Національна академія наук України

Інститут математики

МАЛИШЕВА Тетяна Миколаївна

УДК 517.988

ІНТЕРПОЛЯЦІЙНІ ФОРМУЛИ В ГІЛЬБЕРТОВОМУ ПРОСТОРІ, АСИМПТОТИЧНО ТОЧНІ НА ПОЛІНОМАХ

01.01.07 – обчислювальна математика

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Київ – 2007

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана на кафедрі обчислювальної математики Київського національного університету імені Тараса Шевченка.

Науковий керівник: Доктор фізико-математичних наук, професор

ХЛОБИСТОВ Володимир Володимирович,

Інститут математики НАН України

провідний науковий співробітник відділу обчислювальної математики.

Офіційні опоненти: Доктор фізико-математичних наук, професор,

член-кореспондент НАН Білорусі

ЯНОВИЧ Леонід Олександрович,

Інститут математики НАН Білорусі,

головний науковий співробітник відділу

нелінійного та стохастичного аналізу;

Кандидат фізико-математичних наук, доцент

ДЕМКІВ Ігор Іванович,

Національний університет “Львівська політехніка” МОН України,

доцент кафедри обчислювальної математики та програмування.

Захист відбудеться “15” січня 2008 р. о 15:00 год. на засіданні

спеціалізованої вченої ради Д 26.206.02 при Інституті математики НАН України (01601, Київ, вул. Терещенківська, 3).

З дисертацією можна ознайомитись у науковій бібліотеці Інституту математики НАН України за адресою: 01601, Київ, вул. Терещенківська, 3.

Автореферат розісланий “11“ грудня 2007 року

Учений секретар

спеціалізованої вченої ради Пелюх Г.П.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Дослідження теоретичних та прикладних задач поліноміального операторного інтерполювання в абстрактних гільбертових та конкретних функціональних просторах є однією з актуальних проблем сучасної обчислювальної математики.

В багатьох наукових та прикладних областях, наприклад, інтелектуальному аналізі даних (data mining), медицині, економіці, екології, біології, генетиці, оптиці, балістиці тощо існує значна кількість нелінійних систем, математичні моделі яких можуть бути подані у вигляді операторних поліномів відповідного степеня. Підвищений інтерес дослідників до таких структур пояснюється, перш за все, достатньо простим їх математичним описом. Крім того, існування теорем в абстрактних просторах, що обґрунтовують можливість наближення довільного неперервного оператора поліноміальним, дозволяє звести вивчення багатьох нелінійних структур загального вигляду до вивчення їх поліноміальних наближень. Оскільки операторна інтерполяція є одним із методів наближення операторів, то всі ці фактори пояснюють актуальність та необхідність розвитку як теоретичного, так і прикладного напрямків досліджень в області поліноміального операторного інтерполювання у просторах елементів будь-якої природи, зокрема, у гільбертових.

Вельми важливим є той факт, що вивчення властивостей та особливостей об’єктів невідомої структури за допомогою сучасних методів обробки інформації часто засновується на побудові математичної моделі об’єкта за даними спостережень – вхідними та вихідними сигналами. Такий підхід, що називається ідентифікацією об’єкту, може розглядатися як задача наближення операторів в деяких функціональних просторах. Це обґрунтовує доцільність та необхідність встановлення зв’язку між операторними інтерполяційними формулами та розв’язками задач ідентифікації поліноміальних систем.

Відомо, що у нескінченновимірному просторі розв’язок інтерполяційної задачі неоднозначний та, в загальному випадку, інтерполянт не зберігає операторний поліном того ж степеня. В теоретичних дослідженнях властивість збереження інтерполянтами поліномів відповідного степеня має важливе значення для отримання оцінок точності інтерполювання та теорем про збіжність інтерполяційних процесів в разі збільшення числа вузлів. На практиці саме інтерполяційні поліноми з даною властивістю можна використовувати для побудови квадратурних формул (континуальні інтеграли), в дослідженнях нелінійних операторних (зокрема, функціональних) систем, в задачах моделювання та ідентифікації, а також для широкого класу задач, що дозволяють звести вивчення нелінійної структури об’єкту до вивчення його поліноміального наближення.

В роботах С Ульма, В. Полля, П.Н. Соболевського, Л.А. Яновича, P. Kergin, L. Filipsson, C.A. Michelli та ін. побудовано інтерполяційні операторні формули типу Ньютона, що зберігають поліноми відповідного степеня. Однак побудова таких інтерполянтів на практиці пов’язана з певними труднощами, оскільки вимагає існування похідних Гато вищих порядків та абстрактних інтегралів.

В.Л. Макаровим та В.В. Хлобистовим розв’язана задача конструктивної побудови інтерполяційних формул Лагранжа, Ерміта та Ерміта-Біркхофа для операторів в абстрактних гільбертових просторах та проведено аналіз точності інтерполянта типу Лагранжа. Хоча для побудови інтерполяційної формули Лагранжа необхідна інформація лише про значення оператора у вузлах, а для інтерполянтів Ерміта та Ерміта-Біркхофа – про значення оператора у вузлах та його диференціалів Гато у вузлах за заданими напрямками, в загальному випадку такі інтерполяційні поліноми не єдині та не точні на поліномах відповідного степеня.

