, і навіть для моделювання скелета людини.
Великий ефект дає застосування ГЧС при побудові методів обробки багатовимірних сигналів. При цьому використовуються як комутативні, так і некомутативні системи. Особливо вони ефективні в алгоритмах перетворення Фур’є, де їхнє використання значно зменшує складність алгоритмів двовимірних перетворень порівняно до комплексних або кватерніонних прототипів.
Необхідність підвищення якісних показників цифрових фільтрів привела в останні роки до створення структур цифрових рекурсивних фільтрів із гіперкомплексними коефіцієнтами. Методи ГЧС успішно використовуються й у дослідженні стійкості режимів електроенергетичних систем, коли в розв’язках систем рівнянь, які моделюють електроенергетичну систему, існують комплексні розв’язки, а електричні величини – також комплексні величини. Але їхні уявності мають іншу природу порівняно з уявностями розв’язків системи рівнянь. Використання в даному випадку кватерніонів та квадриплексних чисел дозволило створити ефективні алгоритми пошуку усталених режимів електроенергетичних систем.
ГЧС успішно використовуються і в процесах обробки модульованого сигналу, де застосовується бікомплексна числова система.
Другий розділ присвячений розробці й вирішенню базових питань, орієнтованих на розвиток теорії ГЧС. У ньому вводяться основні визначення в області ГЧС. Гіперкомплексною числовою системою вимірності n називається множина чисел вигляду
із введеними за певними законами операціями додавання та множення.
Сукупність елементів – базис ГЧС. Для визначення операції множення й повного задання гіперкомплексної числової системи необхідно задати правила множення елементів базису. Основна вимога до цієї операції полягає в тому, що система чисел повинна бути замкнутою відносно цієї операції:
де коефіцієнти – структурні константи системи. Множення базисних елементів задається таблицею. Для комплексних чисел, наприклад, таблиця така: |
Для скорочення обчислень при математичному моделюванні доцільно розглядати запропоновані Штуді канонічні ГЧС, у яких для кожного добутку , або всі дорівнюють нулю, або одна з них ненульова та дорівнює .
У ГЧС вводяться дві основні операції: додавання та множення:
і нульовий та одиничний елементи.
З точки зору загальної алгебри ГЧС представляє собою кільце, а всяке кільце R ізоморфно вкладається в повне кільце матриць. На цій теоремі засноване матричне представлення гіперкомплексних чисел. У роботі виведено матричні представлення в багатьох ГЧС різних вимірностей. Наприклад, матричні представлення базисних елементів системи квадриплексних чисел відповідно такі:
У залежності від властивостей закону композиції множина ГЧС розпадається на ряд класів: (рис. 1):
Рис.1. Класифікація ГЧС.
комутативні ГЧС , ; некомутативні: ; асоціативні, якщо в них виконується тотожність: ; альтернативні ГЧС: , або тощо. Прикладами комутативних ГЧС є системи комплексних, дуальних, подвійних квадриплексних і біквадриплексних чисел, некомутативних – кватерніони, октави, числа Паулі.
Може бути побудована нескінченна безліч ГЧС, які відрізняються вимірністю та законами композиції базисних елементів. Властивості різних ГЧС можуть істотно відрізнятися одна від одної. Ознаки, за якими можна класифікувати ГЧС, такі: вимірність; приналежність до класу ізоморфізмів; властивості закону композиції; структурні властивості; канонічність; присутність у базисі одиничного елемента; наявність дільників нуля.
Для формування ГЧС із передбачуваними властивостями використовуються процедури Кейлі–Діксона та Грассмана–Кліффорда, які дозволяють генерувати ГЧС певних класів. Загальним же методом формування ГЧС є метод перечислення, який передбачає розбиття всієї множини канонічних ГЧС із лінійно незалежним базисом на класи ізоморфних відносно лінійного перетворення базису систем із зазначенням для кожного із класів хоча б однієї системи – представника класу ізоморфізму. В роботі розглядаються найбільш важливі ізоморфізми між ГЧС другої, третьої та четвертої вимірностей і встановлюються формули лінійних перетворень, які реалізують ці ізоморфізми.
E1 | E2
E1 | E1 | E2
E2 | E2 | pE1 + q E2
У системах другої вимірності ізоморфізм між системами з таблицями множення: |
e1 | e2
e1 | e1 | e2
e2 | e2 | e1,0
встановлюється за формулами:
при: ;
при: .
