Міністерство освіти і науки України

Національний університет „Львівська політехніка”

УДК 621.532.3.004.17:681.142:622.691.24:536.12

П'ЯНИЛО

ЯРОСЛАВ ДАНИЛОВИЧ

АНАЛІТИКО–ЧИСЛОВЕ МОДЕЛЮВАННЯ МАСОПЕРЕНОСУ В ГАЗОПРОВОДАХ ТА ПРИРОДНИХ ПОРИСТИХ СЕРЕДОВИЩАХ

01.05.02 – математичне моделювання та обчислювальні методи

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня доктора технічних нак

ЛЬВІВ–2007

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана у Центрі математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С.Підстригача НАН України

Науковий консультант – доктор фізико–математичних наук, ст. наук. співроб.

Чапля Євген Ярославович, Центр математичного моделювання Інституту

прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С.Підстригача НАН

України, м. Львів, директор, зав. відділом математичного

моделювання нерівноважних процесів.

Офіційні опоненти: доктор технічних наук, професор

Тевяшев Андрій Дмитрович, Харківський Національний університет

радіоелектроніки Міністерства освіти і науки України, завідувач кафедри

прикладної математики доктор фізико–математичних наук, професор

Матвійчук Ярослав Миколайович, Національний університет “Львівська

політехніка”, кафедра теоретичної радіотехніки та радіовимірювань,

доктор технічних наук, ст. наук. співроб.

Лимарченко Олег Степанович, Міжнародний математичний центр НАН

України, м. Київ, заступник директора.

Провідна організація – Київський національний університет

ім. Т.Г.Шевченка, кафедра математичної фізики

Захист відбудеться “_18__”__06__2007 р. о 15 год. на засіданні спеціалізованої вченої ради
Д 35.052.05 при Національному університеті „Львівська політехніка” (79013, Львів–13, вул. С.Бандери, 12)

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Національного університету „Львівська політехніка” (79013, Львів, вул. Професорська, 1).

Автореферат розісланий “18”травня 2007р.

Вчений секретар спеціалізованої ради

доктор технічних наук, професор Бунь Р.А.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Раціональне вирішення ряду важливих науково–прикладних проблем, пов’язаних з рухом газу в газотранспортних мережах, його накопиченням і відбором з підземних сховищ газу у значній мірі базується на математичних моделях теорії масопереносу, які використовуються для опису фізичних процесів у трубопроводах і пористих середовищах, а також ефективності аналітико–числових методів розв’язування відповідних крайових задач математичної фізики.

Характерною особливістю таких задач є те, що в більшості випадків невідомі необхідні дані для задання початкових і граничних умов в аналітичному вигляді. Так при моделюванні руху газу в підземних сховищах дані про температуру та розподіл тиску відомі в нерегулярних точках. Це приводить до формулювання некоректних за Тихоновим задач математичної фізики в умовах значної невизначеності. Для побудови розв’язку задач такого типу необхідно використовувати регуляризуючі алгоритми, що опираються на апріорну інформацію, яка відома в неформалізованій формі.

Крім цього в більшості випадків нестаціонарні задачі математичної фізики з постійними коефіцієнтами часто розв’язуються з використанням інтегрального перетворення Лапласа за часом. Однак тоді виникає проблема обернення, яка за своєю складністю не поступається складності вихідної задачі. Існуючі таблиці відповідності між оригіналами та зображеннями Лапласа, а також методи контурного інтегрування не завжди дають можливість знайти аналітичний розв’язок і тому необхідно будувати адаптивні числові методи обернення, які враховують апріорну інформацію про поведінку цих розв’язків.

Описання процесу переносу домішкової речовини в об’єктах природного середовища (пористих матеріалах) зводиться, як правило, до розв’язування системи взаємозв’язаних лінійних параболічних рівнянь другого порядку для концентрацій з конвективною складовою і джерелами, що пропорційні до шуканих функцій–концентрацій. Після приведення до безрозмірної форми ці системи містять малий параметр біля старшої похідної. У зв’язку з цим також виникають труднощі при застосуванні інтегральних перетворень та теорії збурень. При цьому наявність малого параметра робить малопридатними традиційні числові методи.

Зауважимо, що аналогічні проблеми виникають при розв’язуванні нелінійних нестаціонарних задач фільтрації газу в пористих середовищах і задач газової динаміки при русі газу в трубопроводах.

Одним із перспективних підходів розв’язування сформульованих проблем є застосування операційних та спектральних методів. В обчислювальних експериментах ці методи мають ряд переваг, які пов'язані з параметричним (символьним) розв'язуванням задач на різних їх етапах. Такі розв’язки дають можливість дослідити вплив параметрів фізичного процесу на його перебіг і вивчити стійкість розв’язку відносно малих збурень вхідних даних. В тих випадках, коли символьний розв'язок задачі не вдається отримати, цінність цих методів частково зберігається, оскільки можна побудувати розв'язок за зображеннями (в термінах відповідних операторів) в базисі так званих конструктивних елементів, а значення зображень тоді обчислюються з наперед заданою точністю.

