Національна Академія Наук України

Інститут ядерних досліджень

Нестеров Василь Олександрович

УДК 530.145

ДОСЛІДЖЕННЯ ОСНОВНИХ ХАРАКТЕРИСТИК ЯДЕР

І ЯДЕРНО-ЯДЕРНОЇ ВЗАЄМОДІЇ У

МОДИФІКОВАНОМУ НАБЛИЖЕННІ Томаса-Фермі

01.04.16 - фізика ядра, елементарних частинок і високих енергій

Автореферат

дисертації

на здобуття наукового ступеня кандидата

фізико-математичних наук

Київ - 2007

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана у Відділі структури атомного ядра Інституту ядерних досліджень

НАН України.

Науковий керівник: | доктор фізико-математичних наук,

провідний науковий співробітник

Денисов Віталій Юрійович,

Інститут ядерних досліджень НАН України,

відділ структури атомного ядра.

Офіційні опоненти: | доктор фізико-математичних наук, професор

Плюйко Володимир Андрійович,

Київський національний університет

імені Тараса Шевченка,

фізичний факультет.

кандидат фізико-математичних наук,

старший науковий співробітник

Козловський Ігор Всеволодович,

Інститут теоретичної фізики НАН України

імені М.М. Боголюбова, відділ теорії ядра

та квантової теорії поля.

Провідна організація: |

Харківський національний університет

імені В.Н. Каразіна, м. Харків.

Захист відбудеться “ 22 ” лютого 2007 року о 1415 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.167.01 при Інституті ядерних досліджень НАН України за адресою: 03680, м. Київ, проспект Науки, 47.

З дисертацією можна ознайомитися у бібліотеці Інституту ядерних досліджень

НАН України, 03680, м. Київ, проспект Науки, 47.

Автореферат розісланий “ 15 ” січня 2007 р.

Вчений секретар

Спеціалізованої вченої ради

Кандидат техн. наук Томчай С.П.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Протягом всього існування теоретичної ядерної фізики до розряду головних її задач відноситься дослідження властивостей основних станів атомних ядер і виявлення закономірностей їхньої взаємодії в процесі ядерних реакцій. Останнім часом особливий інтерес викликають властивості екзотичних ядер з великим надлишком протонів або нейтронів, що лежать вдалині від долини в-стабільності, надважкі елементи. Це обумовлено прогресом у техніці експерименту, який уможливив роботу з пучками радіоактивних ядер, а також синтезом надважких елементів, з Z?114-118 та великим часом життя, що отримані у Дубні в реакціях злиття важких іонів. Цими питаннями в даний час займаються в багатьох ведучих лабораторіях світу, таких як GANIL (Франція), GSI (Німеччина), RIKEN (Японія), ЛЯР ОІЯД (Росія).

Актуальність зазначених питань і визначила постановку задач, розв'язуваних у даній роботі, де на першому етапі досліджень розглядаються властивості основних станів середніх і важких атомних ядер, що лежать у межах долини в-стабільності, ядер, віддалених від неї, які мають великий надлишок протонів або нейтронів, надважких елементів в області острівця стабільності Z=114, а також можливих острівців стабільності із Z=120 та 126, легких атомних ядер з великим надлишком нейтронів із Z=4ч7. На другому етапі отримані раніше результати використовуються для вивчення потенціалів взаємодії важких іонів у вхідному каналі реакції. Розраховуються потенціали взаємодії атомних ядер, досліджується залежність потенціалу взаємодії від їх ізотопічного складу, а також дифузності розподілу нуклонних густин, оцінюється реалістичний інтервал дифузності ядерної частини потенціалу взаємодії. Оскільки потенціал взаємодії ядер є ключовим питанням при дослідженні ядерних реакцій, безпараметричний опис потенціалу взаємодії є актуальним і важливим. В роботі в якості методу теоретичних досліджень використовується модифікований підхід Томаса-Фермі (МПТФ).

Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Основна частина роботи виконана у відповідності з тематичним планом науково-дослідних робіт відділу структури атомного ядра Інституту ядерних досліджень НАН України за темами №43 “Дослідження структури збуджених станів атомних ядер та ефектів їх розпаду” (№ ДР 0198U003593), № 76 “Дослідження рідкісних процесів збудження та розпаду ядер” (№ ДР 0102U002961) та № 118 “Дослідження збуджених станів атомних ядер і механізмів ядерних реакцій в області низьких енергій” (№ 0105U000149).

Мета і задачі дослідження

1. Подальший розвиток квазікласичних підходів до дослідження властивостей основних станів атомних ядер і застосування їх до вивчення ядерно-ядерної взаємодії.

2. Опис розподілу густин нуклонів та інтегральних характеристик ядер, що лежать поблизу долини -стабільності, екзотичних легких і середніх атомних ядер з великим надлишком нейтронів, а також надважких елементів у рамках МПТФ з урахуванням всіх членів квазікласичного розкладу кінетичної енергії з точністю до h2.

3. Розрахунок потенціалів взаємодії ядер і вивчення їх властивостей у рамках МПТФ з урахуванням всіх членів квазікласичного розкладу кінетичної енергії з точністю до h2.

4. Дослідження впливу ізотопічного складу взаємодіючих ядер на висоту і ширину потенційного бар'єра.

5. Дослідження впливу дифузності розподілу нуклонних густин у ядрах на форму потенціалу взаємодії ядер.

Об’єкт дослідження. Характеристики основних станів та потенціали взаємодії атомних ядер.

Предмет дослідження. Інтегральні характеристики основних станів, потенціали ядерно-ядерної взаємодії для різних пар атомних ядер.

