НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ІНСТИТУТ МОНОКРИСТАЛІВ

Найдьонов Сергій В'ячеславович

УДК 53.01; 530.182; 535.015; 539.1.01

ДЕТЕРМІНОВАНИЙ ХАОС У НЕЛІНІЙНИХ СИСТЕМАХ З РОЗРИВАМИ

01.04.02 – теоретична фізика

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

доктора фізико-математичних наук

Харків – 2007

Дисертацією є рукопис

Дисертація виконана в Інституті монокристалів НАН України

Науковий консультант: доктор фізико-математичних наук,

старший науковий співробітник

Яновський Володимир Володимирович,

завідувач відділу

теорії конденсованого стану речовини

Інституту монокристалів НАН України

Офiцiйнi опоненти: доктор фізико-математичних наук,

старший науковий співробітник

Болотін Юрій Львович,

завідувач відділу теоретико-групових

властивостей елементарних частинок, теорії ядра та нелінійної динаміки

Інституту теоретичної фізики ім. О.І. Ахієзера

ННЦ “Харківський фізико-технічний інститут”

доктор фізико-математичних наук, професор

Білоколос Євген Дмитрович,

завідувач відділу теоретичної фізики

Інституту магнетизму НАН України

доктор фізико-математичних наук, професор

Ковальов Олександр Семенович,

провідний науковий співробітник

відділу теоретичної фізики

Фізико-технічного інституту низьких

температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України

Захист відбудеться “ 17 ” жовтня 200 7 о 14 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 64.169.01 при Інституті монокристалів НАН України за адресою: 61001, м. Харків, пр. Леніна, 60

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Інституту монокристалів НАН України за адресою: 61001, м. Харків, пр. Леніна, 60

Автореферат розісланий “ 07 ” вересня 200 7 

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради Д .169.01

кандидат фізико-математичних наук Добротворська М.В.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Одним з важливих напрямків сучасної фізики є дослідження детермінованого або динамічного хаосу в нелінійних системах різної фізичної природи. Траєкторії таких систем демонструють випадкову поведінку, яка не пов'язана з присутністю будь-яких зовнішніх випадкових сил або з статистичною невизначеністю систем з великим числом ступенів свободи. Динамічний хаос є внутрішньою властивістю нелінійних систем. Загалом він обумовлений експоненційною чутливістю фазових траєкторій до як завгодно слабкого збурювання початкових умов. Починаючи з робіт А. Пуанкаре, за допомогою парадигми динамічного хаосу закріпився новий погляд на проблеми класичної та небесної, а зараз і квантової механіки. Після робіт Н.С. Крилова знайшлося пояснення деяких постулатів статистичної фізики. Доведено також непередбачувану раніше можливість вкрай складного руху в зовнішньо надзвичайно простих динамічних системах, за допомогою чого підтверджено розповсюдженість фрактальної геометрії природи, тощо.

Принциповою метою теорії динамічного хаосу є вивчення особливостей регулярної та хаотичної динаміки у фазовому просторі динамічних систем, обчислення їх динамічних і статистичних характеристик, з'ясування типових механізмів і сценаріїв переходу до хаосу. Дотепер ці питання глибоко розроблені для неперервних (або гладких) динамічних систем. Останні описуються диференціальними рівняннями або точковими відображеннями, праві частини яких не мають особливостей (розривів). Динамічні системи з особливостями вивчені ще недостатньо, хоч вони всюди зустрічаються. У певному відношенні їх навіть більше, ніж гладких систем, тому що розривних функцій за категорією Бера “більше”, ніж неперервних. Особливо яскравим фізичним прикладом нелінійних систем з розривами є більярди. Іншим не менш важливим прикладом є модельні відображення з розривами.

Більярди – це одна з найбільш вдалих моделей статистичної фізики. За допомогою більярдів були відпрацьовані такі фундаментальні поняття як ергодичність, перемішування, розчіплювання кореляцій та ін. Велику популярність здобули хаотичні більярди, зокрема більярди Синая і Бунімовича. Більше того, з більярдами пов'язані численні фізичні додатки. Зокрема, це акустичні та електромагнітні резонатори і хвилеводи; “оптичні більярди”, до яких відносяться світловоди, світлодіоди, лазерні порожнини, оптичні пастки ультрахолодних атомів або іонів, тощо; “балістичні більярди” в напівпровідникових та надпровідникових структурах у мезоскопічній фізиці; “нуклонні більярди” у фізиці ядра і фізиці високих енергій; “гравітаційні більярди” і міжгалактичні “прискорювачі Фермі” у астрофізиці та ін. Різноманітність цих задач особливо гостро ставить завдання розробки універсальних підходів та методів теоретичного дослідження, динамічного і статистичного опису більярдів. Крім того, великий інтерес представляє вивчення нових динамічних ефектів у нетрадиційних більярдах, пошук невідомих типів хаотичних більярдів, тощо. Традиційно більярди відносяться до гамільтонівських динамічних систем із сингулярним потенціалом. Однак, змінивши характер динамічного опису, як це пропонується в дисертації, більярдам можна надати принципово інший статус, включивши їх у більш широкий клас оборотних систем у новому симетричному фазовому просторі з спеціальною геометро-динамічною характеристикою – інволюцією більярда. Такий геометро-динамічний підхід відкриває нові привабливі можливості для дослідження довільних фізичних більярдів, а в ряді випадків дозволяє одержувати нові результати, недоступні іншими методами.

