Міністерство освіти і науки України

Львівський національний університет імені Івана Франка

МЕНЬШИКОВА Ольга Володимирівна

УДК 517.9

СКІНЧЕННОВИМІРНІ РЕДУКЦІЇ НЕЛІНІЙНИХ ДИНАМІЧНИХ СИСТЕМ ТИПУ кОРТЕВЕГА–ДЕ фРІЗА

ТА ЇХ ПОВНА ІНТЕГРОВНІСТЬ

01.01.02 – диференціальні рівняння

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Львів – 2007

Дисертацією є рукопис

Робота виконана в Львівському національному університеті імені Івана Франка

Науковий керівник – доктор фізико-математичних наук,

професор

Притула Микола Миколайович,

Львівський національний університеті імені Івана Франка, завідувач кафедри дискретного аналізу та інтелектуальних систем

Офіційні опоненти – член-кореспондент РАН, доктор фізико-математичних наук, професор,

Боголюбов Микола Миколайовичмол.), Математичний інститут імені В.А. Стєклова РАН, головний науковий співробітник (м.Москва)

кандидат фізико-математичних наук, професор

Голод Петро Іванович,

Національний університет „Києво–Могилянська академія”, завідувач кафедри фізико-математичних наук

Провідна установа – Київський національний університет імені Тараса Шевченка, кафедра інтегральних та диференціальних рівнянь

Захист відбудеться “17” травня 2007р. о 1530 на засіданні спеціалізованої вченої ради К .051.07 у Львівському національному університеті імені Івана Франка за адресою: 79000, м. Львів, вул.Університетська, 1, ауд.377.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Львівського національного університету імені Івана Франка за адресою м.Львів, вул. Драгоманова, 5.

Автореферат розіслано “  ”      квітня      р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради Остудін Б.А.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми дослідження. За останні десятиріччя теорія цілком інтегровних гамільтонових систем набула суттєво інтенсивного розвитку. Важливим аспектом теорії інтегровних за Лаксом нелінійних динамічних систем, що перетворилась сьогодні на окрему галузь сучасної теорії диференціальних рівнянь та математичної фізики, є її широке і конкретне застосування – від гідродинаміки і фізики плазми, фізики твердого тіла і нелінійної оптики до сучасної теорії поля та квантової статистичної механіки. Можна виділити такі три аспекти у вивченні диференціальних систем: а) явне інтегрування, б) якісні методи, в) інтегровність за Ліувіллем. За останні роки були відкриті різні явища, які тісно пов’язані з інтегровними гамільтоновими системами, хоча й мають зовсім інше походження. Одне з них відноситься до відкриття Крускалом спектрального методу знаходження розв’язків рівняння Кортевега–де ФрізаКдФ). Початково ці явища були виявлені за допомогою числових експериментів, а пізніше пов’язані з існуванням нескінченної кількості функціональних інваріантів, які накладають суттєві обмеження на еволюцію розв’язків. Якщо інтерпретувати рівняння в частинних похідних, в даному випадку рівняння КдФ, як гамільтонову систему в нескінченновимірному функціональному просторі з певною симплектичною структурою і законами збереження в якості інтегралів, то це можна розглядати як приклад інтегровної системи з нескінченною кількістю ступенів свободи. Такий підхід був розвинутий в роботі Захарова В.Е. і Фаддєєва Л.Д.

Ще одним важливим фактором для розвитку теорії цілком інтегровних гамільтонових систем стало те, що математична теорія таких динамічних систем представляє собою ефективний сплав як класичної теорії, так і сучасних методів аналізу, теорії функції та методів алгебраїчної геометрії. Це суттєво поглибило уявлення про інтегровність у квадратурах як скінченновимірних так і нескінченновимірних динамічних систем. Такі динамічні системи, як з’ясувалось, володіють декількома додатковими геометричними структурами. Одна з них – існування афінно узгодженої пари симплектичних структур, виявилась фундаментальною для побудови повної теорії опису відповідних інваріантних многовидів розв’язків динамічних систем.

У розвитку теорії інтегровних за Лаксом нелінійних динамічних систем видатними є праці П.Лакса, С.Новікова та О.Богоявленського, які вперше поставили і частково розв’язали проблему редукції нескінченновимірних динамічних систем на скінченновимірні інваріантні підмноговиди, що допускають локально дифеоморфні вкладання у відповідні многовиди та довели їх канонічну гамільтоновість, а при певних додаткових умовах і повну інтегровність за Ліувіллем. Дещо пізніше у працях Ю.Мозера, Ю.Митропольського, M.Боголюбова, А.Прикарпатського та В.Самойленка, теорія скінченновимірних редукцій була розширена на так звані нелокальні інваріантні підмноговиди, породжені власними функціями відповідних Лаксових спектральних задач. Недавно ці методи були ефективно застосовані у роботах Прикарпатського А.К., Гентош О.Є. для побудови скінченно-вимірних редукцій на локальні та нелокальні інваріантні підмно-говиди нелінійних динамічних систем на функціональних супермноговидах, які мають цікаві застосування у сучасній математичній фізиці.