Методи дослідження. Теоретичною основою розв’язання поставлених задач є модифікований підхід Томаса-Фермі, з використанням сил Скірма, залежних від густини. Для дослідження потенціалу ядерно-ядерної взаємодії застосовується підхід густини енергії з використанням густини розподілу нуклонів та густини енергії модифікованого підходу Томаса-Фермі.

Наукова новизна результатів

· Одержано розв'язок рівнянь МПТФ у наближенні з урахуванням усіх членів квазікласичного розкладу кінетичної енергії з точністю до h2 для випадку сферичної симетрії, отримано розподіли нуклонних густин й інтегральні характеристики атомних ядер, що добре узгоджуються з експериментом.

· Продемонстровано, що МПТФ дає задовільний опис інтегральних характеристик у широкому спектрі атомних ядер, від легких нейтронно-надлишкових до надважких елементів.

· Вперше в рамках МПТФ як єдиного підходу отримано розподіл нуклонних густин і на їх основі потенціали ядерно-ядерної взаємодії у вхідному каналі реакції.

· Виявлено істотний вплив ізотопічного складу взаємодіючих атомних ядер на висоту і ширину бар'єру злиття в ядерно-ядерному потенціалі.

· Показано, що форма ядерно-ядерного потенціалу істотно залежить від дифузності розподілу густини нуклонів у взаємодіючих ядрах. Знайдено, що висота потенційного бар'єра зменшується, а його ширина, навпаки, збільшується з ростом дифузності розподілу нуклонної густини.

· Продемонстровано, що дифузність, ширина і глибина потенціалу взаємодії ядер пов'язані з дифузністю розподілу густин нуклонів у ядрах. Показано, що дифузність ядерної частини потенціалу взаємодії приблизно в 1.5 рази перевищує значення параметру дифузності розподілів густини, відповідний реалістичний інтервал дифузності ядерної частини потенціалу взаємодії близький до 0.8-0.9 Фм.

Практичне значення отриманих результатів. Розглянутий у роботі підхід відносно простий і наочний, разом тим він дає досить точні результати в широкому інтервалі атомних ядер. МПТФ може бути використаний при дослідженні властивостей основних станів легких нейтронно-надлишкових атомних ядер, середніх атомних ядер, важких і надважких елементів, а також ядерних реакцій за їх участю. Отримані результати, які стосуються основних станів ядер та потенціалів їх взаємодії, можуть бути використані для аналізу експериментальних даних по структурі ядра та ядерним реакціям.

Особистий внесок автора. Всі результати, що наводяться у дисертації, отримані безпосередньо автором або при його активній участі. Автору даної дисертації належать наступні результати:

· Отримано рівняння МПТФ з урахуванням всіх членів розкладу кінетичної енергії з точністю до h2 для випадку сферичної симетрії та розроблені комп’ютерні програми для їх розв’язку;

· Отримано густини розподілу нуклонів, енергії зв’язку, середньоквадратичні радіуси та хімічні потенціали для широкого спектру атомних ядер;

· Розраховано потенціали взаємодії для різних пар атомних ядер в рамках МПТФ;

· Проведено дослідження залежності потенціалу ядерно-ядерної взаємодії від ізотопічного складу атомних ядер;

· Досліджено залежність форми потенціалу взаємодії від дифузності розподілу нуклонів у ядрах, оцінено реалістичний інтервал дифузності ядерної частини потенціалу.

Апробація результатів дисертації. Результати дисертації доповідалися на трьох щорічних наукових конференціях Інституту ядерних досліджень, на конференції молодих вчених і аспірантів Інституту електронної фізики ІЕФ’2001, на семінарах відділів структури атомного ядра та теорії ядра Інституту ядерних досліджень НАНУ, на семінарах відділів прикладних проблем теоретичної фізики та структури атомного ядра Інституту теоретичної фізики НАНУ ім. М.М. Боголюбова, на кафедрі ядерної фізики Київського державного університету ім. Тараса Шевченка, на міжнародній конференції “Актуальні проблеми ядерної фізики та атомної енергетики” NPAE-Kyiv2006.

Публікації. За результатами, представленими у дисертації, опубліковано 7 статей у реферованих наукових журналах та збірниках [1-7], дві роботи у вигляді тез наукових конференцій [8-9].

Структура дисертації. Дисертація складається з вступу, трьох глав, висновків і списку використаної літератури з 146 найменувань. Робота містить 118 сторінок, у тому числі 37 рисунків і 6 таблиць.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обґрунтовується актуальність теми, обговорюється новизна отриманих результатів, наукова і практична цінність роботи.

У розділі 1 детально розглянуто модифікований підхід Томаса-Фермі, що використовується в даній роботі, його еволюцію та місце серед інших теоретичних підходів, умови застосування. Отримано рівняння МПТФ з урахуванням всіх членів квазікласичного розкладу кінетичної енергії з точністю до h2, описано спосіб їх числового розв’язання.

Практична реалізація МПТФ здійснюється на даний час у двох напрямках. Перший з них полягає в тому, що використовується наближення модифікованого методу Томаса-Фермі з урахуванням членів квазікласичного розкладу кінетичної енергії з точністю до h4, а числовий розв’язок задачі при цьому здійснюється за допомогою прямого варіаційного методу з використанням пробної функції для нуклонних густин наперед заданого вигляду. Простота такого підходу полягає в тому, що не потрібно одержувати і числово розв’язувати рівняння методу, однак при цьому втрачається інформація про хімічні потенціали, а асимптотика густин, що параметризуються пробною функцією, не співпадає з r-6, яку дають асимптотичні рівняння у цьому наближенні. Однак такий підхід досить добре відтворює експериментальні дані по енергіях зв'язку (Брак, Бартел та інші).

