ЧЕРКАСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ ТЕХНОЛОГІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

Одокієнко Світлана Миколаївна

УДК 681.3.057:518.12

КОМП'ЮТЕРНА РЕАЛІЗАЦІЯ НЕПАРАМЕТРИЧНИХ МОДЕЛЕЙ ДИНАМІЧНИХ ОБ’ЄКТІВ

01.05.02 - математичне моделювання та обчислювальні методи

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата

технічних наук

Черкаси - 2007

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Східноєвропейському університеті економіки і менеджмента Міністерства освіти і науки України

Науковий керівник: член-кореспондент АПН України,

доктор технічних наук, професор

ВЕРЛАНЬ АНАТОЛІЙ ФЕДОРОВИЧ,

Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України, завідувач Відділу моделювання динамічних систем, м. Київ

Офіційні опоненти: член-кореспондент НАН України,

доктор технічних наук, професор

ВАСИЛЬЄВ ВСЕВОЛОД ВІКТОРОВИЧ,

Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України, керівник Відділення гібридних моделюючих і керуючих систем в енергетиці, м. Київ

доктор технічних наук, професор

ЗЛАТКІН АРТУР АНАТОЛІЙОВИЧ,

Черкаський державний технологічний університет, завідувач кафедри інформатики та інформаційної безпеки

Провідна організація: Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова

НАН України, Відділ керуючих машин та систем, м. Київ

Захист відбудеться ”15” березня 2007 року о 15-00 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради К73.052.01 Черкаського державного технологічного університету за адресою: 18006, м.Черкаси, бульвар Шевченка, 460.

З дисертацією можна ознайомитися в бібліотеці Черкаського державного технологічного університету за адресою: 18006, м.Черкаси, бульвар Шевченка, 460.

Автореферат розісланий 7 лютого 2007 року.

Вчений секретар спеціалізованої

вченої ради В.В. Палагін

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми дослідження. Робота присвячена проблемі дослідження і використання можливостей непараметричних динамічних моделей у вигляді інтегральних рівнянь і операторів, що мають низку переваг і істотні особливості як у питаннях опису широкого класу процесів, так і в питаннях досягнення ефективної комп'ютерної реалізації.

Сфера застосування інтегральних рівнянь охоплює багато задач техніки, фізики, біології, хімії, економіки. Крім того, для багатьох задач застосування інтегральних моделей має суттєві переваги при їх чисельній реалізації перед традиційними диференційними моделями. Непараметричні моделі є самостійним і своєрідним видом математичного опису задач динаміки. На відміну від параметричних моделей, для формування яких в якості вихідних даних використовуються задані параметри (постійні або змінні) структурованого об'єкта, непараметричні динамічні моделі формуються на основі заданих динамічних характеристик об'єкта, його ланок або елементів, які можуть бути одержані у вигляді експериментальних даних або в аналітичному вигляді.

В зв'язку із стійкою тенденцією зростання складності створюваних і перспективних зразків нової техніки, неухильним розвитком наукових досліджень з охопленням все більш ширшого кола об'єктів, явищ і процесів, що вивчаються, зростає роль методів і засобів математичного та комп'ютерного моделювання загалом, і зокрема, методів отримання, застосування, чисельної і комп'ютерної реалізації непараметричних динамічних моделей, що дозволяють розширити коло ефективно розв’язуваних дослідницьких і проектних задач. Але проблеми застосування, чисельної і, особливо, комп'ютерної реалізації інтегральних динамічних моделей розв’язані поки що недостатньо. Тому сукупність задач з дослідження непараметричних моделей динамічних систем у вигляді інтегральних рівнянь є важливою і актуальною, а розробка методів та засобів їх комп’ютерного моделювання необхідна для широкого кола прикладних задач розробки, проектування і дослідження об’єктів в науці та техніці.

Істотна роль у розвитку методів і засобів математичного та комп'ютерного моделювання динамічних систем на основі інтегральних рівнянь належить роботам Б.Б. Абдусатарова, А.С. Апарцина, Ф.Б. Бадалова, І.А. Біргера, М.С. Брікмана, В.В. Васильєва, А.Ф. Верланя, В.М. Глушкова, А.Н. Голубєнцева, В.В. Іванова, В.І. Капаліна, М.А. Колтунова, Д.Е. Контрераса, Г.Є. Пухова, К.А. Пупкова, Ю.Н. Работнова, А.Р. Ржаніцина, Е.Н. Розенвассера, В.С. Сізікова, О.О. Ситника, В.М. Яненко, Ю.П. Яценко, Дж. Форсайта, С. Baker, M. Aburdene, S. Steinhaus і ін.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертаційна робота виконана в Східноєвропейському університеті економіки і менеджмента при співпраці з Інститутом проблем моделювання в енергетиці імені Г.Є. Пухова НАН України в рамках науково-дослідної роботи “Структурно-алгоритмічні методи та засоби комп’ютерного моделювання складних енергетичних об’єктів з розподіленими та змінними параметрами („Виток”)”, № д/р 0101UO00024, в якій автором проводилися дослідження щодо створення інструментальних засобів для побудови і ефективного застосування інтегральних методів розв’язання задач комп’ютерного моделювання стаціонарних і нестаціонарних динамічних об'єктів електротехнічного та енергетичного призначення.

