Київський Університет імені Тараса Шевченка

ГОРДИНСЬКА ТЕТЯНА ЛЕОНІДІВНА

УДК 532.546:532.72

задачі масопереносу з частково

невідомими крайовими умовами

01.02.05 – механіка рідин, газу та плазми

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Київ-2000

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана на кафедрі математичної фізики Київського Університету імені Тараса Шевченка.

Науковий керівник: | доктор фізико-математичних наук,

професор Глущенко Андрій Арсенійович,

Київський університет імені Тараса Шевченка,

професор кафедри математичної фізики.

Офіційні опоненти: |

доктор фізико-математичних наук,

професор Шмаков Юрій Іванович,

Київський національний університет імені Тараса Шевченка,

механіко-математичний факультет,

професор кафедри МСС;

доктор технічних наук,

професор Лаврик Володимир Іванович,

Інститут гідробіології НАН України,

завідуючий відділом математичного моделювання.

Провідна установа: |

Інститут гідромеханіки НАН України (м.Київ).

Захист відбудеться “21”___червня___ 2000 р. о 1400 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради К 26.001.21 при Київському університеті імені Тараса Шевченка (03127, м. Київ-127, проспект Глушкова, 6, механіко-математичний факультет).

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Київського університету імені Тараса Шевченка за адресою: м. Київ, вул. Володимирська, 58.

Автореферат розісланий “20” травня 2000 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради Кепич Т.Ю.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Внаслідок інтенсивного розвитку науки і техніки виникла велика кількість різноманітних виробництв, де використовуються найсучасніші технології. Складність технологічних процесів збільшує ризик виникнення ситуацій, які можуть завдати непоправної шкоди навколишньому середовищу. Тому першочерговою задачею сучасності стало запобігання екологічним негараздам та зменшення наслідків, до яких може призвести, або вже призвела, їх поява. Зокрема, одним з важливих питань, що потребують вирішення в найкоротший термін, є захист від забруднень водних ресурсів.

Не зважаючи на те, що 75% земної поверхні покриває вода, лише 1% цієї води є придатним для використання. Відомо, що приблизно 96% світових резервів доступної питної води надходять з підземних джерел.

Підземні води грають життєво важливу роль в господарстві та виробництві. Вони використовуються в багатьох галузях людського побуту. Погіршення якості грунтової води може суттєво вплинути на загальний стан поверхневих вод, що обов’язково позначиться на якості питної води, яка постачається з поверхневих вод, а отже й на стані навколишнього середовища та на здоровї людей.

Саме тому вивчення можливих джерел та шляхів попадання забруднень в грунтові води, а також збереження якості води в підземних потоках, є останнім часом предметом досліджень багатьох вітчизняних та закордонних вчених [7, 8, 11, 14, 21, 35, 36, 39, 41, 43, 64, 72, 74, 81, 89, 93, 124, 125 та ін.]. Серед них Абуталієв Ф.Б., Аверянов С.Ф., Бездітний Б.П., Білик А.М., Бочевер Ф.М., Василєв С. В., Верігін М.М., Глущенко А.А., Демченко Л.І., Лаврик В.І., Ляшко І.І., Мистецький Г.Є., Нікіфорович Н.О., Ніколаєвський В.М., Нумеров С.М., Олійник О.Я., Орадовська Г.Є., Патрашев А.М., Поляков В.Л., Рудаков В.К., Шержуков Б.С., Фрід Ж., Рінальді С., Дуглас Ж. та інші.

Широке гідротехнічне будівництво, інтенсивне використання в сільському господарстві різних органічних та неорганічних добрив, нітратів і пестицидів, створення підземних нафтосховищ, захоронення атомних та хімічних відходів виробництв та інші подібні фактори приводять до порушення екологічної рівноваги та забруднення довкілля різними шкідливими речовинами.

Стосовно грунтових вод до недавнього часу серед дослідників панувала думка, що грунт створює захисний фільтр або бар'єр, який не дає забрудненням проникнути вглиб земної поверхні і таким чином захищає підземні джерела від їх негативного впливу. Проте, коли в складі грунтової води були виявлені пестициди та інші хімічні речовини, стало ясно, що природні фільтри не забезпечують надійного захисту підземних джерел від забруднень, що потрапляють туди в результаті активної промислової діяльності людства.