Розв’язанню цих проблем присвячені роботи В.В. Хлобистова, де знайдено множину вузлів інтерполювання, на якій інтерполяційна формула типу Лагранжа на заданій множині поліноміальних операторів має властивості єдиності, асимптотичного (в сенсі зростання числа вузлів інтерполяції) збереження поліномів того ж степеня та належить множині операторних поліномів достатньо простої структури. Аналіз точності такого інтерполянта забезпечив можливість та зручність його використання для наближення певних класів операторів на практиці.

Всі перераховані вище фактори пояснюють актуальність та доцільність подальшого розвитку напрямку теорії поліноміального операторного інтерполювання в абстрактному гільбертовому просторі, пов’язаного з побудовою та дослідженням інтерполяційних формул нових, відмінних від відомих в літературі, простих структур, що мають властивості єдиності та асимптотичної точності на поліномах відповідного степеня.

Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертаційна робота виконана у відповідності з планами наукових досліджень, що проводились на кафедрі методів обчислювального експерименту факультету кібернетики Київського національного університету імені Тараса Шевченка в межах науково-дослідної теми №01БФ015 “Розробка теорії наближень та високоефективних чисельних алгоритмів для проведення обчислювального експерименту при дослідженні задач сучасних біотехнологій та аерогідродинаміки” та в Інституті математики НАН України в рамках науково-дослідної теми “Чисельно-аналітичні методи розв’язування диференціальних рівнянь з необмеженими операторними коефіцієнтами та обробка інформаційних даних” (державний реєстраційний номер 0101U000371).

Мета і завдання дослідження. Метою дисертаційної роботи є однозначна конструктивна побудова на визначеній множині операторних поліномів та дослідження в абстрактному гільбертовому просторі інтерполянтів Ерміта та Ерміта-Біркхофа нової достатньо простої структури, асимптотично точних на поліномах відповідного степеня

Для досягнення цієї мети необхідно було розв’язати наступні задачі:

1) в гільбертовому просторі визначити множину операторних поліномів достатньо простої структури, на якій здійснюється побудова інтерполяційних формул;

2) знайти інтерполяційні умови Ерміта та Ерміта-Біркхофа, що забезпечують єдиність визначення операторного інтерполянта на цій множині та його асимптотичну точність на поліномах відповідного степеня;

3) розробити методи однозначної конструктивної побудови інтерполяційних операторних формул, асимптотично точних на поліномах того ж степеня;

4) отримати оцінки точності інтерполювання в разі точно та збурено заданих інтерполяційних умов, дослідити збіжність інтерполяційних процесів (у разі точно заданої інтерполяційної інформації);

5) встановити взаємозв’язок між операторними інтерполянтами, що асимптотично зберігають поліноми відповідного степеня та розв’язком задачі ідентифікації поліноміальних систем за умов детермінованих впливів.

Об’єкт дослідження – нелінійні оператори.

Предмет дослідження – поліноміальні та диференційовані оператори.

Методи дослідження – методи функціонального аналізу, чисельні методи, методи операторної інтерполяції, методи обчислювального експерименту.

Наукова новизна одержаних результатів. В дисертації запропоновано достатньо просту за структурою множину операторних поліномів в абстрактному гільбертовому просторі на якій визначаються інтерполянти з властивостями єдиності на цій множині та асимптотичної інваріантності щодо поліномів відповідного степеня. Знайдено інтерполяційні умови Ерміта в одному вузлі, типу Абеля-Гончарова та деякі інші частинні випадки умов Ерміта та Ерміта-Біркхофа, що забезпечують однозначну побудову операторних інтерполянтів та їх асимптотичну точність на поліномах того ж степеня. Для диференційованих за Гато операторів розроблено методи конструктивної побудови відповідних інтерполяційних формул. Досліджено точність інтерполювання поліноміальних, аналітичних за Гато операторів та операторів, що мають скінчену кількість похідних Фреше в разі точно та збурено заданої вихідної інформації. За певних умов доведено збіжність інтерполяційного процесу Ерміта в одному вузлі до аналітичного за Гато оператора. В разі збурених вихідних даних, визначено умови на кількість вузлів інтерполювання, за яких не можна покращити знайдену оцінку точності інтерполяції. Для поліноміальних операторів встановлено еквівалентність інтерполяційних методів, асимптотично точних на поліномах відповідного степеня, та узагальненням на операторному рівні методу ортогональних моментів для ідентифікації поліноміальних систем у разі детермінованих впливів.

Практичне значення одержаних результатів. Теоретичний підхід, запропонований у дисертації, може бути використаний в дослідженнях, пов’язаних з вирішенням проблеми інтерполювання поліноміальних та диференційованих операторів в абстрактному гільбертовому просторі. Одержані результати можна застосувати для побудови квадратурних формул при обчисленні континуальних інтегралів; для розв’язування задач моделювання та ідентифікації, синтезу оптимальних систем; а також для широкого класу задач, що дозволяють звести вивчення нелінійної структури об’єкту до вивчення його поліноміального наближення. Отримані в роботі результати можуть бути теоретичною основою для подальших досліджень в гільбертових та загальних лінійних просторах інтерполяційних операторних поліномів простої структури, асимптотично точних на поліномах.

Особистий внесок здобувача. У роботах, опублікованих здобувачем разом із співавторами, Хлобистовим В.В. здійснено загальну постановку задач та конкретизацію для певних функціональних просторів, Кашпур О.Ф. виконано побудову частинних випадків операторних інтерполянтів Ерміта-Біркхофа, асимптотично точних на поліномах, відмінних від тих, що наведені в дисертації. Всі інші наукові та практичні результати одержані здобувачем особисто.

