Київський національний університет імені Тараса Шевченка

МОМОТ АНДРІЙ ІВАНОВИЧ

УДК 533.9

ВПЛИВ САМОУЗГОДЖЕНОГО ЗАРЯДЖАННЯ ПОРОШИНОК НА

ЕЛЕКТРОДИНАМІЧНІ ПРОЦЕСИ У ЗАПОРОШЕНІЙ ПЛАЗМІ

Спеціальність 01.04.02 – теоретична фізика

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Київ – 2007

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана на фізичному факультеті Київського національного університету імені Тараса Шевченка.

Науковий керівник: академік НАН України,

доктор фізико-математичних наук, професор

Загородній Анатолій Глібович,

Інститут теоретичної фізики

ім. М.М. Боголюбова НАН України, директор.

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор

Мальнєв Вадим Миколайович,

Київський національний університет імені Тараса Шевченка

фізичний факультет, професор кафедри квантової теорії поля;

доктор фізико-математичних наук, професор

Лев Богдан Іванович,

Інститут фізики НАН України,

головний науковий співробітник відділу теоретичної фізики.

Провідна установа: Харківський національний університет ім. В.Н. Каразіна

кафедра фізики плазми фізико-технічного факультету (м. Харків).

Захист відбудеться “_27_” березня 2007 р. о 1430 на засіданні спеціалізованої вченої ради Д .001.08 Київського національного університету імені Тараса Шевченка за адресою: 03022, м. Київ-22, пр. Глушкова 2, корпус , фізичний факультет, ауд. 500.

З дисертацією можна ознайомитись у науковій бібліотеці Київського національного університету імені Тараса Шевченка за адресою: 01033, вул. Володимирська, 58.

Автореферат розісланий “_21__” лютого 2007 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради

кандидат фіз.-мат.наук Свечнікова О. С.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Запорошену плазму можна означити як систему, що складається з електронів, іонів, нейтральних атомів чи молекул і дрібних твердотіль-них домішок (порошинок), які можуть бути зроблені як з провідного, так і діелектричного матеріалу. Стикаючись з порошинкою, електрон чи іон "прилипає" до неї (поглинається), завдяки чому з'являються потоки плазмових частинок, які направлені до поверхні порошинки, і вона накопичує електричний заряд. Таке заряджання є самоузгодженим, оскільки заряд порошинки визначається плазмовими потоками, які у свою чергу теж залежать від заряду. Зазвичай порошинки мають мікронний розмір і заряджаються до 103 - 105 зарядів електрона.

Вивчення властивостей запорошеної плазми важливе як з фундаментальної, так і з прикладної точки зору. Запорошена плазма часто зустрічається в природі і активно вивчається експериментально. Можна виділити наступні причини, з яких запорошеній плазмі приділяється значна увага з боку науковців.

Суттєвий і різноманітний вплив порошинок на властивості плазми. Заряджені порошинки – це не просто додаткова компонента плазми з великим зарядом і масою. Порошинки є центрами рекомбінації плазми, що зменшують концентрацію носіїв заряду. Запорошена плазма є нерівноважною відкритою системою, в якій реалізується самоорганізація, утворюються впорядковані структури із заряджених пилових частинок – плазмові кристали. Великий заряд порошинок дозволяє отримати систему з сильним зв'язком, коли кінетична енергія заряджених частинок менша за їх потенціальну енергію. Присутність порошинок призводить до виникнення нових типів хвиль у плазмі і модифікації існуючих, зокрема ленгмюрівських.

Широке розповсюдження досліджуваної системи. Як показують досліди, присутність порошинок у низькотемпературній плазмі є скоріше правилом, ніж виключенням. Планетарні кільця, хвости комет, міжзіркові хмари, іоносфера, магнітосфера є прикладами запорошеної плазми в астрофізиці. У газові розряди порошинки потрапляють внаслідок ерозії електродів та стінок або спеціально інжектуються.

Численні прикладні застосування. При плазмовій обробці поверхонь (травленні, нанесенні тонких плівок, наприклад, при виготовленні комп'ютерних мікросхем) в плазмі утворюються порошинки, які потім осідають на поверхню, що обробляється. Це явище є небажаним і становить прикладну проблему фізики запорошеної плазми. Порошинки були виявлені у пристінковій плазмі в установках термоядерного синтезу з магнітним утриманням. Великі потоки плазмових частинок призводять до руйнування стінок та інжекції порошинок у плазму, при цьому температура пристін-кової плазми є достатньо низькою, щоб у ній порошинки не випаровувалися. З наявністю порошинок пов'язано багато фізичних явищ у атмосфері.

Великий заряд порошинок, який не є сталим і, як правило, підтримується самоузгодженими плазмовими потоками, а також зміна розподілів електронів та іонів через їх поглинання, суттєво впливають саме на електродинамічні властивості плазми. Це і зумовлює актуальність теми дисертаційних досліджень. Крім того, наявність великої кількості робіт, присвячених вивченню запорошеної плазми, свідчить про те, що багато питань у цій області залишаються відкритими.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертація є частиною досліджень кафедри теоретичної фізики фізичного факультету Київського національного університету імені Тараса Шевченка в рамках Комплексної наукової програми "Конденсований стан – фізичні основи новітніх технологій". Також робота була виконана в рамках держбюджетної науково-дослідної теми "Статистична теорія та числове моделювання турбулентної плазми та сильно-зв'язаних кулонових систем" (номер держреєстрації 0101U006424) відділу теорії та моделювання плазмових процесів Інституту теоретичної фізики ім. М.М. Боголюбова НАН України.