Різноманітні відображення (динамічні системи у дискретному часі) також є базовими моделями хаотичної динаміки. На них відпрацьовуються робочі гіпотези та вивчаються нові ефекти. Відображення з розривом часто виникають при описі розривних фізичних процесів. Зокрема, до них відносяться імпульсні коливальні системи типу impact oscillator; електричні системи типу Chua oscillator з розривною вольт-амперною характеристикою; електронні перемикачі switching circuits, які необхідні для роботи силових блоків сучасних комп'ютерів; різні “анкерні” механічні та електромагнітні пристрої з обмежуючими динаміку зв'язками, тощо. Розривні відображення також виникають у теорії помилок, у деяких космологічних моделях та ін. Принципово, що розривні відображення природно виникають при дослідженні перетинів Пуанкаре для багатовимірних дисипативних потоків з незвичними атракторами, наприклад, для атрактору Лоренца (при певних параметрах системи). Спеціальні, як правило, кусочно-лінійні відображення з розривами найбільш зручні для тестування хаосу. Вивчення їх динаміки, стійкості, біфуркацій і т.п. є важливим кроком на шляху викриття генезису динамічного хаосу. В дисертації запропоновано клас стандартних відображень з розривом, на прикладі яких відкрито ефект виколювання періодичних орбіт і новий сценарій переходу до хаосу. Ці дослідження, безумовно, важливі для пошуку й інтерпретації нових динамічних ефектів, які варто очікувати також в інших нелінійних системах з розривами.

Дисертація насамперед пов'язана з розв’язанням проблеми детермінованого хаосу в розривних динамічних системах, до яких відносяться більярди й розривні відображення. Крім того, ще теоретично розглянуто дві важливі проблеми – хаос у сцинтиляторах та мульти-енергетична радіографія. Пов’язане з першою з них встановлення загальних законів світлозбирання в оптичних більярдах відкриває можливості подальшого поліпшення корисних характеристик численних технічних приладів і пристроїв. Розробка послідовної теорії мульти-енергетичної радіографії відіграє важливу роль для пошуку ефективних методів неруйнівного контролю атомної структури матеріалів, отже, для створення нового покоління рентгенівських сканерів для науки, медицини, безпеки (митний контроль вибухівки, наркотиків, тощо).

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Обрані напрямки досліджень були пов'язані з науковою тематикою, що розробляється в НТК “Інститут монокристалів” НАН України. Цикл досліджень за темою дисертації виконувався протягом 2000-2006 рр. у межах відомчих бюджетних тем НАН України:

· “Дослідження нерівноважних фазових перетворень у конденсованих середовищах”, номер державної реєстрації 0198U004257 (1998-2000);

· “Дослідження ефектів нелінійності та хаотичності в конденсованих середовищах”, номер державної реєстрації 0101U003489 (2001-2003);

· “Дослідження фрактальних властивостей неорганічних кристалів”, номер державної реєстрації 0101U003718 (2001-2003);

· “Дослідження хаотизації у складних композитних системах та аномальні кінетичні явища”, номер державної реєстрації 0104U003918 (2004-2006);

· науково-дослідної роботи для молодих учених НАН України “Дослідження фізичних закономірностей геометро-оптичного хаосу в сцинтиляційних монокристалах та поліпшення світлозбиральних властивостей детекторів на їх основі”, номер державної реєстрації 0101U006917, шифр “Більярд” (2001-2002),

а також, у рамках Державної програми України по розвитку мікроелектроніки (2005-2007); міжнародного наукового проекту CRDF UE2-2484-KH-02 (2003-2004), виконаного разом з Ливерморською Національною лабораторією ім. Лоуренса (США); інших цільових програм і пошукових тем, виконаних в 2002-2007 рр. Автор дисертації був провідним виконавцем всіх зазначених науково-дослідних робіт. Крім того, він був автором і керівником НДР “Більярд”, а також автором і відповідальним виконавцем проекту CRDFKH-02.

Мета і задачі досліджень. Головною метою досліджень є побудова послідовної теорії детермінованого хаосу в нелінійних системах з розривами – більярдах, у тому числі в більярдах нового типу (поліморфних і з розщепленням променів), та в кусочно-розривних відображеннях. Крім того, була поставлена мета розвитку теорії динамічного світлозбирання в оптичних більярдних системах і теорії мульти-енергетичної радіографії. Основні наукові задачі роботи полягають у наступному:

· розробка універсального геометро-динамічного підходу для опису більярдів; введення та вивчення симетричного фазового простору, його топології, внутрішніх симетрій, а також більярдних інволюцій;

· динамічний і статистичний опис більярдів у симетричному фазовому просторі; побудова теорії більярдних інволюцій, теорії нормальних форм і теорії інваріантних розподілів більярдів;

· пошук невідомих типів хаотичних більярдів; дослідження особливостей хаотичної динаміки у сімействі поліморфних більярдів у формі “гантель”;

· дослідження регулярної й хаотичної динаміки у більярдах з відбиттям і заломленням променів; аналіз динамічних режимів у сімействі оптичних кільцевих більярдів (з розщепленням променів);

· визначення динамічних режимів, періодичних орбіт, зон стійкості, фазових перебудов у сімействі кусочно-лінійних розривних відображень; пошук альтернативних сценаріїв розвитку хаосу в системах з розривами;

· розробка аналітичних методів дослідження хаотичної динаміки систем з розривами, у тому числі з використанням марківських розбивок та геометричних методів;

· формулювання динамічної моделі світлозбирання для оптичних систем; узагальнення фотометричної формули для хаотичного світлозбирання; відкриття та перевірка закономірностей динамічного світлозбирання в сцинтиляційних детекторах;

· розбудова теорії мульти-енергетичної радіографії, одержання теоретичних формул для кількісного відновлення атомного та хімічного складу матеріалів.