Ізоморфізм між системами подвійних чисел з таблицями множення
встановлюється за формулами:
Ізоморфізм між системою триплексних чисел Люша Т і прямою сумою дійсних і комплексних чисел з таблицями множення
має такий вигляд:
Ізоморфізм між системами квадриплексних і бікомплексних чисел з таблицями множення |
e1 | e2 | e3 | e4
e1 | e1 | e2 | e3 | e4
e2 | e2 | e1 | e4 | e3
e3 | e3 | e4 | e1 | e2
e4 | e4 | e3– | e2 | e1
E1 | E2 | E3 | E4 | E1 | E1 | E2 | 0 | 0 | E2 | E1– | E1 | 0 | 0 | E3 | 0 | 0 | E3 | E4 | E4 | 0 | 0 | E3– | E3 |
встановлюються за формулами:
Основні структурно-алгебраїчні операції в ГЧС – це визначення норм чисел, спряжених елементів, дільників нуля.
У роботі запропоновано ввести визначення норми гіперкомплексного числа аналогічно до норми комплексного числа, як детермінант рівняння . Ця норма мультипликативна, але вона может бути й від’ємною. (Як і класична норма подвійного числа). Таким чином, норма гіперкомплексного числа визначається рівнянням:
У класичних системах другої вимірності й у системі кватерніонів спряжені числа визначаються просто зміною знаків перед компонентами числа. При цьому виконуються такі характеристичні властивості:
Якщо поставити такі ж вимоги до спряженого числа в системах квазікомплексних, квазіподвійних і квазідуальних чисел, то воно буде визначатися дійсними розв’язками системи:
тобто:.
У ГЧС, одержаних методом подвоєння, можливо одержати спряжені числа, якщо чергувати відповідним чином знаки перед компонентами. Так, для квадриплексних чисел:
У загальному випадку визначальна система для спряженого числа може не мати дійсних розв’язків. І тоді можна визначити добуток усіх спряжених, як розв’язок рівняння:
або:,
де Е – одиничний елемент розглянутої ГЧС.
Нехай:
Підставляючи це в попереднє рівняння та прирівнюючи вирази при однакових базисних елементах, одержимо систему з -го алгебраїчного рівняння від невідомого, вирішення якої дає компоненти спряженого.
Слід відзначити, що виконання першої характеристичної властивості спряженого цей метод не забезпечує.
Дільники нуля знаходяться з рівняння, яке визначає той факт, що норма числа дорівнює нулю:
Якщо дійсні розв’язки відсутні, то ГЧС не має дільників нуля. Дільники нуля визначаються з точністю до дійсних множників.
Знання спряжених, норм та дільників нуля дозволяє побудувати алгоритм ділення для всіх комутативних асоціативних ГЧС:
якщо не є дільником нуля.
У третьому розділі представлено розробку методів виконання складних математичних операцій із застосуванням ГЧС, до яких відносяться: перечислення комутативних ГЧС, побудова аналітичних виразів спряжених чисел, норм і дільників нуля, побудова представлень нелінійних функцій від гіперкомплексного змінного, рішення лінійних диференціальних рівнянь від гіперкомплексного змінного.
Задача перечислення комутативних канонічних ГЧС полягає у визначенні кількості класів неізоморфних ГЧС і визначенні представника кожного класу. Крім того, дуже важливим є встановлення повного складу кожного класу, оскільки в цьому випадку легко знайти ізоморфну систему, перехід до якої може скоротити кількість операцій при моделюванні.
Насамперед це стосується задачі перечислення комутативних канонічних ГЧС, вирішення якої в роботі провадиться двома методами: алгебри шляхів на графах та перебором канонічних таблиць множення.
Метод алгебри шляхів на графах базується на теоремах Веддерберна–Артіна та Моріти. У роботі досліджений метод перечислення, заснований на алгебрі шляхів на графах. Він дозволяє перечислити класи, знайти представника класу й побудувати його таблицю множення для невеликих вимірностей, що пояснюється необхідністю мати метод перечислення лінійно незалежних матриць усе більш зростаючих порядків, що є складним завданням. Крім того, цей метод не дає повного складу класів.
На відміну попереднього метод пошуку максимального числа неізоморфних ГЧС перебором канонічних таблиць множення полягає в генерації всіх можливих канонічних таблиць множення -ї вимірності з наступним відбором мінімального набору таблиць, що задовольняють певним умовам. Для вирішення цього завдання був розроблений і відмодельований метод перечислення всіляких канонічних ГЧС із подальшим відбором за ознаками лінійної незалежності базисних елементів і виконання законів асоціативності. Комутативність забезпечується тим, що в переборі бере участь половина таблиці, включаючи головну діагональ, а друга частина таблиці заповнюється симетрично. Таким чином, перечислення полягає в прогляданні -розрядних чисел із різними цифрами.
