НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ІНСТИТУТ ПРИКЛАДНИХ ПРОБЛЕМ МЕХАНІКИ І МАТЕМАТИКИ

ім. Я.С. ПІДСТРИГАЧА

МАХОРКІН

Микола Ігорович

УДК 539.3

ДВОВИМІРНІ ЗАДАЧІ ТЕОРІЇ ПРУЖНОСТІ ДЛЯ КЛИНОВИХ СИСТЕМ
ІЗ ТОНКИМИ, РАДІАЛЬНО РОЗТАШОВАНИМИ ДЕФЕКТАМИ

01.02.04 – механіка деформівного твердого тіла

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Львів – 2007

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Інституті прикладних проблем механіки і математики ім. Я. С. Підстригача НАН України та у Львівському національному університеті імені Івана Франка, Міністерство освіти і науки України.

Науковий керівник | доктор фізико-математичних наук, професор

Сулим Георгій Теодорович

Львівський національний університет імені Івана Франка МОН України,
завідувач кафедри механіки; |

Офіційні опоненти: | доктор фізико-математичних наук, професор

Саврук Михайло Петрович,

Фізико-механічний інститут ім. Г.В. Карпенка НАН України, завідувач відділу

механіки композиційних матеріалів;

доктор фізико-математичних наук, доцент

Острик Володимир Іванович,

Інститут прикладної фізики НАН України, м. Суми, провідний науковий співробітник. |

Захист відбудеться " 2 " листопада 2007 року о  15 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д .195.01 в Інституті прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України за адресою: 79060, м. Львів, вул. Наукова, 3-Б.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України за адресою: 79060, м. Львів, вул. Наукова, 3-Б.

Автореферат розіслано “ 28 вересня 2007 р.

Вчений секретар
спеціалізованої вченої ради,
доктор фізико-математичних наук |

О.В. Максимук | ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. На сучасному етапі розвитку науки і техніки необхідність зменшення матеріаломісткості елементів конструкцій машин і приладів, що працюють за умов різного роду інтенсивних навантажень, забезпечення їх міцності, надійності та довговічності є актуальною і важливою. Прогресивні підходи вирішення цієї проблеми шляхом використання композитних, градієнтних і наноструктурних матеріалів, потребує ефективних методів визначення та дослідження напружено-деформованого стану в околі поверхонь спряження матеріалів, оскільки він, великою мірою, характеризує ресурс працездатності виробів із перспективних і традиційних матеріалів, може істотно впливати на перебіг різних фізико-хімічних процесів і тим самим впливати на міцність як матеріалу так і конструкції в цілому.

Методів дослідження пружної поведінки об’єктів неоднорідної та куcково-одно--рідної структури за різного роду навантажень, розвитку основ механіки композитних матеріалів і розрахунку напружено-деформованого стану й міцності елементів конструкцій стосуються роботи С.А. Абарцумяна, В.В. Болотіна, Т.В. Бурчу-ладзе, Я.М. Григоренка, О.М. Гузя, Ю.М. Коляно, Г.Б. Колчина, В.А. Кривеня, В.Д. Кубенка, В.Д. Купрадзе, В.О. Лома-кіна, А.О. Лєбедєва, М.А. Мартиненка, Б.К. Михайлова, М.І. Мусхелішвілі, Ю.М. Неміша, М.В. Новикова, Ю.М. Новічко-ва, Я.С. Підстригача, В.П. Силованюка, В.С. Саркисяна, М.М. Стадника, Л.П. Хорошуна, М.О. Шульги, П.В. Яснія, та багатьох інших.

Аналіз літературних даних свідчить, що осередками руйнування елементів конструкцій, як правило, є околи кінців включень, тріщин та нерегулярних точок (точки ліній зламу межі поділу матеріалів або виходу на цю межу дефектів типу тріщин і тонких чужорідних включень, точки сходження декількох матеріалів і т. ін.). Дослідження напружено-деформованого стану в таких околах та огляд результатів отриманих у цьому напрямку подано в роботах А.Г. Акопяна, М.А. Задояна, В.М. Александрова, О.Є. Андрейківа, Л.Т. Бережницького, В.В. Божидарніка, Е.І. Григолюка, В.Т. Грінченка, В.С. Гудрамовича, С.О. Калоєрова, А.О. Камін-ського, В.І. Кир’яна, Г.С. Кіта, О.С. Космода-міан-ського, А.Я. Красовського, Я.І. Кунця, Р.М. Кушніра, М.Я. Лєонова, О.М. Лінькова, В.В. Лободи, Р.М. Мартиняка, В.В. Мелешка, В.В. Михаськіва, Н.Ф. Морозова, М.М. Николи-шина, В.А. Осадчука, В.І. Острика, В.В. Панасюка, В.З. Партона, П.І. Перліна, Я.С. Підстригача, Г.Я. Попова, В.Г. Попова, М.П. Саврука, Б.І. Сметаніна, М.Г. Стащука, Г.Т. Сулима, А.Ф. Улітка, Л.А. Фільштинського, М.В. Хая, Р.М. Швеця, В.П. Шевченка, D.B., A., J., M., H., F. Erdogan, F.J. Gуmez, A.R. Shahani, S.S. Pageau, C.R. Picu, V. Gupta, J.R., G.B., G.C., M.L., K. Wieghardt та ін. У цих дослідженнях широко використовували математичні моделі плоского та антиплоского напруженого стану клинових систем. При цьому, як правило, обмежувалися вивченням лише особливості поля напружень в околі вершини однорідного клина або, за певних обмежень на геометричні та механічні параметри, в околі точки сходження двох, трьох чи щонайбільше чотирьох клинів. Питання ж зміни компонент тензора напружень і густини потенціальної енергії деформації та їх інтенсивностей у залежності від способу навантаження, наявності дефектів та неоднорідностей вивчені недостатньо. Це пов’язано з тим, що у випадку багатокомпонентної клинової системи (більше двох клинів), поєднання класичних підходів задачі спряження граничних значень аналітичних функцій не дає змоги отримати відносно прозорі вирази асимптотичної поведінки напружень і переміщень в околі нерегулярних точок межі поділу декількох матеріалів. Числові методи у цих випадках теж виявляються недостатньо ефективними, оскільки їм у певному сенсі бракує загальності та завжди залишаються відкритими питання достовірності й точності отриманих числових результатів. Окрім цього числові методи потребують апріорної оцінки поведінки досліджуваних параметрів в околі нерегулярних точок для побудови спеціальних сингулярних елементів.

