Міністерство освіти і науки України

Львівський національний університет імені Івана Франка

Павлик Катерина Пилипівна

УДК 512.536

ТОПОЛОГІЧНІ НАПІВГРУПИ МАТРИЧНИХ ОДИНИЦЬ І –РОЗШИРЕННЯ БРАНДТА ТОПОЛОГІЧНИХ НАПІВГРУП

01.01.06 – алгебра і теорія чисел

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Львів – 2007

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана у відділі алгебри Інституту прикладних проблем механіки і ма-те-ма-тики ім. Я. С. Підстригача Національної академії наук України.

Науковий керівник: кандидат фізико-математичних наук,

старший науковий співробітник

Гутік Олег Володимирович,

доцент кафедри геометрії і топології

Львівського національного університету імені Івана Франка.

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор

Протасов Ігор Володимирович,

провідний науковий співробітник кафедри дослідження операцій

Київського національного університету імені Тараса Шевченка;

доктор фізико-математичних наук, професор

Андрійчук Василь Іванович,

професор кафедри алгебри і логіки

Львівського національного університету імені Івана Франка.

Провідна установа: Інститут математики НАН України, м. Київ.

Захист відбудеться “ 19 ” квітня 2007 року о 15.30 год. на засіданні спеці-алізованої вче-ної ради К 35.051.07 у Львівському національному університеті іме-ні Івана Фран-ка за адресою: 79000, м. Львів, вул. Університетська, 1, ауд. 377.

З дисертацією можна ознайомитись у Науковій бібліотеці Львівського наці-о-наль-но-го університету імені Івана Франка за адресою: м. Львів, вул. Драгоманова, 5.

Автореферат розісланий “ 14 ” березня 2007 року.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради Остудін Б. А.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Витоки теорії топологічних напівгруп сягають робіт 50-х ро-ків А. Д. Уоллеса, Ш. Шварца, К. Нумакури, Р. Коха і стосуються в ос-нов-но-му до-слід-ження структури компактних топологічних напівгруп.

Одне з центральних місць в теорії напівгруп і теорії то-по-ло-гіч-них на-півгруп займає бі-цик-ліч-на напівгрупа, тобто напівгрупа породжена двома еле-мен-та-ми і, для яких виконується спів-відношення. Ще в часи ста-нов-лення ал-геб-ра-їч-ної теорії напівгруп О. Андерсен Andersen Ein Bericht ьber die Struktur abstrakter Halbgruppen: PhD Thesis. – Hamburg, 1952. довів, що (-) проста на-пів-гру-па є ціл-ком (-) прос-тою тоді й лише тоді, коли вона не містить біциклічну на-пів-групу. Викорис-товуючи біциклічні розширення напівгруп, у 1958 р. Р. Брак по-ка-зав, що кож-на на-півгрупа ізоморфно за-ну-рюється у просту напівгрупу і в 1960 р. Н. Рейлі опи-сав струк-туру біпростих та простих -регулярних на-пів-груп. Л. Ан-дерсон, Р. Гантер і Р. Кох AndersonHunterKoch Some results on stability in semigroups// Trans. Amer. Math. Soc. – 1965. – Vol. 117, № . – P. . показали, що біциклічна напівгрупа не занурюється у ста-біль-ну, а от-же і у ком-пактну топологічну напівгрупу. К. Еберхарт і Дж. Сел-ден EberhartSelden On the closure of the bicyclic semigroup// Trans. Amer. Math. Soc. – 1969. – Vol. 119. – P. . до-ве-ли, що на бі-цик-лічній напівгрупі іс-нує лише дискретна на-пів-групова га-ус-дор-фова топологія та опи-сали замикання біциклічної на-пів-гру-пи, як під-на-пів-гру-пи локально ком-пак-тної то-по-логічної інверсної напівгрупи. М. Бертман і Т. Вест BertmanWest Conditionally compact bicyclic semitopological semigroups// Proc. Roy. Irish Acad. – 1976. – Vol. A76: 21-23. – P. 219-226. по-ка-за-ли, що на біцик-лічній напівгрупі, як на напів-то-пологічній існує ли-ше дискретна гаус-дор-фова то-пологія. Певним “орто-го-наль-ним” аналогом бі-цик-лічної напівгрупи є не-скін-чен-на напівгрупа матричних оди-ниць. Тому при-род-но ви-ни-кає питання: чи не-скін-чен-на на-півгрупа матричних оди-ниць має по-діб-ні топологічні властивості до бі-цик-ліч-ної на-півгрупи?

У 20-их роках XX-го століття П. С. Александров та П. С. Урисон ввели по-нят-тя -замкненого простору і вка-за-ли критерій -замкненості топологічних прос-то-рів. Гаусдорфовий топологічний простір на-зи-ва-ється _замкненим, як-що він зам-кне-ний у кожному гаусдорфовому просторі, що містить його як під-прос-тір. Пи-тання про те, коли тополого-алгебраїчний об’єкт–замкнений є кла-сич-ним в то-по-ло-гіч-ній алгебрі. У 1946 р. Д. А. Райков Райков Д. А. О полноте топологических групп// Изв. Акад. Наук СCСР. – 1946. – Т. 10. – С. 513-528. вказав необхідні та достатні умо-ви -зам-кне-нос-ті топологічних груп. У 1969 р. Дж. Степп Stepp A note on maximal locally compact semigroups// Proc. Amer. Math. Soc. – 1969. – Vol. 20, №1. – P. . показав, що кож-на ло-каль-но компактна то-по-ло-гічна на-пів-гру-па є щіль-ною піднапівгрупою де-я-кої -зам-кне-ної топологічної на-півгрупи, а в 2003 р. О. Рав-ський Ravsky On -closed paratopological groups// Вісник Львів. Ун-ту, Серія мех.-мат. – 2003. – Т. 61. – С. . вказав дос-тат-ні умо-ви, коли ко-мутативна то-по-логічна група є -зам-кне-ною в класі пара-топологічних груп.

У 1940 р. М. Катетов Katetov. Ьber -abgeschlossene und bikompakte Raume// Иasopis Pest. Mat. Fys. – 1940. – Band. 69. – S. 36-49. показав, що неперервний образ -замкненого то-по-ло-гіч-но-го простору є -зам-кне-ним простором, тобто ко-жен -замкнений прос-тір є аб-со-лютно -замкненим. У категоріях топологічних груп, то-пологічних ін-вер-сних на-півгруп та топологічних напівгруп існують -замкнені не абсолютно -зам-кне-ні об’єк-ти. Питання про те, ко-ли топологічна група є абсолютно -зам-кне-ною не роз-в’язане повністю. У 1998 р. Д. Дікранян та В. Ус-пенський DikranjanUspenskij Categorically compact topological groups// J. Pure Appl. Algebra. _ 1998. _Vol. 126. _P. . по-ка-за-ли, що аб-со-лют-на -замкненість в класі топологічних груп збе-рігається де-кар-то-ви-ми до-бут-ка-ми та зам-кне-ними центральними підгрупами. Дж. Степп Stepp Algebraic maximal semilattices// Pacific J. Math. – 1975. – Vol. 58, № . – P. . знай-шов кри-те-рій аб-со-лют-ної -замкненості дискретних напівгра-ток і поставив проб-лему “чи кож-на -зам-кнена топологічна напівгратка є абсолютно -зам-кне-ною?”, від-по-відь на яку за-ли-шається відкритою до цього часу.

