НАЦІОНАЛЬНА МЕТАЛУРГІЙНА АКАДЕМІЯ УКРАЇНИ

Лисенко Наталія Олександрівна

УДК 620.179:519.254

МАТЕМАТИЧНІ МОДЕЛІ В ЗАДАЧАХ ОЦІНЮВАННЯ ВИРІШАЛЬНИХ ПРАВИЛ КОНТРОЛЮ

01.05.02 – Математичне моделювання та обчислювальні методи

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата технічних наук

Дніпропетровськ – 2007

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана на кафедрі радіоелектронної автоматики фізико-технічного факультету Дніпропетровського національного університету Міністерства освіти і науки України.

Науковий керівник: доктор технічних наук, професор

Петренко Олександр Миколайович,

Дніпропетровський національний університет,

декан фізико-технічного факультету,

завідувач кафедри радіоелектронної автоматики

м. Дніпропетровськ.

Офіційні опоненти: доктор технічних наук, професор

Мороз Борис Іванович

Академія митної служби України,

начальник факультету інформаційних та

транспортних систем і технологій

начальник кафедри інформаційних систем і технологій

м.Дніпропетровськ;

кандидат технічних наук, професор

Кузьменко Віктор Михайлович,

Харківський національний університет радіоелектроніки

Міністерства освіти і науки України,

завідувач кафедри системотехніки

м. Харків.

Провідна установа: Інститут космічних досліджень НАН України та

Національного космічного агентства України,

відділ космічних інформаційних технології та систем,

м. Київ.

Захист відбудеться “21” березня 2007 р. о “12:30” годині на засіданні спеціалізованної вченої ради Д 08.084.01 у Національній металургійній академії України за адресою: 49600, м. Дніпропетровськ, пр. Гагаріна, 4.

З дисертацією можна ознайомитися у бібліотеці Національної металургійної академії України за адресою: 49600, м. Дніпропетровськ, пр. Гагаріна, 4.

Автореферат розісланий “12” лютого 2007 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради О.І. Дерев’янко

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Одним з напрямків підвищення ефективності контролю в технічних, економічних і соціальних системах є використання досягнень сучасних інформаційно-вимірювальних технологій. В задачах моніторингу, дефектоскопії, технічної й медичної діагностики, контролю навколишнього середовища рішення, як правило, приймаються за результатами обробки вимірювань, які прямо або опосередковано містять інформацію про стан систем або об'єктів, що входять до цих систем. Вимірювання є випадковими величинами зі статистичними закономірностями, які апріорі невідомі. Знання статистичних закономірностей (законів і функцій розподілу ймовірностей) дозволяють формувати оптимальні вирішальні правила розпізнавання стану об'єктів і систем контролю за критерієм мінімуму математичного очікування втрат (вартості помилкових рішень). На практиці закони й функції розподілу ймовірностей невідомі і їх доводиться заміняти математичними моделями, сформованими за експериментальним даними в умовах нестачі вхідних даних і обмеженнях на обсяг вимірювань. Методи формування вирішальних правил на основі емпіричних моделей статистичних закономірностей вимірювань у задачах контролю вивчені недостатньо й актуальність проведення досліджень по цій тематиці викликається потребами підвищення ефективності виробництва і якості товарів і послуг.

У дисертації розглядаються наступні науково-практичні питання:

- розробка й дослідження математичних моделей законів розподілу ймовірностей, сформованих по вибірках експериментальних даних;

- побудова й дослідження на математичних моделях ефективності емпіричних вирішальних правил контролю в задачах еталонної дефектоскопії;

- побудова й дослідження на математичних моделях ефективності емпіричних вирішальних правил контролю в умовах обмежень на апріорну інформацію й обсяг вибірок вимірювань.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Результати дисертаційної роботи отримані автором у процесі наукових досліджень на кафедрі радіоелектронної автоматики фізико-технічного факультету Дніпропетровського національного університету в 2001 - 2006 роках. Дослідження виконувалися по конверсійній програмі фізико-технічного факультету за тематикою держбюджетних науково-дослідних робіт № 07-116-99 “Розробка інформаційно-вимірювальних технологій для автоматизованих систем екологічного та технічного контролю” (№ державної реєстрації  0199U0011303) і № 6-013-02 “Автоматизовані інформаційно-вимірювальні системи неруйнівного контролю та діагностики авіаційно-космічних конструкцій” (№ державної реєстрації  0102U004418).

Мета і задачі дослідження. Метою дисертаційної роботи є розробка й дослідження математичних моделей обробки вимірювань в задачах контролю при обмеженнях на апріорні вхідні дані й обсяг вибірок вимірювань. Для досягнення поставленої мети в дисертації сформульовані наступні взаємопов’язані задачі:

1. Розробити математичні моделі законів розподілу ймовірностей по обмеженому обсягу експериментальних даних з невідомими статистичними закономірностями.

2. Оцінити теоретично й шляхом проведення обчислювальних експериментів адекватність математичних моделей для оцінки законів розподілу ймовірностей вимірювань.

3. Розробити алгоритми обробки еталонних вимірювань при формуванні вирішальних правил розпізнавання на основі математичних моделей законів розподілу ймовірностей. Дослідити ефективність емпіричних вирішальних правил в задачах еталонної дефектоскопії.

4. Дослідити метод формування емпіричних вирішальних правил розпізнавання на основі експериментальних багатомірних вибірок вимірювань з використанням рядів Колмогорова-Габора.

5. Дослідити можливості застосування критеріїв однорідності вибірок випадкових величин для формування емпіричних вирішальних правил контролю в задачах дефектоскопії при відсутності апріорної інформації про браковані об'єкти контролю.