Мета і завдання дослідження. Метою роботи є теоретичний опис електродинамічних процесів у запорошеній плазмі, що пов'язані з процесом заряджання порошинок потоками електронів та іонів, а саме: дослідження ефективних потенціалів та перерозподілу заряду навколо порошинки (екранування) і вивчення впливу присутності порошинок різного розміру на діелектричну проникність запорошеної плазми і розповсюдження поздовжніх коливань. Для цього передбачається вирішення наступних наукових завдань: *

знайти аналітичні вирази для ефективних потенціалів порошинки та розподілів густини заряду в плазмі, використовуючи різні моделі динаміки плазми, а саме: моделі слабоіонізованої плазми та плазми без зіткнень; розвинути аналітичний опис ефективних потенціалів порошинок, який можна застосовувати з урахуванням різних додаткових ускладнень задачі (рух порошинки, наявність границь);*

дослідити динамічне екранування порошинки; знайти силу, що діє на порошинку з боку індукованого нею потенціалу;*

аналітично знайти ефективні потенціали порошинки та розподіли густини заряду в системі "напівобмежена плазма - діелектричне середовище";*

узагальнити самоузгоджену лінійну кінетичну теорію запорошеної плазми на випадок наявності полідисперсного пороху; *

провести аналіз впливу самоузгодженого заряджання порошинок на розповсюдження поздовжніх хвиль у запорошеній плазмі.

Об'єкт дослідження – електродинамічні процеси у запорошеній плазмі.

Предмет дослідження – ефективні потенціали порошинки й розподіл густини заряду у плазмі, діелектрична проникність запорошеної плазми й поздовжні коливання в ній у випадку, коли порошинки заряджаються самоузгоджено за рахунок плазмових потоків.

Методи дослідження. В дисертації використовуються аналітичні методи теорії плазми, зокрема, методи статистичної фізики плазми, апарат математичного аналізу та методи комп'ютерного числового дослідження (операційне числення, теорія аналітичних функцій, метод функції Гріна, метод дзеркального продовження полів, тощо).

Наукова новизна одержаних результатів

1. Запропонована принципово нова модель для опису поглинання електронів та іонів порошинкою (модель точкового стоку), що дозволяє аналітично досліджувати вплив самоузгодженого заряджання порошинок на колективні процеси у плазмі. За допомогою запропонованої моделі розраховані ефективні потенціали взаємодії порошинок і знайдені їх асимптотичні залежності. Вперше обґрунтовано, що у випадку слабоіонізованої плазми ефективний потенціал можна апроксимувати сумою двох екранованих потенціалів із довжинами екранування відмінними від дебаєвської.

2. Розвинуто теорію динамічного екранування порошинки, що рухається з постійною швидкістю у слабоіонізованій плазмі. Показано, що самоузгоджене заряджання порошинки може призводити до від'ємного тертя.

3. Вперше запропоновано розв'язок задачі про екранування порошинки у напівобмеженій плазмі. Знайдено ефективний потенціал і показано, що поверхня може суттєво впливати на взаємодію порошинок поблизу неї.

4. Дано узагальнення теорії лінійного відгуку запорошеної плазми на випадок плазми з порошинками різних розмірів. Розраховано функцію діелектричного відгуку такої плазми. Отримані співвідношення дозволяють описувати діелектричні властивості плазми з довільним числом сортів порошинок.

5. Виконано детальне дослідження власних частот та декрементів затухання іонно-звукових хвиль у запорошеній плазмі з одним та двома сортами порошинок. Встановлено, що процеси самоузгодженого заряджання порошинок плазмовими струмами суттєво впливають на декремент затухання хвиль, з'ясовано фізичну природу такого впливу.

Практичне значення одержаних результатів. Результати, отримані в дисертаційній роботі, є вкладом у розвиток теорії запорошеної плазми. Одержані аналітичні формули для потенціалів порошинки та густини заряду можуть бути використані для побудови теорії плазмових кристалів та пояснення поведінки порошинок в обмежених системах. Запропоновану в роботі модель точкового стоку також можна застосувати для опису поглинання електронів та іонів сферичним зондом. Електродинамічні властивості запорошеної плазми необхідно знати для контролю за допомогою зовнішнього електричного поля над порошинками, що утворюються в установках для плазмової обробки поверхонь, зокрема у напівпровідникових технологіях, а також для опису пристінкової запорошеної плазми в установках для термоядерного синтезу з магнітним утриманням.

Особистий внесок здобувача. Публікації [1-8] за темою роботи вийшли у співавторстві з науковим керівником, і аспірант брав безпосередню участь у їх написанні та оформленні. Дисертант брав участь у постановці задач, особисто виконав усі аналітичні та числові розрахунки (розробка та реалізація алгоритму, побудова графіків), аналіз результатів проводився самостійно, або разом з науковим керівником.