Найбільшу загрозу якості грунтових вод представляють ті органічні сполуки, які є відносно розчинними, не випаровуються і не розкладаються хімічно або біологічно. У воді органічні речовини під дією бактерій елімінують. Їх розклад приводить до зменшення концентрації у воді розчиненого кисню, і тим самим наражає на небезпеку екологічну рівновагу водойми.

Забрудненість грунтових вод найчастіше можна спостерігати в межах високорозвинених регіонів як сільського господарства, так і промислових комплексів. Дуже часто про наявність шкідливих речовин в підземних водах стає відомо вже після тривалого часу з моменту їх попадання в грунт. Однією з причин, чому таке трапляється, є повільна швидкість руху грунтових вод через водоносні пласти. В грунтових потоках не відбувається такого швидкого змішування та розповсюдження речовин, як в поверхневих. Тому забруднення можуть довго залишатися у вигляді концентрованих локалізованих плям, які зберігаються багато років. Відомі випадки, коли про шкідливі речовини, що попали під поверхню грунту більш, ніж 10 років тому, дізналися лише зовсім недавно. Тобто практика сьогодення може мати значний вплив на якість води в далекому майбутньому.

Отже прояви сучасного розвитку суспільства та необхідність нейтралізації їх впливу на стан навколишнього середовища ставлять перед наукою нові, з кожним роком все більш складні задачі з розробки, прогнозування та контролю якості водних ресурсів.

Ефективним теоретичним та експериментальним засобом дослідження процесів, що відбуваються в навколишньому середовищі, є математичне моделювання. Воно дає змогу передбачити розвиток процесу, який вивчається, розрахувати його характеристики, контролювати цей процес та інше. Дуже часто при побудові математичних моделей процесів розповсюдження розчинених в грунтових водах забруднень неможливо повністю сформулювати крайові умови, які виконуються на границі області фільтрації. До цього часу в таких випадках невідомі крайові умови замінювали їх приблизними оцінками, що значно впливало на адекватність математичної моделі, а отже і на якість отриманого результату. Таким чином, знаходження розв'язків крайових задач масопереносу з частково невідомими крайовими умовами та їх дослідження з метою контролю й прогнозування якості грунтових вод є цілком актуальною проблемою.

Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Робота проводилась згідно з загальним планом наукових досліджень кафедри математичної фізики механіко-математичного факультету Київського університету імені Тараса Шевченка й пов’язана з науково-дослідними держбюджетними темами “Дослідження нелінійних крайових задач математичної фізики з застосуванням в актуальних областях механіки суцільного середовища і фізики” (№533, 1992–93рр.), “Побудова та теоретичне обгрунтування ефективних методів розв’язування лінійних та нелінійних крайових задач для рівнянь в частинних похідних” (№97050, наказ №25 від 20.01.1997р., номер державної реєстрації 0198U002031).

Мета і задачі дослідження. Метою даної роботи є формулювання фізичних і математичних постановок задач для процесів міграції та трансформації органічних забруднень в потоках грунтових вод під дренованими гідроспорудами, враховуючи той факт, що на дренованих ділянках границі області фільтрації крайові умови невизначені; розробка точних та наближених методів для знаходження розв’язку цих крайових задач; створення програмного забезпечення для ЕОМ, яке дозволяє реалізувати отримані в роботі алгоритми знаходження розв’язків задач; виявлення деяких фізичних закономірностей на основі аналізу результатів серії обчислювальних експериментів, проведених на ЕОМ.

Наукова новизна одержаних результатів. Задачі теорії масопереносу та фільтрації, пов'язані зі зміною якості грунтових вод, розглянуті в новій некласичній постановці, яка досі не розглядалась. Для їх дослідження використані підходи, що базуються на зведенні задач в диференціальній постановці до різницевих крайових задач. Розв'язок останніх знайдено ітераційними методами. На основі побудованих алгоритмів створене програмне забезпечення для ЕОМ.

На захист виносяться такі положення:

постановка нових крайових задач, які описують зміну якості грунтових вод і характеризуються частково невідомими крайовими умовами;

розв'язок точними методами деяких крайових задач теорії фільтрації з частково невідомими крайовими умовами;

розв'язок ряду крайових задач для лінійних рівнянь конвективної дифузії при частково невідомих крайових умовах з метою визначення типу невідомих крайових умов;

розв'язок ряду крайових задач для систем нелінійних рівнянь конвективної дифузії з частково невідомими крайовими умовами;

створення по отриманих алгоритмах розв’язків програмного забезпечення для ЕОМ та проведення низки обчислювальних експериментів;

аналіз характеру фізичних процесів.