Під конструктивними елементами розуміють функції, які з точністю до нормуючого множника задаються в деякому функціональному базисі скінченним набором цілих чи раціональних чисел. До такого класу елементів належать, наприклад, класичні ортогональні многочлени, кожен з яких має цілі коефіцієнти. Використання базису конструктивних елементів, разом з можливістю знаходження значень зображень, в свою чергу дозволяє організувати обчислювальний процес розв'язку задачі з гарантованою точністю. При цьому під обчисленням з гарантованою точністю розуміється така організація обчислювального процесу, при якій на всіх проміжних етапах виключаються похибки машинної (апаратної) реалізації арифметичних операцій такого порядку, що забезпечує точність кінцевого результату. За Д.К.Фадєєвим такий числовий метод розв'язку задачі називається регулярним.

При числовому знаходженні розв'язку задачі з гарантованою точністю обчислень головним чином залишаються тільки похибки методу. В тих випадках, коли не вдається організувати обчислення з гарантованою точністю, виникають додаткові ускладнення, пов’язані з нагромадженням машинних похибок. Якщо при цьому числові методи забезпечують достатню точність відновлення розв'язку задачі, то можна вважати, що зберігаються переваги символьного розв'язку шляхом застосування операційних методів в обчислювальному експерименті. Дійсно, в цьому випадку розв'язок задачі в зображеннях може вважатися точним аналітичним розв'язком при фіксованих вхідних даних.

Таким чином, у даний час актуальною є загальна проблема розробки ефективних, простих в реалізації й достатньо універсальних аналітико–числових моделей фізичних процесів та адаптивних методів розв'язування задач математичної фізики і обробки експериментальних даних, які орієнтовані на використання апріорної інформації.

В даній роботі розроблено аналітико–числові моделі руху газу в трубопроводах та масопереносу в природних пористих середовищах стосовно практичних проблем потокорозподілу та оптимізації процесів згідно до критеріїв споживання газу. Побудовано адаптивні алгоритми та методи для розв’язування типових нестаціонарних задач гетеродифузії у середовищах з мікроструктурою, фільтрації газу в пористих природних об’єктах, газової динаміки стосовно транспортування газу в трубопроводах. При цьому для конкретних прикладних задач розв’язано проблеми обробки експериментальних даних (апроксимації та фільтрації сигналів, стиску інформації, ідентифікації параметрів об’єктів), на основі спектральних представлень функцій в базисах ортогональних многочленів. Запропоновані аналітико–числові моделі згаданих процесів та схеми знаходження розв’язків дозволяють контролювати точність обчислень, виключати наростання машинної похибки, враховувати апріорну інформацію про поведінку шуканих полів в певних областях та використовувати отримані результати для керування процесів масопереносу.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дослідження за темою дисертації проводились відповідно до планових науково–дослідних робіт Інституту прикладних проблем механіки i математики iм. Я.С.Пiдстри-гача НАН України та його Центру математичного моделювання, в яких автор виступав як відповідальний виконавець та виконавець.

“Розробити математичне і програмне забезпечення типової регіональної системи обробки аерокосмічної інформації в інтересах народного господарства, виробити рекомендації відносно її створення і дальнішого введення в експлуатацію” (1984–1987, № держреєстрації 01.84. 00855510).

“Розробити математичні моделі, методи розв’язування прямих і обернених задач дистанційного зондування стосовно тіл простої конфігурації”(1988–1991, № держреєстрації 01.8.80054489).

“Розробка і дослідження математичних моделей механоелектродифу-зії в локально неоднорідних багатокомпонентних середовищах”( 1991–1995, Державний фонд фундаментальних досліджень, № держреєстрації 1/898).

“Розробити математичні моделі процесів переносу в багатофазних тілах, розвинути методи розв’язання крайових задач при неповних, достатніх або надлишкових даних” (1992–1995, № держреєстрації 0193U041575).

“Математичне забезпечення обробки даних дистанційної спектрометрії земних утворів для вирішення природоресурсних та екологічних задач” (1993, проект № 9.3/129 державної науково–технічної програми України).

“Розробка математичних моделей і програм розрахунку міграції забруднень у геологічних структурах з суттєво неоднорідними відкладами (Чорнобильська програма)” (1996–2000, № держреєстрації 0193U041577).

“Розробка та дослідження нелінійних математичних моделей механотермодифузійних процесів у багатофазних системах при локальних змінах стану компонент” (1997–2000, № держреєстрації 0199U000133).

“Розробити програмно–технічний комплекс для розв’язування задач економного і надійного газопостачання (НТП Міннауки)” (1997–2000,

№ держреєстрації 0199U000624).

Математичні моделі та методи термодинамічного опису локально неоднорідних гетерогенних багатокомпонентних систем та об’єктів природного середовища(1999–2003, № держреєстрації 0199U000626).

Мета і задачі дослідження. Метою роботи є розробка математичних моделей руху газу в трубопроводах та в природних пористих утвореннях, аналітико–числових методів розв’язування задач математичної фізики, які відповідають практичним проблемам оптимізації потокорозподілу газу за критеріями раціонального споживання.

Для досягнення цієї мети у дисертації були поставлені та вирішені такі основні завдання:

·

·

·

·

·

·

Об’єкт дослідження. Процеси поширення газу в трубопроводах, фільтрації газу в пористих середовищах (підземних сховищах газу) та поширення домішкових речовин в приповерхневих шарах ґрунту.

Предмет дослідження. Математичні моделі процесів поширення газу в трубопроводах, фільтрації газу в пористих середовищах, поширення домішкових речовин в приповерхневих шарах ґрунту та аналітико_числові методи розв’язування задач математичної фізики, цифрової і статистичної обробки інформації з метою формування початкових і граничних умов для задач потокорозподілу та оптимізації процесів масопереносу.