Інший напрямок реалізації МПТФ полягає в одержанні рівнянь методу, що може бути виконано на основі варіаційного принципу, з подальшим їх числовим розв’язанням. При врахуванні кулонівської взаємодії ці рівняння є нелінійними интегро-диференційними, їх числовий розв’язок дозволяє одержати нейтронний і протонний хімічні потенціали, а також нейтронні і протонні густини. Саме такий шлях був обраний у даній роботі, де в розкладі кінетичної енергії враховувалися всі члени з точністю до h2. Рівняння модифікованого методу Томаса-Фермі у загальній формі мають вигляд (див. Бартел, Брак, Коломієць, Центелес):

, (1.1)

(1.2)

де е - густина енергії, що залежить від протонної p і нейтронної n одночастинкових густин. Такий вигляд рівнянь є наслідком того, що вони можуть бути отримані з варіаційного принципу, де повна енергія ядра являє собою інтеграл по всьому простору від густини енергії і розглядається як функціонал E[сn, сp] нейтронної і протонної густин:

. (1.3)

У рівняннях (1.1), (1.2) лn і лp являють собою множники Лагранжа, що за своїм фізичним змістом є хімічними потенціалами для нейтронів і протонів, їх поява пов'язана з додатковими умовами збереження числа нуклонів у ядрі

(1.4)

де N і Z - кількість нейтронів і протонів у ядрі відповідно.

Можливість побудови такого функціонала випливає з теореми Гогенберга-Кона, справедливої для довільної багатокомпонентної системи. За використання сил Скірма густину енергії можна записати у наступному вигляді (див., наприклад, роботи М. Брака):

(1.5)

Тут ф - густина кінетичної енергії, що являє собою суму густин кінетичної енергії для нейтронів фn та протонів фp, , де сn та сp є густинами розподілу нейтронів та протонів у ядрі відповідно. Величини t0, t1, t2, t3, x0, x1, x2, x3, б, W0 - параметри потенціалу Скірма.

Густина кінетичної енергії з точністю до членів другого порядку по h дорівнює , де, в свою чергу, ф= фp+ фn - сума густин кінетичних енергій протонів і нейтронів. Тут

(1.6)

є густиною кінетичної енергії нейтронів (протонів) у наближенні Томаса-Фермі, , а ф2 - градієнтна поправка другого порядку по h:

, (1.7)

у якій b1=1/36, b2=1/3, b3=1/6, b4=1/6, b5=-1/12 та b6=1/2 - числові коефіцієнти, , а останній доданок у формулі (1.6) пов'язаний з урахуванням спин-орбітальної взаємодії. Також введені позначення:

, (1.7)

.

Тут W0 є константою спін-орбітальної взаємодії, а fq - відношення маси нуклона та так званої ефективної маси, q може приймати значення n або p відповідно. Густину кулонівської енергії було записано з урахуванням обмінного члена у наближенні Слетера:

. (1.8)

Використовуваний нами вираз для густини потенційної енергії справедливий для парно-парних атомних ядер, як сферичних, так і деформованих. Густина кінетичної енергії співпадає з виразом, отриманим у роботах М. Брака та інших на основі напівкласичного розкладу Вігнера-Кірквуда. При цьому вищезгаданими авторами застосовувалися спеціальні кроки для того, аби уникнути використання одночастинкових хвильових функцій. Одержані вирази є справедливими не лише в ядрах із заповненими оболонками, а також і для парно-парних ядер з незаповненими оболонками та деформованих ядер. Умовою застосовності нашого підходу є існування та неперервність середнього поля та його похідних, що вочевидь виконується при використанні сил Скірма. Таким чином, використовуваний функціонал є справедливим принаймні для всіх парно-парних ядер.

Як числовий метод для розв’язку одержаних в роботі рівнянь був обраний метод Нумерова в сумованій формі, що додало числовому розв’язку додаткову стійкість. Це дозволило скласти програму, яка дає змогу провести обчислення інтегральних характеристик для широкого спектра сферичних атомних ядер від легких, що лежать поблизу границі нейтронної стабільності, до надважких елементів.

У розділі 2 наведено результати практичного застосування МПТФ до дослідження інтегральних характеристик основних станів атомних ядер. Розглядаються ядра, що лежать поблизу долини в-стабільності, легкі і середні атомні ядра з великим надлишком нейтронів, надважкі елементи.

Рис. 1. Нейтронні (1) та протонні (2) радіальні розподіли густини, розраховані в МПТФ, протонні (4) та нейтронні (5) густини, отримані в методі Хартрі-Фока, а також експериментальні протонні густини (3). Для 40Ca (зліва) і 208Pb (справа). Експериментальні похибки протонних густин для цих ядер малі та укладаються у товщину ліній на графіку.

На рисунку 1 наводяться приклади розрахунку розподілу нуклонних густин в рамках МПТФ. Радіальні розподіли нуклонних густин МПТФ добре узгоджуються з експериментальними в об’ємі ядра і мають незначні відхилення у дифузній області. При розгляді надважких елементів в області можливих острівців стабільності із Z=114, 120, 126, 164 спостерігається певне зменшення густини біля центру ядра. Відзначимо, що величини протонної і нейтронної густин в об’ємі ядра значно змінюються при переході від нейтронно-дефіцитних ізотопів до нейтронно-надлишкових, при цьому сумарна густина у центрі ядра практично не змінюється. Нейтронно (протонно) надлишкові ядра мають надлишок нейтронів (протонів) на поверхні ядра, наявність якого можна визначити за поведінкою нейтронних та протонних густин, або за величинами нейтронних та протонних середньоквадратичних радіусів.