Достовірність отриманих в роботі результатів забезпечується строгою постановкою крайових задач, застосуванням для їх розв’язання теоретично обгрунтованих точних та наближених методів.

Практичне значення одержаних результатів. Проведені в роботі дослідження по розрахунку полів швидкостей фільтрації, полів концентрацій неконсервативних розчинних забруднюючих речовин та розчиненого кисню, температурного поля при фільтрації грунтових вод в однорідних та неоднорідних грунтах можуть бути використані при розв’язанні різних конкретних практичних задач, пов’язаних з питаннями захисту грунтових вод, зокрема при побудові та експлуатації гідроспоруд.

Особистий внесок здобувача. Визначення загального плану діяльності та постановка задач належать науковому керівнику – А.А. Глущенку. Одержання всіх конкретних результатів та їх дослідження виконано особисто автором. Результати робіт, написаних у співавторстві, були отримані автором самостійно. Співавторам належить вибір напрямку дослідження, постановка задач та обговорення одержаних результатів.

Апробація результатів дисертації. Основні результати дисертації доповідались та обговорювались:

на Шостій Міжнародній Науковій конференції імені академіка М. Кравчука, м.Київ, 15-17 травня 1997р.;

на Міжнародній конференції "Моделювання та дослідження стійкості систем", м.Київ, 19-23 травня 1997р.;

на Міжнародній конференції в рамках Третіх Боголюбовських читань "Асимптотичні та якісні методи в теорії нелінійних коливань", м.Київ, 18-23 серпня 1997р.;

на Міжнародній конференції "Сучасні проблеми теорії фільтрації", м.Рівне, 1_ червня 1998р.;

на наукових семінарах кафедри математичної фізики механіко–математичного факультету Київського Університету ім. Т.Шевченка, 1997_рр.

Публікації. За темою дисертації опубліковано 11 наукових праць, з яких 4 надруковано у виданнях, що входять у перелік наукових видань, затверджених ВАК України, і 4 роботи опубліковано без співавторів

Структура та об'єм роботи. Дисертація складається зі вступу, п'яти розділів, висновків, списку використаної літератури та додатку. Її зміст викладений на 227 сторінках друкованого тексту і включає 41 рисунок та одну таблицю. Обсяг основного змісту дисертації становить 134 сторінки. Список літератури складається зі 138 найменувань.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обгрунтовується актуальність теми, розкривається сутність і стан проблеми та її значущість. Подається загальна характеристика роботи. Стисло викладаються основні результати.

Перший розділ має в основному реферативний характер. В ньому розглядаються фізична та математична постановки задач міграції та трансформації забруднень в потоках грунтових вод. Наведено короткий огляд відомих методів розв'язування крайових задач теорії фільтрації та теорії масопереносу.

В другому розділі досліджуються математичні моделі процесів фільтраційного руху рідини під дренованими гідроспорудами. Розглянуто чотири задачі. В задачі 2.1 рух грунтових вод відбувається під залізобетонною гідроспорудою, яка має плоский дренований флютбет. Область фільтрації обмежена знизу горизонтальним

водоупором (Рис.1). В задачі 2.2 грунтові води рухаються в аналогічних умовах, а область фільтрації обмежена знизу горизонтальним дренуючим шаром (Рис.2). В задачі 2.3 рух підземних вод відбувається під дренованою залізобетонною гідроспорудою, яка має одну шпунтову стінку (Рис.3), а область фільтрації обмежена знизу горизонтальним водоупором. Умови задачі 2.4 аналогічні умовам попередньої задачі, але область фільтрації в цьому випадку обмежується знизу горизонтальним дренуючим шаром (Рис.4). Вважалось, що процес фільтрації стаціонарний, середовище однорідне ізотропне. Отже, для визначення п’єзометричного напору в області фільтрації маємо рівняння Лапласа

При формулюванні крайових умов за площину порівняння напорів вибрано рівень води у нижньому б’єфі. Границя області фільтрації складається з водонепроникних ділянок (), границь водних басейнів де та – поверхні верхньої та нижньої водойм відповідно) та дренуючих ділянок . На водонепроникних границях виконується умова:

де – зовнішня нормаль до . У верхньому та нижньому б’єфах відомий напір:

На дренуючих ділянках вважалось, що напір набуває деякого постійного значення, яке є невідомим і перебуває в межах.