В роботах [1,4] здобувач знайшов аналітичний вираз для діелектричної проникності запорошеної плазми з декількома сортами порошинок, на основі якого в [4] виконав числове дослідження властивостей іонно-звукових хвиль: спростив та знерозмірив формули, програмно реалізував метод розв'язку дисперсійного рівняння, проаналізував отримані числові дані. В роботі [2] дисертант визначив, які з лінійних доданків у рівнянні для потенціалу дають основний вклад і аналітично знайшов ефективний потенціал і рівноважний заряд порошинки. В роботі [5] здобувач на основі моделі точкового стоку розрахував ефективний потенціал порошинки і для випадку слабоіонізованої плазми знайшов зв'язок між інтенсивністю стоку і зарядом порошинки. У роботі [3] аналітично дослідив екранування порошинки у напівобмеженій плазмі, знайшов енергію взаємодії порошинки з індукованим нею зарядом.

Апробація результатів дисертації. Результати досліджень, які викладені у дисертації, були представлені на наступних наукових конференціях: Міжнародна конференція "Dusty plasmas in application" (м. Одеса, 25-28 серпня 2004 р.), XIII Міжнародна конференція молодих вчених "Астрономія та фізика космосу" (м. Київ, 25-29 квітня 2006 р.), XIII міжнародний конгрес з фізики плазми "13th International Congress on Plasma Physics" (м. Київ, 22-26 травня 2006 р.), XI Міжнародна конференція-школа "11th International Conference-School on Plasma Physics and Controlled Fusion" (м. Алушта, 11-16 вересня 2006 р.). Також матеріали дисертації обговорювалися на наукових семінарах кафедри теоретичної фізики Київського національного університету імені Тараса Шевченка.

Публікації. За темою дисертації вийшло 9 публікацій, із них 5 статей [1-5] у наукових фахових виданнях, які входять до переліку затвердженого ВАК України, одна публікація – це матеріали конференції [6] і 3 – тези конференцій [7-9].

Об'єм і структура дисертації. Дисертація складається зі вступу, чотирьох розділів, висновків, 29 рисунків та списку використаних джерел із 102 найменувань. Повний обсяг дисертації – 122 сторінки.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі коротко висвітлено стан наукової проблеми, обґрунтовано актуальність досліджень за темою дисертації, сформульовано мету роботи та основні завдання. Представлено наукову новизну та практичне значення одержаних результатів. Наведена інформація про зв'язок роботи з науковими темами, апробацію результатів дисертації, вказано кількість публікацій і особистий внесок у них здобувача.

У розділі 1 коротко проаналізовані основні роботи, присвячені дослідженню електродинамічних процесів у запорошеній плазмі. Розглянуто питання, які є недостатньо вивченими або потребують нових теоретичних підходів чи узагальнення вже існуючих. Обговорені деякі експериментальні результати, на основі яких визначені параметри запорошеної плазми. Крім того, подані основні моделі для опису заряджання порошинок та динаміки плазми, які потім використовуються у наступних розділах дисертації. Описані властивості розповсюдження (дисперсія, затухання) іонно-звукових хвиль у плазмі.

Розділ 2 присвячено вивченню екранування сферичної порошинки у необмеженій плазмі. Спочатку розглядається слабоіонізована плазма, в якій зіткнення між зарядженими частинками відбуваються значно рідше, ніж їх зіткнення з нейтральними атомами чи молекулами. Динаміку такої плазми можна описувати у дрейфово-дифузійному (гідродинамічному) наближенні. В цьому наближенні вираз для потоку плазмових частинок можна записати у вигляді

(1)

де індексом позначено сорт плазмових частинок – електрон, – іон, . Поглинання електронів та іонів порошинкою враховується через крайову умову, де – радіус порошинки, на нескінченності концентрація підтримується сталою:.

З рівняння неперервності, враховуючи крайові умови, знайдено залежність розподілу концентрацій плазмових частинок навколо порошинки від потенціалу. На відміну від розподілу Больцмана, значення концентрації в одній точці визначається значенням потенціалу на всьому проміжку від до. Підставляючи знайдений вираз у рівняння Пуассона, у наближенні, розраховано ефективний потенціал порошинки. Цей потенціал є сумою екранованого доданку і доданку кулонівського типу, тобто має місце неповне екранування заряду порошинки. Така поведінка потенціалу підтверджується числовим розв'язком [1] сформульованої вище задачі та аналітичними оцінками [2]. Знаючи потенціал, з крайової умови знайдено формулу для стаціонарного заряду порошинки, як показує порівняння з числовим розв'язком, точність її є невисокою.

Для кількісного порівняння отриманих результатів з числовими розрахунками зручно ввести функцію розподілу заряду, означену як повний заряд, що знаходиться у сфері радіуса r навколо порошинки

. (2)

Порівняння числових даних для розподілу відносного заряду з аналітичною формулою показує, що остання дає добре якісне узгодження, але навіть на великих відстанях від порошинки значення потенціалу не стає точним. Це пов'язано з наближеною оцінкою для заряду .

