Пасько Анатолій Миколайович

УДК 517.5

ОДНОСТОРОННІ НАБЛИЖЕННЯ ФУНКЦІЙ АЛГЕБРИЧНИМИ ПОЛІНОМАМИ

01.01.01- математичний аналіз

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Дніпропетровськ 2007

Дисертацією є рукопис

Робота виконана на кафедрі теорії функцій Дніпропетровського національного університету.

Науковий керівник: член-кореспондент НАН України,

доктор фізико-математичних наук, професор

МОТОРНИЙ Віталій Павлович,

Дніпропетровський національний

університет, завідувач кафедри теорії функцій.

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор

ВАКАРЧУК Сергій Борисович,

Академія митної служби України,

проректор з наукової роботи,

начальник кафедри статистики;

кандидат фізико-математичних наук, доцент

ПЕЛЕШЕНКО Борис Гнатович,

Дніпропетровський державний аграрний університет,

доцент кафедри вищої математики.

Провідна установа: Інститут математики НАН України, відділ теорії

функцій, м. Київ.

Захист відбудеться “18” травня 2007 року о “14” годині на засіданні спеціалізованої вченої ради К 08.051.06 при Дніпропетровському національному університеті за адресою: 49050, м. Дніпропетровськ – 50, вул. Козакова, 18, корп. 14.

З дисертацією можна ознайомитись у науковій бібліотеці Дніпропетровського національного університету за адресою: 49050, м. Дніпропетровськ 50, вул. Козакова, 8.

Автореферат розісланий “26” березня 2007 р.

Учений секретар

спеціалізованої вченої ради Вакарчук М. Б.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Важливим елементом будь-якого наукового дослідження є апроксимація – заміна складного об’єкту більш простим, близьким до нього в тому чи іншому сенсі. Велике теоретичне та практичне значення має теорія наближення функцій. В ній вивчається наближення функцій іншими функціями більш простої структури ( тригонометричними поліномами, алгебричними поліномами, поліноміальними сплайнами, тощо ), які зазвичай утворюють скінченовимірний лінійний простір. Як самостійний розділ науки, теорія наближень почала формуватися в кінці ХІХ – початку ХХ століття в роботах таких видатних вчених як К. Вейєрштрасс, П. Л. Чебишев, Валле_Пуссен та ін.

Позначимо через клас визначених на відрізку [–1;1] функцій, r–1-ша похідна яких абсолютно неперервна, а -норма r-ї похідної на [–1;1] не перевищує одиниці. Через позначимо клас визначених на відрізку [–1;1] функцій, r–1-ша похідна яких абсолютно неперервна, а модуль неперервності (– фіксований модуль неперервності). Через , позначимо відповідні класи 2р-періодичних функцій. Всюди, де не сказано протилежного, ми будемо вважати r натуральним числом, коли буде йти мова про класи ,, і цілим невід’ємним, коли йтиметься про ,. Через (відповідно ) ми позначимо найкраще наближення в середньому класу функцій алгебричними поліномами степеня, не вищого за n (відповідно тригонометричними поліномами степеня, не вищого за n–1).

Початковий період розвитку теорії наближень характеризується тим, що головною метою досліджень було наближення більш-менш конкретних функцій або параметрично заданих класів функцій. Новий етап в теорії наближень відкривається роботами Ж. Фавара, Н. І. Ахієзера і М. Г. Крейна. На цьому етапі вже починає вивчатись найкраще наближення класів диференційовних функцій з обмеженнями на -ту похідну в конкретних просторах.

Величезна кількість екстремальних задач на знаходження найкращих наближень класів функцій була розв’язана С. М. Нікольським, М. П. Корнійчуком та багатьма їх учнями – представниками Дніпропетровської школи теорії наближень. Зокрема С. М. Нікольський з допомогою доведеної ним теореми двоїстості визначив величину найкращого наближення тригонометричними поліномами в середньому класів . М. П. Корнійчук визначив найкращі наближення класів (щ – опуклий модуль неперервності) тригонометричними поліномами в рівномірній метриці та в середньому.