Об'єктом досліджень є нелінійні ефекти і явища динамічного хаосу в системах з розривами. До предмету досліджень відносяться більярди та пов'язані з ними різноманітні фізичні системи і явища, а також інші моделі динамічних систем у дискретному часі, що описуються відображеннями з розривами, зокрема, одномірні кусочно-лінійні відображення. Також предметом досліджень є оптичні системи, в тому числі сцинтиляційні детектори, світлодіоди і світловоди та процеси переносу, збору та виходу світла в них.

Методам дослідження в дисертації приділялось особливе значення. Для єдиного опису більярдів запропонований геометро-динамічний підхід, що найбільш глибоко виявляє внутрішні симетрії. Його універсальність і адекватність були підтверджені при рішенні супутніх теоретичних задач. Для дослідження відображень з розривами розроблений аналітичний метод, що використовує особливі марківські розбивки фазового простору. Ефективність цього методу була доведена при порівнянні теоретичних результатів з даними комп'ютерних експериментів. Для опису світлозбирання в оптичних системах запропонована динамічна модель, що не опирається на рівняння переносу або обчислювальні моделі типу методу Монте-Карло. При побудові теорії мульти-енергетичної радіографії використовувались точні рівняння, які описують поглинання іонізуючого випромінювання в речовині, що дозволило уникнути наближень та помилок (артефактів), характерних для інших підходів. Крім означених оригінальних методів, у дисертації використовувався широкий арсенал сучасних засобів теоретичної та математичної фізики, включаючи методи нелінійної і хаотичної динаміки; якісні методи теорії динамічних систем; символічну динаміку; теорію нормальних форм і теорію біфуркацій; функціональні рівняння; геометричні та топологічні методи (теорія сферичних перебудов, диференціальна і проективна геометрія), тощо.

Наукова новизна отриманих результатів.

1. Запропоновано універсальний геометро-динамічний підхід для опису більярдів. Більярди виділені в більш широкий, ніж гамільтонівські, клас спеціальних оборотних динамічних систем. Вперше побудовано симетричний фазовий простір та уведено універсальну характеристику – інволюцію більярду. Отримано загальні аналітичні рівняння для інволюцій, що визначають динаміку двох- і трьохвимірних більярдів.

2. Запропоновано топологічну теорію та топологічну класифікацію більярдів, що не є виродженими. Виявлено топологічні сингулярності більярдів в симетричному фазовому просторі – лакуни та дискримінанти. З’ясовано ефект руйнування траєкторій типу “галерей, які шепотять” внаслідок появи зон геометричної тіні в більярдах.

3. Побудовано теорію інваріантних (статистичних) розподілів більярдів у симетричному фазовому просторі. Уведено функцію розподілу відбиттів, що підкоряється нелінійному кінетичному рівнянню. Виявлено кореляційний ефект між інваріантним розподілом відбиттів та кривизною опуклого більярда.

4. Побудовано теорію локальних рівнянь руху (нормальних форм) та отримано рівняння для опису перебудов фазового портрета більярдів у симетричному фазовому просторі поблизу довільних періодичних орбіт. Отримано ефект локального випрямлення фазових траєкторій опуклого більярду (еквівалентність більярду в колі), які розповсюджуються поблизу границі з гладкою кривизною.

5. Винайдено новий тип цілком хаотичного більярду – поліморфний більярд. Доведено хаотичну динаміку в сімействі поліморфних більярдів у формі “гантель”. Відкрито динамічний ефект, що полягає у зміні монотонної залежності показника Ляпунова при зміні топології пари дуальних поліморфних більярдів.

6. У рамках геометро-динамічного підходу виявлено нестандартні механізми переходу до хаосу в більярдах з розщепленням та заломленням променів. На прикладі кільцевого більярду встановлено особливості динаміки променів, у тому числі відкрито ефекти їх геометро-оптичного виштовхування та запирання.

7. Винайдено ефект виколювання періодичних орбіт (циклів) в розривних динамічних системах. Встановлено типовий механізм спонтанного переходу до хаосу, пов'язаний із зникненням сталих циклів передчасно до їх очікуваної втрати сталості. Окреслено нові сценарії хаотизації, які пов'язані з виколюванням або втратою симетрії циклів.

8. Запропоновано аналітичний метод обчислення границь виколювання циклів у системах з розривами, що використовує марківські розбивки фазового простору, які породжуються його особливостями (розривами й екстремумами). За допомогою цього методу обчислено карту динамічних режимів у сімействі стандартних відображень з розривом.

9. Розроблено динамічну модель світлозбирання в оптичних системах. Отримано фотометричну формулу хаотичного світлозбирання в системах із слабким поглинанням. Теоретично передбачено та підтверджено експериментальними даними спектрометричну універсальність регулярного світлозбирання.

10. Запропоновано послідовну теорію мульти-енергетичної радіографії, що не спирається на наближені методи. Отримано замкнуті вирази для кількісного відновлення ефективного атомного номера, щільності та хімічного складу об’єктів контролю. Встановлено та перевірено універсальне співвідношення між ефективним атомним номером матеріалу і радіографічним відгуком для двох-енергетичної радіографії.

