НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ІНСТИТУТ МЕХАНІКИ ім. С.П. ТИМОШЕНКА

Пузирьов Сергій Володимирович

УДК 539.3

РОЗВ’ЯЗАННЯ ЗАДАЧ ПРО ВІЛЬНІ КОЛИВАННЯ ПРЯМОКУТНИХ В ПЛАНІ ПОЛОГИХ ОБОЛОНОК ЗМІННОЇ ТОВЩИНИ НА ОСНОВІ СПЛАЙН-АПРОКСИМАЦІЇ

01.02.04 – механіка деформівного твердого тіла

Автореферат дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Київ – 2007

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в:

Інституті механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України;

Миколаївському державному університеті імені В.О. Сухомлинського.

Науковий керівник: доктор технічних наук, професор

Будак Валерій Дмитрович,

ректор Миколаївського державного університету імені

В.О. Сухомлинського.

Офіційні опоненти:

доктор фізико-математичних наук, професор

Карнаухов Василь Гаврилович,

завідувач відділу термопружності

Інституту механіки ім. С. П. Тимошенка

НАН України;

кандидат фізико-математичних наук, доцент

Куценко Олексій Григорович,

доцент кафедри механіки суцільних середовищ

Київського національного університету

ім. Тараса Шевченка;

Провідна установа: Інститут прикладних проблем механіки і

математики ім. Я.С. Підстригача НАН України.

Захист відбудеться “12” червня 2007 р. о 10 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.166.01 Інституту механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України за адресою: 03057, м. Київ-57, вул. Нестерова, 3.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Інституту механіки
ім. С.П. Тимошенка НАН України за адресою: 03057, м. Київ-57,
вул. Нестерова, 3.

Автореферат розісланий “10” травня 2007 р.

Учений секретар

спеціалізованої вченої ради Д 26.166.01

доктор фізико-математичних наук О.П. Жук

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Тонкі пружні пластини та оболонки знаходять широке застосування в авіабудуванні, кораблебудуванні, космічній техніці, цивільному та промисловому будівництві та інших галузях промисловості. При дослідженні міцності та надійності оболонкових конструкцій дуже важливо отримати інформацію про їхні динамічні характеристики, зокрема про частоти та форми вільних коливань. Одним з важливих факторів при визначенні динамічної поведінки вказаних механічних систем є врахування змінної товщини оболонки, оскільки часто необхідно вибрати раціональні параметри деформативності конструкції не змінюючи її ваги. В багатьох випадках матеріали механічних об’єктів, що розглядаються, є анізотропними, що зумовлено широким застосуванням композитних матеріалів при проектуванні та створенні оболонкових елементів конструкцій.

На даний час було проведено широке дослідження динамічних характеристик ізотропних та ортотропних оболонок сталої товщини. У випадку, коли товщина оболонки змінюється досить повільно, застосовується метод малого параметру. Для окремих варіантів крайових умов на контурах оболонки для довільної форми поперечного перерізу вихідна задача в частинних похідних зводиться до одновимірної за допомогою розкладів всіх факторів напружено-деформованого стану в ряди Фур’є по одній з координат. Взагалі, при розв’язуванні задач про вільні коливання ортотропних прямокутних в плані пологих оболонок змінної товщини для довільних крайових умов та доведенні їх до числових значень, що дозволило б провести аналіз динамічної поведінки оболонок даного класу в залежності від механічних та геометричних параметрів, виникають значні складності.

Для дослідження динамічної поведінки оболонкових елементів конструкцій змінної товщини необхідно застосувати достатньо точні методи.

Тому розробка ефективного підходу для розв’язання задач про вільні коливання ортотропних пластин і пологих оболонок змінної товщини в класичній постановці при різних крайових умовах на контурах є актуальною проблемою і має значний теоретичний інтерес і практичне значення.

Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дослідження, що проведені в дисертаційній роботі, виконані у відповідності з науковою темою 1.3.1.349 “Розробка методів розв’язання задач та дослідження статичного і динамічного деформування пружних тіл складної геометрії та структури на основі моделей різного рівня” (№ ДР 0105U001991, 2005 – 2009).