Багато досліджень присвячено знаходженню найкращих наближень різних класів в неперіодичному випадку. Відзначимо, що задачі про найкраще наближення класів функцій у неперіодичному випадку набагато складніші за їх періодичні аналоги. Тому у більшості випадків вдається отримати не точні значення найкращих наближень, а асимптотичні. Зазначимо, що навіть в тих випадках, коли відомим є точне значення величини найкращого наближення певного класу алгебричними поліномами, відповідна асимптотична оцінка не втрачає своєї цінності.

Так В. О. Кофановим у 1983 році була встановлена точна оцінка , де сплайн визначається рівністю

,

( – зрізана степенева функція ).

Проте не втратила своєї актуальності зроблена ще у 1947 році С. М. Нікольським асимптотично точна оцінка

,

( – стала Фавара ), оскільки поведінка рівномірних норм сплайнів при важко піддається безпосередньому дослідженню.

Знаходженню асимптотично точних оцінок найкращих наближень алгебричними поліномами в різних ситуаціях присвячена велика кількість робіт О. В. Моторної, В. П. Моторного і О. В. Моторної, а також інших авторів. Зокрема О. В. Моторна встановила асимптотично точні оцінки найкращих наближень алгебричними поліномами класів , в роботах В. П. Моторного і О. В. Моторної ця задача була розв’язана для класів при та класів .

В математичній літературі приділено дуже багато уваги задачі знаходження односторонніх наближень. Односторонні наближення класів тригонометричними поліномами в середньому були знайдені Ганеліусом, односторонні наближення тригонометричними поліномами в середньому класів – В. Г. Дороніним. В. Г. Дороніним та А. О. Лигуном були знайдені точні значення наближень класів при тригонометричними поліномами в середньому. В. Ф. Бабенко і А. О. Лигун отримали порядкові оцінки односторонніх наближень класів тригонометричними поліномами та сплайнами в метриці простору 2р-періодичних функцій.

В. Ф. Бабенко та В. О. Кофанов знайшли точні значення односторонніх наближень класів ( при r>1 ) алгебричними поліномами в середньому на відрізку, виразивши їх через рівномірні норми деяких моносплайнів , порядку r з n вузлами. Але задача безпосереднього знаходження норм цих моносплайнів поки що не розв’язана, тому актуальною є розв’язана в даній дисертаційній роботі задача асимптотично точної оцінки односторонніх наближень класів алгебричними поліномами в середньому.

Перейдемо до обґрунтування актуальності розв’язаних в цій роботі задач, які стосуються асимптотично точних оцінок односторонніх наближень з урахуванням місцезнаходження точки на відрізку.

Феномен залежності якості наближення функцій алгебричними поліномами від розташування точки на відрізку був встановлений у 1946 році С. М. Нікольським, який довів, що для будь-якої функції можна вказати послідовність алгебричних поліномів степеня, не вищого за n, таку, що при рівномірно відносно

.

О. П. Тіман показав, що для будь-якої функції можна вказати послідовність алгебричних поліномів степеня, не вищого за n, таку, що при рівномірно відносно

. (1)

В подальшому В. М. Тємляковим при r =1 та Р. М. Тригубом при всіх було показано, що для будь-якої функції та можна вказати алгебричний поліном степеня, не вищого за n, такий, що для всіх виконується нерівність

(2)

з залежною тільки від r сталою Cr.

М. П. Корнійчук та О. І. Половина довели, що для опуклого вгору модуля неперервності щ і довільної функції існує послідовність алгебричних поліномів степеня, не вищого за n, таких, що при рівномірно відносно

. (3)

Також ці автори довели, що для опуклого вгору модуля неперервності щ і довільної функції існує послідовність алгебричних поліномів степеня, не вищого за n, таких, що при рівномірно відносно

.

А. О. Лигун довів, що при довільному непарному r, для довільної функції існує послідовність алгебричних поліномів , таких, що при рівномірно відносно

. (4)

В. П. Моторний встановив, що при всіх цілих невід’ємних r для довільної функції , де – опуклий модуль неперервності, такий, що не зростає, існує послідовність алгебричних поліномів , ( при ), таких, що

. (5)

Пізніше В. П. Моторний отримав оцінку подібну до (5) з іншим залишковим членом: за тих же умов на модуль неперервності та функцію , за яких виконується оцінка (5), існує послідовність алгебричних поліномів , (при ), таких, що

. (6)

Односторонній аналог асимптотично точної оцінки (1) був отриманий В. Г. Дороніним та А. О. Лигуном, які довели, що для будь-якої функції ( r – натуральне число ) можна вказати послідовність алгебричних поліномів степеня, не вищого за n, таку, що при рівномірно відносно

. (7)

Ці ж автори встановили односторонній аналог оцінок (3), (4) : при r =0; 1; 3; 5;..., для всякої функції існує послідовність алгебричних поліномів , таких, що рівномірно відносно

,

де при r >0 та ( якщо –опукла функція, то ).