Практичне значення отриманих результатів. Їх роль для розвитку теоретичної фізики полягає в такому:

· запропонований в роботі геометро-динамічний підхід придатний для подальшого дослідження різноманітних більярдів і багатьох фізичних систем, які зводяться до більярдних моделей;

· розроблені топологічні методи для вивчення симетричного фазового простору дозволяють повніше досліджувати динаміку більярдів, зокрема, встановлювати нові зв’язки між їх геометрією та хаотичними властивостями;

· введені у роботі більярдні інволюції, симетричні розподіли та інші характеристики збагачують арсенал сучасних теоретичних засобів дослідження фізичних систем більярдного типу та поліпшують вирішення питання про універсальний зв'язок поміж їх динамічних, статистичних і геометричних характеристик;

· побудована теорія нормальних форм у симетричному фазовому просторі придатна для опису довільних більярдів і допускає узагальнення на багатомірний випадок, що дозволяє досліджувати будь-які локальні біфуркації їх фазового портрету;

· відкритий новий тип хаотичних поліморфних більярдів може виявитись базовою моделлю статистичної фізики для дослідження класичного й квантового хаосу в різноманітних фізичних додатках, у тому числі в мікро- та нанофізиці;

· виявлені в більярдах з розщепленням та заломленням променів оптико-динамічні ефекти викривають природу динамічного хаосу та можуть бути корисними при вирішенні задач фізичної оптики;

· розроблені аналітичні методи обчислення біфуркаційних границь існування періодичних орбіт довільного порядку будуть корисними для дослідження складних багатопараметричних відображеннь;

· універсальний сценарій появи хаосу за рахунок ефекту виколювання сталих циклів поглиблює розуміння механізмів динамічного хаосу при наявності розривів, а також є корисним для пояснення аномалій у фізичних системах з розривами.

Певні напрямки роботи носять міждисциплінарний характер. Очікується, що отримані в дисертації теоретичні результати можуть знайти безпосереднє практичне застосування, в тому числі при вирішенні наступних проблем:

· оптимізація світлозбирання та поліпшення енергетичних та інших характеристик сцинтиляційних детекторів, які використовуються для астрофізики, в ядерній фізиці, фізиці високих енергій, у радіаційному приладобудуванні, тощо;

· боротьба із захопленим світлом в прозорих оптичних системах, у тому числі для підвищення коефіцієнта корисної дії сучасних світлодіодів та лазерів;

· розробка фізичних принципів для мульти-енергетичних рентгенівських сканерів нового покоління, які призначені для наукових, медичних та антитерористичних цілей і забезпечать принципове підвищення точності детектування матеріалів.

Особистий внесок здобувача. Особистий внесок автора в одержання результатів, що виносяться на захист, є визначальним. Дисертантові належить постановка і розвиток основних наукових проблем, вибір адекватних теоретичних методів їх вирішення, проведення в повному обсязі необхідних аналітичних обчислень, одержання, перевірка та інтерпретація кінцевих результатів. Особисто дисертантом запропоновано новий підхід для дослідження більярдів [1-4, 14], розроблено теорію більярдних інволюцій і топологічну теорію більярдів [3, 4, 14, 15], побудовано теорію інваріантних розподілів [7, 11] і нормальних форм [12, 19] більярдів у симетричному фазовому просторі; винайдено хаотичні поліморфні більярди [27, 39], з’ясовано особливості динаміки в більярдах з розщепленням променів [25, 28, 29]; відкрито ефект виколювання циклів і механізм спонтанної хаотизації в розривних відображеннях та розроблено аналітичні методи для обчислення структури циклів [21, 23]; впроваджено динамічну модель світлозбирання в оптичних більярдах, зокрема у сцинтиляторах [1, 8, 9, 18, 22], отримано формулу хаотичного світлозбирання та спектрометричний закон для регулярного світлозбирання [16, 20, 26]; побудовано теорію мульти-енергетичної радіографії [2, 10, 17] і відкрито радіографічний закон для відновлення ефективного атомного номера матеріалу [13, 24] та запропоновано принципи радіографічного визначення хімічного складу матеріалів та ін. Адаптація геометричних методів для дослідження більярдів та відображень з розривами проводилась разом з Яновським В.В. Порівняння розвинутої теорії з відомими експериментальними даними та визначення різних аспектів її практичного застосування виконувались разом з Рижиковим В.Д.