6. Розробити рекомендації з використання запропонованих математичних моделей законів розподілу ймовірностей та розроблених вирішальних правил у методиках проектування інформаційно-вимірювальних технологій неруйнівного контролю.

Об'єкт дослідження - інформаційно-вимірювальні технології неруйнівного контролю та технічної діагностики.

Предмет дослідження – математичні моделі обробки вимірювань в задачах дослідження ефективності вирішальних правил дефектоскопії.

Методи дослідження: теорія ймовірностей; статистичний аналіз; статистична теорія розпізнавання; теорія рангових критеріїв; математичне моделювання.

Наукова новизна отриманих результатів. На основі виконаних теоретичних і експериментальних досліджень розроблено рекомендації з удосконалення методик проектування інформаційно-вимірювальних технологій неруйнівного контролю й отримані наступні нові результати.

1. Одержало подальший розвиток і застосування для рішення задач дефектоскопії непараметричне ядерне оцінювання законів розподілу ймовірностей.

2. Розроблено та досліджено математичні моделі законів розподілу ймовірностей на основі кінцевих рядів ортонормованих поліномів і згладжених дельта-функцій, які сформовані по вибірках експериментальних даних.

3. Вперше запропоновано методику побудови математичних моделей багатомірних законів розподілу ймовірностей по вибірках вимірювань, що заснована на використанні двовимірних згладжених дельта-функцій.

4. Запропоновано алгоритми формування емпіричних вирішальних правил в задачах еталонної дефектоскопії на основі рядів згладжених дельта-функцій і рядів Колмогорова-Габора.

5. По даним обчислювальних експериментів вперше проведена порівняльна оцінка цих вирішальних правил контролю в задачах еталонної дефектоскопії. Вивчено вплив обсягу вибірок вимірювань і кореляції вхідних даних на ефективність запропонованих вирішальних правил.

6. Розроблено емпіричні вирішальні правила дефектоскопії на основі критеріїв однорідності вибірок при обмеженнях на апріорну інформацію про вимірювання, що характеризують стан об’єктів контролю.

7. По даним обчислювальних експериментів вперше проведена порівняльна оцінка цих вирішальних правил контролю та досліджено вплив виду статистичних закономірностей вибірок вимірювань і їхнього обсягу на ефективність прийняття рішень.

Практичне значення одержаних результатів дисертаційної роботи:

1. Запропоновані математичні моделі законів розподілу ймовірностей вимірювань і емпіричні вирішальні правила розпізнавання спрямовані на удосконалення методів проектування інформаційно-вимірювальних технологій неруйнівного контролю.

2. Вперше розроблено прості з обчислювальної точки зору аналітичні вирази для одержання оцінок параметрів згладжування в задачі побудови моделей законів розподілу ймовірностей по вибірках вимірювань рядами згладжених дельта-функцій.

3. Вперше запропоновано аналітичні вирази для оцінки коефіцієнтів, що дозволяють зменшити помилки, які виникають при використанні математичних моделей законів розподілу ймовірностей, сформованих методом згладжених дельта-функцій. Ефективність і працездатність формул підтверджена обчислювальними експериментами.

Результати досліджень, які отримані в дисертаційній роботі, використані в Полтавському відділенні Українського державного геологорозвідувального інституту, на НПП “Машинобудування”, а також у навчальному процесі на кафедрі радіоелектронної автоматики фізико-технічного факультету Дніпропетровського національного університету, що підтверджується відповідними актами впровадження.

Особистий внесок здобувача. Всі основні результати, що виносяться на захист, отримані здобувачем особисто. У роботах, опублікованих у співавторстві, здобувачу належить: у статті [] – одержання формул і для закону розподілу Релея, введення нормуючих коефіцієнтів, що знижують помилки оцінювання, виведення інженерних формул для оцінювання параметрів згладжування для двох класів законів розподілу ймовірностей, проведення обчислювальних експериментів і обробка отриманих результатів; у статті [] – дослідження випадкових і методичних помилок оцінювання, проведення обчислювальних експериментів, обробка й аналіз отриманих результатів.

Апробація результатів. Основні наукові результати й положення дисертаційної роботи були представлені й обговорювалися на 10-й, 11-й Міжнародних конференціях й виставках “Современные методы и средства неразрушающего контроля и технической диагностики” (Ялта, 2002, 2003), 6-й, 7-й, 8-й Міжнародних молодіжних науково-практичних конференціях “Людина і космос” (Дніпропетровськ, 2004, 2005, 2006), 3-й Міжнародній науково-практичній конференції “Математичне та програмне забезпечення інтелектуальних систем” (Дніпропетровськ, 2005).

Публікації. За результатами наукових досліджень опубліковано дванадцять друкованих праць: шість статей у спеціальних виданнях [1-6], що входять до переліку ВАК України, та шість у вигляді матеріалів наукових конференцій [7-12].

Структура і обсяг роботи. Дисертаційна робота складається з вступу, чотирьох розділів, висновків, списку використаних джерел і додатка. 34 малюнка, 21 таблиця і список бібліографічних посилань із 132 найменування. Загальний обсяг роботи становить 137 сторінки, з них основна частина - 110, малюнки й таблиці - 11, список літератури - 12, додатки - 4.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі сформульована задача дослідження, обґрунтована її актуальність, визначена мета роботи й коло задач, які необхідно вирішити. Відзначено наукову новизну й практичне значення роботи. Подано відомості про особистий внесок автора, апробації, публікації, зв'язок з науковими програмами.