Методи дослідження. Процеси масопереносу описуються, як правило, нелінійними диференціальними рівняннями (системами диференціальних рівнянь) в частинних похідних. Методи розв’язування таких рівнянь вивчені недостатньо. Тому для доведення моделей до числа використано аналітичні, числово–аналітичні (ітераційні) та числові методи розв’язування задач математичної фізики. В якості аналітичних методів застосовано, в основному, спектральні методи розв’язування задач в базисах класичних ортогональних многочленів з використанням теорії апроксимації функцій та асимптотичних розкладів. Шуканий розв’язок подано у вигляді ряду з невідомими коефіцієнтами, для яких на основі вхідної інформації та математичних залежностей між параметрами фізичного процесу, що моделюється, побудовано алгоритми обчислення. При цьому використано методи теорії функцій комплексної змінної, асимптотичних розкладів, функціонального аналізу, тощо.

Наукова новизна результатів роботи полягає в наступному.

Розв’язано важливу науково–технічну проблему в галузі математичного моделювання та обчислювальних методів – розроблення адаптивних аналітико–числових моделей масопереносу, які відповідають практичним проблемам оптимізації масопереносу за критеріями раціонального споживання, а також алгоритмів розв’язування відповідних крайових задач, побудованих на основі спектральних представлень функцій в базисах ортогональних многочленів, які орієнтовані на використання апріорної інформації про апроксимуючу функцію або її зображення Лапласа.

В процесі розв’язання вказаної проблеми отримано такі нові результати.

· В умовах значної невизначеності вхідних даних побудовано адаптивні моделі руху газу в трубопроводах та розроблено числово–аналітичні методи розв’язування задач газової динаміки для визначення розподілу тиску і масової швидкості в газопроводах з метою використання цих моделей для розрахунку параметрів режимів роботи газотранспортних систем.

· Сформульовано уточнені математичні моделі фільтрації газу в підземних сховищах, які враховують неканонічність геометрії пласту, наявні в ньому структурні порушення, задання вхідної інформації в нееквідистантних точках всередині пласту, а також досліджено вплив геометричних та гідродинамічних параметрів на розподіл тиску в них. Отримані результати дають можливість оцінювати колекторські властивості пластів підземних сховищах газу та керувати процесом відбирання–закачування газу.

· Досліджено шляхи та швидкість дифузії домішкової речовини в приповерхневих шарах ґрунту на основі отриманих аналітичних розв’язків відповідних задач математичної фізики при врахуванні конвективної складової та проведено оцінку коефіцієнтів процесу дифузії.

· Для визначення параметрів адаптації побудованих математичних моделей до реальних фізичних процесів запропоновано способи розв’язування обернених коефіцієнтних задач масопереносу та газової динаміки з використанням інтегрального перетворення Лапласа, асимптотичних розкладів та обробки вимірюваних даних.

· З метою параметричної побудови початково-крайових умов спектральними методами розроблено способи обчислення коефіцієнтів ортогональних розкладів для довільних їх порядків та проведено аналіз похибки відновлення вхідної функції. Виведено рекурентні формули для обчислення коефіцієнтів ортогональних розкладів, які можна використовувати як в прямому (за зростанням номерів) так і в оберненому порядку (за спаданням номерів).

· Розроблено єдиний підхід до обернення інтегрального перетворення Лапласа, побудови регуляризуючих алгоритмів для числово–аналітичного розв’язування крайових задач теорії масопереносу, а також інтегральних рівнянь типу згортки (Вольтеррівської та півбезмежної).

Запропоновані в роботі методи розв’язування прямих і обернених задач математичної фізики мають самостійне значення і є перспективними при застосуванні їх до дослідження фізичних процесів, які описуються лінійними або нелінійними системами диференціальних рівнянь в частинних похідних зі змінними коефіцієнтами в умовах невизначеності та інтегральних рівнянь типу згортки.

Практичне значення одержаних результатів.

В роботі розроблено математичні моделі процесів масопереносу та методи їх дослідження і побудови крайових умов, що дало можливість побудувати оптимізуючі алгоритми розрахунку режимних параметрів газотранспортних потоків, які приводять до зменшення енергетичних затрат в процесі транспортування газу, а також сформулювати рекомендації щодо керування основними гідродинамічними параметрами, що впливають на потокорозподіл в газотранспорних мережах. Результати теоретичних досліджень використані при розв’язанні наступних практичних задач:

·

·

·

·

·

·

До дисертаційної роботи додаються акти про використання результатів прикладних досліджень для розробки програмних комплексів розрахунку режимних параметрів оптимальної роботи газотранспортної системи України та керування потоками газу з метою раціонального його використання, а також розрахунку режимів роботи системи пласт підземного сховища газу–газозбірний пункт з метою визначення акумулюючої здатності підземних сховищ газу і можливістю їх роботи в пікових режимах.

Вiрогiднiсть отриманих результатів забезпечується як строгістю постановок самих задач, так i строгістю їх математичного розв’язування. Обчислення проміжних результатів проводилось з гарантованою точністю, регуляризуючі параметри визначались із оцінок повної похибки шуканих розв’язків. Отримані теоретичні результати апробовані в обчислювальних експериментах на модельних задачах, що охоплюють класи функцій, які описують процеси масопереносу. Крім того, отримані розв'язки порівнювалися як з відомими з літератури теоретичними результатами, так i експериментальними даними. Досягнуто спiвпадiння розрахункових та експериментальних даних в межах заданої точності.