Мета і завдання дослідження. Мета дослідження полягає в розвитку методів і засобів дослідження технічних систем і технологічних процесів шляхом розробки алгоритмічних основ і програмних засобів комп'ютерного моделювання широкого класу динамічних об'єктів на основі формування і застосування непараметричних математичних моделей у вигляді інтегральних рівнянь.

Для досягнення поставленої мети необхідно вирішити такі завдання:

1. Систематизація та аналіз особливостей формування і застосування непараметричних моделей динамічних об'єктів; порівняльний аналіз типових, проблемно-орієнтованих пакетів прикладних програм і вибір базового середовища комп'ютерного моделювання динамічних об'єктів на основі непараметричних моделей.

2. Розробка алгоритмічних основ чисельної реалізації непараметричних динамічних моделей з орієнтацією на застосування і розвиток засобів комп'ютерного моделювання динамічних об'єктів, у тому числі розробка, апробація, оцінка дієздатності та якості алгоритмів реалізації неявних непараметричних моделей першого і другого роду (інтегральних рівнянь Вольтерра I і IІ роду) стосовно моделювання лінійних, нелінійних і сингулярних динамічних об'єктів та їх систем.

3. Організація структури комплексу програм для реалізації методу комп'ютерного дослідження динамічних об'єктів на основі непараметричних моделей. Використання і розвиток технологічної платформи системи Matlab для організації програмних засобів, що реалізують процеси комп'ютерного моделювання динамічних об'єктів за заданими непараметричними моделями з адаптацією наявних форматів представлення математичних моделей і даних. Аналіз можливостей розвитку засобів комп'ютерного моделювання в напрямі сучасних тенденцій інтелектуалізації аналізу даних.

4. Оцінка прикладних можливостей пропонованих засобів комп’ютерного моделювання за допомогою розв’язання тестових і практичних задач технічного призначення.

Об’єктом дослідження є методи і засоби комп'ютерного моделювання динамічних об'єктів.

Предметом дослідження є методи і засоби комп'ютерного моделювання лінійних, нелінійних і сингулярних об'єктів на основі непараметричних динамічних моделей.

Методи дослідження. Методи чисельного аналізу (розробка алгоритмів реалізації інтегральних динамічних моделей); елементи теорії систем управління; методи організації програмних засобів обробки та апроксимації експериментальних даних при розв’язуванні задач моделювання; методи організації та проведення обчислювальних експериментів при дослідженні динамічних систем; методи інтелектуалізації засобів моделювання при розв’язуванні задач дослідження динамічних об'єктів.

Наукова новизна отриманих результатів. Новими є такі наукові результати.

1. Запропоновано підхід до підвищення ефективності та розширення можливостей методів і засобів комп'ютерного моделювання динамічних об'єктів шляхом застосування та реалізації непараметричних математичних моделей у вигляді інтегральних операторів і рівнянь Вольтерра.

2. Розроблено алгоритмічні основи реалізації непараметричних (інтегральних) динамічних моделей при розв’язанні задач моделювання складних об'єктів, які засновані на квадратурних обчислювальних схемах і забезпечують створення й розвиток комп'ютерних методів і засобів для розв’язання задач дослідження, проектування, управління та діагностики в технічних розробках.

3. Запропоновано ефективні чисельні алгоритми розв’язання лінійних і нелінійних інтегральних рівнянь типу Вольтерра I і II роду та їх систем, які засновані на раціональному виборі й застосуванні квадратурних формул і орієнтовані на зменшення часових та обчислювальних ресурсів при комп’ютерній реалізації; необхідна швидкодія алгоритмів забезпечується використанням властивостей ядер, що розділяються; крім того, запропоновано спосіб чисельного розв’язання слабкосингулярних інтегральних рівнянь з застосуванням процедур регуляризації.

4. Запропоновано структуру комплекса програм для реалізації інтегрального методу моделювання динамічних об'єктів, яка розширює можливості сучасних комп'ютерних дослідницьких технологій.

5. На основі ефективного використання платформи системи Matlab уперше створено інструментальні засоби, що реалізують непараметричні моделі динамічних об'єктів з адаптацією форматів представлення математичних моделей і даних, а також функцій управління обчислювальним процесом; проаналізовано можливості інтелектуалізації інформаційних технологій моделювання складних об'єктів, які визначають напрями подальшого розвитку комп'ютерних середовищ моделювання.

Практичне значення отриманих результатів полягає в тому, що уперше створено комплекс програмних засобів комп'ютерного моделювання лінійних і нелінійних динамічних об'єктів з реалізацією непараметричних моделей у формі інтегральних рівнянь типу Вольтерра I і IІ роду; запропоновані алгоритмічні засоби орієнтовано на застосування в довільній сучасній системі моделювання, а розроблені програми завдяки органічній сумісності із стандартними засобами середовища Matlab дозволяють значно розширити можливості даної системи при розв’язанні динамічних задач.