Оскільки критерію -замкненості чи абсолютної -замкненості то-по-ло-гіч-них напівгруп не знайдено, то актуальним є відшукання тополого-алгебраїчних роз-ши-ре-нь то-по-ло-гічних напівгруп, які збе-рігають -зам-кне-ніс-ть та аб-со-лют-ну -зам-кненість.

Отримані у дисертації результати тісно пов’язані ще з однією задачею. Пи-тан-ня про те, коли фактор-напівгрупа Ріса топологічної напівгрупи по зам-кне-но-му іде-алу є то-по-ло-гіч-ною напівгрупою розглядалось багатьма спеціалістами в те-о-рії то-по-логічних напівгруп. Так, зокрема, А. Д. Уол-лес Wallace The structure of topological semigroups// Bull. Amer. Math. Soc. – 1955. – Vol. 61. – P. . показав, що фактор-на-пів-гру-па Рі-са компактної топологічної напівгрупи по замкненому ідеалу є то-по-ло-гіч-ною на-пів-гру-пою. У 1971 р. Дж. Лоусон та В. Медісон LawsonMadison On congruences and cone// Math. Z. – 1971. – Vol. 120. – P. . узагальнили ре-зуль-тат Уол-леса на ло-каль-но ком-пактні -компактні топологічні напівгрупи. О. Гутік за-у-ва-жив, що фак-тор-напівгрупа Ріса то-по-ло-гічної напівгрупи по ком-пак-тному іде-а-лу є та-кож то-по-логічною напівгрупою. У 2005 р. О. Гринів Hryniv Quotient topologies on topological semilattices// Mat. Studii. – 2005. – Vol. 23, № . – P. . по-ка-за-ла, що ре-зуль-тат Ло-у-со-на-Ме-ді-сона не поширюється на локально компактні то-пологічні на-пів-гру-пи. При-род-но ви-ни-кає питання: чи фактор-напівгрупа Ріса аб-солютно -зам-кне-ної то-по-ло-гіч-ної на-півгрупи по абсолютно -замкненому іде-алу є то-по-ло-гіч-ною напівгрупою?

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Тематика ди-сер-таційної роботи пов’язана з тематикою наукових досліджень кафедри ге-о-мет-рії та топології механіко-математичного факультету Львів-сько-го на-ці-о-наль-но-го уні-вер-си-тету імені Івана Франка та відділу алгебри Інституту прикладних проб-лем ме-ха-ні-ки і ма-те-ма-тики ім. Я. С. Підстригача Національної академії наук Ук-ра-їни. Ре-зуль-та-ти дисертації час-тково ви-ко-ристані при виконанні завдань держ-бюд-жет-ної теми № U000127 “Ал-гебраїчні та комбінаторні методи в мат-рич-них кіль-цях, скін-чен-но-па-ра-мет-ричних групах Лі та топологічних на-пів-гру-пах”.

Мета і завдання дослідження. У зв’язку з вищезгаданими задачами ви-ник-ла не-обхідність вивчення алге-браїчних і топологічних властивостей на-пів-гру-пи мат-рич-них одиниць та топологічних -роз-ширень Брандта.

Об’єктом дослідження є алгебраїчно-топологічні структури: на-пів-гру-па мат-рич-них одиниць та то-по-ло-гіч-ні -розширення Брандта топологічних напівгруп, а пред-метом до-сліджень – їх алгебраїчні та топологічні властивості, струк-тура та то-по-логізації.

Метою дисертаційної роботи є: побудова ком-пактних та зліченно компактних то-пологій на нескінченній на-півгрупі мат-рич-них одиниць, що пе-ре-тво-рю-ють її у на-пів-топологічну напівгрупу; дослідження існування то-по-логічних за-ну-рень не-скін-чен-них топологічних на-пів-груп матричних одиниць у компактні то-по-ло-гіч-ні на-пів-гру-пи; побудова мі-ні-мальних (інверсних) напівгрупових то-по-ло-гій на на-пів-групі мат-ричних одиниць; описання струк-тури компактних -прос-тих топо-ло-гіч-них ін-вер-сних на-півгруп; описання будови компактифікацій Бора не-скін-чен-них то-по-ло-гіч-них на-пів-груп матричних одиниць та топологічних -роз-ширень Бранд-та то-по-ло-гіч-них на-пів-груп; вивчення збереження (абсолютної) -зам-кне-нос-ті то-по-ло-гіч-ни-ми -роз-ши-реннями Брандта то-по-ло-гічних на-пів-груп; побудова прик-ладу абсолютно -замкненої то-пологічної на-пів-гру-пи з аб-солютно -замкне-ним ідеалом таких, що фак-тор-напівгрупа Рі-са не є то-пологічною напівгру-пою.

Наукова новизна отриманих результатів. Усі отримані результати є но-ви-ми. У дисертаційній роботі:

1. Описано усі псевдо-компактні топології на нескінченній напівгрупі мат-рич-них одиниць, що пе-ре-тво-рю-ють її у на-пів-то-пологічну напівгрупу. Доведено, що на не-скінченній напівгрупі матричних одиниць не іс-нує напівгрупової то-по-логії , та-кої, що занурюється у ком-пактну то-по-логічну напівгрупу. До-ве-дено, що не-скінченна напівгрупа матричних одиниць є алгебраїчно -зам-кне-ною в класі то-по-логічних ін-вер-сних на-пів-груп. Побудовано напівгрупові аб-со-лют-но -зам-кне-ні мі-німальні та мінімальні інверсні га-ус-дор-фо-ві то-по-ло-гії на не-скін-чен-ній на-пів-гру-пі мат-рич-них одиниць.

2. Доведено, що топологічна інверсна напівгрупа є (абсолютно) -зам-кне-ною в класі топологічних ін-версних напівгруп тоді і тільки тоді, коли до-віль-не її то-по-логічне _розширення Брандта в класі то-по-ло-гіч-них інверсних напів-груп є (аб-со-лют-но) -замкненою напівгрупою. Для довільного нес-кін-чен-ного кар-ди-на-ла по-бу-довано на-пів-гру-пові то-по-логії на _розширеннях Брандта то-пологічних на-пів-груп, що зберігають -зам-кненість та аб-со-лют-ну -зам-кне-ність.

3. Описано структуру компактних -простих топологічних інверсних напів-груп. Описані ком-па-кти-фі-ка-ції Бора нескінченних напівгруп матричних одиниць та то-пологічних _розширень Брандта топологічних на-пів-груп для нескінченного кар-ди-нала .

4. Побудовано приклад зліченної абсолютно -замкненої метризовної ін-вер-сної то-по-ло-гічної напівгрупи з абсолютно -замкненим ідеалом такої, що фак-тор-на-пів-група Ріса не є то-пологічною напівгрупою.