Мета і завдання дослідження. Мету і завдання цього дослідження можна сформулювати так:

· розробка ефективного підходу до чисельного розв’язання двовимірних задач, що описують вільні коливання ортотропних пластин і пологих оболонок з прямокутним планом та змінної в двох координатних напрямках товщини в класичній постановці;

· побудова алгоритму і реалізація на ПК програмного комплексу для чисельного розв’язання задач вказаного класу, що дасть змогу проводити дослідження вільних коливань пластин і пологих оболонок з врахуванням зміни геометричних та механічних параметрів;

· розв’язання широкого класу задач на основі запропонованого підходу, а також проведення аналізу спектру частот і форм вільних коливань пластин і пологих оболонок змінної товщини в залежності від параметрів зміни товщини та фізико-механічних характеристик при різних варіантах закріплення контурів.

Об’єктом дослідження є ортотропні пластини та пологі оболонки з прямокутним планом, товщина яких змінюється у одному чи у двох координатних напрямках.

Предметом дослідження є вільні коливання пластин і пологих оболонок вказаного класу, зокрема розподіл власних частот та форм коливань в залежності від механічних характеристик, змінної товщини та крайових умов на контурах.

Методи дослідження. Дослідження проводились у рамках класичної теорії пологих оболонок. З вихідних рівнянь руху отримано двовимірну задачу на власні значення для системи диференціальних рівнянь у частинних похідних, яка зводиться до одновимірної методом сплайн-колокації. Остання розв’язується стійким чисельним методом дискретної ортогоналізації разом з методом покрокового пошуку.

Наукова новизна одержаних результатів полягає в таких положеннях, що виносяться на захист:

ь на основі рівнянь класичної теорії пологих оболонок виведено розв’язувальні системи диференціальних рівнянь в частинних похідних зі змінними коефіцієнтами, які описують вільні коливання ортотропних пластин і пологих оболонок з прямокутним планом змінної товщини, і сформульовано різні варіанти крайових умов на контурах пластин і пологих оболонок в такій формі, що дозволяє провести апроксимацію розв’язків використовуючи B-сплайни третього і п’ятого ступеня;

ь розроблено ефективний підхід до розв’язання задач про вільні коливання ортотропних пластин і пологих оболонок з прямокутним планом змінної товщини для різних варіантів крайових умов, який базується на сплайн-апроксимації розв’язків в одному з координатних напрямків, що дозволяє звести двовимірну крайову задачу до одновимірної задачі на власні значення, яка розв’язується стійким чисельним методом дискретної ортогоналізації в поєднанні з методом покрокового пошуку; відповідний алгоритм реалізовано в програмному комплексі на ПК;

ь проведено розв’язання задач даного класу та досліджено вільні коливання ортотропних пластин і пологих оболонок з прямокутним планом при зміні геометричних, механічних параметрів та крайових умов; виявлено ряд закономірностей в розподілі частот і форм вільних коливань пластин і пологих оболонок.

Достовірність одержаних в роботі результатів забезпечено використанням обґрунтованої математичної моделі теорії тонких пологих оболонок, коректністю формулювання задачі, тестуванням розробленого підходу на ряді задач даного класу і контролем точності розрахунків на основі індуктивних оцінок.

Практичне значення одержаних результатів. Результати розв’язання одного класу задач динаміки ортотропних пластин і пологих оболонок змінної товщини в класичній постановці, на основі ефективного алгоритму, який реалізовано в програмному комплексі на мові Object Pascal для ПК, та аналіз частот і форм вільних коливань таких конструктивних елементів в залежності від зміни геометричних та механічних параметрів, умов закріплення контурів можуть бути використані в науково-дослідних організаціях і конструкторських бюро для проведення розрахунків та оцінки міцності і надійності елементів конструкцій.

Особистий внесок здобувача. В роботах [1-6] опублікованих у співавторстві з науковим керівником та науковим консультантом, дисертанту належить побудова розв’язувальних рівнянь руху пластин і пологих оболонок, розробка методики розв’язування задач, побудова алгоритму і його реалізація в програмному комплексі на ПК, розв’язання конкретних задач і аналіз результатів; науковому керівнику В.Д. Будаку і науковому консультанту О.Я. Григоренко належать постановка задач і обговорення результатів.

В роботі [1] дисертантом досліджено спектр частот і форм вільних коливань прямокутних ізотропних пластин лінійно-змінної товщини при різних умовах закріплення контурів. Викладач кафедри прикладної математики Миколаївського державного університету імені В.О. Сухомлинського Кошкіна Л.Л. брала участь у проведенні розрахунків.

У роботі [2] дисертантом було досліджено спектр частот і форм вільних коливань прямокутних в плані пологих ізотропних оболонок двоякої кривини.