Апробація результатів дисертації. Матеріали дисертаційної роботи доповідалися на ХХ Міжнародній науковій конференції імені академіка М.Кравчука (Київ, 2004); ХХХII Міжнародній конференції „Питання оптимізації обчислень (ПОО- ХХХII)” (Крим, с. Кацивелі, 2005); ХХІІ Всеукраїнській науковій конференції „Сучасні проблеми прикладної математики та інформатики” (Львів, 2005); ХХІ Міжнародній науковій конференції імені академіка М. Кравчука (Київ, 2006), наукових семінарах кафедри обчислювальної математики факультету кібернетики Київського національного університету імені Тараса Шевченка (керівник семінару – чл.-кор. НАН України Ляшко С.І.; Київ, 2007) та відділу обчислювальної математики Інституту математики НАН України (керівник семінару – чл.-кор. НАН України Макаров В.Л.; Київ, 2007).

Публікації. За матеріалами дисертації опубліковано 13 наукових праць, з яких 9 – у вигляді статей у фахових виданнях із списку ВАК України, 4 – у вигляді тез доповідей наукових конференцій.

Структура та обсяг дисертації. Дисертаційна робота складається із вступу, 5 розділів, висновків, списку використаних джерел, що складає 87 найменувань, та одного додатку. Загальний обсяг дисертації – 165 сторінок, з яких 124 сторінки основного змісту, 7 сторінок складає список посилань на літературні джерела, 34 сторінки займає додаток.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обґрунтовано актуальність теми дисертації, сформульовано мету та задачі дослідження, викладено наукову новизну та практичне значення одержаних результатів.

У першому розділі дисертаційної роботи подано огляд літератури, присвяченої проблемі поліноміального операторного інтерполювання в класичній постановці задачі. Проаналізовано існуючи підходи та шляхи розв’язування інтерполяційної задачі, вказано на відкриті питання в даній області та визначено напрямок дисертаційного дослідження.

В другому розділі поставлена та розв’язана задача однозначної конструктивної побудови в гільбертовому просторі на визначеній множині операторних поліномів інтерполянтів Ерміта та Ерміта-Біркхофа нової, достатньо простої структури, асимптотично точних на поліномах відповідного степеня.

В підрозділі 2.1 визначено структуру операторного інтерполянта, сформульовано загальну постановку інтерполяційної задачі та умови її розв’язності, доведено асимптотичну точність інтерполяційної формули на поліномах того ж степеня.

Нехай # – гільбертові простори (# – сепарабельний), #– оператор (в загальному випадку нелінійний), # – перші # елементів ортонормального базису в #, # – підпростір, що утворений цими елементами, # – множина операторних поліномів #-го степеня # вигляду #, де #, #, #, – #-й операторний степінь, що отриманий з #-лінійного неперервного симетричного оператора #, #, коли #; – множина операторних поліномів # степеня вигляду

#, (1)

де # – коефіцієнти, симетричні відносно своїх індексів.

На множині (1) будуємо поліноми # з інтерполяційними умовами для #, що однозначно визначають коефіцієнти # для всіх #.

Твердження 2.1. Будь-який операторний інтерполянт з множини # коефіцієнти якого визначені однозначно з інтерполяційних умов на підпросторі #, #, на # є точним на поліномах #, а на всьому просторі # – асимптотично (в сенсі зростання значення #) точним.

Наслідок 2.1. У випадку # всі інтерполянти з множини #, коефіцієнти яких однозначно визначені на основі інтерполяційних умов з підпростору #, співпадають, а для # – різні.

Сформулюємо наступну задачу поліноміального операторного інтерполювання: для оператора # на підпросторі # визначити такі інтерполяційні умови, що дозволяють на множині # побудувати інтерполянти з однозначно визначеними коефіцієнтами #, #, #, #, за будь-яким #, та розробити методи конструктивної побудови відповідних інтерполяційних формул. Загальна кількість коефіцієнтів #, з урахуванням їх симетричності відносно індексів, дорівнює #, де #, #. Отже, для однозначного визначення цих коефіцієнтів необхідно на підпросторі # знайти # умов, що приводять до системи лінійних рівнянь відносно невідомих # з невиродженою матрицею для будь-якого #. В подальшому розглядаємо інтерполяційні умови типу Ерміта та Ерміта-Біркхофа.

В підрозділі 2.2 для оператора, # разів диференційованого за Гато в абстрактному гільбертовому просторі, наведено інтерполяційні умови Ерміта в одному вузлі, що забезпечують однозначну побудову інтерполянта з множини #, асимптотично точного на поліномах відповідного степеня, та на основі даних умов конструктивно побудовано інтерполяційний поліном.

Нехай # – оператор, # разів диференційований за Гато, на підпросторі # задані значення #, #, #, #, – диференціалів Гато #-го порядку оператора # в нулі за напрямками #.

Для оператора # розглядається задача побудови операторного полінома #, що задовольняє інтерполяційним умовам Ерміта

#, #, #, #. (2)

Кількість таких умов, у припущенні симетричності оператора # відносно напрямків # дорівнює #. Побудований інтерполянт Ерміта # буде мати властивості єдиності на множині # та асимптотичної точності на поліномах.