Але оцінка (2) краща за (1), а залишкові члени в оцінках (5), (6) кращі за залишкові члени в (3), (4) ( не кажучи вже про те, що оцінки (5), (6), на відміну від (3), (4), справедливі для всіх цілих невід’ємних r ). Тому актуальною є розв’язана в дисертаційній роботі задача знаходження односторонніх аналогів оцінок (2), (5), (6).

Зв’язок роботи з програмами, планами, темами. Робота проводилась згідно з загальним планом досліджень кафедри теорії функцій Дніпропетровського національного університету, в межах науково-дослідної теми: №108205 “Наближення функцій з обмеженнями і Гауса квадратурні формули”, номер державної реєстрації 0105U000358.

Мета і задачі дослідження. Метою роботи є дослідження найкращих односторонніх наближень алгебричними поліномами на відрізку. Об’єктом дослідження є класи заданих на відрізку функцій, при натуральному r та при цілому невід’ємному r. Предметом дослідження є асимптотично точні оцінки односторонніх наближень класів алгебричними поліномами в середньому, а також асимптотично точні оцінки односторонніх наближень функцій класів , з урахуванням розташування точки на відрізку.

Методи дослідження. В роботі використані сучасні методи теорії функцій, функціонального аналізу і теорії наближень, зокрема, методи дослідження екстремальних задач теорії наближення, які розроблені у працях О. В. Моторної, В. Ф. Бабенка і В. О. Кофанова, В. Г. Дороніна та А. О. Лигуна, а також Р. М. Тригуба.

Практичне значення роботи. Дисертація носить теоретичний характер. Отримані результати сприяють подальшому розвитку теорії наближення функцій і можуть бути використані для подальших досліджень у цій галузі, а також отримані у дисертації результати придатні для використання у навчальному процесі. Крім того, отримані результати можуть бути застосовані для оцінки похибок квадратурних формул.

Особистий внесок автора. Визначення напрямку досліджень і постановка задач належать науковому керівникові професору В. П. Моторному.

Теореми 2.1, 2.1? доведені здобувачем спільно з В. П. Моторним. Внесок співавторів у ці результати є рівноцінним.

Всі інші результати доведені здобувачем одноосібно.

Новизна результатів та їх наукова вартість. Результати роботи нові і становлять інтерес для теорії наближень з обмеженнями. Їхній зміст полягає в наступному:

– Знайдено асимптотичну рівність для найкращих односторонніх наближень класів функцій алгебричними поліномами в середньому.

– Знайдено асимптотичну рівність для найкращих односторонніх наближень класів функцій ( при r>1 ) алгебричними поліномами в середньому з вагою за деяких обмежень на вагову функцію.

– Поліпшено залишковий член в оцінці В. Г. Дороніна та А. О. Лигуна (7) найкращого одностороннього наближення функцій класів алгебричними поліномами з урахуванням місцезнаходження точки на відрізку.

– Отримані односторонні аналоги знайдених В. П. Моторним асимптотично точних оцінок (5), (6) наближення функцій класів алгебричними поліномами з урахуванням місцезнаходження точки на відрізку.

Апробація роботи. Результати роботи доповідались та обговорювались на:

– другій міжнародній конференції “Mathematical analysis and economics” (Суми, 2003);

– наукових семінарах з теорії функцій (Дніпропетровський національний університет, керівники наукового семінару: член-кор. НАН України, проф. Моторний В. П., проф. Бабенко В.Ф.).

Публікації. Основні результати дисертації представлені у працях [14], опублікованих у фахових виданнях, опубліковано також тези доповіді [5], що була представлена на науковій конференції.

