КИЇВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНIВЕРСИТЕТ

IМЕНI ТАРАСА ШЕВЧЕНКА

РЯБІКОВА ГАННА ВОЛОДИМИРІВНА

УДК 517.977

ОЦІНЮВАННЯ ПАРАМЕТРІВ ОДНОВИМІРНИХ КРАЙОВИХ

ЗАДАЧ ЗА НЕПОВНИМИ ДАНИМИ

01.05.04 - системний аналiз i теорiя оптимальних рiшень

Автореферат

дисертацiї на здобуття наукового ступеня

кандидата фiзико-математичних наук

Київ - 2007

Дисертацiєю є рукопис

Робота виконана в Київському нацiональному унiверситетi iменi Tараса Шевченка на кафедрi системного аналiзу та теорії прийняття рiшень

Науковий керiвник:

доктор фiзико-математичних наук, професор

Подлипенко Юрiй Костянтинович,

Київський нацiональний унiверситет iменi Тараса Шевченка,

провiдний науковий спiвробiтник сектору математичного забезпечення науково-дослідної лабораторії економічної кібернетики факультету кібернетики

Офiцiйнi опоненти:

доктор фізико-математичних наук, професор

Новицький Віктор Володимирович,

Інститут математики НАН України,

завідувач відділу аналітичної механіки

кандидат фізико-математичних наук, доцент

Левошич Олег Леонідович,

Київський нацiональний унiверситет iменi Тараса Шевченка,

доцент кафедри моделювання складних систем

факультету кібернетики

Провідна установа:

Інститут кібернетики імені В.М. Глушкова НАН України,

відділ оптимізації керованих процесів

Захист дисертації вiдбудеться 29 березня 2007 р. о 13 годинi на засiданнi спецiалiзованої вченої ради Д 26.001.35 Київського нацiонального унiверситету iменi Tараса Шевченка (03680, Київ, просп. Глушкова, 2, корп. , факультет кiбернетики, ауд.40).

З дисертацiєю можна ознайомитись у науковiй бiблiотецi Київського нацiонального унiверситету iменi Tараса Шевченка за адресою: 01033, Київ, вул. Володимирська, 58.

Автореферат розiслано ”_24_” лютого 2007р.

Вчений секретар спецiалiзованої вченої ради Д 26.001.35 П. М. Зінько

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Задачам мінімаксного оцінювання станів систем, що описуються звичайними диференціальними рівняннями та рівняннями в частинних похідних при умові їх однозначної розв’язності, присвячено значне число робіт. Ці дослідження складають відносно новий розділ теорії оптимальних процесів, що пов'язаний з аналізом керованих систем, які функціонують в умовах невизначеності. Такі задачі використовуються при розробці систем автоматизованої обробки вимірювань, при інтерпретації результатів спостережень в реальних прикладних задачах механіки, фізики та інших галузей природознавства. При цьому вважається, що праві частини рівнянь та граничних умов, а також другі моменти випадкових спостережень є невідомими і належать деяким множинам у відповідних функціональних просторах.

Мінімаксний підхід до оцінювання невідомих параметрів цих задач полягає у наступному. Серед лінійних по відношенню до спостережень оцінок невідомих розв’язків або правих частин рівнянь шукається найкраща оцінка, у тому розумінні, що на ній досягається мінімум максимуму середньоквадратичної похибки оцінювання, що береться по усіх елементах, які належать цим множинам.

Такий підхід був започаткований у роботах М.М. Красовського, О.Б. Куржанського, О.Г. Наконечного, М.Ф. Кириченка, Б.М. Пшеничного. У рамках даного підходу авторами істотно використовувалась однозначна розв’язність задач, параметри яких оцінювались, а знайдені оптимальні оцінки параметрів відповідали "найгіршим" реалізаціям випадкових збурень.

Відзначимо, що задачі мінімаксного оцінювання параметрів для систем, що описуються одновимірними диференціальними рівняннями при умові існування та єдиності їх розв’язків для будь-яких правих частин, досліджувалися у роботах М.Ф.Кириченка, О.Г.Наконечного, Ю.К.Подлипенка, у яких наведено конструктивні методи знаходження таких оцінок для крайових умов спеціального вигляду.