В роботі [3] дисертантом досліджено розподіл частот і форм вільних коливань ортотропних пластин і пологих циліндричних оболонок з прямокутним планом в залежності від параметрів зміни товщини, геометрії серединної поверхні та крайових умов на контурах. Кандидат фізико-математичних наук, старший співробітник відділу обчислювальних методів Інституту механіки ім. С.П. Тимошенко НАН України Єфімова Т.Л. брала участь у проведенні розрахунків.

В роботі [5] дисертантом досліджено вплив ортотропії матеріалу, геометрії плану та змінної товщини на розподіл частот і форм вільних коливань прямокутних пластин лінійно-змінної товщини; Єфімова Т.Л. брала участь у розробці алгоритму розв’язку та проведенні розрахунків.

В роботах [4, 6] дисертантом досліджені вільні коливання прямокутних в плані пологих ортотропних циліндричних оболонок та оболонок двоякої кривини в залежності від параметрів зміни товщини та кривин серединної поверхні; Єфімова Т. Л. брала участь у розробці алгоритму розв’язку задачі та проведенні розрахунків.

Апробація результатів дисертації. Основні результати дисертаційної роботи доповідались і обговорювались на:

1) Всеукраїнській науковій конференції “Фундаментальна та професійна підготовка фахівців з фізики” (Україна, Миколаїв, 2005);

2) Міжнародній науковій конференції ім. академіка Кравчука (Україна, Київ, 2006);

3) Міжнародній науковій конференції “Математичні проблеми механіки неоднорідних структур” (Україна, Львів, 2006);

4) науковому семінарі кафедри механіки фізико-математичного факультету Миколаївського державного університету імені В.О. Сухомлинського (Миколаїв, 2006);

5) науковому семінарі відділу обчислювальних методів Інституту механіки ім. С. П. Тимошенка НАН України (Київ, 2007);

6) науковому семінарі наукового напрямку “Механіка оболонкових систем” Інституту механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України (Київ, 2007);

7) науковому семінарі відділу термомеханіки Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України (Львів, 2007).

Публікації. За темою дисертаційної роботи опубліковано 6 робіт, в тому числі 3 статті у фахових журналах і збірниках [2–4], які входять до переліку ВАК України, а також 3 роботи у збірниках матеріалів і праць конференцій [1, 5, 6].

Структура та об’єм дисертації. Дисертаційна робота складається з вступу, чотирьох розділів, висновків та списку використаних джерел. Загальний обсяг дисертації становить 158 сторінок, в тому числі 34 рисунків, 64 таблиці, список використаних джерел із 157 найменувань на 14 сторінках.

Автор щиро дякує науковому керівнику, доктору технічних наук, професору Будаку Валерію Дмитровичу та науковому консультанту, доктору фізико-математичних наук, професору Григоренку Олександру Ярославовичу за постановку задачі, корисні поради і допомогу при виконанні роботи.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі описано сучасний стан проблеми, що розглядається в дисертаційній роботі, обґрунтовано актуальність вибраної теми, сформульовано мету та завдання дослідження, розкрито наукову новизну та практичне значення одержаних результатів.

У першому розділі наведено огляд наукових робіт, присвячених розв’язанню задач про вільні коливання пластин і пологих оболонок у класичній постановці аналітичними та чисельними методами.

Важливу роль у розробці загальної теорії оболонок зіграли праці
С.О. Амбарцумяна, В.З. Власова, К.З. Галімова, О.Л. Гольденвейзера,
Я.М. Григоренка, О.М. Гузя, О.М. Кільчевського, А.І. Лурьє, А. Лява,
Х.М. Муштарі, В.В. Новожилова, С.П. Тимошенка та ін.

Розв’язанню деяких класів задач динамічної поведінки оболонок складної форми присвячені роботи О.І. Беспалової, В.Д. Будака, О.Я. Григоренка,
В.І. Гуляєва, Я.О. Жука, В. Л. Заруцького, В.Г. Карнаухова, В. І. Козлова,
В.Д. Кубенка, Л.В. Курпи, Р.М. Кушніра, П.З. Лугового, А.В. Лейса, Ч.В. Ліма,
Дж. М. Лінберга, К.М. Лью, В.Ф. Мейша, Л.В.Мольченка, М.Д. Олсона, М. Петіта, В.Г. Піскунова, О.О.Рассказова, І.К. Сенченкова, В.І. Сторожева, М.О. Шульги та ін.