Для знаходження коефіцієнтів # інтерполянта # визначаються його диференціали Гато #-го порядку в нулі за напрямками #, #, #, #. Отримані значення диференціалів підставляються в систему рівнянь (2). Розв’язавши цю систему відносно невідомих #, отримуємо формулу для обчислення коефіцієнтів інтерполянта # структури (1):

#, #, #, #, #.

Підстановкою даних значень в (1) визначається інтерполяційний поліном #. Встановлено, що # є інтерполяційним наближенням для поліному Тейлора # оператора # та #.

В підрозділі 2.3 для оператора, # разів диференційованого за Гато, наведено інтерполяційні умови типу Абеля-Гончарова, що забезпечують однозначну побудову інтерполянта з множини #, асимптотично точного на поліномах, та на основі даних умов конструктивно побудовано інтерполяційний поліном.

Нехай # – оператор, # разів диференційований за Гато. На підпросторі # задані значення #, #, #, #, – диференціалів Гато #-го порядку оператора # у вузлі # за напрямками #. Для оператора # розглядається побудова полінома #, що задовольняє інтерполяційним умовам типу Абеля-Гончарова

#, #, #, #. (3)

У припущенні симетричності оператора # відносно напрямків # кількість таких умов дорівнює #. Інтерполяційний поліном типу Абеля-Гончарова # буде єдиним на множині # та асимптотично точним на поліномах відповідного степеня.

Для знаходження коефіцієнтів # інтерполянта # визначаються його диференціали Гато #-го порядку у вузлі # за напрямками #, #, #, #. Отримані значення диференціалів підставляються в систему рівнянь (3). Розв’язавши цю систему відносно невідомих #, знаходимо рекурентну формулу для обчислення коефіцієнтів інтерполяційного поліному # структури (1):

#, #, #,

#, #.

Інтерполянт # визначається підстановкою знайдених значень в (1).

В підрозділі 2.4 для оператора, двічі диференційованого за Гато, наведено інтерполяційні умови Ерміта та Ерміта-Біркхофа, відмінні від розглянутих в підрозділах 2.2, 2.3, що забезпечують однозначну побудову інтерполяційних поліномів другого степеня на множині #, асимптотично точних на поліномах, та конструктивно побудовано відповідні інтерполянти.

Нехай # – оператор, двічі диференційований за Гато. Для оператора # формулюється задача побудови інтерполянтів Ерміта та Ерміта-Біркхофа із множини # на основі інтерполяційної інформації, що задана на підпросторі #, #. В цьому випадку для однозначного визначення коефіцієнтів інтерполяційної формули необхідно задати # інтерполяційних умов.

В даному підрозділі на основі даних про значення оператора #, # та його диференціалів Гато #, # першого та другого порядків у вузлах за напрямками #, #, розглядається побудова інтерполянтів Ерміта # та Ерміта-Біркхофа #, # з множини #, що задовольняють умовам

#, #, #,

#, #, #, #, (4)

#, #,

#, #, #, (5)

#, #,

#, #, #. (6)

Кількість таких умов у припущенні симетричності операторів # відносно напрямків #, #, дорівнює # і коефіцієнти в (1) визначаються однозначно з умов (4)-(6) для будь-якого #. Побудовані інтерполянти будуть єдиними на множині # та асимптотично точними на поліномах.

Знаходження коефіцієнтів інтерполяційних формул, так само, як і в попередніх випадках, здійснюється на основі умов (4)-(6). Для цього визначаються відповідні значення інтерполянтів та їх диференціалів Гато та підставляються в системи (4)-(6). Розв’язавши системи рівнянь (4)-(6) відносно невідомих коефіцієнтів #, #, #, отримуємо наступні результати.

Коефіцієнти інтерполяційного поліному Ерміта # визначаються за формулами: #, #, #, #, #, #.

Коефіцієнти інтерполянтів Ерміта-Біркхофа # та # знаходяться за формулами: #, #, # та #, #, #, #, # відповідно.

Третій розділ присвячений аналізу точності наближення поліноміальних та диференційованих операторів інтерполянтами з множини # в разі точно та збурено заданої інтерполяційної інформації.

В підрозділі 3.1 для поліноміальних операторів знайдено оцінки точності інтерполянтів, асимптотично точних на поліномах, в метриках простору значень оператора та передгільбертового простору операторних поліномів #.

Нехай # – сепарабельний гільбертів, # – лінійний нормований простори. Для оцінки точності інтерполювання оператора # інтерполянтом # (1), асимптотично точним на поліномах відповідного степеня, в метриці простору # отримано наступний результат.

Твердження 3.1. Для будь-якого інтерполянта # з однозначно визначеними коефіцієнтами #, #, має місце оцінка

#,

де # – традиційна норма оператора #, #, #.

Введемо гауссову міру # на #, середнє значення якої дорівнює нулю, а ядерний оператор #, #, є кореляційним оператором цієї міри, де # – власні елементи, а # – власні значення оператора #, #.

Нехай # – гільбертів простір зі скалярним добутком #, # – передгільбертів простір операторних поліномів # зі скалярним добутком # та нормою

#, (7)

де #, #, # – #-лінійні неперервні симетричні операторні форми, що відповідають поліномам #.

Результат дослідження точності інтерполювання оператора # поліномом # (1), що асимптотично зберігає поліноми того ж степеня, в метриці простору #, відображений у наступному твердженні.