Із проблемою побудови скінченновимірних редукцій динамічної системи на функціональному многовиді природно асоціюється фундаментальна задача повного опису відповідних інтегральних многовидів. Як відомо, невироджені скінченновимірні редукції завжди представляються як канонічні гамільтонові системи. Ці системи при певних додаткових умовах є цілком інтегровні за Ліувіллем. Такі додаткові умови апріорі реалізуються для редукцій афінно узгоджених бігамільтонових систем на функціональних многовидах. Це дає можливість вивчити відповідні інтегральні многовиди розв’язків за допомогою методів сучасної симплектичної теорії інтегровності нелінійних динамічних систем.

Нелінійні системи, що допускають представлення Лакса, володіють багатьма математичними характеристиками. Так, спеціальний характер їх динаміки тісно пов’язаний із наявністю нескінченної ієрархії законів збереження, нескінченної множини спеціальних симетрій, гамільтоновості тощо. Результатом досліджень динамічних систем стала нова галузь сучасної теорії нелінійних диференціальних рівнянь – теорія цілком інтегровних динамічних систем, де актуальними є такі задачі: класифікація, тобто побудова критеріїв інтегровності нелінійних динамічних систем, розширення класу цілком інтегровних динамічних систем; побудова точних (скінченнозонних, раціональних, солітонних тощо) розв’язків; вивчення диференціально-геометричних, алгебраїчних і гамільтонових аспектів теорії нелінійних динамічних систем; використання результатів цієї теорії в інших розділах теорії нелінійних диференціальних рівнянь.

Однією із важливих проблем теорії нескінченновимірних динамічних систем є проблема їх редукції на інваріантні підмноговиди. Дослідження у цьому напрямку широко розвинули Дж. Марсден і А.Вейнстейн, П.Лакс, С.П.Новіков, О.Н.Богоявленський. В останні роки спостерігається зростання інтересу до цього питання, зокрема завдяки застосуванню Дж.Гарднером і М.Адамсом техніки відображення моменту до дослідження інтегровності скінченновимірних систем. Нові геометричні та операторні методи квантування таких систем розвинуті у працях А.К.Прикарпатьського і І.В.Микитюка. Питання інтегровності нелінійних інверсних динамічних систем вивчались у працях М.М. Притули.

Таким чином, тематика даної роботи – редукції на нелокальні та локальні інваріантні підмноговиди, формулювання диференціально-геометричного підходу до опису редукцій, побудова та дослідження нових скінченновимірних нелінійних динамічних систем на нелокальних та локальних інваріантних підмноговидах – представляється актуальною.

Зв‘язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Тематика дисертаційної роботи пов’язана з науковими дослідженнями кафедри дискретного аналізу та інтелектуальних систем Львівського національного університету імені Івана Франка. Результати дисертації є складовою частиною держбюджетних тем: По-58Б „Побудова і дослідження ітераційних методів розв’язування нелінійних функціональних рівнянь, динамічних систем та задач оптимізації” (номер держреєстрації 0100U001427, термін виконання роботи 02.01.2000 – 31.31.2002); По-168Б „Побудова і дослідження Лі-алгебраїчних, ітераційних методів розв’язування нелінійних динамічних і функціональних рівнянь та задач оптимізації” (номер держреєстрації 0103U001934, термін виконання роботи 02.01.2003 – 31.31.2004); По-23ф „Розробка Лі-алгебраїчних, ітераційних методів для динамічних систем, задач оптимізації та навчання нейронних мереж” (номер держреєстрації 0105U002232, термін виконання роботи 02.01.2005 – 31.31.2007).

Мета і завдання дослідження. Метою дисертаційної роботи є:

1) аналіз повної інтегровності інверсних нелінійних динамічних систем на функціональних многовидах;

2) побудова та симплектичний аналіз скінченновимірних редукцій на локальні інваріантні підмноговиди бігамільтонових динамічних систем;

3) аналіз повної інтегровності скінченновимірних редукцій нелінійних динамічних систем на функціональних многовидах на їх нелокальні інваріантні підмноговиди.

Об’єкт дослідження: нелінійні інверсні динамічні системи типу КдФ, інваріантні функціональні підмноговиди та симплектичні структури на них.

Предмет дослідження: скінченновимірні редукції на локальні та нелокальні інваріантні підмноговиди бігамільтонових динамічних систем на функціональних многовидах.

Методи дослідження: у роботі використані методи теорії диференціальних рівнянь на многовидах, симплектична теорія гамільтонових потоків та деякі диференціально-геометричні аспекти теорії редукцій на інваріантні підмноговиди Новікова–Богоявленського.