Беззаперечною перевагою аналітичних та аналітико-числових розв’язків таких задач є й те, що вони подаються у вигляді формул, які містять елементарні чи спеціальні функції і дають змогу здійснити якісний та порівняльний кількісний аналіз впливу на напружено-деформований стан усіх чинників та виділити головні з них. Окрім цього, такі розв’язки можуть слугувати тестовими прикладами для оцінки достовірності та ефективності розв’язків, отриманих числовими методами.

Приймаючи до відома вищесказане, можемо стверджувати, що розробка методик побудови математичних моделей опису напружено-деформованого стану в околі нерегулярних точок межі поділу матеріалів, їх аналітичних чи аналітико-числових розв’язків і надалі залишається актуальною.

У дисертаційній роботі пропонується варіант такого підходу стосовно багатоклинових систем із тонкими, радіально розташованими прямолінійними дефектами, який ґрунтується на методі узагальненої задачі спряження. Методика апробована при розв’язанні конкретних задач теорії пружності.

Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Робота виконана в рамках бюджетних науково-дослідних тем кафедри механіки Львівського національного університету імені Івана Франка та Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України, а саме: "Задачі динамічної та квазістатичної термопружності для структурно-неоднорідних тіл і середовищ з тонкими включеннями та дослідження зв’язаних термомеханічних процесів при фрикційному контакті" (1999 –  рр., № державної реєстрації 0199U003622, ЛНУ ім. І. Франка); "Некласичні моделі та методи досліджень перехідних процесів у структурно-неоднорідних пружних середовищах" (2002 –  рр., № державної реєстрації 0102U003570, ЛНУ ім. І. Франка); "Математичне моделювання, розвиток методів розрахунку та оптимізація фізико-механічних процесів у неоднорідних деформівних структурах та тілах з багатошаровими покриттями при комплексній зовнішній дії" (2002 – 2005 рр., № державної реєстрації 0102U000453, ІППММ НАНУ); "Моделі та методи прямих і обернених задач для дослідження фізико-механічних процесів у неоднорідних шаруватих структурах із залишковими деформаціями та дефектами" (2006 –  рр., № державної реєстрації 01060U000592, ІППММ НАНУ).

Внесок здобувача як виконавця цих науково-дослідних тем полягає у розробці та апробації аналітичних та аналітико-числових підходів до розв’язування задач пружності кусково-однорідних тіл клинової будови з тонкими неоднорідностями.

Мета і задачі дослідження. Метою роботи є розробка в межах умов плоскої та антиплоскої задач теорії пружності математичних моделей опису і методик дослідження напружено-деформованого стану та концентрації напружень в околі особливих точок багатоклинових систем із тонкими, радіально орієнтованими дефектами.

Досягнення мети передбачає розв’язання таких задач:

· постановку за умов плоскої та антиплоскої задачі теорії пружності узагальнених задач спряження для багатоклинових систем із радіальними дефектами та з’ясування структури асимптотичних виразів для полів напружень і переміщень в околі точки сходження клинів;

· побудова характеристичних рівнянь для визначення особливості поля напружень в околі точки сходження довільної кількості клинів для різних типів крайових умов на берегах системи;

· дослідження порядку сингулярності напружень, розподілів густини потенціальної енергії деформації та поля напружень в околі нерегулярних точок багатоклинових систем конкретної конфігурації;

· побудову за допомогою інтегрального перетворення Мелліна загальних розв’яз-ків сформульованих крайових задач для багатоклинових систем із радіальними дефектами за дії різних типів зовнішнього навантаження та крайових умов;

· побудова асимптотичних залежностей полів напружень та переміщень в околі нерегулярних точок (точка сходження клинів, кінці дефектів) та обчислення узагальнених коефіцієнтів інтенсивності напружень для багатоклинових систем з радіально орієнтованими дефектами, що перебувають під дією силових чинників.

Об’єктом дослідження є багатоклинові системи, складені із довільної кількості пружних ізотропних клинів за присутності на лініях, що виходять із точки сходження клинів, тонких дефектів (тріщини, абсолютно жорсткі чи пружні включення).

Предметом дослідження є характеристики напружено-деформованого стану та енергія деформування в околі особливих точок багатоклинових систем з ідеальним чи неідеальним контактом на лініях зчеплення елементів системи за умов плоскої або антиплоскої задачі пружності.