У той же час теорія оцінювання параметрів за неповними даними для більш складного класу процесів, що описуються крайовими задачами для диференціальних рівнянь, які є розв’язними лише коли дані цих задач задовольняють певним умовам сумісності і розв’язки яких, взагалі кажучи, не є єдиними, розвинута лише для деяких типів крайових задач. Однак, важливий випадок двоточкових крайових задач загального вигляду для лінійних звичайних диференціальних рівнянь n-го порядку та лінійних систем таких рівнянь залишався поза межами мінімаксного підходу. Побудові теорії мінімаксного оцінювання для такого класу задач і присвячено дослідження автора, що викладені в дисертації.

У ній запропоновано метод мінімаксного оцінювання параметрів цих крайових задач, розв’язки яких визначені з точністю до функцій, що є розв’язками відповідних однорідних задач, і існують тільки, якщо праві частини рівнянь і граничних умов, які входять до постановки задач, задовольняють певним умовам сумісності. Зазначимо, що пряме застосування одержаних раніше результатів для мінімаксного оцінювання параметрів класу крайових задач, які розглядаються в дисертації, не є можливим.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертаційну роботу виконано у рамках держбюджетних тем N 01БФ015-01 "Розвиток теорії і програмного забезпечення стохастичних та алгебраїчних систем із застосуванням в економіці, соціології, техніці та освіті" (№ держ. реєстр. 0101U002173) та N 06БФ015-02 "Проблеми теорії прийняття рішень та її застосування в системному аналізі соціально-економічних та екологічних процесів" (№ держ. реєстр. 0106U005859), що виконувались на факультетi кiбернетики Київського національного університету iменi Тараса Шевченка.

Мета i задачі дослідження. Метою досліджень є розробка методів гарантованого оцінювання значень лінійних функціоналів, визначених на розв’язках крайових задач для лінійних звичайних диференціальних рівнянь n-го порядку і систем таких рівнянь та на їх правих частинах.

Основні задачі досліджень, які необхідно розв’язати для досягнення поставленої мети, полягають у наступному:

звести задачі оцінювання значень функціоналів на розв’язках крайових задач та на правих частинах рівнянь, що входять у постановку цих крайових задач, до деяких задач умовної оптимізації;

одержати системи інтегро-диференціальних рівнянь, через розв’язки яких виражаються мінімаксні оцінки функціоналів при заданих обмеженнях на невідомі кореляційні функції шумів в спостереженнях і на невідомі детерміновані дані розглядуваних крайових задач;

довести однозначну розв’язність отриманих систем інтегро-диференціальних рівнянь.

Об’єктом дослідження є системи, які описуються крайовими задачами для лінійних звичайних диференціальних рівнянь п-го порядку і систем таких рівнянь.

Предметом дослідження є задачі спостереження при неповних даних, у випадку, коли функція, що спостерігається, пов’язана з розв’язками крайових задач, які розглядаються, за допомогою лінійних операторів з адитивними похибками вимірювання.

Методи дослідження: задачі мінімаксного оцінювання зводяться до спеціальних задач оптимального керування спряженими рівняннями з квадратичними критеріями якості при обмеженнях.

Наукова новизна одержаних результатiв. Вперше поставлено і досліджено проблему мінімаксного оцінювання параметрів двоточкових крайових задач для лінійних звичайних диференціальних рівнянь n-го порядку і систем таких рівнянь з крайовими умовами загального вигляду, для яких розв’язки існують лише тоді, коли детерміновані дані задач задовольняють умовам сумісності.

Для систем, які описуються одновимірними двоточковими крайовими задачами загального вигляду, при квадратичних обмеженнях на невідомі детерміновані дані цих задач і на другі моменти шумів в спостереженнях, а також при виконанні умов сумісності отримано представлення для мінімаксних оцінок функціоналів від розв’язків, що спостерігаються, і правих частин, які входять у постановку цих задач, та похибок оцінювання через розв’язки однозначно розв’язних систем інтегро-диференціальних рівнянь спеціального вигляду.