Апробація роботи. Основні результати досліджень доповідалися на Всесоюзній науково–технічній конференції "Автоматизація досліджень проектування й випробувань складних технічних систем" (Калуга, 1989), Регіональних науково–технічних конференціях "Моделювання й автоматизація проектування складних технічних систем" (Калуга, 1990) і "Автоматизація досліджень, проектування та випробування складних технічних систем i проблеми математичного моделювання" (Калуга, 1991), Першій Всеукраїнській конференції "Обробка сигналів i зображень та розпізнавання образів" (Київ, 1992), Всеукраїнській науковій конференції "Нові підходи до розв'язування диференціальних рівнянь" (Дрогобич, 1994), IV Міжнародній конференції з механіки неоднорідних структур (Тернопіль, 1995), Другій національній науковій конференції "Інформатика: теорія, технологія, техніка" (Одеса, 1995), Всеукраїнській науковій конференції "Розробка та застосування математичних методів в наукових дослідженнях", присвяченій 70–рiччю від дня народження професора П.К. Казiмiрського (Львів, 1995), Міжнародному колоквіумі EUROMECH Colloquium 356 "Transform methods in solid mechanics" (Munchen, 1996), Міжнародній науковій конференції “Обчислювальна математика і математичні проблеми механіки” (Дрогобич, 2001), Другій Європейській конференції з обчислювальної механіки “Solids, Structures and Coupled Problems in Engineering” (Краків, Польща, 2001), Українсько–Польському симпозіумі “Інфороматично–математичне моделювання складних систем” (Львів–Брюховичі, 2002), 1–й Міжнародній науково–технічній конференції "Развитие компьютерных комплексов моделирования, оптимизации режимов работы систем газообеспечения и их роль в диспетчерском управлении технологическими процессами в газовой отрасли" (DISCOM –2002), (Москва, 2002), 4–й Українсько–Польській конференції “Механіка середовища, методи комп’ютерних наук та моделювання” (Львів, 2004), Міжнародній конференції „International workshop on free boundary flows and related problems of analysis”, (Київ, 2005).

У повному обсязі дисертаційна робота доповідалась і обговорювалась на семінарах Центру математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки i математики iм. Я.С.Пiдстригача НАН України, Інституту прикладних проблем механіки i математики iм. Я.С.Пiдстригача НАН України, Інституту гідродинаміки НАН України, Міжнародного математичного центру ім. С. Банаха, кафедри прикладної математики Львівського національного університету імені Івана Франка, кафедр математичної фізики та інформаційних технологій Київського національного університету імені Тараса Шевченка, Інституту кібернетики ім. В.М.Глушко-ва НАН України, Національного університету „Львівська політехніка”.

Публікації та особистий внесок здобувача. Основні результати досліджень, відображених у дисертації, опубліковані у 55 наукових роботах, в тому числі у 33 статтях в наукових фахових журналах і збірниках наукових праць; 12 наукових статтях та препринтах, у 10 матеріалах міжнародних семінарів, конференцій, конгресів і симпозіумів. Всього за темою роботи опубліковано 83 праці.

Результати дисертаційної роботи автором отримано самостійно.

В спільних публікаціях автору належить: розробка методів розв’язування задач математичної фізики _[2,9,32]; формулювання задач математичної фізики _[17,22,46]; отримання ключових співвідношень _[5,19,22]; проведення порівняльного аналізу методів розв’язування задач математичної фізики _[14,28,31]; отримання числових результатів _[20,24,38]; побудова методики визначення впливу параметрів газу на процес його руху в трубопроводах і пористих середовищах _ [23,27,38]; розробка аналітико_числових моделей процесів масопереносу _[25,26,29]; побудова спектральних методів розв’язування диференціальних рівнянь _ [16,44]; побудова спектральних методів розв’язування інтегральних рівнянь _[18]; проведення аналізу впливу процесу дискретизації на точність розв’язування диференціальних рівнянь в частинних похідних _[15]; ідея використання швидкого перетворення Фур’є при сумуванні ортогональних рядів в базисі многочленів Якобі та виведення основних співвідношень _[12]; аналіз отриманих результатів та формулювання висновків _[21,24,28]; порівняльний аналіз моделей _[30,37,45]; побудова спектральних методів розв’язування обернених задач математичної фізики та задач обробки інформації _[39,43,49,53]; обернення інтегралу Лапласа числово_аналітичним методом _[33,34,54,55]; ітераційна схема побудови початково_граничних умов, залеж-них від розв’язку задачі _[47,50]; побудова алгоритмів програмних комплек-сів при моделюванні процесів масопереносу _[51,52].

Структура роботи. Дисертаційна робота складається з вступу, восьми розділів, висновків та списку використаних джерел. Загальний обсяг дисерта-ції становить 290 сторінок машинописного тексту, з них 264 сторінки основ-ного тексту, 17 сторінок літератури (211 найменувань), 53 рисунків і 13 таблиць.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі подано загальну характеристику роботи, розкрито суть і стан вивчення наукової проблеми, обґрунтовано актуальність теми дисертації, сформульовано її мету, відзначено новизну отриманих результатів, висвітлено практичну цінність отриманих результатів, наведено дані про апробацію результатів і публікації, що відображають основний зміст роботи, визначено особистий внесок здобувача у публікаціях, підготовлених до друку за участю співавторів.