Таблиця 1. Енергії зв'язку, середньоквадратичні радіуси і хімічні потенціали в-стабільних ядер. Теоретичні результати отримано з використанням потенціалу SKP.

Ядро | Eексп, [МеВ] | E, [МеВ] | <r2p>1/2експ, [Фм] | <r2p>1/2, [Фм] | <r2n>1/2, [Фм] | лn, [МеВ] | лp, [МеВ]

40Ca | 342.1 | 340.4 | 3.450 | 3.231 | 3.209 | -12.14 | -10.61

48Ca | 416.1 | 418.0 | 3.451 | 3.327 | 3.504 | -6.25 | -18.93

58Ni | 506.5 | 505.8 | 3.769 | 3.562 | 3.618 | -11.25 | -11.54

90Zr | 783.9 | 789.9 | 4.258 | 4.070 | 4.171 | -8.65 | -14.54

114Sn | 971.6 | 981.8 | 4.602 | 4.391 | 3.492 | -8.36 | -14.41

140Ce | 1172.7 | 1181.8 | 4.880 | 4.682 | 4.819 | -6.60 | -16.62

208Pb | 1636.5 | 1638.4 | 5.503 | 5.330 | 5.486 | -5.29 | -17.44

Одержані в рамках МПТФ середньоквадратичні радіуси є дещо недооціненими, що пояснюється відмінностями поведінки експериментальних та розрахункових густин. Точність опису енергій зв’язку основних станів атомних ядер для використовуваної параметризації сил Скірма SkP становить приблизно один відсоток. Порівняння енергій зв’язку та середньоквадратичних радіусів для в - стабільних ядер проводиться у табл. 1.

В рамках МПТФ можна оцінити положення лінії нейтронної стабільності елементів. Хімічні потенціали, розраховані в МПТФ, плавно змінюються при зміні кількості нейтронів. Число нейтронів, при якому нейтронний хімічний потенціал змінює знак з мінуса на плюс, відповідає границі нейтронної стабільності елемента. МПТФ є макроскопічним наближенням, що не враховує оболонкову структуру ядра та ефекти спарювання, тому положення границі нейтронної стабільності елементів, знайдене в МПТФ, носить дещо оціночний характер. Однак отримана нами величина A=162 для олова задовільно узгоджується зі значенням A=157, отриманим в рамках релятивістського підходу Хартрі-Боголюбова (РПХБ), а розрахункове значення А=94 для нікелю добре співпадає з границею нейтронної стабільності А=92, отриманим в рамках РПХБ та тривимірному наближенні Хартрі-Фока-Боголюбова. Результати розрахунків для деяких нейтронно-дефіцитних та нейтронно-надлишкових ядер можна знайти у табл. 2.

Таблиця 2. Енергії зв'язку, середньоквадратичні радіуси і хімічні потенціали

нейтронно-надлишкових і нейтронно-дефіцитних ядер. Теоретичні результати

отримано з використанням потенціалу SKP.

Ядро | Eексп, [МеВ] | E, [МеВ] | <r2p>1/2, [Фм] | <r2n>1/2, [Фм] | лn, [МеВ] | лp, [МеВ]

32Ca | -- | 203.3 | 3.101 | 2.922 | -22.491 | -0.609

56Ca | 449.6 | 455.6 | 3.448 | 3.754 | -2.443 | -25.243

48Ni | -- | 346.3 | 3.433 | 3.328 | -19.707 | -2.510

50Ni | 385.5 | 385.3 | 3.453 | 3.389 | -17.643 | -4.414

62Ni | 545.3 | 549.1 | 3.620 | 3.725 | -8.879 | -14.704

78Ni | 641.4 | 655.6 | 3.822 | 4.125 | -3.157 | -23.388

100Sn | 825.8 | 818.8 | 4.248 | 4.243 | -13.382 | -7.840

124Sn | 1049.4 | 1059.5 | 4.490 | 4.654 | -5.699 | -18.460

132Sn | 1102.7 | 1103.8 | 4.568 | 4.798 | -3.980 | -21.350

142Sn | -- | 1142.6 | 4.658 | 4.964 | -2.216 | -24.581

Також відзначимо певний успіх в описі легких нейтронно-надлишкових ядер із Z = 4ч7. Розраховані в рамках методу енергії зв’язку та середньоквадратичні радіуси з хорошою точністю співпадають з наявними експериментальними даними. У таблиці 3 наведені результати розрахунків енергій зв'язку, нейтронних, протонних і масових середньоквадратичних радіусів для ізотопів ядер берилію та вуглецю, які за нашими розрахунками ще стабільні стосовно вильоту нейтронів, але вже лежать у безпосередній близькості від границі стабільності. Бачимо, що точність обчислення енергії зв'язку, принаймні для парно-парних ядер, не поступається тій, яку зазвичай дає МПТФ для середніх і важких нейтронно-надлишкових ядер. Тут же відмітимо, що повне врахування градієнтних поправок для легких ядер значно важливіше, ніж для середніх і важких, і може давати помітний внесок до енергії зв'язку.

Таблиця 3. Енергії зв'язку, нейтронні і протонні і масові середньоквадратичні

радіуси легких нейтронно-надлишкових ізотопів.