Практичне значення отриманих результатів. Робота має теоретич-ний ха-рак-тер. Отримані ре-зуль-та-ти та розвинуті у ній методи можна застосувати для по-даль-ших досліджень у топологічній алгебрі та фун-кці-о-нальному аналізі. Мате-рі-а-ли дисертації можуть бути використані при читанні спеціальних курсів у Львів-сько-му національному університеті та Київському національному уні-вер-си-теті.

Особистий внесок здобувача. Усі наукові результати, які входять у ди-сер-та-цію, отримані здобувачем са-мос-тійно. Деякі з результатів опубліковані у спів-ав-тор-стві з О. В. Гутіком. З цих публікацій у дисертацію внесено лише ре-зуль-та-ти, отримані автором самостійно. У спільній статті [1] О. В. Гутіку належать пос-та-нов-ка за-дач, обго-во-рен-ня та ана-ліз отриманих ре-зуль-та-тів У роботі [2] ав-то-ру на-ле-жать леми 6, 8, твер-джен-ня 3, 5, 7, 9, 11, те-о-ре-ми 10, 12, 14, 16, 17, прик-лад 15 та наслідки 4, 13. У робо-ті [4] автору не належать твер-дження 1, тео-ре-ма 2 та нас-лі-док 3. У ро-боті [5] автору не належать твер-дження 1, теореми 1, 12, та прик-лад 1.

Апробація результатів дисертації. Результати отримані в дисертаційній ро-бо-ті доповідалися та об-го-вор-ювалися на Третій міжнародній алгебраїчній кон-фе-рен-ції в Україні (Суми, 2001); на International Algebraic Conference in Ukraine (Оде-са, 2005); на Summer School on General Algebra and Ordered Sets (Radejov, Czech Re, 2006); на III Sympozjum matematycznych i Informa-tycz-nych Kуl Nau-kowych. To-po-logia (Krakow, Poland, 2006); на Другій літній школі з ал-гебри і то-пології (До-ли-на, 2004); на Тре-тій літній школі з алгебри, аналізу і то-по-логії (Ко-зьо-ва, 2005); на XVII відкритій науково-технічній кон-фе-рен-ції мо-ло-дих науковців і спе-ціалістів фі-зи-ко-механічного інституту ім. Г. В. Карпенка НАН України (Львів, 2001); на Кон-фе-ренції молодих учених із сучасних проб-лем механіки і ма-те-матики ім. акад. Я. С. Під-стригача (Львів, 2005); на семінарі “То-пологія і зас-то-су-вання” у Львів-сько-му на-ціональному університеті імені Івана Фран-ка (Львів, 2001); на Львівському місь-кому ал-гебраїчному семінарі (Львів, 2003, 2004, 2006); на се-мінарі від-ділу ал-геб-ри Інституту прик-ладних проблем ме-ха-ні-ки і ма-тематики ім. Я. С. Під-стригача НАН України (Львів, 2003, 2004, 2005, 2006); на математичному се-мінарі Інституту прик-ладних проблем ме-ха-ніки і ма-те-ма-ти-ки ім. Я. С. Підстригача НАН України (Львів, 2006).

Публікації. Результати дисертації опубліковані у 13 роботах [1 - 13], з яких 5 ста-тей у виданнях з переліку затвердженого ВАК України.

Структура і об’єм дисертації. Дисертація складається з вступу, трьох роз-ді-лів, висновків та списку літератури. Повний обсяг роботи – 117 сторінок. Спи-сок ви-ко-ристаної літератури займає 11 сторінок і містить 121 найменування.

Автор висловлює щиру подяку науковому керівнику кандидату фізико-ма-те-ма-тичних наук, старшому науковому співробітнику, доценту кафедри гео-мет-рії і то-по-логії Львівського національного університету імені Івана Франка, Олегу Во-ло-димировичу Гутіку за постановку задач і допомогу у роботі над ди-сер-та-цією.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ ДИСЕРТАЦІЇ

Коротко охарактеризуємо зміст роботи.

У вступі обґрунтована актуальність дисертаційного дослідження, визначена ме-та і об’єкти дослідження. Основна частина дисертації поділена на 3 розділи.

У першому підрозділі розділу 1 “Огляд літератури, мотивація досліджень та до-поміжні відомості” пода-єть-ся огляд лі-тератури, у якому коротко вис-віт-ле-но іс-торію розвитку теорії топологічних на-півгруп та формулюються основні за-да-чі, що розв’язуються у даній роботі. У другому під-роз-ді-лі першого розділу ви-кла-де-но ві-домі результати з алгебраїчної теорії напівгруп, загальної топології та те-о-рії то-по-ло-гічних напівгруп, які ви-ко-рис-товуються у дисертації.

Напівгрупа, де – напів-гру-па з одиницею, – мно-жи-на потужності, і на-півгрупова операція визначена так:

і для довільних, , нази-ва-єть-ся–роз-ширенням Бран-дта напівгрупи. У випадку, якщо тривіальна напів-гру-па, то напівгрупа називається напівгрупою матричних одиниць.

Розділ 2 “Топологічні напівгрупи матричних одиниць” складається з трьох під-роз-ділів і присвячений вив-ченню топологічних властивостей нескінченної на-пів-гру-пи мат-ричних одиниць. У першому підрозділі дру-го-го розділу досліджуються то-по-ло-гічні влас-тивості напівгрупи матричних одиниць як напівтопологічної на-пів-гру-пи.

Наступне твердження є аналогом теореми Бертман–Веста4 для нескінченної на-півгрупи матричних одиниць про те, що кожна гаусдорфова топологія на бі-цик-ліч-ній напівгрупі, яка перетворює її у напівтопологічну, є дискретною.

Лема .1.1. Нехай і – топологія на така, що – на-пів-то-по-ло-гічна напівгрупа. Тоді довільний ненульовий елемент напівгрупи є ізо-льо-ва-ною точкою в.

М. О. Бертман і Т. Т. Вест4 показали, що біциклічна напівгрупа занурюється у ком-пактні напівтопологічні на-пів-гру-пи. На нескінченній на-півгрупі матричних оди-ниць побудовано таку тополо-гію, що є ком-пак-тною напів-то-по-ло-гіч-ною інверсною напів-гру-пою.

Приклад .1.1. Нехай - нескінченний кардинал. Означимо на напів-гру-пі мат-ричних одиниць топологію так:

а) усі ненульові елементи напівгрупи є ізольованими точками в;

б) і – база топології у точці.

Тоді - компактна гаусдорфова напівтопологічна напівгрупа.

А. Б. Паалман-де-Міранда Paalman-de-Miranda Topological semigroups// Mathematical Centre Tracts. – Vol. 11. – Mathematisch Centrum, Amsterdam, 1964. показала, що нуль компактної цілком -простої то-по-логічної напівгрупи є ізо-льованою точ-кою в. Напівгрупа є прик-ла-дом компактної цілком -простої на-пів-то-по-ло-гічної інверсної напівгрупи з не-і-зо-льованим нулем.

Наступна теорема опи-сує усі компактні, зліченно-компактні, та псевдо-ком-пак-тні топології на такі, що перетворюють її у на-пів-то-по-ло-гічну на-пів-гру-пу.