Методи дослідження. Для досягнення сформульованої мети використано апарат теорії узагальнених функцій, теорію функцій комплексної змінної, методи функцій стрибка, узагальнених задач спряження та інтегрального перетворення Мелліна.

Достовірність результатів забезпечується: строгістю і коректністю побудови математичних моделей на основі загальновизнаних положень механіки деформівного твердого тіла та досвіду застосування методу узагальнених задач спряження до розв’язування інших класів задач; застосуванням для побудови розв’язків сформульованих задач апробованих математичних (аналітичних та аналітико-числових) методів; застосуванням двох різних підходів до побудови характеристичних рівнянь; збігом у часткових та граничних випадках отриманих результатів із уже відомими в літературі розв’язками аналогічних менш загальних задач та числовими дослідженнями окремих прикладів.

Наукова новизна отриманих результатів. У роботі:

· застосовано метод узагальнених задач спряження до визначення напружено-деформованого стану багатоклинових систем (довільна кількість клинів) із тонкими, радіально розташованими дефектами;

· з’ясована структура асимптотик напружень і переміщень в околі точки сходження довільної кількості клинів та побудовані характеристичні рівняння для обчислення особливості поля напружень у цьому околі;

· обґрунтовано використання поняття узагальнених коефіцієнтів інтенсивності напружень клинової системи (УКІНКС), придатних також і для опису концентрації напружень біля вістря тонкостінних міжфазних дефектів, та запропоновано процедуру їх обчислення;

· виявлено аналогію між асимптотичними розв’язками задач механіки деформівного твердого тіла в околі нерегулярних точок для клинових систем, складених із лінійно пружних матеріалів та систем з білінійно пружних матеріалів чи матеріалів із лінійним зміцненням (за активного навантаження);

· за допомогою перетворення Мелліна: отримано трансформанти загальних розв’язків сформульованих крайових задач (для антиплоскої задачі явний вигляд, для плоскої – рекурентні залежності) для багатокомпонентної клинової системи, що містить тонкі, радіально орієнтовані дефекти та перебуває під дією зовнішнього навантаження;

· за умов антиплоскої деформації записані функції Ґріна в околі нерегулярної точки триклинової системи, навантаженої зосередженою внутрішньою силою та чотириклинової системи, навантаженої зосередженими силами на межових поверхнях;

· для конкретних конфігурацій клинових систем, аналітично та числово досліджені порядки сингулярності полів напружень, значення УКІНКС, розподіл полів напружень та питомої потенціальної енергії деформації в околі точки сходження елементів багатоклинової системи залежно від її геометричних та фізико-механічних характеристик, виявлені нові закономірності зміни досліджуваних фізико-механічних параметрів.

Теоретичне значення роботи полягає у розробці (в межах плоскої і антиплоскої задач теорії пружності) ефективної методики дослідження напружено-деформованого стану клинових систем з тонкими дефектами, яка ґрунтується на методі узагальнених задач спряження. Створено продуктивні моделі для опису багатоклинової системи, як єдиного цілого; знайдено загальний розв’язок узагальненої задачі спряження для такої системи. Досліджено нові задачі для дво-, три-, чотириклинових систем з тонкими неоднорідностями.

Практичне значення отриманих результатів. Запропонована методика дає змогу значно спростити дослідження напружено-деформованого стану в околі особливих точок багатоклинових систем з радіально розташованими дефектами: вершин дефектів; точок зламу межі поділу матеріалів; точок сходження різних матеріалів. Отримані результати можна застосовувати при розрахунку на міцність інженерних конструкцій, складених із декількох матеріалів (із кутовими вирізами чи без них) з тонкими неоднорідностями та частково відшарованими тонкими включеннями, які розташовані всередині, виходять на межу поділу матеріалів або її перетинають. Отримані результати дають широкі можливості для аналізу механізмів деформування і руйнування у полікристалах та крихких тілах, геофізиці, тектоніці, механіці композитних матеріалів тощо.

Апробація результатів дисертації. Матеріали дисертаційної роботи доповідалися та обговорювалися на:i XIX Відкритій науково-технічній конференції молодих науковців і спеціалістів Фізико-механічного інституту ім. Г.В. Карпенка НАН України (Львів, 2001, 2005); Міжнародному симпозіумі "Механіка і фізика руйнування будівельних матеріалів та конструкцій" (Луцьк, 2002);  і му Міжнародному симпозіумі українських інженерів-механіків у Львові (Львів, 2003, 2005); Науковій конференції "Математичні проблеми механіки неоднорідних структур" (Львів, 2003, 2006); Всеукраїнській науковій конференції “Сучасні проблеми прикладної математики та інформатики” (Львів, 2003); Конференції молодих учених із сучасних проблем механіки і математики імені академіка Я.С. Підстригача. (Львів, 2004, 2005); Науковій конференції "Сучасні проблеми механіки"(Київ, 2004); Всеукраїнській науковій конференції “Сучасні проблеми механіки” (Львів, 2004; 2005);Польсько-українському науковому симпозіумі "Актуальні задачі механіки неоднорідних середовищ" (Варшава, 2005).

У повному обсязі робота доповідалася на спеціалізованому семінарі кафедри механіки Львівського національного університету імені Івана Франка, науковому семінарі відділу механіки деформівного твердого тіла Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача, науковому семінарі відділу механіки композиційних матеріалів Фізико-механічного інституту ім. Г.В. Карпенка НАН України, проблемному семінарі Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України з механіки деформівного твердого тіла за напрямком "Математичні проблеми механіки руйнування і контактних явищ", науковому семінарі "Сучасні проблеми механіки" кафедри теоретичної та прикладної механіки Київського національного університету імені Тараса Шевченка.