Аналогічні результати одержано у випадку систем, які описуються двоточковими крайовими задачами, що містять параметр.

Одержано наслідки із сформульованих вище результатів для задачі мінімаксного оцінювання параметрів двоточкових крайових задач у випадку, коли виконуються умови існування та єдиності розв’язків цих задач.

Системи інтегро-диференціальних рівнянь, через розв’язки яких визначаються мінімаксні оцінки, за допомогою узагальнених функцій Гріна та теорії псевдообернених операторів зведено до еквівалентних їм систем інтегральних рівнянь.

Практичне значення одержаних результатів. Дисертація має теоретико-прикладний характер, її основні результати є оригінальними i математично обґрунтованими. Розглянуті в ній задачі оцінювання мають важливе прикладне значення у деяких областях механіки та фізики.

Методика і результати дисертації можуть бути використані для оцінювання в умовах невизначеності станів систем, що описуються більш загальними лінійними нетеровими крайовими задачами для різних класів систем функціонально-диференціальних рівнянь, зокрема, для диференціальних систем з імпульсним впливом, для звичайних диференціальних рівнянь з багатоточковими умовами тощо.

Достовірність і обґрунтованість здобутих у дисертаційній роботі теоретичних результатів і формулювань забезпечується коректним використанням сучасних математичних засобів і методів у дослідженнях, коректністю постановок розглянутих задач, строгістю математичних викладок, доведенням теорем, математичним обґрунтуванням застосованих методів.

Особистий внесок здобувача. Усi результати, якi складають суть дисертацiйної роботи, одержано здобувачем самостійно. Публiкацiї [3], [4] і [7] виконано сумісно із науковим керівником, якому належать постановки задач.

Апробація результатів дисертації. Результати роботи доповідались на засіданні наукового семінару кафедри системного аналізу та теорії прийняття рішень факультету кібернетики Київського національного університету iменi Тараса Шевченка (керівник - проф. Наконечний О.Г.), на семінарі кафедри математичного моделювання економічних систем НТУУ "КПІ" (керівник - проф. Капустян В.О.), на міжнародних конференціях "Проблеми прийняття рішень в умовах невизначеності" (Бердянськ, 2005р., Східниця, 2006р., Алушта, 2006р.), на Одинадцятій міжнародній конференції ім. акад. М. Кравчука (Київ, 2006р.).

Публікації. Результати досліджень опубліковано у 8 наукових працях. Серед них 4 наукові праці у фахових наукових виданнях, затверджених ВАК України, і 4 – у матеріалах міжнародних наукових конференцій.

Структура та обсяг роботи. Дисертаційна робота складається із вступу, трьох розділів, висновків, списку використаних джерел (71 найменування). Загальний обсяг дисертації становить 125 сторінок, основний текст роботи викладено на 115 сторінках.

ОСНОВНИЙ ЗМIСТ РОБОТИ

У вступі подано загальну характеристику роботи, висвітлено стан наукової проблеми, обґрунтовано актуальність теми, сформульовано мету та задачі досліджень.

У першому роздiлi наведено стислий огляд літератури за темою дисертації, викладено основні відомі результати, пов’язані з напрямком досліджень.

У другому роздiлi, що складається iз 7 параграфiв, розглядаються системи, якi описуються двоточковими крайовими задачами для звичайних лінійних диференціальних рiвнянь n-го порядку. Знайдено мiнiмакснi оцiнки для функцiоналiв вiд розв’язків цих крайових задач та правих частин, що входять до їх постановки, у припущенні, що детерміновані дані (правi частини рiвнянь і граничні умови), а також похибки вимiрiв точно не вiдомi, а вiдомi лише множини, яким вони належать.

Встановлено, що знаходження мiнiмаксних оцiнок зводиться до розв'язання деяких систем iнтегро-диференцiальних рiвнянь.