Теорема .1.1. Нехай і – топологія на така, що – на-пів-то-по-логічна напівгрупа. Тоді наступні твердження еквівалентні:

1) – компактна напівтопологічна напівгрупа;

2) – зліченно-компактна напівтопологічна напівгрупа;

3) – псевдо-компактна напівтопологічна напівгрупа;

4) топологічно ізоморфна напівгрупі.

Оскільки на біциклічній напівгрупі існує лише дискретна напівгрупова то-по-ло-гія, то на ній не існує ком-пак-тних напівгрупових топологій. Аналогічний ре-зуль-тат отри-му-ємо і для нескінченної напівгрупи матричних одиниць:

Наслідок .2.1. На нескінченній напівгрупі матричних одиниць не існує ком-пак-тної (зліченно-компактної, псевдо-компактної) напівгрупової то-по-ло-гії.

У підрозділі 2.2 досліджується занурення нескінченної топологічної напів-гру-пи матричних одиниць у компактні топологічні напівгрупи. Л. Андерсон, Р. Ган-тер і Р. Кох2 довели, що біциклічна напівгрупа не занурюється в ста-більну на-пів-гру-пу, а от-же і в ком-пак-тну топологічну напівгрупу. Дж. Гільдебрант і Р. Кох HildebrantKoch Swelling actions of -compact semigroups// Semigroup Forum – 1988. – Vol. 33, № . – P. . по-ка-за-ли, що до-вільна -компактна топо-ло-гічна напівгрупа не міс-тить біциклічної на-пів-гру-пи. Постає природне за-питання: чи існує ком-пак-тна то-по-логічна на-пів-група, що міс-тить не-скінченну напівгрупу матричних оди-ниць? Нас-тупна теорема дає не-га-тивну від-повідь на це пи-тан-ня.

Теорема .2.1. Якщо, то на напівгрупі матричних одиниць не іс-нує на-півгрупової топології , та-кої що занурюється у компактну то-по-ло-гіч-ну на-півгрупу.

Напівгруповий гомоморфізм називають ану-лю-ю-чим, якщо іс-нує еле-мент в такий, що для кожного з. Виконується

Теорема .2.2. Нехай. Тоді довільний неперервний гомоморфізм то-по-ло-гічної напівгрупи мат-рич-них одиниць у компактну топологічну напівгрупу є ану-люючим.

Компактифікація Бора топологічної напівгрупи – це пара та-ка, що–ком-пактна топологічна напівгрупа, – не-пе-рер-вний го-мо-мор-фізм, і як-що – не-пе-рер-вний гомоморфізм з у ком-пак-тну то-по-ло-гіч-ну напівгрупу, тоді іс-нує єдиний неперервний гомоморфізм та-кий, що діаграма

є ко-му-тативною.

Як наслідок, з теореми .2.2 отримуємо описання компактифікації Бора не-скін-ченної топологічної на-пів-гру-пи матричних одиниць:

Наслідок .2.2. Компактифікація Бора нескінченної топологічної на-пів-гру-пи мат-ричних одиниць є тривіальною напівгрупою.

У третьому підрозділі 2-го розділу досліджуються напівгрупові то-поло-гі-за-ції не-скінченної напівгрупи мат-рич-них одиниць.

Нехай – клас топологічних напівгруп. Топологічна напівгрупа з класу на-зи-ва-єть-ся -зам-кне-ною у класі, як-що вона є замкненою піднапівгрупою у кож-ній напів-гру-пі з класу, що міс-тить як під-на-півгрупу. Топологічна на-пів-гру-па з класу називається аб-со-лют-но -зам-кне-ною у класі, якщо кожний не-перервний гомоморфний об-раз на-пів-групи у на-пів-групу з класу є -зам-кненою на-півгрупою в кла-сі. Напівгрупа називається ал-геб-ра-їч-но зам-кне-ною у кла-сі, якщо напів-гру-па з довільною напівгруповою то-по-ло-гі-єю на ній є -зам-кне-ною у класі. Напівгрупа називається алгебраїчно -зам-кне-ною у кла-сі, якщо на-пів-група з дискретною то-по-логією є аб-со-лют-но -зам-кне-ною у класі і. Якщо ж – клас усіх топологічних на-пів-груп, то на-пів-групу називають -зам-кне-ною, аб-со-лют-но -замкненою, алгебраїчно зам-кне-ною та алгебраїчно -зам-кненою, відповідно.

Кож-на компактна напівгрупа є аб-со-лют-но -зам-кне-на, аб-со-лют-но -зам-кне-на напівгрупа є -зам-кне-на, ал-геб-ра-їчно -зам-кнена на-пів-гру-па є абсо-лют-но -замкнена, алгебраїчно замкнена на-пів-група є -зам-кне-на, ал-гебраїчно -зам-кне-на на-пів-гру-па є алгебраїчно зам-кне-на.

-замкнені, аб-со-лют-но -замкнені та алгебраїчно -замкнені то-по-ло-гіч-ні на-пів-групи були вве-де-ні Дж. Степпом6,10.

Оскільки напівгрупа матричних одиниць є конгруенц-простою, то з тео-ре-ми .3.1 слідує

Наслідок .3.5. Для довільного кардинала напівгрупа є алге-бра-їчно -зам-кненою у класі то-пологічних інверсних напівгруп.

Побудовано приклад .3.1, з якого слідує, що нескінченна напівгрупа мат-рич-них одиниць з дискретною то-по-логією не є -замкненою напівгрупою в кла-сі ло-кально компактних топологічних на-пів-груп.

Мінімальні топологічні групи були введені у 70-их роках XX-го сто-ліття не-за-леж-но Д. Дойтчіновим Doїtchinov Produits de groupes topologiques minimaux// Bull. Sci. Math. – 1972. – Vol. 97, № . – P. . і Р. Стефенсоном Stephenson Minimal topological groups// Math. Ann. – 1971. – Vol. 192. – P. . для те-орії мінімальних то-по-ло-гіч-них про-сторів, яка активно розвивалася у той час. Раніше, у 50-их ро-ках, мі-ні-маль-ність у кільцях з по-діль-нос-тя-ми вивчав Л. Нахбін Nachbin On strictly minimal topological division rings// Bull. Amer. Math. Soc. – 1949. – Vol. 55. – P. ., і у більш загально-му розу-мін-ні – у топологічних ал-геб-рах – Б. Банашевський Banaschewski Minimal topological algebras// Math. Ann. – 1974. – Vol. 211. – P. ..

Означення .3.1. Гаусдорфова топологічна (інверсна) напівгрупа на-зи-ва-єть-ся міні-маль-ною (інверсною), якщо жодна гаус-дорфова на-пів-групова (інверсна) то-по-ло-гія на не міс-титься строго у. Якщо – мінімальна то-по-ло-гічна (ін-вер-сна) на-пів-гру-па, тоді називається мінімальною напівгруповою (інверсною) то-по-ло-гі-єю.

Очевидно, що кожна найслабша гаусдорфова напівгрупова то-по-ло-гія на на-пів-гру-пі є мінімальною. У той же час існують напівгрупи з мі-ні-маль-ними на-пів-гру-по-ви-ми топологіями, жодна з яких не є найслабшою на-пів-груповою га-ус-дор-фо-вою. При-родно виникає наступне питання:

Питання 2.3.1 (Т. О. Банах). Чи для довільного нескінченного кардинала іс-нує мі-ні-мальна (інверсна) на-пів-гру-по-ва топологія на напівгрупі мат-рич-них оди-ниць?