Структура і обсяг роботи. Дисертація обсягом у 121 сторінку машинописного тексту складається з вступу, трьох розділів, висновків і списку використаних джерел, який містить 57 найменувань.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ ДИСЕРТАЦІЙНОЇ РОБОТИ

У вступі визначено об’єкт і предмет дослідження, обґрунтовано актуальність теми дисертації, сформульовані мета і задачі, охарактеризовано методи дослідження, його наукова новизна, теоретичне і практичне значення, прокоментовано повноту викладення матеріалу в наукових працях та його ступінь апробації, описано структуру дисертаційної роботи.

Перший розділ дисертаційної роботи носить допоміжний характер. В ньому наводиться огляд літератури, висвітлюються основні питання, які досліджуються за напрямком, відповідним до напрямку досліджень даної роботи. Складається перший розділ з трьох підрозділів. Підрозділ 1.1 присвячено огляду відомих результатів, які стосуються асимптотично точних оцінок наближень різноманітних класів диференційовних функцій алгебричними поліномами в середньому. У підрозділі 1.2 дано огляд відомих результатів у напрямку односторонніх наближень ( як в періодичному, так і в неперіодичному випадку ). У підрозділі 1.3 висвітлені відомі результати, які стосуються поточкового наближення функцій алгебричними поліномами з урахуванням розташування точки на відрізку.

Другий розділ присвячено отриманню результатів, пов’язаних з асимптотично точними оцінками найкращих односторонніх наближень класів алгебричними поліномами в середньому на відрізку.

Нагадаємо, що найкращі односторонні наближення функції f ( визначеної на відрізку [–1;1] ) зверху та знизу алгебричними поліномами в середньому визначаються як

,

,

де Pn–множина всіх поліномів степеня, не вищого за n.

Якщо Z – деякий клас, що складається з заданих на відрізку [–1;1] функцій, то величини

, ,

називаються відповідно найкращим наближенням зверху і найкращим наближенням знизу класу Z.

Головним результатом другого розділу є:

Теорема 2.1 Для кожного цілого додатного r має місце асмптотично точна рівність

,

де Br – ядро Бернуллі:

,

а стала, яка визначає залишковий член , залежить тільки від r.

В якості узагальнення цієї теореми отримана асимптотично точна оцінка найкращих односторонніх наближень класів алгебричними поліномами в середньому з вагою.

Нехай с(x) – додатна, вимірна на відрізку [–1;1] функція, яку ми будемо називати ваговою функцією.

Величина

називається найкращим наближенням зверху функції f в середньому алгебричними поліномами з вагою с.

Відповідно величина

називається найкращим наближенням знизу функції f в середньому алгебричними поліномами з вагою с.

Так само, як і у випадку сталої ваги, визначаються найкращі односторонні наближення в середньому з вагою класу Z:

, .

Наступна теорема узагальнює теорему 2.1 на випадок односторонніх наближень в середньому з вагою.

Теорема 2.1' Якщо вагова функція при всякому х з відрізку [–1;1] задовольняє умові , де , а , то для довільного цілого r>1 мають місце асимптотично точні рівності

,

причому стала, яка визначає залишковий член , залежить тільки від r.

Складається другий розділ з семи підрозділів. В підрозділі 2.1 наведені формулювання основних результатів розділу 2 – теорем 2.1 та 2.1'. Різним етапам доведення теореми 2.1 присвячені підрозділ 2.2 – підрозділ 2.5.

Зокрема в підрозділі 2.2 задача оцінки найкращих односторонніх наближень класів в середньому алгебричними поліномами зведена, з допомогою встановленої В. Ф. Бабенком та В. О. Кофановим рівності

, (8)

до задачі асимптотично точної оцінки найкращих односторонніх наближень зрізаних степеневих функцій. Подальші дослідження стосуються односторонніх наближень в середньому алгебричними поліномами функції . Далі в цьому підрозділі були встановлені, з допомогою тригонометричної заміни, наступні нерівності

, (9)

. (10)

Таким чином, задача оцінки односторонніх наближень в середньому алгебричними поліномами зрізаних степеневих функцій зведена до оцінки односторонніх наближень тригонометричними поліномами в середньому 2р-періодичних функцій , .

Далі, з допомогою встановлених О. В. Моторною при дослідженні найкращих наближень в середньому алгебричними поліномами класів властивостей функцій , а також півадитивності функціоналів найкращих односторонніх наближень були доведені нерівності

, (11)

, (12)

де 2р-періодична функція , величина , а стала Сr залежить тільки від r.