Проведений аналіз робіт показав, що дослідженню динамічних характеристик пластин і пологих оболонок з різною формою плану в класичній постановці присвячено достатня кількість робіт, однак у більшості з них розглядаються вільні коливання ізотропних пластин та пологих оболонок сталої товщини. Окрім того, більшість теоретичних досліджень вільних коливань пластин і пологих оболонок проводилися, як правило, для простих типів крайових умов, які дозволяють розділити змінні у вихідних рівняннях руху. У зв’язку з цим виникає необхідність у розробці ефективного підходу до розв’язання задач про вільні коливання пластин і пологих оболонок з прямокутним планом з врахуванням зміни товщини та анізотропії матеріалу при різних типах крайових умов на контурах.

У другому розділі наведено основні рівняння класичної теорії оболонок. Виведено розв’язувальні рівняння руху пластин і пологих оболонок з прямокутним планом.

В рамках класичної теорії пологих оболонок Муштарі-Донела-Власова розглядаються вільні коливання тонких ортотропних пологих оболонок з прямокутним планом, віднесених до ортогональної системи координат x, y, z, де x=const, y=const – лінії головних кривин серединної поверхні, а z – нормальна координата до серединної поверхні оболонки.

Виходячи з основних співвідношень класичної теорії пологих оболонок після ряду перетворень отримуємо розв’язувальну систему диференціальних рівнянь в частинних похідних у переміщеннях, що описує вільні коливання пологих оболонок змінної товщини з прямокутним планом:

(1)

де u, v, w – переміщення точок координатної поверхні в напрямках x, y, z; k1, k2 – головні кривини серединної поверхні оболонки;, () – жорсткості оболонки на розтяг і згин. Тут

. (2)

В формулах (2) Ex , Ey , xy , yx – модулі пружності і коефіцієнти Пуассона в напрямках осей Оx і Оy, Gxy – модуль зсуву в площині xOy, h=h(x,y) – товщина оболонки, що в загальному випадку змінюється в двох координатних напрямках.

Якщо в третьому рівнянні системи (1) покласти k1=0, k2=0, то отримаємо рівняння вільних згинних коливань ортотропних пластин:

(3)

Для знаходження сталих, що містяться в загальних розв’язках систем (1) і (3), потрібно задавати відповідно по 4 і 2 крайові умови на кожному контурі та початкові умови. На контурах пластин і пологих оболонок можуть бути задані умови жорсткого закріплення, шарнірного закріплення, шарнірного опирання тощо.

Оскільки в подальшому розглядаються головні (стаціонарні) коливання пластин і пологих оболонок, то шукані переміщення можна представити у вигляді:

, (4)

де, і – амплітудні значення відповідних переміщень, –частота вільних коливань,. Підставивши (4) у (1) і опускаючи в подальшому символ “~” над амплітудними значеннями переміщень, отримаємо розв’язувальну систему рівнянь для пологих оболонок:

, (5)

На контурах пологої оболонки крайові умови можуть мати такий вигляд (для прикладу розглядається контур x=const):

) шарнірне закріплення –

,; (6)

) шарнірне опирання –

, ,; (7)

) жорстке закріплення –

,. (8)

Аналогічним отримаємо розв’язувальне рівняння для прямокутних пластин, якщо підставити (4) у рівняння (3):

(9)

На контурах пластин крайові умови мають такий вигляд (теж розглядається контур x=const):

) шарнірне закріплення (опирання) –

,; (10)

) жорстке закріплення –

,. (11)

Щоб отримати крайові умови на контурах y=const, потрібно у виразах (6) – (8) і (10) – (11) формально виконати таку заміну змінних: x>y, u>v.

У третьому розділі розроблено методику розв’язання отриманої двовимірної крайової задачі. Алгоритм розв’язку такий:

) за допомогою методу сплайн-колокації вихідні системи рівнянь руху (5), (9) зводяться до систем звичайних диференціальних рівнянь з відповідними крайовими умовами;

) отримана одновимірна задача на власні значення розв’язується стійким чисельним методом дискретної ортогоналізації в поєднанні з методом покрокового пошуку.

На основі такого підходу побудовано алгоритм, який реалізовано в програмному комплексі на ПК.

Розв’язок системи рівнянь (5) – (6) шукаємо у вигляді:

, , , (12)

де, і () шукані функції, а і – лінійні комбінації В-сплайнів 3-го ступеня, – лінійні комбінації В-сплайнів 5-го ступеня, які точно задовольняють крайові умови для переміщень на контурах .