Для довільних позначимо

, .

Означимо

, , , де,. Нехай

,

,

.

Сім’ї, і є базами топологій, і на, відповідно.

Теорема .3.2. Нехай _нескінченний кардинал. Тоді:

1) _мінімальна напівгрупова топологія на;

2) _мінімальна напівгрупова топологія на;

3) _найслабша, а отже мінімальна, напівгрупова інверсна топологія на.

Теорема .3.3. Нехай і, _напівгрупові топології на на-пів-гру-пі мат-ричних одиниць та-кі, що і. То-ді або, і або.

Наслідок .3.4. Нехай _нескінченний кардинал. Тоді, і _абсолютно _зам-кнені топологічні напівгрупи.

Теорема .3.5. Для кожного кардинала довільний неперервний го-мо-мор-фізм напівгрупи [,] у топологічну на-пів-гру-пу, прос-тір якої є точково-зліченного типу, є анулюючим.

Теорема .3.6. Для кожного нескінченного кардинала довільний неперервний го-мо-морфізм то-по-ло-гіч-ної напівгрупи [,] у ло-каль-но ком-пактну то-пологічну напівгрупу є ану-лю-ючим.

У розділі 3 “Топологічні _розширення Брандта топологічних на-пів-груп” дос-ліджується збе-ре-ження -зам-кненості та абсолютної -замкненості то-по-ло-гіч-ни-ми -роз-ши-реннями Брандта топологічних напівгруп.

Конструкція–розширення Брандта є узагальненням групоїдів Брандта, вив-чен-ня яких бу-ло започатковане у роботах Г. Бран-дта Brandt Ьber eine Verallgemeinerung des Gruppenbegriffes// Math. Ann. – 1927. – Band. 96. – S. . у 20-х роках XX-го сто-літ-тя. Ціл-ком -проста інверсна напівгрупа ізо-мор-фна групоїду Брандта, тоб-то є -роз-ши-ренням над гру-пою. У 1989 р. Дж. Гауї Howie Embedding semigroups in nilpotent-generated semiMath. Slovaиa. – 1989. – Vol. 39. – P. . зап-ро-по-ну-вав кон-струк-цію за-ну-рен-ня напівгруп у нільпотентно-по-род-жені на-півгрупи індексу нільпотентності . О. Гутік Гутік В. Про напівгрупу Гауї// Мат. методи та фіз.-мех. поля. – 1999. – Т. 42, № . – С. . узагальнив кон-струкцію Гауї для до-віль-но-го кар-ди-нала і то-по-ло-гі-зував її. Отри-ма-ну на-пів-групу бу-ло названо -роз-ши-рен-ням Бран-дта на-пів-групи.

Означення .1.2. Нехай – кардинал, , – клас тополо-гіч-них на-півгруп,. Якщо то-по-логія на така, що

1),

2) для деякого,

то називається топологічним -розширенням Брандта напів-гру-пи у класі. Якщо спів-па-дає з класом усіх топологічних напівгруп, тоді на-зивається топологічним -розширенням Бран-дта напів-гру-пи.

У першому підрозділі третього розділу вивчається питання збереження -зам-кне-нос-ті топологічними -роз-ши-реннями Брандта топологічних напівгруп.

Виконується

Теорема .1.3. Нехай – топологічна інверсна напівгрупа. Тоді нас-туп-ні ум-ови еквівалентні:

1) –-замкнена напівгрупа в класі топологічних інверсних напів-груп,

2) існує кардинал такий, що довільне топологічне -розширення Бран-дта напівгрупи є -замкненим у класі топологічних інверсних на-пів-груп,

3) для кожного кардинала довільне топологічне -розширення Бран-дта на-півгрупи є -замкненим у класі топологічних інверсних на-пів-груп.

З теореми .1.3 випливає

Наслідок .1.2. Нехай – інверсна напівгрупа. Тоді наступні тверджен-ня ек-ві-валентні:

1) – алгебраїчно замкнена напівгрупа в класі топологічних інверсних напів-груп;

2) існує кардинал такий, що -розширення Брандта на-пів-гру-пи є алгебраїчно замкненою напівгрупою в класі топологічних інверсних на-пів-груп;

3) для кожного кардинала, -розширення Брандта напівгру-пи є ал-гебраїчно замкненою напівгрупою в класі топологічних інверсних на-пів-груп.

Оскільки нескінченна дискретна напівгрупа матричних одиниць не є -зам-кне-ною, то топологічні -розширення Брандта не зберігають -замкненість для. Тому природно виникає питання: чи існують напівгрупові топології на -роз-ширеннях Брандта топологічних напівгруп, що зберігають -зам-кне-ність в кла-сі топологічних напівгруп. Відповідь на це питання дає теорема .1.4.

Нехай – топологічна напівгрупа і – нескінченний кардинал. Для до-віль-них означимо

, .

Нехай

, , ,

де,.

Нехай – база топології топологічної напівгрупи. Кожна з сі-мей

,

,

визначає бази то-по-ло-гій, і відповідно, на напівгрупі.

Твердження .1.5. Нехай – нескінченний кардинал і – топо-ло-гіч-на на-півгрупа. Тоді, , – топологічні на-пів-групи, а якщо – топологічна ін-версна напівгрупа, то – то-по-логічна інверсна напівгрупа.

Теорема .1.4. Нехай i –-замкнена топологічна напів-гру-па. То-ді, і -замкнені то-по-логіч-ні на-пів-групи.

У 20-их роках XX-го століття А. К. Сушкевич Suschkewitsch Ьber die endlichen Gruppen// Math. Ann. – 1928. - Band. 99. – S. . описав структуру скін-чен-них прос-тих напівгруп. Д. Ріс Rees On semi-groups// Proc. Cambridge. Phil. Soc. – 1940. – Vol. 36. – P. . уза-гальнив теорему Сушкевича і описав цілком прості на-пів-гру-пи за допомогою матричних на-пів-гру-п Ріса над групою з регу-ляр-ною сендвіч-матрицею. А. Д. Уоллес Wallace The Rees-Suschkewitch structure theorem for comsimple semigroups// Proc. Nat. Acad. Sc. – 1956. – Vol. 42. – P. . довів топологічний аналог тео-ре-ми Ріса-Суш-кевича для ком-пак-тних простих то-по-ло-гіч-них напівгруп: до-віль-на ком-пак-тна то-по-логічна на-пів-група містить мінімальний ідеал і то-по-логічно ізо-мор-фний топологічній матричній напівгрупі Ріса над то-по-ло-гіч-ною групою з регулярною сендвіч-матрицею. А. В. Паалман-де-Мі-ранда14 до-ве-ла, що довільна -проста компактна топологічна напівгрупа є ціл-ком -прос-тою. А. Г. Кліфорд Clifford A. Matrix representations of completely simple seAmer. J. Math. – 1942. – Vol. 64. – P. . описав структуру цілком-простих інверсних груп. В. С. Оуен Owen The Rees theorem for locally compact semigroups// SeForum. – 1973. – Vol. 6. – P. . показав, що якщо - локально-компактна цілком прос-та то-по-ло-гіч-на на-півгрупа, то-ді має подібну будову до компактних прос-тих то-по-ло-гічних на-пів-груп. При-род-но пос-тає задача: описати структуру компактних -прос-тих то-по-ло-гіч-них ін-вер-сних на-пів-груп.