Під класом ( r – натуральне число ) ми будемо розуміти клас 2р-періо-дичних функцій f, у яких r–1-ша похідна абсолютно неперервна на відрізку [0;2р], а варіація r-тої похідної .

При доведенні останніх нерівностей значну роль відіграла, також, наступна, доведена в підрозділі 2.2 дисертаційної роботи лема.

Лема 2.1 Для кожної функції справджуються нерівності

,

,

де Сr – стала, що залежить тільки від r.

Доведення цієї леми спирається на встановлені Ганеліусом точні оцінки наближень класів тригонометричними поліномами в середньому та на властивості функцій Стєклова.

З нерівностей (11), (12) видно, що для оцінки односторонніх наближень зрізаних степеневих функцій алгебричними поліномами в середньому потрібно дослідити односторонні наближення функцій в середньому тригонометричними поліномами. Цьому присвячений підрозділ 2.3.

Оцінку зверху односторонніх наближень функцій в середньому тригонометричними поліномами дає наступна лема.

Лема 2.2 Для довільного і будь якого натурального r справедливі наступні оцінки:

, (13)

. (14)

При доведенні цієї леми найкращі односторонні наближення функцій були оцінені зверху відхиленням цих функцій в середньому від тригонометричних поліномів , , які визначаються рівностями

при парному r та

при непарному r, де – поліноми найкращого одностороннього наближення ядер Бернуллі зверху та знизу.

В силу нелінійності функціоналів найкращих односторонніх наближень ми не можемо, взагалі кажучи, стверджувати, що в нерівностях (13), (14) при всіх можна поставити знак рівності. Але при деяких значеннях и поставити знак рівності в (13), (14) все-таки можна.

Лема 2.3 Для всіх натуральних r

,

.

( Точки , де , а при r>1 – точка, що вибирається з умови . Точки , , де , а при r>1 – точка, що вибирається з умови . )

З нерівностей (11), (12) видно, що для оцінки знизу найкращих односторонніх наближень зрізаних степеневих функцій алгебричними поліномами в середньому слід оцінити найкращі односторонні наближення тригонометричними поліномами функцій . Цьому питанню присвячено підрозділ 2.4. Головними результатами цього підрозділу є наступні леми.

Лема 2.5 Нехай істотно обмежена 2р-періодична функція g(t), ортогональна всім тригонометричним поліномам степеня, не вищого за n–1, майже скрізь задовольняє нерівності . Тоді для довільної обмеженої функції x(t)

.

Ця ж нерівність виконується для всіх істотно обмежених функцій x(t) в тому випадку, якщо ортогональна всім тригонометричним поліномам степеня, не вищого за n–1, функція g(t) майже скрізь задовольняє нерівності .

Лема 2.6 Для всіх натуральних r і довільного функція

( з деякою сталою К, залежною тільки від r ).

Лема 2.7 Для всіх натуральних r і довільного виконані наступні дві нерівності

,

.

Зауваження Тут і далі під Сr ми завжди будемо розуміти невід’ємну сталу, яка залежить тільки від r. Конкретне значення цієї сталої в різних місцях може бути різним.

Лема 2.5 доведена з допомогою теореми двоїстості для найкращих односторонніх наближень.

Доведення леми 2.6 базується на тому факті, що r–1-ша похідна функції абсолютно неперервна, а її r-та похідна має обмежену варіацію.

Лема 2.7 доведена з допомогою двох попередніх лем, а також теореми двоїстості для найкращих односторонніх наближень.

В лемі 2.3 були знайдені точки , , k =0;1;…;n–1, для яких відомі точні значення величин , . Ми будемо вважати в подальшому, що вузли , відповідають натуральному числу n+2 ( тобто , ). З лем 2.3 та 2.7 випливають наступні дві нерівності

, (15)

. (16)

В підрозділі 2.5 всі вищенаведені факти були застосовані безпосередньо до отримання теореми 2.1. Для доведення цієї теореми необхідно встановити дві оцінки: оцінку зверху

та оцінку знизу

.

Оцінка зверху безпосередньо випливає зі співвідношень (8) – (14) та доведених Ганеліусом рівностей

,

.

Для оцінки знизу була, також, використана лема 2.3 та оцінки (15), (16). При цьому вузли обирались таким чином, щоб відстань від до точки була мінімальною.