Ядро | E, МеВ | Eексп, МеВ | <r2n>1/2, Фм | <r2p>1/2, Фм | <r2>1/2, Фм

12Be | 67.89 | 68.70 | 2.58 | 2.15 | 2.45

14Be | 70.24 | 69.99 | 2.80 | 2.21 | 2.65

16С | 110.76 | 110.75 | 2.68 | 2.38 | 2.57

18C | 115.40 | 115.67 | 2.83 | 2.41 | 2.70

Для надважких елементів в області можливих острівців стабільності з Z=114, 120, 126, 164, отримано певний спад нуклонної густини у центрі ядра. Зі значень лn, отриманих в рамках МПТФ, випливає, що розглянуті надважкі ядра повинні бути стабільними стосовно вильоту нейтронів. Енергії зв’язку добре співпадають з отриманими в роботах Майєрса та Святецкі у наближенні Томаса-Фермі із силами кінцевого радіуса дії.

У розділі 3 наводяться результати дослідження потенціалів ядерно-ядерної взаємодії і перерізів злиття ядер з використанням модифікованого підходу Томаса-Фермі, який дає змогу докладно досліджувати властивості потенціалу ядерно-ядерної взаємодії в околиці точки торкання ядер. Слід підкреслити, що нами будуть досліджуватися властивості глобального потенціалу, або потенціалу вхідного каналу реакції, що не враховує поляризаційних ефектів и ґрунтується на хвильових функціях основного стану. Властивості глобального потенціалу отримано без введення додаткових параметрів, що є принципово важливим результатом. Поляризаційні ефекти, пов’язані зі збудженнями різноманітних станів у ядрах, передачею нуклонів між ними та іншими процесами, призводять до появи поляризаційного доданку до глобального потенціалу, на даному етапі вони нами не розглядалися. Межі застосування наближення заморожених густин докладно обговорюються у дисертації на основі співвідношення часів релаксаціі ядерної густини та прольоту області сильної взаємодії. Відзначимо лише, що у роботі Сетчлера и Лова наближення заморожених густин для розрахунку глобального фолдинг-потенціалу обґрунтовується в рамках підходу Фешбаха до теорії розсіяння.

Потенційну енергію взаємодії двох ядер V(R) на відстані R між ними в наближенні “заморожених густин” визначимо як різницю енергій зв'язку системи двох ядер на скінченій E12(R) і на нескінченій E1+E2 відстанях між ними

. (3.1)

Відповідні енергії зв'язку ядерної системи і ядер 1 і 2 можна легко знайти, знаючи розподіл нуклонних густин у ядрах, використовуючи напівкласичний вираз для функціонала густини енергії

, (3.2)

, (3.3)

а величина

. (3.4)

Ядерно-ядерний потенціал складається з ядерної та кулонівської частин. Ядерна частина на кінцевих відстанях між поверхнями ядер обумовлена взаємодією нуклонів в області “хвостів, що перекриваються” розподілів густин нуклонів. Тому урахування градієнтних доданків у густині кінетичної енергії є важливим для акуратного обчислення значень потенціалу. В роботі застосовувався підхід густини енергії із використанням густини розподілу нуклонів та густини енергії МПТФ.

На рис. 2 представлені ядерно-ядерні потенціали V(R) для 16O+16O, 58Ni+58Ni, 118Sn+118Sn і 208Pb+208Pb, розраховані в МПТФ. З нього випливає, що глибина потенційної кишені (ями захоплення) помітно зменшується по мірі збільшення масового числа ядер. Яма захоплення взагалі відсутня у системи 208Pb+208Pb. Відсутність або зменшення глибини і ширини ями захоплення для важких систем пояснюється значним збільшенням кулонівської енергії відштовхування ядер з ростом кількості нуклонів у них, яке не компенсується відповідним зростанням енергії притягання ядер. По мірі збільшення масового числа відбувається зсув потенційної ями в бік великих відстаней. При цьому мінімум ями захоплення розташований на відстані, яка перевищує суму середньоквадратичних радіусів взаємодіючих ядер для середніх і важких систем, а у випадку легких систем - на відстанях, менших суми середньоквадратичних радіусів взаємодіючих ядер.

Відмітимо, що на рисунках 2 та 3 більш тонкою лінією позначено область після точки торкання ядер. На рис. 4 вона позначена вертикальною лінією. Оскільки на рисунку 4 зображені результати, отримані в різних підходах, всюди точка торкання визначається за допомогою емпіричної формули для радіусів ядер R=1.16*A1/3.

Рис. 2. Потенціали взаємодії 16O+16O, 58Ni+58Ni, 118Sn+118Sn і 208Pb+208Pb, обчислені в модифікованому наближенні Томаса-Фермі. Трикутниками позначена сума середньоквадратичних радіусів ядер.

На рис. 3 наводяться потенціали взаємодії V(R) між 40Са і п'ятьма ізотопами олова 100Sn, 114Sn, 118Sn, 124Sn і 132Sn, обраховані в МПТФ. По мірі збільшення масового числа ізотопів олова густини розподілу нейтронів стають більш протяжними, що в меншому ступені стосується протонних густин. Це веде до утворення надлишку нейтронів на поверхні ізотопів олова, у яких кількість нейтронів набагато більша за кількість протонів. Зазначені властивості протонних і нейтронних густин призводять до появи сильної ізотопічної залежності потенціалу взаємодії ядер - по мірі збільшення масового числа ізотопів олова висота бар'єра зменшується, а глибина і “ширина” потенційної ями захоплення збільшуються. Ізотопічна залежність висоти бар'єра і потенціалу також підтверджується експериментальними даними. У роботах Ліанга, Шапіра та інших було виявлено, що перерізи злиття при колобар’єрних енергіях для реакції за участю нейтронно-надлишкового ядра 132Sn мають більші значення, ніж аналогічні перерізи для реакцій за участі інших ізотопів олова, які лежать уздовж лінії в-стабільності.