У результаті застосування обох методів одержані однакові кількості класів ізоморфізмів канонічних ГЧС: другої вимірності – 3 класи, третьої – 5, четвертої – 14 класів. Другий метод дозволяє не тільки визначити класи ізоморфізмів, а й дає склад цих класів, що має велике практичне значення.
З метою побудови різноманітних моделюючих виразів необхідно мати вирази для норм, спряжених чисел і дільників нуля. Оскільки для багатьох перечислених ГЧС цих виразів не існувало, то в роботі на базі запропонованого загального методу визначення норм, спряжених чисел та дільників нуля проведені побудови цих виразів. Вони повністю співпадають з існуючими в таких ГЧС як комплексна, подвійна, дуальна, системі кватерніонів та ін.
Так, наприклад, в ГЧС третьої вимірності з таблицею множення:
норма:
Як видно, вона мультиплікативна.
Дільники нуля:
Спряжене число:
Воно може бути факторизовано в два спряжених, але з вільними параметрами:
Другий приклад – вирази для норми, добутку спряжених чисел і дільників нуля в ГЧС з таблицею множення
Нормою буде:
Спряжене число:
Дільники нуля:
Базові операції в ГЧС дозволяють будувати такі нелінійності, як степеневі, поліноміальні, дрібно-раціональні функції, радикали у вигляді гіперкомплексних функцій. Нелінійність типу радикала цілого ступеня вводиться шляхом розв‘язку відповідної системи алгебраїчних рівнянь. Проте ця система може не мати дійсних рішень, а тільки комплексні. Якщо ГЧС, у якій проводяться дані операції, не включає як підсистему систему комплексних чисел, то її необхідно розширити шляхом подвоєння комплексними числами, і тоді вирішення системи описуватимуть дану нелінійність.
Задача побудови представлень трансцендентних функцій від гіперкомплексної змінної насамперед зводиться до їхнього визначення з точки зору структури обчислень над гіперкомплексним аргументом, а надалі – до представлення їх у вигляді гіперкомплексної функції. За визначення трансцендентних функцій у роботі прийняті, як і в Р. Гамільтона, відповідні суми степеневих рядків. Наприклад:
Для ГЧС другої вимірності підсумовування цих рядів не викликає труднощів. Таким шляхом знаходиться, наприклад, формула Ейлера для системи комплексних чисел. Якщо в якому-небудь класі ізоморфних систем відоме представлення функції для однієї із ГЧС, то для всіх інших його можна отримати за допомогою ізоморфного переходу, як це було розглянуто раніше. Так, наприклад, при побудові експоненти для квадриплексних чисел використовується її ізоморфізм із системою бікомплексних чисел, у якій представлення експоненти дуже просто виводиться через формулу Ейлера.
У загальному випадку визначення суми степеневого ряду викликає значні труднощі. Для їхнього уникнення розроблений загальний метод побудови представлення таких трансцендентних функцій: експонента, тригонометричні та гіперболичні.
Він базується на тому, що, наприклад, степеневий ряд для експоненти задовольняє диференціальному рівнянню від гіперкомплексної змінної: . Якщо в правій частині перемножити за законом композиції тієї ГЧС, у якій будується експонента, то можна одержати систему з лінійних диференціальних рівнянь від дійсної змінної. Цю систему названо асоційованою з вихідною ГЧС.
Фундаментальні розв’язки цієї системи з відповідним вибором довільних констант і будуть компонентами представлення експоненти від гіперкомплексної змінної. Вибір довільних констант повинен задовольняти основній характеристичній властивості експоненти: , де Е – одиничний елемент.
Для інших трансцендентних функцій асоційована система будується на основі диференціальних рівнянь від гіперкомплексної змінної другого порядку: Із цього рівняння випливає система з лінійних диференціальних рівнянь другого порядку, розв’язки якої й будуть компонентами трансцендентних функцій. Вони будуть залежати від довільних констант, вибір яких повинен давати необхідне значення функції для двох значень аргументів. Наприклад, для синуса: , а друге необхідно брати таким, для якого можна легко знайти суму відповідного ряду. Це може бути для ГЧС із одиничним елементом у базисі число типу:
для якого, як і для дійсного числа з виразу для степеневого ряду буде:
Представлення нелінійних функцій безпосередньо використовуються при вирішенні диференціальних рівнянь від гіперкомплексного змінного. У роботі показано, що рівняння вигляду має загальний розв’язок, де належать до тієї ГЧС, в якій розглядається рівняння, а експонента має представлення, яке відповідає даній ГЧС. Розглянуто й методи вирішення неоднорідних диференціальних рівнянь від гіперкомплексної змінної вигляду:, де – гіперкомплексна функція. Розглянуто різні вигляди правої частини, побудовано розв’язки для них і досліджено вплив особливих випадків, коли деякі вирази в знаменниках розв’язків можуть обертатися в дільники нуля.
