НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ІНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

Лінчук Юрій Степанович

УДК 517.983

ДЕЯКІ КЛАСИ ОПЕРАТОРІВ, ЩО ДІЮТЬ В ПРОСТОРАХ

АНАЛІТИЧНИХ ФУНКЦІЙ І ПОВ’ЯЗАНІ З

КОМУТАЦІЙНИМИ СПІВВІДНОШЕННЯМИ

01.01.01 – математичний аналіз

А В Т О Р Е Ф Е Р А Т

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Київ – 2 0 0 7

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана у відділі диференціальних рівнянь з частинними похідними Інституту математики НАН України.

Науковий керівник

доктор фізико-математичних наук, професор,

член-кореспондент НАН України

Горбачук Мирослав Львович,

Інститут математики НАН України,

завідувач відділу диференціальних рівнянь з частинними похідними.

Офіційні опоненти:

доктор фізико-математичних наук, професор,

член-кореспондент НАН України

Самойленко Юрій Стефанович,

Інститут математики НАН України,

завідувач відділу функціонального аналізу;

кандидат фізико-математичних наук

Кашпіровський Олексій Іванович,

Національний університет “Києво-Могилянська академія”,

доцент кафедри математики.

????????????

Провідна установа

Львівський національний університет імені Івана Франка МОН України.

Захист відбудеться “ 29 ” травня 2007 р. о 15 год. на засіданні спеціалізованої вченої

ради Д 26.206.01 Інституту математики НАН України за адресою: 01601, Київ-4,

вул. Терещенківська, 3.

З дисертацією можна ознайомитися у бібліотеці Інституту математики НАН України.

Автореферат розісланий “ 18 ” квітня 2007 р.

?

Учений секретар

спеціалізованої вченої ради А.С. Романюк

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Питання зображення лінійних неперервних операторів, що діють у просторах аналітичних функцій і задовольняють певні комутаційні співвідношення, які пов’язані з операторами типу інтегрування, диференціювання і множення на аналітичні функції, вивчалися в роботах багатьох математиків. Різні аспекти цієї проблеми досліджували Ж. Дельсарт, Ж.-Л. Ліонс, Р.П. Боас, Ю.Ф. Коробейник, М.І. Нагнибіда, В.В. Напалков, І.Х. Дімовський, В.А. Ткаченко, В.П. Захарюта, В.А. Братищев, І.І. Райчинов, М.Ю. Царьков, В.В. Моржаков, В.П. Подпорін, Б. Клод та інші математики. Науковий інтерес до вивчення таких операторів пояснюється тим, що вони відіграють важливу роль в деяких розділах математики та суміжних дисциплінах (теоретична та ядерна фізика, теорія пружності, тощо). Комутанти операторів використовуються при знаходженні загального вигляду операторів перетворення даного оператора до простішого вигляду, дослідженні умов базисності та повноти різних систем аналітичних функцій, знаходженні циклічних елементів різних операторів, вивченні структури інваріантних підпросторів фіксованого оператора, для побудови нетривіальних згорток деяких операторів та розв’язуванні інших задач.

Для лінійних неперервних операторів, що діють у просторах аналітичних функцій, в першу чергу вивчалися різні зображення комутанта оператора диференціювання, оскільки саме поняття аналітичної функції тісно пов’язане з операцією диференціювання. В середині 20 сторіччя при вивченні розкладів цілих функцій в узагальнені ряди Фур’є О.О. Гельфонд та О.Ф. Леонтьєв ввели в комплексному аналізі оператори узагальненого диференціювання. Пізніше М.І. Нагнибіда та К.М. Фішман визначили оператор узагальненого інтегрування в просторі функцій, аналітичних у кругових областях. Після цього почала розроблятися теорія лінійних неперервних операторів, що діють у певних просторах аналітичних функцій і комутують з операторами узагальненого диференціювання та узагальненого інтегрування.

З оператором диференціювання тісно пов’язаний оператор зсуву. Комутант фіксованого опе-ра-тора зсуву в просторах цілих функцій та певних просторах послідовностей, що наділені нор-маль-ною топологією, описаний в працях В.П. Подпоріна. При вивченні умов повноти систем уза-галь-нених похідних фіксованої цілої функції у просторах цілих функцій В.П. Громов визначив опе-ра-тори узагальненого зсуву, що породжені узагальненим диференціюванням. Цілком природно ви-никає задача про опис комутанта фіксованого оператора узагальненого зсуву в різних просторах аналітичних функцій.

Модельним оператором в комплексному аналізі є оператор Помм’є. Комутант оператора Помм’є у просторах аналітичних функцій та його застосування до різноманітних задач комплексного аналізу досліджені М.Г. Хаплановим, Ю.А Казьміним, М.І. Нагнибідою, І.Х. Дімовським та іншими математиками. Тому важливими є аналогічні задачі для операторів, які є певними збуреннями оператора Помм’є.