В першому розділі проведено аналіз стану інформаційно-вимірювальних технологій контролю, дано короткий огляд методів формування вирішальних правил розпізнавання, проведено дослідження вартості помилок розпізнавання. Для побудови вирішальних правил контролю необхідне знання умовних законів розподілу ймовірностей інформативних параметрів, які, як правило, невідомі, тому в даному розділі наведений огляд непараметричних методів оцінювання законів розподілу. З метою визначення найбільш перспективного з практичної точки зору методу оцінювання, проведено дослідження математичних моделей законів розподілу ймовірностей на основі кінцевих рядів ортонормованих поліномів. В результаті дослідження встановлено, що для ефективного застосування цієї моделі на практиці необхідно мати велику кількість апріорної інформації. З аналізу описаних у доступній літературі методів і проведених досліджень зроблено висновок, що ядерне оцінювання законів розподілу ймовірностей представляє великий практичний інтерес для формування вирішальних правил контролю, але вимагає детальних досліджень та удосконалень. Також в першому розділі розглянуто можливості застосування критеріїв однорідності вибірок для розв’язання задач дефектоскопії при відсутності апріорної інформації про браковані об'єкти контролю. Сформульовано задачі побудови емпіричних вирішальних правил дефектоскопії в умовах різної апріорної невизначеності.

У другому розділі проведено дослідження математичних моделей законів розподілу ймовірностей, побудованих методом згладжених дельта-функцій за експериментальним даними. Розглядається оцінка закону розподілу ймовірностей як похідна від емпіричної функції розподілу

, (1)

де - упорядкована вибірка вимірювань , - функція одиничного стрибка, приймає значення 0, якщо й 1, якщо . Після обчислення похідній (1) емпіричний закон розподілу має вигляд:

, (2)

де - дельта – функція Дірака. Дослідження оцінки (2) показують, що вона хоч й незміщена, але неспроможна. Щоб оцінка (2) стала придатною для використання, замінимо дельта-функцію Дірака її гаусовою апроксимацією:

,

де - параметр згладжування.

Таким чином, математична модель закону розподілу ймовірностей по методу згладжених дельта-функцій з використанням апроксимації Гауса має вигляд:

. (3)

В роботі вивчено питання використання моделі (3) на практиці. Основні труднощі її застосування полягають у виборі параметра згладжування. Розроблена методика оцінювання цього параметра. Параметр згладжування запропоновано вибирати таким чином, щоб мінімізувати помилки оцінювання. Показником близькості невідомого закону розподілу ймовірностей і його оцінки обране математичне очікування інтегрального квадрату похибки

.

Для двох класів законів розподілу ймовірностей, що відрізняються своїми коефіцієнтами асиметрії, введений узагальнений параметр згладжування

,

де - дисперсія досліджуваних випадкових величин. Отримано аналітичні вирази для й умови їхнього мінімуму шляхом диференціювання по й рішення рівнянь . В результаті отримано формули, що пов'язують розмір вибірки з узагальненим параметром згладжування. На рис. 1. представлено залежності узагальненого параметра згладжування від довжини вибірки вимірювань для досліджуваних законів розподілу. У табл. 1 наведені теоретичні значення мінімальних помилок оцінювання .

Помилки можна зменшити шляхом введення нормуючих коефіцієнтів:

, (4)

Рис. 1. Залежності параметра згладжування від довжини вибірки: 1- для нормального закону; 2- для рівномірного закону; 3 - для закону Релея; 4 - для експоненціального закону

Таблиця 1

Теоретичні помилки оцінювання по вибірках різної довжини |

Закони розподілу

нормальний | рівномірний | Релея | експоненціальний

25 | 0,014 | 0,112 | 0,045 | 0,102

50 | 0,0087 | 0,085 | 0,029 | 0,072

100 | 0,0054 | 0,063 | 0,018 | 0,051

, (5)

де - інтеграл ймовірності Гауса.

Коефіцієнт (4) пропонується використовувати, якщо є апріорна інформація про те, що випадкові величини позитивні ( ), а коефіцієнт (5) – у випадку, якщо вони існують в обмеженому інтервалі ( ). Шляхом проведення обчислювальних експериментів визначено, що запропоноване нормування поліпшує оцінювання законів розподілу ймовірностей в середньому на 15% у першому випадку ( ) і на 35% - у другому випадку ().

На практиці широко застосовуються вибірки довжиною від 10 до 100. Для цього діапазону проведена апроксимація залежностей лінійними функціями виду . Коефіцієнти й визначалися методом найменших квадратів. В результаті отримані дві лінійні залежності для класів слабко асиметричних і сильно асиметричних законів розподілу ймовірностей. Виходячи з отриманих лінійних залежностей, запропоновані інженерні формули для оцінки параметрів згладжування мають вигляд:

, (6)

. (7)

Вони значно простіше представлених у дисертаційній роботі точних аналітичних виразів, а їхня працездатність і ефективність підтверджена в ході обчислювальних експериментів. Для раціонального використання формул (6) і (7) необхідно оцінити коефіцієнт асиметрії вхідної вибірки вимірювань. Якщо , то варто застосовувати формулу (6), отриману для слабко асиметричних законів, а якщо , то формулу (7). При використанні інженерних формул (6) і (7) для оцінювання законів розподілу теоретичні значення мінімальних помилок збільшуються в середньому на 7%.