При урахуванні додаткових ускладнюючих обставин, наприклад, процесів іонізації та рекомбінації, які часто мають місце в експериментах із запорошеною плазмою, рівняння неперервності ускладнюється, де – інтенсивність об’ємної іонізації плазми зовнішніми джерелами, – коефіцієнт електрон-іонної рекомбінації. Просування у напрямку побудови аналітичних розв'язків задачі про екранування порошинки є можливим, якщо від самого початку використовувати лінійне наближення, в якому вважається, що пов'язане з наявністю порошинки відхилення концентрації плазмових частинок від рівноважного значення і створене цим відхиленням поле є малими. Очевидно, що таке наближення буде справедливим на відносно великих відстанях від порошинки. Що стосується розподілів поблизу поверхні порошинки, то в силу крайової умови збурення ніколи не є малим. Лінеаризація, однак, як було показано, дозволяє надійно встановити асимптотичну поведінку потенціалу, що і було зроблено в [2].

Звідси випливає ідея моделі точкового стоку для плазмових частинок. Ця ідея полягає в тому, щоб при описі динаміки плазми замінити реальні макрочастинки точковими стоками для електронів та іонів, що дозволяє, з одного боку, за рахунок відповідного вибору інтенсивності стоку описати поглинання плазмових частинок реальною порошинкою, а з іншого боку, отримати коректний опис розподілів густини плазми і потенціалу (за винятком області приповерхневого шару). Звичайно, при цьому не можна розраховувати на повний розв'язок задачі, оскільки в такій моделі питання про інтенсивність стоку і заряд порошинки залишаються відкритими в силу незастосовності лінійного наближення поблизу порошинки. Ці величини можуть бути знайдені лише на основі розв'язків нелінійної задачі [1].

В рамках запропонованої моделі динаміка плазми описується наступним рівнянням

(3)

де останній доданок відповідає за поглинання плазми порошинкою, що моделюється точковим стоком, ? інтенсивність стоку, яка вважається заданою. У рівняння Пуассона відповідно вводиться точковий заряд. У лінійному наближенні для нестаціонарної системи було знайдено вирази для концентрації плазмових частинок і потенціалу. Ці вирази є досить громіздкими, але при їх отриманні не робилось додаткових спрощень, що дозволяє зробити важливі якісні висновки. Зокрема, показано, що потенціал стаціонарної порошинки складається з двох екранованих доданків з різними довжинами екранування, які суттєво відрізняються від дебаївської. Такі ж вирази для обернених довжин були отримані в роботі [2].

Якщо ж у системі відсутні об'ємні джерела іонізації та електрон-іонна рекомбінація (,), то вираз для потенціалу спрощується і є суперпозицією дебаївського і кулонівського потенціалів з відповідними ефективними зарядами:

(4)

де. Цей вираз відповідає результату, отриманому нами раніше з урахуванням скінченного розміру порошинки. Як видно з (4), можна трактувати як ефективний заряд у неекранованій частині потенціалу. В подальших розрахунках, де коефіцієнт пропорційності береться з числового розв'язку нелінійної задачі [1], з якого відомо, що значення залежить від відношення радіуса порошинки до радіуса Дебая і змінюється у межах від для великих порошинок і прямує до значення 0.5, коли радіус порошинки прямує до нуля.

На основі виразу для густини заряду навколо порошинки були розраховані розподіли відносного заряду (2) як з урахуванням об'ємних джерел іонізації, так і без. На рис. , 2 наведено графіки аналітичних формул і результати числових розрахунків з [1]. Видно, що при малому радіусі порошинки аналітичні формули дуже добре описують розподіл відносного заряду, дають точні значення при великих значеннях (рис. ) і (рис. ), а при інших значеннях відхилення від точного результату складає всього кілька відсотків. Отже, можна зробити висновок, що отримані за допомогою моделі точкового стоку аналітичні вирази дають правильну асимптотичну поведінку потенціалу, а при невеликих відстанях від порошинки точність формул є достатньою, щоб робити якісні оцінки.

Рис. . Розподіл відносного заряду при (крива 1 побудована за даними з [1], крива 2 ? по аналітичній формулі).

Рис. . Розподіл відносного заряду при , (крива 1 побудована по даним з [1], крива 2 ? по аналітичній формулі).

На основі моделі точкового стоку також було досліджено динамічне екранування порошинки, яка рухається з постійною швидкістю у слабоіонізованій плаз-мі без об'ємних джерел іонізації та рекомбінації. При цьому точковий стік у рівнянні (3) має наступний вигляд. Аналітично знайдено силу, що діє на порошинку з боку індукованого нею електричного поля. Наближені оцінки показують, що для порошинок з радіусом можуть реалізуватись умови, коли ця сила направлена вздовж швидкості порошинки (рис. ), тобто порошинка буде прискорюватись індукованим нею потенціалом.

Також аналітично знайдено силу тертя, яка виникає внаслідок контактних зіткнень порошинки з нейтральними частинками. Порівняння згаданих двох сил показує, що в слабоіонізованій плазмі є можливим існування від'ємного тертя. Підтвердженням цього може служити те, що температура порошинок (середня кінетична енергія), яка спостерігається в експериментах, є набагато більшою за температуру іонів [3].

Далі модель точкового стоку у модифікованому вигляді була застосована для випадку, коли зіткненнями плазмових частинок між собою можна знехтувати (плазма без зіткнень). При цьому розподіл електронів та іонів описуємо стаціонарним кінетичним рівнянням Власова

(5)

Рис. . Залежності проекції на вектор безрозмірної сили, яка діє на порошинку з боку індукованого нею потенціалу від при , , за різних значень .