Наукова новизна одержаних результатів. У дисертаційній роботі вперше отримані нові теоретичні результати:

- знайдено представлення Лакса для інверсної нелінійної модифікованої динамічної системи КдФ;

- знайдені солітонні розв’язки для інверсної нелінійної динамічної системи КдФ та для інверсної модифікованої нелінійної динамічної системи КдФ;

- побудовано гамільтонів формалізм скінченновимірних редукцій на локальні та нелокальні інваріантні підмноговиди інверсних бігамільтонових динамічних систем на функціональних многовидах;

- вивчені двовимірні та чотиривимірні локальні редукції на інваріантний підмноговид інверсної динамічної системи КдФ;

- знайдено точні квазіперіодичні часткові розв’язки інверсної динамічної системи КдФ;

- досліджена інтегровність локальної скінченновимірної редукції інверсної динамічної системи Каупа–Броера та її зв’язок з інверсним рівнянням Бюргерса;

- доведена інтегровність за Ліувіллем скінченновимірної нелокальної редукції типу Мозера інверсної нелінійної динамічної системи КдФ та інверсної нелінійної модифікованої динамічної системи КдФ.

Практичне значення одержаних результатів. Дисертація має теоретичний характер. Отримані результати можуть бути використані при дослідженні нелінійних динамічних систем, у теорії поля, нелінійної оптики, гідродинаміки, а також в інших галузях сучасної теоретичної та математичної фізики.

Особистий внесок здобувача. Основні результати дисертації одержано автором самостійно. У спільних з науковим керівником працях Притулі М.М. належать формулювання задач та аналіз одержаних результатів. У працях [5, 6] Гентош О.Є. побудовано зображення Лакса на многовиді для векторних полів d/dx та d/dt, заданих інверсною нелінійною динамічною системою Каупа–Броера.

Апробація результатів дисертації. Результати дисертаційної роботи доповідались і обговорювались на:

VII Всеукраїнській науковій конференції „Сучасні проблеми прикладної математики та інформатики” (Львів, 2000 рік); Міжнародній науковій конференції „Диференціальні рівняння і нелінійні коливання”(Київ, 2001 рік); Міжнародній науковій конференції „Нові підходи до розв’язування диференціальних рівнянь” (Дрогобич, 2001 рік); Міжнародній науковій конференції „П’яті Боголюбовські читання. Теорія еволюційних рівнянь” (Кам’янець–Подільський, 2002 рік); Х Міжнародній науковій конференції ім. академіка М.Кравчука (Київ, 2004 рік); Міжнародній математичній конференції ім. В.Я.Скоробагатька (Дрогобич, 2004 рік); Міжнародній науково-практичній конференції „Диференціальні рівняння та їх застосування” (Київ, 2005 рік); Міжнародній науково-практичній конференції „Інформаційні технології в сучасній економіці, менеджменті та освіті”(Львів, 2005 рік); ХІ Міжнародній науковій конференції ім. академіка М.Кравчука (Київ, 2006 рік); на наукових семінарах Наукового товариства ім.Т.Шевченка (Львів, 1999-2006 рр.); Міжнародній науковій конференції з диференціальних рівнянь ім. Я.Б. Лопатинського (Львів, 2006 рік); на наукових семінарах кафедри теорії оптимальних процесів і кафедри дискретного аналізу та інтелектуальних систем Львівського національного університету ім.І.Франка, Львівському міському семінарі з диференціальних рівнянь, науковому семінарі кафедри інтегральних та диференціальних рівнянь Київського національного університету ім.Т.Шевченка.

Публікації. Основні результати дисертації опубліковані у 6 статтях у наукових фахових виданнях з переліку ВАК України та додатково висвітлені у двох статтях та 8 тезах конференцій.

Структура та обсяг роботи. Дисертаційна робота складається зі вступу, чотирьох розділів, розбитих на підрозділи, списку літератури (107 назв). Обсяг роботи 136 сторінок машинописного тексту, з яких 12 сторінок займає список використаних джерел.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обґрунтовується актуальність вибраної теми, визначаються мета і задачі дослідження, вказується на зв’язок дисертації з науковими програмами Львівського національного університету імені Івана Франка, наводяться основні результати і відзначається їх новизна, зазначається де відбувалась апробація цих результатів.

Перший розділ містить огляд сучасного стану теорії інтегровних за Лаксом нелінійних динамічних систем та основних напрямків її розвитку.

Другий розділ присвячений аналізу інтегровності нелінійних динамічних систем. Наведено методи гамільтонового аналізу нелінійних динамічних систем, заданих на функціональних многовидах і основаних на застосуванні імплектичних (ньотерових), а також рекурсійних операторів.