Рис. 3. Потенціали взаємодії ядра 40Ca та ізотопів олова 100Sn (1), 114Sn (2), 118Sn (3), 124Sn (4) і 132Sn (5), обчислені в рамках модифікованого наближення Томаса-Фермі.

На рисунку 4 наводиться порівняння потенціалів, отриманих в рамках МПТФ та залежного від часу адіабатичного методу Хартрі-Фока (див., наприклад, роботи Рейнхарда, Куніна та ін.). Вертикальною лінією відзначена точка дотику ядер. Бачимо, що отриманий нами потенціал непогано співпадає з результатами адіабатичного залежного від часу методу Хартрі-Фока (АВЗХФ) з модифікованими силами Скірма як до, так і після точки дотику ядер. Разом з тим треба зазначити, що у цих роботах взаємодія Скірма розглядалася достатньо схематично, обчислення в основному проводилися для відносно легких ядер, оскільки застосування методу ХФ до розгляду розсіяння важких атомних ядер є дуже складним.

Рис. 4. Порівняння розрахункового потенціалу МПТФ та потенціалів, отриманих в рамках мікроскопічних методів. МПТФ (1), МПТФ з густиною нуклонів ХФ (2), АВЗХФ з модифікованими силами Скірма (3, 4), а також кулонівський потенціал (5). Вертикальна лінія вказує на суму середньоквадратичних радіусів ядер.

На рисунку 5 представлені потенціали взаємодії, отримані у підході густини енергії з густиною енергії МПТФ та густинами розподілу нуклонів МПТФ та ХФ. Вони відрізняються один від одного, що пов’язано з відмінностями у поведінці нуклонних густин у дифузній області. На тому ж рисунку для порівняння представлені потенціали взаємодії, розраховані за допомогою виразів, запропонованих у різних роботах. Деякі з потенціалів визначені лише до точки дотику ядер, тому на рис. 5 вони даються також тільки до цієї точки Rt ? 11.5 Фм. На тому ж рисунку наведено результати, що використовують параметризації потенціалу, запропоновані Бассом у 1974 і 1980 роках. Ми бачимо, що потенціали взаємодії, обчислені в різних наближеннях, значно відрізняються один від одного в області бар'єра. Різні параметризації дають різні висоти бар'єрів, що призводить до неоднозначності опису реакцій злиття, злиття-ділення і синтезу надважких ядер. Відзначимо, що напівширина максимуму перерізу утворення надважкого ядра порядку 3 МеВ, що значно менше невизначеності бар'єра, пов'язаної з використанням різних теоретичних наближень для ядерно-ядерної взаємодії.

Рис. 5. Потенціали взаємодії між ядрами 48Ca і 208Pb, обчислені з використанням густин нуклонів ХФ-БКШ (1) та МПТФ (2). Також наведені результати розрахунків за допомогою виразів, запропонованих у роботах [98, 103, 110-113] – Bass-1974 (3), Bass-1980 (4), Denisov (5), Krappe-Nix-Sierk (6), Proximity-77 (7), Proximity-2000 (8), Winter (9).

Останнім часом у деяких роботах при дослідженні ядерно-ядерної взаємодії (Хагіно, Дасгупта та інші) використовуються дуже великі значення дифузності ядерної частини потенціалу (?1-1.5 фм). Для того, аби докладніше дослідити вплив дифузності густин основного стану ядер, що зіштовхуються, на ядерно-ядерний потенціал, параметризуємо густини основних станів ядер за допомогою фермієвського розподілу

. (3.5)

Така параметризація радіального розподілу густини нуклонів часто використовується в ядерній фізиці. Параметр цього розподілу с0n(p) є константою нормування, Rn(p) було знайдено прямим варіаційним методом при фіксованому значенні параметра дифузності розподілу густини d. Варіюючи Rn(p), ми мінімізували енергію зв'язку ядра, обчислену з урахуванням всіх градієнтних поправок з точністю до h2 у функціоналі кінетичної енергії для параметризації SkР сил Скірма. Значення параметра дифузності d для нейтронних і протонних густин перебиралося в інтервалі від 0.5 Фм до 0.8 Фм із кроком 0.05 Фм.

Рис. 6. Потенціали взаємодії для ядер 16О и 208Pb з дифузностями густин основних станів d 0.50 (1), 0.55 (2), 0.60 (3), 0.65 (4), 0.70 (5), 0.75 (6) та 0.80 (7), отримані в МПТФ. Для порівняння наведено потенціал, знайдений з використанням нуклонних густин ХФ-БКШ із силами Скірма SkР (8).

На рис. 6 наведено приклад розрахунку потенціалу взаємодії ядер 16О и 208Pb з густинами розподілу нуклонів різної дифузності (3.5). Для порівняння наведено результати розрахунку потенціалу взаємодії ядер, виконаного з густиною розподілу нуклонів ХФ-БКШ із силами Скірма SkР. Потенціал, розрахований з використанням нуклонних густин ХФ-БКШ, на великих відстанях між ядрами близький до потенціалу, що використовує параметризацію густини (3.5) з величиною параметра дифузності густини d ? 0.50-0.55 Фм; однак на менших відстанях близький до потенціалу, розрахованого з d? 0.60 Фм.