Твердження 3.3. Для будь-якого # з однозначно визначеними коефіцієнтами #, #, має місце оцінка

#,

де # визначається континуальним інтегралом (7) за гауссовою мірою #.

В підрозділі 3.2 для диференційованих операторів оцінено точність інтерполянта Ерміта та наведено умови, що забезпечують збіжність такого інтерполяційного процесу до аналітичного за Гато оператора.

Нехай # – гільбертові простори (# – сепарабельний), # – оператор, аналітичний за Гато в просторі #. Нехай тепер # – передгільбертів простір аналітичних за Гато операторів зі скалярним добутком # та нормою

#, (8)

де #, # – диференціал Гато #-го порядку оператора # в нулі за напрямками #, # – гауссова міра на #, що введена вище.

Основні результати аналізу точності інтерполянта Ерміта # для оператора # в метриці # подано у наступних твердженнях.

Теорема 3.1. Для аналітичного за Гато оператора # за умови збіжності ряду # має місце оцінка

#,

де # визначено в (8), # – традиційна норма #-лінійного оператора.

Теорема 3.2. Нехай аналітичний за Гато оператор # такий, що виконується умова теореми 3.1. Тоді #, тобто має місце збіжність інтерполяційного процесу Ерміта # до # в метриці #.

В наступних теоремах 3.3-3.7 #, #.

Теорема 3.3. Нехай оператор # – аналітичний за Гато в #. Тоді

#,

де #, #, #.

Наслідок 3.1. Для аналітичного за Гато оператора за умов теореми 3.3 має місце збіжність інтерполяційного процесу # до # в метриці #, коли #, #.

Нехай тепер # – сепарабельний гільбертів, # – лінійний нормований простори, а # – оператор, # разів диференційований за Фреше в #, # – залишковий член формули Тейлора для оператора #.

В метриці простору # оцінено точність наближення # інтерполянтом Ерміта #, побудованого на основі інформації про значення # диференціалів Фреше #-го порядку оператора # в нулі за приростами #, #, #, #.

Теорема 3.4. Нехай # – оператор, # разів диференційований за Фреше в #. Тоді має місце оцінка

#,

де # визначено в формулюванні твердження 3.1, #, #.

В підрозділі 3.3 досліджено точність інтерполяційних наближень поліноміальних, аналітичних за Гато операторів та операторів, що мають скінчену кількість вищих похідних Фреше в разі збурено заданих значень диференціалів вищих порядків оператора. Знайдено оцінки точності інтерполяційних формул (інтерполяція типу Абеля-Гончарова досліджена для випадку поліноміального оператора) та наведено умови на кількість вузлів інтерполювання за яких не можливо покращити отримані оцінки.

Нехай # – гільбертові простори (# – сепарабельний), # – оператор, аналітичний за Гато в #. Досліджено точність інтерполянта #, коли значення диференціалів Гато # оператора # задані зі збуреннями

#, #, #.

Теорема 3.6. Нехай # – аналітичний за Гато оператор, а в разі збурених значень диференціалів Гато #, #, #, #, #, #. Тоді

#

#. (9)

де # визначено формулою (8), # та # наведено в формулюванні теореми 3.3.

Наслідок 3.2. Точність інтерполяції в сенсі оцінки (9) не покращується, коли #, де пара # визначається з умови

#.

Нехай тепер # – сепарабельний гільбертів, # – лінійний нормований простори, # – оператор, # разів диференційований за Фреше в #, #. Для # оцінено точність інтерполянта #.

Теорема 3.7. Нехай оператор # # раз диференційований за Фреше, #, #, а за збурених значень диференціалів #, #, #, #, #, #. Тоді на множині # має місце оцінка

#

#

#, #, (10)

де #, #, # – дзета-функція Рімана.

Наслідок 3.4. Точність інтерполяції в сенсі оцінки (10) не покращується, коли #, де # визначається з умови

#.

Нехай # – гільбертові простори (# – сепарабельний), Для оператора # в метриці # досліджено точність інтерполянта #.

Теорема 3.8. Нехай за збурених значень диференціалів Гато оператора # виконана умова #, #, #, #. Тоді

#, (11)

де # визначається формулою (7), #, #, #, #, #.

Наслідок 3.6. Точність інтерполяції в сенсі оцінки (11) не покращується коли #.

Для # в метриці # досліджено точність інтерполянтів #, #, #, побудованих в разі збурено заданих диференціалів Гато

#, #, #,

#, #,

де #, #, #, # – елементи простору # такі, що #, #, #, #.

Точність цих інтерполянтів в метриці оцінюється за формулами

#

#,

#,

#.

Виходячи з того, що точність інтерполяції в сенсі наведених оцінок не покращується, коли значення другого доданку в правій частині перевищує значення першого, знайдено значення #, перевищення яких не покращує отримані оцінки точності.

В четвертому розділі в просторі # досліджено зв’язок між узагальненим на операторний рівень методом ортогональних моментів для ідентифікації поліноміальних систем в разі детермінованих впливів та інтерполяційними методами асимптотично точними на поліномах. Розглянуто приклади застосування оцінок точності інтерполяційних формул для визначення точності ідентифікаційної задачі.

В задачі ідентифікації припускається, що модель досліджуваної системи описується поліномом Вольтерра #,

#, #, (12)

де #, # – ядро системи #-го порядку – симетрична відносно змінних # функція, що інтегрується з квадратом в області #, для якої #, #, коли #, #, ядра # невідомі.