За останні тридцять років досить інтенсивно розвивається теорія операторів композиції в просторах аналітичних функцій з певними обмеженнями на модулі цих функцій (просторах Харді, Бергмана, Діріхле). Але, як відзначив П. Розенталь, характеристика комутанта оператора композиції в цих просторах є досить складною задачею. Для операторів, що діють у просторах функцій, аналітичних у кругових областях, аналогічна задача розв’язана В.П. Подпоріним та М.І. Нагнибідою лише для операторів зсуву та гомотетії, які є частинними випадками операторів композиції, породжених дробово-лінійними автоморфізмами.

Відзначимо, що питання, які пов’язані з описом комутантів класичних операторів, досить ґрунтовно досліджені в класах операторів, що діють у просторах функцій, аналітичних у кругових областях. Значно менше вивчені ці питання для операторів, що діють у просторах функцій, аналітичних у довільних областях.

Зв’язок з науковими програмами, планами, темами. Тематика дисертації пов’язана з науково-дослідними темами "Прямі та обернені задачі для диференціальних і псевдодиференціальних рівнянь" (номер держ. реєстрації – 0101У000212), "Теорія диференціально-операторних рівнянь" (номер держ. реєстрації – 0106У000431) відділу диференціальних рівнянь з частинними похідними Інституту математики НАН України.

Мета і задачі дослідження. Метою дисертаційної роботи є зображення в різних формах комутантів операторів узагальненого зсуву, композиції та збурень оператора Помм’є в класах лінійних неперервних операторів, що діють в просторах аналітичних функцій.

Методи дослідження: Основними методами теоретичних досліджень, які використовуються в дисертаційній роботі, є інтегральне зображення Кете лінійних неперервних операторів, які діють в просторах функцій, аналітичних у довільних областях, а також, взаємозв’язок між такими операторами і різними видами їхніх характеристичних функцій.

Об’єкт дослідження: Класи лінійних неперервних операторів, що діють у просторах аналітичних функцій.

Предмет дослідження: Нерозв’язані задачі з теорії лінійних неперервних операторів в просторах аналітичних функцій.

Задачі дослідження: –

вивчення комутаційних властивостей операторів узагальненого зсуву в різних просторах аналітичних функцій; –

одержання в різних формах комутантів операторів композиції, що породжені дробово-лінійними автоморфізмами одиничного круга; –

розв’язування операторних рівнянь, що містять оператори узагальненого диференціювання та узагальненого інтегрування.

Наукова новизна одержаних результатів. В дисертаційній роботі отримано такі нові результати: –

одержано зображення комутанта оператора узагальненого зсуву, що породжений оператором Помм’є, в просторах функцій, аналітичних у довільних областях; –

в просторі цілих функцій описано комутанти операторів, що є лінійними комбінаціями зсувів; –

знайдено зображення комутантів операторів композиції, що породжені еліптичними, гіперболічними та параболічними автоморфізмами одиничного круга; –

в просторах функцій, аналітичних у довільних областях, одержано опис комутанта довільного оператора, який є лівим оберненим до множення на незалежну змінну; –

досліджені умови еквівалентності операторів узагальненого зсуву та операторів композиції, що породжені еліптичними автоморфізмами одиничного круга; –

знайдено характеристику циклічних елементів для операторів, що є певним збуреннями до оператора Помм’є; –

одержано аналог формули Дельсарта-Ліонса для розв’язків інтегро-диференціальних операторних рівнянь відносно узагальненого диференціювання Гельфонда-Леонтьєва.

Наукове та практичне значення одержаних результатів. В роботі використовується і розвивається метод характеристичних функцій операторів для зображення в явному вигляді комутантів деяких класичних операторів, а також розв’язків певних інтегро-диференціальних операторних рівнянь. В деяких класах операторів, що діють у просторах аналітичних функцій, одержано критерії еквівалентності операторів. Результати дисертаційної роботи можна використовувати при проведенні досліджень з теорії операторів в просторах аналітичних функцій. Дисертація носить теоретичний характер. Методи, які використовуються в дисертації, можна застосовувати при розв’язуванні відповідних задач в теорії аналітичних функцій багатьох змінних. Всі основні положення і висновки дисертації є цілком обґрунтованими і достовірними.

Особистий внесок здобувача. Викладені в дисертації результати отримано автором самостійно.

Апробація результатів дисертації. Результати досліджень, що включені до дисертації, доповідалися на міжнародній науковій конференції "Сучасні проблеми математики" (Чернівці, 1998р.); міжнародній науковій конференції пам’яті В.Я. Буняковського (Київ, 2004р.); міжнародній науковій конференції "Іnternatіonal Conference DSMSІ" (Київ, 2005р.); конференції молодих учених із сучасних проблем механіки і математики ім. Я.С.Підстригача (Львів, 2005р.); міжнародній науковій конференції "Диференціальні рівняння та їх застосування" (Київ, 2005р.); міжнародній науковій конференції "Іnternatіonal conference modern problems and new trends іn probabіlіty" (Чернівці, 2005р.); ХІ-й Міжнародній науковій конференції імені академіка М.Кравчука (Київ, 2006р.); міжнародній конференції "Диференціальні рівняння та їх застосування" (Чернівці, 2006р.); науковому семінарі математичного факультету Чернівецького національного університету (1999 р.); київському міському семінарі з функціонального аналізу.