Права частина рівняння моделює поглинання плазмових частинок порошинкою в наближенні точкового стоку. Інтенсивність стоку при цьому визначається перерізом поглинання електронів та іонів реальною частинкою. У лінійному наближенні знайдено вирази для густини заряду та потенціалу. Причому у випадку формула для потенціалу точно збігається з результатом, отриманим в [4]. Це означає, що і у випадку плазми без зіткнень модель придатна, принаймні, для асимптотичного опису екранування порошинки. Далі показано, що модель точкового стоку без принципових ускладнень може бути застосована для дослідження динамічного екранування порошинки у плазмі без зіткнень.

У розділі 3 на основі запропонованої вище моделі точкового стоку досліджувалось екранування порошинки у напівобмеженій плазмі. Теорія пробного заряду у напівобмеженій плазмі розроблена у значно меншій мірі, ніж у необмеженій. Що стосується екранування поглинаючої порошинки у напівобмеженій плазмі, то, наскільки нам відомо, це питання в літературі не обговорювалося.

Нехай напівпростір z > 0 заповнений плазмою, а область z < 0 – середовищем з діелектричною проникністю. Порошинка знаходиться на відстані від межі поділу середовищ. Система координат вибирається так, щоб вісь z проходила через точку. Будемо вважати, що плазмові частинки відбиваються від межі дзеркально. Модель дзеркального відбивання є найпростішою моделлю, але часто використовується для опису плазми, що обмежена діелектриком чи утримується градієнтом сильного магнітного поля. Реалістичність такої моделі підтверджується експериментами з плазмового відлуння в напівобмеженій плазмі.

Для опису напівобмеженої плазми був застосований метод дзеркального продовження фізичних величин на область, в рамках якого легко використати розвинену в дисертації модель. При цьому система рівнянь для дзеркально продовжених величин має вигляд

(6)

(7)

де і ? потенціал і збурення концентрації, які симетрично продовжені в область, .

Для плазми, що описується у дрейфово-дифузійному наближенні, знайдені аналітичні вирази для потенціалу і розподілу густини заряду, а також енергії взаємодії порошинки з індукованим нею електростатичним полем. Порівняння цієї енергії для випадків, коли заряд не поглинає плазмові частинки (рис. 4а) і для порошинки (рис. 4б) приводить до висновку, що поведінка порошинки у напівобмеженій плазмі суттєво відрізняється від поведінки пробного заряду, а саме: завдяки далекосяжним асимптотам у потенціалі порошинки, пропорційним, при будь-яких значеннях існує деяка критична відстань від межі така, що при порошинка відштовхується від поверхні.

Рис. 4. Залежності нормованої енергії взаємодії порошинки з індукованим потенціалом у слабоіонізованій плазмі від за різних значень (1; 1.2; 1.5; 10): (а), , (б).

Відповідні розрахунки було проведено і для плазми без зіткнень. Отримані формули показали, що в обох випадках електростатичний потенціал у напівобмеженій плазмі є суперпозицією потенціалу порошинки у необмеженій плазмі, потенціалу заряду зображення, а також заряду індукованого на поверхні межі поділу середовищ.

У розділі 4 розвинуто загальний формалізм для кінетичного опису електродинамічних процесів у плазмі з декількома сортами порошинок і застосовано цей формалізм для вивчення іонно-звукових хвиль у такій плазмі. Відомо, що присутність твердотільних дрібних домішок може суттєво впливати на електродинамічні та кінетичні властивості плазми. Зокрема, це стосується і хвиль у плазмі. Одна з головних причин впливу порошинок на колективні процеси у плазмі є поглинання ними електронів та іонів, що призводить до збурень заряду порошинок і, отже, до додаткового відгуку плазми на електромагнітне поле. У багатьох роботах, присвячених вивченню хвиль використовується спрощений підхід у рамках гідродинамічної моделі. Кінетична теорія електромагнітних хвиль у запорошеній плазмі також потребує подальшого розвитку. В першу чергу це стосується узагальнення кінетичної теорії електромагнітних процесів [5] на випадок плазми з порошинками різних розмірів.

Вважається, що порошинки є сферичними, нерухомими і кожна поглинає всі електрони та іони, що стикаються з нею. Ми описуємо динаміку плазми кінетичним рівнянням з інтегралом зіткнень, який враховує поглинання плазмових частинок

(8)

де – самоузгоджений електричний потенціал, а частота поглинання визначається перерізом заряджання, індекс позначає сорт порошинки. Присутність електричного поля у плазмі призводить до збурення функцій розподілу електронів та іонів і, як наслідок, до збурення заряду порошинки,

(9)

Після лінеаризації формули (8) з урахуванням (9) отримуємо інтегро-диференціальне рівняння відносно збурення функції розподілу, яке розв'язується методом функції Гріна, і разом з рівняння Пуассона дозволяє знайти у квадратурах вираз для ? функції діелектричного відгуку плазми з довільним числом сортів порошинок. Цей вираз є досить громіздким і подальше його дослідження потребує числових методів. Рівняння

(10)

визначає залежність частоти власних коливань плазми від хвильового вектора (дисперсію). Так як частоти заряджання порошинок (величина обернена до часу заряджання) менші або порядку плазмової іонної частоти, то процеси зарядки можуть впливати на іонно-звукові коливання у плазмі, на дослідженні яких ми далі і зосередились.