Публікації та особистий внесок здобувача. Результати досліджень, які відображені в дисертації, опубліковано у 18 наукових працях [1 – 18], у тому числі в 4 статтях у фахових виданнях зі списку ВАК України [1 – 4], 3 статтях в інших наукових виданнях [5 – 7], 6 матеріалах [7 – 13] і 5 тезах [14 – 18] конференцій.

Основні результати, які сформульовані у дисертації отримані автором самостійно. У працях [1 – , 10, 12, 13, 15, 17, 18] науковому керівнику професору Г.Т. Сулиму належать участь у постановках задач, в обговоренні основних ідей їх розв’язування, систематизації та формулюванні висновків за результатами виконаних досліджень. У роботах [7, 18] співавтор Божидарнік В.В. брав участь у постановці задачі та обговоренні отриманих результатів. Дисертанту належать основні ідеї розв’язування сформульованих задач, усі аналітичні перетворення та числові дослідження, він брав також участь у формулюванні постановок задач і висновків за результатами досліджень, їх систематизації.

Структура та обсяг дисертації. Дисертація складається із вступу, чотирьох розділів, які містять 27 рисунки і 4 таблиці та списку літератури з 175 назв. Повний обсяг роботи 187 с., з них: 150 с. основного тексту, 16 с. списку використаних джерел та 21 с. рисунків і таблиць.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі подано загальну характеристику роботи: обґрунтовано актуальність теми дисертаційної роботи, сформульовано мету та задачі досліджень; висвітлено наукову новизну, теоретичне та практичне значення отриманих результатів; подано відомості про апробацію роботи та її зв’язок з науково дослідними темами установ, де вона виконана; зазначено кількість публікацій, у яких висвітлено основні результати досліджень, і окреслено особистий внесок здобувача у публікаціях, підготовлених за участю співавторів; тезисно викладено зміст роботи в цілому.

У першому розділі за літературними джерелами проаналізовано методи визначення та результати дослідження напружено-деформованого стану тіл однорідної та кусково-однорідної структури з тонкими дефектами та лініями зламу поверхонь. Обґрунтовується вибір теми дисертації та методу узагальнених задач спряження, як певного доволі універсального підходу, що з використанням узагальнених функцій (зокрема, асиметричних одиничних) дає змогу математично змоделювати такі структури як єдине ціле і на основі отриманих частково-вироджених диференціальних рівнянь з розривними коефіцієнтами здійснювати відповідні дослідження.

Рис.1 | Другий розділ відведено формулюванню з використанням методу узагальнених задач спряження двовимірних основних задач пружності в переміщеннях для кусково-однорідних систем, складених із довільної кількості однорідних ізотропних клинів, одного клину-вирізу і тонких дефектів, розташованих на лініях зчеплення (рис.1), та побудові їх асимптотичних розв’язків в околі вершини кутового вирізу. Для цього розроблена методика, котра ґрунтується на вищезгаданому методі та правомірності моделювання наявності тонких дефектів функціями стрибка переміщень і напружень при переході через тонку неоднорідність.

За допомогою узагальнених функцій фізико-механічні характеристики системи (див. рис. ) та переміщення подаються у такому вигляді:

,

де – кількість клинів; – сталі Ламе та переміщення в -му клині.

У результаті цього багатоклинову систему розглядаємо як єдине (цілісне) кусково-однорідне тіло з неідеальним механічним контактом на поверхнях контакту з дефектами

, ,

де – функції стрибка переміщень і напружень при переході через поверхні поділу, причому у випадку відсутності дефекту ?0 .

Використовуючи вирази , у рівняннях пружної рівноваги в переміщеннях для однорідного тіла, задачу визначення напружено-деформованого стану за допомогою методу узагальнених задач спряження зведено до відшукання розв’язку відповідних крайових задач теорії пружності для частково-виродженого диференціального рівняння з імпульсними коефіцієнтами (за умов антиплоскої деформації)

,

або системи частково-вироджених диференціальних рівнянь з розривними та імпульсними коефіцієнтами (за умов плоскої задачі теорії пружності)

, .

Тут – асиметрична функція Гевісайда; – оператор Лапласа в полярній системі координат; – функція відрізку; – кусково-сталі функції вигляду , де ; ; ; ; ; ; – вирази, які містять функції значень компонент вектора переміщень, їх похідні та функції стрибка напружень і переміщень на поверхнях поділу матеріалів ц= цi-0 та мають такий вигляд:

, , , .

Рівняння , еквівалентні системам рівнянь рівноваги у переміщеннях для кожного однорідного елементу (n рівнянь у випадку антиплоскої деформації та 2n – у випадку плоскої задачі теорії пружності), розв’язки яких задовольняють умови на їх поверхнях (2n умов у першому випадку та 4n – у другому).

В околі точки сходження клинів, з’ясовано структуру сингулярної складової загального розв’язку двовимірних крайових задач теорії пружності сформульованих для рівнянь , . Ця складова має вигляд такого ряду

,

де

;

, ;

, , ;

; ; – сталі, значення яких обчислюються за рекурентними співвідношеннями; – деякий параметр.