Публікації. Основні результати дисертації опубліковані в 15 статтях та тезах конференцій, з них 5 статей у наукових фахових виданнях з переліку, затвердженого ВАК України.

Структура та обсяг роботи.

Дисертація складається з вступу, чотирьох розділів, висновків і списку використаних джерел, який містить 86 найменувань і займає 9 сторінок. Повний обсяг роботи – 122 сторінок.

ОСНОВНИЙ ЗМІCТ РОБОТИ

У вступі зроблено короткий історичний огляд по темі дисертації, обґрунтовано актуальність теми, сформульовано мету і задачі досліджень.

У першому розділі зроблено огляд публікацій по темі дисертаційної роботи та огляд основних результатів дисертації, які порівнюються з результатами, що одержані раніше іншими авторами.

Наведемо деякі поняття та позначення, які будуть далі використовуватися. Нехай G – довільна область комплексної площини. Через H(G) позначимо простір усіх аналітичних в області G функцій, що наділений топологією компактної збіжності, а символом AR – простір H(G), якщо G = {z : |z| < R}, . Через L(H (G1), H(G2)) позначимо множину всіх лінійних неперервних операторів, які діють з H(G1) в H(G2). Якщо , то замість L(H(G1), H(G2)) будемо використовувати символ L(H(G)). Оператор A L(H(G1)) називається еквівалентним до оператора B L(H (G2)), якщо існує ізоморфізм TL(H (G1), H(G2)), для якого TA = BT.

В п. 1.4 першого розділу наведено різні зображення лінійних неперервних операторів, що діють у просторах аналітичних функцій.

У другому розділі вивчаються деякі класи операторів, що пов’язані комутаційними співвідношеннями з операторами звичайного та узагальненого зсувів.

У параграфі 2.1 описано комутант оператора узагальненого зсуву в просторі многочленів S.

Для фіксованої послідовності ненульових комплексних чисел відповідний оператор узагальненого диференціювання D діє на многочлен за правилом (DP)(z) = . Якщо h – довільне ненульове комплексне число, то оператор узагальненого зсуву Th, що відповідає оператору D, лінійно діє в просторі S за правилом

Теорема 2.1. Нехай h – довільне ненульове комплексне число. Для того щоб оператор T L(S) був переставним з оператором , необхідно і достатньо, щоб він подавався у вигляді диференціального оператора нескінченного порядку зі сталими коефіцієнтами

(1)

де – деяка послідовність комплексних чисел.

Оскільки формулою (1) описується комутант оператора узагальненого диференціювання D в класі L(S), то з теореми 2.1 випливає

Наслідок 2.1. Для того щоб оператор T L(S) був переставним з оператором D, необхідно і достатньо, щоб оператор T був переставним з деяким оператором узагальненого зсуву при h 0.

Теорема 2.1 і наслідок 2.1 будуть правильними, зокрема, для оператора диференціювання , який є частинним випадком оператора узагальненого диференціювання при , . У цьому випадку доведений наслідок 2.1 узагальнює твердження 1 з монографії Н. БурбакиБурбаки Н. Функции действительного переменного. – М.: Наука,1965. – 424 с. і за яким оператор T L(S) є переставним з оператором диференціювання тоді і тільки тоді, коли він переставний з довільним зсувом , .

Далі в твердженні 2.1 встановлено, що при умові оператори узагальненого зсуву та є еквівалентними в S. В твердженні 2.2 описано розв’язки в класі L(S) операторного рівняння виду . В одержано також зображення комутанта оператора в L(S).

В параграфі 2.2 досліджені деякі властивості операторів, що пов’язані з узагальненим зсувом, породженим оператором Помм’є. Якщо – довільна область комплексної площини, яка містить початок координат, то оператор Помм’є лінійно і неперервно діє в просторі H(G) за правилом: при z 0 і (f)(0) = f (0). Для числа в через Th позначається оператор узагальненого зсуву, який породжений оператором Помм’є і лінійно та неперервно діє в H(G) за правилом: при z h і (Th f)(h) = f(h) + hf (h).

Сформулюємо основний результат цього параграфа.

Теорема 2.4. Нехай та – довільні однозв’язні області комплексної площини, причому , а , i = 1, 2. Для того щоб операторне рівняння в класі операторів T L(H(G1), H(G2)) мало нетривіальний розв’язок необхідно і достатньо, щоб виконувалася умова . При виконанні цієї умови загальний розв’язок рівняння в класі операторів T L(H (G1), H(G2)) дається формулою

,

де L– деякий лінійний неперервний функціонал на просторі H(G1), а оператор K L(H (G1), H(G2)) і діє за правилом: .

З теореми 2.4 одержані наслідки.

Твердження 2.3. Нехай та (i = 1, 2) задовольняють умови теореми 2.4. Для того щоб оператор у просторі H(G1) був еквівалентним до оператора в просторі H(G2) необхідно і достатньо, щоб виконувалася умова

Зокрема, у просторі цілих функцій кожні два оператори узагальненого зсуву, які породжені оператором Помм’є, є еквівалентними між собою.