Отже для визначення п’єзометричного напору маємо змішану крайову задачу для рівняння Лапласа. Ця задача завжди має єдиний розв’язок.

Хоча значення, якого набуває напір на, невідоме, ця обставина не заважає з точністю до довільних сталих параметрів побудувати область комплексного потенціалу фільтрації, яка має вигляд прямокутного багатокутника, сторони якого паралельні осям координат. А отже для знаходження розв’язків задач, що досліджуються, вдалося застосувати метод конформних відображень. Причому значення невідомих параметрів були довизначені в процесі знаходження розв’язків крайових задач.

Для задач, що розглядалися, отримано комплексний потенціал фільтрації і значення напору на поверхнях дренажу та шару великої проникності, знайдено компоненти вектора швидкості фільтрації та, побудовано сімейства ліній току. Для побудови лінії току використано диференціальне рівняння

де – комплексна швидкість фільтрації.

Третій розділ присвячено дослідженню математичних моделей процесів міграції забруднень з грунтовими водами під дренованими гідроспорудами з метою визначення типу крайових умов для концентрації забруднень на дренуючих ділянках границі області фільтрації.

Оскільки фільтрація стаціонарна, і розглядаються плоско-вертикальні задачі, то процес конвективної дифузії забруднень описується рівнянням:

де – активна пористість середовища; – концентрація забруднюючих речовин в точці в момент часу;, – коефіцієнти конвективної дифузії в напрямку осей координат; – компоненти вектора швидкості фільтрації (вони знайдені в аналітичному вигляді в другому розділі при розв’язуванні крайових задач теорії фільтрації); функція описує джерела і стоки.

До рівняння (6) додається початкова умова

та відповідні крайові умови.

На водонепроникних ділянках границі області фільтрації має місце умова непроникності:

У верхньому та нижньому б’єфах відомо значення концентрації, тобто

На дренуючих поверхнях концентрація змінюється лінійно:

де, – кінці дренуючої ділянки границі області фільтрації,.

Отже для визначення концентрації забруднень в області необхідно розв’язати крайову задачу (6)–(10). Доведено теорему про існування та єдиність розв’язку цієї задачі.

Теорема. Нехай виконуються наступні умови:

функції та мають похідні по змінних x та y, які задовольняють умові Гьольдера з показником;

функції та – неперервні по кожному з своїх аргументів;

функція задовольняє умові Гьольдера з показником та обмежена при;

початкова умова, функція, неперервна і обмежена при;

функція неперервна та обмежена при.

Тоді існує єдиний розв`язок задачі (6)–(10). У внутрішніх точках області він задовольняє рівнянню (6) і має неперервні частинні похідні відповідних порядків, а сам є неперервним при підході до границі і обмеженим на нескінченості.

Розглянуто чотири задачі конвективної дифузії в тих самих областях фільтрації, що розглядалися в задачах 2.1–2.4. Для знаходження їх розв’язків побудовано відповідні різницеві схеми.

Спочатку, оскільки водопроникний шар має скінчену глибину, область фільтрації за принципом Сен-Венана можна обмежити прямокутником з горизонтальною стороною

де – горизонтальна проекція підземного контуру гідроспоруди. В обмеженій області фільтрації для крайових задач типу (6)–(10) будується монотонна однорідна різницева схема Самарського. Проведено її теоретичне обгрунтування. Розв’язки різницевих крайових задач знайдено методом Зейделя в поєднанні з методом послідовної верхньої релаксації. Доведено збіжність ітераційного процесу. Для чисельної реалізації побудованих алгоритмів складено програми для ПЕОМ. Проведено ряд обчислювальних експериментів. Їх результати подано в графічному вигляді. На основі отриманих результатів встановлено, що розподіл концентрації забруднень на дренованих ділянках границі області фільтрації найкраще задавати лінійною функцією, яка визначається в процесі знаходження розв’язку. Вона дає достатню точність і не ускладнює систему різницевих рівнянь. Крім того, зроблено висновки про вплив на характер процесу розповсюдження забруднень таких фізичних та геометричних параметрів, як діючий на гідроспоруду напір, ширина дренажного отвору та його положення відносно флютбету, глибина забивання шпунтової стінки.