Апробація результатів дисертації. Матеріали роботи доповідалися в 2000-2007 рр. на міжнародних наукових конференціях і симпозіумах, а також на науково-практичних конференціях, засіданнях і розширених семінарах. Результати роботи були представлені та опубліковані в матеріалах 1st та 2nd International Conferences on Quantum Electrodynamics and Statistical Physics (Kharkov, Ukraine, 2001, 2006); 47th, 48th та 49th SPIE’s Annual Meetings (Seattle, USA, 2002; San Diego, USA, 2003; Denver, USA, 2004); SPIE Symposium on Optics & Photonics (San Diego, USA, 2006); IEEE NSS and MIC Conferences (Lyon, France, 2000; Rome, Italy, 2004, San Diego, USA, 2006); 5th European Conference LumDetr (Prague, Czech Republic, 2003); 7th International Conference SCINT (Valencia, Spain, 2003); International Conference “Functional Materials” (Partenit, Ukraine, 2003); 1st European Conference on Molecular Imaging Technology (Marseille, France, 2006); Третьої Міжнародної конференції “Комп'ютерні методи й Зворотні задачі” (Москва, Росія, 2002); 1-ої Регіональної конференції “Сучасні проблеми матеріалознавства” (Харків, Україна, 2002); Міжнародної конференції “Колмогоров і сучасна математика” (Москва, Росія, 2003), тощо. Результати досліджень доповідались в Інституті монокристалів НАН України, ННЦ ХФТІ, Інституті магнетизму НАН України, ФТІНТ НАН України, МИСИС (Москва) та інших. Матеріали дисертації представлені для відкритого доступу в Інтернеті (більше ніж 15 публікацій на різних веб-сайтах), включаючи архів електронних препринтів Лос-Аламоської Національної лабораторії США.

Публікації. За матеріалами дисертації опубліковано 29 наукових праць у фахових українських і закордонних періодичних наукових виданнях. Список цих статей наведено в авторефераті. Загалом за темою дисертації опубліковано понад 50 публікацій.

Структура дисертації. Дисертація складається із вступу, основної частини із шести розділів, висновків, списку використаних джерел з 320 найменувань, а також 2 додатків на 13 сторінках. Повний обсяг дисертації становить 347 сторінок, включаючи 45 малюнків.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ ДИСЕРТАЦІЇ

У Вступі стисло розкрито зміст і стан сформульованої в дисертації наукової проблеми; обґрунтовано її актуальність, зв'язок з науковими програмами; наведені мети, завдання й методи виконаних досліджень, висловлено наукову новизну отриманих результатів, наведено їхнє наукове та практичне значення, зазначено відомості про наукові публікації, особистий внесок дисертанта, апробацію роботи. Також наведено короткий зміст дисертації.

Перший розділ роботи присвячено стислому опису сучасного стану досліджень детермінованого хаосу в гладких динамічних системах і системах з розривами. Окрему увагу зосереджено на огляді наукових результатів щодо теорії хаосу в більярдах, які відносяться до типових нелінійних систем з розривами та мають численні фізичні застосування. Наведено приклади різних фізичних систем, для опису яких використовується модель більярду. Також вказано на відомі результати з дослідження хаотичного руху в точкових відображеннях з розривами. Останні теж відносяться до базових моделей хаотичної динаміки та можуть використовуватись для спрощеного опису багатьох різноманітних фізичних процесів та систем з негладким законом руху.

У другому розділі запропоновано новий геометро-динамічний підхід для опису фізичних більярдів. Одне з вирішальних значень для адекватного опису всілякої динамічної системи має вибір її фазового простору (простору однозначних станів руху). У підрозділі 2.1 побудовано симетричний фазовий простір більярдів. На відміну від звичайного гамільтонівського фазового простору (в координатах Біркгофа) в ньому у якості нових фазових змінних виступає пара рівноправних симетричних координат. Одна з них визначає точку відходу обраного променя від границі більярду , яка параметризується саме координатою , а інша координата визначає, відповідно, точку , на яку цей промінь налітає (рис. ). Таким чином, кожна фазова точка симетричного фазового простору відповідає цілому більярдному променю, тобто сегменту більярдної траєкторії. Це дозволяє побудувати скорочений, але нічим не огрублений опис більярдного руху. Симетричний фазовий простір – це фазовий простір всіх променів більярду. Оборотність більярду відносно зміни знака часу або відносно зміни напрямку руху променів на зворотний відповідає симетричності фазового простору . Як наслідок, всі динамічні характеристики фазової динаміки в , зокрема фазовий портрет, інваріантна функція розподілу, тощо є інваріантними відносно заміни . В новому підході глибше впроваджуються та використовуються найбільш суттєві симетрії більярду. Тому його можна зіставити з традиційним майже таким чином, як у класичній механіці лагранжевий підхід порівнюється з гамільтонівським. У роботі досліджена загальна структура нового фазового простору в залежності від геометрії більярду, у тому числі багатозв’язної або багатовимірної.

У підрозділі 2.2 побудовано спеціальну динамічну систему, яка відповідає більярду в геометро-динамічному підході. При цьому перехід від неперервного часу до відображень (опис в дискретному часі) проходить більш природнім шляхом, тому що не потребує проведення перетинів у кодотичному просторі координата-імпульс, як це робиться при традиційному описі. Більярдне відображення для планарного більярду має вигляд

,

де спеціальна функція визначає динаміку фазових траєкторій в . Зважаючи на оборотність більярду ця функція є спеціальною, а саме є інволюцією більярду, тобто відносно двократної композиції функцій при фіксованому другому аргументі. Ця властивість важлива для теорії. Вона відокремлює більярди у спеціальний клас динамічних систем . Більше того, більярд визначається саме проективною інволюцією. Проективність більярду пов’язана з його геометричною природою. Локально кожний більярд можна розглядати як перетворення одних (падаючих) більярдних променів в інші (відбиті). Зважаючи на пружний (дзеркальний) характер відбиття доведено, що локально таке перетворення відноситься до проективних, точніше до гармонічних перетворень. Напевно, проективність більярду має фізичні наслідки. Наприклад, винятковими стають інтегровані більярди у кривих другого порядку, які відрізняються від інших своїми проективними властивостями. Проективність дозволяє отримати універсальні рівняння для інволюцій. У роботі отримано рівняння для інволюції довільного планарного більярду в різній математичній формі – у вигляді неявної функції, функціональне рівняння, безкоординатне геометричне рівняння, тощо, а також встановлено їх геометричні властивості. У проективних координатах :

,

де , а функції і пов’язані з формою більярда. В скороченому вигляді має вигляд функціонального рівняння або локально (за теоремою про неявну функцію) .