Твердження 2.4. Нехай G – довільна однозв’язна область комплексної площини, яка містить початок координат, а . Для того щоб оператор T L(H(G)) був переставним з оператором узагальненого зсуву Th, необхідно і достатньо, щоб він подавався у вигляді

,

де L – деякий лінійний неперервний функціонал на просторі H(G) .

Далі в теоремах 2.5 і 2.6 описано комутант оператора в класі операторів T L(H(G)) у випадку, якщо і належать , причому . Опис комутанта цього оператора у просторі H(G) залежить від наявності чи відсутності симетрії в області G відносно початку координат.

В параграфі 2.3 у просторі цілих функцій описано комутант оператора виду , де – оператор звичайного зсуву, , а k C \ {0} Для розв’язання цієї задачі використовуються характеристичні функції оператора T L(A) виду: . При цьому оператор T L(A) тоді і тільки тоді, коли функція задовольняє умову: A) – ціла по та і

r2 < r1 < C > 0 C: .

Через позначимо функції Гурвіца виду

Теорема 2.8. Нехай і – фіксовані ненульові комплексні числа. Для того, щоб оператор T лінійно і неперервно діяв у просторі і був переставним з оператором необхідно і достатньо, щоб він подавався у вигляді

де – послідовність цілих функцій, періодичних з періодом h, які задовольняють умову

а – послідовність функцій експоненціального типу, для яких функція задовольняє умову A) і є періодичною по z з періодом h.

Нехай G – деяка область комплексної площини і – аналітична в області G функція, причому . Тоді формулою визначається оператор композиції з класу L(H(G)). В останні тридцять років здійснюється систематичне дослідження властивостей операторів композиції в банахових просторах Харді, Бергмана і Діріхле, які складаються з аналітичних в одиничному крузі D функцій з певними обмеженнями на їхній модуль. П. РозентальRosenthal P. Book review // Bulletin of the American mathematical society. – 1995. – Vol.3gjd2, №1. – P. 150 – 153. відзначив, що задача знаходження комутанта оператора композиції в цих просторах є досить складною.

У зв’язку з цим природним чином виникає питання про вивчення зображення комутантів операторів композиції, що діють у просторі H(G), де G – довільна однозв’язна область комплексної площини, яка відмінна від C. Ця задача є важливою і цікавою для операторів композиції в H(G), які породжені конформними автоморфізмами області G. Оскільки за теоремою Рімана про конформні відображення для кожної з таких областей існує конформне відображення відповідної області на одиничний круг , то достатньо розв’язати цю задачу для операторів композиції, що діють у просторі H(D). Загальний вигляд конформного відображення одиничного круга D на себе дається формулою

(2)

де і R.

У третьому розділі дисертаційної роботи в просторі H(D) описується комутант оператора композиції K, що породжений довільним фіксованим дробово-лінійним перетворенням (z), яке конформно відображає одиничний круг на себе. Метод розв’язування цієї задачі і кінцевий результат істотно залежить від того, до якого класу дробово-лінійних перетворень: еліптичного, гіперболічного чи параболічного належить функція (z).

У параграфі 3.1 описано комутант оператора композиції, що породжений довільним еліптичним дробово-лінійним відображенням круга D на себе, та наведені деякі його застосування.

Дробово-лінійне перетворення (2) одиничного круга на себе є еліптичним тоді і лише тоді, коли . Не порушуючи загальності, вважатимемо, що . В лемі 3.1. встановлено, що оператор композиції , який породжений довільним еліптичним автоморфізмом одиничного круга D, еквівалентний у просторі H(D) до оператора , де , а визначається формулою В лемі 3.2 описано комутант оператора гомотетії у просторі H(D). Використовуючи результати лем 3.1 та 3.2 в теоремі 3.1 одержано зображення комутанта оператора композиції, породженого довільним еліптичним автоморфізмом одиничного круга. Досліджені також умови еквівалентності в H(D) двох довільних операторів композиції, що породжені еліптичними дробово-лінійними відображеннями круга D на себе.

Теорема 3.2. Нехай (z) = , причому , , k = 1, 2. Для того, щоб оператори і були еквівалентними в просторі H(D) необхідно і достатньо, щоб виконувалася одна з умов:

, де q N, а p1, p2 – цілі, відмінні від нуля і взаємно прості з q числа.

У параграфі 3.2 одержано зображення комутантів операторів композиції, породжених гіперболічними перетвореннями одиничного круга . Дробово-лінійне перетворення (2) одиничного круга на себе є гіперболічним тоді і тільки тоді, коли . Для розв’язання цієї задачі в дисертаційній роботі введені характеристичні функції операторів T з класу L(H(D)) виду , які локально аналітичні на множині . В твердженні 3.1 встановлюється взаємозв’язок між операторами T L(H(D)) та локально аналітичними на множині функціями , які задовольняють умову: .