Теорема 2.1' доведена в підрозділі 2.6. При цьому були широко застосовані властивості несиметричних наближень та їх зв’язок з односторонніми наближеннями. Спочатку в підрозділі 2.6 була доведена рівність

. (17)

Тут – найкраще (б,в)-наближення функції в середньому з вагою с (б, в – довільні додатні числа). Найкраще (б,в)-наближення сумовної функції f в середньому з вагою с визначається як

,

де Pn – множина алгебричних поліномів степеня, не вищого за n, а додатна і від’ємна частини різниці функції і полінома визначаються з допомогою рівностей

.

Найкраще (б,в)-наближення класу в середньому з вагою с визначається звичайним чином

.

Зазначимо, що у випадку сталої вагової функції рівність (17) доведена у праці В. Ф. Бабенка та В. О. Кофанова. Зроблене в дисертаційній роботі доведення рівності (17) в загальному випадку довільної сумовної вагової функції аналогічне доведенню, виконаному В. Ф. Бабенком та В. О. Кофановим.

З рівності (17) з допомогою граничного переходу можна отримати наступний аналог рівності (8)

, (18)

справедливий при всіх цілих r>1 ( при r =1 не виконуються умови, які дозволяють обґрунтувати згаданий граничний перехід).

Зробивши тригонометричну заміну та врахувавши умови, які були накладені в умові теореми 2.1' на вагову функцію с, ми можемо отримати нерівності

, (19)

. (20)

Співвідношення (18) – (20) разом зі зробленими при доведенні теореми 2.1 оцінками односторонніх наближень функцій , три гонометричними поліномами в середньому автоматично дають нам твердження теореми 2.1'.

В підрозділі 2.7 наведено застосування основних результатів розділу 2 до оцінки похибки квадратурної формули Гауса. Відомо, що для довільної невід’ємної су-мовної вагової функції с(t) існують вузли і додатні коефіцієнти , такі, що квадратурна формула

точна ( з вагою с ) на всіх алгебричних поліномах степеня, не вищого за 2n–1. Тоді похибка цієї квадратурної формули на класі ( при r>1) не перевищує

.

У випадку сталої ваги ця оцінка справедлива і при r=1.

Третій розділ присвячено отриманню асимптотично точних оцінок для найкращих односторонніх наближень алгебричними поліномами з урахуванням розташування точки на відрізку. Основними результатами цього розділу є наступні дві теореми.

Теорема 3.1 Для всякої функції і довільного існує алгебричний поліном степеня, не вищого за n, який задовольняє нерівностям

для всіх точок х з відрізка [–1;1].

Теорема 3.2 Нехай щ(t) довільний опуклий модуль неперервності, для якого не спадає, r – ціле невід’ємне число. Тоді для довільної функції існує послідовність алгебричних поліномів , степеня (при ), таких, що для всіх точок х з відрізка [–1;1] виконуються нерівності:

(21)

для r парного і

(22)

для r непарного.

Складається третій розділ з трьох підрозділів.

В підрозділі 3.1 наведено формулювання теорем 3.1, 3.2, а також обґрунтовано їх асимптотичну точність.

Асимптотична точність теореми 3.1 полягає в тому, що для будь якої константи , якою б не була додатна стала Сr, існує функція , така, що жодна послідовність поліномів не забезпечує виконання нерівностей

одночасно при всіх і всіх .

Асимптотична точність теореми 3.2 полягає в тому, що головний член в (21), (22) не можна замінити для всіх модулів неперервності на вираз вигляду з додатною сталою , меншою за .

Підрозділ 3.2 присвячено доведенню теореми 3.1. При непарному r теорема доведена шляхом додавання до поліному Pn,r(x), який задовольняє (2), деякого алгебричного поліному. При парному r теорема доведена за допомогою результатів Р. М. Тригуба, сформульованих у дисертації у вигляді теореми А і теореми В, а також леми 3.1, доведення якої спирається на теорему В.

Теорема А. Довільна функція , яка задовольняє умовам при може бути представлена у вигляді

,

де g0 дорівнює ( з точністю до знака) r-й, рівній в середньому нулю на відрізку [0;2р] 2р-періодичній первісній функції , а (г залежить тільки від r).