Розв'язки дисперсійного рівняння шукали відносно комплексної частоти. На відміну від чистої плазми, де полюс в інтегральному представленні знаходиться на дійсній осі, у запорошеній плазмі такі полюси мають відмінні від нуля дійсні і уявні частини, тому знаходження полюсів і вибір контуру інтегрування становили окрему задачу.

Щоб визначити, наскільки сильно порошинки впливають на процеси у плазмі, зручно ввести параметр, що показує, яка кількість електронного заряду знаходиться на порошинках - го сорту. Окрім того, для числового розв'язку рівняння (10) необхідно задати наступні безрозмірні параметри: відношення маси іона до маси електрона, відношення іонної температури до електронної (для визначеності всі обчислення проводились для водневої плазми з, та вищезгадані параметри та.

Як видно з рис. 5 присутність порошинок призводить до помітної зміни дисперсійних кривих. Якщо вважати концентрацію іонів сталою, тоді теж є сталим і значення безрозмірного хвильового вектора на графіках при різних відповідає однаковій довжині хвилі. Тому можна говорити, що поява порошинок спричиняє збільшення власної частоти іонно-звукових хвиль. Наприклад, при P=4 (електронів у плазмі у 5 разів менше ніж іонів) і власна частота збільшується майже на 70 %. Проведений аналіз показав, що така зміна дисперсії низькочастотних хвиль головним чином обумовлена зменшенням кількості електронів через їх накопичення на порошинках. Врахування інших процесів у плазмі, пов'язаних з присутністю порошинок, дає малі поправки до власної частоти. Дисперсія, по суті, залежить лише від значення чи (для плазми з полідисперсним порохом).

Рис. 5 Дисперсійні криві для іонно-звукових хвиль у водневій плазмі при різних значеннях .

Рис. 6 Залежність декремента затухання від хвильового вектора при , , (1 - плазма без порошинок, 2 - розрахунки по спрощеній формулі, що враховує лише зміну відношення концентрацій плазмових частинок, 3 - запорошена плазма з урахуванням самоузгодженого заряджання).

Проаналізуємо рис. 6, на якому наведено залежності декремента затухання від хвильового вектора. В області абсолютне значення у запорошеній плазмі є меншим, ніж у чистій (крива 3 порівняно з 1), а починаючи з ? стає більшим. Це збільшення є дуже суттєвим, наприклад, при ? приблизно у 8 разів. Очевидно, збільшення декремента затухання при малих може бути пояснене додатковим механізмом дисипації, що з'являється завдяки поглинанню плазмових частинок порошинкою і новими резонансами, пов'язаними з динамікою заряджання. При більших значеннях хвильового вектора дисипація, спричинена процесами заряджання, стає меншою і на перший план виходить ефект, пов'язаний зі збільшенням фазової швидкості хвилі, внаслідок зменшення концентрації електронів порівняно з концентрацією іонів, крива 3 наближається до 2.

При меншому безрозмірному радіусі область значень хвильового вектора, де затухання у запорошеній плазмі сильніше, ніж у чистій плазмі, звужується і значення декрементів відрізняються не так сильно. Отже, при зменшенні дисипація енергії хвилі через поглинання плазмових частинок порошинкою та її заряджання зменшується, і графік залежності декремента від хвильового вектора наближається до кривої 2 (рис. 6). Збільшення концентрації порошинок при фіксованому їх радіусі призводить до збільшення затухання при малих і зменшенню при великих значеннях.

Рис. 7. Залежність декремента затухання від хвильового вектора (криві 1, 2 відповідають плазмі з одним сортом порошинок при, (1); (2); крива 3 ? плазма з двома сортами порошинок, і).

Порівняння даних для плазми з одно- та двокомпонентним порохом (рис. 7) показали, що при заданих параметрах в області значення декремента затухання у плазмі з двома сортами порошинок співпадає (з точністю до третього знака) з середнім значенням декрементів у плазмі з монодисперсним порохом одного і другого радіуса. При відхилення від середнього значення стають помітними, і далі значення декремента наближається до значень декремента у плазмі з порошинками більшого радіуса.

РЕЗУЛЬТАТИ І ВИСНОВКИ

1. Розглянуто нові підходи до аналітичного опису ефективних потенціалів порошинки, що заряджається плазмовими потоками. Зокрема, запропонована нова модель – модель точкового стоку. Розраховано ефективний потенціал порошинки та розподіли плазмових частинок навколо неї як у випадку слабоіонізованої плазми за присутності джерел іонізації та електрон-іонної рекомбінації, так і плазми без зіткнень. Справедливість моделі підтверджує те, що знайдені аналітичні формули з високою точністю апроксимують раніше відомі числові розв'язки задачі.

Розвинена на основі цієї моделі асимптотична теорія екранування вказує на суттєву залежність ефективних потенціалів як від характеристик кінетичних процесів (наявності чи відсутності зіткнень, характеру динаміки частинок плазми), так і від особливостей регенерації плазми (розподілу джерел іонізації, впливу об'ємної електрон-іонної рекомбінації, тощо).

2. За допомогою запропонованої моделі досліджено динамічне екранування порошинки, яка рухається з постійною швидкістю у плазмі. Знайдено силу, що діє на порошинку з боку індукованого нею потенціалу.