Важливим модельним випадком гіперболічних автоморфізмів одиничного круга D є функція , де z0 R і . Спочатку в дисертації описано комутант відповідного оператора в класі L(H (D)). В твердженні 3.2 встановлено, що оператор T L(H(D)) буде переставним з оператором тоді і тільки тоді, коли його характеристична функція на множині задовольняє співвідношення

(3)

Для числа через позначимо множину G = C \ {z R: |z| 1 + }. В лемі 3.6 встановлено, що локально аналітична на множині функція буде розв’язком функціонального рівняння тоді і тільки тоді, коли її можна подати у вигляді , де – деяка функція, яка аналітична на деякій множині , і задовольняє на цій множині співвідношення

(4)

За допомогою функції відновлюється характеристична за КетеKцthe G. Dualitдt in der Funktionentheorie //J. reine und angew. Math.- 1953.- 191. - S.30-49. функція оператора T з класу L(H(D)) за формулою

(5)

Наведемо формулювання основного результату .

Теорема 3.4. Нехай , z0 R, . Для того, щоб оператор T L(H(D)) був переставним з оператором необхідно і достатньо, щоб він подавався у вигляді

де – аналітична на деякій множині функція, яка задовольняє умову (4), а контур інтегрування вибраний для за означенням локально аналітичної на множині CDD функції , яка визначається формулою (5).

З теореми 3.4 випливає, що при n N формулою

де , а r таке, що , визначається лінійний неперервний оператор Tn L(H(D)), який переставний з оператором . Кожен з операторів є деяким диференціальним оператором (n–1)-го порядку з певними многочленними коефіцієнтами. В дисертації наведено зображення Tn в явному вигляді. Досить широкий клас операторів, які переставні з , описано в наступному твердженні.

Наслідок 3.2. Нехай – послідовність аналітичних в крузі D функцій, для яких , , , і виконується умова: Тоді оператор T, який визначається формулою

належить до класу L(H(D)) і є переставним з оператором K.

В наслідку 3.3 наведено ще один досить загальний клас операторів з класу L(H(D)), які переставні з оператором K, в якому крім операторів, подібних до операторів Tn присутні ще оператори композиції.

В лемах 3.7 і 3.8 встановлено, що оператор композиції K, який породжений довільним гіперболічним дробово-лінійним автоморфізмом (z) одиничного круга D, є еквівалентним у просторі H(D) до деякого оператора , де , а однозначно визначається за допомогою (z), причому R, . Використовуючи теорему 3.4, леми 3.7 і 3.8 в теоремі 3.5 описано комутант оператора композиції, породженого довільним гіперболічним автоморфізмом круга D.

У параграфі 3.3 описано комутант оператора композиції, породженого параболічним дробово-лінійним перетворенням одиничного круга на себе. Дробово-лінійне перетворення (2) одиничного круга на себе є параболічним, тоді і лише тоді, коли . Не порушуючи загальності, вважатимемо, що .

В лемі 3.9 встановлено, що оператор в просторі H(D) є еквівалентним до оператора в просторі H(G), де G = {z C: Im z > 0}, а . Використовуючи лему 3.9 та опис комутанта оператора зсуву в просторі H(G) (лема 3.10), в теоремі 3.6 одержано зображення комутанта оператора композиції, породженого довільним параболічним автоморфізмом круга D.

В четвертому розділі дисертаційної роботи досліджуються розв’язки деяких операторних рівнянь в класі лінійних неперервних операторів, що діють у просторах аналітичних функцій і пов’язані з операторами узагальненого диференціювання та узагальненого інтегрування.

У параграфах 4.1, 4.2 вивчаються деякі властивості операторів, що є лівими оберненими до множення на незалежну змінну. Нехай G – довільна область комплексної площини, яка містить початок координат. Тоді формулою

(6)

де H(G), , а , визначається загальний вигляд лінійних неперервних операторів з класу L(H(G)), які є лівими оберненими до оператора множення на незалежну змінну Uz. В наступній теоремі одержано зображення комутанта довільного фіксованого оператора , що визначається формулою (6).

Теорема 4.1. Нехай G – довільна область в C, яка містить початок координат, а – фіксована функція з H(G). Для того, щоб оператор T L(H(G)), був переставним з оператором необхідно і достатньо, щоб він подавався у вигляді

(Tf)(z) = ,

де L – довільний лінійний неперервний функціонал на просторі H(G), а .

Звідси при одержуємо опис комутанта оператора Помм’є в просторі H(G) для довільної області G, яка містить початок координат. Зауважимо, що комутант оператора Помм’є в H(G) для різних областей G описаний М.І. Нагнибідою, Ю.Ф. Коробейником, І.Х. Дімовським та В.З. Христовим. Далі в досліджені умови еквівалентності двох довільних операторів, які є лівими оберненими до множення на незалежну змінну.

Теорема 4.2. Нехай G – довільна область комплексної площини, яка містить початок координат, і функції i H(G), i = 1, 2. Для того, щоб оператор був еквівалентним у просторі H(G) до оператора необхідно і достатньо, щоб

а) на G множини нулів функцій та збігалися;

б) кратності однакових нулів функцій та , які належать області G, були рівними.