В четвертому розділі розглянуто математичну модель процесів міграції та трансформації розчинних забруднюючих речовин в стаціонарному потоці грунтових вод під дренованим зашпунтованим флютбетом. Область фільтрації обмежена знизу горизонтальним водоупором (Рис.3). Оскільки середовище однорідне ізотропне, а фільтрація протікає у вертикальній площині, зміна концентрацій неконсервативних розчинних речовин (НРР) та розчиненого кисню (РК) описується системою нелінійних рівнянь:

при відповідних початкових та крайових умовах. Тут – активна пористість середовища;, – концентрації НРР та РК в точці в момент часу відповідно; – коефіцієнти конвективної дифузії НРР та РК відповідно;, – швидкості фільтрації, знайдені в другому розділі при розв’язуванні задачі 2.3;, – константи відповідно швидкості трансформації НРР та швидкості споживання РК;, – експериментально визначені константи.

Вважалось, що в початковий момент часу

На границі області фільтрації виконуються умови:

На поверхні дрени

Для знаходження наближеного розв’язку задачі (12)–(21) використано метод скінчених різниць. Для побудови різницевої схеми область фільтрації обмежено прямокутником з горизонтальною стороною (11). В обмеженій області фільтрації для задачі (12)–(21) побудовано монотонну однорідну різницеву схему Самарського та проведено її теоретичне обгрунтування. Розв’язок різницевої крайової задачі знайдено методом Ньютона в поєднанні з методом послідовної верхньої релаксації. Доведено збіжність ітераційного процесу. Для чисельної реалізації побудованих алгоритмів складено програми для ПЕОМ. Проведено ряд обчислювальних експериментів. Їх результати подано в графічному вигляді. На основі отриманих результатів зроблено висновки про вплив на характер процесу міграції забруднень таких параметрів, як початковий вміст РК та кількість надходження НРР з верхнього б’єфу.

П'ятий розділ присвячений дослідженню неізотермічних процесів міграції та трансформації забруднень при фільтрації грунтових вод під дренованим зашпунтованим флютбетом. Вважалось також, що область фільтрації обмежена знизу горизонтальним водоупором (Рис.3). Оскільки середовище однорідне ізотропне, а фільтрація вважається плоско-вертикальною, то для визначення концентрацій НРР і РК та температури одержимо систему нелінійних рівнянь:

при відповідних початкових та граничних умовах. Тут – температура пласта в точці в момент часу; коефіцієнт температурної дифузії; – початкове значення температури.

Наближений розв’язок крайової задачі для системи рівнянь (22)–(24) знаходиться за тією ж схемою, що й в розділі 4. Результати обчислювальних експериментів наведено у вигляді графіків та таблиць. Зроблено висновки про залежність характеру процесів міграції та трансформації забруднень від температури води у верхньому б’єфі.

Також в розділі 5 розглянуто цю ж задачу в неоднорідному середовищі. Для знаходження швидкостей фільтрації знайдений розв’язок рівняння

при відповідних крайових умовах. Вважалось, що на поверхні дрени для п’єзометричного напору виконується умова:

Для знаходження наближеного розв’язку крайової задачі для рівняння (25) будується консервативна різницева схема за допомогою інтегро-інтерполяційного методу. Розв’язок різницевої задачі знайдено методом послідовної верхньої релаксації.

Результати обчислювальних експериментів представлені в графічному вигляді.

В кінці наведено основні результати та висновки по дисертаційній роботі.

ВИСНОВКИ

Основним підсумком проведених в дисертаційній роботі досліджень є:

розвиток актуального напрямку в математичному моделюванні і прогнозуванні складних фізико-хімічних процесів підземної гідромеханіки, що стосується нової некласичної постановки і розв’язування крайових задач міграції та трансформації забруднень при фільтрації грунтових вод;

створення адекватних неізотермічних математичних моделей поставлених задач міграції та трансформації забруднюючих речовин в грунтових водах для випадку, коли неможливо точно задати частину крайових умов;

розробка та теоретичне обгрунтування наближених методів розв’язання згаданих крайових задач;

створення для одержаних розв’язків програмного забезпечення, адаптованого до сучасних ПЕОМ;

проведення серії чисельних експериментів та аналіз їх результатів.