За допомогою представлень експонент можна вирішувати й рівняння вищих порядків. У роботі показано, що у випадках, коли характеристичний поліном такого рівняння має й комплексні корені, треба переходити до ГЧС, яка є результатом подвоєння заданої ГЧС системою комплексних чисел.
Розглянуто також нестаціонарні лінійні диференціальні рівняння вигляду:. Показано, що розв’язки, одержані методом варіації довільної сталої, мають такий же вигляд, як і в рівнянь від дійсної змінної:, де всі величини гіперкомплексні, а експоненти визначаються їхніми представленнями
У четвертому розділі проведено практичні розробки та моделювання з використанням ГЧС. Насамперед показано, що метод асоціативної системи диференціальних рівнянь приводить до тих же результатів, що безпосередня побудова представлення нелінійностей у ГЧС. Далі доводиться, що представлення від гіперкомплексного числа, яке належить до прямої суми ГЧС, дорівнює сумі представлень від доданків цього числа, які належать усім компонентам прямої суми.
У загальному випадку метод асоційованих систем складається з наступних етапів (на прикладі системи триплексних чисел Т). Згідно з таблицею множення триплексних чисел асоційована система має вигляд:
Її характеристичне рівняння має три корені: Фундаментальна система розв’язків:
Для визначення трьох довільних сталих використаємо те, що при з визначення експоненти і після визначення сталих, маємо представлення експоненти від триплексного числа:
При побудові представлень гіперболічних і тригонометричних функцій кількість довільних сталих дорівнює , і доводиться використовувати значення відповідної функції у двох точках.
Розглянемо систему четвертої вимірності . Асоційована система лінійних диференціальних рівнянь буде мати вигляд:
Характеристичне рівняння
має два двократних комплексних корені:
Запишемо загальні розв’язки асоційованої системи диференціальних рівнянь та розглянемо дві опорні точки:
Підстановка цих значень у ряд для гіперболічного синуса дає:
Підстановка цих значень у ряд для гіперболічного синуса дає:
Остаточно загальні розв’язки приймають вигляд:
За допомогою загальних розв’язків можна записати представлення гіперболічного синуса, якщо прийняти :
Представлення гіперболічного косинуса можна побудувати аналогічно:
Цим методом у роботі побудовано представлення експонент, тригонометричних і гіперболічних синуса й косинуса в багатьох комутативних ГЧС другої, третьої та четвертої вимірностей.
Використання одержаних представлень експоненти та тригонометричних та гіперболічних функцій, як видно з таблиць 1 та 2 відповідно, дозволяє значно скоротити час обчислення значень цих функцій порівняно з традиційним методом, заснованим на підсумовуванні рядів.
Розв’язування однорідних диференціальних рівнянь першого порядку від гіперкомплексної змінної з постійними коефіцієнтами моделюється за допомогою представлення експоненти в даній ГЧС як добуток цього представлення на гіперкомплексну довільну сталу.
Наприклад, у системі триплексних чисел рівняння має розв’язок:
Таблиця 1.
Порівняння часу обчислення експоненти за допомогою
представлень і підсумовування рядів для різних ГЧС
Таблиця 2.
Порівняння часу обчислення тригонометричних та гіперболічних функцій за допомогою представлень і підсумовування рядів для різних ГЧС
або з урахуванням представлення експоненти:
Побудовано розв’язки однорідних диференціальних рівнянь і в інших ГЧС. Оскільки побудова розв’язків нестаціонарних лінійних диференціальних рівнянь від гіперкомплексної змінної потребує інтегрування громіздких виразів представлення експонент, то для підвищення ефективності вирішення таких рівнянь розроблено алгоритмічно-програмну систему.
Систему реалізовано в середовищі символьних обчислень Maple. Структурно система складається з головної чистини та 2-х модулів:
1) модуль визначення загального розв’язку заданого диференціального рівняння;
2) модуль визначення часткового розв’язку за початковими умовами.
У роботі відмодельоване вирішення рівняння