Наступна теорема описує структуру компактних -простих топологічних ін-вер-сних напівгруп.

Теорема .1.6. Нехай - -проста компактна топологічна інверсна на-пів-гру-па. Тоді існує непорожня скінченна множина потужності і ком-пак-тна то-по-логічна група такі, що напівгрупа топологічно ізоморфна то-по-ло-гіч-но-му -роз-ширенню Брандта групи в класі топологічних ін-версних на-пів-груп. Біль-ше того, напівгрупа гомеоморфна топологічному простору, що є скін-ченною то-по-логічною сумою топологічно ізоморфних ком-пактних то-по-ло-гіч-них груп та ізо-льованої точки.

Наслідок .1.6. Кожна компактна конгруенц-проста топологічна ін-вер-сна на-півгрупа з нулем, що містить більше ніж два елементи, ізоморфна скінченній на-пів-групі матричних одиниць.

Структура двоелементних конгруенц-простих напівгруп описана в роботі Є. С. Ля-піна Ляпин Е. С. Простые коммутативные ассоциативные системы// Изв. АН СССР. Сер. матем. – 1950. – Т. 14, № . – С. ..

У 1940 році М. Катетов8 довів, що _замкненість топологічного прос-тору збе-рі-га-єть-ся неперервними відображеннями, тобто кожен -замк-не-ний топологіч-ний простір є абсолютно _замкненим. У класі то-по-ло-гіч-них груп, то-по-ло-гіч-них ін-версних на-пів-груп та топологічних напівгруп іс-ну-ють _замкнені але не аб-со-лют-но -зам-кне-ні об’єк-ти. Такою, наприклад, в кла-сі топологічних груп та в кла-сі то-по-логічних ін-версних напівгруп є ади-тив-на група цілих чисел з дис-крет-ною то-по-ло-гією. Пи-тан-ня: “коли -зам-кне-на топологічна група є аб-со-лют-но -зам-кне-ною?” залишається не-роз-в’яза-ним повністю. Зокрема, відомо, що влас-ти-вість бути аб-солютно _зам-кне-ною топологічною групою зберігається де-кар-то-ви-ми до-бут-ка-ми та зам-кне-ними цен-тральними підгрупами. У категорії то-по-ло-гіч-них на-пів-гра-ток Дж. Степп дав кри-те-рій абсолютної -замкненості дис-кретних на-пів-гра-ток. Залишається також не-роз-в’я-заною проблема Дж. Степпа: ”чи кож-на -замкнена то-пологічна напівгратка є аб-солютно _зам-кненою?”. Тому, ак-ту-аль-ним є пи-тан-ня відшукання конструкцій, які б збе-рі-гали абсолютну -зам-кне-ність у різних кла-сах топологічних на-пів-груп. Ви-яв-ля-ється, що такою кон-струк-ці-єю є то-по-логічне -роз-ши-рен-ня Брандта то-по-ло-гіч-ної напівгрупи.

У другому підрозділі третього розділу вивчається збереження абсолютної -зам-кненості топологічними -роз-ши-реннями Брандта топологічних на-півгруп.

З теореми .2.2 та наслідку .2.1 випливає описання компактифікації Бора то-по-ло-гічних _розширень Брандта топологічних напівгруп для нескінченного кар-ди-нала.

Наслідок .2.2. Для компактифікація Бора топологічного -роз-ши-рен-ня Бран-дта топологічної напівгрупи є тривіальною напівгрупою.

Виконується

Теорема .2.3. Нехай _топологічна інверсна напівгрупа. Тоді нас-туп-ні умо-ви є ек-ві-ва-лен-тними:

1) _аб-солютно _замкнена топологічна напівгрупа у класі то-по-ло-гіч-них ін-вер-сних напівгруп;

2) існує кардинал такий, що довільне то-по-ло-гічне _роз-ши-рен-ня Бран-дта напівгрупи є абсолютно _замкненою то-по-ло-гіч-ною на-пів-групою у кла-сі то-пологічних інверсних напівгруп;

3) для довільного кар-ди-на-ла довільне топологічне _роз-ши-рен-ня Бран-дта напівгрупи є аб-со-лют-но _замкненою топо-логіч-ною на-пів-групою у кла-сі топологічних інверсних напівгруп.

Як наслідок отримано аналогічне твердження для алгебраїчно -замкнених на-півгруп:

Теорема .2.5. Нехай _інверсна напівгрупа. Тоді нас-туп-ні умови є ек-ві-ва-лен-тними:

1) _алгебраїчно _замкнена напівгрупа у класі то-по-ло-гіч-них інверсних на-півгруп;

2) є алгебраїчно _замкненою на-пів-групою у класі топологічних ін-вер-сних напівгруп для деякого кар-ди-на-ла;

3) є алгебраїчно _замкненою на-пів-групою у класі топологічних ін-вер-сних напівгруп для довільного кар-ди-на-ла.

У класі топологічних напівгруп твердження теореми .2.3 не ви-ко-ну-ється, ос-кіль-ки на-пів-група мат-рич-них одиниць з дискретною топологією не є _зам-кне-ною.

Природно постає запитання: чи для кожного кардинала існують на-пів-гру-пові аб-со-лют-но _замкнені то-по-логії на _розширеннях Брандта на-пів-гру-пи для абсолютно _замкненої топологічної на-півгрупи? Вияв-ля-єть-ся, що побудовані топології, і є такими.

Теорема .2.6. Нехай _нескінченний кардинал і _абсолютно _зам-кне-на на-пів-група. Тоді, і _аб-со-лют-но _замк-не-ні то-пологічні напівгрупи.

Побудовано приклад (Приклад .1.1) не -замкненої топологічної ін-вер-сної на-півгрупи в класі топологічних інверсних напівгруп такої, що для кож-но-го кар-ди-нала існує абсолютно–замкнене топологічне -розширення Бранд-та на-півгрупи (Теорема .1.5 і 3.2.7). З цього слідує, що умову 3) в те-о-ре-мі .1.3 (те-о-ре-мі .2.3, відповідно), не можна послабити до наступної:

) для кожного кардинала існує топологічне–розширення Бран-дта на-півгрупи, яке є (абсолютно)–замкненим, відповідно, у класі то-по-ло-гіч-них ін-версних напівгруп.

За допомогою топологічного -роз-ши-рен-ня Брандта топологічної на-пів-гру-пи по-будовано приклад абсо-лют-но _замкненої зліченної -вимірної мет-ри-зов-ної то-по-логічної на-пів-гру-пи з абсолютно _замкненим іде-алом такої, що фак-тор-на-півгрупа Ріса не є топологічною напівгрупою.