Практичний інтерес представляє оцінювання багатомірних законів розподілу ймовірностей по вибірках вимірювань. В роботі розглянуто особливості відновлення двовимірних розподілів методом згладжених дельта-функцій, як окремий випадок багатомірних. Двовимірний закон розподілу ймовірностей пропонується оцінювати методом згладжених дельта-функцій по двох моделях:

, (8)

, (9)

де - вибірковий коефіцієнт кореляції

,

, , , - середні значення й вибіркові дисперсії, відповідно. Адекватність моделей двовимірних законів розподілу ймовірностей, сформованих запропонованими способами, оцінювалась шляхом проведення обчислювальних експериментів. З аналізу результатів експериментів виявлено, що застосування двовимірних згладжених дельта-функцій (9) дозволяє одержати помилки оцінювання, близькі до мінімальних теоретичних помилок одновимірної моделі. Таким чином, на основі запропонованих двовимірних моделей можна ефективно вирішити задачу побудови моделі багатомірного закону розподілу ймовірностей.

Третій розділ присвячений оцінці ефективності емпіричних вирішальних правил контролю в задачах еталонної дефектоскопії. Досліджено вирішальні правила, які сформовані по багатомірним вибіркам експериментальних даних двома різними методами: 1) на основі моделей законів розподілу ймовірностей по методу згладжених дельта-функцій і 2) шляхом розкладання логарифма відношення правдоподібності в ряд Колмогорова-Габора й оцінки його коефіцієнтів методом групового обліку аргументів.

В цьому розділі розглядається задача розпізнавання об'єктів контролю, якщо за результатами попередніх досліджень отримані вимірювання інформативних параметрів, що характеризують нормальний і дефектний стан об'єктів. Вхідні дані представляються у вигляді таблиці. Наприклад, для чотирьох інформативних параметрів таблиця буде мати вигляд табл. 2.

Таблиця 2

Вибірки вимірювань параметрів об'єктів контролю

Об'єкт класу | Об'єкт класу

Інформативні параметри | Інформативні параметри

… | … | … | … | … | … | … | …

По цим експериментальним даним відбувається формування емпіричних вирішальних правил дефектоскопії.

При формуванні вирішального правила першим способом для побудови відношення правдоподібності

(10)

використовуються моделі законів розподілу ймовірностей, отримані по еталонним вибіркам вимірювань на основі згладжених дельта-функцій Гауса (3).

Для незалежних параметрів оцінка закону розподілу ймовірностей запишеться у вигляді:

, (11)

де - параметри згладжування для кожного -ого параметра.

При наявності кореляції параметрів рекомендується застосування моделей законів розподілу з використанням двовимірної згладженої дельта – функції (9).

Для параметрів оцінка відношення функцій правдоподібності запишеться у вигляді:

.

Емпіричне вирішальне правило буде мати вигляд:

,

де поріг вибирається з умови невизначеності вхідних даних .

Алгоритм формування емпіричних вирішальних правил шляхом оцінки логарифма відношення функцій правдоподібності з використанням методу групового обліку аргументів має наступну структуру. Дані табл. 2 можуть мати різну фізичну природу, тому необхідно провести їх нормування. Для цього визначаються загальні середні значення й вибіркові дисперсії для кожного з параметрів:

,

.

Нормовані дані обчислюються по формулам:

і представляються у вигляді таблиці, аналогічної табл. 2.

Емпіричне вирішальне правило розпізнавання на основі логарифма відношення правдоподібності представляється у вигляді:

.

Якщо невідомий логарифм відношення правдоподібності

розкласти в ряд Тейлора й обмежити його числом параметрів , то він перетворюється на ряд Колмогорова – Габора:

.

Оцінивши невідомі коефіцієнти цього ряду, можна одержати емпіричне правило розпізнавання:

1) якщо виконується нерівність то об'єкт контролю належить до норми (клас );

2) якщо виконується протилежна нерівність то об'єкт контролю знаходиться в дефектному стані (клас ).

Для визначення коефіцієнтів ряду Колмогорова - Габора складаються рівняння:

(12)

де , які вирішуються щодо невідомих коефіцієнтів . Однак число членів ряду Колмогорова - Габора різко зростає зі збільшенням числа вимірюваних параметрів, що значно ускладнює практичне застосування даної моделі. Тому, використовуючи ідею методу групового обліку аргументів (МГОА), пропонується послідовне формування й групування вирішальних правил на основі часткових поліномів Колмогорова - Габора другого порядку:

. (13)

В задачах дефектоскопії ефективність вирішальних правил залежить від розходжень законів розподілу параметрів, що характеризують нормальний та дефектний стани об'єктів контролю. Тому можна спростити часткові поліноми (13), відкинувши квадрати й :

.

В результаті для кожної пари параметрів у рівняннях буде тільки чотири невідомих коефіцієнти, які легко визначаються шляхом рішення перевизначеної системи рівнянь (12). Групування аргументів парами дозволяє оцінювати невідомі коефіцієнти поліномів при порівняно невеликих вибірках вимірювань, вирішуючи однотипні системи лінійних рівнянь четвертого порядку.

Після нормування вхідних даних часткові поліноми оцінюються для всіх можливих пар параметрів і визначається їхня ефективність. Як показник ефективності пари обрана оцінка ймовірності помилки розпізнавання:

,

де і - оцінки умовних ймовірностей розпізнавання об'єктів класу й , відповідно:

, ,

де , .

Відбираються найбільш ефективні пари, у яких номери не повторюються. Ці інформативні параметри знову групуються по парах і рішення задачі повторюється. Таким чином відбираються найбільш ефективні параметри за критерієм мінімуму оцінок ймовірностей помилок розпізнавання, потім вони групуються й використовуються для побудови моделі робочого вирішального правила. Емпіричне вирішальне правило, сформоване даним методом, буде мати вигляд:

.