Математична модель, в термінах якої здійснюється ідентифікація, отримана заміною вхідного сигналу # в (12) відрізком його ряду Фур’є за ортонормальним базисом # в # та подана у вигляді

#, (13)

де # – скалярний добуток в #, # – ортогональні моменти ядер, що однозначно визначаються за допомогою схем виділення однорідних функцій за відомою реакцією системи на вхідні впливи #.

Теорема 4.1. В функціональному просторі # розв’язок # задачі ідентифікації поліноміальних систем методом ортогональних моментів у разі детермінованих впливів тотожньо співпадає з інтерполяційними формулами # з множини #, асимптотично точними на поліномах відповідного степеня. При цьому має місце рівність #.

Наслідок 4.1. На підставі еквівалентності операторних інтерполянтів з множини #, що асимптотично інваріантні відносно поліномів того ж степеня, та розв’язку задачі ідентифікації поліноміальних систем методом ортогональних моментів (13), похибку останнього можна визначити за допомогою оцінок точності відповідних інтерполяційних формул.

В п’ятому розділі проведено апробацію отриманих теоретичних результатів з побудови та аналізу точності інтерполянтів, асимптотично точних на поліномах, на прикладах поліномів Вольтерра другого та третього степеня вигляду (12) з конкретно заданими вхідними функціями та ядрами. Тестові розрахунки з побудови та визначення точності інтерполяційних формул, що виконано в системі MATHEMATICA 4.1, Wolfram Research, Inc, експериментально підтвердили задовільну точність інтерполювання, простоту побудови отриманих інтерполянтів та доцільність їх застосування на практиці.

ВИСНОВКИ

В дисертаційній роботі поставлена та розв’язана задача конструктивної побудови на множині # та аналізу точності в абстрактному гільбертовому просторі інтерполяційних операторних поліномів Ерміта та Ерміта-Біркхофа нової, достатньо простої структури, що мають властивості єдиності на цій множині та асимптотичного збереження поліномів відповідного степеня.

Основні наукові результати, отримані в дисертації, формулюються наступним чином.

1. В абстрактному гільбертовому просторі знайдено множину # операторних поліномів достатньо простої структури, на якій інтерполяційні формули визначаються однозначно з інтерполяційних умов, заданих на підпросторі #. Інтерполянти на підпросторі # є точними на поліномах відповідного степеня, а на всьому просторі # – асимптотично (в сенсі зростання значення #) точними.

2. Для побудови операторних інтерполянтів на множині # з переліченими вище властивостями необхідна однакова кількість інтерполяційних умов, заданих на #.

3. У випадку інтерполювання поліноміальних операторів всі інтерполяційні формули співпадають, а для неполіноміального – різні.

4. На підпросторі # знайдено інтерполяційні умови Ерміта в одному вузлі, типу Абеля-Гончарова та частинні випадки умов Ерміта та Ерміта-Біркхофа, що забезпечують однозначну побудову на множині # операторних інтерполянтів, асимптотично точних на поліномах відповідного степеня.

5. Для оператора, диференційованого за Гато в просторі #, на основі знайдених інтерполяційних умов конструктивно побудовано інтерполянти Ерміта та Ерміта-Біркхофа, що мають властивості єдиності на множині # та асимптотичної точності на поліномах того ж степеня.

6. Для поліноміального оператора отримано оцінки точності інтерполяційних формул, асимптотично точних на поліномах.

7. Для аналітичного за Гато оператора та оператора, що має скінчену кількість похідних Фреше, оцінено точність інтерполянта Ерміта в одному вузлі. За певних умов доведена збіжність такого інтерполяційного процесу до аналітичного за Гато оператора, коли #, #.

8. За умов збурено заданої вихідної інформації для поліноміальних, аналітичних за Гато операторів та операторів, що мають скінчену кількість похідних Фреше знайдено оцінки точності інтерполянтів Ерміта в одному вузлі. Також для поліноміальних операторів оцінено точність інтерполяційної формули типу Абеля-Гончарова та частинних випадків інтерполянтів Ерміта та Ерміта-Біркхофа. Із отриманих оцінок визначено значення # (для випадку інтерполяції поліноміального оператора та оператора, що має скінчену кількість похідних Фреше) та пар # (для випадку інтерполяції аналітичного за Гато оператора), перевищення яких не покращує знайдену оцінку точності.

9. В просторі # показано, що розв’язок задачі ідентифікації поліноміальних систем методом ортогональних моментів у разі детермінованих впливів еквівалентний побудові операторного інтерполянта, асимптотично точного на поліномах відповідного степеня.

10. Апробація теоретичних результатів на прикладах поліномів Вольтерра другого та третього степеня з конкретно заданими вхідними функціями та ядрами експериментально підтвердила задовільну точність інтерполювання та простоту побудови отриманих інтерполяційних формул типу Ерміта та Ерміта-Біркхофа.

На завершення окреслено можливі напрямки подальших досліджень, зокрема, пошук нових інтерполяційних умов, що забезпечать за будь-яким # однозначну побудову на визначеній множині операторних інтерполянтів, асимптотично точних на поліномах, та аналіз точності відповідних інтерполяційних формул, а також узагальнення отриманих в абстрактному гільбертовому просторі результатів на випадок лінійних топологічних просторів.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Хлобистов В. В., Поповічєва (Малишева) Т. М. Про двосторонні оцінки норми операторного полінома в гільбертовому просторі // Вісник Київського ун-ту. Сер.: фіз.-мат. науки. – 2004. – № 2. – С. 356–361.