Зокрема в роботі отримано наступні основні результати:

Сформульовано нові некласичні математичні постановки задач міграції та трансформації розчинних речовин в потоці грунтових вод, коли повністю задати крайові умови на границі області фільтрації немає можливості. Розглянуто випадок неізотермічних процесів та неоднорідного середовища.

Отримано у випадку однорідних грунтових масивів точні аналітичні розвязки для таких стаціонарних крайових задач теорії фільтрації з частково невідомими крайовими умовами, зокрема для фільтрації під дренованими гідроспорудами.

Побудовано і теоретично обгрунтовано монотонні різницеві схеми для крайових задач теорії масопереносу з частково невідомими крайовими умовами.

На основі аналізу результатів обчислювальних експериментів проведено вибір виду крайових умов для розподілу концентрації забруднень на дренуючих поверхнях.

Для крайових задач для систем нелінійних рівнянь конвективної дифузії, які описують міграцію і трансформацію забруднень в потоці підземних вод через неоднорідний грунтовий масив при змінних фізичних параметрах, побудовано і теоретично обгрунтовано відповідні консервативні різницеві схеми.

Для розвязування отриманих різницевих крайових задач використано і теоретично обгрунтовано наближені ітераційні методи Ньютона і верхньої релаксації (для нелінійних задач) та Зейделя і верхньої релаксації (для лінійних задач).

Виконана програмна реалізація алгоритмів, отриманих для знаходження наближених розв’язків всіх крайових задач з частково невідомими крайовими умовами, що розглядалися в роботі.

За допомогою ЕОМ проведено серію обчислювальних експериментів, основні результати яких проілюстровано у вигляді графіків і таблиць.

Аналіз чисельних експериментів дозволив зробити ряд висновків про вплив фізичних та геометричних параметрів, що містяться в математичній моделі, на поведінку розвязку задач. Зокрема встановлено, що на малій глибині (0,1м) забруднення в грунтових водах швидко проникають в область фільтрації, розповсюджуючись під флютбетом до дрени (шпунта). Дрена, і особливо шпунт, істотно впливають на зміну концентрації забруднень. Для органічних сполук при наявності у воді розчиненого кисню до деякого моменту часу в грунті відбувається збільшення концентрації забруднень, а вміст розчинного кисню зменшується. Після цього моменту часу починається процес самоочищення: вміст забруднюючих речовин в грунті зменшується, і протягом певного проміжку часу вміст забруднень в області фільтрації стає незначним. Швидкість розповсюдження забруднень суттєво зменшується зі зростанням глибин в області фільтрації. Особливо яскраво це виражається для випадку, коли в основі області фільтрації лежить горизонтальний водоупор. Збільшення фільтраційного напору приводить до збільшення швидкостей фільтрації, а отже й до збільшення швидкості розповсюдження забруднень. Збільшення ширини дрени викликає зріст концентрації забруднень в лівій частині грунтового масиву (до дрени або шпунта) і її зменшення в правій частині. У випадку, коли в основі області фільтрації лежить водоупорний шар, більш близьке розташування дрени до нижнього б’єфу викликає збільшення вмісту забруднень в грунті під верхнім б’єфом (або до шпунта) та їх зменшення в. грунті під нижнім б’єфом. Якщо ж область фільтрації обмежена знизу горизонтальним шаром великої проникності, то спостерігається діаметрально протилежна ситуація: чим ближче дрена розташована до нижнього б’єфу, тим менше забруднень в грунті під верхнім б’єфом і більше під нижнім. Проте такі геометричні параметри, як ширина дрени та її положення відносно флютбету не впливають істотно на характер процесу міграції забруднень в грунтових водах. Суттєво впливає на процес переносу забруднень потоком грунтових вод глибина забивання шпунтової стінки. Чим глибше забитий шпунт, тим більше забруднень накопичується в області, розташованій перед шпунтом. В області за шпунтом спостерігається зворотна ситуація, а саме: при більшій глибині забивання шпунту спостерігаються менші накопичення забруднюючих речовин. Збільшення початкового вмісту розчиненого кисню прискорює органічний розпад забруднюючих речовин, що зменшує швидкість їх розповсюдження в грунті. В свою чергу, зростання надходження в початковий момент забруднень з верхнього б’єфу викликає істотне збільшення вмісту забруднюючих речовин по області фільтрації. Далі, при вищій температурі води у верхній водоймі відбувається більш інтенсивний розпад органічних сполук, внаслідок чого концентрація забруднень в області фільтрації зменшується.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

Глущенко А.А., Ковальчук Т.Л.(дівоче – тепер Гординська Т.Л.) Розв'язок однієї задачі теорії фільтрації з частково невідомими крайовими умовами // Вісник Київського Університету. Сер. Фізико-математичні науки. 1996. вип.1. - С. 21–28.