Для формулювання одержаних в цьому розділі результатів введемо необхідні позначення, які також будуть використовуватись і у розділі 3. Якщо - сепарабельний гільбертовий простір над із скалярним добутком і нормою, то через ми будемо позначати оператор, що називається ізометричним антиізоморфізмом, який діє з на його спряжений простір та визначається рівністю Цей оператор існує в силу теореми Ріса. , де для .

Через позначимо простір функцій, сумовних з квадратом на інтервалі (a,b). Для будь-якого цілого n1 позначимо через множину функцій, абсолютно неперервних на [a,b] разом із похідними до (n-1)-го порядку, для яких похідна порядку n, що існує майже скрізь на (a,b), належить простору.

Нехай на замкнутому інтервалі [a,b] задані функції, такі що, і на [a,b]. Визначимо на функціях, що належать простору , диференціальний оператор L, що діє в простір за формулою

Нехай задані функція та числа , . Розглянемо наступну крайову задачу. Визначити функцію, що задовольняє рівнянню

(1)

майже скрізь на (a,b), та крайовим умовам

(2)

де

(3)

- задана система m лінійно-незалежних форм від 2n змінних Як відомо це означає, що ранг матриці, складений з коефіцієнтів цих форм, повинен бути рівним m.

(4)

Для опису правих частин і, , при яких розв’язна крайова задача (1), (2), нам потрібно ввести крайову задачу, спряжену до задачі (1), (2). Для цього доповнимо m лінійно-незалежних форм (3) від 2n змінних (4) будь-якими лінійними формами до лінійно-незалежної системи 2n форм від цих же змінних. Позначимо через диференціальний оператор, що називається формально спряженим до оператора L, який визначений на функціях з і діє в простір за формулою

За виразами, і, будуються єдиним чином системи лінійних форм, і, від змінних, що мають властивості:

(i) система форм лінійно-незалежна;

(ii) для будь-яких справедлива наступна формула Гріна:

Введемо крайову задачу: знайти функцію, що задовольняє рівнянню

(5)

майже скрізь на (a,b), та крайовим умовам

(6)

де - задана функція, , - задані числа. Цю задачу будемо називати спряженою до крайової задачі (1), (2).

Позначимо через множину на , усіх розв’язків однорідної крайової задачі (1), (2), а через _ множину на , всіх розв’язків однорідної крайової задачі (5), (6). Відомо, що однорідна крайова задача має в точності n-r лінійно-незалежних розв’язків, а спряжена однорідна крайова задача (5), (6) має в точності m-r лінійно-незалежних розв’язків, де число r дорівнює рангу матриці

а через позначено фундаментальну систему розв’язків однорідного рівняння (1).

Для того, щоб крайова задача (1), (2) мала розв’язок при заданих правих частинах, , , необхідно і достатньо, щоб виконувалась наступна умова сумісності

При цьому, якщо - розв’язок задачі (1), (2), то для будь-якого також буде розв’язком цієї ж задачі.

Для того, щоб крайова задача (5), (6) мала розв’язок при заданих правих частинах, необхідно і достатньо, щоб виконувалась умова сумісності

Якщо - розв’язок задачі (5), (6), то для будь-якого також буде розв’язком цієї ж задачі.

Позначимо через і базиси нуль-просторів і операторів і відповідно.

Розглянемо постановку задачі оцінювання функціоналів від розв’язків крайових задач. Задача полягає в тому, щоб за спостереженнями вигляду

(7)

знайти оптимальну, в деякому смислі, оцінку значення функціоналу

(8)

в класі лінійних за спостереженнями оцінок

(9)

дe - розв’язок крайової задачі (1),(2), елемент u належить гільбертовому простору Якщо - скінченновимірний простір, то тоді припускається, що., , - задана функція, в припущенні, що праві частини рівнянь (1), (2) і похибки в спостереженнях (7), які є випадковими елементами, визначеними на деякому імовірнісному просторі із значеннями в , невідомі, а відомо лише, що елемент

- лінійний неперервний оператор, такий, що його обмеження на підпростір ін’єктивне, - вектор з компонентами, через позначено множину елементів

що задовольняють умову

(10)

і нерівність

(11)

в якій - скалярний добуток в, елемент і задовольняє (10), через позначено множину випадкових елементів, визначених на імовірнісному просторі із значеннями в, з нульовими середніми і скінченними другими моментами , що задовольняють нерівності

(12)

де і - ермітові додатно-визначені оператори в і відповідно, - ермітова додатно-визначена матриця, для яких існують обмежені обернені оператори і , і обернена матриця .