ОСНОВНІ РЕЗУЛЬТАТИ ТА ВИСНОВКИ

У вступі подано загальну характеристику роботи, розкрито суть і стан вивчення наукової проблеми, обґрунтовано актуальність теми дисертації, сформульовано її мету, відзначено новизну отриманих результатів, висвітлено практичну цінність отриманих результатів, наведено дані про апробацію результатів і публікації, що відображають основний зміст роботи, визначено особистий внесок здобувача у публікаціях, підготовлених до друку за участю співавторів.

В першому розділі наведено огляд літератури за темою дисертації, окреслено її місце у вирішенні науково–прикладних проблем спектрального аналізу, операційного числення та методів розв’язування задач математичної фізики, зокрема задач газової динаміки в газотранспортних мережах, дифузії та обробки інформації.

Ряд фізичних процесів описуються нелінійними диференціальними рівняннями або системами нелінійних диференціальних рівнянь (звичайних або в частинних похідних). Такі рівняння, як правило, отримують у рамках дискретних чи континуальних моделей макроскопічної фізики, зокрема механіки суцільного середовища. Достатньо повний аналіз опису різних фізичних процесів приведено в роботі І.М. Федоткіна. Так рух газу в трубопроводі, що знаходиться в ґрунті, при відповідних початково–крайових умовах в нестаціонарному неізотермічному режимі описується взаємозв’яза-ною системою нелінійних диференціальних рівнянь в частинних похідних

(1)

де та – відповідно, густина, швидкість руху і тиск газу;– коефіцієнт гідравлічного опору;– коефіцієнт теплопередачі від труби до ґрунту; і – температура газу і ґрунту, відповідно;– глибина залягання труби; – повна енергія одиниці маси газу; прискорення вільного падіння;– діаметр трубопроводу;– час;– біжуча координата; – довжина трубопроводу, – коефіцієнт стисливості, який характеризує відмінність реального газу від ідеального і визначається на основі побудованих емпіричних залежностей,– газова стала. Густина повної енергії означується виразом

(2)

в якому для зміни внутрішньої енергії справедливе співвідношення

де – питома теплоємність при сталому тиску.

Неусталена фільтрація реального газу в неоднорідному пористому середовищі (пласті підземного сховища газу) зводиться до задачі інтегрування рівняння

, (3)

де і – коефіцієнти проникності, пористості та ефективна газонасичена товщина середовища, які, в загальному випадку, є функціями тиску і температури газу; – тиск в точці пласту з координатами в момент часу ;– коефіцієнт динамічної в’язкості, який залежить від тиску і температури; – густина відбору газу.

Фізико–математичні моделі руху газу в трубопроводах та пористих середовищах сформульовані в роботах І.А. Чарного, А.В. Александрова, Є.І. Яковлєва, С.А. Бобровского, М.Г. Сухарєва та багатьох інших. Стосовно методів розв’язування рівнянь газової динаміки доцільно відзначити роботи М.А. Жідкової, Є.І. Яковлєва, А.В. Алєксандрова, Ф.Г. Темпеля, М.Г. Сухарєва та інших.

Зауважимо, що в деяких випадках пористі середовища, зокрема підземні сховища газу, мають неканонічну форму і початкові та граничні умови відомі в дискретних нееквідистантних точках з невеликою точністю (як правило, три–чотири значні цифри). Для прикладу на рис. 1 подано структурну карту Дашавського підземного сховища газу, де крапками позначено замірні та робочі свердловини, а жирними лініями – структурні та тектонічні зсуви пласту.

Рис.1. Структурна карта Дашавського підземного сховища газу.

Аналітичний розв’язок конкретних задач математичної фізики, поставлених на цій основі, можна отримати тільки в окремих часткових випадках. Тому при побудові числових і числово–аналітичних методів їх розв’язування необхідно використовувати певні наближення, які повинні бути узгоджені з вибраними модельними положеннями.

Конвективна гетеродифузія домішкових речовин у середовищах з неоднорідною мікроструктурою, зокрема, пористих тілах, описується системою рівнянь

(4)

де а – концентрації у вихідному стані (приймається як рівноважний) ();– швидкість конвективного руху розчину;– коефіцієнт дифузії в розчині;– коефіцієнт дифузії у зв’язаній частині розчину; і – перехресні коефіцієнти дифузії; та – кінетичні коефіцієнти, які відповідають процесу переходу частинок з одного стану в інший;– оператор Гамільтона – координати,– вектори бази (тіло вкладене в тривимірний евклідів простір, який віднесений до декартової прямокутної системи координат);– час. Крапкою між величинами позначено їх скалярний добуток (згортку).

Основні положення побудови та дослідження теоретичних моделей механіки суцільного середовища розглянуто в працях А.Ерінгена, О.А.Ільюшина, Л.І.Сєдова, К.Трусдела та інших. Зокрема, моделі термомеханіки розвинуто в роботах Я.С.Підстригача, Г.С.Кіта та їхніх учнів. Значний внесок у теорію взаємозв’язаних фізико–механічних полів внесли роботи Я.Й.Бурака, Г.І.Баренблата, В.Г.Карнаухова, І.Т.Селєзова, А.Ф.Улітка та інших. Континуальна модель дифузії домішок двома шляхами з врахуванням переходів частинок розглядалась в роботах Е.Айфантіса, Я.Й.Бурака, Є.Я.Чаплі та інших.