У підрозділі 2.1. викладаються відомості із диференціальної геометрії. Наведені основні позначення, визначення і твердження, які стосуються гамільтонового аналізу нелінійних динамічних систем. Нелінійні динамічні системи локально записуються у вигляді рівнянь в частинних похідних, де М – нескінченновимірний гладкий многовид, який, наприклад, можна реалізувати за допомогою деякого спеціального підпростору простору гладких вектор-функцій на замкненій множині U, де т, п – деякі натуральні числа; К: М>Т(М) – деякий локальний функціонал на М, гладкий за Фреше, t Є R – еволюційний параметр.

У підрозділі 2.2. описаний градієнтний алгоритм знаходження оператора Лакса L[u;л] у представленні типу Лакса для апріорі бігамільтонової динамічної системи, що гарантує його існування.

У підрозділі 2.3. доводиться інтегровність та гамільтонова структура інверсної нелінійної модифікованої динамічної системи КдФ

що задана на нескінченновимірному періодичному функціональному многовиді. Знайдено зображення Лакса для динамічної системи як умову сумісності лінійних диференціальних рівнянь першого порядку:

,

,

де ш:= ш(x,t) – вектор 2-періодичних за змінною х функцій, таких що, для кожного t Є R. Доведено теорему:

Теорема 2.1. Динамічна система є цілком інтегровною за Ліувіллем бігамільтоновою динамічною системою з відповідною імплектичною парою та володіє представленням типу Лакса.

У підрозділах 2.4. та 2.5. за допомогою розширеного методу tanh-функції для знаходження точних розв’язків нелінійних систем у частинних похідних знайдено солітонні розв’язки для інверсної нелінійної динамічної системи КдФ

де M – гладкий функціональний многовид та для інверсної нелінійної модифікованої динамічної системи КдФ . Побудовано графічне зображення таких розв’язків.

У третьому розділі для інверсної нелінійної динамічної системи КдФ вивчено скінченновимірні локальні редукції типу Новікова–Богоявленського та доведено їх інтегровність за Ліувіллем–Арнольдом у квадратурах.

Система у бігамільтоновій формі має вигляд, де – елементи нескінченної послідовності інволютивних законів збереження, відображення є узгодженою за Магрі парою імплектичних ньотерових операторів. Досліджено диференціально-геометричні властивості зредукованих інваріантних підмноговидів

динамічної системи , де c0, c1, c2, – довільні сталі. Згідно з теоремою Новiкова–Богоявленського, інваріантні підмноговиди є симплeктичними із відповідною симплектичною структурою, де 1-форма б(1) визначено за допомогою зображення Гельфанда–Дікого

Оскільки досліджувані інваріантні підмноговиди є симплектичними, тому можна ввести канонічні (Q,P) – координати. Оскільки векторне поле d/dx, для системи є гамільтоновим відносно канонічної симплектичної структури, то отримано наступні рівняння Гамільтона. У випадку M2

де вжито позначення

У випадку підмноговиду M4

де позначено .

Система (6) має дві стаціонарні точки. При спеціальних значеннях параметрів точка (0,0) є стаціонарною точкою гіперболічного типу, а (–2,0) – стаціонарною точкою еліптичного типу. В середині гомоклінічних сепаратрис траєкторії є періодичними за x і можуть бути використані як початкові умови для інверсної динамічної системи КдФ (4). Точний розв’язок системи (6) отримується простим інтегруванням.

Далі з метою знаходження квазіперіодичних розв’язків системи (4) розглянуто відповідну узагальнену 2р-періодичну спектральну задачу для оператора типу Лакса

T f=0, (8)

Відповідна регуляризована матриця монодромії, розв’язків (8) на періоді 2 р задовольняє відомі рівняння Новікова–Марченка

(9)

де компоненти , матриці є 2-періодичними функціями змінної і аналітичними стосовно спектрального параметра .

На інтегральному многовиді знайдено сепарабельні координати Гамільтона–Якобі , де, за означенням

причому числа вибрані такими, що многовид Mh2 є компактним.

Згідно з означенням симплектичної структури на інваріантному многовиді M4, отримано відображення вкладення інтегрального многовиду Mh2 причому спряжені функції, є сепарабельними стосовно змінних м i визначаються з відповідного рівняння Гамільтона–Якобі. Породжуюча функція запишеться у такому сепарабельному вигляді: (10)

де л – комплексний параметр,

Отримано явні гіпереліптичні вирази для еволюції параметрів м на торі при довільних x,t

Вираз (10) дає можливість отримати відповідні нові канонічні змінні „дії“ згідно з формулами (11)

де – базис одновимірної групи голономій (тобто циклів) ріманової поверхні алгебричної функції. Оскільки набір функцій (11) є дійсним і функціонально незалежним як функцій від h, то отримано породжуючу функцію (10) як функцію нових канонічних змінних „дія-кут“ на інваріантному підмноговиді

де ш – кутовий вектор на торі, матриця (12)

називається матрицею частот нашої динамічної системи на торі. Кутові змінні на торі задовольняють канонічним рівнянням Гамільтона

які однозначно визначають відповідні частоти еволюції за змінною x на торі. Як наслідок, стверджуємо, що рух динамічної системи (4) за змінними x,t на торі буде квазіперіодичним з набором частот (12). Для їх визначення досить обчислити вирази (11) як функції параметра h, які залежать від вибору базису на гіпереліптичній рімановій поверхні, також фіксованим набором параметрів , .