З ростом параметра дифузності розподілу густини d потенційна яма захоплення зміщується у бік великих відстаней між ядрами, що зіштовхуються, глибина ями захоплення зростає, а величина потенційного бар'єра зменшується. Це пов'язано з тим, що з ростом дифузності нуклонні густини стають більш протяжними; в результаті - ядерна взаємодія на великих відстанях між ядрами збільшується, що і веде до зменшення бар'єра. Зі зменшенням дифузності розподілу густини d ядерні густини починають сильно перекриватися на менших відстанях між ядрами, унаслідок чого ядерне відштовхування, обумовлене малою стискальністю ядерної матерії, зменшується. Це призводить до збільшення глибини і ширини ями захоплення.

Характеристики ядерних реакцій часто розраховують, використовуючи параметризацію ядерної частини потенціалу взаємодії ядер у формі Вудса-Саксона

V(R)=-V0/{1+exp[(R-Rpot)/a]} . (3.6)

Тому цікаво з'ясувати, при якій величині параметру дифузності потенціалу a потенціал Вудса-Саксона близький до більш реалістичного потенціалу, знайденого в з використанням густини нуклонів ХФ-БКШ із силами Скірма. Для цього визначимо параметри V0, Rpot і a у (3.6) з підгонки потенціалу, обчисленого в модифікованому наближенні Томаса-Фермі при величині дифузності розподілу нуклонної густини d=0.55 Фм для відстаней R, більших суми радіусів ядер Rt. Потім отримане значення Rpot зафіксуємо і використаємо при підгонці потенціалу, знайденого в модифікованому наближенні Томаса-Фермі при інших величинах дифузності розподілу нуклонної густини. У такий спосіб були визначені залежності V0 і a від d, що наведені на рис. 7. Відзначимо, що подібний метод для визначення параметрів потенціалу Вудса-Саксона використовувався і раніше.

Дифузність a і глибина V0 потенціалу Вудса-Саксона практично лінійно зростають зі збільшенням дифузності нуклонних густин d (див. рис. 7). Дифузність ядерної частини потенціалу між ядрами a, перевищує дифузність розподілу нуклонів d у взаємодіючих ядрах приблизно в 1.5 рази.

Рис. 7. Залежність дифузності a (1) і глибини V0 (2) потенціалу Вудса-Саксона від дифузності нуклонних густин d основного стану для ядер 16О та 208Pb.

Як ми відзначали раніше, потенціалу, знайденому з хартрі-фоківськими розподілами нуклонних густин, на великих відстанях відповідає потенціал, знайдений з нуклонними густинами у вигляді (3.5), обчислений зі значенням дифузності розподілу густини d?0.55 Фм. Цьому значенню дифузності густини відповідає значення дифузності потенціалу Вудса-Саксона a?0.8 Фм (див. рис. 7). Отримане нами значення параметра дифузності потенціалу Вудса-Саксона a?0.8 Фм узгоджується із запропонованими раніше.

Значення дифузності для випадку взаємодії середніх і важких ядер, що сильно відрізняються від a?0.8 Фм, не узгоджуються з реалістичними розподілами густини нуклонів у ядрах і нуклон-нуклонними силами.

Для того, аби досліджувати вплив дифузності потенціалу на переріз колобар’єрного злиття, виконаємо розрахунки для реакції ядер 16О и 208Pb за допомогою програми CCFULL. Ця програма виконує розрахунок перерізу злиття ядер з урахуванням зв'язку каналів з низько розташованими мультипольними вібраційними поверхневими збудженнями в обох ядрах. При цьому ядерна частина потенціалу взаємодії між ядрами параметризуєтся у вигляді потенціалу Вудса-Саксона (3.6). У програмі враховуються нелінійні ефекти зв'язку з багатофононними мультипольними збудженнями поверхні. Параметри збуджень 2+ і 3-, що необхідні для розрахунку перерізу за допомогою програми CCFULL, були узяті з відповідних компіляцій експериментальних даних.

Рис. 8. Залежність перерізу злиття ядер від величини дифузності густин основного стану d для ядер 16О та 208Pb - 0.50 (2), 0.55 (3), 0.60 (4), 0.65 (5), 0.70 (6), 0.75 (7) та 0.80 (8) фм. Для порівняння наводяться експериментальні дані (1).

Порівняння потенціалу Вудса-Саксона з потенціалом, розрахованим у модифікованому наближенні Томаса-Фермі, а також порівняння перерізів злиття, розрахованих за допомогою потенціалу Вудса-Саксона, з експериментальними даними (див. рис. 8), свідчать про те, що реалістичний ядерний потенціал погано параметризується Вудс-Саксонівською формою. Малі й великі значення дифузності розподілу густини призводять до незадовільного опису експериментальних даних у рамках моделі CCFULL.

Висновки

Основні результати проведених досліджень, що представлені у дисертації, можна сформулювати наступним чином:

1. Знайдено розв’язок рівнянь модифікованого методу Томаса-Фермі з урахуванням усіх членів квазікласичного розкладу кінетичної енергії до h2 для випадку сферичної симетрії.

2. У МПТФ обчислені енергії зв'язку, середньоквадратичні радіуси і хімічні потенціали середніх та важких в-стабільних і в-нестабільних ядер, що добре узгоджуються з доступними експериментальними даними. Показано, що отримані в рамках МПТФ радіальні розподіли густин добре співпадають з експериментальними в об’ємі ядра і дещо відхиляються в дифузійній області.

3. У рамках МПТФ визначено характеристики основних станів надважких ядер. Також успішно описані інтегральні характеристики легких атомних ядер з Z=4ч7, що лежать у безпосередній близькості від лінії нейтронної стабільності.