Теорема В. Нехай на відрізку [0;2р] задана деяка система різних вузлів , причому m парне число, , f – довільна 2р-періодична неперервно диференційовна функція. Тоді для всякого існує тригонометричний поліном степеня, не вищого за n, такий, що для всіх s=1; 2;…;m виконується нерівність

,

де , а - значення модуля гладкості k- го порядку функції g.

Лема 3.1 Нехай r – натуральне число, непарна 2р- періодична функція . Тоді для кожного n існує непарний тригонометричний поліном степеня, не вищого за n, такий, що для всіх

.

Підрозділ 3.3 присвячено доведенню теореми 3.2. Доведена теорема 3.2 шляхом додавання до поліному Pn,r(x), який задовольняє (6), деякого алгебричного поліному. При цьому були використані наступні, доведені в підрозділі 3.3 леми.

Лема 3.2 Для довільного натурального числа r і будь-якого n?2r існує алгебричний поліном степеня, не вищого за n, який задовольняє нерівностям

.

Лема 3.3 Нехай б – довільна стала. Тоді для довільного натурального n існують алгебричні поліноми , степеня, не вищого за n, які задовольняють нерівностям

,

.

ВИСНОВКИ

Дисертація присвячена задачам отримання асимптотично точних оцінок односторонніх наближень алгебричними поліномами на відрізку [–1;1]. В роботі:

1. Зроблені асимптотично точні оцінки найкращих односторонніх наближень класів алгебричними поліномами в середньому.

2. Знайдені асимптотично точні оцінки найкращих односторонніх наближень класів ( при r>1 ) алгебричними поліномами в середньому з вагою за певних обмежень на вагову функцію. Величина головного члена цих асимптотичних оцінок співпадає з величиною головного члена в оцінці .

3. Поліпшено залишковий член в оцінці В. Г. Дороніна та А. О. Лигуна найкращого одностороннього наближення функцій класів алгебричними поліномами з урахуванням місцезнаходження точки на відрізку.

4. Доведені односторонні аналоги отриманих В. П. Моторним асимптотично точних оцінок наближення функцій класів алгебричними поліномами з урахуванням місцезнаходження точки на відрізку.

Користуючись нагодою, висловлюю щиру вдячність моєму науковому керівникові професору Віталію Павловичу Моторному за увагу, корисні поради та допомогу.

Основні результати дисертації опубліковані в роботах:

1.

2.

3.

4.

5.

АНОТАЦІЇ

Пасько А. М. Односторонні наближення функцій алгебричними поліномами. Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.01 – математичний аналіз. Дніпропетровський національний університет, Дніпропетровськ, 2006.

Дисертація присвячена дослідженню асимптотично точних оцінок найкращих односторонніх наближень заданих на відрізку [–1;1] функцій алгебричними поліномами.

В роботі знайдені асимптотично точні оцінки найкращих односторонніх наближень алгебричними поліномами в середньому класів при довільному натуральному r, а також асимптотично точні оцінки найкращих односторонніх наближень цих класів (при r>1 ) алгебричними поліномами в середньому з вагою ( за певних умов на вагову функцію). Отриманий результат застосовано для отримання оцінки похибки на класі квадратурної формули Гауса.

В роботі поліпшено залишковий член в зробленій В. Г. Дороніним та А. О. Лигуном асимптотично точній оцінці найкращих односторонніх наближень функцій класів алгебричними поліномами з урахуванням місцезнаходження точки на відрізку. Залишковий член в отриманій у роботі оцінці співпадає з залишковим членом в зробленій Р. М. Тригубом оцінці найкращих наближень функцій класів алгебричними поліномами з урахуванням місцезнаходження точки на відрізку ( яка, в свою чергу, теж є покращенням у залишковому члені оцінки, зробленої О. П. Тіманом ).

Також в роботі отримано односторонній аналог зробленої В П. Моторним оцінки найкращих наближень класів .

Ключові слова: асимптотично точна оцінка, найкраще наближення, найкраще одностороннє наближення, алгебричний поліном, місцезнаходження точки на відрізку.

Пасько А. Н. Односторонние приближения функций алгебраическими полиномами. – Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.01 – математический анализ. Днепропетровский национальный университет, Днепропетровск, 2006.

Диссертация посвящена получению асимптотически точных оценок наилучших односторонних приближений заданных на отрезке функций различных классов алгебраическими полиномами. Рассмотрены классы функций , , .