Загальні аспекти математичних методів наближеного розв’язування таких задач розглянуто в роботах В.В.Іванова, Л.В.Канторовича, В.І.Крилова, М.М.Лаврентьєва, Г.І.Марчука, В.І.Митропольського, А.А.Самарского, О.С.Лимарченка, Ф.Г.Темпеля, І.А.Чарного, А.В.Ликова та інших.

До основних проблем застосування існуючих методів розв’язування прикладних задач масопереносу можна віднести: відсутність аналітичного подання вхідних даних, які часто відомі тільки в нерегулярних точках (зокрема задачі масопереносу та фільтрації газу в підземних сховищах); необхідність забезпечення адаптації математичних моделей до реальних фізичних процесів на основі розв’язування обернених задач з використанням апріорної інформації; необхідність забезпечення в певних випадках високої точності кінцевого результату (підвищення роздільної здатності в задачах цифрової обробки інформації). Зазначимо, що не в усіх методах використання апріорної інформації приведе до покращення результатів.

Так, зокрема, описання процесу дифузії у середовищах із складною внутрішньою структурою приводить до системи диференціальних рівнянь з малим параметром та конвективною складовою, побудова розв’язку яких та їх числове дослідження існуючими методами пов’язане із значними труднощами. Крім цього, початково–крайові задачі масопереносу, особливо задачі газової динаміки і фільтрації газу в пористих середовищах, як правило, забезпечені початковими і крайовими даними в нерегулярних точках з невисокою точністю. Це приводить до потреби розробки таких схем їх розв’язування, які узгоджуються з існуючими експериментальними даними. При розв’язуванні температурних задач теорії пружності на основі перетворення Лапласа приходимо до зображень, обернення яких неможливе в аналітичному вигляді. Основою для розв’язування відповідних задач математичної фізики є спектральне подання функцій, що входять в математичну модель, та початкових і крайових умов у відповідних ортогональних базисах.

Суть спектральних методів розв’язування задач полягає в представленні відомих функцій та шуканих розв’язків ортогональними рядами в деяких базисах та побудові алгоритмів для обчислення коефіцієнтів цих рядів (узагальнених спектрів).

Спектральні методи розв’язування задач розвинуті в роботах С.Качмажа, Г.Штейгауза, Г.Сеге, П.К.Суєтіна й інших. Застосування спектральних методів в базисах тригонометричних функцій та базисах Хаара і Уолша наведені в роботах Кулі–Тюкі, Б.Голд, Ч.Рейдер, В.В.Солодовнікова, М.Д.Єгупова, В.К.Задираки та їх учнів.

Порівняльний аналіз спектральних методів в базисах Фур’є, Хаара та Уолша показав, що часто задовольняються не всі критерії, які ставляться до розв’язків сформульованих задач. Тому в літературі розвиваються спектральні методи в інших ортогональних базисах – Якобі, Чебишева–Лагерра, Ерміта тощо.

Теоретичні основи операційних методів закладено в працях В.А.Діткіна, А.П.Прудникова, Я.Мікусінського та їхніх учнів. При їх застосуванні часто виникає проблема обернення інтегралу Лапласа. Дослідженню цієї проблеми присвячені роботи В.А.Діткіна, А.П.Пруднікова, В.М.Амербаєва, В.І.Крилова, Н.С.Скоблі, Дж.Уіддера, С.А.Баймультдінової, В.М.Рябова, Дж.Влоха, Р.Беллмана, Р.Піссенса й інших.

Використання сучасних підходів до моделювання складних систем, сучасних технічних засобів збору, обробки та передачі даних, систем спряження їх із виконавськими пристроями та механізмами дає можливість в оперативному режимі приймати і реалізовувати обґрунтовані управлінські рішення. Для досягнення цього необхідно поставити і розв’язати комплекс оптимізаційних задач. Вказані проблеми розглядаються в роботах І.В.Бейка, Б.Н.Бублика, П.Н.Зінька, В.С.Дейнеки, І.В.Сергієнка., В.В.Скопецького, А.Г.Євдокимова, А.Д.Тевятева, В.В.Дубровського, М.Н.Кулика, Б.Л.Кучика, Ю.І.Максимова, Р.М.Клемфуса.

Роботи Б.В.Гери присвячені побудові математичних моделей оптимізаційного відтворення фізичних полів природних об’єктів за неповних даних та визначення теплофізичних характеристик і параметрів утворень земної поверхні. При цьому враховуються основні фізичні властивості полів земної поверхні та їх залежність від неоднорідностей і зміни характеристик середовища.

З аналізу літератури випливає необхідність побудови адаптивних математичних моделей процесів масопереносу, зокрема, поширення газу в трубопроводах, фільтрації газу в пористих середовищах (підземних сховищах газу), поширення домішкових речовин в приповерхневих шарах ґрунту та регуляризуючих методів розв’язування задач математичної фізики і обробки експериментальних даних, орієнтованих на використання апріорної інформації. У випадку прикладних досліджень при дискретному заданні вхідних даних необхідно розробити способи побудови параметричних виглядів початково–крайових умов. Методи розв’язування прикладних задач повинні дозволяти контролювати точність обчислень, виключати наростання машинної похибки та використовувати апріорну інформацію про поведінку шуканих полів в певних областях.