2. Хлобистов В.В., Кашпур О.Ф., Поповічєва Т.М. Операторні інтерполянти в гільбертовому просторі асимптотично точні на поліномах // Вісник Київського ун-ту. Сер.: фіз.-мат. науки. – 2005. – № 4. – С. 242–248.

3. Хлобистов В.В., Кашпур О.Ф., Малишева Т.М. Про множину операторних інтерполянтів, гранично інваріантних щодо поліномів // Вісник Київського ун-ту. Сер.: фіз.-мат. науки. – 2006. – № 2. – С. 246-252.

4. Хлобыстов В.В., Поповичева Т.Н. Об интерполяционном приближении дифференцируемых операторов в гильбертовом пространстве // Укр. мат. журн. – 2006. – Т.58, № 4. – С. 554-565.

5. Хлобыстов В.В., Поповичева Т.Н. Интерполирование и задачи идентификации // Кибернетика и системный анализ. – 2006. – № 3. – С. 100 – 107.

6. Хлобистов В.В., Малишева Т.М. Про оцінки точності інтерполювання диференційованих операторів в гільбертовому просторі в разі збурених значень їх диференціалів // Вісник Київського ун-ту. Сер.: фіз.-мат. науки. – 2006. – № 3. – С. 270-277.

7. Малишева Т.М. Про точність інтерполювання та збіжність послідовності інтерполянтів, асимптотично точних на поліномах в гільбертовому просторі // Вісник Київського ун-ту. Сер.: фіз.-мат. науки. – 2006. – № 4. – С. 191-199.

8. Хлобистов В.В., Поповічєва Т.М. Інтерполяційне наближення полінома Тейлора для диференційованих операторів у гільбертовому просторі // Вісник Київського ун-ту. Сер.: фіз.-мат. науки. – 2005. – № 2. – С. 324–330.

9. Хлобистов В.В., Поповічєва Т.М. Про операторну інтерполяцію та ідентифікацію нелінійних систем // Вісник Київського ун-ту. Сер.: фіз.-мат. науки. – 2006. – № 1. – С. 209–215.

10. Поповічєва Т.М. Про двосторонні оцінки норми операторного полінома в гільбертовому просторі з мірою // ХХ Міжнар. Наук. конференція імені академіка М. Кравчука. Київ, 13-15 травня 2004 р. – К., 2004. – С. 490.

11. Хлобистов В.В., Поповічєва Т.М. Про інтерполяційне наближення диференційованих операторів // Питання оптимізації обчислень (ПОО ХХХІІ): Міжнар. конференція, присвячена пам’яті академіка В.С. Михалевича. Крим, с. Кацивелі, 19-23 вересня 2005 р. – К., 2005. – С. 210.

12. Хлобистов В.В., Поповічєва Т.М. Про операторне інтерполювання та задачі ідентифікації нелінійних систем // Сучасні проблеми прикладної математики та інформатики: ХХІІ Всеукр. Наук. Конференція. Львів, 4-6 жовтня 2005 р. – Львів, 2005. – С. 156.

13. Хлобистов В.В., Кашпур О.Ф. Малишева Т.М. Про множину операторних інтерполянтів, гранично інваріантних щодо поліномів // ХХІ Міжнар. Наук. конференція імені академіка М. Кравчука. Київ, 18-20 травня 2006 р. – К., 2006. – С. 490.

АНОТАЦІЇ

Малишева Т.М. Інтерполяційні формули в гільбертовому просторі, асимптотично точні на поліномах. – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.07 – обчислювальна математика. – Інститут математики НАН України, Київ, 2007.

Дисертаційна робота присвячена розв’язанню та дослідженню задач поліноміального операторного інтерполювання Ерміта та Ерміта-Біркхофа в абстрактному гільбертовому просторі. Запропоновано множину операторних поліномів достатньо простої структури, на якій розглянуто побудову нових інтерполянтів, що за певним вибором інтерполяційних умов мають властивості єдиності на цій множині та асимптотичної (в сенсі зростання розмірності підпростору на якому визначено інтерполяційні умови) точності на поліномах відповідного степеня. Знайдено умови Ерміта та Ерміта-Біркхофа, які забезпечують виконання даних властивостей. Для диференційованого за Гато оператора на вибраній множині конструктивно побудовано відповідні інтерполяційні формули Ерміта та Ерміта-Біркхофа, асимптотично точні на поліномах. Досліджено точність інтерполювання поліноміальних, аналітичних за Гато операторів та операторів, що мають скінчену кількість вищих похідних Фреше, в умовах точно та збурено заданої вихідної інформації. В просторі # встановлено еквівалентність розв’язку задачі ідентифікації поліноміальних систем методом ортогональних моментів в разі детермінованих впливів та операторними інтерполянтами, асимптотично точним на поліномах відповідного степеня.

Ключові слова: гільбертів простір, операторний поліном, інтерполянти Ерміта та Ерміта-Біркхофа, диференційований оператор, диференціали Гато та Фреше, асимптотична точність, поліноміальна система, ідентифікація.