Сталі , , , визначено через функції , у яких вважаємо, що функції стрибка напружень та переміщень дорівнюють нулю, та через сталі , , , , котрі в свою чергу є розв’язками однорідних систем лінійних алгебричних рівнянь, отриманих підстановкою подань у відповідні однорідні крайові умови. Умова існування нетривіального розв’язку такої системи є водночас рівнянням для обчислення комплексної сталої qj і використана для розробки процедури побудови аналітичного вигляду характеристичного рівняння для багатоклинової системи.

Напруження визначаються згідно з законом Гука, де сталі матеріалів беруться у вигляді , а похідні від узагальнених функцій переміщень розуміються в класичному сенсі. Степенева сингулярність напружень визначається виразом л*j =1-Reqj , а отже характер розподілу напружень та переміщень описується складовою ряду при значенні параметра qj з найменшою дійсною частиною. Зважаючи на структуру отриманих розв’язків, у випадку антиплоскої деформації клинової системи асимптотики параметрів напружено-деформованого стану подано у вигляді

, , , ,

а у випадку плоскої задачі теорії пружності –

, , , .

Тут – сталі коефіцієнти, які для кожної конкретної конфігурації клинової системи залежить від способу та виду навантаження системи; , – кутові функції, які характеризують розподіл напружень та переміщень в околі вістря системи та не залежать від виду і способу навантаження системи; – порядок сингулярності; – найменше значення з множини дійсних розв’язків характеристичного рівняння, котре належить інтервалу (0;1).

Таким чином асимптотичне подання напружень та переміщень в околі вістря системи характеризується степенем радіальної складової, сталими коефіцієнтами , залежними від прикладених до системи зусиль, та деякими функціями полярного кута ц, котрі не залежать від навантаження системи. Враховуючи це, а також те, що в граничному випадку півбезмежної тріщини або абсолютно-жорсткого включення подання , збігаються з класичними поданнями асимптотик в околі вершини тріщини або абсолютно жорсткого включення в однорідному середовищі, називатимемо узагальненими коефіцієнтами інтенсивності напружень клинової системи (УКІНКС).

Враховуючи те, що в околі особливих точок (зокрема кутових точок межі поділу матеріалів) поверхні білінійно пружного матеріалу чи матеріалу з лінійним зміцненням (за активного навантаження) напруження мають сингулярний характер (з наближенням до такої точки уij>?), виявлено, що в околі таких точок можна використовувати асимптотичні розв’язки для лінійно пружного матеріалу, якщо формально замінити пружні сталі м та н на м'=E[3-б(1-2н)]-1 ,н'=бн+0,5(1-б) , де E – модуль пружності; н – коефіцієнт Пуассона; б – параметр зміцнення.

У третьому розділі за умов антиплоскої деформації визначається і досліджується напружено-деформований стан систем, складених із довільної кількості клинів і тонких радіальних дефектів.

Побудовано конкретні характеристичні рівняння для обчислення особливостей л=1-Req поля напружень в околі точки сходження довільної кількості клинів, за різних умов на поверхнях вирізу (умови основних задач теорії пружності або умови ідеального механічного контакту між ними). Рівняння мають типову структуру, зокрема, для першої крайової задачі загальний вигляд рівняння є таким:

,

де – функції, визначені за допомогою рекурентних співвідношень.

Виходячи із подань , записано формули для обчислення розподілу питомої та повної потенціальної енергії деформації в околі точки сходження довільної кількості клинів.

Використовуючи характеристичні рівняння типу , обчислено порядок сингулярності поля напружень в околі точки сходження трьох та чотирьох клинів за різних значень кута розхилу та модулів зсуву матеріалу клинів. Виявлено, що за певних геометричних конфігурацій системи можливе отримання аналітичних виразів для коренів характеристичного рівняння, що дає можливість з’ясувати весь спектр власних значень. Такі вирази записані для систем, що складаються з трьох або чотирьох прямокутних клинів та для системи складаної з трьох клинів з кутами розхилу 2р?3.

Використовуючи комплексні подання Колосова-Мусхелішвілі та методи розв’язання задачі спряження Рімана-Гільберта, отримані для триклинової системи (при б4=0) характеристичні рівняння для визначення власних значень , які виявилися частковим випадком рівнянь типу . Такий метод побудови характеристичних рівнянь, як і зазначалося на с. , виявився більш трудомістким, оскільки збільшення кількості елементів клинової системи вимагає щоразу розв’язувати цілком нову задачу та обчислювати визначник порядку 2n (див. с. ).

За умов основних задач теорії пружності на межових поверхнях системи, досліджено порядок сингулярності в околі точки сходження елементів системи з n клинів Si (бi=2р/n, i=), мате-ріали яких циклічно (почергово) змінюються (мi=гpм1, p=0,5[1+(-1)i] ). Виявлено, що зі збільшення кількості елементів системи порядок сингулярності прямує до деякого граничного значення. Наприклад, для г=10 у випадку півбезмежної тріщини, що виходить з точки сходження клинів таким значенням є л* ?0,701 (табл. ). Зі збільшенням відношення модулів зсуву г>? порядок сингулярності прямує до л* ?1.