У четвертому розділі застосовано метод скінченновимірних нелокальних редукцій типу Мозера для інверсної системи КдФ, інверсної модифікованої системи КдФ та інверсної динамічної системи Каупа–Броера.

У підрозділі 4.1. досліджується скінченновимірна гамільтонова інваріантна редукція інверсної динамічної системи Каупа–Броера:

заданої на 2-періодичному функціональному многовиді M. Матричне зображення Лакса у вигляді , де – локальний матричнозначний гладкий за Фреше функціонал на М, є умовою сумісності матричних лінійних диференціальних рівнянь першого порядку:

, (14), (15)

де ш – вектор 2-періодичних за змінною х функцій, таких що ш Є L(R/2Z;C2) для кожного tR .

З використанням алгоритму редукування типу Мозера нелінійних динамічних систем на нелокальні скінченновимірні інваріантні підмноговиди розв’язків зредуковано векторні поля d/dx і d/dt, задані на M динамічною системою (13), на підмноговид MN що є підмноговидом критичних точок нелокального інваріантного функціонала, власні значення відповідної спектральної задачі, як гладкі за Фреше нелокальні функціонали на М, що набувають дійсних значень, сj R, – деякі сталі, г0, г2 – елементи нескінченної послідовності інволютивних законів збереження. Знайдена симплектична структура отриманого нелокального скінченновимірного інваріантного підмноговиду МN:

(16).

Умови (в’язі) у формулі (16), які описують підмноговид МN, дають явний вигляд залежності усіх 2-періодичних часткових розв’язків інверсної динамічної системи Каупа–Броера на МN.

Далі розглянуто локальний скінченновимірний підмноговид, де WN – декартів степінь порядку N простору W розширеної динамічної системи (13), (14) , заданої на функціональному многовиді M:

Доведено наступні твердження.

Лема 4.1.1. На 2N-вимірному інваріантному підмноговиді розширеної динамічної системи (13), (14) глобально існують канонічні координати у вигляді компонент власних вектор-функцій, що відповідають власним значенням спектральної задачі, які задають на MN канонічну (з точністю до константи) симплектичну структуру.

Теорема 4.1.1. На 2N-вимірному канонічно симплектичному многовиді MN векторні поля d/dx та d/dt, задані системами рівнянь (14), (15) є гамільтоновими відносно симплектичної структури .

Доведено інтегровність за Лаксом–Ліувіллем векторних полів d/dx та d/dt .

У підрозділі 4.2. за допомогою теорії редукції Новікова–Богоявленського досліджено диференціально-геометричні властивості інваріантного підмноговиду інверсної динамічної системи КдФ :

,

де функціонал г2 – закон збереження динамічної системи на . Система володіє зображенням типу Лакса у вигляді

,

,

.

Доведено наступну лему.

Лема 4.2.1. Підмноговид є інваріантним по відношенню до динамічної системи на MN.

Внаслідок інваріантності підмноговиду MN проведено редукцію векторного поля (4) на підмноговид MN, до якого воно є дотичним. Результуюче векторне поле є скінченновимірним потоком на MN, який допускає канонічний запис у вигляді системи звичайних нелінійних диференціальних рівнянь в термінах відповідних координатних функцій на MN.

Для цього розглянуто нелокальне розширення фазового простору за допомогою координат , де та – відповідні періодичні власні функції матриці монодромії задачі , . Нелокальний підмного-вид запишеться:

Доведено наступні твердження.

Лема 4.2.2. Інваріантний скінченновимірний підмноговид MN з координатами розширеної динамічної системи , при має канонічну симплектичну структуру (20)

Теорема 4.2.1. На 2N-вимірному симплектичному многовиді MN векторні поля d/dx та d/dt у вигляді (18),(19) є гамільтоновими відносно канонічної симплектичної структури (16)

Знайдено зображення Лакса векторних полів d/dx та d/dt на MN.

У підрозділі 4.3. за допомогою нелокальної редукції розглянуті інваріантні скінченовимірні підмноговиди на М та відповідні динамічні системи на них, асоційовані з вихідною інверсною модифікованою динамічною системою типу КдФ (1). Досліджено диференціально-геометричні властивості інваріантного підмноговиду MN динамічної системи (1):

.