У другому розділі розроблено способи обчислення узагальнених спектрів як на основі аналітичного задання функцій, так і при відомих її дискретних значеннях. При моделюванні процесів масопереносу результати розділу використовуються для побудови параметричних зображень початково–граничних умов у вигляді ортогональних рядів, а в цифровій обробці інформації – для розв’язування задач апроксимації сигналів.

Якщо ? повна система ортонормованих на функцій, то функцію можна подати рядом

, (5)

де

, ? (6)

елементи узагальненого спектру функції та нормуючий множник, відповідно. При цьому функція задовольняє умови, які дозволяють зобразити її рядом (5).

Формула (6) дає можливість обчислити коефіцієнти ряду (5) у випадку, коли функція задана аналітично. При відомих дискретних значеннях функції на деякій множині точок для обчислення елементів узагальнених спектрів використовуються квадратурні формули. Зокрема, якщо використати квадратурну формулу Гауса–Якобі, в якій множина є коренями многочлена порядку, то для обчислення має місце формула

, (7)

де

Формула (7), як і інші квадратурні формули, дає можливість обчислити обмежену кількість перших коефіцієнтів. В загальному випадку, як правило, їх недостатньо для відновлення функції Тоді доцільним є використання асимптотичних розкладів для при великих. В цьому розділі для певних класів функцій на базі апріорної інформації про гладкість функцій й розриви першого роду, поведінку в околах граничних точок, поведінки зображення Лапласа на безмежності та в околах крайніх правих особливих точок отримано нові асимптотичні формули для узагальнених спектрів при великих, які з достатньою для практики точністю дають можливість обчислювати значення.

Аналіз існуючих розв’язків задач математичної фізики, зокрема задач газової динаміки та механіки деформівного твердого тіла, показує, що в околах кінців області визначення вони мають степеневу, показникову, синусоїдальну та логарифмічну поведінки за часом. У внутрішніх точках області визначення розв’язки можуть мати розриви першого роду. Поряд з цим, при дослідженні фізичних процесів в нестаціонарному випадку, що описуються диференціальними рівняннями або системами диференціальних рівнянь в частинних похідних зі сталими коефіцієнтами, використовується інтегральне перетворення Лапласа. Тому доцільно будувати асимптотичні розклади для узагальнених спектрів виходячи із знайдених зображень Лапласа шуканих розв’язків.

Якщо функція розкладається в ортогональний ряд за многочленами Чебишева–Лагерра

,

то коефіцієнти обчислюються за формулою

Для многочленів Чебишева–Лагерра має місце інтегральне представлення

З останніх двох формул отримуємо співвідношення

. (8)

Оскільки функція має мінімум в точці то, як слідує з теорії асимптотичних розкладів інтегралів цього типу, їх асимптотика визначається поведінкою при. За теоремою Ефроса перетворення Лапласа функції має вигляд

(9)

де – перетворення Лапласа функції, яке будемо вважати відомим. Тому поведінка функції при визначається теоремами тауберового типу за поведінкою в крайніх правих особливих точках. Таким чином, вихідною для виведення асимптотики при великих буде формула (8).

Теорема 1. Нехай функція має скінчену кількість особливих точок в околах яких на головній вітці мають місце розклади

, (10)

де Тоді при великих

(11)

де

,

Отримано асимптотичні формули для узагальнених спектрів на основі відомого зображення Лапласа апроксимуючої функції. При використанні базису Якобі знайдено подання узагальнених спектрів Фур'є–Якобі у вигляді інтегралу типу Мелліна

(12)

(13)

де

,

причому? узагальнена гіпергеометрична функція аргументу з параметрами та відповідно,– гама–функція Ейлера.

Показано, що асимптотика узагальнених спектрів залежить від поведінки зображення Лапласа в околі безмежності та поведінки в околах крайніх правих особливих точок зображення. Формули (12) та (13) є вихідними для виведення асимптотик коефіцієнтів Фур'є–Якобі при.

Таким чином в розділі подані як відомі квадратурні формули, які дозволяють обчислювати узагальнені спектри функцій при невеликих порядках і є оптимальними в класі, так і побудовані нові асимптотики узагальнених спектрів, які дають можливість обчислювати їх для великих порядків. Отримані тут результати дозволяють знаходити узагальнені спектри для довільних порядків, тим самим будувати в задачах масепереносу початково-граничні умови в параметричній формі. Основні результати опубліковані в роботах [10,13,42].

В третьому розділі досліджено похибку апроксимації функції ортогональними рядами. Отримані результати використовуються для побудови регуляризуючих алгоритмів при розв’язуванні прикладних задач.

Нехай

(14)

де та – похибки обчислення, що виникають за рахунок відкидання залишку ряду починаючи з номера і за рахунок використання асимптотичних формул для обчислення коефіцієнтів, починаючи з номера.

Для многочленів Чебишева–Лагерра при великих має місце оцінка

Тоді

Теорема 2. Якщо функція задовольняє умови теореми 1, то

(15)

(16)

де

Недоліком мажорантних оцінок залишків ортогональних рядів є те, що вони можуть бути завищеними і неефективними у практичному використанні. Крім цього, вони отримані в припущенні абсолютної збіжності відповідних рядів, що звужує область їх застосування (в прикладних задачах абсолютна збіжність не завжди гарантується ). Тоді важливого значення набуває виведення асимптотичних формул для залишків ортогональних рядів, які поблизу граничних значень відповідних параметрів дають результати близькі до реальних. Тому для похибок типу виведені асимптотичні формули при великих значеннях порядку залишкового члена.