Функції () задаються таким чином:

,

,

(), (13)

,

,

де () – В-сплайни третього ступеня, побудовані на рівномірній сітці :; і () – сталі, які заздалегідь визначаються в залежності від заданих крайових умов на контурах і відповідно.

Функції можна задати у такому вигляді:

,

,

(), (14)

,

,

,

де () – В-сплайни п’ятого ступеня, побудовані на рівномірній сітці; і () – сталі, які заздалегідь визначаються в залежності від заданих крайових умов на контурах і відповідно.

Введемо матриці:, для функцій (), і матриці, для.

Тоді матриці крайових умов на контурі y=y0 будуть мати такий вигляд:

) шарнірне закріплення:

,; (15)

) шарнірне опирання:

, ,; (16)

) жорстке закріплення:

,. (17)

Аналогічні матриці коефіцієнтів можна задати і на контурі y=yN.

Апроксимацію сплайнами проводимо в напрямку осі Oy. Введемо на відрізку рівномірну сітку , яка утворена вузлами (;,;), причому непарне число.

Вузли колокації вибираємо такими, що задовольняють умови

;, (18)

де, ();і – корені многочлена Лежандра другого ступеня на відрізку [0,1]. При такому виборі точок колокації на відрізку буде по два вузла колокації, а на сусідніх відрізках і їх не буде. Загальна кількість вузлів колокації на сітці при такому їх розміщенні буде рівна N+1.

Підставляючи вирази (13) – (14) у співвідношення (5), (9) і вимагаючи їх задоволення у точках колокації (18), отримаємо систему звичайних диференціальних рівнянь 8(N+1) порядку відносно невідомих функцій, і () для пологих оболонок і 4(N+1) порядку відносно невідомих функцій (), яку можна подати у нормальній формі Коші:

(), (19)

де або – вектор-стовпці шуканих функцій та їх похідних розмірністю або; – квадратна матриця порядку або.

Підставивши (13) – (14) у (6) – (8) або (10) – (11), отримаємо крайові умови для системи (19), які в загальному вигляді можна записати так:

(20)

де і – прямокутні матриці порядку для пологих оболонок і для пластин.

Таким чином, розв’язання вихідних двовимірних крайових задач виду (5) – (8) і (9) – (11) зводиться до розв’язання одновимірних задач на власні значення для систем звичайних диференціальних рівнянь високого порядку виду (19) – (20). Для чисельного розв’язання задачі (19) – (20) використовується стійкий чисельний метод дискретної ортогоналізації в поєднанні з методом покрокового пошуку.

За знайденими власними числами обчислюються власні вектори задачі (19) – (20), а за допомогою співвідношень (12) – власні форми коливань пластин і пологих оболонок з прямокутним планом.

У четвертому розділі за допомогою розробленого підходу розв’язано задачі про вільні коливання тонких ортотропних пластин і пологих оболонок з прямокутним планом змінної в одному чи в двох координатних напрямках товщини та проведено аналіз впливу зміни геометричних, механічних параметрів та умов закріплення контурів пластин і пологих оболонок на частоти і форми вільних коливань.

Обґрунтовано достовірність отриманих результатів та на основі ряду індуктивних засобів показано точність розв’язання задач даного класу.

Задачі про вільні коливання пластин і пологих оболонок з прямокутним планом розглядалися при таких типах закріплення контурів:

· ТГ=1: всі контури жорстко закріплені;

· ТГ=2: три контури жорстко закріплені, один шарнірно опертий;

· ТГ=3: два протилежних контури жорстко закріплені, інші шарнірно оперті;

· ТГ=4: два суміжних контури жорстко закріплені, інші шарнірно оперті.

Розв’язано задачі про вільні коливання ортотропних прямокутних пластин змінної за лінійним законом товщини:

, (21)

де a – довжина пластини, – параметр лінійної змінності, – товщина пластин сталої товщини й еквівалентної ваги. Пластини були виготовлені з матеріалів, характеристики яких подано в таблиці 1 (волоконні склопластики).

На рис. 1 – 2 приведено залежність частот вільних коливань квадратних пластин з різних матеріалів від параметру при різних типах закріплення контурів.