Лема 4.3.1. Підмноговид (21) є інваріантним щодо динамічної системи (1), заданої на М.

Система (1) володіє зображенням типу Лакса у вигляді

, (22)

, (23)

Твердження 4.3.1. Інваріантний скінченновимірний підмноговид з координатами розширеної динамічної системи (1), (23) має канонічну симплектичну структуру

(24)

Теорема 4.3.1. На 2N-вимірному симплектичному многовиді векторні поля d/dx та d/dt у вигляді , є гамільтоновими відносно канонічної симплектичної структури .

Твердження 4.3.2. На 2N-вимірному симплектичному підмноговиді векторні поля d/dx та d/dt у вигляді , мають відповідно зображення Лакса та є інтегровними за Ліувіллем.

ВИСНОВКИ

У дисертації отримано такі нові результати:

1) Реалізовано градієнтно-голономний алгоритм знаходження ієрархії законів збереження та знайдено представлення типу Лакса для інверсної модифікованої нелінійної динамічної системи КдФ.

2) За допомогою розширеного методу tanh-функції знайдено солітонні розв’язки нелінійної інверсної динамічної системи КдФ, нелінійної інверсної модифікованої динамічної системи КдФ та побудовано їх графічне зображення. Доведено, що розв’язки інверсної модифікованої динамічної системи КдФ мають вигляд тангенса гіперболічного, а інверсної динамічної системи КдФ вигляд тангенса гіперболічного в квадраті

3) Вивчено скінченновимірні локальні редукції типу Новікова–Богоявленського інверсної нелінійної динамічної системи КдФ та їх інтегровність за Ліувіллем–Арнольдом у квадратурах. Досліджено диференціально-геометричні властивості зредукованих інваріантних підмноговидів. За допомогою введення сепарабельних координат Гамільтона–Якобі знайдено квазіперіодичні часткові розв’язки інверсної нелінійної динамічної системи КдФ та виведено рівняння, які визначають відповідні частоти еволюції за змінною x на торі отриманих розв’язків

4) Досліджена інтегровність нелокальної скінченновимірної редукції інверсної динамічної системи Каупа–Броера та її зв’язок з інверсним рівнянням Бюргерса. Знайдена симплектична структура отриманого нелокального скінченновимірного інваріантного підмноговиду МN..

5) Доведена інтегровність за Ліувіллем скінченновимірної нелокальної редукції типу Мозера інверсної нелінійної динамічної системи КдФ та інверсної модифікованої динамічної системи КдФ.

Дисертація має теоретичний характер. Отримані результати можуть бути використані при дослідженні нелінійних динамічних систем, у теорії поля, нелінійної оптики, гідродинаміки, а також в інших галузях сучасної теоретичної та математичної фізики.

СПИСОК ПУБЛІКАЦІЙ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Притула М.М., Воробйова О.В. Побудова зв’язності Картана та асоційованих нелокальних скінченновимірних редукцій на інтегральному джет-підмноговиді для інверсної модифікованої динамічної системи Кортевега–де Фріза // Мат. методи та фіз.-мех. поля. – 2003.– 46, № 3. – С. 61-73.

2. Воробйова О.В, Притула М.М. Солітонні розв’язки для інверсного рівняння Кортевега–де Фріза // Нелінійні коливання. – 2003. – 6, № 1. – С. 15-20.

3. Воробйова О.В., Притула М.М. Скінченновимірні нелокальні редукції інверсної динамічної системи Кортевега–де Фріза // Укр.мат.журн. –2004. – 56, № 2. – С. 160-168.

4. Притула М.М., Воробйова О.В. Застосування методів комп’ютерної алгебри для дослідження інтегровності нелінійних динамічних систем на функ-ціональних многовидах // Вісн. Львів. ун-ту. Серія прикл. матем. та інформ. – 2000. – Вип. 2. – С.67-71.

5. Притула М.М., Воробйова О.В., Гентош О.Є. Гамільтонова інваріантна редукція динамічної системи Каупа–Броера // Вісн. Львів. ун-ту. Сер. прикл. математика та інформатика. – 2000.– Вип.3.– С. 118-124.

6. Воробйова О.В., Гентош О.Є., Притула М.М. Скінченновимірна інваріантна редукція інверсної динамічної системи Каупа–Броера // Вісн. Львів. ун-ту. Серія прикл. матем. та інформ. – 2005. – Вип. 10. – С.9-18.

7. Воробйова О.В., Притула М.М. Аналіз повної інтегровності чотиривимірної редукції нелінійної інверсної динамічної системи Кортевега–де Фріза // Мат.вісник НТШ. – 2005. – Т. 2. – С. 26-48.

8. Меньшикова О.В., Притула М.М. Солітонні розв’язки для інверсної модифікованої нелінійної динамічної системи Кортевега–де Фріза // Мат.вісник НТШ. – 2006. – Т. 3. – С. 88-94.