Аналітичні властивості інволюції більярду тісно пов’язані з його геометрією. Зокрема, вона є кусочно-монотонною і разом з тим кусочно-неперервною функцією. По першому аргументу вона завжди спадає, , внаслідок проективності. По другому аргументу тип монотонності визначається знаком кривизни границі більярду, . Він відповідає фокусуючому або розсіючому характеру відбиття. Виродженим є випадок . Важливою ознакою є наявність розривів у інволюцій більярдів. Розриви відповідають фізичному стану тих променів, які хоч би раз доторкуються до границі більярда або попадають в її особливі точки, де не визначена кривизна. Ці промені (кут відбиття є ) і пов’язані з ними траєкторії мають суттєвий вплив на динаміку. Вони завжди є у будь-яких більярдах, крім опуклих більярдів з аналітичною границею. Навіть в останніх інволюція на фазовій діагоналі, , має несуттєву особливість, що усувається за умови . Фізично ця особливість пов’язана з граничним станом променів для так званих траєкторій “галерей, які шепотять”, коли їх безперервно наближувати до границі. Отже, більярди є типовою нелінійною системою з розривами. У рамках запропонованого підходу ця розривність виявляється найбільш вдало. Саме у більярдних відображеннях з інволюцією розриви виникають явно, а, наприклад, у біркгофових координатах вони замасковані формально гладким характером відповідних рівнянь руху та гладкою структурою фазового простору без наявних сингулярностей, який не чутливий до певної геометрії більярду.

У підрозділі 2.3 до теорії уведено принцип коваріантності більярду. Цей принцип відповідає незалежності фізичних властивостей більярду від вибору тих чи інших фазових чи геометричних координат для його опису. Коваріантність більярду важлива тому, що деякі його властивості доречно вивчати або доказувати в одному координатному представленні, а використовувати в іншому. Дотепер на коваріантність більярдів не звертали особливої уваги. Але вона дозволяє дослідити їх загальні властивості. Тому в роботі отримано вирази для коваріантних перетворень інволюцій більярдів відносно довільних геометричних замін систем координат або репараметризації границі. Також досліджено коваріантність інволюції відносно окремих замін для її першого або другого аргументу.

Перетворення інволюції, які пов’язані з геометричними замінами, мають коваріантний вигляд , де штрихом позначена інволюція в новій системі відліку, а відповідає перетворенню геометричного простору. Запропоновано метод геометро-динамічного відновлення інволюції, який використовує спеціальну “миттєву” (пов’язану з променем, що розповсюджується) систему відліку. Встановлено груповий закон перетворень локальної інволюції, прив’язаної до миттєвої системи, при послідовних відбиттях більярду, тобто внутрішній закон коваріантної зміни інволюції більярду за її другим аргументом. Він має операторний вигляд , де позначає групове перетворення, загальний вид та властивості якого наведено в роботі. Сформульовано принцип коваріантності більярдних відображень, тобто геометричної інваріантності більярду як динамічної системи. Він визначається комутативним рівнянням (симетрією) , де – будь-які коваріантні перетворення симетричного фазового простору, до яких, у тому числі, відносяться координатні заміни систем відліку та симетрії границі більярду. Загалом, наведені коваріантні формулювання викривають груповий характер більярдних каскадів у симетричному фазовому просторі, що може бути корисним при подальшому дослідженні більш складних більярдних систем – багатовимірних чи з криволінійною геометрією.

У підрозділі 2.4 досліджуються різновиди симетрій більярдів як динамічних систем. До них відносяться: 1) геометричні симетрії фазового портрету, , які пов’язані з геометричною симетрією границі більярду, ; 2) симетрія фазового портрету відносно фазової діагоналі як наслідок оборотності звичних траєкторій більярдів; 3) оборотність більярдів у загальному сенсі. Останнє означає, що більярди у межах геометро-динамічного підходу слід віднести до більш широкого, ніж гамільтонівські, класу оборотних динамічних систем. В свою чергу це дозволяє відокремити найбільш суттєві симетрійні властивості більярду та розробити єдиний підхід для дослідження більярдів різного типу, включаючи, наприклад, нестаціонарні більярди та більярди із заломленням променів.

У підрозділі 2.5 сформульовано та досліджено пряму і зворотну задачі для більярдів. Пряма задача полягає в обчисленні інволюції довільного більярду за рівнянням його границі, а зворотна, навпаки, – у відновленні форми границі невідомого більярду з наперед заданою інволюцією. Пряма задача виникає повсякчас при дослідженні різних фізичних систем, що зводяться до більярдів, та потребує загального вирішення. Зворотна задача може бути корисною за умов інтерпретації або приведення динамічної поведінки нелінійних систем, що описуються схожими рівняннями (інволюціями), до більярдів, які мають більш прозорий фізичний зміст. Пряма задача для планарних більярдів допускає повне та загальне аналітичне вирішення. Слід зазначити, що при гамільтонівському опису для кожного більярду (інколи сімейства більярдів) доводиться окремо отримувати відповідні рівняння руху в фазовому просторі. Для прикладу, обчислено декілька інволюцій для кругового, еліптичного більярду, більярду в овалах Касині, тощо. Щодо зворотної задачі отримано низку складних інтегро-функціональних (операторних) рівнянь, які вирішують її загалом, але потребують суттєвих зусиль для свого розв’язання. Важливою умовою для отримання повної системи рівнянь зворотної задачі є необхідність враховувати, що зв'язок між інволюцією більярда та формою його границі спирається саме на зв'язок між інволюцією та кривизною більярда. Останній висновок відповідає принципу коваріантності більярдів, тому що саме кривизна границі є її геометричним інваріантом.