Найбільш істотне значення для практики мають такі результати:

· розроблений програмний комплекс дозволяє розв’язувати широкий клас задач моделювання динамічних об'єктів з використанням непараметричних моделей, у тому числі при завданні вихідних даних у вигляді динамічних характеристик об'єктів, одержаних експериментально;

· комплекс дозволяє проводити обчислювальні експерименти з динамічними моделями з можливостями вибору як структур комп'ютерних моделей, так і алгоритмів моделювання;

· за допомогою розроблених засобів розв’язано ряд практичних задач, у тому числі виконано розрахунки для визначення напруженого стану елементів будівельних споруд з урахуванням старіння бетону; на основі експериментальних даних одержано інтегральну динамічну модель системи вимірювання потужних потоків теплового випромінювання і з її допомогою розв’язано задачу структурної динамічної корекції системи; запропоновано нелінійну інтегральну динамічну модель процесу зміни напружено-деформованого стану будівельної стрижневої конструкції з можливістю реалізації за допомогою розробленої методики комп'ютерного моделювання; з використанням методу квадратур розв’язано задачу про коливання в'язкопружного циліндра із змінною внутрішньою границею.

Особистий внесок здобувача. Основні наукові, практичні та експериментальні результати одержані автором самостійно й опубліковані в працях [4,5,7-9].

Особистий внесок автора в працях, опублікованих із співавторами:

· обґрунтовано можливість застосування методів математичного моделювання та ідентифікації динамічних об’єктів для діагностики відповідних класів комп'ютерних моделюючих систем [1];

· розроблено чисельні алгоритми розв’язання окремих типів нелінійних інтегральних рівнянь задач динаміки [2,3,6];

· запропоновано швидкі алгоритми для чисельного розв’язання інтегральних рівнянь Вольтерра та їх систем [10];

· запропоновано підхід до побудови комп'ютерного інтелектуального середовища для розв’язування практичних задач за допомогою методів математичного моделювання [11];

· реалізовано квадратурний алгоритм моделювання для розв’язування задачі корекції динамічних похибок системи вимірювання потоків теплового випромінювання [12].

Апробація результатів дисертації. Матеріали дисертації докладалися і обговорювалися на наукових семінарах відділу моделювання динамічних систем Інституту проблем моделювання в енергетиці імені Г.Є. Пухова НАН України (Київ, 2005-2006 рр.); на наукових семінарах кафедри інформаційних технологій і економічної кібернетики (2005-2006 рр.) і міжнародній науковій конференції “Сучасний менеджмент у виробництві та гуманітарній діяльності” Східноєвропейського університету економіки і менеджменту (Черкаси, 2005 р.); на міжнародній конференції “ИТ в управлении энергетическими системами” Інституту проблем моделювання в енергетиці імені Г.Є. Пухова НАН України (Київ, 2005 р.); на міжнародній науково-методичній конференції “Сучасні проблеми математичного моделювання, прогнозування та оптимізації” Кам'янець-Подільського державного університету (Кам'янець-Подільський, 2006 р.); на міжнародній науково-технічній конференції “Датчики, прилади та системи - 2006” Черкаського державного технологічного університету в секції “Математичне моделювання та обчислювальні методи” (Ялта, 2006 р).

Публікації. За результатами наукових досліджень опубліковано 12 наукових робіт, з яких 8 опубліковані в наукових виданнях (фахових), які входять до переліку ВАК України, і 4 – в збірниках матеріалів конференцій.

Структура і обсяг дисертації. Дисертаційна робота складається з вступу, трьох розділів, висновків, списку використаних джерел з 106 найменувань на дев’яти окремих сторінках, двох додатків на 15 окремих сторінках, 17 таблиць і 24 рисунків. Повний обсяг дисертації – 176 сторінок, у тому числі 140 сторінок основного тексту.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обґрунтовано актуальність теми, мету та завдання дослідження, викладено наукову новизну й практичну цінність одержаних результатів, наведено відомості про особистий внесок здобувача, апробацію результатів дисертації та публікації.

У першому розділі наведено принцип формування та аналіз особливостей явних і неявних непараметричних динамічних моделей, побудованих за допомогою динамічних характеристик. Проведено огляд існуючих типів інтегральних моделей і підходів до їх чисельної реалізації. Визначено галузі ефективного використання інтегральних моделей, розглянуто питання аналітичної теорії інтегральніх рівнянь. Проведено порівняльний аналіз серійних засобів комп’ютерного моделювання, описано їх основні можливості й характеристики та обґрунтовано вибір Matlab у якості програмного середовища розробки.

Одержані за динамічними характеристиками інтегральні оператори є найбільш простими і разом з тим універсальними динамічними моделями, оскільки забезпечують адекватність відтворення властивостей об'єкта в межах точності апріорно заданих динамічних характеристик і не вимагають при своєму формуванні яких-небудь методів апроксимації.

У роботі запропоновано формалізовану схему застосування динамічних характеристик при розв’язанні задач динаміки. Рівняння динаміки об’єкта , де - оператор, який встановлює залежність вихідних величин від вхідних в момент часу , дозволяє за будь-якими двома із трьох величин , , визначити трєтю: 1) при відомих і знайти – задача ідентифікації об’єкта; 2) при відомих і знайти - задача відновлення вхідного сигнала, яка в загальному випадку зводиться до обчислення значень неявної абстрактної функції; 3) при відомих і знайти , у цьому випадку задача зводиться до обчислення за явною формулою.