9. Воробйова О.В., Притула М.М. Аналіз повної інтегровності чотиривимірної редукції нелінійної інверсної динамічної системи Кортевега–де Фріза // Intеrnational conference on differential equations dedicated to the 100th anniversary of Ya.B.Lopatynsky (September 12-17, 2006, Lviv). Book of abstracts. – Lviv. – 2006. – C. 16-17.

10. Воробйова О.В., Притула М.М. Інтегральні многовиди інверсної модифікованої динамічної системи Кортевега–де Фріза // Міжнародна наукова конференція „П’яті Боголюбовські читання. Теорія еволюційних рівнянь” (22-24 травня 2002р, м.Кам’янець–Подільський). Тези доповідей. – Київ. – 2002. – С. 39.

11. Воробйова О.В., Притула М.М. Симплектичні структури, асоційовані із скінченно-вимірними локальними редук-ціями та їх повна інте-гровність // Одинадцята Міжнародна наукова конференція ім. академіка М.Кравчука (18-20 травня 2006 р., м.Київ). Матеріали конференції. – К.: НТУУ "КПІ". – 2006. – С. 373.

12. Притула М.М., Воробйова О.В. Гамільтонова інваріантна редукція нелінійної інверсної системи Кортевега–де Фріза // Сьома всеукраїнська наукова конференція „Сучасні проблеми прикладної математики та інформатики” (19-21 вересня 2000р., м.Львів). Тези доповідей. – Львів. – 2000. – С. 77.

13. Притула М.М., Воробйова О.В. Інтегральні многовиди інверсної нелінійної динамічної системи Кортевега–де Фріза // Міжнародна наукова конференція „Нові підходи до розв’язування диференціальних рівнянь” (1-5 жовтня 2001р., м.Дрогобич). Тези доповідей. – Київ. – 2001. – С. 124.

14. Притула М.М., Воробйова О.В. Інтегрованість та солітонні розв’язки інверсної модифікованої системи Кортевега–де Фріза // Десята Міжнародна наукова конференція ім. М.Кравчука (13-15 травня 2004 р., м.Київ). Матеріали конференції. – Київ. – 2004. – С. 67.

15. Притула М.М., Воробйова О.В. Скінченновимірні локальні редукції інверсної модифікованої системи Кортевега–де Фріза // Матеріали міжнародної науково-практичної конференції „Диференціальні рівняння та їх застосування” (06-09 червня 2005р., м.Київ). Тези доповідей. – Київ. – 2005. – С. 90.

16. Притула М.М., Воробйова О.В. Солітонні розв’язки інверсного модифі-кованого рівняння Кортевега–де Фріза // Міжнародна математична конфе-ренція ім. В.Я.Скоробагатька (27 вересня – 1 жовтня 2004р., м.Дрогобич). Тези доповідей. – Львів: Поліграфічний центр видавництва нац. ун-ту “Львівська політехніка”. – 2004. – С. 46.

АНОТАЦІЯ

Меньшикова О.В. Скінченновимірні редукції нелінійних динамічних систем типу Кортевега–де Фріза та їх повна інтегрованість. – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.02 – диференціальні рівняння. Львівський національний університет імені Івана Франка. Львів, 2007.

Дисертація присвячена застосуванню та розвитку методу скінченновимірних редукцій нелінійних динамічних систем типу Кортевега–де Фріза (КдФ) на локальні та нелокальні підмноговиди їх розв’язків та доведенню їх інтегровності.

У дисертаційній роботі за допомогою методу скінченновимірних редукцій на інваріантні підмноговиди Новікова–Богоявленського побудовано гамільтонів формалізм на локальних та нелокальних інваріантних підмноговидах інверсних бігамільтонових динамічних систем, заданих на функціональних многовидах. Для нелінійної модифікованої динамічної системи КдФ знайдено представлення типу Лакса. З використанням методу tanh-функцій, побудовані солітонні розв’язки для інверсної нелінійної динамічної системи КдФ та для інверсної модифікованої нелінійної динамічної системи КдФ. Досліджено двовимірні та чотиривимірні локальні редукції інваріантних підмноговидів інверсної динамічної системи КдФ та знайдено її точні квазіперіодичні часткові розв’язки. Доведена інтегровність нелокальної скінченновимірної редукції інверсної динамічної системи Каупа–Броера та її зв’язок з інверсним рівнянням Бюргера. Доведена інтегровність за Ліувіллем скінченновимірної нелокальної редукції типу Мозера інверсної нелінійної динамічної системи КдФ та інверсної модифікованої системи КдФ.

Ключові слова: динамічна система, інтегральний многовид, редукція, інтегровні системи.