В параграфі 4.2 описано циклічні елементи операторів, що є лівими оберненими до множення на незалежну змінну.

Теорема 4.3. Нехай G – довільна область комплексної площини, яка містить початок координат; A = + U, де (z) – деяка функція з H(G), і r(z) – фіксована функція з H(G). Для того, щоб система функцій була повною в H(G) необхідно і достатньо, щоб функція r(z) не була нулем жодного нетривіального оператора T L(H(G)), який переставний з оператором A.

Наслідок 4.2 Нехай область G є однозв’язною, і – деякі функції з простору H(G), причому функція не перетворюється в нуль в області G. Для того, щоб система функцій була повною в H(G) необхідно і достатньо, щоб функцію r(z) не можна було подати у вигляді , де – деяка раціональна функція з простору H(G).

Звідси одержуємо умови повноти системи в просторі H(G). У випадку, коли простір H(G) збігається з деяким із просторів , , то достатні умови повноти системи функцій в були одержані М.Г. Хаплановим, а необхідні та достатні – М.І. Нагнибідою. Для довільної однозв’язної області G критерій повноти цієї системи в H(G) був одержаний Ю.А. Казьміним, а для довільної області G – Н.Є. Лінчук.

В класичній праці Ж. Дельсарта і Ж.-Л. ЛіонсаDelsartes J., Lions J. L. Transmutations d’operateurs differentieles dans le domaine complexe //Comment. Math. Helv. – 1957. – 32, №2. – p.113-128. в класі лінійних неперервних операторів, що діють у просторі цілих функцій, досліджувалося операторне рівняння виду DnT = TDn, де D = – оператор диференціювання, а n – фіксоване натуральне число. Зокрема, в цій статті стверджувалося, що загальний розв’язок цього рівняння можна подати у вигляді

(7)

де P – лінійний неперервний оператор, що діє у просторі цілих функцій за правилом: , , а кожен з операторів Tk L(A), , є переставним з оператором D. М.І. Нагнибіда встановив, що формулою (7) описується деяка підмножина розв’язків операторного рівняння DnT = TDn, а також знайшов матричним методом усі розв’язки цього рівняння в класі лінійних неперервних операторів, що діють у просторах функцій, аналітичних у кругових областях.

В параграфі 4.3 дисертаційної роботи вивчаються розв’язки інтегро-диференціального операторного рівняння виду

DnT = TJ n (8)

в класі лінійних неперервних операторів, що діють у просторах функцій, аналітичних у певних областях (J – оператор інтегрування, який діє у відповідному просторі аналітичних функцій). Встановлено, що для рівняння (8) є правильним твердження, яке аналогічне до сформульованого вище результату Дельсарта і Ліонса.

Теорема 4.5. Нехай G – довільна опукла область комплексної площини, яка містить початок координат і є інваріантною відносно повороту навколо точки z = 0 на кут , де n – деяке фіксоване натуральне число, яке більше за 1. Для того, щоб T був розв’язком рівняння (8) в класі операторів L(H(G)) необхідно й достатньо, щоб він подавався у вигляді (7), де Tk, , – деякі оператори з класу L(H(G)), що задовольняють рівняння DT = TJ.

Якщо G – довільна опукла область комплексної площини, яка містить початок координат, то розв’язки операторного рівняння DT = TJ в класі операторів T L(H(G)) описано в теоремі 4.4. Зокрема, з цієї теореми випливає

Наслідок 4.3. Загальний розв’язок операторного рівняння DT = TJ в класі операторів T L(AR) дається формулою , де (z) пробігає множину функцій з класу .

В параграфі 4.4 основна теорема з попереднього параграфу узагальнюється на випадок операторних рівнянь, що містять оператори узагальненого диференціювання та узагальненого інтегрування.

Нехай – послідовність комплексних чисел, які збігаються з тейлорівськими коефіцієнтами деякої цілої функції. Тоді при певних умовах на послідовність формулою (Jf)(z) = визначається оператор узагальненого інтегрування J, який лінійно та неперервно діє у просторі цілих функцій.

Нехай G – довільна зіркова відносно початку координат область комплексної площини. Через d(G) позначимо множину послідовностей відмінних від нуля комплексних чисел , які є тейлорівськими коефіцієнтами цілої функції , причому оператори узагальненого диференціювання D та узагальненого інтегрування J, які породжені послідовністю , продовжуються з простору многочленів S до лінійних неперервних операторів з класу L(H(G)). Характеристика множини d(G) одержана А.В. МоржаковимМоржаков А.В. Представление оператора обобщенного дифференцирования в одном классе односвязных областей. 2 // Вестник ДГТУ. – 2006. – Т.6, №1. – C. 10 – 16..

При зроблених допущеннях в в класі операторів T L(H(G)) досліджені розв’язки операторного рівняння виду

, (9)

де n – фіксоване натуральне число.