Безпосереднє використання динамічних характеристик у вигляді перехідних або імпульсних перехідних функцій дозволяє математично зв'язати вихід і вхід скалярного об'єкта за допомогою інтегрального оператора Вольтерра в лінійному випадку або у вигляді більш складних нелінійних інтегральних операторів у нелінійному випадку. До найбільш поширених рівнянь цього типу належать такі рівняння.

Лінійні рівняння. Лінійне скалярне рівняння Вольтерра II роду має вигляд

, , (1)

де - ядро інтегрального рівняння, - права частина рівняння, - шукана функція. Лінійне одномірне рівняння (скалярне) Вольтерра I роду

, (2)

при розв’язанні вимагає додаткових обмежень порівняно з рівнянням Вольтерра IІ роду. Важливим для практики чисельного розв’язання є випадок виродженого (що розділяється) ядра .

Нелінійні рівняння. Рівняння Вольтерра з оператором Гаммерштейна II роду (рівняння Вольтерра — Гаммерштейна) , і I  роду , .

Рівняння Вольтерра з оператором Урисона II роду (рівняння Вольтерра — Урисона) , і I роду , .

Система рівнянь Вольтерра. Кожному зі скалярних рівнянь може бути поставлена у відповідність система інтегральних рівнянь щодо n невідомих функцій . Наприклад, система лінійних рівнянь Вольтерра II роду має вигляд

, . (3)

Системи рівнянь можуть включати будь-які з зазначених вище видів рівнянь, як лінійних, так і нелінійних.

Таким чином, неявні непараметричні моделі динаміки складноструктурованих об'єктів формуються у вигляді лінійних або нелінійних інтегральних рівнянь, а також їх систем. Властивості отримуваних рівнянь повністю визначаються ядрами цих рівнянь, які і є заданими динамічними характеристиками. Ядра мають вигляд функцій двох змінних, різницевих – у разі стаціонарних об'єктів або довільних – у разі нестаціонарних об'єктів.

За наявності достатньо складних математичних моделей ефективність обчислювального експерименту визначається якістю алгоритмічного і програмного забезпечення. У роботі наведено результати порівняльного аналізу найпоширеніших серійних засобів моделювання. Пакети порівнювалися за функціональними можливостями, швидкостю роботи з великими наборами даних при їх математичній, статистичній і графічній обробці, можливостями підтримки різних операційних систем. Систематизація й порівняльний аналіз найбільш поширених пакетів прикладних програм загального призначення, що мають можливості комп'ютерного моделювання динамічних об'єктів, дозволили вибрати систему Matlab як основу для розробки програмних засобів реалізації непараметричних моделей у вигляді відповідних інтегральних рівнянь.

У другому розділі запропоновано алгоритми чисельної реалізаціїї непараметричних динамічних моделей, що описуються інтегральними рівняннями типу Вольтерра або їх системами. Аналізуються особливості запропонованих алгоритмів на ряді модельних задач.

Для розв’язання інтегральних рівнянь Вольтерра можуть бути застосовані аналітичні, операційні, квадратурні, ітераційні та інші методи. Пряме застосування аналітичних та ітераційних методів розв’язання інтегральних рівнянь може бути пов'язане з певними труднощами при створенні високопродуктивних алгоритмів і, тим більше, структур спеціалізованих засобів обчислювальної техніки, призначених для реалізації непараметричних моделей динамічних систем.

Одним з ефективних методів наближеного розв’язання інтегральних рівнянь є метод квадратур, важливою перевагою якого є простота його реалізації та висока стійкість обчислювальних алгоритмів. При розв’язуванні рівнянь I роду стійкість забезпечується за рахунок регуляризуючих властивостей методу, причому параметром регуляризації є крок квадратури. Інтегральні рівняння Вольтерра І роду описують задачу відновлення вхідних сигналів, що поступають на об'єкт, при відомій його динамічній характеристиці і вихідному сигналі, що вимірюється. Особливості рівнянь вимагають цілеспрямованого вибору чисельних алгоритмів для розв’язування. Виходячи з компромісу між складністю обчислювального процесу і точністю результатів, можуть бути вибрані різні модифікації методу квадратур. Достатньо ефективними при розв’язування задач з ”інженерною” точністю виявляються алгоритми на основі формул прямокутників і трапецій. Остаточний розрахунковий вираз для наближеного розв’язання рівняння (2) методом квадратур з використанням формули трапецій на основі традиційного підходу має такий вигляд при змінному кроці (загальний випадок):

(4)

де =[-3f(a)+4f(a+h)-f(a+2h)]/2h, .

Можна помітити, що при в інтервалі інтегрування для наближеного розв’язання інтегрального рівняння (2) неможливо застосувати розрахункові вирази (4), оскільки при цьому необхідно виконувати операцію ділення на . Застосування формули середніх прямокутників знімає дане обмеження, оскільки при цьому значення шуканої функції визначається у вузлах .