Таблиця 1

Механічні характеристики ортотропних пластин

Матеріал, n | ВМ-1, 5 | ВМ-1, 2 | ВМ-1, 1

Па | 4.76 | 3.68 | 3.09

Па | 2.07 | 2.68 | 2.74

Па | 0.531 | 0.505 | 0.396

0.149 | 0.105 | 0.123

0.065 | 0.077 | 0.110

, кг/м3 | 1880 | 1870 | 1760

Рис. 1. Перша частота вільних коливань пластин ().

Рис. 2. Друга частота вільних коливань пластин ().

З рисунків видно, що зі зростанням частоти вільних коливань пластин зменшується, але по-різному для різних матеріалів. Для склопластика ВМ1 з n=5 частоти вільних коливань будуть мінімальними, а для ВМ-1 з n=1 – максимальними при будь-яких типах закріплення контурів.

Були проведені дослідження вільних коливань пологих ортотропних циліндрів та оболонок двоякої кривини з прямокутним планом, матеріал яких має характеристики з таблиці 1, а товщина змінюється за законом квадратичної параболи:

(). (22)

На рис. 3 – 4 показані залежності перших частот вільних коливань пологих циліндричних оболонок різної кривини від параметру та крайових умов на контурах для матеріалу ВМ-1 з n=5.

Рис. 3. Частоти вільних коливань оболонок з (ВМ-1, n=5).

Рис. 4. Частот вільних коливань оболонок з (ВМ-1, n=5).

З рис. 3, 4 видно, що при зростанні частоти вільних коливань можуть як монотонно зростати (спадати), так і вести себе немонотонно. Чим менше радіус кривини оболонки, тим вище номер частоти, яка спадає на фоні зростання інших частот при збільшенні при однорідних умовах закріплення контурів.

На рис. 5, 6 приведені форми вільних коливань жорстко закріплених по контуру (ТГ=1) квадратних пластин лінійно-змінної товщини і пологих циліндричних панелей, товщина яких змінюється за законом (22).

1-а форма |

2-а форма

3-а форма |

4-а форма

Рис. 5. Форми вільних коливань пластини з (ВМ-1, n=3, ).

1-а форма |

2-а форма

3-а форма |

4-а форма

Рис. 6. Форми вільних коливань циліндричної панелі (, ).

З рис. 5 видно, що максимальні амплітуди коливань будуть біля найтоншого краю пластини лінійно-змінної товщини.

Розглянувши рис. 6, можна зробити висновок, що максимальні переміщення будуть мати точки пологої циліндричної панелі, що лежать на прямій, де товщина оболонок мінімальна.

Досліджувалися також вільні коливання пологих ортотропних циліндричних оболонок змінної у двох координатних напрямках товщини:

, (23)

де – товщина оболонок еквівалентної ваги і сталої товщини; і – розміри оболонок в плані;,. Радіус кривини оболонок:,. Матеріал оболонки – ВМ-1 з n=5.

На рис. 7, 8 показані залежності частот вільних коливань від параметрів і при закріпленні контурів по типу ТГ=1 і ТГ=4. Видно, що частоти вільних коливань оболонок у просторі утворюють поверхні, які нагадують параболоїд переносу. При цьому ця поверхня симетрична відносно площин , при закріпленні контурів по типу ТГ=1, 2, 3; тобто частоти вільних коливань при однакових за модулем і протилежним за знаком і однакові. При ТГ=4 такого ефекту не спостерігається (див. рис. 8).

Форми вільних коливань таких оболонок мають таку особливість: для однакових за модулем і протилежних за знаком значень і , форми вільних коливань “дзеркально” симетричні.

Рис. 7. Частоти вільних коливань пологої оболонки (23) ТГ=1. | Рис. 8. Частоти вільних коливань пологої оболонки (23) при ТГ=4.

ВИСНОВКИ

В дисертаційній роботі розроблено ефективний підхід до розв’язання двовимірних одного класу задач динаміки ортотропних пластин і пологих оболонок змінної товщини в класичній постановці при різних типах крайових умов. Він базується на застосуванні методу сплайн-колокації для зведення двовимірної задачі до одновимірної задачі на власні значення та розв’язанні останньої стійким чисельним методом дискретної ортогоналізації в поєднанні з методом покрокового пошуку. Проведено аналіз впливу змінної товщини, ортотропії матеріалу та умов закріплення контурів на спектр частот і форм вільних коливань пластин і пологих оболонок, в результаті якого виявлено ряд закономірностей розподілу частот вільних коливань та амплітудних переміщень, що мають практичне значення при дослідженні міцності і надійності елементів конструкцій.