Показано, що у плазмі з частими зіткненнями для порошинок з радіусом, значно меншим радіуса Дебая, можуть реалізуватися умови, коли згадана вище сила направлена вздовж швидкості порошинки і є більшою за силу тертя з нейтральною компонентою плазми, тобто, можливе існування від'ємного тертя.

3. Досліджене екранування порошинки у напівобмеженій плазмі. Аналітично знайдено потенціал, густину заряду та енергію взаємодії з індукованим полем.

Встановлено, що незалежно від значення діелектричної проникності середовища, що обмежує слабоіонізовану плазму, порошинка відштовхується від межі, знаходячись на далеких відстанях від неї. Це пов'язано з асимптотою кулонівського типу в ефективному потенціалі порошинки. При наближенні до межі відштовхування змінюється на притягання. Така поведінка порошинки у напівобмеженій плазмі суттєво відрізняється від поведінки точкового заряду, що не поглинає електрони та іони.

4. Приклади розв'язаних у дисертації задач наочно показують, що модель точкового стоку дозволяє аналітично описувати заряджання порошинки у випадках, коли задача ускладнена наявністю обмежуючих поверхонь або нестаціонарністю, і отже може використовуватись при вивченні різноманітних електродинамічних явищ у запорошеній плазмі.

5. Зроблено узагальнення самоузгодженої лінійної кінетичної теорії запорошеної плазми на випадок присутності сферичних порошинок різного радіуса. Отримано вираз для діелектричної проникності такої плазми. Проведено детальне числове дослідження дисперсійного рівняння в області низьких частот для запорошеної плазми з одним та двома сортами порошинок. З'ясовано основні механізми, через які наявність порошинок впливає на розповсюдження іонно-звукових хвиль.

Встановлено, що присутність пороху в плазмі може суттєво впливати на дисперсію та затухання іонно-звукових коливань. Зокрема, при сталій довжині хвилі, власна частота цих коливань збільшується, що пов'язано зі зменшенням концентрації електронів у плазмі, через їх поглинання порошинками. В області параметрів, для яких проводились розрахунки, це збільшення досягало 70 %. Зміна величини декремента затухання через появу порошинок суттєво залежить від значення хвильового вектора. Показано, що самоузгоджене заряджання призводить до різкого збільшення (у декілька разів) затухання у довгохвильовій частині спектру іонно-звукових коливань. Крім того, в широкій області значень хвильового вектора розповсюдження іонно-звукових коливань у плазмі з декількома сортами порошинок можна описати на основі теорії плазми з монодисперсним порохом відповідного радіуса.

СПИСОК ЦИТОВАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ

1. Bystrenko O., Zagorodny A. Screening of dust grains in a weakly ionized gas: Effects of charging by plasma currents // Phys. Rev. E. – 2003. – Vol.67, №6. – 066403.

2. Экранировка заряда микрочастицы в плазме с внешним источником ионизации / Филиппов А.В., Загородний А.Г., Паль А.Ф., Старостин А.Н. // Письма ЖЭТФ. – 2005. – Т.81, №4. – С.180-185.

3. The plasma condensation: Liquid and crystalline plasmas / Morfill G.E., Thomas H.M., Konopka U., Zuzic M. // Phys. Plasmas. – 1999. – Vol.6, №5. – P.1769-1780.

4. Tsytovich V.N., Khodatayev Yu.K., Bingham R. Formation of a dust molecules in plasmas as a first step to super-chemistry // Comments Plasma Phys. Control Fusion. – 1996. – Vol.17, №4. – P.249-265.

5. Statistical properties and relaxation of dusty plasmas / Sitenko A.G., Zagorodny A.G., Chutov Yu.N. et al. // Plasma Phys. Control. Fusion. – 1996. – Vol.38. – P.A105-A120.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Momot A.I., Zagorodny A.G. Kinetic theory of ion-acoustic waves in dusty plasmas with grains of different sizes // Physica Scripta. – 2005. – Vol.71, №5. – P.543-547.

2. Загородній А.Г. Момот А.І. Далекодійні ефективні потенціали взаємодії порошинок у плазмі // Укр. фіз. журн. – 2006. – Т.51, №6. – С.569-573.

3. Zagorodny A.G., Momot A.I. Boundary influence on grain screening in semi-infinite plasma // Ukr. J. Phys. – 2006. – Т.51, №11-12. – С.1071-1076.

4. Загородній А.Г. Момот А.І. Діелектрична проникність запорошеної плазми за наявності порошинок різних розмірів // Вісник Київ. ун-ту, серія: фіз.-мат. науки. – 2003. – №1. – С.350-358.

5. Загородній А.Г. Момот А.І. Екранування зарядженої поро-шин-ки у плазмі, модель точ-ко-во-го стоку // Вісник Київ. ун-ту, серія: фіз.-мат. науки. – 2006. – №2. – С.413-419.

6. Momot A.I., Zagorodny A.G. Low-frequency waves in dusty plasma with grains of different sizes // Proc. Intern. Conf on the Physics of Dusty and Combustion Plasmas "Dusty Plasmas in Application". – Odesa (Ukraine), 2004. – P.171-174.