Означення 2.1. Оцінку вигляду

будемо називати мінімаксною оцінкою , якщо елемент і число визначаються з умови

дe, а - деякий розв’язок крайової задачі (1), (2) при Величину будемо називати похибкою мінімаксного оцінювання виразу (8).

Відмітимо, що для будь-якої фіксованої оцінки величина, що являє собою середньоквадратичну похибку оцінювання, мажорується величиною, оскільки, коли елемент під знаком супремуму пробігає множину, то функція пробігає множину усіх розв’язків крайової задачі, , при фіксованих. Ясно, що тоді.

У параграфі 2.3 доведено наступні результати.

Лема 2.1. Задача знаходження мінімаксної оцінки значення функціоналу еквівалентна задачі оптимального керування системою інтегро-диференціальних рівнянь

з функціоналом вартості

дe

,

- oператор, cпряжений до C, що визначається співвідношенням для всіх, , і - вектори з компонентами і відповідно.

Теорема 2.1. Мінімаксна оцінка виразу може бути представлена у вигляді

дe

(13)

а функції p(t) і z(t) визначаються з системи інтегро-диференціальних рівнянь

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

де через позначена j-а компонента вектора. Задача (14)-(19) однозначно розв’язна. Похибка оцінювання задовольняє нерівність.

У наступній теоремі одержано альтернативне представлення для мінімаксної оцінки, що не залежить від конкретного вигляду функціоналу.

Теорема 2.2. Мінімаксна оцінка виразу має вигляд

(20)

дe функція визначається із розв’язку задачі

(21)

(22)

(23)

(24)

(25)

(26)

Задача (21)-(26) має єдиний розв’язок.

З теореми 2.2 як наслідок випливає, що функція може бути взята за оцінку розв’язку крайової задачі (1), (2), який спостерігається.

У параграфі 2.4 розглядається задача мінімаксного оцінювання значення функціоналу

(27)

від правих частин рівнянь, що входять у постановку задачі (1), (2), у класі лінійних за спостереженнями оцінок (9), дe - задана функція, , - задані числа, у припущенні, що і похибки у спостереженнях (9) належать , де множини і визначено співвідношеннями (10), (11) і (12) відповідно.

У теоремах 2.3 і 2.4 одержано представлення для мінімаксних оцінок і похибок оцінювання виразу (27).

У параграфі 2.5 сформульовано теореми про загальний вигляд мінімаксних оцінок параметрів однозначно розв’язних крайових задач, що випливають з теорем 2.1 - 2.4. Цей випадок має місце, коли число m крайових умов (2) дорівнює порядку n рівняння (1), i, крім того, коли детермінант матриці, отриманої підстановкою фундаментальної системи розв’язків однорідного рівняння (1) в крайові умови (2), відмінний від нуля. Отже, , , крайова задача (1), (2) та спряжена до неї крайова задача (5), (6) будуть мати єдиний розв’язок при будь-яких і,. У цьому випадку в означеннях мінімаксних оцінок і внутрішній супремум по зникає, а множина буде складатися з елементів,

що задовольняють лише умову (11) при m=n. У цьому випадку мінімаксні оцінки визначаються рівняннями (13)-(15), (17)-(18) та (20)-(22), (24)-(25).

У параграфі 2.6 одержано мінімаксні середньоквадратичні оцінки функціоналів від розв’язку крайової задачі

(28)

(29)

а також від правих частин і рівнянь (28) і (29) за спостереженнями (7), де i, , мають той же сенс, що і у параграфі 2.1, - функція, неперервна на відрізку [a,b] і тотожно не рівна нулю, - деякий комплексний параметр, , , - невідомі детерміновані дані, підпорядковані квадратичним обмеженням (11) при m=n і певним умовам сумісності

де - будь-яка функція із множини всіх власних функцій, що відповідають власному значенню однорідної крайової задачі

спряженої до однорідної задачі (28), (29), де означають вирази, введені у параграфі 2.1, які не залежать ні від, ні від. У теоремі 2.9 встановлені похибки оцінювання.