В работе получены асимптотически точные оценки наилучших односторонних приближений классов при целом положительном r алгебраическими полиномами в среднем на отрезке [–1;1]. При этом была использована установленная В. Ф. Бабенко и В. А. Кофановым связь между наилучшими односторонними приближениями классов и наилучшими односторонними приближениями усечённых степенных функций. С помощью этой связи задача получения асимптотически точных оценок наилучших односторонних приближений классов алгебраическими полиномами в среднем была сведена к задаче оценки наилучших односторонних приближений в среднем на периоде некоторых 2р-периодических функций тригонометрическими полиномами.

В качестве обобщения вышеупомянутого результата в работе получены асимптотически точные оценки наилучших односторонних приближений классов ( при r>1 ) алгебраическими полиномами в среднем с весом при определённых условиях, наложенных на весовую функцию. Для этого была использована полученная в данной работе связь между наилучшими односторонними приближениями в среднем с весом классов алгебраическими полиномами и наилучшими односторонними приближениями в среднем с тем же весом усеченных степенных функций. Эта связь была установлена с помощью доказанной В. Ф. Бабенко теоремы двойственности для наилучших несимметричных приближений. Полученные результаты применены для оценки погрешности на классах квадратурной формулы Гаусса.

В работе улучшен остаточный член в сделанной В. Г. Дорониным и А. А. Лигуном оценке наилучших односторонних приближений функций класса алгебраическими полиномами с учётом положения точки на отрезке. Остаточный член оценки, полученной в диссертационной работе, совпадает с полученным Р. М. Тригубом остаточным членом оценки наилучших приближений функций класса с учётом положения точки на отрезке. ( Последняя, в свою очередь, является улучшением в остаточном члене оценки, сделанной А. Ф. Тиманом. ) При доказательстве были использованы некоторые, установленные Р. М. Тригубом свойства функций класса , подчиненных определенным интерполяционным условиям на концах отрезка, а также доказанные Р. М. Тригубом факты относительно кусочно-односторонней аппроксимации 2р-периодических функций тригонометрическими полиномами.

Получен также односторонний аналог доказанной В. П. Моторным оценки наилучших приближений функций классов алгебраическими полиномами с учётом положения точки на отрезке. Метод получения вышеупомянутого одностороннего аналога разработан путём развития методов, использованных в работе В. Г. Доронина и А. А. Лигуна.

Ключевые слова: асимптотически точная оценка, наилучшее приближение, наилучшее одностороннее приближение, алгебраический полином, остаточный член, положение точки на отрезке.

Pasko A. M. One-sided approximations to the functions by algebraic polynomials. Manuscript.

Thesis for candidate degree in Physics and Mathematics speciality 01.01.01 – mathematical analysis. Dnepropetrovsk National University, Dnepropetrovsk, 2006.

The thesis is devoted to a research of the tasks of the asymptotic estimations of the best one-sided approximations by algebraic polynomials to the various classes, which consist of the functions defined on the segment [–1;1].

In the thesis the asymptotic estimations of the best one-sided approximations by algebraic polynomials to the classes in mean were established. Also the best one-sided weighted approximations by algebraic polynomials to the classes in mean, with weight function satisfying certain conditions, were established. This results were applied to estimating of the error of Gaussian quadrature on the class .

In the thesis the remainder of the asymptotic estimation of the best one-sided approximation to the functions of the class by algebraic polynomials taking into account the location of the point on the segment established by V. G. Doronin and A. A. Ligun was improved. The remainder of the estimation established in the task is equal to the remainder of the asymptotic estimation of the best approximation to the functions of the class by algebraic polynomials taking into account the location of the point on the segment found by R. M. Trigub. ( The last one is an improvement of the asymptotic estimation proved by A. F. Timan.)

Also in the thesis the one-sided analogue of the asymptotic estimation of the best approximation to the functions of the class by algebraic polynomials taking into account the location of the point on the segment found by V. P. Motornyi was received.

Key words: asymptotic estimation, best approximation, best one-sided approximation, algebraic polynomial, location of the point on the segment.

Підписано до друку 12.01.07. Формат 6090/16.

Папір друкарський. Друк плоский. Гарнітура Times New Roman Cyr.

Умов. друк. арк. 1. Тираж 100 прим. Замовлення № 193

49050, м. Дніпропетровськ50, вул. Наукова, 5

Друкарня ДНУ