В теоремі 4.7 встановлено, що у випадку, коли G – довільна зіркова відносно початку координат область комплексної площини, яка інваріантна відносно повороту навколо точки z = 0 на кут , де n – фіксоване натуральне число, і , то загальний розв’язок операторного рівняння (9) в класі операторів T L(H(G)) дається формулою (7), в якій Tk, , – деякі оператори з класу L(H(G)), що задовольняють рівняння DT = TJ. Теорема 4.7 доведена в дисертації іншим методом, ніж теорема 4.5. З теореми 4.7 випливає, що твердження теореми 4.5 буде правильним, коли замість опуклості області G вимагати її зірковість відносно точки z = 0.

В И С Н О В К И

Дисертаційна робота присвячена знаходженню нових класів лінійних неперервних операторів, що діють у просторах аналітичних функцій і задовольняють певні комутаційні співвідношення.

В дисертації отримано наступні результати: –

описано розв’язки операторних рівнянь, що містять оператори узагальненого зсуву, які породжені оператором Помм’є і діють у просторах функцій, аналітичних у довільних областях; –

у просторі цілих функцій одержано зображення комутантів операторів, які є лінійними комбінаціями зсувів; –

знайдено зображення лінійних неперервних операторів, які діють у просторі аналітичних у одиничному крузі функцій і є переставними з операторами композиції, що породжені еліптичними, гіперболічними та параболічними автоморфізмами цього круга; –

в просторах функцій, аналітичних у довільних областях, вивчені властивості лінійних неперервних операторів, які є лівими оберненими до множення на незалежну змінну; –

досліджені критерії еквівалентності в просторах аналітичних функцій операторів узагальненого зсуву та операторів композиції, що породжені еліптичними автоморфізмами одиничного круга; –

одержано характеристику циклічних елементів для операторів, які є лівими оберненими до множення на незалежну змінну; –

досліджено зображення розв’язків інтегро-диференціальних операторних рівнянь відносно операторів узагальненого диференціювання та узагальненого інтегрування Гельфонда-Леонтьєва.

Для обгрунтування результатів дисертації застосовуються інтегральне зображення Кете лінійних неперервних операторів, які діють у просторах функцій, аналітичних у довільних областях, а також, взаємозв’язок між такими операторами і різними видами їхніх характеристичних функцій.

Результати дисертаційної роботи та методи досліджень, які в ній застосовуються, мають теоретичний характер. Їх можна використати в теорії лінійних неперервних операторів, що діють у просторах аналітичних функцій однієї та багатьох змінних.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ

ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Лінчук Ю.С. Комутант оператора узагальненого зсуву // Наук. вісн. Чернівецького ун-ту. – 1999. – Вип 46. Математика. – С. 72 – 75.

2. Лінчук Ю.С. Комутант оператора композиції, породженого еліптичним дробово-лінійним перетворенням, та його застосування // Наук. вісник Чернівецького ун-ту. – 2004. – Вип. 228. Математика. – С. 48 – 50.

3. Лінчук Ю.С. Комутант одного класу операторів композиції в просторах аналітичних функцій // Доповіді НАН України. – 2005, № 11. – С. 14 – 17.

4. Лінчук Ю.С. Про еквівалентність диференціальних операторів нескінченного порядку // Наук. вісник Чернівецького ун-ту. – 2005. – Вип. 239. Математика. – С. 89 – 91.

5. Lіnchuk Yu. S. Cyclіcal elements of operators whіch are left-іnversed to multіplіcatіon on іndependent varіable // Methods of Funct. Anal. and Top. – 2006. – 12, №4. – Р. 343 – 348.

6. Лінчук Ю.С. Зображення розв’язків одного інтегро-диференціального операторного рівняння // Укр. мат. журнал. – 2007. – 59. №1. – С. 134 – 137.

7. Лінчук Ю.С. Деякі властивості операторів, що пов’язані з узагальненим зсувом, породженим оператором Помм’є // Математичний вісник НТШ. – 2005. – Т.2. – С. 114 – 122.

8. Лінчук Ю.С. Про зображення операторів, що комутують з узагальненим зсувом. – Сучасні проблеми математики: Матеріали Міжнародної наукової конференції. Частина.2. – Київ: Ін-т математики НАН України, 1998. – 286 с.

9. Лінчук Ю.С. Комутант одного класу операторів, пов’язаних з оператором зсуву // Міжнародна наукова конференція пам’яті В.Я. Буняковського (16-21 серпня 2004 р., м. Київ). Тези доп. – Київ: 2004. – c. 91 – 92.

Лінчук Ю.С. Деякі властивості диференціальних операторів нескінченного порядку, що пов’язані з узагальненим зсувом // Вісник Київського національного університету ім. Т. Шевченка. Іnternatіonal Conference DSMSІ. Thesіs of conference reports May 23-25, 2005. – Kyіv, 2005. – c. 79.

10. Лінчук Ю.С. Комутант одного класу операторів, що пов’язані з узагальненим зсувом відносно оператора Помм’є // Конференція молодих учених із сучасних проблем механіки і математики ім. Я.С.Підстригача. Тези доповідей. – Львів, 2005. – с. 204 – 205.