Гординська Т.Л. Застосування методу конформних відображень для розв'язання задач теорії фільтрації з частково невідомими крайовими умовами // Вісник Київського Університету. Сер. Фізико-математичні науки. - 1997. - вип.1. - С. –29.

Глущенко А.А., Гординська Т.Л. Дослідження розповсюдження забруднень під дренованими гідроспорудами // Вісник Київського Університету. Сер. Фізико-математичні науки. - 1997. - вип.2. - С. 16–27.

Гординська Т.Л. Розв’язування деяких задач розповсюдження забруднень в грунтових водах під зашпунтованими гідроспорудами // Вісник Київського Університету. Сер. Фізико-математичні науки. - 1998. - вип.1. - С. .

Бездітний Б.П., Глущенко А.А., Гординська Т.Л. Розв'язок деяких неізотермічних задач масопереносу // Волинський математичний вісник. -1997. - №4. - С. 40–41.

Гординська Т.Л. Розв'язування одного класу крайових задач з частково невідомими граничними умовами // Волинський математичний вісник. - 1997.- Вип.4. - С.46-48.

Глущенко А.А., Гординська Т.Л. Деякі неізотермічні задачі теорії масопереносу в грунтових водах. // Вісник Української Державної Академії Водного Господарства. Збірник статей за матеріалами міжнародної конференції “Сучасні проблеми теорії фільтрації” (присвяченої пам’яті Фільчакова П.Ф.), Рівне, 1-3 червня,1998р. – С. _.

Гординська Т.Л. Про розповсюдження забруднень в грунтових водах під дренованими флютбетами. // Вісник Української Державної Академії Водного Господарства. Збірник статей за матеріалами міжнародної конференції “Сучасні проблеми теорії фільтрації” (присвяченої пам’яті Фільчакова П.Ф.), Рівне, 1-3 червня,1998р. – С. 58-61.

Бездітний Б.П., Глущенко А.А., Гординська Т.Л. Розв'язування одного класу задач для систем рівнянь конвективної дифузії // Тези Міжнар. конф. "Асимптотичні та якісні методи в теорії нелінійних коливань" (Треті Боголюбовські читання). - Київ: Ін_т математики НАН України. - 1997. - С.19–20.

Глущенко А.А., Гординська Т.Л. Дослідження розповсюдження забруднень під дренованими гідроспорудами при невизначеності частини крайових умов // Тези Міжнародної конф. "Моделювання та дослідження стійкості систем”. - К.:ІВЦ Мінстату України. - 1997. - С. .

Gluschenko A.A., Hordynska T.L. The solving of the one boundary-value problem class for advective-diffusion equations // Матеріали Шостої Міжнар. конф. ім. академіка М.Кравчука. - К.: Віпол. - 1997. - С. 105-107.

Гординська Т.Л. Задачі масопереносу з частково невідомими крайовими умовами. –Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.02.05 – механіка рідин, газу та плазми. – Київський університет імені Тараса Шевченка, Київ, .

Дисертацію присвячено питанням дослідження процесів масопереносу забруднюючих речовин грунтовими водами, що характеризуються невизначеністю частини крайових умов. Як приклад розглянуто процеси міграції забруднень під дренованими гідроспорудами. При побудові математичних моделей вважалося, що невідомі крайові умови є умовами першого роду. Для визначення векторів швидкості фільтрації розв’язок крайових задач теорії фільтрації знайдено точним методом конформних відображень. Для визначення виду невідомих крайових умов для концентрації забруднень, розглянуто крайові задачі для лінійного рівняння конвективної дифузії. Їх розв’язки знайдено теоретично обгрунтованими наближеними методами. Встановлено, що розподіл концентрації забруднень на дренуючих ділянках границі найкраще задавати лінійною функцією, яка визначається в процесі знаходження розв’язку. Досліджено неізотермічні процеси міграції та трансформації забруднень в однорідному та неоднорідному грунтах, які описуються крайовими задачами з частково невідомими крайовими умовами для системи нелінійних рівнянь тепломасопереносу. На основі результатів серії обчислювальних експериментів зроблено висновки про вплив фізичних та геометричних параметрів на процес розповсюдження забруднень.