Одержані алгоритми розв’язання рівнянь Вольтерра I роду традиційним способом показують, що час обчислення шуканої функції залежить від кількості кроків дискретизації, тобто із збільшенням їх кількості пропорціонально збільшується кількість циклів по , отже, і кількість обчислювальних операцій.

Цей недолік може бути усунений, якщо регулярне ядро інтегрального рівняння (2) має вигляд добутку незалежних функцій (роздільних ядер). З урахуванням цього рівняння (2) набуває вигляду

. (5)

Застосування методу квадратурних формул до виразу (5) дозволяє отримувати рекурентні співвідношення для наближеного розв’язання у вигляді:

методом середніх прямокутників при постійному кроці -

(6)

методом трапецій при змінному кроці (загальний випадок) -

(7)

де =[-3f(a)+4f(a+h)-f(a+2h)]/2h, .

Вирази (6)-(7) є аналітичним описом швидкого (спеціального) алгоритму для розв’язання інтегрального рівняння Вольтерра I роду. Як видно з виразів (6)-(7), кількість обчислювальних операцій не залежить від номера кроку дискретизації, тобто кількість обчислень на кожному кроці залишається незмінною, у зв'язку з чим при комп'ютерній реалізації значно скорочуються витрати часу на розв’язування і обсяг необхідної пам'яті.

Для математичного опису багатозв'язкових динамічних систем використовуються системи інтегральних рівнянь, зокрема, системи рівнянь Вольтерра I роду, які в матричній формі мають такий вигляд:

, , (8)

де - матриця ядер, і - вектори функцій невідомих і правої частини системи.

Залежно від форми завдання вихідних даних для розв’язання системи (8) після дискретизації може бути використаний один з широко поширених методів розв’язання системи алгебраїчних рівнянь. Вибір необхідного метода здійснюється з того, що ядра і праві частини системи рівнянь (8) зазвичай мають експериментальні походження. Застосування методу обернених матриць дозволяє одержати ефективні алгоритми і будувати на їх основі програми та структури спеціалізованих мікропроцесорних обчислювальних систем, що реалізують ці алгоритми.

Застосування методу квадратур до реалізації непараметричних моделей у формі інтегральних рівнянь Вольтерра ІІ роду приводить до стійких алгоритмів рекурентного типу. Для забезпечення високої швидкості обчислень доцільно також використовувати властивість роздільності ядер з застосуванням точних аналітичних або наближених чисельних перетворень. Для чисельної реалізації інтегральних рівнянь Вольтерра II роду (1) і їх систем також побудовано розрахункові вирази і розроблено алгоритми на основі традиційного підходу і на основі роздільних ядер.

Застосування квадратур до чисельної реалізації нелінійних інтегральних рівнянь також дозволяє одержати ефективні алгоритми моделювання, однак обчислювальний процес при цьому стає складнішим через появу додаткових циклів, що враховують нелінійні операції. Необхідна швидкодія забезпечується при застосуванні роздільних ядер.

Достатньо широкий клас непараметричних динамічних моделей представляється сингулярними інтегральними рівняннями, особливості яких визначаються ядрами, що містять різниці двох незалежних змінних у знаменнику функції ядра. Розповсюджене у технічних системах сингулярне рівняння Вольтерра I роду має вигляд і II роду – де - сингулярне ядро, - невідома функція, - відома функція.

Ускладнення, пов'язані з реалізацією сингулярних ядер , ефективно долаються на основі регуляризаційного підходу з використанням запропонованого способу ”внутрішньої” регуляризації, заснованого на модифікації методу модельних прикладів, викладеного в роботі.

У роботі подано результати розв’язання різних видів інтегральних рівнянь Вольтерра та їх систем на прикладі ряду модельних задач. Обчислювальні експерименти свідчать, що за точністю розв’язку традиційні і швидкі алгоритми збігаються, а за часом - традиційні алгоритми значно поступаються швидким, що пояснюється збільшенням кількості арифметичних операцій із зростанням кількості кроків.

У третьому розділі наведено опис побудованих комп’ютерних засобів реалізації непараметричних динамічних моделей, описано методику використання цих програмних засобів, здійснено оцінку основних характеристик і показників якості розробленої системи моделювання. Наведено результати розв’язання практичних задач. Запропоновано архітектуру інтелектуального середовища моделювання. Обґрунтовано застосування методу діагностування комп'ютерного моделюючого середовища.

Основними вимогами, що ставляться до програмного забезпечення для математичного моделювання, є ефективність — процесорний час моделювання, кількість ітерацій, обсяг задіяної пам'яті і точність результатів, а також надійність — здатність успішно розв’язувати задачі, достовірність отриманих результатів, здатність визначення помилкових ситуацій. Крім того, важливим аспектом є забезпечення зручності користувача, перш за все, з точки зору трудомісткості підготовки вихідних даних та їх введення в ЕОМ, можливості ефективного виведення проміжної інформації й кінцевих результатів, гнучкості програмного забезпечення.