Таблиця 1

В околі точки сходження трьох клинів із кутами розхилу гi=2р?3 вивчено якісний розподіл дотичних напружень уrц та питомої потенціальної енергії дефор-мації. Виявлено, що у випадку, коли на межових поверхнях системи задані умови другої задачі теорії пружності (абсолютно жорстке тонке включення, що виходить з точки сходження клинів) (рис. ) або умови ідеального механічного контакту (суцільне тіло) є радіальні напрямки, при переході через які визначені головним членом асимптотики напруження змінюють знак. У цьому випадку для з’ясування рівня напружень на цих променях необхідно користуватися наступною складовою (при наступному за значенням порядку сингулярності) ряду . З’ясовано, що мінімум питомої потенціальної енергії в елементі системи розташований на лінії з’єднання з елементом більшої жорсткості. На рис. графічно подано розподіл питомої потенціальної енергії за умов другої задачі теорії пружності. Окрім цього вивчено рівень потенціальної енергії, накопиченої в характерному околі вершини кожного елемента дво- та триклинових систем.

Рис.  | Рис.  | Для з’ясування поля напружень в околі розташованих на відстані від точки сходження клинів дефектів та для кількісного аналізу параметрів напружено-деформовано-го стану системи знайдено трансформанти Мелліна загального розв’язку рівняння

,

де – функції, що визначаються рекурентними співвідношеннями; , – функції, котрі визначено в явному вигляді за умов усіх основних задач теорії пружності на межових поверхнях системи та умов ідеального механічного контакту між ними; , – трансформанти функцій стрибка напружень та переміщень; – параметр інтегрального перетворення Мелліна.

Відтак параметри напружено-деформованого стану системи подані у вигляді комплексних інтегралів –

.

Ґрунтуючись на загальному розв’язку узагальненої задачі спряження та поданнях , за умов першої та другої крайових задач теорії пружності побудовано сингулярні інтегральні рівняння для обчислення функції стрибка переміщень при переході через радіальну, рівноважно-симетрично навантажену тріщину, розташовану в двоклиновій системі. У випадку, коли тріщина розташована на лінії зчеплення двох клинів з однаковими кутами розхилу, знайдено аналітичний вираз для функції стрибка і формули для асимптотик полів напружень та переміщень в околі її кінців.

Рис. 4 | За допомогою теореми про лишки побудовані функції типу Ґріна для асимптотик параметрів напружено-деформованого стану системи в околі точки сходження клинів чотириклинової системи з кутовим вирізом, яка навантажена на берегах вирізу зосередженими силами або один її берег жорстко затиснений, а на другому діє зосереджена сила. Запропоновано процедуру визначення УКІНКС, за допомогою якої записані аналітичні вирази для їх обчислення.

Побудовано вигляд функції Ґріна в околі точки сходження трьох клинів, один із яких навантажений в точці з координатами r=a, ц=ш внутрішньою зосередженою силою T за усіх типів однорідних крайових умов на межових поверхнях системи. Записані аналітичні вирази УКІНКС.

Розглянуто триклинову систему, що складається із клинів з кутами розхилу бi=2р/3 (i=1,2,3) , що навантажена внутрішньою зосередженою силою і містить півбезмежний дефект типу тріщини, абсолютно жорсткого включення або відшарованого з одного боку абсолютно жорсткого включення. Досліджено залежність значення УКІНКС (на рис. 4, для випадку півбезмежної міжфазної тріщини подані графіки нормованих значень УКІНКС ,p0– полюс підінтегральної функції , який забезпечує максимальну степеневу особливість напружень) у цій системі від точки прикладання зосередженої сили. Виявлено, що за певних значень полярної координати ц, точки прикладання зосередженої сили, у такій системі з півбезмежною тріщиною УКІНКС дорівнює нулю (рис. ). У цій ситуації напружений стан у вершині системи характеризується складовою не при максимальній, а наступній (меншій) за величиною особливості.

Четвертий розділ стосується з’ясування напружено-деформованого стану у багатоклиновій системі за умов плоскої задачі теорії пружності.

Для цього за допомогою інтегрального перетворення Мелліна побудовано трансформанту загального розв’язку системи частково-вироджених диференціальних рівняння у вигляді

, .

Тут , , мають вигляд , де , , , , , , , , ; – параметр перетворення Мелліна; , , , – визначені через функції, , , , , за допомогою записаних рекурентних співвідношень; – трансформанта Мелліна функції ; функції , , , є розв’язками системи лінійних алгебричних рівнянь, яка одержана внаслідок підставляння у відповідні крайові умови, до яких попередньо застосували перетворення Мелліна.

Відтак параметри напружено-деформованого стану складеної з довільної кількості елементів багатоклинової системи за довільних умов на межових поверхнях подаються у вигляді комплексних інтегралів типу .

Ґрунтуючись на виразах записано трансформанти параметрів напружено-деформованого стану в двоклиновій системі, навантаженій зосередженими силами за умов першої (рис. , ) та змішаної (рис. ) задач теорії пружності.

Рис. 5 | Рис. 6 | Рис. 7 | Суперпозиція розв’язків задач теорії пружності, побудованих для зображених на рис. та рис. систем, є функцією типу функції Ґріна для двоклинової системи, навантаженої зосередженою силою в точці, ц=0, r=0.

Рис.  | Конкретизовано асимптотики параметрів напружено-деформованого стану в околі вістря кутового вирізу триклинової системи за умов основних крайових задач теорії пружності на межових поверхнях системи. Записано відповідні характеристичні рівняння для з’ясування порядку сингулярності напружень.