У підрозділі 2.6 впроваджено узагальнення геометро-динамічного підходу для опису багатовимірних більярдів. Загальні рівняння, що визначають динамічну систему, зберігають свій вигляд, але симетричні координати стають багатовимірними відповідно до розмірності границі більярду, яку вони параметризують. Таким чином, у фазових координатах

,

де визначає покоління променів (номер відбиття або дискретний час), а вектор-функція є вектор-інволюцією багатовимірного більярду. Змінюється також топологія симетричного фазового простору як гладкого багатовиду, але зберігається його універсальна симетрична структура , згідно з якою він конструюється. Симетричний фазовий простір топологічно еквівалентний прямому додатку двох тотожних екземплярів границі. Більш стосовно розглянуто трьохвимірні більярди. Зокрема отримано повну систему рівнянь для обчислення інволюції однозв’язного просторового більярду довільної форми. Принципову роль при цьому обчисленні відіграє проективність. Обчислено інволюцію більярду в еліпсоїді. На відміну від інволюції в еліпсі вона не зводиться до аналітичної функції (навіть у випадку шару), що відповідає появі більш складних типів руху променів у багатовимірних більярдах. Фізично це пов’язано з можливістю зміни променем під час відбиттів площини свого руху. Розпочаті в цьому підрозділі ці та інші узагальнення запропонованої теорії більярдів допускають подальший розвиток.

У підрозділі 2.7 побудовано топологічну теорію більярдів у симетричному фазовому просторі. Топологія визначається, по-перше, його загальною симетричною конструкцією з замкнутою границею більярду , яка гомеоморфна окружності або їх об’єднанню (для багатозв’язних більярдів), а, по-друге, розривами інволюції, тобто розривами (дірками) самого топологічного простору . Ці топологічні особливості мають цілком геометричне походження. Визначено, що існують три типи особливостей: 1) лакуни більярду, пов’язані з наявністю геометричної тіні, яка виникає в більярдах з ділянками увігнутої границі негативної кривизни, або в більярдах з неаналітичною границею, яка має точки повернення, а також в багатозв’язних більярдах; 2) дискримінанти більярду, пов’язані з наявністю прямолінійних компонент границі нульової кривизни; 3) фазова діагональ симетричного фазового простору, яка водночас є множиною всіх нерухомих точок більярду. Досліджено структуру всіх цих особливостей. Показано, що спеціальними топологічними перетвореннями, які повинні зберігати симетричну структуру фазового простору, означені особливості можна видалити та перетворити симетричний фазовий простір у гладкий багатовид, що еквівалентний деякій двовимірній поверхні. Як наслідок, ця топологічна регулярізація дозволяє побудувати замкнуту й повну топологічну класифікацію двовимірних однозв’язних більярдів, які не мають прямолінійних ділянок границі. Всі їх типи охоплюються топологічним рядом

,

де бутила Клейна є регуляризованим фазовим простором більярдів Синая (з границею усюди негативної кривизни), які демонструють найбільш сильні стохастичні властивості динаміки траєкторій, а тор відповідає опуклим більярдам, які завжди мають регулярну компоненту руху та відносяться до більярдів із слабкими хаотичними властивостями. Загалом топологічний тип більярду відповідає фазовому руху на поверхні, яка є сферою з вклеєними до неї листами Мьобіуса та ручками у кількості, що відповідає загальній кількості лакун увігнутості та, відповідно, лакун багатозв’язності. Число виступає новим топологічним інваріантом більярду. Висунуто гіпотезу, що топологічний тип відповідає характеру зміни показника Ляпунова при деформаціях границі у сімействах більярдів певного типу. Ця гіпотеза потребує подальшого дослідження та є важливою для встановлення зв’язку між хаотичними властивостями і формою більярдів.

У третьому розділі геометро-динамічний підхід поширюється для опису динамічної та статистичної поведінки більярдних траєкторій, зокрема для опису можливих типів руху і улаштування фазових портретів, а також для опису інваріантних розподілів, що відповідають імовірнісним характеристикам більярду з хаотичною компонентою руху.

У підрозділі 3.1 досліджуються приклади типових фазових портретів деяких більярдів у симетричному фазовому просторі. Наведено приклади інтегрованих більярдів у колі та еліпсі і хаотичного – у “стадіоні” (рис. ). Обчислено портрети більярдів із змішаною динамікою у овалах 4-го порядку, овалах Касині, равликах Паскаля й кардіоїді. Досліджено їх фазові перебудови при зміні параметрів (рис. ). Відзначено типові особливості фазового портрету: відсутність атракторів; наявність лакун або зон забороненого руху; дискримінант або зон неоднозначного руху тих променів, що зліплюються, тощо.