Виходячи з зазначених вимог, систему комп'ютерного моделювання доцільно організувати у вигляді комплекса прикладних програм для реалізації непараметричних моделей у вигляді інтегральних рівнянь Вольтерра I і II роду та їх систем, використовуючи модульний принцип організації, відповідно до якого програми представляються у вигляді функцій, що дозволяє їх подальший розвиток і корекцію. Комплекс складається з дванадцяти основних модулів, призначених безпосередньо для розв’язання лінійних і нелінійних інтегральних рівнянь Вольтерра та їх систем. Структура комплекса програм подана на рис. 1.

Метод квадратур на основі традиційного підходу реалізований у модулях volt1uv, volt2uv при розв’язанні лінійних і в модулях volt1nuv, volt2nuv при розв’язанні нелінійних інтегральних рівнянь Вольтерра I і II роду відповідно з ядром довільного вигляду. Метод квадратур на основі роздільних ядер, реалізований у модулях volt1buv, volt2buv при розв’язанні лінійних інтегральних рівнянь Вольтерра I і II роду відповідно із степеневим ядром, у модулях volt1buv1, volt2buv1 - при розв’язанні лінійних інтегральних рівнянь Вольтерра I і II роду відповідно з ядром у вигляді тригонометричної функції, у модулях volt1bnuv, volt2bnuv - при розв’язанні нелінійних інтегральних рівнянь Вольтерра I і II роду відповідно із степеневим ядром. Метод зворотних матриць у поєднанні з методом квадратур на основі роздільних ядер реалізований у модулях volt1bsuv і volt2bsuv для розв’язання системи лінійних інтегральних рівнянь Вольтерра I і II роду відповідно. Модулі volt1sin і volt2sin передбачаються для розв’язання інтегральних рівнянь Вольтерра I і II роду відповідно з сингулярним ядром.

Перед викликом основного модуля потрібно створити або модифікувати раніше створені m-файли, необхідні для роботи даного модуля. М-файли з вихідними даними мають наступне призначення:

· kern… — m-файли, які задають ядра рівнянь;

· fprav… — m-файли для обчислення правих частин інтегральних рівнянь;

· kernm, kernm1 — m-файли, що містять коефіцієнти оберненої матриці;

· koefa…, koefb і koefc… — m-файли для обчислення коефіцієнтів А, B і С квадратного рівняння, одержаного з нелінійного інтегрального рівняння Вольтерра I або II роду степеневого вигляду.

Рис. 1. Структура комплекса програм

Основні вхідні параметри, які передаються при виклику функцій:

· x — масив вигляду x=[x0:h:xn], що задає відрізок, на якому шукається розв’язок, де h - крок інтегрування;

· N — кількість рівнянь у випадку, якщо розв’язується система рівнянь.

Усі основні модулі як результат повертають масив розв’язку y, масив x, що містить сітку вузлів, на яких знайдено розв’язок, і значення індикатора помилок ier. У роботі наведено докладну методику використання створених програм.

Виконано оцінку двох основних показників якості програмного забезпечення – надійності та ефективності – на ряді модельних прикладів, що охоплюють усі можливі типи задач, для розв’язання яких призначена розроблена система моделювання. Результати тестування дозволяють зробити висновок про те, що розроблене програмне забезпечення повністю відповідає вимогам, що ставляться до сучасних пакетів прикладних програм для комп'ютерного моделювання. Усі програми розроблено з використанням мови програмного комплексу Matlab і об'єднано в єдиний комплекс прикладних програм для розв’язання інтегральних рівнянь Вольтерра I і II роду та їх систем згідно з концепцією, прийнятою в системі Matlab.

Запропоновано архітектуру інтелектуального середовища моделювання (рис. 2), яка включає такі компоненти:

Рис. 2. Загальна архітектура функціональної мережі

•

•

•

•

•

•

Таким чином, у програмне середовище закладено фундаментальні можливості розвитку.

Пропоновані алгоритми і програмні засоби дозволили ефективно розв’язати ряд прикладних задач. Визначено, що застосування інтегральних моделей можливе при дослідженні напружено-деформованого стану елементів споруд. Одержано інтегральну модель для аналізу напруги в перетинах стін будинків з урахуванням старіння бетону, за допомогою розробленого програмного забезпечення проведено її моделювання за побудованими розрахунковими виразами, унаслідок якого були визначені шукані величини - напруга в перетинах стін будинків для різних марок бетону.

Також одержано інтегральну модель для аналізу напружено-деформованого стану будівельно-стрижневої конструкції з урахуванням повзучості ґрунту і на її основі отримані розрахункові вирази для різних значень параметра , що характеризує закон деформування ґрунту основи.

Одержано інтегральну модель корекції динамічних похибок системи вимірювання потоків теплового випромінювання, чисельне моделювання якої підтвердило можливість ефективного використання інтегральних рівнянь Вольтерра для розв’язання задачі відновлення вхідного сигналу вимірювальних приладів.

Розв’язано задачу про коливання в'язкопружного циліндра із змінною внутрішньою границею, що підтвердило можливість ефективного застосування запропонованого методу моделювання в'язкопружних систем при використанні рівнянь із слабосингулярними ядрами.

Аналіз практичної реалізації результатів дисертаційної роботи та їх впровадження підтвердили їх достовірність та практичну цінність.