Як частковий випадок розглянуто задачу для півбезмежного дефекту типу тріщини чи тонкого абсолютно жорсткого включення, що виходить із точки сходження двох клинів і розташований на лінії їх розмежування ( б1+б2=2р). Записані в явному вигляді характеристичні рівняння та асимптотики напружень і переміщень. Досліджено залежність порядку сингулярності напружень в околі кінця дефекту від геометричних та механічних параметрів системи. З’ясовано, що існують області значень геометричних параметрів системи, за яких відсутні дійсні значення порядку сингулярності. Параметри цих областей залежать від пружних характеристик елементів системи. Розподіл дійсних значень порядку сингулярності напружень в околі кінця дефекту типу тріщини в залежності від геометричних (кут розхилу першого клина ц1) та пружних (відношення модулів зсуву г=г2/г1 ) характеристик системи, за фіксованих значень сталих Пуассона н1=0,33, н2=0,25 ) подано на рис. .

Аналіз структури асимптотичних подань виявив, що у загальному випадку УКІНКС і або і пов’язані між собою співвідношенням вигляду , (i=1,2). З’ясовано умову його виконання для системи з вирізом ( , ). Ґрунтуючись на цій залежності, досліджено кутову зміну асимптотик нормальних напружень та питомої потенціальної енергії деформації в околі кінця дефекту. В розглянутих при дослідженнях конфігураціях системи не виявлено порушення виявленої залежності між УКІНКС.

Рис.  | Рис. 

На рис. 9, 10 зображено характерну кутову залежність нормованих нормальних напружень та питомої потенціальної енергії деформації для системи з півбезмежною тріщини (рис. ) та півбезмежним абсолютно жорстким включенням (рис. ), розташованими на зламаній під прямим кутом межі поділу матеріалів (ц1=90o ), а г=г2/г1=10 . Максимальне значення порядку сингулярності напружень л* дорівнює 0,462 для півбезмежного дефекту типу тріщини та 0,094 – для абсолютно жорсткого тонкого включення. На рис. 9 видно, що, за наявності тріщини існують радіальні напрямки, при переході через які визначені найстаршим членом асимптотики нормальні напруження змінюють знак. Для абсолютно жорсткого включення (див. рис. 10) у такій системі вони відсутні. Зазначимо, що наявність таких променів залежить від відношення модулів зсуву. За відношення г=0,1 картина буде оберненою. На рисунках добре помітні напрямки, де розподіли напружень уцц та густини потенціальної енергії деформації мають локальні екстремуми. Це дає можливість прогнозувати напрямки розвитку руйнування на основі критеріїв руйнування (уцц -критерій; S -критерій Сі та ін.).

ОСНОВНІ РЕЗУЛЬТАТИ РОБОТИ ТА ВИСНОВКИ

В межах умов плоскої чи антиплоскої задачі теорії пружності розроблено методику дослідження напружено-деформованого стану та концентрації напружень в околі особливих точок багатоклинових систем за наявності в них прямолінійних тонких радіально розташованих дефектів. При цьому отримані такі основні результати.

1. За допомогою методу узагальнених задач спряження для кусково-однорід-них областей, задачу про визначення напружено-деформованого стану багатоклинових систем з тонкими радіально розташованими дефектами за умов антиплоскої чи плоскої деформації зведено до знаходження розв’язків відповідних крайових задач для одного чи системи двох частково вироджених рівнянь з кусково-сталими коефіцієнтами. З’ясована структура сингулярної складової загального розв’язку таких задач в околі точки сходження довільної кількості клинів та записано характеристичні рівняння для з’ясування особливостей напружень в околі такої точки. Такі рівняння для триклинового пакету за поздовжнього зсуву одержано також і методами теорії функцій комплексної змінної.

2. За допомогою інтегрального перетворення Мелліна записано трансформанти загальних розв’язків сформульованих крайових задач (рекурентні співвідношення для плоскої задачі теорії пружності і явний вигляд – для антиплоскої). Для конкретних випадків навантаження зосередженими силами дво-, три- та чотириклинових систем з’ясовані асимптотики напружень та переміщень в околі точок сходження клинів.

3. Ґрунтуючись на аналізі структури отриманих розв’язків обґрунтовано правомірність використання в околі точок сходження клинів та вершин тонких міжфазних дефектів поняття узагальнених коефіцієнтів інтенсивності напружень клинової системи, які у граничних випадках збігаються із класичними. Запропоновано та апробовано на конкретних прикладах процедуру їх обчислення.

4. Виявлено аналогію, згідно якої дослідження напружено-деформованого стану та концентрації напружень в околі особливих точок багатоклинових систем з білінійно пружних матеріалів або матеріалів із лінійним зміцненням за активного навантаження правомірно виконувати на аналогічних лінійно пружних системах, пружні сталі яких обчислюються за отриманими в роботі співвідношеннями.

5. Досліджено порядок сингулярності в околі точки сходження елементів дво- три- і чотириклинових систем із тонкими півбезмежними дефектами типу тріщини або абсолютно жорсткого включення, що виходять із цієї точки, в залежності від геометричних та пружних характеристик системи.

6. Для низки конкретних конфігурацій клинових систем, що перебувають за умов поздовжнього зсуву, отримані аналітичні вирази для обчислення значень порядку сингулярності.

7. З’ясовано характер розподілу напружень та питомої потенціальної енергії деформації в околі точки сходження трьох клинів та кутового вирізу за різноманітних крайових умов на його берегах, у тому числі й при їх ідеальному контакті.