У підрозділі 3.2 побудовано теорію нормальних форм (законів руху) більярдів у симетричному фазовому просторі, яка корисна для аналітичного дослідження типів руху та можливих перебудов фазових портретів. Метод нормальних форм полягає в наданні рівнянням руху найбільш простого вигляду за допомогою нелінійних замін координат. При цьому важлива коваріантність більярду саме в симетричному фазовому просторі, де допускаються більш загальні перетворення фазових координат, які не звужені умовою канонічних замін у традиційному підході. Це дозволяє отримати найбільш універсальні нормальні форми. Їх можна використовувати для дослідження не тільки опуклих більярдів, але й більярдів з довільною формою границі.

У підрозділі обчислено нормальні форми інволюцій більярдів. По-друге, вивчено улаштування та умови сталості періодичних орбіт (циклів), поблизу яких зазвичай будуються нормальні форми більярдів. Перевірено, що поблизу циклів більярдне відображення завжди є локально консервативним, що відповідає загальній умові для оборотних систем, які зберігають міру і до яких відносяться більярди. Отримано і досліджено нормальні форми більярдів поблизу регулярних точок, де фазові траєкторії локально спрямляються як і в інтегрованих більярдах, а також поблизу особливої лінії нерухомих точок, яка є діагоналлю симетричного фазового простору. Біля цієї діагоналі фазові траєкторії також спрямляються за умови відсутності лакун або дискримінант. Цей тип руху відповідає траєкторіям “галерей, які шепотять”. Випрямлення означає, що рух цих траєкторій еквівалентний динаміці кругового більярду. Внаслідок чого, наприклад, поблизу границі існують періодичні траєкторії якого завгодно високого періоду та квазіперіодичні траєкторії, що узгоджується з результатами Дж. Біркгофа та В.Ф. Лазуткіна. Наявність топологічних сингулярностей призводить до іншого ефекту. Регулярні пограничні траєкторії при цьому відразу глобально руйнуються, перетворюючись в хаотичні. Цей ефект спостерігається для відомих двовимірних більярдів та, напевно, зберігається для багатовимірних більярдів.

Обчислено нормальні форми більярдів поблизу довільних періодичних орбіт. Ці рівняння відповідають за можливу складну поведінку більярдних траєкторій та за перебудови фазового портрету. Поблизу -періодичних орбіт нормальна форма має вигляд

,

де є новими координатами, у яких спрощуються рівняння фазового руху; коефіцієнти лінійної частини визначаються через похідні інволюції більярду в точках циклу. При цьому . Нелінійна частина визначається поліномами та (довільного порядку) без вільного члена, . Їх вид залежить від інволюції обраного більярду та обраної періодичної орбіти. Як частковий випадок розглянуто нормальну форму поблизу 2-періодичних орбіт. Пов’язані з цим типи руху мають відношення до так званих орбіт “м’ячик, що плигає”. Останні, як і траєкторії типу “галерей, які шепотять”, мають важливе значення в задачах механіці, оптиці, акустиці. Крім того, отримана загальна класифікація типів більярдного руху поблизу циклів (рис. ). Існує три типи: 1) параболічний рух або випрямлення траєкторій біля регулярних і нерухомих точок, а також біля нейтральних циклів у біфуркаційному стані; 2) еліптичний рух навколо сталих центрів (еліптичних циклів); 3) гіперболічний рух біля сідел (гіперболічних циклів). Кожен фазовий портрет локально складається з означених елементів.

У підрозділі 3.3 побудовано теорію інваріантних розподілів більярдів у симетричному фазовому просторі. У хаотичних більярдах існує лише одна інваріантна міра, яка набуває імовірнісний зміст статистичної функції розподілу. Для інтегрованих більярдів або більярдів із змішаною динамікою сукупність інваріантних розподілів визначає метричні властивості динамічної системи. Внаслідок інваріантності відносно більярдного каскаду ці розподіли можуть використовуватись для визначення фазової міри регулярного та хаотичного руху, тощо. В традиційному підході кожен більярд має одну і ту ж інваріанту міру Біркгофа, що є простим наслідком зберігання об’єму Луівілля для консервативних систем. Ця міра ніяким чином не пов’язана з формою більярда, а зобов’язана своїм існуванням лише наявності гамільтонівської симетрії (зберігання енергії). На відміну від цього в новому підході з’являється симетрична інваріантна міра, яка, в загальному випадку, залежить від інволюції, тобто від геометрії більярду. Відбувається персоніфікація більярдів за їхньою інваріантною мірою. Це може бути корисним в численних задачах, де важливий статистичний опис систем з регулярною та хаотичною динамікою і до яких складно застосувати звичайні статистичні методи. Деякі важливі фізичні характеристики більярдних систем можна зв’язати саме з цією мірою або з її спрощеними різновидами, які уведено в роботі. Густина симетричної інваріантної міри визначається функціональним рівнянням

з -компонентними координатами в багатовимірному фазовому просторі розмірності (геометрична розмірність більярду є ), коли похідна від інволюції означає відповідний якобіан . Повний спектр інваріантних мір більярду, який має регулярну компоненту руху, такий:

,

де функція є довільною, а утворюють повний набір інтегралів руху, . Густина є частковим рішенням і майже нічим не виділена. Коли всі інтеграли руху, крім тривіального , руйнуються, інваріантна міра ергодичного більярду становиться одинокою, . За певних умов можна виділити одну з мір . Для цього запропоновано принцип факторизації у якості