Ключові слова: фільтрація, масоперенос, математичні моделі, крайова задача, конформні відображення, наближені методи, метод скінчених різниць, монотонна різницева схема, обчислювальний експеримент.

Гординская Т.Л. Задачи массопереноса с частично неизвестными краевыми условиями. – Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.02.05 – механика жидкостей, газа и плазмы. – Киевский университет имени Тараса Шевченко, Киев, .

Диссертация посвящена вопросам исследования процессов массопереноса загрязняющих веществ грунтовыми водами под дренированными гидросооружениями. Существенной особенностью исследуемых процессов, является то, что при построении соответствующих математических моделей краевые условия на дренирующих участках границы неопределенны. Рассмотрены случаи, когда гидроконструкция может иметь одну шпунтовую стенку, а область фильтрации ограничена снизу горизонтальными водоупором и слоем высокой проницаемости. При моделировании фильтрационных процессов считалось, что на дренирующих участках границы пьезометрический напор принимает некоторое постоянное значение, которое было определено в процессе решения задачи. Для нахождения решения краевых задач теории фильтрации использовался метод конформных отображений. Получены формулы для скоростей фильтрации. Для каждой фильтрационной задачи построены линии тока. Для процессов массопереноса считалось, что на дренирующих участках границы области движения грунтовых вод распределение концентрации загрязнений описывается линейной функцией. Такой вывод получен на основе анализа результатов ряда вычислительных экспериментов. Рассмотрены математические модели для конвективной диффузии загрязнений, для миграции и трансформации органических веществ, как для изотермических, так и для неизотермических условий протекания процесса. Исследованы условия существования и единственности решения краевых задач конвективной диффузии. Для решения краевых задач теории массопереноса используется метод конечных разностей. Для уравнений массопереноса построена монотонная однородная разностная схема Самарского. Решение разностных краевых задач найдено методом Зейделя и последовательной верхней релаксации (для линейных задач конвективной диффузии) или методом Ньютона и последовательной верхней релаксации (для нелинейных задач миграции и трансформации веществ). Исследованы условия сходимости итерационных процессов. Для всех полученных решений создано программное обеспечение для ПЭВМ. Проведено серию вычислительных экспериментов, на основе результатов которых сделаны выводы о влиянии физических и геометрических характеристик на протекание процессов массопереноса.

Ключевые слова: фильтрация, массоперенос, математические модели, краевая задача, конформные отображения, численные методы, метод конечных разностей, монотонная разностная схема, вычислительный эксперимент.

Hordynska T.L. The mass transfer problems with boundary conditions partly unknown. –Manuscript.

Thesis for a candidate’s degree of physical and mathematical sciences by speciality 01.02.05 – mechanics of liquids, gas and plasma. – Taras Shevchenko Kyiv University, Kyiv, .

The dissertation is devoted to evaluation of pollution mass transfer processes with groundwater. The main feature of the processes is an undefinitions of a part of boundary conditions. As an illustration, a pollution migration under drainage hydroconstructions is considered. It’s thought that the unknown boundary conditions are the Dirihle conditions during mathematical modelling. To define the filtration velocities the solution of the filtration theory boundary value problems have been obtained by the accurate method of conformal mappings. To define a type of unknown boundary conditions for the pollution concentration boundary value problems for a linear advection diffusion equation are considered. Their solutions are obtained by numerical methods, which are theoretically substantiated. There is established that it’s the best way to set the pollution concentration distribution on drainage boundary parts as a linear function. No-isothermal pollution migration and transformation processes in homogeneous and heterogeneous porous mediums are investigated. They are described by the boundary value problems with boundary conditions partly unknown for a system of non-linear heat mass transfer equations. On the basis of computing experiment series results the conclusions about physical and geometric parameter influence on the pollution transport process have been done.

Key words: filtration, mass transfer, mathematical models, boundary value problem, conformal mappings, numerical methods, finite difference method, monotonous difference schema, computing experiment.