Приклад .2.2 GutikRepovљOn linearly ordered -closed topological semiPreprint.. Нехай - множина натуральних чисел, - зрос-та-юча по-слідовність в. Покладемо. Означимо напів-грат-ко-ву опе-рацію на так:, де. Очевидно, - нуль на-пів-грат-ки. Не-хай. Задамо то-по-логію на так: усі ненульові елементи напівгратки є ізольованими точками в і - база топології у точці. Очевидно, що - злі-ченна лінійно-впорядкована -компактна ло-каль-но компактна метризовна то-по-логічна напівгратка і якщо для кож-но-го, то то-по-ло-гіч-ний прос-тір - не є ком-пактним.

Теорема .2.8. Нехай. Тоді і - мет-ризовні топологічні на-пів-групи.

За теоремою .2.6, множина є аб-со-лютно -замкненим ідеалом напівгрупи. Виконується

Теорема .2.10. Нехай і - зростаюча послідовність в та-ка, що для до-віль-ного, і - означена вище то-по-ло-гічна на-пів-гр-упа. Тоді топологічні фактор-на-пів-гру-пи Ріса

і

з фактор - топологіями не є топологічними на-пів-гру-па-ми.

ВИСНОВКИ

У дисертації автором отримані наступні результати:

1. Описано усі компактні, зліченно компактні, дискретно псевдо-ком-пак-тні та псев-до-компактні топології на нескінченній напівгрупі матричних одиниць та-кі, що є на-пів-то-пологічною напівгрупою.

2. Доведено, що на нескінченній напівгрупі матричних одиниць не існує ком-пактної (зліченно компактної, псевдо-компактної) напівгрупової топо-ло-гії. Біль-ше того, доведено, що на нескінченній напівгрупі матричних одиниць не іс-нує напівгрупової топології, такої що занурюється у ком-пактну то-по-ло-гіч-ну напівгрупу.

3. Доведено, що довільний неперервний гомоморфізм нескінченної то-по-ло-гіч-ної напівгрупи матричних одиниць у компактну топологічну на-пів-гру-пу є ану-лю-ючим.

4. Описані компактифікації Бора нескінченних напівгруп матричних одиниць та топологічних _розширень Брандта топологічних напівгруп для нескінченного кар-динала.

5. Описано структуру компактних -простих топологічних інверсних на-пів-груп.

6. Доведено, що нескінченна напівгрупа матричних одиниць є алге-бра-їч-но _зам-кненою у класі топологічних інверсних напівгруп.

7. Побудовано напівгрупові абсолютно -замкнені, мінімальні та міні-маль-ні ін-версні гаусдорфові топології на нескінченній напівгрупі мат-рич-них оди-ниць.

8. Доведено, що топологічна інверсна напівгрупа є (абсолютно) -зам-кне-ною в класі то-по-логічних інверсних напівгруп тоді і тільки тоді, коли для кож-ного кар-диналу довільне її топологічне _розширення Брандта в класі то-по-ло-гіч-них ін-вер-сних напівгруп є (абсолютно) -замкненою напівгрупою.

9. Для довільного нес-кін-чен-ного кардинала побудовано на-пів-гру-пові то-по-ло-гії на _розширеннях Брандта топологічних напівгруп, що зберігають (аб-со-лют-ну) _зам-кне-ність.

10. Наведено приклад не _зам-кненої топологічної напівгрупи такої, що для довільного кардинала іс-нує абсолютно _замкнене то-по-ло-гіч-не _роз-ши-рення Брандта напівгрупи.

11. Побудовано приклад зліченної абсолютно -замкненої -вимірної мет-ри-зовної інверсної то-пологічної напівгрупи з абсолютно -замкненим ідеалом такої, що фак-тор-напівгрупа Ріса не є топологічною напів-гру-пою.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ РОБІТ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Гутік О. В., Павлик К. П. -замкнені топологічні напівгрупи та -розши-рення Брандта// Мат. методи та фіз.-мех. поля. – 2001. – Т. 44, № . – C. .

2. GutikPavlyk Absolutely _closed topological Brandt _extensions of topological inverse semigroups// Вісник Львів. ун-ту. Сер. мех.-мат. – 2003. – Вип. 61. – C. .

3. Павлик К. П. Абсолютно -замкнені топологічні напівгрупи та -роз-ширення Брандта// Прикладні проблеми мех. і мат.: Наук. збір-ник. – Львів, 2004. – Випуск 2. – С. .

4. GutikPavlyk On topological semigroups of matrix units// SeForum. – 2005. – Vol. 71. – P. .

5. GutikPavlyk On Brandt -extensions of semigroups with zeМат. методи та фіз.-мех. поля. – 2006. – Т. 49, № . – C. .

6. GutikPavlyk On topological semigroups of matrix units// Праці третьої міжнар. алгебр. конф. в Україні. – Суми, 2001. – С. .

7. GutikPavlyk -closed topological semigroups and topological Brandt -extensions// Міжнародна алгебраїчна конференція, Уж-го-род, 27-29 серпня 2001 р. – Ужгород, 2001. – С. .

8. GutikPavlyk On topological semigroups and Brandt _extensions// International Mathematical Conference honouring D.100th year since the beginning of his work at Kyiv University. – Kyiv, June 17-22, 2002. – Kyiv, 2002. – P. .

9. Pavlyk P. Absolutely -closed topological semigroups and Brandt -extensions// ІІ-а літня школа з алгебри і топології, Львів–До-ли-на, 2–14 липня 2004. – Programs of Invited Lectures and Abstracts of ReseReports, Львів–Долина, 2–14 липня 2004. – P. .

10. GutikPavlyk On compact semitopological semi-groups of mat-rix units// Конференція молодих уче-них із сучасних проб-лем механіки і ма-тематики ім. академіка Я. С. Підстригача, Львів, 24_трав-ня 2005 р. – Тези доповідей, Львів, 2005. – С. .

11. GutikPavlyk, On absolutely -closed topological semiand Brandt -extensions// International Algebraic Conference in Ukraine, Odessa, July 20_, 2005. – Abstracts, July 20_27, 2005, Odessa. - P. .

12. GutikPavlyk Pseudo-compact semitopological seof matrix units// Third Summer School in Algebra, Analysis and ToLviv-Kozyova, August 9–20, 2005. – Invited Lectures and Abstracts of ReseReports, Lviv-Kozyova, August 9–20, 2005. – P. .

13. GutikPavlyk On Brandt -extensions of topologisemigroup with zero// IV-th Summer School “Algebra, Topology, Funand Stochastic Analysis”, Lviv-Kozyova, July 17–29, 2006. – Invited Lecand Abstracts of Research Reports, Lviv-Kozyova, July 17–29, 2006. – P. .

АНОТАЦІЯ

Павлик К. П. Топологічні напівгрупи матричних одиниць і –розши-рен-ня Брандта топологічних напівгруп. – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних на-ук за спеціальністю 01.01.06 – алгебра і теорія чисел. – Львівський націо-наль-ний університет імені Івана Франка, Львів, 2007.