8. Аналітичні та числові дослідження окремих типів конфігурацій дали змогу виявити закономірності поводження досліджуваних параметрів напружено-деформованого стану в околі внутрішніх нерегулярних точок багатоклинових систем, які слід враховувати при проектуванні сучасної техніки, зокрема:

а) за умов антиплоскої деформації (кручення)

– зі збільшенням кількості елементів двофазної системи, складеної з клинів однакового розхилу, мате-ріали яких почергово повторюються та півбезмежного дефекту, що виходить з точки сходження клинів порядок сингулярності напружень в околі вершини дефекту прямує до деякого граничного значення, що залежить від відношення модулів зсуву матеріалів композиту;

– мінімум питомої потенціальної енергії в околі вершини кожного із елементів триклинової системи розташований на лінії з’єднання з тим із сусідніх елементів, що має найбільшу жорсткість (жорстке защемлення відповідає , вільний край – );

– дія зосередженої сили у точках деяких променів, які виходять із точки сходження клинів призводить до того, що напружено-деформований стан у вершині системи характеризується складовою не при максимальній, а при наступній (меншій) за величиною особливості;

– за ідеального механічного контакту межових поверхонь системи (суцільне неоднорідне тіло) або їх жорсткого защемлення (один із клинів абсолютно жорсткий) існують радіальні напрямки, при переході через які напруження, визначені головним членом асимптотичного подання, змінюють знак і тому на цій лінії слід враховувати особливості нижчого порядку;

б) за умов плоскої задачі теорії пружності

– у випадку півбезмежного дефекту типу тріщини або тонкого абсолютно жорсткого включення, розташованого на ламаній межі поділу двох матеріалів, існують радіальні напрямки, при переході через які визначені головним членом асимптотичного подання окружні нормальні напруження, змінюють знак і тому на цій лінії слід враховувати особливості нижчого порядку.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Махоркін М.І., Сулим Г.Т. Розподіл потенціальної енергії деформації в околі вістря довільної клинової системи за поздовжнього зсуву // Прикл. пробл. мех. і мат., 2005. Вип. . С. – 69.

2. Махоркін М., Сулим Г. Застосування апарата узагальнених функцій до визначення порядку сингулярності за поздовжнього зсуву у клиновій системі // Вісник Львів. ун-ту. Сер. мех.-мат. 2006. Вип.65. – С. _136.

3. Сулим Г.Т., Махоркін М.І. Асимптотики полів напружень і переміщень у клинових системах при плоскому напруженому стані // Математичні методи та фізико-механічні поля. _2007. – Т.50 _№1. – С. _148.

4. М. Махоркін, Ґ. Сулим. Асимптотики і поля напружень у клиновій системі за умов антиплоскої деформації // Машинознавство. _2007. _№1. – С. _13.

5. Сулим Г.Т., Махоркін М.І. Визначення порядку сингулярності напружень в околі вершини кутового вирізу триклинової матриці // V Міжнародний симпозіум "Механіка і фізика руйнування будівельних матеріалів та конструкцій". Збірник наукових праць. – Львів: Каменяр. – 2002. _ С.  _ .

6. Сулим Г.Т., Махоркін М.І. Визначення порядку сингулярності напружень в околі точки сходження трьох клинів Праці НТШ Матеріалознавство і механіка матеріалів. – 2003. –Т. ІХ. – С. – 75.

7. Bozhydarnik Victor, Sulym Georgyi, Makhorkin Mykola. Singular stress in wedge system under antiplane strain conditions // Proc. of the Int. Sci. Conf. “Mechanics 2006”. Rzeszуw: Univ. of Technology, 2006. _P. _40.

8. Махоркін М.І. Оцінка сингулярності в околі точки сходження трьох клинів // Матеріали Відкритої науково-технічної конференції молодих науковців і спеціалістів ФМІ ім. Г.В. Карпенка НАН України. – Львів. _2001. – С.  _ .

9. Махоркін М.І. Застосування імпульсних функцій при розрахунку напружено-деформованого стану клинових систем // Матеріали Всеукраїнської наукової конференції “Сучасні проблеми прикладної математики та інформатики” (23 - 25 вересня 2003р.). – Львів. _. _С. 93.

10. Махоркін М., Сулим Г. Визначення порядку сингулярності напружень у довільній багатоклиновій системі за поздовжнього зсуву // Математичні проблеми механіки неоднорідних структур. _Львів 2003. _С. 220.

11. Махоркін М. Методика побудови інтегральних рівнянь в клинових системах з дефектами скінченного розміру на лініях поділу матеріалів за умов поздовжнього зсуву // Матеріали Відкритої науково-технічної конференції молодих науковців і спеціалістів (ФМІ ім. Г.В. Карпенка НАН України). – 2005. – С. 262 _265.

12. Махоркін М.І., Сулим Ґ.Т. Характеристичне рівняння для порядку сингулярності у вістрі довільної клинової системи Current problems of mechanics of nonhomogeneous media The sixth polish-ukrainian conference. (Warsaw, 6-10 september 2005). – Warsaw. – 2005. – С. 86 – 87.

13. Махоркін Микола, Сулим Георгій. Напруження у клинових системах за умов плоскої деформації Математичні проблеми механіки неоднорідних структур. – Т. 2. – Львів. – 2006. – С. 74 _76.

14. Махоркін М.І. Застосування імпульсних функцій при дослідженні порядку сингулярності напруженого стану в околі точки сходження клинів // 6-й Міжнародний симпозіум українських інженерів-механіків у Львові. Тези доповідей. _. – Львів. _С. 57.

15. Махоркін М.І., Сулим Г.Т Поздовжній зсув клинової системи з дефектами на лініях спаю клинів // Тези доповідей "Конференція молодих учених