У дисертаційній роботі проведені обчислювальні експерименти для дослідження ефективності запропонованих емпіричних вирішальних правил контролю. За результатами експериментів отримані середні значення ймовірностей розпізнавання для різних довжин вибірок вимірювань для кожного емпіричного й оптимального вирішальних правил. З аналізу експериментальних даних визначено, що у випадку, коли вхідні вибірки некорельовані, розроблені емпіричні вирішальні правила практично однаково ефективні й відрізняються від оптимального вирішального правила на 0,5-2%, залежно від довжини навчальних вибірок. Емпіричні правила прийняття рішень з використанням МГОА в середньому на 0,3% більш ефективні ніж вирішальні правила на основі згладжених дельта - функцій, однак алгоритм їх формування значно складніший. Так, обсяг програми, що реалізує формування емпіричних вирішальних правил на основі МГОА, приблизно в 3-4 рази перевищує обсяг програми для побудови емпіричних вирішальних правил контролю з використанням згладжених дельта - функцій. Таким чином, вирішальні правила контролю на основі згладжених дельта - функцій характеризуються простим алгоритмом формування й високою ефективністю. В умовах сильної кореляції вхідних вибірок перше вирішальне правило, з використанням згладжених дельта - функцій, виявилось ефективніше іншого - з використанням МГОА, на 1,5%. Результати обчислювальних експериментів підтверджують припущення про те, що чим більше обсяг вибірки вимірювань, тим вище ефективність розпізнавання емпіричних вирішальних правил і тим ближче вона до ефективності оптимального вирішального правила. Однак, навіть в умовах обмеженості вхідних даних (), використання сформованих емпіричних вирішальних правил контролю дозволяє провести розпізнавання, ефективність якого відрізняється від оптимального в середньому на 2,5% .

У четвертому розділі розглянуто емпіричні вирішальні правила контролю, які побудовані в умовах відсутності вхідних даних про об'єкти, що перебувають у дефектному стані. У цьому випадку має місце обмежена апріорна інформація тому для побудови вирішальних правил контролю використовується теорія однорідності вибірок.

В окремому випадку, коли інформативні параметри вимірюються безпосередньо, емпіричне вирішальне правило контролю пропонується формувати на основі критерію Стьюдента.

Передбачається, що за результатами контролю отримані дві вибірки вимірювань і . Дійсні значення параметрів невідомі, тому порівнюються між собою вибіркові середні:

, .

Відношення різниці середніх до вибіркового стандартного відхилення цієї різниці

(14)

є випадковою величиною з законом розподілу Стьюдента з ступенями свободи. Отже, з ймовірністю можна стверджувати, що вибірки мають однакові математичні очікування, якщо обчислений по формулі (14) критерій задовольняє нерівності

, (15)

де - граничне значення, – функція, зворотна інтегралу ймовірності Стьюдента з ступенями свободи, .

Шляхом проведення обчислювального експерименту досліджено вплив виду закону розподілу ймовірностей вимірювань і довжини вхідних вибірок на ефективність вирішального правила, сформованого по критерію Стьюдента. Для того, щоб охарактеризувати чутливість досліджуваного критерію введена величина відхилення браку від норми

,

де й - математичне очікування й дисперсія вимірювань, що характеризують нормальний стан об'єкта контролю, а й - математичне очікування й дисперсія вимірювань, що характеризують дефектний стан об'єкта контролю. Для експерименту генерувалися вибірки вимірювань з нормальним, рівномірним, релеевським та експоненціальним законами розподілу. Для вибірок з кожним законом розподілу досліджувався вплив на ефективність розпізнавання величини й вплив довжини досліджуваних вибірок. Як показник ефективності обрана середня ймовірність виявлення браку

,

де - кількість експериментальних вибірок. За результатами проведення обчислювальних експериментів були отримані оцінки , , і - для нормального, релеевського, експоненціального й рівномірного законів розподілу, відповідно. Графіки залежностей оцінок ймовірностей виявлення браку від величини для різних довжин вибірок представлені на рис. 2.

Рис. 2. Графіки залежностей оцінок ймовірностей виявлення браку від величини для різних довжин вибірок () для: 1 - нормальних, 2 - релеевських, 3 - експоненціальних і 4- рівномірних випадкових величин

В результаті встановлено, що вид закону розподілу ймовірностей вхідних вимірювань дуже слабко впливає на ефективність критерію Стьюдента, незалежно від довжини вибірок, що значно поширює його область застосування. Однак довжина вхідних вибірок вимірювань сильно впливає на здатність вирішального правила проводити коректне розпізнавання. При використанні дуже коротких вибірок ( ) достовірне розпізнавання () можливо тільки при сильному відхиленню браку від норми ().

В загальному випадку для побудови емпіричних вирішальних правил контролю пропонується використовувати методи непараметричної статистики. В дисертаційній роботі проведено дослідження ефективності й порівняльна оцінка вирішальних правил контролю, побудованих на основі критеріїв омега-квадрат, Вілкоксона, Ван-дер-Вардена й критерію знаків.

Емпіричне вирішальне правило контролю на основі критерію омега-квадрат формується в такий спосіб. Як показник близькості двох вибірок випадкових величин обраний інтегральний квадрат різниці їх емпіричних функцій розподілу:

(16)

де - емпіричний закон розподілу.

Інтеграл (16) обчислюється й формула для визначення показника близькості має вигляд:

де й – власні ранги вимірювань першої й другої вибірок, відповідно, і – ранги вимірювань першої й другої вибірок в об'єднаній вибірці вимірювань. Ранги обчислюються по формулам:

,

де – упорядковані вимірювання першої вибірки, – упорядковані вимірювання другої вибірки, – упорядковані вимірювання об'єднаної вибірки. Рішення про однорідність двох вибірок повинне прийматися відповідно до правила: якщо

< ,

то вибірки однорідні й мають той самий закон розподілу ймовірностей. Значення порогів порівняння для різних ймовірностей правильних рішень наведені в табл. 3.