У третьому розділі досліджується проблема мінімаксного оцінювання розв’язків та невідомих детермінованих даних двоточкових крайових задач для систем лінійних звичайних диференціальних рівнянь першого порядку.

Задача оцінювання полягає у тому, щоб за спостереженнями вигляду

(30)

знайти мінімаксну оцінку значення функціоналу

(31)

в класі лінійних оцінок

де - задана вектор-функція, - розв’язок крайової задачі

(32)

(33)

Тут - квадратна матриця n-го порядку з неперервними на відрізку [a,b] елементами; - невідома вектор-функція;

(34)

- задана система m лінійно-незалежних форм від 2n змінних

(35)

з коефіцієнтами, елемент u належить гiльбертовому простору над (якщо - скінченновимірний простір, то тоді, як і у розділі 2, припускається, що),; - лінійний неперервний оператор, який діє з простору у деякий гільбертовий простір , такий, що його обмеження на підпростір ін'єктивне; - невідомі похибки у спостереженнях (30), які є випадковими елементами, визначеними на імовірнісному просторі із значеннями в. При цьому вважається, що елемент і, де множина має той же сенс, що і у розділі 2, а через позначено множину елементів, що задовольняють умову розв’язності крайової задачі (32), (33):

(36)

і нерівність

в якій елемент заданий і задовольняє умову (36), - ермітів додатно-визначений оператор в, - ермітова додатно-визначена -матриця, для яких існують обмежені обернений оператор і обернена матриця, а через в (36) позначено систему лінійних форм від змінних

(37)

що входить до формули Гріна У цій формулі через, і позначені системи лінійних форм від змінних (35) і (37) відповідно, які будуються по системі форм (34) аналогічно тому , як це описано на стор. 5.

(38)

яка є справедливою для будь-яких, де в (38), , через і тут і далі позначено оператори, визначені на функціях з за формулами і, які діють в простори і відповідно, _множина всіх розв’язків однорідної крайової задачі (32), (33) i - множина всіх розв’язків, спряженої до неї однорідної крайової задачі

(39)

Позначимо через і базиси нуль-просторів і операторів і, які, як відомо, мають розмірність і відповідно, де число дорівнює рангу матриці

а через позначено фундаментальну систему розв’язків однорідного рівняння (32).

Означення 3.1. Оцінку вигляду будемо називати мінімаксною оцінкою, якщо елемент і число визначаються з умови

дe, a - деякий розв’язок крайової задачі (32), (33) при, ,. Величину будемо називати похибкою мінімаксного оцінювання.

Сформулюємо деякі результати, одержані у розділі 3.

Теорема 3.1. Мінімаксна оцінка виразу може бути представлена у вигляді

,

де, , а функції p(t) і z(t) визначаються із системи інтегро-диференціальних рівнянь

(40)

(41)

(42)

(43)

(44)

(45)

де - oператор, cпряжений до C, який визначається співвідношенням для всіх, , - вектор з компонентами, , а через позначено j-у компоненту вектора. Задача (40)-(45) однозначно розв'язна. Похибка оцінювання задовольняє нерівності.

У параграфі 3.3, як наслідок з попередніх результатів, сформульовано твердження для випадку, коли оператор спостереження С є оператором інтегрального типу.

У параграфі 3.4 досліджено задачу мінімаксного оцінювання функціоналів від детермінованих даних задачі (32), (33), а у параграфі 3.5 одержано наслідки з попередніх результатів для випадку, коли вихідна крайова задача, параметри якої оцінюються, є однозначно розв’язною, тобто, коли в (33) m=n і ранг матриці дорівнює n.

У параграфі 3.6 отримано мінімаксні оцінки розв’язків крайових задач для системи диференціальних рівнянь, що містять спектральний параметр, а також оцінки від невідомих правих частин рівнянь, що входять до цих задач.