ABSTRACT

Menshikova O.V. Finite dimensional reductions of nonlinear dynamical systems of the Korteveg–de Vries type and their complete integrability.– Manuscript.

Tht thesis for obtaining the Candidate of Physical and Mathematical Sciences degree (Ph.D.) by speciality 01.01.02 – Differential equations. – Ivan Franko National University of Lviv. Lviv, 2007.

The thesis is devoted to application and development of the finite- dimensional reduction method to nonlinear dynamical systems of the Korteveg–de Vries (KdV) type upon local and nonlocal solution submanifolds as well as to proving their integrability.

Based on the finite-dimensional reduction method, devised by Novikov and Bogoyavlensky, the Hamiltonian formalism for inverse bi-hamiltonian dynamical on functional manifolds is constructed.

A Lax type representation for the inverse nonlinear dynamical KdV– system is found. The soliton solutions for the KdV and modified KdV systems based oh the tanh-function approach are obtained.

Two- and four-dimentional local reductions of invariant submanifolds of the inverse dynamical KdV- system have been investigated.

The exact quasi-periodic particular solutions of the inverse KdV system were found.

The integrability of non-local finite-dimensional reductions of the Kaup-Broer dynamical system as well as its connection with the inverse Burgers equation have been stated.

The Liouville integrability of a Moser type as per of non-local finite- dimensional nonlocal reduction of the inverse modified KdV-system is proved.

Key words: Hamiltonian dynamical systems, finite-dimensional reduction, Liouville integrability.

АННОТАЦИЯ

Меньшикова О.В. Конечномерные редукции нелинейных динамических систем типа Кортевега–де Фриза и их полная интегрируемость. – Рукопись.

Диссертация на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.02 – дифференциальные уравнения. Львовский национальный университет имени Ивана Франко. Львов, 2007.

Предметом исследований в диссертации являются конечномерные редукции нелинейных динамических систем типа Кортевега–де Фриза (КдФ).

В диссертационной работе получены такие результаты. Найдено представление Лакса для нелинейной модифицированной динамической системы КдФ, что дает возможность проинтегрировать рассматриваемую систему методом обратной задачи рассеивания. С помощью расширенного метода tanh-функций найдены солитонные решения для инверсной нелинейной динамической системы КдФ и для инверсной модифицированной нелинейной динамической системы КдФ. Построены двумерные и четырехмерные локальные редукции на инвариантное многообразие инверсной динамической системы КдФ. Результатом такой редукции является система обычных нелинейных дифференциальных уравнений, которая и становится основным объектом анализа и источником нахождения точных, хотя и частных, решений исходной динамической системы КдФ. Изучены дифференциально-геометрические свойства редуцированных подмногообразий и : доказано, что инвариантные многообразия имеют симлектическую структуру, полученные системы дифференциальных уравнений являются гамильтоновыми относительно канонических координат, которые задаются симплектической структурой на и соответственно. В случае четырехмерной редукции с помощью переменных “действие-угол” найдены квазипериодические частные решения инверсной динамической системы КдФ.

В роботе проведена редукция инверсных нелинейных динамических систем типа КдФ на конечномерные инвариантные многообразия решений, образованные конечным множеством первых N членов иерархии локальных законов сохранения и собственных значений , , спектральной задачи. В результате такой редукции проблема поиска частных решений инверсных динамических систем сводится к интегрированию в квадратурах, гамильтоновых относительно симплектической структуры обычных дифференциальных уравнений первого порядка относительно переменных x и t (векторных полей d/dx и d/dx) на основе теоремы Лиувилля. В этом случае все частные периодические решения нелинейной динамической системы на выбранном нелокальном подмногообразии явным образом выражены через собственные функции, которые соответствуют собственным значениям.

Исследована интегрируемость нелокальной конечномерной редукции инверсной динамической системы Каупа-Броера и ее связь с инверсным уравнением Бюргерса.

Доказана интегрируемость за Лиувиллем конечномерной нелокальной редукции типа Мозера инверсной нелинейной динамической системы КдФ и инверсной нелинейной модифицированной динамической системы КдФ.

Для получения этих результатов использованы методы теории нелинейных дифференциальных уравнений на функциональных многообразиях, симплектическая теория гамильтоновых потоков, а также некоторые дифференциально-геометрические аспекты теории Новикова–Богоявленского редукций на инвариантные многообразия.

Результаты диссертационной работы имеют теоретический характер. Они могут быть использованы при анализе теории вполне интегрируемых динамических систем, теоретической и математической физике.

Ключевые слова: динамическая система, интегральное многообразие, редукция, интегрируемые системы.

Підписано до друку 12.04.2007р. Формат 60х84/16

Папір офсетний. Друк офсетний

Ум.др.арк.1.0. Тираж 100

Роздруковано в НУ „Львівська політехніка”

79013, Львів-13, вул.Ст.Бандери, 12