Для формування емпіричного вирішального правила на основі критерію Вілкоксона визначаються середні значення рангів:

.

Таблиця 3

Значення порогів порівняння для ймовірностей правильних рішень |

0.95 | 0.97 | 0.98 | 0.99 | 0.995 | 0.999

0.461 | 0.549 | 0.620 | 0.743 | 0.864 | 1.168

Показник близькості двох вибірок Вілкоксона визначається як відношення різниці середнього значення суми рангів і її математичного очікування до кореня квадратному з дисперсій:

, .

Вирішальне правило визначення однорідності запишеться як перевірка нерівності

,

де - граничне значення визначається по формулі

,

- функція, зворотна інтегралу ймовірності Гауса, – надійність прийняття рішення.

Для формування емпіричного вирішального правила на основі критерію Ван-дер-Вардена необхідно досліджувати суми функцій:

, .

Показник близькості двох вибірок формується у вигляді:

де .

Вирішальне правило визначення однорідності має вигляд нерівності:

,

де - граничне значення визначається як .

Для формування емпіричного вирішального правила на основі критерію знаків досліджується функція яка може приймати тільки три значення: +1, якщо -1, якщо й нуль, якщо . Очевидно для симетричних розподілів ймовірність того, що дорівнює ймовірності того, що й ці ймовірності рівні 0,5. Числа позитивних і негативних різниць мають біноміальні закони розподілу ймовірностей. З ймовірністю повинна виконуватись нерівність:

,

де . Якщо вона виконується, то варто приймати рішення про однорідність досліджуваних вибірок випадкових величин.

У дисертаційній роботі проведені обчислювальні експерименти й порівняння ефективності розпізнавання вирішальних правил, сформованих різними способами. По даним обчислювальних експериментів отримані експериментальні графіки залежностей оцінок середніх ймовірностей виявлення браку від величини відхилення браку від норми ( ), що дозволяють одержати кількісну оцінку здатності досліджуваних моделей емпіричних вирішальних правил контролю до розпізнавання. Графіки залежностей представлені на рис. 3.

Рис. 3. Залежності для чотирьох досліджуваних моделей (1 – крітерій

омега-квадрат, 2 – Вілкоксона, 3 – Ван-дер-Вардена, 4 – знаків) і для моделі оптимального вирішального правила

З аналізу результатів обчислювальних експериментів можна зробити висновок, що із чотирьох досліджуваних емпіричних вирішальних правил на основі непараметричних критеріїв найбільш чутливим та ефективним виявилося правило на основі критерію Ван-дер-Вардена. Далі йде вирішальне правило на основі критерію Вілкоксона (зниження ефективності на 2%), потім вирішальне правило на основі критерію омега-квадрат (у середньому на 3%) і вирішальне правило на основі критерію знаків (у середньому на 24%). При довгих вхідних вибірках вирішальне правило на основі критерію знаків не дуже поступається іншим моделям (на 15%). Однак при зменшенні довжини вибірок ефективність даної моделі значно знижується (на 35%), що робить її застосування недоцільним.

ОСНОВНІ РЕЗУЛЬТАТИ РОБОТИ Й ВИСНОВКИ

У дисертаційній роботі розглянуто науково-практичні питання розробки й використання математичних моделей законів розподілу ймовірностей, сформованих по вибірках експериментальних даних. Вивчені питання формування емпіричних вирішальних правил контролю в задачах еталонної дефектоскопії, а також в умовах обмежень на апріорну інформацію й обсяг вимірювань.

Основними результатами даної роботи є:

1. Досліджено методи побудови математичних моделей законів розподілу ймовірностей по вибірках експериментальних даних на основі кінцевих рядів ортонормованих поліномів і згладжених дельта-функцій. Розроблено методики визначення параметрів моделей за критерієм мінімуму математичного сподівання інтегрального квадрату помилки.

2. Запропоновано формування емпіричних вирішальних правил еталонної дефектоскопії на основі моделей законів розподілу ймовірностей, побудованих методом згладжених дельта-функцій і шляхом розкладання логарифма відношення правдоподібності в ряд Колмогорова – Габора та оцінювання його коефіцієнтів методом групового обліку аргументів.

3. Розроблено і досліджено емпіричні вирішальні правила контролю на основі критеріїв однорідності вибірок в умовах обмеженості апріорної інформації. Розглянуто емпіричні вирішальні правила, які сформовані на основі використання критеріїв Стьюдента, омега-квадрат, Вілкоксона, Ван-дер-Вардена й знаків.

4. Проведено експериментальне порівняння запропонованих алгоритмів формування емпіричних вирішальних правил контролю по вибірках експериментальних даних між собою та з оптимальним вирішальним правилом.

5. Розроблено та досліджено математичні моделі законів розподілу ймовірностей на основі рядів згладжених дельта-функцій по вибірках експериментальних даних. Запропоновано коефіцієнти по зниженню помилок оцінювання й інженерні формули для визначення параметрів згладжування, які відрізняються своєю обчислювальною простотою та універсальністю.

6. Запропоновано математичні моделі багатомірних законів розподілу для рішення задач дефектоскопії в умовах контролю по багатьом параметрам. Вперше розроблено математичну модель двовимірного закону розподілу на основі рядів двовимірних згладжених дельта-функцій.

7. Результати досліджень впроваджені в Полтавському відділенні Українського державного геологорозвідувального інституту, на НПП “Машинобудування”, а також у навчальному процесі Дніпропетровського національного університету.