У параграфі 3.7, використовуючи узагальнені матриці Гріна та апарат псевдообернених операторів, систему інтегро-диференціальних рівнянь (40) - (45), через розв’язки , якої виражаються мінімаксні оцінки виразу (31), зведено до еквівалентної системи інтегральних рівнянь.

ВИСНОВКИ

У дисертаційній роботі для систем, які описуються одновимірними двоточковими крайовими задачами загального вигляду, при квадратичних обмеженнях на невідомі детерміновані дані цих задач і на другі моменти шумів в спостереженнях, а також при виконанні умов сумісності доведено теореми про загальний вигляд мінімаксних оцінок функціоналів від розв’язків, які спостерігаються, а також від правих частин, що входять у постановку цих крайових задач.

Одержано системи інтегро-диференціальних рівнянь спеціального вигляду, через розв’язки яких визначаються мінімаксні оцінки та похибки оцінювання.

Отримано наслідки із сформульованих вище результатів для задачі мінімаксного оцінювання параметрів двоточкових крайових задач при виконанні умов існування та єдиності розв’язків цих задач.

У випадку систем, які описуються двоточковими крайовими задачами, що містять параметр, отримано аналогічні результати.

Системи інтегро-диференціальних рівнянь, через розв’язки яких визначаються мінімаксні оцінки, за допомогою узагальнених функцій Гріна та теорії псевдообернених операторів зведено до еквівалентних їм систем інтегральних рівнянь.

Методика і результати дисертації можуть бути використані для оцінювання в умовах невизначеності станів систем, що описуються більш загальними лінійними нетеровими крайовими задачами для різних класів систем функціонально-диференціальних рівнянь, зокрема, для диференціальних систем з імпульсним впливом, для звичайних диференціальних рівнянь з багатоточковими умовами тощо.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ АВТОРОМ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Рябікова Г.В. Оптимальне оцінювання за неповними даними параметрів крайових задач для лінійних звичайних диференціальних рівнянь // Вісник Київського національного університету. Серія: фізико-математичні науки. - 2005.- №3.- С.344-351.

2. Рябікова Г.В. Мінімаксне оцінювання невідомих правих частин рівнянь та граничних умов крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь // Вісник Київського національного університету. Серія: фізико-математичні науки. - 2005.- №4.- С.221-226.

3. Пoдлипенко Ю.K., Рябикова А.В. Оптимальное оценивание параметров нетеровых краевых задач для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений n-го порядка в условиях неопределенности // Доповiдi НАН України. - 2005. - №11. - С.59-67.

4. Пoдлипенко Ю.K., Рябикова А.В. Минимаксное оценивание по неполным данным решений двухточечных краевых задач для систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений // Журнал обчислювальної та прикладної математики.- 2005. - №2(93). - С.97-106.

5. Рябикова А.В. Оценивание решений краевых задач для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений n-го порядка по неполным данным // Праці міжнародної конференції "Проблеми прийняття рішень в умовах невизначеності". – Бердянськ. - 2005. - С.254-255.

6. Рябикова А.В. Минимаксные оценки параметров краевых задач для систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений в условиях неопределенности // Матеріали ХІ міжнародної конференції ім. акад. М. Кравчука. - Київ. - 2006.- С.236.

7. Пoдлипенко Ю.K., Рябікова А.В. Мінімаксне оцінювання параметрів двоточкових крайових задач для систем лінійних звичайних диференціальних рівнянь в умовах невизначеності // Праці міжнародної конференції "Проблеми прийняття рішень в умовах невизначеності". – Східниця. - 2006. _ С.55-57.

8. Рябикова А.В. Минимаксное оценивание решений краевых задач для систем диференциальных уравнений, содержащих спектральный параметр // Праці міжнародної конференції "Проблеми прийняття рішень в умовах невизначеності". – Алушта. - 2006. – С.69-70.

АНОТАЦIЯ

Рябікова Г.В. Оцінювання параметрів одновимірних крайових задач за неповними даними - Рукопис.