4. За допомогою сил Скірма з використанням густини енергії МПТФ і густин розподілу нуклонів в основному стані ядер теорії ХФ-БКШ і МПТФ отримані потенціали взаємодії різних пар ядер. Знайдені в рамках МПТФ розрахункові величини потенційного бар'єра добре узгоджуються з запропонованими раніше різними апроксимаціями для ядерно-ядерної взаємодії.

5. Показано, що зміна ізотопічного складу взаємодіючих ядер істотно впливає на потенціал взаємодії. Знайдено, що із зростанням числа нейтронів висота бар'єра зменшується, а ширина збільшується.

6. Показано, що дифузність і ширина бар'єру потенціалу взаємодії ядер пов'язані з дифузністю розподілу нуклонних густин в ядрах. Величина параметру дифузності потенціалу a приблизно в 1.5 рази перевищує величину параметра дифузності розподілу густини d. З огляду на реалістичні значення d, реалістичні значення дифузності потенціалу a не повинні сильно відрізнятись від a?0.8-0.9 Фм.

7. Знайдено, що висота бар'єру зменшується, а його ширина, навпаки, збільшується із ростом дифузності нуклонних густин взаємодіючих ядер.

Список публікацій за темою дисертації

1. Денисов В. Ю., Нестеров В. О. Дослідження сферичних ядер в рамках нелокального модифікованого наближення Томаса-Фермі // УФЖ. - 2000. - Т. 45, №10. - С.1164-1170.

2. Денисов В. Ю., Нестеров В. О. Властивості основних станів сферичних атомних ядер в рамках нелокального наближення модифікованого методу Томаса-Фермі // Збірник наукових праць Інституту ядерних досліджень - 2001. - № 1 (3). - С. 42-52.

3. Нестеров В. О. Застосування модифікованого методу Томаса-Фермі до дослідження властивостей легких атомних ядер із надлишком нейтронів // Збірник наукових праць Институту ядерних досліджень - 2002. - №1 (7). - С. 31-40.

4. Денисов В. Ю., Нестеров В. А. Энергии связи и распределения плотности атомных ядер в рамках нелокального модифицированного метода Томаса-Ферми // Яд. Физ. - 2002. - Т. 65, №5. - С. 814-823.

5. Нестеров В. О. Застосування квазікласичного підходу до аналізу легких атомних ядер з великим надлишком нейтронів // УФЖ - 2004. - Т. 49, № 3. - С. 225-228.

6. Денисов В. Ю., Нестеров В. А. Потенциал взаимодействия ядер и распределение плотности нуклонов в ядрах // Яд. Физ. -2006. -Т. 69, №9. -С. 1507-1519.

7. Денисов В. Ю., Нестеров В. О. Розподіл густини та потенціал взаємодії ядер // УФЖ -2006. - Т. 51, №5. - С. 440-448.

8. Нестеров В.А. О возможности использования квазиклассических методов при рассмотрении свойств легких атомных ядер с большим избытком нейтронов // Конференція молодих вчених та аспірантів ІЕФ 2001. - Ужгород: ІЕФ НАН України, 2001. - С. 103.

9. V.Yu. Denisov, V.A. Nesterov Diffusiness of nucleus-nucleus potential and diffuseness of density distribution in nuclei // Міжнародна конференція “Current Problems in Nuclear Physics and Atomic Energy” (NPAE - Kyiv2006). -Київ: ІЯД НАН України, 2006. -С. 33-34.

Анотації

Нестеров В.О.

Дослідження основних характеристик ядер і ядерно-ядерної взаємодії у модифікованому наближенні Томаса-Фермі - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеню кандидата фізико-математичних наук.

01.04.16 - Фізика ядра, елементарних частинок та високих енергій.

Інститут ядерних досліджень Національної академії наук України. Київ, 2007.

Дисертацію присвячено застосуванню модифікованого підходу Томаса-Фермі до дослідження характеристик основних станів атомних ядер та самоузгодженому отриманню потенціалу ядерно-ядерної взаємодії. При описі основних станів отримано хороший збіг з експериментальними даними для широкого спектру атомних ядер. Продемонстрована суттєва залежність потенціалу ядерно-ядерної взаємодії від ізотопічного складу ядер. Показано, що висота і ширина бар’єру залежать від дифузності розподілу нуклонів у ядрах. Реалістичні значення дифузності ядерної частини потенціалу не повинні сильно відрізнятися від 0.8-0.9 Фм.

Ключові слова: інтегральні характеристики, квазікласичний підхід, изотопічна залежність, дифузність, ядерно-ядерний потенціал.

Нестеров В.А.

Исследование основных характеристик ядер и ядерно-ядерного взаимодействия в модифицированном приближении Томаса-Ферми - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук.

01.04.16 - Физика ядра, элементарных частиц и высоких энергий.

Институт ядерных исследований Национальной академии наук Украины. Киев, 2007.

Диссертация посвящена применению модифицированного метода Томаса-Ферми к исследованию характеристик основных состояний атомных ядер и самосогласованному получению потенциала ядерно-ядерного взаимодействия. При описании основных состояний получено хорошее согласие с экспериментальными данными для широкого спектра атомных ядер. Продемонстрирована существенная зависимость потенциала взаимодействия от изотопического состава взаимодействующих ядер. Показано, что высота и ширина барьера зависят от диффузности распределения плотности нуклонов во взаимодействующих ядрах. Реалистические значения диффузности ядерной части потенциала взаимодействия не должны сильно отличаться от 0.8-0.9 Фм.

Ключевые слова: интегральные характеристики, квазиклассический подход, изотопическая