8. Розроблені в дисертаційній роботі моделі, методики та алгоритми можуть бути використані для удосконалення методів проектування інформаційно-вимірювальних технологій неруйнівного контролю.

Наведені вище результати підтверджують практичну цінність запропонованого автором підходу до формування математичних моделей законів розподілу ймовірностей і емпіричних вирішальних правил дефектоскопії по експериментальним даним.

ОСНОВНІ ПУБЛІКАЦІЇ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Лысенко Н.А. Исследование стоимости ошибок распознавания // Вісник дніпропетровського университету. Ракетно-космічна техніка. – Випуск 6. – Дніпропетровськ: ДНУ. – 2003. – С. 93-101.

2. Лысенко Н.А., Малайчук В.П. Восстановление законов распределения вероятностей рядами сглаженных дельта-функций // Актуальні проблеми автоматизації та інформаційних технологій. – Том 7. – Дніпропетровськ: ДНУ. - 2003. – С. 61-74.

3. Лысенко Н.А. Восстановление двумерных плотностей распределения вероятностей рядами сглаженных дельта-функций // Системні технології. Регіональний міжвузівський збірник наукових праць – Випуск 5 (28) – Дніпропетровськ: “Системні технології”. – 2003. – С. 127-135.

4. Лысенко Н.А. Сравнительная оценка эффективности эмпирических решающих правил неразрушающего контроля // Вісник дніпропетровського университету. Ракетно-космічна техніка. – Випуск 8. – Дніпропетровськ: ДНУ. – 2004. – С. 66-75.

5. Лысенко Н.А. Формирование решающих правил неразрушающего контроля на основе метода группового учета аргументов // Космічна наука і технологія. – 2005. – Том 11, №1. – С. 77-81.

6. Малайчук В.П., Петренко А.Н., Лысенко Н.А. Восстановление законов распределения вероятностей рядами ортонормированных полиномов // Системні технології. Регіональний міжвузівський збірник наукових праць – Випуск 3 (38) – Дніпропетровськ: “Системні технології”. – 2005. – С. 73-88.

7. Лысенко Н.А., Чернец С.Р. Исследование эффективности решающих правил контроля на основе сглаженных дельта-функций // Материалы десятой юбилейной международной конференции и выставки “Современные методы и средства неразрушающего контроля и технической диагностики” (г. Ялта). – К.: УИЦ “Наука. Техника. Технология”. – 2002. – С.34-35.

8. Лысенко Н.А., Малайчук В.П., Мозговой А.В. Восстановление законов распределения вероятностей в задачах обработки измерений неразрушающего контроля // Материалы одиннадцатой международной конференции “Современные методы и средства неразрушающего контроля и технической диагностики” (г. Ялта). – К.: УИЦ “Наука. Техника. Технология”. – 2003. – С.126-128.

9. Лысенко Н.А. Исследование эффективности решающих правил распознавания на основе метода группового учета аргументов // VI Міжнародна молодіжна науково-практична конференція “Людина і космос”: Збірник тез. – Дніпропетровськ: НЦАОМУ. – 2004. – С. 191.

10. Лысенко Н.А. Формирование эмпирических решающих правил распознавания в условиях ограниченной априорной информации // VII Міжнародна молодіжна науково-практична конференція “Людина і космос”: Збірник тез. – Дніпропетровськ: НЦАОМУ. – 2005. – С. 238.

11. Лысенко Н.А. Оценка эффективности решающих правил распознавания в условиях ограниченной априорной информации // III Міжнародна науково-практична конференція “Математичне та програмне забезпечення інтелектуальних систем” – Дніпропетровськ: ДНУ. – 2005. – С. 109.

12. Лысенко Н.А. Исследование математических моделей решающих правил контроля на основе критерия Стьюдента// VIII Міжнародна молодіжна науково-практична конференція “Людина і космос”: Збірник тез. – Дніпропетровськ: НЦАОМУ. – 2006. – С. 231.

АНОТАЦІЯ

Лисенко Н.О. Математичні моделі в задачах оцінювання вирішальних правил контролю. – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата технічних наук за спеціальністю 01.05.02 – Математичне моделювання та обчислювальні методи. – Національна металургійна академія України, Дніпропетровськ, 2006.

Дисертацію присвячено розробці й дослідженню математичних моделей законів розподілу ймовірностей та емпіричних вирішальних правил контролю по експериментальним даним. Запропоновано методики для побудови математичних моделей законів розподілу ймовірностей на основі рядів згладжених дельта-функцій. Розроблено математичні моделі багатомірних законів розподілу для рішення задач дефектоскопії в умовах контролю по багатьом параметрам. Сформовано емпіричні вирішальні правила еталонної дефектоскопії на основі законів розподілу ймовірностей, побудованих рядами згладжених дельта-функцій, і шляхом розкладання логарифма відношення правдоподібності в ряд Колмогорова - Габора та оцінки його коефіцієнтів методом групового обліку аргументів. Досліджено емпіричні вирішальні правила дефектоскопії, які сформовані на основі критеріїв однорідності вибірок, для проведення розпізнавання в умовах обмеженості апріорної інформації. Розглянуто емпіричні вирішальні правила, які сформовані шляхом використання критеріїв Стьюдента, омега-квадрат, Вілкоксона, Ван-дер-Вардена й знаків. Ефективність запропонованих вирішальних правил підтверджена шляхом проведення обчислювальних експериментів. Отримані результати доводять, що розроблені в дисертаційній роботі моделі, методики та алгоритми можуть бути використані для удосконалення методів проектування інформаційно-вимірювальних технологій неруйнівного контролю.