Дисертаційна робота присвячена дослідженню властивостей нескінченних то-по-ло-гічних напівгруп матричних одиниць та топологічних -розширень Бранд-та то-поло-гічних напівгруп. Описано усі псевдо-ком-пак-тні топології на не-скін-чен-ній на-пів-групі мат-рич-них оди-ниць такі, що є на-пів-то-по-ло-гіч-ною на-пів-гру-пою. До-ве-дено, що на нескінченній напівгрупі мат-ричних оди-ниць не іс-нує на-пів-гру-по-вої топо-ло-гії, такої що занурюється у ком-па-ктну то-по-логічну на-пів-гру-пу. До-ве-де-но, що нескінченна напівгрупа мат-рич-них одиниць є ал-геб-ра-їч-но -зам-кне-ною в кла-сі топологічних інверсних на-пів-груп. Побудовано на-пів-гру-по-ві абсо-лют-но -зам-кнені мінімальні та мі-німаль-ні ін-версні гаусдорфові топо-ло-гії на не-скін-ченній на-півгру-пі матрич-них одиниць. Описано структуру ком-пак-тних -прос-тих то-по-ло-гіч-них інверсних напівгруп. Опи-сано компактифікації Бора не-скінченної на-півгрупи мат-ричних оди-ниць та то-пологічних _роз-ширень Бранд-та топологічних на-півгруп для не-скінченного кар-динала. До-ве-дено, що топо-ло-гіч-на інверсна на-пів-група є (аб-солютно) -зам-кненою в кла-сі то-пологічних ін-вер-сних напівгруп то-ді і тільки тоді, коли для кож-ного ка-рдинала довільне її топологічне _роз-ши-рення Бран-дта є (аб-солютно) -зам-кне-ною на-півгрупою в кла-сі топологічних ін-вер-сних на-пів-груп. Для довільного нескінченного кардинала побудовано на-пів-гру-пові то-по-ло-гії на _розширеннях Брандта то-по-логічних на-півгруп, що збері-гають _зам-кне-ність та аб-со-лют-ну _зам-кне-ність. По-бу-до-ва-но приклад зліченної аб-со-лют-но -зам-кненої -вимірної мет-ри-зов-ної ін-вер-сної то-пологічної напівгрупи з аб-со-лют-но -зам-кне-ним іде-алом та-кої, що фак-тор-напівгрупа Ріса не є то-по-ло-гічною напівгрупою.

Ключові слова: топологічна (напівтопологічна) напівгрупа, напівгрупа мат-рич-них одиниць, міні-маль-на напівгрупова топологія, топологічне–роз-ши-рен-ня Бран-дта, -замкнена напівгрупа, абсолютно -замкнена напівгрупа.

АННОТАЦИЯ

Павлык Е. Ф. Топологические полугруппы матричных единиц и–рас-ширения Брандта топологических полугрупп. – Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-мате-ма-ти-чес-ких на-ук по специальности 01.01.06 – алгебра и теория чисел. – Львовский на-ци-о-наль-ный университет имени Ивана Франко, Львов, 2007.

Диссертационная работа посвящена изучению свойств бесконечных то-по-ло-ги-чес-ких полугрупп матричных единиц и топологических -расширений Бранд-та то-по-логических полугрупп. Получено описание всех псевдо-компактных топологий на бесконечной полугруппе мат-рич-ных еди-ниц такое, что есть полутопологической полугруппой. Доказано, что на бесконечной по-лу-груп-пе матричных еди-ниц не существует полугрупповой то-по-логии, такой, что погружается в компактную то-по-логическую полугруппу. Доказано, что бес-конечная полугруппа матричных единиц алгебраически -зам-кнутая в кла-ссе то-пологических ин-вер-сных полугрупп. Построены полугрупповые абсолютно -зам-кнутые ми-ни-маль-ные и минимальные инверсные гаусдорфовые то-по-ло-гии на бес-конечной полугруппе матричных единиц. Получены описа-ние стро-е-ния ком-пактных -простых то-по-ло-гических инверсных полугрупп и описа-ние компакти-фи-каций Бора бес-ко-неч-ной полугруппы матричных единиц и то-по-ло-ги-чес-ких _рас-ширений Брандта топологических полугрупп для бесконечного кар-ди-нала. Доказано, что топо-ло-ги-чес-кая инверсная полугруппа (аб-со-лют-но) -зам-кну-тая в кла-ссе топологических ин-вер-сных полугрупп тогда и только тог-да, ког-да для каждого ка-рдинала ее про-из-вольное топологическое -рас-ширение Бран-дта является (абсолютно) -зам-кну-той полугруппой в клас-се топо-ло-ги-чес-ких ин-версных полугрупп. Для произ-воль-но-го бесконечного кар-ди-нала по-стро-ены по-лу-групповые топологии на _рас-ши-ре-ни-ях Брандта топологических по-лу-групп, ко-то-рые сохраняют _зам-кнутость и аб-со-лют-ную _зам-кнутость. По-стро-ен пример счет-ной абсолютно -зам-кнутой -из-ме-ри-мой мет-ризовної ин-верс-ной то-по-ло-ги-чес-кой полугруппы с аб-со-лют-но -зам-кну-тым иде-алом та-кой, что фак-тор-по-лу-группа Риса не является топо-ло-ги-ческой полугруп-пой.

Ключевые слова: топологическая (полутопологическая) полугруппа, по-лу-груп-па матричных единиц, минимальная полугрупповая топология, топо-ло-ги-чес-кое–расши-рения Бран-дта, -замкнутая полугруппа, абсолютно -зам-кну-тая по-лу-груп-па.

ABSTRACT

Pavlyk K.Topological semigroups of matrix units and Brandt–ex-ten-si-ons of topological semigroups. – Manuscript.

Thesis of dissertation for obtaining the degree of candidate of sciences in physics and mathematics, speciality 01.01.06 – algebra and number theory. – Ivan Franko Lviv National University, Lviv, 2007.

The thesis is devoted to the investigation of properties of an infinite topological semi-group of matrix units and of the topological Brandt -extensions of topological semi-groups.

The thesis consists of introduction, three chapters and conclusive remarks. In the first chapter we introduce the bibliography and provide a brief history of the investigations. Also the main problems to be solved in the dissertation are formulated. In the first section of the first chapter generally-known useful results from the algebraic semigroup theory, general topology and the theory of topological semigroup are stated. The following chapters consist of the results obtained by the author.

The second chapter is devoted to study of the topological properties of the infinite semigroup of matrix units. The compact, countably compact and pseudo-compact topolo on the infinite semigroup of matrix units such that is a semi-topo-gical semigroup are described.

The topological embeddings of the infinite semigroup of matrix units into comtopological semigroups are considered in the 2nd section of chapter II. It is pro-ved that on the infinite semigroup of matrix units there exists no semigroup topology such that embeds into a compact topological semigroup. Moreover, any con-uous homomorphism from the infinite topological semigroup of matrix units into a compact topological semigroup is annihilating.

The semigroup topologizations of the infinite semigroup of matrix units are inin the 3rd section of chapter II. It is proved that the infinite semigroup of mat-rix units is algebraically -closed in the class of topological inverse semigroups. An example of an infinite semigroup of matrix units which is not -closed in the class of locally compact topological semigroup is constructed. Some absolutely -clo-sed minimal and minimal inverse semigroup topologies on the infinite semigroup of matrix units are described.

In the third chapter, the preservation of the -closedness and the absolute -cloby the topological Brandt -extensions of topological semigroups are in-tigated. The main result of this chapter is: any topological inverse semigroup is (ab-closed in the class of topological inverse semigroups if