При цьому отримано такі конкретні результати.

1. На основі співвідношень класичної теорії оболонок виведено розв’язувальні системи диференціальних рівнянь в частинних похідних зі змінними коефіцієнтами в переміщеннях, що описують вільні коливання ортотропних пологих оболонок і пластин з прямокутним планом змінної товщини;

2. Розроблено методику розрахунку частот і форм вільних коливань ортотропних пологих оболонок і пластин змінної товщини, яка полягає у використанні методу сплайн-колокації для зведення двовимірної задачі до одновимірної задачі на власні значення та розв’язанні останньої стійким чисельним методом дискретної ортогоналізації разом із методом покрокового пошуку при точному задоволенні крайових умов у напрямку апроксимації.

3. Запропонований підхід реалізовано у обчислювальному комплексі для ПК, за допомогою якого можна розв’язувати задачі даного класу при різних геометричних та механічних характеристиках пластин і пологих оболонок з прямокутним планом при довільних умовах закріплення контурів.

4. Достовірність одержаних в роботі результатів забезпечено використанням обґрунтованої математичної моделі теорії оболонок, коректністю формулювання задачі, тестуванням розробленого підходу на ряді задач даного класу і контролем точності розрахунку на основі індуктивних оцінок.

5. На основі запропонованого підходу одержано розв’язки ряду задач, що розглядаються, і проведено аналіз спектру частот і форм вільних коливань ортотропних пластин і пологих оболонок з прямокутним планом змінної товщини при різних типах закріплення контурів; при цьому розв’язано задачі про вільні коливання ізотропних та ортотропних прямокутних пластини змінної в одному напрямку товщини, ортотропних пологих циліндричних оболонок з прямокутним планом змінної в одному та в двох координатних напрямках товщини, ортотропних пологих оболонок двоякої кривини з прямокутним планом змінної в одному координатному напрямку товщини з метою дослідження впливу пружних характеристик, характеру зміни товщини та крайових умов на частоти і форми вільних коливань.

6. Виявлені ефекти і отримані закономірності представлено на графіках і в таблицях.

7. Розроблений на базі запропонованого підходу алгоритм, обчислювальний комплекс для ПК і отримані в роботі результати можуть бути використані в науково-дослідних організаціях для оцінки міцності при експлуатації елементів конструкцій, які мають форму пластин і пологих оболонок з прямокутним планом сталої або змінної товщини.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Будак В. Д., Григоренко О. Я., Пузирьов С. В., Кошкіна Л. Л. Дослідження вільних коливань прямокутних пластин лінійно-змінної товщини. // Збірн. наук. праць НУК. – Миколаїв: НУК, 2004. – № 4 (403). – С. 44-52.

2. Григоренко О. Я., Пузирьов С. В. Застосування методики сплайн-апроксимації для розрахунку резонансних частот пологих оболонок подвійної кривини при складних крайових умовах // Тези доповідей X Всеукраїнської наукової конференції “Фундаментальна та професійна підготовка фахівців з фізики”. – Миколаїв, 2005. – С. 70-71.

3. Будак В. Д., Григоренко А. Я., Ефимова Т. Л., Пузырев С. В. Численное решение задач о свободных колебаниях некоторых видов анизотропных пластин и пологих оболочек переменной толщины. // Тези доповідей VII Міжнародної наукової конференції з математичних проблем механіки неоднорідних структур. – Т. 1. – Львів, 2006. – С. 185-187.

4. Будак В. Д., Григоренко А. Я., Пузырев С. В. Численное решение задачи о свободных колебаниях пологих оболочек с прямоугольным планом методом сплайн-коллокации. // Збірн. наук. праць НУК. – Миколаїв: НУК, 2006. – № 4 (409). – С. 115-122.

5. Григоренко А. Я., Ефимова Т. Л., Пузырев С. В. Исследование свободных колебаний прямоугольных ортотропных пластин линейно-переменной толщины // Мат. методы и физ.-мех. поля. – 2006. – 49, № 3. – С. 153-161.

6. Григоренко О. Я., Єфімова Т. Л., Пузирьов С. В. Дослідження вільних коливань пологих оболонок з прямокутним планом методом сплайн-колокації. // Тези доповідей XI Міжнародної наукової конференції ім. академіка М. Кравчука. – Київ, 2006. – С. 988.