Розглянуті інтегральні моделі, а також методи і програмні засоби їх чисельної реалізації мають достатньо загальний характер і можуть бути використані для розв’язання широкого кола задач моделювання динамічних систем у різних технічних галузях.

Додатки містять лістинги розроблених програм на мові системи Matlab та акти впровадження результатів роботи.

ВИСНОВКИ

Основним результатом дисертаційної роботи є розвиток методів математичного моделювання динамічних об'єктів на основі ефективного застосування непараметричних моделей і створення чисельних алгоритмів і програмних засобів для комп'ютерного моделювання.

1. Вперше виконано систематизацію явних і неявних, лінійних і нелінійних динамічних моделей, побудованих на основі непараметричних характеристик. Запропоновано підхід до підвищення ефективності й розширення можливостей методів і засобів комп'ютерного моделювання динамічних об'єктів на основі застосування та реалізації непараметричних математичних моделей.

2. Проаналізовано властивості непараметричних динамічних моделей у вигляді інтегральних операторів і рівнянь Вольтерра, визначено їх функціональні можливості при дослідженні різних класів динамічних об'єктів, а також сформульовано особливості, що впливають на вибір методів і розробку алгоритмів для чисельного розв’язання рівнянь і створення програмних засобів їх комп'ютерної реалізації.

3. Проведено порівняльний аналіз найбільш поширених пакетів прикладних програм загального призначення, що мають можливості комп'ютерного моделювання динамічних об'єктів, що дозволило визначити систему Matlab як основу для розробки програмних засобів реалізації розглянутих типів непараметричних моделей.

4. Розроблено квадратурні алгоритми чисельної реалізації лінійних і нелінійних інтегральних моделей та їх систем, що забезпечують необхідні точність і швидкодію процесу моделювання. Запропоновані швидкі алгоритми методу квадратур для чисельного розв’язання інтегральних рівнянь Вольтерра засновано на використанні властивостей зображення ядра у вигляді суми добутку незалежних функцій і методу обернених матриць (для розв’язання систем рівнянь), завдяки чому забезпечується висока швидкість отримання значень шуканої функції у вузлах дискретизації і зменшуються витрати використовуваної пам'яті.

5. Запропоновано спосіб чисельного розв’язання інтегральних рівнянь із слабкосингулярними ядрами, заснований на застосуванні квадратур з використанням алгоритму ”внутрішньої” регуляризації, заснованого на модифікації методу модельних прикладів і забезпечуючого стійку реалізацію моделей з сингулярними ядрами, широко поширених, зокрема, при дослідженні характеристик пружнов'язких матеріалів.

6. На основі запропонованих алгоритмів уперше розроблено комплекс прикладних програм для моделювання широкого класу динамічних об'єктів з реалізацією лінійних і нелінійних інтегральних моделей та їх систем у середовищі Matlab; програмні засоби організовано відповідно до прийнятої в системі Matlab концепції пакетів прикладних програм, що дозволяє використовувати такі властивості, як можливість сумісного використання з іншими пакетами прикладних програм, можливість аналізу, корекції та застосування розроблених функцій як шаблонів для розробки нових додатків, можливість використання в рамках системи Matlab на будь-якій обчислювальній платформі; розроблено методику використання програм комплексу для розв’язання конкретних задач.

7. Запропоновано підхід до інтелектуалізації середовища моделювання, заснований на побудові структури взаємопов'язаних програмних засобів системи таких, як інтерфейс кінцевого користувача, інтерфейс експерта, інтерпретуюча система, система бази знань для математичного моделювання, система моделювання для експериментальних досліджень і архівна база даних для збереження результатів експерименту; обґрунтовано застосування методу діагностики комп'ютерного моделюючого середовища.

8. Застосування непараметричних моделей динаміки, розроблені алгоритми і програмні засоби дозволили ефективно розв’язати ряд прикладних задач, у тому числі задачу аналізу напружено-деформованого стану елементів будівельних конструкцій з урахуванням старіння бетону; задачу математичного моделювання динаміки будівельно-стрижневої конструкції з урахуванням повзучості ґрунту для різних значень параметра, що характеризує закон деформування ґрунту основи; задачу моделювання і динамічної корекції системи вимірювання потоків теплового випромінювання; задачу дослідження коливань в'язкопружного циліндра із змінною внутрішньою границею.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ АВТОРОМ ПРАЦЬ ЗА ТЕМою ДИСЕРТАЦІЇ

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

АНОТАЦІЯ

Одокієнко Світлана Миколаївна. Комп'ютерна реалізація непараметричних моделей динамічних об’єктів. – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата технічних наук за фахом 01.05.02 – математичне моделювання та обчислювальні методи. – Східноєвропейський університет економіки і менеджменту, Черкаси, 2007.

Дисертація присвячена питанням подальшого розвитку методів математичного моделювання динамічних об’єктів на основі ефективного використання непараметричних моделей і створенню чисельних алгоритмів та програмних засобів для комп’ютерного моделювання. На основі аналізу властивостей непараметричних динамічних моделей у вигляді інтегральних операторів і рівнянь Вольтерра розроблено ефективні алгоритми комп’ютерної реалізації лінійних і нелінійних інтегральних моделей та їх систем, інтегральних моделей з слабкосингулярними ядрами. На основі запропонованих алгоритмів розроблено комплекс прикладних програм для моделювання широкого класа динамічних об’єктів у середовищі Matlab. Основні результати знайшли застосування в ряді практичних розробок.