11. Лінчук Ю.С. Деякі класи операторів, що пов’язані комутаційними співвідношеннями з узагальненим зсувом // Вісник Київського національного університету ім. Т. Шевченка. Міжнародна наукова конференція "Диференціальні рівняння та їх застосування". Тези доповідей 6-9 червня. – Київ, 2005. – c. 56.

12. Лінчук Ю.С. Про один клас операторних рівнянь, що містять оператори композиції // Іnternatіonal conference modern problems and new trends іn probabіlіty. Abstract ІІ – Chernіvtsі, June 19-26, 2005. – C. 13.

13. Лінчук Ю.С. Комутант деяких класів операторів, що породжені автоморфізмами одиничного круга // Міжнародна наукова конференція "Математичний аналіз і суміжні питання" Тези доп. – Львів: 2005. – c. 56.

14. Лінчук Ю.С. Деякі комутаційні властивості операторів, що є лівими оберненими до множення на незалежну змінну // Матеріали ХІ-ої Міжнародної наукової конференції імені академіка М.Кравчука (18-20 травня 2006 р., Київ) – К.: ТОВ "Задруга", 2006. – С.494.

15. Лінчук Ю.С. Циклічні елементи одного класу операторів // Міжнародна наукова конференція "Диференціальні рівняння та їх застосування". Тези доповідей 11-14 жовтня. – Чернівці, 2006. – c. 89.

АНОТАЦІЇ

Лінчук Ю.С. Деякі класи операторів, що діють в просторах аналітичних функцій і пов’язані з комутаційними співвідношеннями. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.01 – математичний аналіз. – Інститут математики НАН України, Київ, 2006.

В дисертаційній роботі досліджуються розв’язки операторних рівнянь, що містять оператори узагальненого зсуву, оператори композиції, оператори узагальненого диференціювання та узагальненого інтегрування. Одержані зображення лінійних неперервних операторів, що переставні з операторами, які пов’язані зі звичайним та узагальненим зсувами і діють у просторах многочленів та просторах функцій, аналітичних в довільних областях. В загальному випадку відносно областей вивчені умови еквівалентності двох різних операторів узагальненого зсуву, що породжені оператором Помм’є. У просторі функцій, аналітичних в одиничному крузі, описано комутант оператора композиції, що породжений довільним фіксованим автоморфізмом цього круга. В класі лінійних неперервних операторів, що діють у просторах функцій, аналітичних у довільних областях, досліджені розв’язки деяких операторних рівнянь, що пов’язані з операторами узагальненого диференціювання та узагальненого інтегрування.

Ключові слова: оператор узагальненого диференціювання, оператор узагальненого інтегрування, узагальнений зсув, оператор композиції, комутант оператора, еквівалентність операторів, циклічний елемент оператора, інтегро-диференціальне операторне рівняння.

Linchuk Yu.S. Some classes of the operators which act in spaces of analytical functions and related with correlations of commutation. - the Manuscript.

The thesis for obtaining the Candidate of Physical and Mathematical Sciences degree by speciality 01.01.01 – mathematical analysis. - Institute of Mathematics of the Ukrainian National Academy of Sciences, Kyiv, 2006.

In thesis the solutions of some operator equations which contain operators of the generalized shift, operators of the composition, operators of the generalized derivations and operators of the generalized integrations are investigated.

Images of linear continuous operators which commute with the operators connected with usual and generalized shifts and acting in spaces of polynomials and spaces of functions, which are analytical in arbitrary domains, are received. In general case concerning domains, conditions of the equivalence of the operators of the generalized shift, which generated by Pomme operator, are studied . The commutant of the composition operator in space of functions which are analytic in the unit disk, which generated by the arbitrary fixed automorphism of the unit disk is described. The solutions of some operator equations which are connected with operators of the generalized derivation and of the generalized integration in class of linear continuous operators which acting in spaces of analytical in arbitrary domains functions are investigated.

Keywords: operator of generalized derivation, operator of generalized integration, the generalized shift, composition operators, commutant of the operator, equivalent operators, a cyclical element of operator, integro-differential operator equation.

Линчук Ю.С. Некоторые классы операторов, которые действуют в пространствах аналитических функций и связанные с коммутационными соотношениями. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.01 – математический анализ. – Институт математики НАН Украины, Киев, 2006.

В диссертационной работе исследуются решения операторных уравнений, которые содержат операторы обобщенного сдвига, операторы композиции, операторы обобщенного дифференцирования и обобщенного интегрирования.

В классе линейных операторов, действующих в пространстве многочленов, получено представление всех операторов, перестановочных с фиксированным оператором обобщенного сдвига, который порожден произвольным обобщенным дифференцированием. В общем случае относительно областей G1 и G2 в классе операторов T L(H(G1), H(G2)) исследованы условия существования нетривиального решения и получено представление общего решения операторного уравнения вида , где , i = 1, 2, – операторы обобщенного сдвига, порожденные оператором Поммье. Получено изображение коммутанта произвольного фиксированного оператора обобщенного сдвига, порожденного оператором Поммье, а также установлен критерий эквивалентности двух таких операторов. Для произвольной односвязной области G описан коммутант оператора Th