АНОТАЦІЯ

Пузирьов С. В. Розв’язання задач про вільні коливання прямокутних в плані пологих оболонок змінної товщини на основі сплайн-апроксимації. – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.02.04 – механіка деформівного твердого тіла. – Інститут механіки ім. С. П. Тимошенка НАН України, Київ, 2007.

Дисертація присвячена розробці ефективного підходу до розв’язання класу задач про вільні коливання пластин і пологих оболонок прямокутних в плані змінної товщини при різних умовах закріплення контурів, що описується системою диференціальних рівнянь в частинних похідних з змінними коефіцієнтами, який базується на сумісному використанні методу сплайн-колокації та стійкого чисельного методу дискретної ортогоналізації в поєднанні з методом покрокового пошуку.

На основі розробленого підходу проведено розрахунки вільних коливань ортотропних пластин і пологих оболонок, виготовлених з ортотропних матеріалів при різних умовах закріплення контурів пластин і пологих оболонок в залежності від змінної в одному чи двох координатних напрямках товщини.

Ключові слова: двовимірна задача на власні значення, прямокутні пластини, пологі оболонки з прямокутним планом, метод сплайн-колокації, метод дискретної ортогоналізації, пластини та пологі оболонки змінної товщини.

АННОТАЦИЯ

Пузырев С. В. Решение задач о свободных колебаниях прямоугольных в плане пологих оболочек переменной толщины на основе сплайн-аппроксимации. – Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.02.04 – механика деформируемого твердого тела. – Институт механики им. С. П. Тимошенко НАН Украины, Киев, 2007.

Диссертация посвящена разработке эффективного подхода к решению класса задач о свободных колебаниях ортотропных пластин и пологих оболочек с прямоугольным планом при различных условиях закрепления контуров на основе совместного применения метода сплайн-коллокации и устойчивого численного метода дискретной ортогонализации в сочетании с методом пошагового поиска.

Задача о свободных колебаниях пластин и пологих оболочек с прямоугольным планом в классической постановке описывается системой дифференциальных уравнений в частных производных соответственно четвертого и восьмого порядка с переменными коэффициентами и соответствующими краевыми условиями на контурах пластин и пологих оболочек.

Для решения данной задачи предлагается подход, основанный на сведении двумерной краевой задачи к одномерной с помощью применения метода сплайн-коллокации в одном из координатных направлений. Полученная одномерная задача на собственные значения решается устойчивым численным методом дискретной ортогонализации в сочетании с методом пошагового поиска.

На основе предложенного подхода разработан алгоритм, реализованный в программном комплексе на языке Object Pascal для ПК, с помощью которого был проведен расчет ряда новых задач о свободных колебаниях ортотропных пластин переменной в одном координатном направлении толщины и пологих оболочек переменной в одном и двух координатных направлениях толщины при различных условиях на контурах. Показано, что изменение толщины и анизотропия таких механических объектов существенно влияет на их динамические характеристики при сохранение веса.

Полученные закономерности и выявленные эффекты, приведенные в работе на графиках и в таблицах, могут быть использованы для оценки прочности и надежности элементов конструкций и деталей машин, выполненных в виде пластин и пологих оболочек.

Ключевые слова: двумерная задача на собственные значения, прямоугольные пластины, пологие оболочки с прямоугольным планом, метод сплайн-коллокации, метод дискретной ортогонализации, пластины и пологие оболочки переменной толщины.

SUMMARY

Puzyrev S. V. Solution the free vibration problems shallow shells with rectangular planform of variable thickness on the basis of spline-approximation. – Manuscript.

Thesis for candidates degree of physical and mathematical sciences on speciality 01.02.04 – mechanics of deformable solid. – S. P. Timoshenko Institute of mechanics of National Academy of Sciences of Ukraine, Kyiv, 2007.

Thesis is devoted to development of effective approach to solving of class of problems on the free vibrations of plates and shallow shells with rectangular planform of variable thickness by various conditions on the edges. It is given the system of the partial differential equations, which is solved on the joint using of the spline-collocation method and stable numerical discrete orthogonalization method in combination with the method of incremental search.

On the basis of the developed approach the computations of free vibrations of orthotropic plates and shallow shells, made from different materials are conducted, at certain conditions on the edges of plates and shallow shells depending on a change in one or two coordinate directions thickness was carried out.

Keywords: two-dimensional eigenvalue problem, rectangular plates, shallow shells with a rectangular planform, spline-collocation method, discrete orthogonalization method, plates and shallow shells of variable thickness.