Дисертацiя на здобуття наукового ступеня кандидата фiзико-математичних наук за спецiальностю 01.05.04 – системний аналiз i теорiя оптимальних рiшень. - Київський нацiональний унiверситет iменi Tараса Шевченка.- Київ, 2007.

У дисертації вперше запропоновано мінімаксний підхід до проблеми оцінювання параметрів одновимірних крайових задач загального вигляду для лінійних звичайних диференціальних рівнянь n-го порядку та систем таких рівнянь першого порядку за неповними даними.

Одержано мінімаксні оцінки значень функціоналів від розв’язків, що спостерігаються, та правих частин рівнянь, що входять до постановки крайових задач, через розв’язки систем інтегро-диференціальних рівнянь спеціального вигляду.

Розроблено метод мінімаксного оцінювання параметрів цих крайових задач, розв’язки яких визначені з точністю до функцій, що є розв’язками відповідних однорідних задач, і існують лише тоді, коли праві частини рівнянь і граничних умов, які входять до постановки задач, задовольняють певним умовам сумісності.

Ключовi слова: мінімаксні оцінки, спостереження, крайові задачі, звичайні диференціальні рівняння, функціонал від розв’язку, умови сумісності, узагальнена матриця Гріна, неповні дані.

АННОТАЦИЯ

Рябикова А.В. Оценивание параметров одномерных краевых задач по неполным данным - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.05.04 - системный анализ и теория оптимальных решений. - Киевский национальный университет имени Тараса Шевченко.- Киев, 2007.

Диссертация посвящена проблемам минимаксного оценивания по неполным данным параметров двухточечных краевых задач для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений п-го порядка и систем таких уравнений.

Во втором разделе для задачи

п.в. на (a,b), , ,

где - дифференциальный оператор вида, заданный на функциях из, і, - неизвестные детерминированные данные, подчиненные квадратичным ограничениям

и условиям совместимости

,

где - любая функция из множества всех решений однородной краевой задачи, сопряженной к данной задаче, получены минимаксные среднеквадратические оценки функционалов от решения, а также от правых частей рассматриваемой краевой задачи по наблюдениям

,

где - линейный непрерывный оператор такой, что его ограничение на подпространство всех решений однородной краевой задачи инъективное. Установлены погрешности оценивания. Получены следствия для задачи минимаксного оценивания параметров двухточечных краевых задач для случая, когда выполняются условия существования и единственности решений этих задач.

В третьем разделе для систем, которые описываются одномерными двухточечными краевыми задачами для систем линейных дифференциальных уравнений первого порядка с краевыми условиями общего вида, при ограничениях на параметры этих задач и наблюдений, доказаны теоремы про общий вид минимаксных оценок функционалов от решений, которые наблюдаются, и погрешностей оценивания.

Ключевые слова: минимаксные оценки, наблюдения, краевые задачи, обыкновенные дифференциальные уравнения, функционал от решения, условия совместности, обобщенная матрица Грина, неполные данные.

ABSTRACT

A.V. Ryabikova. Evaluation of parameters of one-dimensional boundary value problems under incomplete data. - Manuscript.

Thesis for the Degree of Candidate of Sciences in Physics and Mathematics in speciality 01.05.04 - system analysis and theory of optimal decisions. Kyiv Taras Shevchenko National University.- Kyiv, 2007.

In dissertation the minimax approach is developed to the evaluation problem of one-dimensional boundary value problems of general form under incomplete data for linear ordinary differential equations of the n-th-order and systems of such equations of the first order.

It is obtained that minimax estimations of values of functionals from solutions which are observed and right-hand parts of equations which are included in formulation of boundary value problems are expressed via the solving of the systems of integro-differential equations of the special kind.

The method of minimax estimation of parameters of these boundary value problems, the solutions of which are definite up to the solutions of corresponding homogeneous problems and exist only if the right-hand parts of equations and boundary conditions which are included in formulation of initial boundary value problems are satisfied the certain compatibility conditions.

Key words: minimax estimates, observations, boundary value problems, ordinary differential equations, functional from solutions, compatibility conditions, generalized Green matrix, incomplete data.