Ключові слова: неруйнівний контроль, математична модель, вибірка вимірювань, закон розподілу ймовірностей, емпіричне вирішальне правило.

АННОТАЦИЯ

Лысенко Н.А Математические модели в задачах оценивания решающих правил контроля. – Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук по специальности 01.05.02 – Математическое моделирование и вычислительные методы. – Национальная металлургическая академия Украины, Днепропетровск, 2006.

Диссертация посвящена разработке и исследованию математических моделей законов распределения вероятностей и эмпирических решающих правил контроля по экспериментальным данным. Исследованы методы построения математических моделей законов распределения вероятностей по выборкам экспериментальных данных на основе конечных рядов ортонормированных полиномов и сглаженных дельта-функций. Разработаны методики определения параметров моделей по критерию минимума математического ожидания интегрального квадрата ошибки. Для двух классов законов распределения, отличающихся коэффициентами асимметрии, определены аналитические выражения и предложена методика оценивания оптимального параметра сглаживания. Вычислены теоретические значения ошибок оценивания, которые следует ожидать при использовании метода сглаженных дельта-функций. Показано, что ошибки существенно зависят от длины экспериментальных выборок и класса восстанавливаемых законов. В работе предлагается способ уменьшения ошибок оценивания, основанный на использовании априорной информации о характере измерений и повышающий точность моделей на 15-35%. Предложены инженерные формулы для определения параметров сглаживания, отличающиеся своей вычислительной простотой и универсальностью. Путем сравнения теоретических ошибок оценивания определено, что применение простых инженерных формул приводит к снижению эффективности оценивания в среднем на 7%. Разработаны математические модели многомерных законов распределения для решения задач дефектоскопии в условиях контроля по многим параметрам. Впервые разработана математическая модель двумерного закона распределения вероятностей на основе двумерных сглаженных дельта-функций.

Предложены эмпирические решающие правила эталонной дефектоскопии: 1) на основе моделей законов распределения вероятностей, построенных методом сглаженных дельта-функций, и 2) сформированные путем разложения логарифма отношения правдоподобия в ряд Колмогорова - Габора с оценкой его коэффициентов методом группового учета аргументов. Проведено экспериментальное сравнение предложенных алгоритмов формирования моделей эмпирических решающих правил контроля по выборкам экспериментальных данных между собой и с оптимальным решающим правилом. В результате сделан вывод о том, что разработанные эмпирические решающие правила обеспечивают эффективное распознавание объектов контроля, лишь незначительно (в среднем 12%) уступая оптимальному решающему правилу. Длина выборок исходных данных влияет на эффективность распознавания и использование коротких выборок () уменьшает значения вероятностей распознавания, полученных по эмпирическим решающим правилам, не более чем на 4%. Алгоритм формирования эмпирических решающих правил контроля на основе сглаженных дельта – функций значительно проще второго исследуемого алгоритма, при этом предложенные модели практически одинаково эффективны.

Разработаны и исследованы эмпирические решающие правила дефектоскопии на основе критериев однородности выборок для проведения распознавания в условиях ограниченности априорной информации. Рассмотрены решающие правила, построенные путем использования критериев Стьюдента, омега-квадрат, Вилкоксона, Ван-дер-Вардена и знаков. Эффективность предложенных решающих правил подтверждена путем проведения вычислительных экспериментов. В результате проведенных исследований установлено, что вид закона распределения вероятностей исходных случайных величин оказывает очень слабое влияние на эффективность решающего правила на основе критерия Стьюдента, независимо от длины выборок. Из четырех исследуемых эмпирических решающих правил, построенных на основе непараметрических критериев, наиболее чувствительным и эффективным оказалось правило с использованием критерия Ван-дер-Вардена. За ним следует решающее правило на основе критерия Вилкоксона (снижение эффективности на 2%), далее решающее правило на основе критерия омега-квадрат (в среднем на 3%) и, наконец, решающее правило на основе критерия знаков (в среднем на 24%). При использовании коротких выборок () эффективность решающего правила на основе критерия знаков значительно снижается, что делает его применение нецелесообразным и вычислительная простота данного алгоритма формирования теряет свою привлекательность. Проведено экспериментальное сравнение исследуемых алгоритмов формирования моделей решающих правил контроля в условиях ограниченности априорной информации. Полученные результаты позволяют использовать наиболее эффективные модели решающих правил для решения задач контроля.

Результаты исследований внедрены в Полтавском отделении Украинского государственного геологоразведочного института, в НПП “Машиностроение”, а также в учебном процессе кафедры радиоэлектронной автоматики физико-технического факультета Днепропетровского национального университета. Разработанные в диссертационной работе модели, методики и алгоритмы могут быть использованы для усовершенствования методов проектирования информационно-измерительных технологий неразрушающего контроля.

Ключевые слова: неразрушающий контроль, математическая модель, выборка измерений, закон распределения вероятностей, эмпирическое решающее правило.

ABSTRACT

Lysenko N. A. Mathematical models in the problems of decisive rules control’s evaluation. – Manuscript.

Thesis for a candidate of technical science degree by specialty 01.05.02 – Mathematical simulation and computation methods. – National Metallurgical Academy of Ukraine, Dnepropetrovsk, 2006.

The dissertation deals with development and investigations of mathematical models of probability distribution laws and empirical decisive rules according to experimental data. Methods for forming mathematical models of probability distribution laws on basis of series smoothed delta-functions are offered. Mathematical models of several-dimensional distribution laws for decision of defectoscopy problems in conditions of control by many parameters are proposed. Mathematical models of empirical decisive rules of sample defectoscopy on basis of probability distribution