Малышева Т.Н. Интерполяционные формулы в гильбертовом пространстве, асимптотически точные на полиномах. – Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.07 – вычислительная математика. – Институт математики НАН Украины, Киев, 2007.

Диссертационная работа посвящена решению и исследованию задач полиномиального операторного интерполирования Эрмита и Эрмита-Биркхофа в абстрактном гильбертовом пространстве.

Целью роботы являлось однозначное конструктивное построение на выбранном множестве и исследование в абстрактном гильбертовом пространстве интерполяционных операторных полиномов Эрмита и Эрмита-Биркхофа новой достаточно простой структуры, асимптотически (в смысле возрастания размерности подпространства на котором определены интерполяционные условия) точных на многочленах соответствующей степени.

Известно, что в бесконечномерном пространстве в общем случае интерполяционная задача имеет неоднозначное решение и интерполянт не сохраняет операторный полином той же степени. К настоящему времени известны интерполяционные формулы, имеющие данные свойства, однако их построение на практике связано с определенными трудностями, поскольку требует существования высших производных Гато и абстрактных интегралов.

В диссертационной работе предложено множество операторных полиномов достаточно простой структуры, на котором рассмотрено построение новых интерполянтов, обладающих, при определенном выборе интерполяционных условий, свойствами единственности на данном множестве и асимптотической точности на многочленах соответствующей степени.

Установлено, что для построения таких интерполянтов необходимо одинаковое количество интерполяционных условий, при этом, в случае интерполирования полиномиальных операторов все интерполяционные формулы совпадают, а для неполиномиальных – разные.

Найдены интерполяционные условия Эрмита в одном узле, типа Абеля-Гончарова и частные случаи условий Эрмита и Эрмита-Биркхофа, обеспечивающие однозначное построение на выбранном множестве операторных интерполянтов, асимптотически точных на полиномах. Для дифференцируемого по Гато оператора разработаны методы конструктивного построения соответствующих интерполяционных формул.

Исследована точность интерполирования полиномиальных, аналитических по Гато операторов и операторов, имеющих конечное число высших производных Фреше, в случаях точно и возмущенно заданной исходной информации. При выполнении определенных условий, доказана сходимость интерполяционного процесса Эрмита в одном узле к аналитическому по Гато оператору при возрастании числа # элементов ортонормального базиса, образующего подпространство, на котором заданы интерполяционные условия, и степени # интерполяционного полинома.

Свойство асимптотической инвариантности интерполянтов относительно полиномов соответствующей степени позволила определить из полученных оценок точности значение #, обеспечивающее заданную точность интерполирования, и не требовать его бесконечного возрастания, что приводить к простому использованию таких интерполяционных формул на практике.

В случае возмущенно заданных исходных данных из найденных оценок точности определены условия на значения # (для случая интерполяционного приближения полиномиальных операторов и операторов, имеющих конечное число высших производных Фреше) и пары # (в случае интерполирования дифференцируемых по Гато операторов), при увеличении которых найденная оценка не улучшаема.

В пространстве # установлена эквивалентность решения задачи идентификации полиномиальных систем методом ортогональных моментов при детерминированных воздействиях и интерполяционными операторними полиномами, асимптотически точными на многочленах той же степени. Это позволяет применять построенные в диссертации операторные интерполянты для решения задачи идентификации и оценить точность полученного решения при помощи оценок точности соответствующих интерполяционных формул.

Выполнена апробация полученных теоретических результатов на примерах полиномов Вольтерра второй и третьей степени с конкретно заданными входными функциями и ядрами. Тестовые расчеты по построению и определению точности интерполянтов экспериментально подтвердили удовлетворительную точность интерполирования, простоту построения приведенных в работе интерполяционных формул Эрмита и Эрмита-Биркхофа и целесообразность их применения на практике.

Теоретический подход, предложенный в диссертации, может быть использован в исследованиях, связанных с решением проблемы интерполирования полиномиальных и дифференцируемых операторов в абстрактном гильбертовом пространстве. Полученные результаты можно применять для построения квадратурных формул (континуальные интегралы); в исследованиях нелинейных операторных (в частности, функциональных) систем; в задачах моделирования и идентификации, а также для широкого класса задач, позволяющих свести изучение нелинейной структуры объекта к изучению его полиномиального приближения. Результаты диссертационной работы могут быть теоретической основой для построения и дальнейших исследований в гильбертовых и общих линейных пространствах новых операторных интерполянтов простой структуры, асимптотически точных на полиномах.

Ключевые слова: гильбертово пространство, операторный полином, интерполянты Эрмита и Эрмита-Биркхофа, дифференцируемый оператор, дифференциалы Гато и Фреше, асимптотическая точность, полиномиальная система, идентификация.

Malysheva T.M. Interpolation formulas in Hilbert space that asymptotically accurate on polynomials. – Manuscript.

Ph. D thesis (physics and mathematics) in the field of computational mathematics (field code 01.01.07). – Institute of mathematics, National Academy of Sciences of Ukraine, Kyiv, 2007.

The thesis is dedicated to the solution and investigation of Hermite and Hermite-Birkhoff polynomial operator interpolation problems in abstract Hilbert space. The set of operator polynomials with the simple enough structure is offered. Based on this set, construction of new operator interpolants, under a certain selection of interpolation conditions with properties of uniqueness and asymptotical (in sense of increasing of dimension of subspace where interpolation conditions