Ключові слова: динамічні об’єкти, непараметричні моделі, інтегральні рівняння Вольтерра, комп’ютерна реалізація, чисельні алгоритми.

АННОТАЦИЯ

Одокиенко Светлана Николаевна. Компьютерная реализация непараметрических динамических объектов. – Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук по специальности 01.05.02 – математическое моделирование и вычислительные методы. – Восточноевропейский университет экономики и менеджмента, Черкассы, 2007.

Работа посвящена проблеме исследования и использования возможностей непараметрических динамических моделей в виде интегральных уравнений и операторов, обладающих рядом достоинств и существенных особенностей как в вопросах описания широкого класса процессов, так и в вопросах достижения эффективной компьютерной реализации.

Непараметрические модели являются самостоятельным и своеобразным видом математического описания задач динамики. В отличие от параметрических моделей, для формирования которых в качестве исходных данных используются заданные параметры (постоянные или переменные) структурированного объекта, непараметрические динамические модели формируются на основе заданных динамических характеристик объекта, его звеньев или элементов, которые могут быть получены в виде экспериментальных данных или в аналитическом виде, если существует развитая теория исследуемого объекта.

В связи с устойчивой тенденцией роста сложности создаваемых и перспективных образцов новой техники, неуклонным развитием научных исследований с охватом все более широкого круга изучаемых объектов, явлений и процессов, возрастает роль методов и средств математического и компьютерного моделирования в целом, и, в частности, роль методов получения, применения, численной и компьютерной реализации непараметрических динамических моделей, позволяющих расширить круг эффективно решаемых исследовательских и проектных задач. Поэтому совокупность задач по исследованию непараметрических моделей динамических систем в виде интегральных уравнений является важной и актуальной.

Цель исследования состоит в развитии методов и средств исследования технических систем и технологических процессов путем разработки алгоритмических основ и программных средств компьютерного моделирования широкого класса динамических объектов на основе формирования и применения непараметрических математических моделей в виде интегральных уравнений.

Достижение цели обеспечено благодаря решению таких задач:

1. Систематизация и анализ особенностей формирования и применения непараметрических моделей динамических объектов; сравнительный анализ типовых, проблемно-ориентированных пакетов прикладных программ и выбор базовой среды компьютерного моделирования динамических объектов на основе непараметрических моделей.

2. Разработка алгоритмических основ численной реализации непараметрических динамических моделей с ориентацией на применение и развитие средств компьютерного моделирования динамических объектов, в том числе разработка, апробация, оценка дееспособности и качества алгоритмов реализации неявных непараметрических моделей первого и второго рода (интегральных уравнений Вольтерра I и IІ рода) применительно к моделированию линейных, нелинейных и сингулярных динамических объектов и их систем.

3. Организация структуры комплекса программ для реализации метода компьютерного исследования динамических объектов на основе непараметрических моделей. Использование и развитие технологической платформы системы Matlab для организации программных средств, реализующих процессы компьютерного моделирования динамических объектов по заданным непараметрическим моделям с адаптацией имеющихся форматов представления математических моделей и данных. Анализ возможностей развития средств компьютерного моделирования в направлении современных тенденций интеллектуализации анализа данных.

4. Оценка прикладных возможностей предлагаемых средств компьтерного моделирования посредством решения тестовых и практических задач технического назначения.

Решение этих задач позволило разработать комплекс прикладных программ для моделирования широкого класса динамических объектов с реализацией линейных и нелинейных интегральных моделей и их систем в среде Matlab. Основные результаты нашли применение в ряде практических разработок.

Ключевые слова: динамические объекты, непараметрические модели, интегральные уравнения Вольтерра, компьютерная реализация, численные алгоритмы.

SUMMARY

Odokiyenko Svitlana Mykolayivna. Computer realization of nonparametric models of dynamic objects. – Manuscript.

Thesis for a Candidate of Sciences degree, majoring in 01.05.02 — mathematical modelling and computing technique. — Easteuropean University of Economics and Management, Cherkasy, 2007.

The problems of the further development of the methods of dynamic objects mathematical modelling based on efficient using of nonparametric models and creating of computer modelling numerical algorythms and software are carried out in the thesis. The effective algorythms for computer realization of linear and nonlinear integral models and systems, singular kernel integral models were designed through the analysis of non-parametric models properties as integral operators and Volterra equations. The application package for dynamic objects modelling is designed in Matlab. Basic results are adopted in a number of practical works.

Key words: dynamic objects, nonparametric models, Volterra integral equations, computer realization, numerical algorythms.

Підписано до друку 05.02.2007. Формат 60x90/16. Папір офісн.

Друк оперативний. Ум. друк. арк. 0,9. Тираж 100 прим. Зам. № 25

Надруковано в редакційно-видавничому центрі

Східноєвропейського університету економіки і менеджменту

вул. Нечуй-Левицького, 16, м. Черкаси, 18036.