7. Momot A.I., Zagorodny A.G. Model description of grain screening in weakly-ionized dusty plasma // Abstracts 13th Open Young Scientists' Conf. on Astronomy and Space Physics (YSC-13). – Kyiv (Ukraine), 2006. – P.141.

8. Momot A.I., Zagorodny A.G. Grain screening in semi-bounded plasmas // Book of abstracts (Part II) of 13th Intern. Congress on Plasmas Phys. (ICPP) – Kyiv (Ukraine), 2006. – P.305.

9. Macroparticle screening in plasma with external sources of ionization / Filippov A.V., Zagorodny A.G., Momot A.I., Pal' A.F, Starostin A.N. // Book of abstracts, 11th Intern. Conf.-School on Plasma Physics and Controlled Fusion. – Alushta (Ukraine), 2006. – P.164.

АНОТАЦІЇ

Момот А.І. Вплив самоузгодженого заряджання порошинок на електродинамічні процеси у запорошеній плазмі. – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.04.02 – теоретична фізика. – Київський національний університет імені Тараса Шевченка, Київ, 2006

Дисертація присвячена дослідженню впливу ефектів, пов'язаних з самоузгодженим заряджанням порошинок на колективні явища у плазмі. Головна увага приділяється проблемі екранування макрочастинки, що заряджається плазмовими струмами, та вивченню впливу таких процесів на поздовжні хвилі у запорошеній плазмі. Запропоновано модель точкового стоку для опису зарядки порошинки. Аналітично розраховано ефективний потенціал та розподіли плазмових частинок навколо порошинки як у випадку слабоіонізованої плазми з джерелами іонізації та електрон-іонної рекомбінації, так і плазми без зіткнень. Справедливість моделі підтверджує те, що знайдені формули з високою точністю апроксимують раніше відомі числові розв'язки. На основі запропонованої моделі досліджено динамічне екранування порошинки, яка рухається з постійною швидкістю і показано, що порошинка може прискорюватись індукованим нею полем. Вивчено екранування порошинки у напівобмеженій плазмі і встановлено, що ефективний потенціал порошинки принципово відрізняється від потенціалу пробного точкового заряду. Зроблено узагальнення самоузгодженої лінійної кінетичної теорії запорошеної плазми на випадок присутності сферичних порошинок різного радіуса, отримано вираз для діелектричної проникності. Проведено детальне числове дослідження дисперсійного рівняння. Показано, що присутність пороху в плазмі може суттєво впливати на дисперсію та затухання іонно-звукових коливань і з'ясовано основні механізми цього впливу.

Ключові слова: запорошена плазма, самоузгоджене заряджання, ефективний потенціал, екранування, діелектрична проникність, іонно-звукові хвилі.

Момот А.И. Влияние самосогласованной зарядки пылинок на электродинамические процессы в пылевой плазме. – Рукопись.

Диссертация на соискание научной степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.04.02 – теоретическая физика. – Киевский национальный университет имени Тараса Шевченко, Киев, 2006.

Диссертация посвящена исследованию влияния эффектов, связанных с самосогласованной зарядкой пылинок на коллективные явления в плазме. Основное внимание уделяется проблеме экранирования макрочастицы, которая заряжается плазменными токами, а также изучению влияния таких процессов на продольные волны в пылевой плазме. Предложена модель точечного стока для описания зарядки пылинок. Аналитически рассчитаны эффективный потенциал и распределение плазменных частиц вокруг пылинки как в случае слабоионизированной плазмы с источниками ионизации и электрон-ионной рекомбинации, так и в случае бесстолкновительной плазмы. Справедливость модели подтверждает то, что найденные формулы с хорошей точностью аппроксимируют раннее известные численные решения. На основе предложенной модели исследовано динамическое экранирование пылинки движущейся с постоянной скоростью и показано, что пылинка может ускоряться индуцированным ею полем. Изучено экранирование пылинки в полуограниченной плазме и установлено, что эффективный потенциал пылинки принципиально отличается от потенциала пробного точечного заряда. Сделано обобщение самосогласованной линейной кинетической теории пылевой плазмы на случай присутствия сферических пылинок разного радиуса, получено выражение для диэлектрической проницаемости. Проведено детальное численное исследование дисперсионного уравнения. Показано, что присутствие пыли в плазме может существенно влиять на дисперсию и затухание ионно-звуковых колебаний и выяснены основные механизмы этого влияния.

Ключевые слова: пылевая плазма, самосогласованная зарядка, эффективный потенциал, экранирование, диэлектрическая проницаемость, ионно-звуковые волны.

Momot A.I. Influence of self-consistent grain charging on electro-dynamic properties of dusty plasma. – Manuscript.

Thesis for the Doctor of Philosophy degree (Candidate of science in Physics and Mathematics) by specialty 01.04.02 – theoretical physics. Physics Department, Kyiv National Taras Shevchenko University, Kyiv, 2006.

The thesis concerns the research of influence of self-consistent grain charging on collective phenomena in plasma. The main attention is paid to the problems of single macroparticle screening and propagation of longitudinal waves in dusty plasma. One of the most important features of dusty plasma is that grains accumulate and carry large electric charge due to adsorption of electrons and ions from plasma. It is assumed that grains are of the spherical shape and are charging by plasma currents.

The new model, namely the model of point-like sink, is proposed for the description of effects produced by charging currents. At first, the problem of grain screening is treated for