Для многочленів Чебишева-Лагерра має місце асимптотична формула типу Хільба

Тоді

Доведено наступну теорему.

Теорема 3. Якщо виконуються умови теореми 1, то при великих

(17)

На основі координат точок розриву та стрибків функцій, що задаються ортогональними рядами Фур'є–Лагерра, побудовано допоміжні функції, які їх враховують. Це дає можливість із загального ряду виділити його повільно збіжну частину та просумувати її. Ряд, що залишається, збігається значно швидше.

Запропоновано спосіб використання швидкого перетворення Фур’є для сумування рядів Фур'є–Якобі. Використання швидкого перетворення Фур’є дозволяє значно зменшити час проведення обчислень та кількість арифметичних операцій, а цим самим і зменшити накопичення машинної похибки при проведенні обчислень. Проведено обчислювальний експеримент на модельних задачах.

Виведені в цьому розділі мажорантні та асимптотичні оцінки залишкових членів ортогональних рядів разом з результатами попереднього розділу дали можливість побудувати регуляризуючі алгоритми апроксимації функцій ортогональними рядами. Отримано ряд нових результатів щодо їх сумування для неперервних функцій та функцій, що мають розриви першого роду. Запропоновано спосіб використання швидкого перетворення Фур’є при сумуванні ортогональних рядів Фур’є–Якобі. Результати розділу використовуються для апроксимації початкового розподілу тиску в пористих середовищах та розв’язування задач математичної фізики, що стосуються моделювання масопереносу. [12,19,20,39,43,48].

Четвертий розділ присвячений побудові адаптивної схеми відновлення оригіналу Лапласа за відомим його зображенням на базі ортогональних рядів. Інтегральне перетворення Лапласа за часом використовується при розв’язуванні диференціальних рівнянь в частинних похідних, якими описуються процеси масопереносу. Однак не завжди можна перейти від зображення до оригіналу аналітичним способом. Побудована схема дає можливість відновити оригінали шуканих розв’язків задач математичної фізики.

Суть побудованої схеми полягає в наступному. Числовому оберненню інтегралу Лапласа передують дослідження зображення для формування апріорної інформації про оригінал. Для цього функція розкладається в асимптотичні ряди в околах нескінченно віддаленої точки та крайніх правих особливих точок. На основі цих розкладів визначається поведінка оригіналу в нулі і на нескінченості (до отриманих розкладів зображень застосовуються теореми тауберового типу) та розриви першого роду (координати точок розривів та стрибки оригіналу знаходяться аналітичним чи числовим методом).

Відновлення оригіналу здійснюється за формулою

де – вагова функція; – виділена частина, обумовлена точками розриву функції яка отримується сумуванням повільнозбіжної частини ортогонального ряду;_

розрахункові коефіцієнти;– коефіцієнти неперервної частини оригіналу, обчислені за асимптотичними формулами;– коефіцієнти, обчислені за класичною схемою при точних значних цифрах в значеннях зображення;– коефіцієнти функції;_

повна похибка методу, що складається з залишку ортогонального ряду неперервної частини оригіналу, залишку ряду, що виникає за рахунок використання асимптотичних формул для та похибки заокруглення (машинної похибки). Тут – ортогональні многочлени,– нормуючий множник, а – рубіж поганої обумовленості при значних цифрах зображення.

При побудові асимптотичних розкладів для, як правило, достатньо просто отримати перші їхні члени. Однак при використанні асимптотики для обчислення при великих виникає необхідність у знаходженні подальших членів асимптотичного розкладу. Тому в даному розділі розгляда-ється спосіб уточнення асимптотичних розкладів узагальнених спектрів методом невизначених коефіцієнтів.

На основі спектрального представлення оригіналу в базисах класичних ортогональних многочленів побудовано алгоритм його відновлення. Обчислення оригіналу зводиться до обчислення коефіцієнтів відповідних ортогональних рядів на основі відомого зображення Лапласа та відповідної апріорної інформації. Показано ефективність побудованого алгоритму обернення перетворення Лапласа для розв’язування прикладних задач. Відзначено, що використання асимптотичних формул для відновлення оригіналу та виділення повільно збіжної його частини дають можливість значно уточнити результати обчислень та зменшити час рахунку [7,8, 17,21,22,33,34,35,54,55].

П’ятий розділ дисертації присвячений побудові спектральних методів

розв'язування інтегральних та диференціальних рівнянь (як звичайних, так і в частинних похідних) в базисах многочленів Якобі та Чебишева–Лагерра. При дослідженні процесів масопереносу результати цього розділу застосовують-ся для знаходження початкового розподілу тиску вздовж трубопроводу та задач обробки інформації (фільтрація мультиплікативних шумів).

Запропоновано модифікацію інтегрального перетворення Чебишева–Лагерра функції, а саме

де – вагова функція,– многочлени Чебишева–Лагерра , а – деякі сталі. Отримано властивості інтегрального перетворення, необхідні для розв’язування інтегральних та диференціальних рівнянь. Необхідність введення такого інтегрального перетворення пояснюється тим, що многочлени Чебишева–Лагерра з ростом порядку мають експоненціальну поведінку за змінною. Це приводить до зменшення швидкості збіжності відповідних ортогональних рядів та накопичення машинної похибки при їх обчисленні. Варіацією параметрів в модифікованому інтегральному перетворенні можна досягнути того, що